随着中国核电发电量不断提升，需要处理的乏燃料量不断增大. 为了满足乏燃料后处理的需求，亟需适用于核工业核辐射环境下的各类操作机器人. 在核工业中，应用较多的是全齿轮耦合机器人^[1-2]. 将全齿轮机器人驱动伺服电机集中放置于机器人上端且在屏蔽室外，这样能够使得电机免于遭受核辐射的影响，保证机器人长时间稳定运行. 全齿轮机器人各轴采用多级齿轮传动将动力传递至各个关节，由于齿轮传动机构存在制造误差、装配误差及齿侧间隙等，齿轮机构会产生较大的回程误差，影响齿轮机构的精度.

一直以来，国内外学者对齿侧间隙与传动误差的研究没有中断过. 张磊磊等^[3]定量分析圆柱齿轮机构的圆周侧隙与圆柱齿轮机构各个环节影响因素之间的关系. 陈文华等^[4]采用蒙特卡洛模拟方法，分析圆柱齿轮机构的传动误差. 孙涛等^[5]利用CETOL三维公差软件，对圆柱齿轮机构的齿侧间隙进行三维公差仿真. 王光建等^[6]通过实验对一级圆柱齿轮的齿侧间隙变化曲线进行拟合，实现了对齿轮副整个大周期齿侧间隙的快速预测. Yang等^[7]提出基于电流信号来预测一级圆柱齿轮齿侧间隙的方法. Giovannitti等^[8]提出利用电机编码器信号对工业机器人的齿轮侧隙进行估计的方法. 安凯^[9]分析齿侧间隙对空间机械臂末端定位误差的影响. Guida等^[10]分析不同程度的齿侧间隙和不同关节的齿侧间隙对UR5协作机器人性能的影响.

为了减少或消除齿侧间隙，常见的消隙方法有机械式消隙和电控式消隙2种. 机械式消隙^[11-13]只能消除传动中的部分侧隙；电控消隙^[14-17]对多级齿轮的传动作用不明显，使得整体结构变得复杂，不适用于全齿轮机器人.

目前研究都集中在圆柱齿轮机构的齿侧间隙的理论建模和公差仿真分析上，对圆锥齿轮机构的齿侧间隙理论建模、齿侧间隙公差仿真未见报道；针对全齿轮耦合机器人齿侧间隙对末端精度影响的研究未见报道. 本文对圆柱齿轮机构的齿侧间隙进行理论建模，开展三维公差仿真分析. 将圆柱齿轮机构的齿侧间隙理论建模和三维公差仿真方法应用到圆锥齿轮机构中，分析机器人关键传动链的末端误差，提出机器人侧隙补偿方法，开展实验验证.

全齿轮机器人外壳均采用不锈钢材料，伺服电机均放置于屏蔽室外，且各个关节均实现全密封设计，保证机器人在核环境下正常运行.

如图1所示，全齿轮耦合传动机器人主要由伺服电机、减速器、直齿轮或锥齿轮、同心轴和夹爪等组成. 其中，伺服电机、行星减速器、直齿轮或锥齿轮配套使用，共有7条齿轮传动链，分别控制全齿轮耦合传动机器人的肩关节转动、肩关节偏摆、肘关节偏摆、腕关节偏摆、腕关节转动、夹爪转动和夹爪的张合，共计7个自由度，与图1中的序号相对应.

如图2(a)所示为肩关节转动传动链，传动链依次由电机、减速器和圆柱齿轮副等组成，向下传递电机的动力，从而带动肩关节绕竖直轴线进行转动. 如图2 (b)所示为肩关节偏摆传动链，传动链依次由电机、减速器、圆柱齿轮副和圆锥齿轮副等组成，从而带动肩关节绕肩关节水平轴线进行偏摆. 肘关节偏摆、腕关节偏摆、腕关节转动、夹爪转动和夹爪的张合等传动链与之类似，限于篇幅，不作展开.

在分别控制机器人7个自由度的7条传动链中，其中肩关节偏摆传动链控制肩关节的偏摆，肩关节偏摆轴心线与夹爪中心的距离最大，微小的齿轮传动误差会导致机器人末端产生较大的偏差，因此要优先保证肩关节偏摆传动链的传动精度.

肩关节偏摆传动链中使用的圆柱齿轮机构和圆锥齿轮机构如图3 (a)所示，伺服电机与行星减速器相连，通过圆柱齿轮副带动从动圆柱齿轮转动. 图3 (a)中的从动圆柱齿轮与图3 (b)中的主动锥齿轮通过花键轴相连接，继续向下传递动力带动从动锥齿轮转动，从动锥齿轮与肩关节连接法兰相连接，从而带动整个肩关节偏摆.

齿轮副中经常采用的侧隙有圆周侧隙${j_{\text{t}}}$、法向侧隙${j_{\text{n}}}$和径向侧隙${j_{\text{r}}}$^[18].

如图4所示，圆周侧隙是指齿轮副中，当其中一个齿轮固定时另一个齿轮分度圆处能够自由转动的圆弧长. 法向侧隙是指主、从动轮工作齿面接触时，非工作齿面的最短法向距离. 径向侧隙是指主、从动工作状态下的中心距与无侧隙啮合状态下的中心距之差. 三者关系如下：

(1)$ {j_{\text{n}}} = {j_{\text{t}}}\cos \alpha = 2{j_{\text{r}}}\sin \alpha . $

式中：$\alpha $为齿轮压力角. 图4 (a)中，${r_{{\text{b}}1}}$、${r_{{\text{b}}2}}$为基圆半径.

以法向侧隙为分析目标开展公差建模与公差仿真分析. 影响齿轮机构法向侧隙的影响因素有很多，大致可以分为齿轮固有误差、装置误差和其他误差3大类. 齿轮固有误差是指齿轮在制造时产生的制造误差，如齿厚偏差、齿轮几何偏心、齿形误差、周节误差、齿向误差等. 装置误差是指当齿轮与轴、轴承、箱体等零部件装配成齿轮机构时，轴、轴承、箱体等的固有误差和装配误差等，如中心距偏差、配合偏心误差、轴承游隙. 其他误差是指由温度、振动、负载等带来的误差，本文研究的核工业机器人所处的环境温度为25°，负载小于10 kg，无较大振动，温度变化、振动、负载等带来的其他误差可以忽略不计.

针对驱动侧的圆柱齿轮机构，结合已有的圆柱齿轮机构侧隙建模理论^[19]，对圆柱齿轮机构法向侧隙进行理论建模.

针对关节处的圆锥齿轮机构，由于圆锥齿轮结构相对复杂，齿侧间隙与各类误差之间的关系较圆柱齿轮复杂，提出将圆锥齿轮副假想成如图5所示的一组假想圆柱齿轮副的方法. 两者的齿轮法向侧隙相同，将圆锥齿轮机构的公差折算到圆柱齿轮机构中，利用圆柱齿轮机构法向侧隙的建模理论，对圆锥齿轮机构的法向侧隙进行建模.

为了验证圆柱或圆锥齿轮机构法向侧隙建模计算的正确性，利用三维公差软件Three Dimensional Control Systems进行验证，以下简称3DCS. 3DCS软件是尺寸偏差分析工具，模拟机构的设计制造与装配过程，可以根据实际情况添加如尺寸公差及形位公差的相关公差参数，定义零件间的装配方式，添加齿轮法向侧隙为测量目标. 运用蒙特卡洛法模拟分析方法分析2000次，得到超差率和贡献度结果，为后续分析与优化提供一定的理论与方法.

蒙特卡洛模拟方法具体是指按照齿轮机构各项误差的概率分布函数产生2 000组随机数，模拟不同的齿轮机构装配情况,得到在一定置信度下的齿轮法向侧隙的范围.

以图3 (a)所示的圆柱齿轮机构为分析目标，该齿轮传动装置共有5个部分，分别为行星减速器、主动轮、从动轮、底座和交叉滚子轴承. 圆柱齿轮机构法向侧隙的影响要素有5个：齿轮的齿厚偏差、底座的中心距偏差、齿轮几何偏心、轴承径向游隙、减速器输出轴的圆跳动误差.

对于一批合格的齿轮副传动装置来说，满足如下3个基本假设：各个误差是连续性随机变量；各个误差是相互独立的；各个误差分布遵循正态分布、瑞利分布或均匀分布等简单的分布. 假设齿轮几何偏心角$\varphi $、行星减速器输出轴与齿轮装配时的配合偏心角${\varphi _{\text{b}}}$符合均匀分布，圆跳动误差S、几何偏心e符合瑞利分布，其他误差类型均满足正态分布^[18,20].

1) 齿轮齿厚偏差对侧隙的影响.

圆柱齿轮齿厚偏差$\Delta {E_{\text{S}}}$使得齿轮副间产生了$ - \Delta {E_{\text{S}}}$的圆周侧隙，折算成法向侧隙为$ - \Delta {E_{\text{S}}}\cos \alpha $，可得相应的法向侧隙均值和方差：

(2)$ {\mu _{\Delta {E_{\text{S}}}}} = - \frac{{({E_{{\text{ss}}}}+{E_{{\text{si}}}})\cos \alpha }}{2}, $

(3)$ {D_{\Delta {E_{\text{S}}}}} = \frac{{{{({E_{{\text{ss}}}} - {E_{{\text{si}}}})}^2}{{\cos }^2}\alpha }}{{36}}. $

式中：${E_{{\text{ss}}}}$和${E_{{\text{si}}}}$分别为齿厚偏差$\Delta {E_{\text{S}}}$的上偏差和下偏差.

2) 齿轮副中心距偏差对侧隙的影响.

圆柱齿轮副中心距偏差$ \Delta {f_{\mathrm{a}}} $使得齿轮副产生$\Delta {f_{\text{a}}}$的径向侧隙，折算成法向侧隙为$2\Delta {f_{\text{a}}}\sin \alpha $，可得相应的法向侧隙均值和方差：

(4)$ {\mu _{\Delta {f_{\text{a}}}}} = 0, $

(5)$ {D_{\Delta {f_{\text{a}}}}} = \frac{4}{9}f_{\text{a}}^2{\sin ^2}\alpha . $

式中：${f_{\text{a}}}$为中心距极限偏差.

3) 齿轮几何偏心对侧隙的影响.

圆柱齿轮的几何偏心e使得中心距会产生$ e\sin \varphi $的变化量，折算成法向侧隙为$2e\sin \alpha \sin \varphi $. 假设齿轮几何偏心符合瑞利分布，其分布用径向综合误差$\Delta {F''_{\text{i}}}$来衡量，且假定$\Delta {F''_{\text{i}}}$符合正态分布，可得$ {\sigma _{\text{x}}} = {F''_{\text{i}}}/6 $（其中$ {\sigma _{\text{x}}} $为几何偏心e的瑞利分布的尺度参数，${F''_{\text{i}}}$为径向综合误差的公差）. 综上可得相应的法向侧隙均值和方差：

(6)$ {\mu _e} = 0, $

(7)$ {D_e} = \frac{1}{9}{({F_{\text{i}}^{\prime \prime }})^2}{\sin ^2}\alpha . $

4) 轴承径向游隙对侧隙的影响.

轴承径向游隙$\Delta b$使得中心距会产生$ \Delta b/{2} $变化量，折算成法向侧隙为$\Delta b\sin \alpha $，可得相应的法向侧隙均值和方差：

(8)$ {\mu _{\Delta b}} = \frac{{({b_{\min }}+{b_{\max }})\sin \alpha }}{2}, $

(9)$ {D_{\Delta b}} = \frac{{{{({b_{\min }} - {b_{\max }})}^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{36}}. $

式中：${b_{\min }}$、${b_{\max }}$分别为轴承径向的最小和最大游隙.

5) 减速器输出轴圆跳动误差对侧隙的影响.

行星减速器输出轴与齿轮配合偏心误差主要来源于减速器输出轴的圆跳动误差$ S$，使得中心距会产生$ S\sin {\varphi _{\text{b}}}$的变化量，折算成法向侧隙为$2 S\sin \alpha \sin {\varphi _{\text{b}}}$. 相应的法向侧隙均值和方差分别为

(10)$ {\mu _{ S}} = 0, $

(11)$ {D_{ S}} = \frac{1}{9}{S^2}{\sin ^2}\alpha . $

综合以上分析，依据各个误差之间相互独立的假设，可以推出圆柱齿轮机构总的法向侧隙的均值${\mu _{{j_{\text{n}}}}}$和方差${D_{{j_{\text{n}}}}}$.

(12)$ \left. \begin{gathered} {\mu _{{j_{\text{n}}}}} = {\mu _{\Delta {E_{\text{S}}}}}+{\mu _{\Delta {f_{\text{a}}}}}+{\mu _e}+{\mu _{\Delta b}}+{\mu _{\Delta S}}, \\ {\mu _{\Delta {E_{\text{S}}}}} = {\mu _{\Delta {E_{{\text{S1}}}}}}+{\mu _{\Delta {E_{{\text{S2}}}}}}, \\ {\mu _e} = {\mu _{{e_1}}}+{\mu _{{e_2}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

(13)$ \left. \begin{gathered} {D_{{j_{\text{n}}}}} = {D_{\Delta {E_{\text{S}}}}}+{D_{\Delta {f_{\text{a}}}}}+{D_e}+{D_{\Delta b}}+{D_{\Delta S}}, \\ {D_{\Delta {E_{\mathrm{S}}}}} = {D_{\Delta {E_{{\text{S1}}}}}}+{D_{\Delta {E_{{\text{S2}}}}}}, \\ {D_e} = {D_{{e_1}}}+{D_{{e_2}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中:$\Delta {E_{{\text{S1}}}}$、$\Delta {E_{{\text{S2}}}}$分别为主动轮、从动轮齿的齿厚偏差，${e_1}$、${e_2}$分别为主动轮、从动轮齿的几何偏心.

圆柱齿轮机构的主要数据如表1、2所示. 表中，z为齿数，m为模数，d为分度圆直径. 将相关数据代入式(12)、(13)，可以求得${\mu _{{j_{\text{n}}}}} = 53$ μm,${\sigma _{{j_{\text{n}}}}} = \sqrt {{D_{{j_{\text{n}}}}}} = 7$ μm. 因为圆柱齿轮机构的法向侧隙近似为正态分布，若齿轮副法向侧隙取$ 6{\sigma _{{j_{\text{n}}}}} $的分布范围，则可得取置信概率为99.7%时，最小法向侧隙${j_{{\text{n}}\min }}$=32 μm，最大法向侧隙${j_{{\text{n}}\max }}$=74 μm，均大于最小极限法向侧隙15 μm.

在3DCS中，设置主动轮的运动参数，并设置工作齿面间最短距离为0，保证工作齿面保持相互接触，以模拟齿轮相互配合的状态. 设置非工作齿面间的最短法向距离，即齿轮副法向侧隙，作为测量目标，可得圆柱齿轮副法向侧隙的仿真结果，如图6所示. 图中，N_m为仿真次数.

通过3DCS仿真可知，齿轮装置的各个公差的贡献度如表3所示. 各个公差的贡献度反映了对法向侧隙的影响程度，贡献度越大，对法向侧隙的影响程度越高.

在结果中，齿厚偏差和齿轮中心距对齿轮副法向侧隙的影响较大，减速器输出轴圆跳动对结果有微小影响，公差贡献度为公差优化提供了依据，便于公差的重新分配.

圆柱齿轮机构法向侧隙的理论建模结果与三维仿真结果对比如表4所示. 理论建模结果与公差仿真结果很接近，验证了圆柱齿轮机构建模理论的正确性.

圆柱齿轮机构回程误差与法向侧隙的关系如下：

(14)$ \Delta \varphi {\text{ = }}\frac{{2{j_{\text{t}}}}}{{1\;000d}}\frac{{180}}{\text{π} } = \frac{{0.121\;95{j_{\text{n}}}}}{d}. $

式中：$ \Delta \varphi $为回程误差，d为从动轮分度圆直径.

根据式(14)，代入仿真数据，可得平均回程误差$ \Delta {\varphi _{1{\text{m}}}} $=$1'26''$，最小回程误差$\Delta {\varphi _{1\min }}$=$54''$，最大回程误差$\Delta {\varphi _{1\max }}$=$2'$.

以如图3 (b)所示的圆锥齿轮传动机构为分析目标，该齿轮传动装置共有7个部件，分别为主动轮、从动轮、罩壳、肩关节水平端盖、肩关节连接法兰、深沟球轴承和交叉滚子轴承. 影响圆锥齿轮机构法向侧隙的影响要素如下：齿轮的齿厚偏差、轴间距偏差、轴交角偏差、齿轮几何偏心、关键配合面的面轮廓度误差、深沟球轴承和交叉滚子轴承的径向游隙，圆锥齿轮公差的基本假设与圆柱齿轮的基本假设相同.

圆锥齿轮副法向侧隙可以等价成在背锥面上的一组圆柱齿轮啮合时的法向侧隙，即将圆锥齿轮机构的公差等价折算到圆柱齿轮机构中，得到圆锥齿轮机构回程误差的建模方法.

1) 齿轮齿厚偏差对侧隙的影响.

圆锥齿轮齿厚偏差$ \Delta {E_{\overline {\text{S}} }} $使得假想圆柱齿轮副间产生了$ - \Delta {E_{\overline {\text{S}} }} $的圆周侧隙，折算成法向侧隙为$ - \Delta {E_{\overline {\text{S}} }}\cos \alpha $. 可得相应的法向侧隙均值和方差：

(15)$ {\mu _{\Delta {E_{\overline {\text{S}} }}}} = - \frac{{({E_{{\text{ss}}}}+{E_{{\text{si}}}})\cos \alpha }}{2}, $

(16)$ {D_{\Delta {E_{\overline {\text{S}} }}}} = \frac{{{{({E_{{\text{ss}}}} - {E_{{\text{si}}}})}^2}{{\cos }^2}\alpha }}{{36}}. $

2) 齿轮副轴间距偏差对侧隙的影响.

圆锥齿轮副轴间距偏差$\Delta {f_{\text{a}}}$如图7所示，等价于假想圆柱齿轮副的中心距产生$ {{\sqrt 2 }}\Delta {f_{\text{a}}}/{2} $的变化量，折算成法向侧隙为$ \sqrt 2 \Delta {f_{\text{a}}}\sin \alpha $. 可得相应的法向侧隙均值和方差：

(17)$ {\mu _{\Delta {f_{\text{a}}}}} = 0, $

(18)$ {D_{\Delta {f_{\text{a}}}}} = \frac{2}{9}f_{\text{a}}^2{\sin ^2}\alpha . $

3) 齿轮副轴交角偏差对侧隙的影响.

圆锥齿轮副轴交角偏差$\Delta {E_\Sigma }$表示实际轴交角与公称轴交角之差，用以中点锥距为半径的弧长来表示轴交角偏差，如图7所示,等价于假想圆柱齿轮副产生$\Delta {E_\Sigma }$的径向侧隙，折算成法向侧隙为$2\Delta {E_\Sigma }\sin \alpha $. 可得相应的法向侧隙均值和方差：

(19)$ {\mu _{\Delta {E_\Sigma }}} = 0, $

(20)$ {D_{\Delta {E_\Sigma }}} = \frac{4}{9}{({E_\Sigma })^2}{\sin ^2}\alpha . $

式中：$ {E_\Sigma } $为轴交角极限偏差.

4) 齿轮几何偏心对侧隙的影响.

齿轮几何偏心e等价于假想圆柱齿轮副的中心距产生${{\sqrt 2 }}e\sin \varphi /2$的变化量，假设符合均匀分布，折算成法向侧隙为$\sqrt 2 e\sin \alpha \sin \varphi $. $ e $符合瑞利分布，e分布指标用轴交角综合偏差$\Delta F_{{\mathrm{i}}\Sigma }^{''}$来衡量，e的瑞利分布的尺度参数${\sigma _{\text{x}}} = {{\sqrt 2 }}F_{{{{\mathrm{i}}\Sigma }}}{{{''}}}/6$（其中$F_{{{{\mathrm{i}}\Sigma }}}^{''}$为轴交角综合极限偏差）. 综上可得相应的法向侧隙均值和方差：

(21)$ {\mu _e} = 0, $

(22)$ {D_e} = \frac{1}{9}{({F''_{{{{\mathrm{i}}\Sigma }}}})^2}{\sin ^2}\alpha . $

5) 轮廓度误差对侧隙的影响.

齿面、罩壳断面、水平端盖轮廓度误差$\Delta P$，如图7所示,等价于假想圆柱齿轮副的中心距发生${{\sqrt 2 }}\Delta P/2$的变化量，折算成法向侧隙为$ \sqrt 2 \Delta P\sin \alpha $. 可得相应的法向侧隙均值和方差：

(23)$ {\mu _{\Delta P}} = 0, $

(24)$ {D_{\Delta P}} = \frac{{{P^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{18}}. $

式中：$ P $为轮廓度误差的公差.

6) 轴承径向游隙对侧隙的影响.

轴承径向游隙$\Delta b$等价于假想圆柱齿轮副的中心距产生${{\sqrt 2 }}\Delta b/{4}$变化量，折算成法向侧隙为$ {{\sqrt 2 }}\Delta b\sin \alpha /{2}$. 可得相应的法向侧隙均值和方差：

(25)$ {\mu _{\Delta b}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}({b_{\min }}+{b_{\max }})\sin \alpha , $

(26)$ {D_{\Delta b}} = \frac{1}{{72}}{({b_{\min }} - {b_{\max }})^2}{\sin ^2}\alpha . $

综合以上分析，依据各个误差之间相互独立的假设，可以推出圆锥齿轮机构总的法向侧隙的均值${\mu _{{j_{\text{n}}}}}$和方差${D_{{j_{\text{n}}}}}$.

(27)$ \left. \begin{gathered} {\mu _{{j_{\text{n}}}}} = {\mu _{\Delta {E_{\overline {\text{S}} }}}}+{\mu _{\Delta {f_{\text{a}}}}}+{\mu _{\Delta {E_\Sigma }}}+{\mu _e}+{\mu _{\Delta P}}+{\mu _{\Delta b}}, \\ {\mu _{\Delta {E_{\overline {\text{S}} }}}} = {\mu _{\Delta {E_{\overline {\text{S}} {\text{1}}}}}}+{\mu _{\Delta {E_{\overline {\text{S}} {\text{2}}}}}}, \\ {\mu _e} = {\mu _{{e_1}}}+{\mu _{{e_2}}}, \\ {\mu _{\Delta P}} = {\mu _{\Delta {P_1}}}+{\mu _{\Delta {P_2}}}+{\mu _{\Delta {P_3}}}+{\mu _{\Delta {P_4}}}, \\ {\mu _{\Delta b}} = {\mu _{\Delta {b_1}}}+{\mu _{\Delta {b_2}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

(28)$ \left. \begin{gathered} {D_{{j_{\text{n}}}}} = {D_{\Delta {E_{\overline {\text{S}} }}}}+{D_{\Delta {f_{\text{a}}}}}+{D_{\Delta {E_\Sigma }}}+{D_e}+{D_{\Delta P}}+{D_{\Delta b}}, \\ {D_{\Delta {E_{\overline {\text{S}} }}}} = {D_{\Delta {E_{\overline {\text{S}} {\text{1}}}}}}+{D_{\Delta {E_{\overline {\text{S}} {\text{2}}}}}}, \\ {D_e} = {D_{{e_1}}}+{D_{{e_2}}}, \\ {D_{\Delta P}} = {D_{\Delta {P_1}}}+{D_{\Delta {P_2}}}+{D_{\Delta {P_3}}}+{D_{\Delta {P_4}}}, \\ {D_{\Delta b}} = {D_{\Delta {b_1}}}+{D_{\Delta {b_2}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：$ \Delta {E_{\overline {\text{S}} {\text{1}}}} $和$ \Delta {E_{\overline {\text{S}} {\text{2}}}} $分别为主、从动轮齿的齿厚偏差，$\Delta {P_1}$、$\Delta {P_2}$、$\Delta {P_3}$、$\Delta {P_4}$分别为主动轮、从动轮、罩壳断面、水平端盖的面轮廓度误差.

圆锥齿轮机构中主、从动轮的主要数据如表5、6所示. 其中，B为齿宽，d_m为平均直径，$j_{\mathrm{nmin}}'' $为最小极限法向侧隙.

与圆柱齿轮机构的计算方法相同，根据表5、6的数据，求得圆锥齿轮机构均值${\mu _{{j_{\text{n}}}}} = 89.5$ μm，标准差$ {\sigma _{{j_{\text{n}}}}} = \sqrt {{D_{{j_{\text{n}}}}}} = 6.7 $ μm. 若齿轮副法向侧隙取$ 6{\sigma _{{j_{\text{n}}}}} $的分布范围，则可得当置信概率为99.7%时，最小法向侧隙为70 μm，最大法向侧隙为110 μm，均大于最小极限法向侧隙19 μm.

在3DCS中，与圆柱齿轮机构的公差仿真设置相同，设置非工作齿面间的最短法向距离，即齿轮副法向侧隙，作为测量目标，可得圆锥齿轮副法向侧隙的仿真结果，如图8所示.

公差贡献度如表7所示. 齿轮齿厚偏差和齿轮几何偏心对齿轮副法向侧隙的影响较大，轴交角偏差和轴承径向游隙对结果有微小影响，公差贡献度为后续的公差优化提供了依据.

圆锥齿轮机构法向侧隙的理论建模结果与三维仿真结果如表8所示. 理论建模结果与公差仿真结果很接近，验证了圆锥齿轮机构建模理论的正确性.

圆锥齿轮机构回程误差与法向侧隙的关系如下：

(29)$ \Delta \varphi {\text{ = }}\frac{{2{j_{\text{t}}}}}{{1\;000{d_{\text{m}}}}}\frac{{180}}{\text{π} } = \frac{{0.121\;95{j_{\text{n}}}}}{{{d_{\text{m}}}}}. $

式中：${d_{\text{m}}}$为从动轮平均直径.

根据式(29)，代入仿真数据，可得平均回程误差$\Delta {\varphi _{{\text{2m}}}}$为$6'27''$，最小回程误差$\Delta {\varphi _{2\min }}$为$5'10''$，最大回程误差$\Delta {\varphi _{2\max }}$为$7'44''$.

机器人内部有7条传动链，分别控制机器人的7个自由度的运动，均对机器人末端误差产生影响. 如图9所示，肩关节偏摆传动链控制肩关节的偏摆，且轴心线与夹爪中心的距离最大，肩关节偏摆传动链微小的传动误差会导致机器人末端产生较大的偏差，相比其他传动链引起的末端偏差更大.

如图9所示，机器人绕肩关节在左侧或右侧区域内摆动时，在机器人自重作用下，电机正反转时，齿轮副啮合面不会发生改变，不会产生回程误差. 当机器人肩关节在左、右区域之间发生切换时，由于机器臂自重对齿轮产生的扭矩方向发生了改变，齿轮副啮合面发生更换，从而产生回程误差. 虽然在载荷作用下齿轮会发生挤压变形，但是机器人经过轻量化处理，负载较小（小于10 kg）. 经过仿真计算^[21]可知，齿轮法向最大变形不超过2 μm，与法向侧隙相比很小，因此对机器人进行末端误差计算时可以不考虑载荷带来的影响.

齿轮传动链回程误差$\Delta {\varphi _{\mathrm{L}}}$为各级齿轮机构的回程误差折算到输出轴后的总误差，即将行星减速器、圆柱齿轮机构和圆锥齿轮机构的回程误差折算到肩关节偏摆轴，可得传动链回程误差公式如下：

(30)$ \Delta {\varphi _{\mathrm{L}}}{\text{ = }}\frac{{\Delta {\varphi _0}}}{{{i_1}{i_2}}}+\frac{{\Delta {\varphi _1}}}{{{i_2}}}+\Delta {\varphi _2}. $

式中：$\Delta {\varphi _0}$为行星减速器的回程误差，$\Delta {\varphi _1}$为驱动侧圆柱齿轮的回程误差，$\Delta {\varphi _2}$为关节处圆锥齿轮的回程误差，${i_1}$为圆柱齿轮的减速比，${i_2}$为圆锥齿轮的减速比.

机械臂末端位移的误差公式如下：

(31)$ \Delta Z = \Delta {\varphi _{\mathrm{L}}} L. $

式中：$ \Delta Z $为机械臂末端位移误差，$ L $为机器人夹爪到肩关节轴线的距离.

参考行星减速器厂家的数据可知，$\Delta {\varphi _0}$的最大值为$1'$. 由前文分析可知，$\Delta {\varphi _1}$、$\Delta {\varphi _2}$的最大值分别为$2'$、$7'44''$，因此$\Delta {\varphi _{\mathrm{L}}}$的最大值为$9'59''$，L为763 mm. 代入式(31)可得，由传动链齿隙导致的机器人末端位移最大误差为2.21 mm.

为了减小齿侧间隙及导致的机器人末端误差，从以下2个方面着手. 1）通过在圆锥齿轮机构中增加垫片，减小圆锥齿轮机构齿侧间隙. 2）当肩关节摆动越过竖直状态时，对电机转角进行补偿，减小回程误差.

1) 圆锥齿轮加垫消隙法.

关节处圆锥齿轮法向侧隙为0.070~0.110 mm，远大于最小极限法向侧隙0.019 mm，较大的侧隙会造成较大的回程误差. 通过在圆锥齿轮机构的主、从动轮和轴承之间分别添加厚度为$\Delta P$的垫片，参考图7所示的几何关系，2块垫片共能减小$2\sqrt 2 \Delta P\sin \alpha $的法向侧隙. 将法向侧隙最小值设定为0.024 mm，此时法向侧隙减小量$\Delta {j_{\text{n}}}$为0.046 mm.

由式(32)计算得到，所需的垫片厚度为0.048 mm. 经过公差仿真验证可知，加垫片后圆锥齿轮机构的齿侧间隙调整为0.025~0.061 mm，大于齿轮副最小极限法向侧隙0.019 mm，与理论分析基本一致.

(32)$ 2\sqrt 2 \Delta P\sin \alpha = \Delta {j_{\text{n}}}. $

式中：$ \Delta P $为所加垫片的厚度.

加垫片后，通过理论计算可得$\Delta {\varphi _2}$的最大值$\Delta {\varphi _{2\max }}$为$4'22''$，均值$\Delta {\varphi _{2{\text{m}}}}$为$3'05''$. 代入式(30)得到$\Delta {\varphi _{\mathrm{L}}}$的最大值为$6'37''$，代入式(31)得到机器人末端位移最大误差为1.47 mm.

2) 齿轮回程侧隙补偿法.

由于齿侧间隙的存在，当机械臂绕关节轴线进行摆动时，如机器人肩关节从右侧经由竖直状态摆动到左侧时，由于机器臂自重对齿轮产生的扭矩方向发生了改变，齿轮副啮合面发生改变，从而产生回程误差. 为了尽量消除重力作用下回程误差的影响，当机械臂越过竖直状态时，电机旋转$\Delta {\varphi _{\text{c}}}$角度，以补偿驱动侧圆柱齿轮机构和关节处圆锥齿轮机构的回程误差.

(33)$ \Delta {\varphi _{\text{c}}} = {i_0}{i_1}\Delta {\varphi _1}_{{\mathrm{m}}} +{i_0}{i_1}{i_2}\Delta {\varphi _2}_{{\mathrm{m}}} . $

式中：${i_0}$分别为行星减速器的减速比，${i_0}$= 152；$ \Delta {\varphi _1}_{{\mathrm{m}}} $、$ \Delta {\varphi _2}_{{\mathrm{m}}} $分别为驱动侧圆柱齿轮、关节处圆锥齿轮的回程误差均值.

理论上齿轮回程侧隙补偿后$\Delta {\varphi _1}$、$\Delta {\varphi _2}$的最大值分别为$34''$、$1'17''$，此时$\Delta {\varphi _{\mathrm{L}}}$的最大值为$2'6''$，由于传动链齿隙导致的机器人末端位移最大误差$ \Delta Z $为0.47 mm.

为了验证齿轮回程侧隙补偿法的有效性，如图10所示，对机器人肩关节进行无负载实验验证. 图10所示的机器人圆锥齿轮机构已经添加垫片对圆锥齿轮侧隙进行补偿.

采用手持式探针三坐标测量仪，对机器人末端测点进行测量. 如图11所示，安装于地面上的可动相机通过对手持式测量仪上的多组探头标记点进行识别，计算得到手持式测量仪的位姿，从而测量得到探针处的坐标值.

为了消除机械臂末端刚度对测量点位置精度的影响，从竖直状态开始，如图10所示，电机驱动肩关节绕关节轴线逆时针摆动$ 90^\circ $，再顺时针摆动$ 90^\circ $后，对末端测量点用手持式测量仪进行测量. 测量时，手臂未接触机器人，不会对机器人末端误差造成影响. 记录测量点Z向（竖直方向）的差值，比较补偿前、后的Z向位移差值. 重复以上操作10次，补偿前Z向位移差值的均值为1.52 mm，补偿后Z向位移差值的均值为0.50 mm，相比优化前机器人末端位移误差减少了0.98 mm，降低了64%，与理论分析结果吻合，证明了该方案的有效性.

(1) 分析全齿轮耦合机器人的7个传动链可知，肩关节偏摆传动链对机器人末端精度的影响最大. 在机器臂自重作用下，当肩关节从机器人右侧区域摆动到左侧区域时，齿轮副啮合面发生更换，从而产生回程误差，反之亦然.

(2) 利用3DCS三维仿真软件对驱动侧圆柱齿轮机构齿侧间隙的理论公式进行验证，证明了圆柱齿轮机构齿侧间隙建模的有效性，得到圆柱齿轮机构回程误差的均值和最值.

(3) 考虑将圆锥齿轮机构齿轮副投影到锥齿轮背锥面上，生成一对假想圆柱齿轮，对圆锥齿轮机构齿侧间隙进行建模，并与3DCS公差仿真验证，得到圆锥齿轮机构回程误差的均值和最值.

(4) 为了减小齿侧间隙导致的机器人末端误差，采用以下2个方案. 1）在圆锥齿轮机构中增加2块厚度为0.048 mm的垫片，减小圆锥齿轮机构齿侧间隙. 2）当肩关节摆动越过竖直状态时，对电机转角进行补偿以降低回程误差，通过实验验证机器人末端位移误差减小了0.98 mm，降低了64%.