随着电动汽车技术的飞速发展，涌现出了大量的主动安全系统来提高车辆的操纵稳定性^[1]. 分布式驱动电动汽车搭载了先进的线控转向和线控驱动系统，具有驱动车轮转角/转矩独立控制的优势^[2-3]，为主动安全系统提供了硬件基础和控制平台，便于开发主动四轮转向（active four-wheel steering, AFWS）^[4]、直接横摆力矩控制（direct yaw moment control, DYC）^[5]和路径跟踪^[6-7]等先进控制策略. 然而，随着底盘控制系统数量的增加，不同执行器智能体之间的控制目标冲突、功能叠加等问题日渐突出. 如何协调多个主动安全子系统之间的工作，以提高分布式驱动电动汽车的操纵稳定性，已成为亟待解决的关键问题.

为了协调线控转向和驱动系统，Wu等^[8]建立基于主动前轮转向（active front steering, AFS）和DYC的分层协调控制策略. 为了实时获得车辆运动状态，Sun等^[9]建立非线性模糊观测器，在此基础上提出主动后轮转向（active rear steering, ARS）和DYC的协调控制方法，改善了车辆在极端条件下的操纵稳定性. 上述研究有效提高了车辆在危险工况下的操纵稳定性，但主要采用集成或分层控制策略来协调多个控制系统^[10-11]，并根据轮胎侧偏特性或相平面来划分不同控制器的工作区域，以解决不同稳定性控制系统之间存在的功能叠加问题. 然而，工作区域的划分不能充分地反映不同稳定性系统之间的相互作用. 动态博弈理论主要用于多智能体之间的冗余控制^[12-13]. Liang等^[14-15]建立基于Pareto合作博弈的AFS/DYC协调控制策略，将AFS和DYC分别定义为2个独立的博弈对象，共同提高车辆的侧向稳定性. Ji等^[16]应用Stackelberg主从博弈理论建立AFWS控制器. 针对驾驶人和AFS系统，Na等^[17]在人机共享转向控制系统中采用动态博弈控制理论，搭建基于非合作博弈的驾驶人/AFS转向交互模型. 然而，上述博弈模型通常只包括2个博弈对象，没有综合考虑AFS、ARS和DYC这3个系统之间的博弈关系. 因此，建立更为完善的混合博弈框架对于提高车辆操纵稳定性具有重要意义.

考虑到不同驾驶人具有不同的驾驶特性，而驾驶特性对车辆的操纵稳定性控制具有重要影响，Zhu等^[18]将驾驶人行为特性辨识策略与个性化转向辅助特性相结合，设计基于BP神经网络的个性化EPS控制器. 为了让车更适应人的驾驶习惯，宗长富等^[19]建立考虑不同驾驶风格的驾驶人理想特性稳定性控制参考模型. 然而，上述研究提出的考虑不同驾驶风格的稳定性控制参考模型是固定的，而同一名驾驶人在不同路面附着系数和车速下，对车辆的响应需求会有所不同. 本研究将驾驶人在不同路面附着系数、车速以及驾驶风格下对车辆响应的需求均纳入考虑范围.

根据以上分析，驾驶特性的差异使得驾驶人对车辆的行驶状态、车辆动力性控制系统的性能的预期产生差异，进一步地影响驾驶人对转向系统的操作. 因此，车辆横向稳定性控制研究需要综合考虑驾驶人的驾驶特性和各控制子系统的控制性能. 本研究将驾驶风格分为谨慎型、一般型和激进型，并根据驾驶人在环试验获得不同驾驶风格的驾驶人在不同车速、道路曲率和路面附着系数下的车辆稳定性因数；建立基于Stackelberg主从博弈和Pareto合作博弈的AFWS和DYC混合博弈控制模型，提高分布式驱动电动汽车的操纵稳定性.

针对分布式驱动电动汽车搭载的AFS、ARS和DYC系统，设计考虑驾驶风格的AFWS/DYC稳定性协调控制策略，整体结构如图1所示，包括上层、中层和下层控制器. 上层控制器由个性化参考模型和稳定性判断模块组成，用于计算理想横摆角速度$ {\omega _{{\text{r\_ref}}}} $和理想质心侧偏角$ {\beta _{{\text{ref}}}} $. 在中层控制器建立基于混合博弈理论的AFWS/DYC 横向稳定性控制器，包括AFS与ARS的合作博弈模型、DYC和AFWS的Stackelberg非合作博弈模型，用来决策前轮附加转角$\Delta {\delta _{\rm{f}}}$、后轮附加转角$\Delta {\delta _{\mathrm{r}}}$和附加横摆力矩$\Delta M$，并基于上层失稳度${S_{ {\text{ta}}}}$协调AFWS和DYC的控制权重. 下层控制器以轮胎负荷率最小化为目标，将中层决策的附加横摆力矩$\Delta M$分配到各驱动车轮^[20].

传统的稳定性控制参考模型根据驾驶人操纵信息以及车辆状态信息，采用拥有线性二自由度的车辆动力学模型计算理想的横摆角速度和质心侧偏角. 考虑到不同风格的驾驶人对稳定性控制的介入时机和对车辆响应的需求具有差异性，通过邀请不同驾驶风格的驾驶人进行在环试验，获取其所需的稳定性控制介入时机，以及在不同车速和路面附着系数下对车辆响应特性的需求. 建立考虑驾驶风格的个性化稳定性控制参考模型：

(1)$ {\omega _{{\text{r\_{\rm{style}}}}}} = \frac{{{v_x}/L}}{{1+{K_{\rm{style}}}v_x^2}}{\delta _{\rm{f}}}. $

式中：$ {\omega _{{\text{r\_{\rm{style}}}}}} $为考虑驾驶风格的横摆角速度，${v_x}$为车辆纵向速度，$L$为轴距，${K_{\rm{style}}}$为考虑驾驶风格的车辆稳定性因数，${\delta _{\rm{f}}}$为车辆前轮转角.

由于横摆角速度受轮胎与路面间附着力的限制，参考横摆角速度还需要满足

(2)$ \left|{\omega }_{\text{r\_ref}}\right|\leqslant \frac{\mu g}{{v}_{x}}. $

式中：$\mu $为路面附着系数，$g$为重力加速度.

综上，修正后的横摆角速度为

(3)$ \left. \begin{array}{ll} {\omega }_{\text{r\_ref}}={\omega }_{\text{r\_{\rm{style}}}},&\left|{\omega }_{\text{r\_{\rm{style}}}}\right|\leqslant \dfrac{\mu g}{{v}_{x}};\\ {\omega }_{\text{r\_ref}}=\left|{\omega }_{\mathrm{max}}\right|{\rm{sign}}\;({\omega }_{\text{r\_{\rm{style}}}}),&\left|{\omega }_{\text{r\_{\rm{style}}}}\right| > \dfrac{\mu g}{{v}_{x}}. \end{array}\right\} $

式中：$ {\omega _{\mathrm{max}}} $为最大横摆角速度，且$ {\omega _{\mathrm{max}}} = {{\mu g}}/{{{v_x}}} $；当$ {\omega }_{\text{r\_{\rm{style}}}}\,\geqslant \,\text{0} $时，函数 $ {\rm{sign}}\;(\,{\omega _{{\text{r\_{\rm{style}}}}}}\,) \,=\, 1 $，反之$ {\rm{sign}}\; ({\omega _{{\text{r\_{\rm{style}}}}}}) =$−1. 此外，参考质心侧偏角$\;\;{\beta _{{\mathrm{ref}}}} = 0$^[21].

通过PreScan、MATLAB/Simulink仿真软件和罗技G29驾驶模拟器搭建驾驶风格数据采集平台，如图2所示. 罗技G29驾驶模拟器的驾驶人操作输入主要包括方向盘和加速、制动踏板的操作. 方向盘配备双马达力反馈系统，旋转角度范围为0~900°；制动踏板采用非线性刹车踏板仿效压敏制动系统，能够满足基本的驾驶人操控力输入特性和角输入特性.

为了采集驾驶人在换道过程中的数据，招募拥有驾驶执照并且具有城市道路驾驶经验的驾驶人进行驾驶风格数据采集试验. 试验召集27名受试驾驶人，包括23名男性驾驶人和4名女性驾驶人. 总计进行19.6 h试验，共采集到7 058 171条数据，其中6位驾驶人的部分横摆角速度$(\omega_{\mathrm{r}} ) $数据如图3所示.

综合各种数据特征，将速度标准差X₁、横向加速度绝对值最大值X₂、横向加速度标准差X₃、方向盘转角绝对值平均值X₄和方向盘角速度绝对值平均值X₅作为驾驶风格特征指标进行聚类. 使用K-means算法将驾驶人分为谨慎型、一般型和激进型3类，聚类中心如表1所示，其中1为谨慎型，2为一般型，3为激进型. 聚类效果如图4所示.

同一名驾驶人在不同车速、道路曲率和路面附着系数下，对车辆的响应需求不同. 通过驾驶人在环试验获得不同驾驶风格的驾驶人在不同车速、道路曲率和路面附着系数下的车辆稳定性因数. 在驾驶人在环试验平台，设计小曲率半径与大曲率半径2种道路，如图5所示. 其中，大曲率半径道路是长度为85 m、半径为700 m的弯道，小曲率半径道路为双移线道路. 为了建立不同车速、不同路面附着系数等多种工况，将设置的路面附着系数和车速参数对$\left\{ {{v_x},\mu } \right\}$分为低、中、高3种情况，对应的车速分别为0~40、40~80和80~120 km/h，路面附着系数分别为0.3、0.5和0.8. 因此，对于2种曲率半径道路，一共包括18种试验工况. 驾驶人在环试验场景如图6所示.

根据驾驶风格分类结果邀请具有明显驾驶风格的驾驶人进行驾驶人在环试验，包括9名谨慎型驾驶人、6名一般型驾驶人和2名激进型驾驶人. 为了快速确定符合驾驶人期望的理想参考模型的车辆稳定性因数，在线性二自由度车辆动力学模型的基础上考虑驾驶风格，设定驾驶风格增益系数$G$，得到考虑驾驶风格的横摆角速度：

(4)$ \left.\begin{array}{l} {{\omega }_{\text{r}\_\text{style}}}=G{{\omega }_{\text{r}}}, \\{{\omega }_{\text{r}}}=\dfrac{{{v}_{x}}{{\delta }_{\text{f}}}}{L\left( 1+Kv_{x}^{2} \right)}. \end{array}\right\}$

式中：$ {\omega _{\text{r}}} $为横摆角速度，K为稳定性因数.

驾驶人在试验过程中通过直接修改驾驶风格增益系数来达到理想的车辆响应效果. 根据式(1)和(4)，得到考虑驾驶风格的稳定性因数：

(5)$ {K_{\rm{style}}} = \frac{{1+Kv_x^2}}{{Gv_x^2}} - \frac{1}{{v_x^2}}. $

每位驾驶人在每种工况下进行9次模拟驾驶试验（驾驶风格增益系数G从0.8至1.2每间隔0.05取值），在18种不同车速、路面附着系数及道路曲率的工况下总共完成162次试验. 驾驶人根据自身感受对不同增益系数进行评价，确定转向风格增益系数偏好，再根据该增益系数计算出对应的车辆稳定性系数. 由于激进型驾驶人较少，激进型驾驶人每人分别进行3轮试验，每次试验间隔1周进行，其他风格的驾驶人只进行1轮试验. 对试验结果进行处理，得到不同车速、路面附着系数及驾驶风格下的K_style数据，如图7所示.

为了准确判断当前车辆是否处于失稳状态，采用基于$\beta {\text{ - }}\omega $相平面的车辆稳定性判断方法. 采用双直线法对稳定域进行划分^[22]，稳定域边界可以表示为

(6)$ \left|{C}_{1}\beta +\omega \right|\leqslant {C}_{2}. $

式中：${C_1}$和${C_2}$为稳定域边界系数.

双直线法只能根据质心侧偏角进行稳定性划分，但是路面能够提供的附着力是有限的. 结合双直线法和最大横摆角速度限制可以得到稳定域边界，不同车速和路面附着系数下的边界系数如表2所示.

由表2可知，${C_1}$只与路面附着系数成正比关系，因此采用一元函数对${C_1}$与路面附着系数的变化关系进行拟合；${C_2}$与路面附着系数和车速均相关，因此采用二元函数对${C_2}$与路面附着系数和车速的变化关系进行拟合. 得到表征${C_1}$、${C_2}$、$\mu $及${v_x}$之间关系的方程：

(7)$ \left. \begin{split} {C_1} =& 4. 714{\mu ^3} - 11. 71{\mu ^2}+11. 51\mu - {\text{0}}{\text{.757 2}}, \\ {C_2} =& {\text{2}}{\text{.437}}\times 10^{-5} v_x^2 - 0. {\text{285 7}}{\mu ^2} - {\text{0}}{\text{.002 4}}{v_x}\mu- \\ & {\text{0}}{\text{.003 9}}{v_x}+{\text{0}}{\text{.975 9}}\mu +{\text{0}}{\text{.150 8}}. \\ \end{split} \right\} $

根据稳定性判断结果在AFWS与DYC之间进行切换. 为了使AFWS与DYC的控制权重实现线性变化，将稳定域边界内缩35%得到过渡域边界，最终将相平面划分为3部分，如图8所示，其中I区为稳定域，II区为过渡域，III区为失稳域.

采用基于相平面位置的车辆失稳程度指标${S_{ {\text{ta}}}}$来表征车辆稳定性程度，以自适应协调AFWS和DYC. 同时将相平面的过渡域划分为如图9所示的3部分. 图中，x表示车辆当前的相点位置，$ \Delta {\omega _{\mathrm{r}}}$、$\Delta {\beta _{{\mathrm{r}}}} $分别为Ⅱ区内车辆当前相点的实际横摆角速度和质心侧偏角偏差，$ \Delta {\omega _{\max }}$、$\Delta {\beta _{\max }}$分别为Ⅱ区内最大横摆角速度和最大质心侧偏角偏差。

当车辆状态处于Ⅰ区时，失稳程度指标为0，处于稳定状态；当车辆状态处于Ⅲ区时，失稳程度指标为1，车辆处于失稳状态. A区内${S_{ {\text{ta}}}}$取值以质心侧偏角为主，B区内${S_{ {\text{ta}}}}$取值以横摆角速度为主，C区中须同时考虑质心侧偏角及横摆角速度. 车辆失稳程度指标${S_{ {\text{ta}}}}$表示为

(8)$ {S}_{ \text{ta}}=\left\{\begin{array}{ll} \text{0}\text{，}& {\text{I}}区;\\ \mathrm{min}\left(\dfrac{\Delta {\omega }_{{\mathrm{r}}}}{\Delta {\omega }_{\mathrm{max}}},\dfrac{\Delta {\beta }_{\text{r}}}{\Delta {\beta }_{\mathrm{max}}}\right)\text{，}& {\text{II}}区;\\ 1,& {\text{III}}区. \end{array} \right. $

在小转角和轮胎线性区域内，线性二自由度（2 degrees of freedom, 2DOF）车辆动力学模型可以良好地反映车辆的转向响应特性，因此只考虑车辆的侧向和横摆运动对行驶稳定性的影响. 二自由度车辆动力学模型如图10所示.

线性2DOF车辆动力学状态方程为

(9)$ \left. \begin{split} {{\dot {\boldsymbol{x}}}_0} =& {{\boldsymbol{A}}_0}{{\boldsymbol{x}}_0}+{{\boldsymbol{B}}_{01}}\Delta M+{{\boldsymbol{B}}_{02}}\Delta {\delta _{\rm{f}}}+\\ &{{\boldsymbol{B}}_{03}}\Delta {\delta _{\mathrm{r}}}+{{\boldsymbol{B}}_{04}}{\delta _{\rm{f}}}, \\ {\boldsymbol{Y}} =& {{\boldsymbol{C}}_1}{{\boldsymbol{x}}_0}. \\ \end{split} \right\} $

式中：系统状态变量$ {{\boldsymbol{x}}_0} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \beta ,{{\omega _{\text{r}}}} \end{array}} \right]^{\text{T}}}, $

${{\boldsymbol{A}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\dfrac{{{k_{\text{f}}}+{k_{\text{r}}}}}{{mu}}}&{2\dfrac{{a{k_{\text{f}}} - b{k_{\text{r}}}}}{{m{u^2}}} - 1} \\ {2\dfrac{{a{k_{\text{f}}} - b{k_{\text{r}}}}}{{{I_z}}}}&{2\dfrac{{{a^2}{k_{\text{f}}}+{b^2}{k_{\text{r}}}}}{{{I_z}u}}} \end{array}} \right],{{\boldsymbol{B}}_{01}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\dfrac{1}{{{I_z}}}} \end{array}} \right],$

${{\boldsymbol{B}}_{02}} = {{\boldsymbol{B}}_{04}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2\dfrac{{{k_{\text{f}}}}}{{mu}}} \\ { - 2\dfrac{{a{k_{\text{f}}}}}{{{I_z}}}} \end{array}} \right],\;\;\;{{\boldsymbol{B}}_{03}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2\dfrac{{{k_{\text{r}}}}}{{mu}}} \\ { - 2\dfrac{{a{k_{\text{r}}}}}{{{I_z}}}} \end{array}} \right],$

${{\boldsymbol{{\boldsymbol{C}}}}_1} = {\mathrm{diag}}\;(1,1).$

其中， $\beta $为车辆质心侧偏角，$m$为车辆质量，${I_z}$为车辆绕z轴的转动惯量，$a$和 $b$分别为车辆质心到前轴和后轴的距离， $ {k}_{{\mathrm{f}}}、{k}_{{\mathrm{r}}} $为前、后车轮的轮胎侧偏刚度.

采用前向欧拉法，忽略高阶项可得离散化的车辆模型：

(10)$ \left. \begin{split} &{\boldsymbol{x}}(k+1) = {\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{x}}(k)+{{\boldsymbol{B}}_1}\Delta M+ {{\boldsymbol{B}}_2}\Delta {\delta _{\rm{f}}}+\\ &\quad\quad\quad\;\;\;\;\;{{\boldsymbol{B}}_3}\Delta {\delta _{\mathrm{r}}}+{{\boldsymbol{B}}_4}{\delta _{\rm{f}}}, \\ &{{\boldsymbol{y}}^{(j)}}(k) = {{\boldsymbol{{\boldsymbol{C}}}}^{(j)}}{\boldsymbol{x}}{(k)}. \\ \end{split} \right\} $

式中：k表示第k个采样时刻；${\boldsymbol{x}}(k+1) = {{\boldsymbol{x}}_0}(k+1);$系数矩阵$ {\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{I}}+{{\boldsymbol{A}}_0}{T_{\text{s}}}, $其中${T_{\text{s}}}$为离散模型的采样间隔，${\boldsymbol{I}}$为单位矩阵；系数矩阵${{\boldsymbol{B}}_1} = {{\boldsymbol{B}}_{01}}{T_{\text{s}}}$，${{\boldsymbol{B}}_2} = {{\boldsymbol{B}}_{02}}{T_{\text{s}}}$，${{\boldsymbol{B}}_3} = {{\boldsymbol{B}}_{03}}{T_{\text{s}}}$，${{\boldsymbol{B}}_4} = {{\boldsymbol{B}}_{04}}{T_{\text{s}}}$；$j \in \left\{ {1,2} \right\}$表示系统输出. 当$j = 1$时，${{\boldsymbol{C}}^{(1)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right]$，$ {{\boldsymbol{y}}^{(1)}}(k) = {[\beta ,\gamma ]^{\text{T}}} $，表示领导者进行车辆稳定性控制时的输出；当$j = 2$时，${{\boldsymbol{C}}^{(2)}} = {{\boldsymbol{C}}^{(1)}}$，$ {{\boldsymbol{y}}^{(2)}}(k) = {{\boldsymbol{y}}^{(1)}}(k) $，表示跟随者进行车辆稳定性控制时的输出.

本研究设计的基于混合博弈理论的控制器框架如图1所示. DYC在轮胎处于非线性区域时仍能较好地控制车辆稳定性，且工作区域更大，因此，构建AFWS与DYC的非合作的Stackelberg主从博弈模型. 将DYC作为领导者，追随稳定性控制目标${\boldsymbol{y}}_{{\text{des}}}^{(1)}$，并且将AFS与ARS建模为主从博弈的2个跟随者，共同追随稳定性控制目标${\boldsymbol{y}}_{{\text{des}}}^{(2)}$. 由于AFS与ARS有相同的控制目标，可以将AFS与ARS建模为合作博弈.

在基于分布式模型预测控制的博弈方法中，预测方程不仅用于预测系统未来的输出状态，而且为博弈参与者之间的信息交流提供基础. 假设车辆的状态矩阵在模型预测控制的滚动域中保持不变，在预测时域$N$下的系统预测方程为

(11)$ \begin{split} {{\boldsymbol{Y}}^{(j)}}(k) =& {{\boldsymbol{A}}^{(j)}}{\boldsymbol{x}}(k)+{\boldsymbol{B}}_1^{(j)}{{\boldsymbol{U}}_1}(k)+{\boldsymbol{B}}_2^{(j)}{{\boldsymbol{U}}_2}(k)+ \\ & {\boldsymbol{B}}_3^{(j)}{{\boldsymbol{U}}_3}(k)+{\boldsymbol{B}}_4^{(j)}{\boldsymbol{W}}(k). \\ \end{split} $

式中：${{\boldsymbol{Y}}^{(j)}}(k) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^{(j)}}(k+1\left| k \right. )} \\ {{y^{(j)}}(k+2\left| k \right. )} \\ \vdots \\ {{y^{(j)}}(k+N\left| k \right. )} \end{array}} \right],\; {{\boldsymbol{U}}_i}(k) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_i}(k\left| k \right. )} \\ {{u_i}(k+1\left| k \right. )} \\ \vdots \\ {{u_i}(k+N - 1\left| k \right. )} \end{array}} \right]$，$ {\boldsymbol{B}}_n^{(j)} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{C}}^{(j)}}{{\boldsymbol{B}}_n}}&{\boldsymbol{0}}& \cdots &{\boldsymbol{0}} \\ {{{\boldsymbol{C}}^{(j)}}{\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{B}}_n}}&{{{\boldsymbol{C}}^{(j)}}{{\boldsymbol{B}}_n}}& \cdots &{\boldsymbol{0}} \\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{{\boldsymbol{C}}^{(j)}}{{\boldsymbol{A}}^{N - 1}}{{\boldsymbol{B}}_n}}&{{{\boldsymbol{C}}^{(j)}}{{\boldsymbol{A}}^{N - 2}}{{\boldsymbol{B}}_n}}& \cdots &{{{\boldsymbol{C}}^{(j)}}{{\boldsymbol{B}}_n}} \end{array}} \right]$，$n \in \{ 1,2,3,4\} ,$${\boldsymbol{W}} = \left[ {{\delta _{\rm{f}}},{\delta _{\rm{f}}}, \cdots ,{\delta _{\rm{f}}}} \right]_{1 \times N}^{\text{T}}$.

其中${{{u}}_i}$为控制输入${\boldsymbol{u}} = {[\Delta M,\Delta {\delta _{\rm{f}}},\Delta {\delta _{\mathrm{r}}}]^{\text{T}}}$中第$i$个元素.

由于AFS与ARS追求相同的横向稳定性控制目标，且有相同的工作区域，采用基于分布式模型预测控制的合作博弈框架来表示2个系统的交互. 参与者的个体利益目标被定义为追求自身状态与目标之间的误差最小化，同时追求自身输出的最小化，因此采用二次型成本函数表示参与者的个体利益：

(12)$\begin{split} {{{J}}}_{i}=&{\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\Bigg\{{\left[{\boldsymbol{y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k)-{\boldsymbol{y}}^{(2)}(k+j)\right]}^{\text{T}}{{\boldsymbol{Q}}}_{i}\Big[{\boldsymbol{y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k)-}\\&{\boldsymbol{y}}^{(2)}(k+j)\Big]^{\mathrm{T}}\Bigg\}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\Bigg\{{{\boldsymbol{r}}}_{i}\left[{{\boldsymbol{u}}}^{2}(k+j-1)\right]\Bigg\}}=\\ &{\Vert {{\boldsymbol{Y}}}_{\rm{des}}^{(2)}(k)-{{\boldsymbol{Y}}}^{(2)}(k)\Vert }_{{{\boldsymbol{Q}}}_{i}^{\text{MPC}}}^{2}+{\Vert {{\boldsymbol{U}}}_{i}(k)\Vert }_{{{\boldsymbol{R}}}_{i}^{\text{MPC}}}^{2}\;;\\&i\in \left\{2,3\right\}.\end{split} $

式中：$ {\boldsymbol{Y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k\left| k \right. )} \\ \vdots \\ {{\boldsymbol{y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k\left| k \right. )} \end{array}} \right]_{N \times 1}}$， $ {{\boldsymbol{Q}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q^\beta }}&0 \\ 0&{{q^{{\omega _{\text{r}}}}}} \end{array}} \right] $，${\boldsymbol{Q}}_i^{{\text{MPC}}}$=diag [Q_i, Q_i,···, Q_i ]_N×N，${\boldsymbol{R}}_i^{{\text{MPC}}} $=diag [r_i, r_i, ···, r_i]_N×N，其中，$ {q^\beta } $、$ {q^{{\omega _{\text{r}}}}} $分别为状态变量质心侧偏角和横摆角速度的权重，${{\boldsymbol{r}}_i}$为参与者的控制输出权重. $ {\boldsymbol{y}}_{{\text{des}}}^{{\text{(2)}}}(k) = {\left( {{\beta ^{{\text{des}}}},\omega _{\mathrm{r}}^{{\mathrm{des}}}} \right)^{\text{T}}}, $${\beta ^{{\text{des}}}}$和$ \omega _{\mathrm{r}}^{{\mathrm{des}}} $可由理想状态参考模型得到.

在合作博弈中，采用权重相加的方法实现各参与者的目标全局共享. 各参与者效益指标的成本函数为

(13)$ {{{J}}_{{\text{CG}}\_i}} = \sum\limits_{i = 2}^3 {{\lambda _i}{{{J}}_i}} = \left\| {{\boldsymbol{Y}}_{{\text{des}}}^{{\text{(2)}}}(k) - {{\boldsymbol{Y}}^{(2)}}(k)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^{\text{2}}+\left\| {{{\boldsymbol{U}}_i}(k)} \right\|_{{{\boldsymbol{R}}_i}}^2. $

式中：${\lambda _i}$为参与者成本函数的权重系数，${\lambda _i} > 0$，且$\sum \lambda _i= 1 $；${\boldsymbol{Q}} = \sum\limits_{i = 2}^3 {{\lambda _i}{\boldsymbol{Q}}_i^{{\text{MPC}}}} $，${{\boldsymbol{R}}_i} = \sum\limits_{i = 2}^3 {{\lambda _i}{\boldsymbol{R}}_i^{{\text{MPC}}}} $.

同时，参与者的成本函数受到式(11)的约束. 求解如下所示的优化问题即可得到合作博弈的Pareto解：

(14)$ \begin{split} \min \;{{{J}}_{{\text{CG}}\_i}} = &\left\| {{\boldsymbol{Y}}_{{\text{des}}}^{{\text{(2)}}}(k) - {{\boldsymbol{Y}}^{(2)}}(k)} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^{\text{2}}+\;\left\| {{{\boldsymbol{U}}_i}(k)} \right\|_{{{\boldsymbol{R}}_i}}^2. \\ {\mathrm{s}}. {\mathrm{t}}. {\text{ }}{{\boldsymbol{Y}}^{(2)}}(k) =& {{\boldsymbol{A}}^{(2)}}{\boldsymbol{x}}(k)+{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}{{\boldsymbol{U}}_1}(k)+{\boldsymbol{B}}_2^{(2)}{{\boldsymbol{U}}_2}(k)+ \\ &{\boldsymbol{B}}_3^{(2)}{{\boldsymbol{U}}_3}(k)+{\boldsymbol{B}}_4^{(2)}{\boldsymbol{W}}(k).\end{split} $

通过终端等式约束方法证明系统稳定性，同时根据系统预测方程式(11)，定义：

(15)$ \begin{split} {{\boldsymbol{\theta}} _i} =& {\boldsymbol{Y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k) - {{\boldsymbol{A}}^{(2)}}{\boldsymbol{x}}(k) - {\boldsymbol{B}}_1^{(2)}{{\boldsymbol{U}}_1}(k)- \\& {\boldsymbol{B}}_2^{(2)}{{\boldsymbol{U}}_2}(k) - {\boldsymbol{B}}_3^{(2)}{{\boldsymbol{U}}_3}(k) - {\boldsymbol{B}}_4^{(2)}{\boldsymbol{W}}. \end{split} $

优化式(14)，可以将其转化为最小二乘问题：

(16)$ \mathop {\min }\limits_{{{\boldsymbol{U}}_i}} \;{{{J}}_{{\text{CG}}\_i}} = {\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{Q}}}[ - {\boldsymbol{B}}_i^{(2)}{{\boldsymbol{U}}_i}(k)+{{\boldsymbol{\theta}} _i}] } \\ {{{\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{R}}_i}}{{\boldsymbol{U}}_i}(k)} \end{array}} \right\|^2}. $

式中：${\boldsymbol{Q}} = {\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{Q}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{Q}}},$${{\boldsymbol{R}}_i} = {\boldsymbol{S}}_{{{\boldsymbol{R}}_i}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{S}}_{{{\boldsymbol{R}}_i}}}$，${{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{Q}}}$、${{\boldsymbol{S}}_{{{\boldsymbol{R}}_i}}}$分别表示权重矩阵${\boldsymbol{Q}}$和${{\boldsymbol{R}}_i}$分解后的矩阵.

可以得到上述问题的最优解为

(17)$ \left.\begin{array}{l} {\boldsymbol{U}}_i^ * (k) = {{\boldsymbol{L}}_i}{{\boldsymbol{\theta}} _i},\\{{\boldsymbol{L}}_i} = {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{Q}}}{\boldsymbol{B}}_i^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{S}}_{{{\boldsymbol{R}}_i}}}} \end{array}} \right]}& {\rlap{---} Ｗ} &{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{Q}}}} \\ {\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]} \end{array}} .\end{array}\right\}$

式中：${\rlap{---} Ｗ} $为MATLAB中QR算法的运算符.

将式(15)代入式(17)可以得到AFS与ARS的解为

(18)$ \begin{split} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{U}}_2^ * (k)} \\ {{\boldsymbol{U}}_3^ * (k)} \end{array}} \right] =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\boldsymbol{L}}_2}{{\boldsymbol{A}}^{(2)}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{L}}_3}{{\boldsymbol{A}}^{(2)}}} \end{array}} \right]\left( {{\boldsymbol{E}} \otimes {\boldsymbol{x}}(k)} \right) - \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{B}}_3^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{B}}_2^{(2)}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_3}(k)} \\ {{{\boldsymbol{U}}_2}(k)} \end{array}} \right] - \\&\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \end{array}} \right]{{\boldsymbol{U}}_1}(k)+{{\boldsymbol{Z}}}. \end{split} $

式中：$ \otimes $为克罗内克乘积符号，${\boldsymbol{E}} = {\left[ {1,{\text{ 1}}} \right]^{\text{T}}}$，${ {\boldsymbol{Z}}} =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{Y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k)} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{Y}}_{\rm{des}}^{(2)}(k)} \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{B}}_4^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{B}}_4^{(2)}} \end{array}} \right]{\delta _{\rm{f}}}$.

由式(18)可知，第$i$个参与者的最优策略${\boldsymbol{U}}_2^* (k) $不仅与领导者的策略${{\boldsymbol{U}}_1}(k)$有关，还与其他参与者的策略${\boldsymbol{U}}_3^ * (k)$有关. 参与者之间的策略交互导致了耦合优化问题，因此为了求得Pareto解，引入辅助方程：

(19)$ {{\boldsymbol{U}}_i}{(k)^{[n+1]}} = {\omega _i}{\boldsymbol{U}}_i^ * {(k)^{[n]}}+(1 - {\omega _i}){{\boldsymbol{U}}_i}{(k)^{[n]}}. $

式中：$i \in \left\{ {2,3} \right\}$表示AFS与ARS的迭代权重，满足$0 < {\omega _i} < 1.0$，且$\sum {{\omega _i} = 1} $；$n$为迭代步数.

随着$ n $的增加，最终$ n+1 = n \to \infty $，此时式(18)可以写为

(20)$ \begin{split} &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_2}{{(k)}^{( \infty )}}} \\ {{{\boldsymbol{U}}_3}{{(k)}^{( \infty )}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _2}{\boldsymbol{I}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{\omega _3}{\boldsymbol{I}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{U}}_2^ * {{(k)}^{(\infty )}}} \\ {{\boldsymbol{U}}_3^ * {{(k)}^{(\infty )}}} \end{array}} \right]{\text+} \\ &\quad\quad\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {\omega _2}} & {\text{0}} \\ {\text{0}} & {1 - {\omega _3}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_2}{{(k)}^{(\infty )}}} \\ {{{\boldsymbol{U}}_3}{{(k)}^{( \infty )}}} \end{array}} \right]. \end{split}$

将$n \to \infty $时的式(18)代入式(20)可求出该耦合优化问题的解：

(21)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{U}}_2^ * (k)} \\ {{\boldsymbol{U}}_3^ * (k)} \end{array}} \right] = {{\boldsymbol{K}}_1}\left( {{\boldsymbol{E}} \otimes {\boldsymbol{x}}(k)} \right) + {\boldsymbol{K}}_2^{ - 1}{{\boldsymbol{Z}}} - {\boldsymbol{K}}_2^{ - 1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \end{array}} \right]{{\boldsymbol{U}}_1}(k)\;. $

式中：

$ {{\boldsymbol{K}}_1} = {\boldsymbol{K}}_2^{ - 1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\boldsymbol{L}}_2}{{\boldsymbol{A}}^{(2)}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{L}}_3}{{\boldsymbol{A}}^{(2)}}} \end{array}} \right],{{\boldsymbol{K}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{1}}&{{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{B}}_3^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{B}}_2^{(2)}}&{\boldsymbol{1}} \end{array}} \right]. $

结果是收敛的，最优解中的${\omega _i}$近似为1. 式(21)即为跟随者AFS与ARS在$k$时刻对领导者DYC控制输入${{\boldsymbol{U}}_1}(k)$的最优响应.

DYC作为领导者，考虑跟随者的策略，将式(21)代入式(11)，整理后可得其预测方程：

(22)$ {{\boldsymbol{Y}}^{(1)}}(k) = {\boldsymbol{\varLambda}} {\boldsymbol{X}}(k)+{\boldsymbol{\varOmega}} {{\boldsymbol{U}}_1}(k)+{\boldsymbol{\varUpsilon}} . $

式中：

$ \begin{split} &{\boldsymbol{X}}(k) = {\left[ {{\boldsymbol{x}}(k),{\boldsymbol{x}}(k)} \right]^{\text{T}}},\;{\boldsymbol{\varLambda}} = \left[ {{{\boldsymbol{A}}^{(1)}},\left[ {{\boldsymbol{B}}_2^{(1)},{\boldsymbol{B}}_3^{(1)}} \right]{{\boldsymbol{K}}_1}} \right],\\&{\boldsymbol{\varOmega}} = {\boldsymbol{B}}_1^{({\text{1}})} - \left[ {{\boldsymbol{B}}_2^{(1)},{\boldsymbol{B}}_3^{(1)}} \right]{\boldsymbol{K}}_2^{ - 1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \end{array}} \right],\\&{\boldsymbol{\varUpsilon}} = \left[ {{\boldsymbol{B}}_2^{(1)},{\boldsymbol{B}}_3^{(1)}} \right]{{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{Z}}}+{\boldsymbol{B}}_4^{(1)}{\delta _{\rm{f}}}. \end{split}$

构建领导者DYC的成本函数，并写为线性二次型形式：

(23)$ {J_1} = \left\| {{\boldsymbol{Y}}_{\rm{des}}^{(1)}(k) - {{\boldsymbol{Y}}^{(1)}}(k)} \right\|_{{\boldsymbol{Q}}_1^{{\text{MPC}}}}^2+\left\| {{{\boldsymbol{U}}_1}(k)} \right\|_{{\boldsymbol{R}}_i^{{\text{MPC}}}}^{\text{2}}. $

式中：${{\boldsymbol{Q}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q_1^\beta }&0 \\ 0&{q_1^\gamma } \end{array}} \right]$，其中$q_1^\beta = 1$，$q_1^\gamma = 10$；${\boldsymbol{Q}}_3^{{\text{MPC}}}$=diag [Q₁, Q₁,···, Q₁ ]_N×N，${\boldsymbol{R}}_i^{{\text{MPC}}} $=diag [r₁, r₁, ···, r₁]_N×N.

参考跟随者，根据预测方程(22)定义:

(24)$ {{\boldsymbol{\theta}} _1} = {\boldsymbol{Y}}_{\rm{des}}^{(1)}(k) - {\boldsymbol{\varLambda X}}(k) - {\boldsymbol{\varUpsilon}} . $

领导者优化问题转化为最小二乘问题，得到

(25)$ \left.\begin{split} &{\boldsymbol{U}}_1^ * (k) = {{\boldsymbol{L}}_1}{{\boldsymbol{\theta}} _1}\;,\\&{{\boldsymbol{L}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{Q}}_1^{{\text{MPC}}}}}{\boldsymbol{\varOmega}} } \\ {{{\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{R}}_1^{{\text{MPC}}}}}} \end{array}} \right] {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{Q}}_1^{{\text{MPC}}}}}} \\ {\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]^{ - 1}}.\end{split}\right\}$

将式(25)代入跟随者的最优解式(21)，可得到跟随者的解：

(26)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{U}}_2^ * (k)} \\ {{\boldsymbol{U}}_3^ * (k)} \end{array}} \right] = {{\boldsymbol{K}}_1}\left( {{\boldsymbol{E}} \otimes {\boldsymbol{x}}(k)} \right) - {\boldsymbol{K}}_2^{ - 1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{L}}_2}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \\ {{{\boldsymbol{L}}_3}{\boldsymbol{B}}_1^{(2)}} \end{array}} \right]{{\boldsymbol{L}}_1}{{\boldsymbol{\theta}} _1}+{\boldsymbol{K}}_2^{ - 1}{{\boldsymbol{Z}}}. $

根据车辆失稳程度指标${S_{ {\text{ta}}}}$协调控制器中领导者与跟随者的控制输出权重矩阵，从而协调领导者与跟随者的控制效果.

根据Sigmoid函数，建立参数$L$如下：

(27)$ L = 1 - \frac{1}{{1+{{\mathrm{e}}^{12({S_{ {\text{ta}}}} - 0. 5)}}}}. $

领导者与跟随者的控制输出权重R₁、R₂、R₃为

(28)$ \begin{gathered} {R_1} = {10^{-\left( {5{\text+}4L} \right)}},\; {R_2} = 10+140L,\; {R_3} = {R_2}. \end{gathered} $

控制输出权重R₁、R₂、R₃随失稳程度指标的变化曲线如图11所示，随着车辆在Ⅱ区内逐渐从稳定状态向失稳边界靠近，$L$从0不断增大至1.0，R₁随之减小，R₂、R₃随之增大，从而使AFS与ARS的控制输出不断减小，DYC的控制输出不断增大.

下层控制器将附加转角作用于转向车轮，同时考虑路面附着情况、附加纵向合力以及电机的最大转矩，以轮胎负荷率最小为目标，基于最优化方式将附加横摆力矩转化为轮胎纵向力分配到各车轮.

维持车辆稳定的附加横摆力矩需要转化为驱动车轮的纵向力. 为了更合理地利用车轮的纵向附着力，以车辆各轮胎负荷率平方之和最小作为优化目标，定义目标函数：

(29)$ \min \;J = \sum\limits_{m = 1}^4 {\frac{{F_{xm}^2}}{{{{(\mu {F_{zm}})}^2}}}} . $

式中：${F_{xm}}$、${F_{zm}}$表示车轮的纵向力和垂向载荷；$m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}$，其中$ 1、2、3、4 $分别表示左前轮、右前轮、左后轮和右后轮.

附加横摆力矩的分配策略应保证目标车速的维持，同时产生维持车辆稳定性的附加横摆力矩，即

(30)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{d}{2}({F_{x1}} - {F_{x2}})\cos {\delta _{{\mathrm{f}}}}+\dfrac{d}{2}({F_{x3}} - {F_{x4}}) = \Delta M,} \\ {({F_{x1}}+{F_{x2}})\cos {\delta _{{\mathrm{f}}}}+({F_{x3}}+{F_{x4}}) = \dfrac{{{T_{{\text{all}}}}}}{r}. } \end{array}} \right\} $

式中：${T_{{\text{all}}}}$为总的驱动力矩，r为车轮半径.

　　（a）附着条件约束.

由于路面能提供的附着力是有限的，轮胎纵向力受路面附着的约束，即

(31)$ \left|{F}_{xm}\right|\leqslant \mu {F}_{zm}. $

（b）电机最大转矩约束.

电机存在最大转矩限制，因此在计算车轮纵向力时也需要将该因素考虑在内，即：

(32)$ \left|{F}_{xm}\right|\leqslant \frac{{T}_{\mathrm{max}}}{r}. $

式中：${T_{\max }}$为电机最大转矩，$r$为车轮半径.

附加横摆力矩分配转化为优化问题：

(33)$ \left.\begin{array}{l}\mathrm{min}\;J={\displaystyle \sum _{m=1}^{4}\frac{{F}_{xm}^{2}}{{(\mu {F}_{zm})}^{2}}; }\\ \text{s}\text{. t}. \quad {\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{X}}={\boldsymbol{B}},\\ \quad\quad\;\;\left|{F}_{xm}\right|\leqslant \mu {F}_{zm},\\ \quad\quad\;\;\left|{F}_{xm}\right|\leqslant \dfrac{{T}_{\mathrm{max}}}{r}. \end{array}\right\} $

式中：

$ \begin{split} {\boldsymbol{A}} =& {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {(d/2)\cos \;{\delta _{{\mathrm{f}}}}}&{\cos \;{\delta _{{\mathrm{f}}}}} \\ { - (d/2)\cos \;{\delta _{{\mathrm{f}}}}}&{\cos\; {\delta _{{\mathrm{f}}}}} \\ {d/2}&1 \\ { - d/2}&1 \end{array}} \right]^{\text{T}}} \text{，} {\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{x1}}} \\ {{F_{x2}}} \\ {{F_{x3}}} \\ {{F_{x4}}} \end{array}} \right] \text{，} \\{\boldsymbol{B}} =& {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta M},\;{{T_{{\text{all}}}}/r} \end{array}} \right]^{\text{T}}} .\end{split} $

在CarSim/Simulink联合仿真平台上分别设置驾驶人开环试验及在环试验，对考虑驾驶风格的AFWS/DYC稳定性协调控制策略进行验证. 车辆参数如表3所示. 驾驶人开环试验采用增幅正弦工况，车速为60 km/h，路面附着系数为0.3.方向盘转角的幅值在15 s内由20°增加至100°，如图12所示.

在CarSim/Simulink平台输入车辆参数和工况参数后，得到开环试验仿真结果，如图13所示. 由图13(a)可知，稳定性控制器介入后车辆的横向位移$(Y) $大于未施加控制的车辆，而采用激进型、一般型与谨慎型参考模型的车辆的横向位移依次减小. 由图13(b)可知，在相同方向盘转角输入下参考模型能够输出不同的参考横摆角速度. 当驾驶风格为激进型、一般型和谨慎型时，输出的参考横摆角速度依次减小；随着时间的增加，车辆参考横摆角速度在达到路面所能提供的最大横摆角速度后不再增大. 由图13(c)可知，在前3.0 s内，未施加控制的车辆横摆角速度最小，为8.11°/s，而在稳定性控制器的控制下，使用激进型、一般型和谨慎型参考模型车辆的最大横摆角速度分别为9.89°/s，9.59°/s和9.19°/s. 由图13(d)可知，随着时间的增加，车辆的最大侧向加速度(a_y)随之增大. 由图13(e)可知，在时间1.5 s左右，由于施加控制的车辆会跟踪理想横摆角速度，质心侧偏角相较于未控制时稍大，但是仍被控制在较小范围，最大为1.00°左右. 随着时间的增加，未施加控制车辆的质心侧偏角增大，在12.0 s左右达到最大值2.06°，而施加控制后的最大质心侧偏角为1.18°，降低了42.7%，且谨慎型和激进型驾驶风格车辆的质心侧偏角分别为最小和最大. 不同参考模型下最大横摆角速度$ {\omega _{{\text{max}}}} $、最大质心侧偏角$ {\beta _{{\text{max}}}} $、横摆角速度标准差$ {\sigma _\omega } $和质心侧偏角标准差$ {\sigma _\beta } $如表4所示. 仿真结果表明，本研究设计的控制策略能够提高车辆横向稳定性，并且满足不同风格驾驶人的响应需求.

基于CarSim、Simulink和罗技G29搭建如图14所示的驾驶人在环试验平台，进行驾驶人在环试验. 采用双移线工况进行试验，分为中速、低附着和高速、高附着2种工况.

在中速、低附着工况下，$\mu = 0. 3$，${v_x}$=70 km/h. 根据驾驶风格在线辨识结果选出3名不同驾驶风格的驾驶人，其在环试验结果如图15所示. 由图15(a)可知，3名驾驶人均能完成双移线工况下的试验. 车辆在第1次向左换道时，未施加稳定性控制的车辆的横向位移更大，最大位移达到3.74 m. 施加控制后，最大横向位移为3.23 m，减小了13.6 %，说明施加控制后，驾驶人可以更好地控制车辆跟踪理想轨迹. 由图15(b)可知，激进型驾驶人在驾驶车辆时，无论是否施加稳定性控制，方向盘转角均大于其他风格驾驶人的方向盘转角，且激进型驾驶人在前8.0~10.0 s，当使用未施加稳定性控制的车辆向右换道时车辆失稳，方向盘转角出现波动，而在施加稳定性控制后方向盘转角没有出现波动，说明控制器有效提升了车辆的横向稳定性. 将驾驶人方向盘转角积分作为驾驶人负担，谨慎型、一般型和激进型驾驶人在施加稳定性控制前、后方向盘转角的积分值分别为2.56×10⁴和1.85×10⁴，2.59×10⁴和2.40×10⁴以及2.70×10⁴和2.39×10⁴，说明在施加稳定性控制后，所有驾驶人的驾驶负担均减小. 由图15(c)可知，在施加控制后，激进型、一般型和谨慎型驾驶人所控制车辆的横摆角速度最大值分别从20.64°/s、11.15°/s和10.73°/s降至9.83°/s、6.21°/s和6.76°/s，分别减小了52.4%、44.3%和37.0%. 由图15(d)可知，在施加稳定性控制后，不同风格驾驶人所驾驶车辆的质心侧偏角分别从4.73°、2.31°和2.25°降低至1.22°、0.61°和0.60°. 仿真结果说明本研究设计的考虑驾驶风格的AFWS/DYC稳定性协调控制策略能够有效提升车辆的稳定性. 不同驾驶人驾驶的车辆在施加稳定性控制前、后状态量最大值如表5所示. 表中， $ {\delta _{{\text{max}}}} $为方向盘转角最大值.

在高速、高附着工况下，$\mu = 0. {\text{8}}$，${v_x}$=100 km/h. 试验结果如图16所示. 由图16(a)可知，3名驾驶人在试验中均能够完成双移线工况. 由图16(b)可知，当激进型驾驶人驾驶车辆时，方向盘转角均大于其他风格驾驶人的方向盘转角. 将驾驶人方向盘转角积分作为驾驶人负担，谨慎型、一般型和激进型驾驶人在施加稳定性控制前、后方向盘转角的积分值分别为1.86×10⁴和1.30×10⁴，2.10×10⁴和1.64×10⁴以及2.83×10⁴和2.13×10⁴，说明在施加稳定性控制后，所有驾驶人的驾驶负担均减小. 由图16(c)可知，在施加控制后，激进型、一般型和谨慎型驾驶人所控制车辆的横摆角速度最大值分别从20.64°/s、11.15°/s和10.73°/s降低至9.83°/s、6.21°/s和6.76°/s，分别减小了52.4%、44.3%和37.0%. 由图16(d)可知，在施加稳定性控制后，不同风格驾驶人所驾驶车辆的质心侧偏角分别从4.73°、2.31°和2.25°降低至1.22°、0.61°和0.60°. 仿真结果说明设计的协调控制策略能够改进车辆的操纵稳定性. 施加稳定性控制前、后的状态量最大值如表6所示.

为了改善分布式驱动电动汽车的操纵稳定性，并考虑不同驾驶人的驾驶风格，开展了考虑驾驶风格的AFWS/DYC稳定性协调控制策略研究，主要特点如下.

（1）通过邀请不同驾驶风格的驾驶人进行在环试验，分析不同驾驶风格驾驶人在不同车速以及路面附着系数下对车辆响应的差异化需求，从而建立了考虑驾驶风格的个性化稳定性控制参考模型.

（2）在驾驶风格在线辨识和考虑驾驶风格的个性化稳定性控制参考模型研究的基础上，设计了基于博弈理论的个性化AFWS/DYC横向稳定性控制器. 采用分层控制策略，其中上层控制器由考虑驾驶风格的个性化稳定性控制参考模型和基于$\beta$-$ \omega $相平面的车辆稳定性判断模型组成. 在中层建立AFS与ARS合作博弈模型和AFWS/DYC主从博弈模型，决策出前、后轮附加转角及附加横摆力矩. 下层控制器以轮胎负荷率最小化为目标，以路面附着和电机最大转矩为约束，将附加横摆力矩分配到各车轮，同时将附加转角作用于转向车轮. 通过驾驶人开环试验及驾驶人在环试验，验证了本研究设计的考虑驾驶风格的AFWS/DYC稳定性协调控制策略在不同车辆稳定状态下的有效性.