本文链接：https://www.zjujournals.com/gcsjxb/CN/10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.225

爬壁机器人具备稳定的壁面吸附能力及运动特性，可搭载不同的维护工装以代替人工进行高空作业，目前其已在船舶、石化、风电等多个领域得到了广泛应用^[1-3]。根据吸附原理，爬壁机器人的吸附方式可分为磁吸附、负压吸附、推力吸附、仿生吸附和复合吸附等五类^[4-5]。在大型导磁金属立面作业场景下，相较于其他4类吸附方式，磁吸附因具有结构简单、吸附稳定及无需外部元器件提供动力等优点而被广泛应用^[6]。

作为磁吸附式爬壁机器人的关键部件，磁吸附模块的结构对机器人的整体质量及运动性能有重要影响。因此，基于轻量化思想对磁吸附模块的结构参数进行优化设计具有很大的意义。近几十年来，许多学者分别从单一充磁方向磁铁阵列和Halbach阵列出发，研发了不同类型的磁吸附模块产品。其中，充磁方向单一的磁吸附模块可由单个或多个永磁体组成，且所有永磁体的充磁方向均指向同一个方向。Lu等^[7]针对爬壁机器人作业管道直径不同的问题，设计了一种变磁力吸附机构并利用有限元法进行了优化分析，得到了满足稳定工况的最优磁体宽度。张栋等^[8]设计了一种悬摆式磁吸附模块，并利用Maxwell软件中自带的连续非线性规划（sequential non-linear programming, SNLP）算法对其参数进行了优化。Sahbel等^[9]利用响应面方法建立了磁体间距、气隙和磁轭厚度与吸附力之间的数学模型，并使用方差分析法对预测模型进行了统计分析。随着磁吸附模块不断向小型化、便携化发展，单一充磁方向磁铁阵列逐渐被Halbach阵列替代。Halbach阵列是一种新型的永磁体排列方式，通过将充磁方向不同的永磁体按照一定规律排列，以实现在永磁体的一侧汇聚磁力线，在另一侧削弱磁力线，从而获得比较理想的单边磁场^[10]。通过采用不同的组合形式，Halbach阵列的应用范围十分广泛。近年来，越来越多的研发人员将Halbach阵列应用于爬壁机器人的磁吸附模块。现阶段，基于Halbach阵列的磁吸附模块的优化设计通常采用有限元仿真方法。钟道方等^[11]利用Maxwell软件对块状磁吸附模块进行了仿真分析，并运用控制变量法得到了其结构参数的最优值。潘柏松等^[12]基于Halbach阵列提出了一种轮式磁吸附模块的拓扑结构，通过有限元仿真分析了轭铁厚度、极对数等结构参数对吸附力的影响，并采用多岛遗传算法对结构参数进行了全局优化。有限元仿真方法虽具有计算速度快、求解结果精度高的优点，但无法得到磁吸附模块所产生磁力与结构参数之间有效的函数关系，需要多次仿真才能得到结构参数相对理想的磁吸附模块。为解决上述问题，部分学者结合仿真技术和数学模型对磁吸附模块优化方法进行了研究。陈勇^[13]运用Fourier级数法建立了Halbach阵列磁感应强度与磁场强度的数学模型，并采用多目标免疫遗传算法对磁吸附模块的结构参数进行了优化设计。Jiao等^[14]提出了一种基于等效磁通密度的Halbach阵列磁力计算方法，得到了改变结构参数后Halbach阵列磁力的变化趋势，并利用ANSYS软件对几种能产生较大磁力的磁吸附模块结构进行对比，确定了可产生最大磁力的磁吸附模块结构。但上述方法涉及Fourier级数，导致计算过程十分复杂。为此，赵智浩等^[15-16]针对双磁路磁吸附模块提出了一种新的优化思路，即采用正交设计法和二阶响应面模型（second-order response surface model, 2-RSM）建立了磁吸附模块结构参数与磁力之间的数学模型，并利用遗传算法对结构参数进行了优化求解，从而得到了吸附效率较高的磁吸附模块。使用代理模型可提高磁吸附模块结构参数优化设计的效率，但所建立的2-RSM仅适用于双磁路磁吸附模块。随着磁路的增加，磁吸附模块结构优化的设计变量增多，且设计变量之间的解析关系也变得更为复杂，2-RSM已无法满足预测精度的要求。因此，基于所设计爬壁机器人的吸附稳定性及轻量化要求，如何得到吸附效率高的磁吸附模块尚需进一步探索。

为此，本文结合虚拟仿真技术、四阶响应面模型（fourth-order RSM, 4-RSM）和蜣螂优化（dung beetle optimization, DBO）算法，提出了一种磁吸附模块结构优化方法。首先，介绍爬壁机器人及其磁吸附模块的结构设计方案。然后，构建磁吸附模块磁力与结构参数之间的4-RSM，并验证该代理模型的可靠性。最后，以机器人的吸附稳定性和结构参数为约束条件，以磁吸附模块轻量化为目标，建立磁吸附模块结构参数优化模型，并采用DBO算法进行优化求解，以获得吸附效率高、轻量化的磁吸附模块。

本文所设计的爬壁机器人的结构方案如图1所示。机器人两侧对称布置2个履带机构，与架体单元相连接。履带机构依靠履带轮—同步带的传动方式进行运动。机器人内部设置多组磁吸附模块，且自适应轮组可起分散载荷的作用，能够保证履带始终与壁面贴合，使得机器人稳定地吸附在壁面上。磁吸附模块分别布置于履带轮内部与自适应轮组中。在履带轮中，磁吸附模块通过支架和轴承安装在磁铁旋转轴上。由于转动副的存在，磁吸附模块能够保持相对静止，磁力方向始终与壁面垂直。磁铁旋转轴为固定式连接，故所有履带轮内部的磁吸附模块与壁面之间的距离均是固定不变的。在自适应轮组中，磁吸附模块由自适应轮支撑，随着壁面曲率的变化，自适应轮组中的弹簧伸缩及铰链转动，使得磁吸附模块与壁面之间的距离也保持固定不变。

磁吸附模块主要由轭铁和永磁体组成。其中，轭铁材料为Q235，可避免出现较大的单向漏磁现象；永磁体材料选择NdFeB-N48，该材料具有单位体积产生的磁力较大的特点^[14]。为了得到吸附效率较高的磁吸附模块，选择文献[15]中的双磁路以及其余3种Halbach阵列，通过对比4种磁路模式对磁力的影响来确定最佳的磁路结构。4种磁路模式如图2所示，充磁方向均由S极指向N极。图中：d、e，d₁、e₁，d₂、e₂分别为三磁路、五磁路、七磁路模式下主磁体长度和副磁体长度。

根据文献[14]中得到的模糊关系，可知三磁路、五磁路、七磁路模式下主磁体与副磁体的长度比（d/e、d₁/e₁、d₂/e₂）分别为0.3，0.4，0.5时，其所产生的磁力更具优势。利用ANSYS软件对最优尺寸下的4种磁路模式所产生的磁力进行仿真分析与对比，结果如图3所示。其中，除磁路模式不同外，各磁吸附模块的材料、整体结构尺寸等相关参数均相同。

由图3可得，在同一整体结构尺寸下，不同磁路模式所产生的磁力不同，其中三磁路模式产生的磁力更具优势，吸附效率最高。因此，本文选用三磁路模式作为磁吸附模块的磁路结构，如图4所示。图中：a为轭铁高度，b为永磁体高度，c为永磁体宽度，g为气隙距离，t为壁面厚度。

爬壁机器人稳定地吸附在壁面上需要较大的磁力。所需磁力增大会导致磁吸附模块的尺寸增大，造成磁吸附模块的质量增大，从而导致整个机器人的质量增大。因此，有必要对磁吸附模块的结构参数进行优化，以保证在满足磁力要求的同时实现质量最小化。磁吸附模块结构参数的优化策略如图5所示。

影响磁吸附模块磁力的参数主要包括轭铁高度a、永磁体高度b、主磁体长度d、副磁体长度e、永磁体宽度c、气隙距离g和壁面厚度t。其中，磁力与气隙距离成反比。若将气隙距离引入优化模型，则气隙距离必然会趋向最小值。同时，在爬壁机器人设计中，磁吸附模块一般采用固定式连接，即气隙距离固定。除此之外，文献[14]指出：当壁面厚度达到一定程度后，磁力与壁面厚度几乎无关。为进一步验证壁面厚度对磁力的影响，运用ANSYS软件对磁吸附模块磁力随壁面厚度（3，5，7，10，12 mm）的变化进行仿真分析，结果如图6所示。

由图6可得，当壁面厚度t≥5 mm时，磁吸附模块的磁力变化曲线几乎重合。而大型壁面（如船舶、石化储罐等的壁面）的厚度一般都在5 mm以上。基于以上分析，本文将气隙距离g和壁面厚度t设为定值，重点分析磁吸附模块的结构参数与磁力之间的关系。基于所设计爬壁机器人的安装空间以及相关设计经验，磁吸附模块各设计参数的取值范围如表1所示。

为了保证爬壁机器人能够安全地吸附在壁面上，对机器人进行静力学分析。如图7所示，爬壁机器人有3种失稳情况：纵向滑移、纵向倾覆、横向倾覆^[17]。

根据图7所示的受力分析，可得机器人在抵抗纵向滑移、纵向倾覆、横向倾覆时所需的最小磁力应满足以下条件：

式中：F₁、F₂、F₃分别为抵抗纵向滑移、纵向倾覆、横向倾覆时所需的最小磁力，G为机器人整体重力，F_g为负载重力，w为履带宽度，v为两侧履带的距离，l为履带接地长度，H为机器人重心与壁面的距离，μ为摩擦系数，k为安全系数，θ为壁面倾角，n为磁吸附模块的数量。

通过对上述几种失稳情况进行分析可知，不同失稳情况下爬壁机器人所需磁力的满足条件不同。因此，须对不同失稳情况进行对比分析，以确定满足所有不失稳条件时所需的最小磁力。根据式(1)至式(3)，对抵抗纵向滑移、纵向倾覆、横向倾覆时机器人所需的最小磁力进行仿真分析（取最小值），结果如图8所示。其中，机器人的相关结构参数如下：G=150 N，F_g=150 N，w=70 mm，v=365 mm，l=350 mm，H=85 mm，μ=0.5，k=1.7^[18]。

由图8可得，爬壁机器人在抵抗纵向滑移时所需的磁力最大。此时，壁面倾角为27°，则每个磁吸附模块所产生的磁力应满足F_i ≥142.56 N。

为了实现爬壁机器人的轻量化设计，确定优化目标为磁吸附模块整体质量最小化，则目标函数可表示为：

其中：

式中：OX为优化模型的目标函数；mX为磁吸附模块的整体质量；X为优化设计变量，X=(a, b, c, d, e)；ρ₁为轭铁密度，ρ₁=7.85 g/cm³；ρ₂为永磁体密度，ρ₂=7.55 g/cm³。

在保证爬壁机器人实现应有功能的前提下，根据安装空间对磁吸附模块的结构参数进行进一步调整。为更好地对比优化前后的结果，将2.1节中磁吸附模块的结构参数作为初始参数，即X=(a, b, c, d, e)=(8, 16, 35, 22, 11) mm，该结构参数下对应的磁力仿真值为142.92 N，取整为143 N，满足2.2节中的约束条件。最终得到的优化数学模型可表示为：

代理模型技术是一种利用少量已知样本点数据构造一个计算量小但计算结果与实际相接近的模型的数学方法。在工程应用中，对于难以用直观函数式来表达的目标函数，可用代理模型来替代^[19]。Halbach阵列磁吸附模块的结构参数与磁力之间的关系是复杂的、非线性的，无法直接得到结构参数与磁力之间的函数关系，而使用代理模型可极大地提高优化设计效率和降低优化难度^[20]。

为了验证磁吸附模块磁力仿真模型的可靠性，为后续代理模型的建立提供基础，根据1节中的三磁路结构和设定的初始尺寸，制造了一块磁吸附模块样品，并使用拉力传感器对其磁力进行测试。设定模拟壁面的钢板厚度为10 mm，将其固定在实验平台的底部。拉力传感器的一端与磁吸附模块连接，另一端与固定座连接，通过叠加垫片的方式来改变磁吸附模块与壁面之间的气隙距离，使其在5~12 mm范围内变化。磁吸附模块磁力测试实验平台如图9所示。

对磁吸附模块开展多次磁力测试实验，计算磁力实测数据的平均值，并将其与ANSYS软件的仿真值进行对比，结果如图10所示。由图10可得，磁力的仿真值略大于实测值，产生误差的原因可能是仿真模型过于理想，而实验环境中的影响因素更为复杂，且制造磁吸附模块时存在加工和装配误差。但磁力的衰减趋势基本一致，误差变化也比较均匀，由此可验证磁力仿真模型的可靠性。

代理模型的建立主要由两部分构成：一是选择代理模型的初始样本点，二是选择合适的代理模型。

代理模型的采样策略是通过试验设计来实现的。选择适当的试验设计方法，能够使样本点在设计空间中按照一定的方式分布，以消除主观性取样所造成的样本不均匀及可信度低等问题。试验设计是通过对设计参数进行科学合理的安排，以获得最优的参数组合。目前，常用的试验设计方法主要有全因子设计、正交设计、拉丁超立方设计和最优拉丁超立方设计等^[21]。从图11中可以看出，相比于正交设计，拉丁超立方设计所采集的样本点可以充满整个样本空间，且分级宽松，可人为设置试验次数，但有可能仍存在样本点分布不均匀的情况。最优拉丁超立方设计是在拉丁超立方设计的基础上进行了改进，其采集的样本点在设计空间区域内的分布更加均匀。

基于上述分析，本文采用最优拉丁超立方设计方法在磁吸附模块结构参数取值范围内进行抽样，得到100组样本数据，并运用ANSYS参数化建模得到对应的磁力仿真值，部分数据如表2所示。

对具有复杂耦合关系的数据进行拟合时，多项式代理模型是一个不错的选择。多项式拟合不仅具有较高的预测精度，还可以得到显性的函数关系。本文利用MATLAB统计工具箱中的函数拟合了磁吸附模块磁力与结构参数的4-RSM，具体函数表达式如下：

FX= -0.326 51a²+0.348 54ad-0.686 35b²+0.238 9bc+0.275 98bd+0.260 67be-8.007 89c+0.328 88cd+0.177 59ce-12.046 22d+0.086 38de-0.000 167 2b⁴+0.011 869 1e³+0.016 255b³-0.559 15e²+195.91

为了得到代理模型的可信度，使用相关系数R²和均方根误差E_RMS作为代理模型精度的评价指标：R²越接近1，E_RMS越接近0，则代理模型的可信度越高。一般认为R²>0.9，E_RMS<0.1时代理模型的精度是可以接受的。文献[15]中2-RSM与本文4-RSM的精度评价指标及其预测效果分别如表3和图12所示。同时，随机设定4组磁吸附模块的结构参数，与设定的初始参数形成测试集，并将5组参数对应的磁力仿真值与预测值进行比较，如表4所示。

长期以来，优化求解问题一直是研究热点，其存在于各种实际系统中，如故障诊断系统、能源管理系统等。大量复杂的优化问题难以使用传统的数学规划技术来求解。因此，学者们开发了大量的群体智能优化算法，这些算法均具有易实现、自主学习能力强等优点。其中，DBO算法是一种基于种群的智能算法，其灵感来自蜣螂的滚球、跳舞、觅食、偷窃和繁殖行为。DBO算法兼顾全局探索和局部开发，具有收敛速度快和求解精度高的特点，可有效地处理实际优化问题^[22]。

结合磁吸附模块结构参数优化问题，对DBO算法的伪代码进行相应的修改，并利用MATLAB软件进行求解，具体流程如图13所示。在求解过程中，首先，对蜣螂种群及DBO算法的参数进行初始化，并根据目标函数计算各子种群的适应度值；然后，迭代更新各子种群的位置，并判断位置是否出界；最后，通过对比各子种群位置来更新当前最优解及对应的适应度值。重复上述步骤，直到迭代次数达到预设值，输出全局最优解和对应的适应度值。其中，DBO算法主要参数的设置如表5所示。

利用DBO算法对文献[15]中的2-RSM和本文的4-RSM进行求解，迭代过程如图14所示，最终得到的磁吸附模块结构参数的最优解如表6所示。由图14可以看出，DBO算法在很少的迭代次数内即可使目标函数逼近全局最优点，且迭代过程中适应度值的波动很小，说明将该算法应用于本文是十分有效的。由表6可以看出，基于2-RSM优化得到的结构参数a、c、d、e均趋于设定的临界点，该结构参数组合下磁吸附模块磁力的预测值与仿真值（118.03 N）之间的相对误差高达21.2%，不满足优化设计的约束条件，故整个优化过程无效。基于4-RSM得到的最优结构参数下磁力预测值与仿真值（138.11 N）之间的相对误差为3.5%，误差很小，说明所建立的4-RSM具有很高的可信度，且所预测的磁力值与约束条件相差较小。优化后磁吸附模块的质量减小了12.7%，整个优化过程简单有效。

根据优化得到的结构参数，研制了磁吸附模块，并将其安装在爬壁机器人样机中，通过开展负载实验来测试机器人的负载能力。通过静力学分析可以得出，爬壁机器人在抵抗纵向滑移时所需的磁力最大。因此，仅针对机器人的纵向运动进行负载能力测试。如图15所示，在实验过程中，机器人吸附在壁面上，通过加载不同的哑铃片（负载），直到机器人发生纵向滑移。实验结果表明，机器人的最大负载可达18 kg，满足机器人的初始载荷设计要求（15 kg），进而验证了磁吸附模块优化的有效性以及优化结果的正确性。

本文基于轻量化目标提出了一种结合虚拟仿真技术、4-RSM和DBO算法的磁吸附模块结构优化方法。所做工作及相关结论如下：

1）比较了4种典型的Halbach阵列磁路模式的吸附效率。结果表明，与双磁路、五磁路和七磁路模式相比，三磁路模式所产生的磁力相对更高。

2）结合最优拉丁超立方设计、ANSYS参数化建模和MATLAB统计工具箱，建立了磁吸附模块磁力与结构参数之间的4-RSM。同时，通过相关系数R²和均方根误差E_RMS以及5组结构参数下磁吸附模块磁力仿真值与预测值的比较，验证了所构建的4-RSM具有较高的可信度。

3）建立了以磁吸附模块轻量化为目标、以机器人吸附稳定性和结构参数为约束条件的优化模型，并采用DBO算法进行优化求解。结果表明，建立的4-RSM能够有效地表达磁吸附模块磁力与结构参数之间的耦合关系，且其预测误差较小。优化后磁吸附模块的质量减小了12.7%。

4）基于优化结果制作了磁吸附模块和爬壁机器人样机，并通过实验测试了机器人的负载能力。实验结果满足机器人的设计要求，进一步验证了优化过程的有效性。

值得注意的是，本文采用代理模型的思路来构建磁力模型，该方法对其他类似磁吸附式爬壁机器人的磁力分析同样有效，可为其磁吸附模块的设计与优化提供指导。