多旋翼无人机（UAV）被用于工业和农业中的诸多领域^[1]，如物流运输^[2]、地理测量^[3]、林业作业^[4]等. 合理的路径规划是无人机安全作业的基础，无人机在满足如效率、能耗或避障等关键约束下，生成位移、速度及加速度等参数的时间序列值，实现稳定飞行控制的目标^[5]. Rao等^[6]提出基于人工势场的改进A*算法，解决了多机协同运输的路径规划问题. 杨森等^[7]将能量消耗作为优化目标并利用遗传算法（genetic algorithm, GA）规划物流无人机路线. Phung等^[8]为了实现大型建筑群的高效检测，提出基于旅行商模型的离散粒子群算法，该算法结合了视觉感知规划，因此系统对GPU的要求较高. Aslan等^[9]专注于在有障碍物的三维环境中寻找最佳路径，提出基于目标距离的GDRRT*(goal distance rapid random tree)方法，该策略具有较好的鲁棒性，但搜寻效率不足. 上述研究主要聚焦于单一优化目标，适用于结构较为简单的场景. 多目标优化策略是有效实现复杂环境或复杂任务中路径规划的技术手段. Peng等^[10]提出基于链接与预测的动态多目标进化算法，利用预测模型控制策略，实时更新环境信息进而实现避障的目标. Guerrero等^[11] 将微型无人机的能耗与飞行距离作为优化目标，构建Zermelo旅行商模型，基于兴趣点网格划分算法实现路径规划，但兴趣点的数量及分布设计主要基于人工经验，难以适用于复杂场景. Phung等^[12]提出基于球面矢量的粒子群优化算法，通过建立粒子位置与无人机速度、转角和爬升/俯冲角的对应关系，实现障碍规避和能耗最优的优化目标.

相较于蚁群算法、粒子群算法及其他传统启发式优化方法，第二代非支配排序遗传算法（non-dominated sorting genetic algorithm II, NSGA-II）利用分层及拥挤度排序策略，能够改善种群多样性及加速收敛^[13]，在复杂场景中的多目标优化领域有广泛应用. Yu等^[14]提出基于NSGA-II的节点优化策略，以解决无人机飞行距离和数据传输能耗同步最小化问题. Bashir等^[15]重新设计交叉和变异算子，并引入梯度准则，以提升算法的收敛效率，实现避障和能耗同步优化，但算法的最终收敛精度受初始值影响较大. 当搜索过程在高维空间(优化目标大于3个)时，NSGA-II的迭代成本会急剧增加，算法通过估算拥挤度来增强个体多样性的能力会被削弱，甚至无法实现^[16]. 第三代非支配排序遗传算法（NSGA-III）用参考点代替拥挤度排序，在高维空间优化过程中的鲁棒性比二代强. 基于NSGA-III，Ghambari等^[17]构造包括飞行距离、稳定性和无人机数量规模的优化目标，用果蝇算法代替部分遗传过程，NSGA-III收敛精度提高但算法效率不足. Tavana等^[18]设计新型NSGA-III以改善人机协作过程中的设备反应灵敏性. 在农业采摘领域，Goel等^[19]运用glow-worm群体启发式算法实现机器人在三维空间中的动态避障路径规划，Zhang等^[20]实现移动小车在最小化导航成本约束下的路径规划目标. NSGA-III在如机械臂、移动小车的机器人领域的多目标优化方面有广泛应用，然而针对无人机路径规划的研究鲜少.

在复杂场景中，无人机全局路径规划研究存在如下问题：1）研究大多集中在构建1个^{[6, 20]}或2个^{[17, 21]}优化目标；2）在高维空间（目标函数大于3）优化时，基于启发式^[22]、非凸优化^[23]、机器学习^[21]等算法难以在计算效率和精度之间取得良好的平衡；3）基于点到点模型获取的初始轨迹，往往存在几何特征不连续的尖锐区域，会引起无人机在飞行过程中位置、速度和加速度的频繁突变^[5]. 为了解决复杂场景中无人机飞行全局最优路径高效规划问题，本研究提出联合NSGA-III和高阶光顺插值的轨迹优化算法，基于环境信息与飞行任务构建多目标函数，利用优化算法生成初始最优路径，通过判断潜在风险区域并采用五次B样条进行光顺拟合.

充分考虑机械性能、环境特性和应用要求等因素的隐含限制，是实现无人机安全作业的重要保障. 随着外在约束的增加以及约束之间的内在冲突，飞行路径的计算过程可能相当困难，为此将环境信息和作业目标进行抽象，转换成可执行目标函数并构成高维优化空间. 本研究综合考虑路径长度、安全避障和稳定性3个重要约束.

路径长度是影响无人机飞行效率及能耗指标的关键因素. 如图1所示，将第i条路径上的第j个航迹点记为$ {P}_{i,j}=({x}_{i,j},{y}_{i,j},{z}_{i,j}) $. 将所有离散路径点的长度之和定义为路径成本函数：

(1)$ {f}_{1}=\sum _{j=0}^{n-1}||\rightharpoonup{{P}_{i,j}{P}_{i,j+1}}||. $

其中$ ||\rightharpoonup{{P}_{i,j}{P}_{i,j+1}}|| $为相邻路径点$ {P}_{i,j} $到$ {P}_{i,j+1} $的欧式距离：

(2)$ \begin{split} & ||\rightharpoonup{{P}_{i,j}{P}_{i,j+1}}||=\\&\quad\;\; \sqrt{{\left({x}_{i,j+1}-{x}_{i,j}\right)}^{2}+{\left({y}_{i,j+1}-{y}_{i,j}\right)}^{2}+{\left({z}_{i,j+1}-{z}_{i,j}\right)}^{2}}.\end{split} $

在复杂的环境中，随机分布的障碍物是影响无人机飞行轨迹的重要因素. 当无人机接近障碍物时，发生碰撞的概率随时间（或两者距离）而变化. 如图2所示，为了度量碰撞风险，基于包络法将障碍物进行圆形包络，圆心和半径分别为$ {c}_{k} $和$ {r}_{k} $，将障碍物外围半径为$ {r}_{k}+d $的区域定义为危险区域. 当无人机从$ {P}_{i,j} $移动到$ {P}_{i,j+1} $的轨迹通过危险区域时，无人机可能处于危险之中. 障碍物威胁成本为

(3)$ {f}_{2}=\sum _{j=0}^{n-1}\sum _{k=1}^{m}{T}_{k}\left({P}_{i,j}\to {P}_{i,j+1}\right). $

式中：$ k $为障碍物的数量，$ {T}_{k} $为关于障碍物和局部路径的距离d_k的分段函数，

(4)$ {T}_{k}=\left\{ \begin{array}{*{20}{l}}0, & d_k > d + r_k;\\ {\gamma }_{c}(\left(d+{r}_{k}\right)-{d}_{k}), & {r}_{k} < {d}_{k}\leqslant d+{r}_{k};\\+\infty, & d_k \leqslant r_k.\end{array}\right. $

式中：$ {\gamma }_{c} $为惩罚系数，取$ {\gamma }_{c}=25 $.

水平方向的转向夹角$ {\alpha }_{i,j} $和垂直方向的爬升角$ {\beta }_{i,j} $是控制飞行路径平滑度的关键，是影响飞行稳定性的重要因素，其空间示意如图3所示. 对于第i条路径上任意3个相邻点$ {P}_{i,j-1} $、 $ {P}_{i,j} $和$ {P}_{i,j+1} $，在$ O-XY $平面上投影，对应点记为$ {P\mathrm{'}}_{i,j-1} $,$ {P\mathrm{'}}_{i,j} $和$ {P\mathrm{'}}_{i,j+1} $. 水平转向夹角计算式为

(5)$ {\alpha }_{i,j}=\mathrm{arccos}\frac{\rightharpoonup{{P}_{i,j-1}^{'}{P}_{i,j}^{'}}\cdot \rightharpoonup{{P}_{i,j}^{'}{P}_{i,j+1}^{'}}}{||\rightharpoonup{{P}_{i,j-1}^{'}{P}_{i,j}^{'}}||\cdot ||\rightharpoonup{{P}_{i,j}^{'}{P}_{i,j+1}^{'}}||}. $

同理，垂直爬升夹角计算式为

(6)$ {\beta }_{i,j}=\mathrm{arccos}\frac{\rightharpoonup{{P}_{i,j}{P}_{i,j+1}}\cdot \rightharpoonup{{P}_{i,j}^{'}{P}_{i,j+1}^{'}}}{||\rightharpoonup{{P}_{i,j}{P}_{i,j+1}}||\cdot ||\rightharpoonup{{P}_{i,j}^{'}{P}_{i,j+1}^{'}}||}. $

无人机沿期望路径飞行时，2个角度的变化曲线应尽可能平滑，从而增强飞行稳定性. 目标函数为

(7)$ {f}_{3}=\sum _{j=1}^{n-2}{{(\eta }_{1}\alpha }_{i,j}+{\eta }_{2}{\beta }_{i,j}). $

式中：$ {\eta }_{1} $、$ {\eta }_{2} $分别为水平转向夹角与垂直爬升角的惩罚系数，取$ {\eta }_{1}=32 $和$ {\eta }_{2}=64 $.

综合考虑包括飞行效率、障碍规避和稳定性约束，分布在Pareto前沿的优化目标函数为

(8)$ F=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{q=1}^{3}{\kappa }_{q}{f}_{q}. $

式中：$ {\kappa }_{q} $为每个函数的权重系数.

启发式优化算法基于仿生和自然进化过程来搜索最优解，具有适应性广、鲁棒性强的优点，但在处理复杂系统时，易陷入局部最优、收敛效率不足. 本研究采用基于参考点规则的NSGA-III，以提升无人机轨迹规划的效率和精度.

不同于NSGA-II，NSGA-III通过设计参考点取代传统基于拥挤度排序的原则，能够进一步提升样本个体的多样性和进化效率^[11]. 总样本$ \mathrm{\varOmega }({s}_{1}, {s}_{2},\cdots ,{s}_{n}) $；个体$ {s}_{i} $和$ {s}_{j} $之间的支配关系：对于所有目标函数，$ {f}_{k}\left({s}_{i}\right)\leqslant {f}_{k}\left({s}_{j}\right)，k=\{\mathrm{1,2},\cdots ,q\} $，存在$ l\in k $，使得$ {f}_{l}\left({s}_{i}\right) < {f}_{l}\left({s}_{j}\right) $，基于支配关系可将所有个体划分为不同等级，如图4所示. 基于初代分层的样本，通过提升随机性和多样性产生下一代个体，是增强算法优化能力的关键环节.

NSGA-III采用参考点准则，基于Dennis^[10]法构造归一化超平面，参考点$ {P}_{\mathrm{r}\mathrm{e}}=\left\{{P}_{1},{P}_{2},\cdots ,{P}_{{n}}\right\} $由目标函数的数量q和划分比例t确定，计算式为

(9)$ H={C}_{q+t-1}^{t}. $

其中$ q= 3 $，$ t= 4 $. 优化空间中超平面上参考点的规模为$ H={C}_{6}^{4} $= 15，空间分布如图5所示. NSGA-III通过计算个体$ {s}_{i} $与参考线之间的距离来度量相互关联程度，参考线由理想点与相应参考点连接而成，种群$ \mathrm{\varOmega }\left({s}_{1},{s}_{2},\cdots ,{s}_{n}\right) $的理想点$ {P}_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}} $计算式为

(10)$ {P}_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\left\{{f}_{1}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\varOmega }\right),{f}_{2}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\varOmega }\right),\cdots ,{f}_{q}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\varOmega }\right)\right\}. $

其中$ {f}_{q}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\varOmega }\right) $为第q个目标函数的最小值，计算式为

(11)$ {f}_{q}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\varOmega }\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{f}_{q}\left({s}_{1}\right),{f}_{q}\left({s}_{2}\right),\cdots ,{f}_{q}\left({s}_{n}\right)\right\}. $

基于式（10）、（11），参考线$ {P}_{i}^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}} $的方程为

(12)$ {P}_{i}^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}={P}_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}+\gamma \left({P}_{i}-{P}_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}\right). $

式中：$ \left({P}_{i}-{P}_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}\right) $为方向向量，$ \gamma $为比例系数. 每个个体都与特定的参考点相关联，参考点关联的个体规模越小，表明局部样本分布越稀疏，多样性越好，稀疏参考点关联的个体将优先保留进行遗传.

（1）初始化. 初始化规模为$ m $的初始种群$ {P}_{t} $，迭代次数$ {N}_{t} $、交叉概率$ {P}_{m} $和变异概率$ {P}_{c} $. 初始种群采用随机采样点方式，通过设立基因数量$ {D}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}} $，初始种群中的每个个体$ {s}_{i}=({x}_{i},{y}_{i},{z}_{i}) $，其中$ i=1,\cdots ,{D}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}} $. $ {x}_{i}\mathrm{、}{y}_{i}\mathrm{、}{z}_{i} $为在探索场景空间内的坐标，在本研究中个体随机生成，

(13)$ {s}_{i}={s}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left({D}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\right)\times \left({s}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{s}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right). $

式中：$ {s}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{、}{s}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $分别为坐标$ (x,y,z) $的上下边界，$ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left({D}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\right) $表示$ {D}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}} $个介于0~1之间的随机数.

（2）选择、交叉和变异. 选择方式：根据种群内个体的适应度函数值进行选择排序，在多目标优化函数中，多个适应度函数值须相加. 本研究开发领域是飞行路径规划领域，因此提出算术交叉方式以及限制范围的个体变异方式，当生成的1个随机数小于交叉概率$ {P}_{m} $时，对2个相邻个体进行交叉操作，同理生成随机数判断是否对单一个体进行变异操作：

(14)$ {q}_{i}=\mathrm{ }\mathrm{\alpha }\times {s}_{i}+\left(1-\mathrm{\alpha }\right)\times {s}_{i+1}, $

(15)$ {q}_{i+1}=\left(1-\mathrm{\alpha }\right)\times {s}_{i}+\mathrm{\alpha }\times {s}_{i+1}, $

(16)$ {p}_{i}={s}_{i}+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left(-1\text{，}1\right)\times \left({s}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{s}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right). $

式中：α为交叉比率，$ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left(-1，1\right) $为介于$ -1\sim 1 $之间的随机数. $ {q}_{i} $，$ {q}_{i+1} $，$ {p}_{i} $是生成的新的个体，与未进行交叉和变异操作的其他个体组合成新的种群$ {Q}_{t} $，合并2个种群创建大小为2m的新种群$ {R}_{t}=\{{P}_{t},{Q}_{t}\} $.

（3）分层与排序. 基于支配关系对群体$ {R}_{t} $中所有个体进行分层和排序，得到分级：$ {G}_{1}={g}_{1} > {G}_{2}= {g}_{2} > \cdots > {G}_{n}={g}_{n} $.

（4）获得新种群. 由于群体规模从2m减少到m，须淘汰50%的个体. 对于不能完全保留的层级，采用基于参考点的方法进行排序. 根据优劣关系，按降序保存，形成下一代种群$ {P}_{t+1} $.

（5）迭代. 重复步骤（2）至（4），直到完成所有迭代计数或达到收敛精度. 基于参考点的种群进化过程如图6所示.

（6）计算最优解集. 多目标优化通常存在多组最优解，进而构成Pareto前沿.

算法通过保留优先层级个体确保收敛性，同时基于参考点提升样本的多样性，进而增强全局优化解搜索的能力，算法流程如图7所示.

优化算法求解的初始路径通常由大量的线段组成，其几何特征难以保证二阶及以上的微分连续性. 为了改善无人机飞行轨迹的光顺性，考虑障碍物约束并利用样条插值进行轨迹的二次优化.

基于多目标优化的初始路径自动满足避障约束，但轨迹的光顺性不足. 路径通常由一系列离散点$ {{\mathrm{Path}}}_{i}=\left\{{P}_{i,0},{P}_{i,1},\cdots ,{P}_{i,n}\right\} $组成，如果直接进行高阶样条插值，离障碍物较近的线段极有可能发生路径干涉. 将路径$ {P}_{i,j}\to {P}_{i,j+1} $中距离障碍物最近的点定义为潜在风险点$ {P}_{i,j}^{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}} $. 针对样条插值后发生碰撞的局部路径，进行线性插值并将潜在风险点作为过渡路径点，如图8所示.

基于常规路径点$ {P}_{i,j} $和障碍物$ {P}_{b} $的坐标，潜在风险点$ {P}_{i,j}^{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}} $作为下一次B样条非线性插值的路径点（型值点），具体几何关系如图9所示.

(17)$ {P}_{i,j}^{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}}={P}_{i,j}+\frac{d}{c}\left({P}_{i,j+1}-{P}_{i,j}\right). $

式中：c为$ {P}_{i,j} $到$ {P}_{i,j+1} $的距离，d为$ {P}_{i,j} $到$ {P}_{i,j}^{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}} $的距离. a、b和c可以直接获得，d的计算式为

(18)$ d=a\cdot \mathrm{cos}\varsigma \text{，}\mathrm{cos}\varsigma =\dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2a\times c}. $

线性插值后，潜在风险点被规避，新路径为$ {{\mathrm{Path}}{'}}_{i}= \left\{{P}_{i,0},\cdots ,{P}_{i,j},{P}_{i,j}^{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}},{P}_{i,j+1},\cdots ,{P}_{i,k}^{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}},{P}_{i,n}\right\} $.

B样条具有自由度高、局部可修改性好的优点，被广泛用于机器人路径规划. 采用五次B样条对初始轨迹$ {\mathrm{Path}}_{i}^{'} $进行插值，以改善轨迹的光顺性. 给定n +1个控制点$ {CP}_{0},{CP}_{1},\cdots ,{CP}_{n} $，节点序列u=$ \left\{{u}_{0},{u}_{1},\cdots ,{u}_{m}\right\} $，构造第i条路径的五次B样条函数为

(19)$ {P}_{i,j}=\sum _{j=0}^{n}{N}_{j,5}\left(u\right){CP}_{j},\;u\in \left[0,1.0\right]. $

式中：$ {P}_{i,j} $为路径点；$ {N}_{j,5}\left(u\right) $为B样条基函数，通过Cox-de Boor递归方法获得. 在起始点和终点，无人机的速度和加速度均为0，即（$ {v}_{{t}_{0}}=0 $）和（$ {v}_{{t}_{n}}=0 $），速度是位置函数的一阶导数，根据B样条理论，p次B样条曲线的一阶导数仍然是p−1次B样条曲线：

(20)$ {v}_{i,j}=\frac{{\mathrm{d}}{P}_{i,j}}{{\mathrm{d}}u}=\sum _{j=0}^{n-1}{N}_{j+\mathrm{1,4}}\left(u\right){D}_{j}. $

其中$ {D}_{j} $为新控制点，表达式为

(21)$ {D}_{j}=\frac{p}{{u}_{j+6}-{u}_{j+1}}\left({CP}_{j+1}-{CP}_{j}\right). $

同理推导B样条轨迹的加速度$ {\gamma }_{i,j} $.

无人机在复杂环境中飞行，综合考虑效率、避障及运动稳定性，以期望它沿最佳轨迹从起始点到目标位置运动. 为了验证NSGA-III的收敛效率和精度，与广泛使用的改进A*^[6]，改进RRT*^[9]及NSGA-II^[14]进行综合比较. 仿真实验基于Matlab R2020b，并在Intel i5-12490F上运行，处理器为3.00 GHzCPU，内存为16.0 GB. 算法迭代次数N=500，初始种群规模m=201，其他关键初始值设置如下. 改进A*：实际成本$ {G}_{n}=0 $，总成本$ {F}_{n}={H}_{n}+{G}_{n} $. 改进RRT*：步长为5，阈值为10. NSGA-II：染色体数目$ {D}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}=6 $，交叉概率$ {P}_{c}=0.8 $，变异概率$ {P}_{m}=0.2 $. NSGA-III：染色体数目$ {D}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}=6 $，交叉概率$ {P}_{c}=0.8 $，变异概率$ {P}_{m}=0.2 $.

超平面上的参考点设计是NSGA-Ⅲ的重要组成部分. 本研究目标函数的规模$ q= 3 $，划分参数$ t= 4 $. 参考点的数量为$ H={C}_{3+4-1}^{4}={C}_{6}^{4}=15 $，根据Dennis方法^[11]，各个参考点的坐标如表1所示，空间分布的关系如图10所示.

本研究设计如图11所示的3种仿真场景. 为了降低算法单次收敛的随机性，针对这3种不同场景均设计4次循环迭代，收敛效率和优化结果如图12所示，其中F为优化目标函数值（以场景1为例显示收敛曲线）.

为了评价各类算法在计算效率及精度方面的性能，分别计算优化后的路径长度、迭代时间及飞行稳定性优化百分比，计算式为

(22)$ \left.\begin{array}{c}{\phi }_{L}=\dfrac{{L}_{t,{\mathrm{m}}}-{L}_{t,i}}{{L}_{t,{\mathrm{m}}}}\times 100{\text{%}},\\{\phi }_{t}=\dfrac{{N}_{t,{\mathrm{m}}}-{N}_{t,i}}{{N}_{t,{\mathrm{m}}}}\times 100{\text{%}},\\{\phi }_{r}=\dfrac{{R}_{t,{\mathrm{m}}}-{R}_{t,i}}{{R}_{t,{\mathrm{m}}}}\times 100{\text{%}}.\end{array}\right\} $

式中：$ {L}_{t,i}\mathrm{、}{N}_{t,i} $和$ {R}_{t,i} $分别为算法优化后的路径长度、迭代时间以及飞行稳定性，i=1、2、3、4，$ {L}_{t,{\mathrm{m}}} $、$ {N}_{t,{\mathrm{m}}} $和$ {R}_{t,{\mathrm{m}}} $均为最大值（比较基准）. 相关对比数据如表2所示. 在不同障碍物场景中比较各个算法的路径规划能力，由图13、14可以看出，NSGA-III计算出的路线在平滑度和路径长度方面明显优于其他算法. 在飞行路径稳定性方面：改进A*算法的稳定性最差，改进RRT*算法、NSGA-II及NSGA-III分别平均提高稳定性约57.06%、88.80%及89.70%. 基于拥挤度排序的NSGA-II和基于参考点准则的NSGA-III，在全局寻优及收敛效率方面均优于改进A*和改进RRT*算法. 算法的定性描述与总结如表3所示，其中“+”越多，代表该特点越强.

由于多目标优化往往不存在唯一的最优解，基于非支配关系的任意目标函数权重组合均能得到1组最优解，由此可形成Pareto前沿. NSGA-II和NSGA-III形成的Pareto前沿分别如图15所示，3种颜色的点分别指代Pareto前沿在3个平面的投影. 可以看到，NSGA-III的Pareto前沿分布较为均匀，在各个投影面上都能形成分布均匀的Pareto前沿，NSGA-II的结果疏密相间，随机性较大，体现出NSGA-III在高维空间优化过程中具有更好的全局性和稳定性.

满足约束条件下生成的初始最优路径几何特性差，轨迹常存在尖点难以满足C3连续. 无人机的飞行速度和加速度的变化可能是不连续的，进而造成运动过程中的频繁启停、冲击和震荡. 为了提高飞行轨迹的平滑性，基于NSGA-III的初代优化路径采用五次B样条进行非线性拟合. 为了防止插值过程中发生路径碰撞，先进行线性插值，将潜在风险点增加为路径点，通过二次优化后的飞行轨迹如图16所示. 通过控制无人机3个方向的姿态角度（俯仰角$ \phi $，翻滚角$ \theta $，偏航角$ \psi $）可以实现空间中任意方向的飞行. 为了验证二次优化后的轨迹在提升无人机飞行稳定性及效率方面的作用，优化前和优化后的曲线分别如图17、18所示. 由图可知，优化后的轨迹显著降低了无人机飞行过程中的位姿、速度及加速度波动，提升了飞行稳定性. 在飞行效率方面，由于轨迹的光顺性增强，抑制了频繁的加减速及启停，无人机能够更高效地实现寻迹与飞行，飞行时间从160 s缩减到约120 s，效率提升了25%，如图19所示. 为了进一步衡量轨迹平滑度对无人机飞行稳定性及效率的影响，定义姿态角、角速度$ {\mathrm{\omega }} $和角加速度$ {\mathrm{\alpha }} $发生突变的临界值（以$ \theta $为例）：单位插补周期内$ \Delta \theta > 0.03\;{\mathrm{rad}},\Delta {\omega }_{\theta } > 0.1\;{\mathrm{rad/s}} $，$ \Delta {\alpha }_{\theta } $>$ 0.3\;{\mathrm{rad}}/{{\mathrm{s}}}^{2} $. 由图17~19可以看出，在二次优化前，飞行过程中速度突变了6次，飞行时间为160 s，但在二次优化之后突变次数降低到2次，飞行时间缩减到120 s，优化效果分别为66.7%和25.0%.

通过建立四旋翼无人机的实验平台，利用PIX4飞控系统对无人机进行控制，上位机与无人机之间通过COM通信端口进行数据传输与交换，实验平台的系统架构如图20所示. 无人机在复杂环境下飞行时的控制系统和计算过程如图21所示. 基于仿真中的虚拟场景，利用7个障碍物构建真实的实验环境，要求无人机在满足避障、效率和稳定性约束下，从起始点飞行到目标位置. 利用NSGA-III生成初始航迹，采用线性和非线性插值方法提高轨迹的光顺性，实验过程及通过地面站实时监控无人机的实际飞行轨迹如图22所示. 通过建立多目标优化模型，利用NSGA-III生成Pareto前沿，生成包括避障在内的多目标优化路径，采用平滑插值方法，增强轨迹的光顺性，提升飞行过程中的稳定性、效率及轨迹跟踪精度. 由图22可以看出优化后的期望轨迹与无人机实际飞行轨迹重合度更高，证明优化后路径能够满足无人机的运动约束.

1）高维空间中NSGA-III具有较强的全局优化解搜寻能力. 相比基于随机搜索策略的改进RRT*、基于贪婪法则的改进A*算法与基于拥挤度排序的NSGA-II，基于参考点机制的NSGA-III能够在保证全局收敛的基础上获得更好的优化解. 2）在多目标优化过程中，相比NSGA-II，NSGA-III的Pareto前沿分布均匀，算法在全局搜寻过程中具有更强的鲁棒性与更稳定的收敛一致性. 3）利用基于风险点的线性插值与B样条拟合实现二次优化，能够显著改善初始轨迹的几何光顺性，降低无人机速度及加速度波动，相比优化前的初始轨迹，飞行的稳定性提升66.7%，效率提升25%. 由于NSGA-III的初始种群是通过随机采样来生成的，在一定程度上存在较大的计算开销，后续计划在初始种群生成策略方面继续改进NSGA-III，提高算法的计算效率.