近年来，随着微纳米技术^[1-2]的发展，微操作系统有了广阔的应用前景，其在生物医学^[3]、精密机械^[4]、光纤装配^[5]等领域均有着广泛的应用. 相比于传统的刚性机构，柔性机构因其具有无摩擦、无磨损、无间隙、免润滑等优点^[6]，被广泛应用于实现稳定、高精度运动的微操作系统中.

微夹持器是微操作系统的重要执行器，按其驱动方式的不同，可分为压电式^[7]、电磁式^[8]、电热式^[9]、静电式^[10]和形状记忆合金式^[11]. 国内外学者在微夹持器的设计上已有众多成果，Hao等^[12]基于PRRP型分布柔度式结构设计大行程且具有抗屈曲能力的微夹持器；Chen等^[13]提出具有多级放大机构的非对称式微夹持器；吴志刚等^[14]将Scott-Russell结构与平行四边形结构相结合，设计结构紧凑的微夹持器. 微定位平台是微操作系统实现精密定位的关键，其多采用压电陶瓷^[15]或音圈电机^[16]驱动. 林盛隆等^[15]基于柔性直梁，设计具有高带宽的两自由度微定位平台；Awtar等^[16]基于反向串联式双簧片结构，设计大行程且完全解耦的两自由度微定位平台；田延岭等^[17]基于4-PP-E解耦并联机构，设计大行程且高承载的两自由度微定位平台. 综上所述，尽管国内外针对微夹持器和微定位平台的研究均取得了大量成果，但不难发现：1）微夹持器是微操作系统的重要执行器，其仅能实现夹持作用，难以实现精密定位；2）大行程、具有高定位精度的平台是实现微操作系统中微夹持器精密定位，增大微夹持器可达定位空间的关键.

本文设计新型大行程、解耦两平动柔性微定位平台，并将其与微夹持器相结合，可实现精密定位且具有较大定位空间的微定位夹持系统；建立系统静、动态特性的理论模型；以提高微定位夹持系统的静、动态特性为目标，对其进行参数优化；通过有限元验证理论模型的正确性，并根据理论与仿真结果，给出微夹持器的可达定位空间.

为了使微操作系统中微夹持器具有较大的可达定位空间与高定位精度，作为定位机构的两自由度平台需同时具有大的运动行程和良好的解耦特性. 基于自由度与约束空间拓扑法^[18-19]，提出2移1转（2 translation and 1 rotation，2T1R）型柔性运动副^[20]，结构如图1（a）所示. 该运动副由2组四杆结构串联而成，反向串联结构^{[16, 21]}与均布柔度的细长杆单元既扩大了运动副的运动行程，又抵消了运动副移动变形时2组四杆结构产生的寄生运动，故该运动副利于实现平台的大行程解耦运动. 同时，该运动副结构紧凑、尺寸参数少、可实现模块化装配，其移动自由度原理如图1（b）所示. 此外，该运动副变形时无应力刚化效应^[22]，有利于简化平台理论建模的难度.

基于该运动副，设计如图2所示的新型大行程两平动微定位平台，其包括4个相同的柔性支链和固定基座，驱动器置于平台内部.

如图3所示为平台支链一结构示意，该结构包含5个2T1R型柔性运动副，其中3个并联构成支链的驱动副，其余2个为被动副与约束副. 基于旋量理论^[23]设计方法，3个驱动副并联得到1T驱动副模块，1T驱动副模块与被动副串联得到3T1R运动副模块，3T1R运动副模块与约束副并联得到平台支链一，其运动自由度可表示为

(1) $2\left\{ {x,z,{\theta _y}} \right\} \cap \left\{ {x,y,{\theta _z}} \right\} = \left\{ x \right\},$

(2) $\left\{ x \right\} \cup \left\{ {y,z,{\theta _x}} \right\} = \left\{ {x,y,z,{\theta _x}} \right\},$

(3) $\left\{ {x,y,z,{\theta _x}} \right\} \cap \left\{ {x,y,{\theta _z}} \right\} = \left\{ {x,y} \right\}.$

关于微定位平台的驱动方案，两自由度微定位平台采用驱动器可固定安装的并联式结构，且平台具有较大的运动行程，因此拟采用具有毫米级位移输出的音圈电机以实现平台驱动. 以平台x轴方向为例，当音圈电机单独沿支链一或支链三驱动副施加驱动位移时，动平台即可实现沿x轴的位移输出.

基于2T1R型柔性运动副与微定位平台整体结构布局的特点，类比文献[15]~[17]中两自由度微定位平台，本文所设计微定位平台具有以下优点：1）微定位平台均由同一模块的大行程柔性运动副组成，因此平台运动行程大、尺寸参数少，易于模块化装配；2）组成微定位平台的2T1R型柔性运动副变形时不产生寄生运动，故平台输入输出完全解耦；3）组成微定位平台的2T1R型柔性运动副无应力刚化效应^[22]，其受力与变形之间为线性关系，简化了平台理论建模的难度；4）微定位平台结构紧凑、有效台面大，利于与微夹持器相结合.

基于直角形柔性铰链和桥式机构，设计如图4所示的微夹持器，其由对称布置的桥式机构组成. 微夹持器由压电陶瓷驱动，通过桥式机构实现位移的放大与正交输出. 为了控制夹持力防止过载，基于双簧片结构设计柔性末端^[5]，如图5所示，其可根据末端变形实现对夹持力的定量分析. 微定位夹持系统结构如图6所示，其包括1个两自由度微定位平台和1个微夹持器，其中微夹持器为末端执行器，固定端在x轴方向与动平台相连. 通过与微定位平台的配合，微定位夹持系统中微夹持器具有高定位精度和较大的可达定位空间.

力−位移关系是微定位平台的重要静态特性，建立微定位平台力−位移关系的理论模型，不仅可以为后续实验控制提供依据，还可以指导平台的优化设计. 微定位平台力−位移关系常用的分析方法有柔度矩阵法^[21]、伪刚体模型法^[24]、非线性模型法^[25]和简化的线弹性梁模型法^{[17, 26]}. 该微定位平台结构均由2T1R型柔性运动副构成，该运动副变形时无应力刚化效应，受力与变形为线性关系，因此可采用分析过程直观、忽略非线性变形、在分析线性关系时具有高精度的线弹性梁模型法对平台的力−位移关系进行分析.

平台为解耦对称结构，沿x、y轴方向特性完全相同，以x轴方向为研究对象，建立平台在x轴方向的力−位移关系模型. 通过建立单根细长杆单元的力−位移关系模型，可以得到平台整体在x轴方向的力−位移关系. 如图7所示，支链一中各运动副均为反向串联结构，其受力与变形为线性关系，其中细长杆e_i(i=1,2)的刚度k_eⁱ为

(4) ${k_{e_i}} = \frac{{E{t_i}^4}}{{{l_i}^3}};i = 1,2 .$

式中：E为杨氏模量，l_i、t_i别为细长杆e_i的长度、厚度. 则对应支链一中各运动副的刚度为

(5) ${k_i} = \frac{{4{k_{e_i}}}}{2} = 2\frac{{E{t_i}^4}}{{{l_i}^3}};i = 1,2 .$

如图8所示，基于并联机构的运动学原理，当沿x轴方向支链一驱动副单独施加驱动位移δ_x时，支链一及支链三中驱动副与约束副、支链二及支链四中被动副与约束副均产生弹性变形，由此可得平台的输入刚度K_p，以及驱动力F_p与驱动位移δ_x之间的关系：

(6) ${K_{{\rm{p}}}} = 10{k_1} + 2{k_2} = 4E\left(\frac{{5E{t_1}^4}}{{{l_1}^3}} + \frac{{E{t_2}^4}}{{{l_2}^3}}\right) ,$

(7) ${F_{{\rm{p}}}} = {K_{{\rm{p}}}}{\delta _x}.$

丢失运动是指平台输入、输出位移之间的差值，为了提升平台的定位精度，应减小平台的丢失运动. 驱动力作用支链下被动副的轴向变形是造成微定位平台丢失运动的主要原因. 如图9所示，当沿x轴方向支链一驱动副施加驱动位移δ_x时，该支链中驱动副与被动副所承受作用力F₁与 ${F'_{1}}$分别为

(8) ${F_{\rm{1}}} = {k_{\rm{1}}}{\delta _x},$

(9) ${F'_{1}} = {K_{{\rm{p}}}}{\delta _x} - 3{F_1}.$

因被动副为反向串联结构，2组四杆机构分别受到力 ${F'_{1}} $的作用发生轴向变形，其中反向四杆机构发生拉伸变形，正向四杆机构发生压缩变形. 基于胡克定律，平台丢失运动

(10) ${\delta _{{\rm{lost}}}} = \frac{{2{{F'_{1}}}}}{4} \times \frac{{{l_2}}}{{E{t_2}^2}} = \frac{{{{F'_{1}}}{l_2}}}{{2E{t_2}^2}} .$

平台中承受压力的细长杆易发生压杆失稳现象，进而影响平台的静态性能，因此有必要分析平台屈曲. 同理，当沿x轴方向支链一驱动副施加驱动位移δ_x时，该支链中被动副承受轴向压力，被动副为反向串联结构，其中正向四杆机构承受压力，有压杆失稳风险. 选取其中细长杆e₂进行屈曲分析，根据欧拉公式，细长杆e₂可承受的临界压力F_cr为

(11) ${F_{{\rm{cr}}}} = \dfrac{{{\text{π}^{\rm{2}}}E{I_2}}}{{{{\left(\dfrac{{{l_2}}}{2}\right)}^2}}} .$

式中：I₂为细长杆e₂的截面惯性矩.

为了保证材料变形在弹性范围内，当平台多轴联动时，对平台进行材料应力分析. 如图10所示，当x轴方向支链一驱动副与y轴方向支链二驱动副施加驱动位移δ_x时，以支链一为例，该支链中细长杆e₂同时承受弯曲与压缩应力，基于线弹性梁模型^[26]，其所受最大应力σ_p为

(12) ${\sigma _{\rm{p}}} = {\sigma _{\rm{b}}} + {\sigma _{\rm{c}}}.$

其中弯曲应力σ_b与压缩应力σ_c分别为

(13) ${\sigma _{\rm{b}}} = \frac{{{k_{e_2}}{\delta _x}{l_2}}}{{4{W_2}}},$

(14) ${\sigma _{\rm{c}}} = \frac{{({K_{{\rm{p}}}} - 3{k_{\rm{1}}}){\delta _x}}}{{4{A_2}}}.$

式中：W₂、A₂分别为细长杆e₂的抗弯截面系数、面积.

位移放大倍率是微夹持器的重要静态特性. 为了提升理论分析的精度，基于欧拉-伯努利梁模型与能量守恒定律，充分考虑柔性铰链与连接梁的拉伸和弯曲变形，建立位移放大倍率的理论模型. 由图11可知，组成微夹持器结构的桥式机构为平面对称结构，取其1/4结构进行受力分析. 如图12所示，桥式机构的受力平衡方程为

(15) ${f_{{A}}} = {f_{{B}}} = {f_x} = {F_{{\rm{gin}}}} ,$

(16) $2{M_{\rm{r}}} = {f_x}w .$

式中：w为2个柔性铰链的间距，f_A、f_B为刚性构件所受力，f_x、M_r分别为柔性铰链所受力和力矩，F_gin为桥式结构的输入力.

用L₁、L₂分别表示柔性铰链和刚性连接梁的长度，基于胡克定律，柔性铰链和连接梁的伸长量分别为

(17) $\varDelta _{L_1} = \frac{{{f_x}}}{{{K_{{L_{\rm{1}}}}}}},\varDelta _{L_2} = \frac{{{f_x}}}{{{K_{{L_2}}}}} .$

基于欧拉−伯努利梁模型，柔性铰链和连接梁的弯曲应变能为

(18) ${W_{{L_1}}} = \frac{{{f_x}{w^2}}}{{8{K_{{\theta _{\rm{1}}}}}}},{W_{{L_2}}} = \frac{{{f_x}{w^2}}}{{8{K_{{\theta _{\rm{2}}}}}}} .$

当驱动位移为Δ_x时，基于能量守恒定律，有：

(19) $\frac{1}{2}{f_x}\varDelta_ x = \frac{1}{2}{f_x}(2\varDelta _{L_1} + \varDelta_ {L_2}) + 2{W_{{L_1}}} + {W_{{L_2}}} .$

联立式（15）~（19）可得：

(20) $\varDelta_ x = \left(\frac{2}{{{K_{{L_1}}}}} + \frac{1}{{{K_{{L_2}}}}} + \frac{{{w^2}}}{{2{K_{{\theta _{\rm{1}}}}}}} + \frac{{{w^2}}}{{4{K_{{\theta _{\rm{2}}}}}}}\right){f_x}.$

基于桥式机构的刚度矩阵^[27]，柔性铰链和连接梁的拉伸刚度 ${K_{{L_1}}}$、 ${K_{{L_2}}}$和转动刚度 ${K_{{\theta _{\rm{1}}}}}$、 ${K_{{\theta _{\rm{2}}}}}$为

(21) $\left. \begin{array}{l} {K_{{L_1}}} = \dfrac{{{E^1}d{h_1}}}{{{L_1}}},{K_{{\theta _{\rm{1}}}}} = \dfrac{{{E^1}d{h_1}^3}}{{12{L_1}}}, \\ {K_{{L_2}}} = \dfrac{{Ed{h_2}}}{{{L_2}}},{K_{{\theta _{\rm{2}}}}} = \dfrac{{Ed{h_2}^3}}{{12{L_2}}}. \\ \end{array} \right\}$

式中：h₁为柔性铰链的厚度，h₂为刚性连接梁的厚度，d为桥式结构的宽度. 当d>10h₁时，杨氏模量E应修正为平面模量E¹，二者之间的关系为^[21]

(22) ${E^1} = E/\left( {1 - {v^2}} \right) .$

式中：v为材料的泊松比.

基于欧拉-伯努利梁模型，桥式机构的输出位移Δ_y为柔性铰链和连接梁的挠度之和，即：

(23) $ \begin{split} \varDelta_ y =&2\displaystyle\iint {\dfrac{{{M_{\rm{r}}}\left(x\right)}}{{{E^1}I\left(x\right)}}}{\rm{d}}x + \displaystyle\int_0^{{L_2}} {\int_0^{{L_1}} {\dfrac{{{M_{\rm{r}}}\left(u\right)}}{{{E^1}I\left(u\right)}}} } {\rm{d}}u{\rm{d}}x +\\ & \displaystyle\int_0^{{L_2}} {\left(\int_0^x {\dfrac{{{M_{\rm{r}}}\left(u\right)}}{{EI\left(u\right)}}} {\rm{d}}u\right)}{\rm{d}}x = \left(\dfrac{{\left({L_1} + {L_2}\right)w}}{{2{K_{{\theta _{\rm{1}}}}}}} + \dfrac{{{L_2}w}}{{4{K_{{\theta _{\rm{2}}}}}}}\right){f_x}. \\ \end{split} $

联立式（20）和（23），可求得微夹持器的位移放大倍率R_amp为

(24) ${R_{{\rm{amp}}}} = \dfrac{{{\varDelta _{{\rm{out}}}}}}{{\varDelta_ x}} = \dfrac{{2\varDelta_ y}}{{\varDelta_ x}} = \dfrac{{2\left(\dfrac{{({L_1} + {L_2})w}}{{2{K_{{\theta _{\rm{1}}}}}}} + \dfrac{{{L_2}w}}{{4{K_{{\theta _{\rm{2}}}}}}})\right)}}{{\dfrac{2}{{{K_{{L_1}}}}} + \dfrac{1}{{{K_{{L_2}}}}} + \dfrac{{{w^2}}}{{2{K_{{\theta _{\rm{1}}}}}}} + \dfrac{{{w^2}}}{{4{K_{{\theta _{\rm{2}}}}}}}}}.$

式中：Δ_out为微夹持器沿x轴方向输出位移.

力−位移关系是微夹持器的重要静态特性，建立微夹持器力−位移关系的理论模型，不仅可以为后续的实验控制奠定理论基础，还可以对夹持力进行定量分析以防止过载. 联立式（15）、（20），可求得到微夹持器的输入刚度K_g为

(25) ${K_{\rm{g}}} = \dfrac{{2{F_{{\rm{gin}}}}}}{{\varDelta_ x}} = \dfrac{2}{{\dfrac{2}{{{K_{{L_{\rm{1}}}}}}} + \dfrac{1}{{{K_{{L_{\rm{2}}}}}}} + \dfrac{{{w^2}}}{{2{K_{{\theta _{\rm{1}}}}}}} + \dfrac{{{w^2}}}{{4{K_{{\theta _{\rm{2}}}}}}}}}.$

如图5、图11所示，当微夹持器输入位移为Δx、柔性末端横向位移为s时，基于能量守恒定律，有：

(26) $\frac{2}{2}{F_{{\rm{pzt}}}}\varDelta x = \frac{2}{2}{K_{\rm{g}}}\varDelta {x^2} + \frac{1}{2}{F_{\rm{g}}}s.$

其中夹持力F_g的计算公式为^[5]

(27) ${F_{\rm{g}}} = 2Es{d_{\rm{g}}}h{{}_{\rm{g}}^3}/{l_{\rm{g}}}^3.$

式中：d_g、h_g、l_g分别为柔性末端簧片的厚度、宽度与长度. 联立式（25）~（27）可得微夹持器驱动力F_pzt与输入位移Δ_x、柔性末端横向位移s的关系式：

(28) ${F_{{\rm{pzt}}}} = {K_{\rm{g}}}\varDelta_ x + {F_{\rm{g}}}\frac{s}{{2\varDelta_ x}}\; .$

为了证材料变形在弹性范围内，对微夹持器中柔性铰链进行材料应力分析，其最大应力σ_g为

(29) ${\sigma _{\rm{g}}} = \frac{{{M_{\rm{g}}}}}{{{W_3}}} + \frac{{{f_x}}}{{{A_3}}}.$

其中M_g为

(30) ${M_{\rm{g}}} = {M_{\rm{r}}} = \frac{1}{2}{f_x}w.$

式中：W₃、A₃分别为柔性铰链的抗弯截面系数和截面面积.

为了研究微夹持器的动态特性，对微夹持器进行模态分析. 如图11所示，取微夹持器的输入位移Δ_x为广义坐标p，则微夹持器的动能可以表示为

(31) $ \begin{split} T=&{m}_{1}\left({\dot{p}}^{2}+{\left(\dfrac{{R}_{\rm{amp}}\dot{p}}{2}\right)}^{2}\right)+\dfrac{{m}_{3}{\dot{q}}^{2}}{2}+{m}_{2}\left(\left({\dfrac{\dot{p}}{2}}\right)^{2}+{\left(\dfrac{{R}_{\rm{amp}}\dot{p}}{4}\right)}^{2}\right)+\\ &{m}_{2}\left(\left({\dfrac{\dot{p}}{2}}\right)^{2}+{\left(\dfrac{3{R}_{\rm{amp}}\dot{p}}{4}\right)}^{2}\right)+2{J}_{2}\left({\dfrac{p\cdot{R}_{\rm{amp}}}{2({L}_{1}+{L}_{2})}}\right)^2. \end{split} $

基于拉格朗日方程^[28]，微夹持器的等效质量M_ge与等效刚度K_ge分别为

(32) $ \left. \begin{array}{l} {M_{{\rm{ge}}}} = {R_{{\rm{amp}}}}^2\left( {{m_1}\left( {\dfrac{2}{{{R_{{\rm{amp}}}}^2}} + \dfrac{1}{2}} \right) + } \right.\\ \quad\quad\;\;\left. {{m_2}\left( {\dfrac{1}{{{R_{{\rm{amp}}}}^2}} + \dfrac{5}{4}} \right){\rm{ + }}\dfrac{{{J_2}}}{{{{({L_1} + {L_2})}^2}}} + {m_3}} \right),\\ \quad\quad\;\;{K_{{\rm{ge}}}} = 2{K_{{\rm{gin}}}}. \end{array} \right\} $

式中：m₁、m₂、m₃分别为微夹持器中各刚性部件的质量，J₂为转动惯量. 微夹持器的固有频率为

(33) $ {f_{\rm{g}}} = \sqrt {{K_{{\rm{ge}}}}/{M_{{\rm{ge}}}}} /2\text{π}{.} $

模态是微定位平台的固有振动特性. 为了直观地描述微定位平台结构参数与固有频率之间的关系，对微定位平台进行模态分析. 基于拉格朗日方程，微定位平台的等效质量与等效刚度为

(34) $\left. \begin{array}{l} {M_{{\rm{pe}}}} = \dfrac{{13}}{{35}}{M_1} + {M_{\rm{2}}}, \\ {K_{{\rm{pe}}}} = {K_{{\rm{p}}}}. \\ \end{array} \right\}$

式中：M₁为平台发生弹性变形的柔性部件质量之和，M₂为平台平动的刚、柔性部件质量之和. 式（34）的推导过程可参考文献[22]. 微定位平台的一阶固有频率为

(35) ${f_{\rm{p}}} = \sqrt {{K_{{\rm{pe}}}}/{M_{{\rm{pe}}}}} /2\text{π}{.}$

上述理论分析未充分考虑微定位平台与微夹持器静、动态特性间的相互影响，因此建立微定位夹持系统的全局优化模型，以同时提高微定位夹持系统的静、动态特性. 选择AL-7075作为微定位平台与微夹持器的材料，其中E=7.17 GPa，v=0.33，屈服强度为503 MPa，密度为2 810 kg/m³. 微定位夹持系统的主要结构参数包括细长杆的长度e_i和宽度l₁、t₁、l₂、t₂，柔性铰链的长度L₁和厚度h₁，刚性连接梁的长度L₂，柔性铰链的间距w，基于式（6）、（10）、（24）、（25）、（33）、（35），取优化模型的设计变量为

(36) ${\boldsymbol{X}} = {\left[ {{l_1},{t_1},{l_2},{t_2},{L_1},{h_1},{L_2},w} \right]^{\rm{T}}}.$

其中设计变量的范围与初始值X₀分别为

(37) $\begin{array}{l} {[21.0,0.5,21.0,0.5,1.5,0.2,10.0,1.0]^{\rm{T}}} \leqslant {\boldsymbol{X}} \leqslant \\ {[26.0,1.0,26.0,1.0,5.0,0.4,25.0,3.0]^{\rm{T}}}, \\ \end{array} $

(38) ${{\boldsymbol{X}}_0} = {[21.0,0.5,21.0,0.5,1.5,0.4,14.0,2.0]^{\rm{T}}}.$

为了方便后续试验中驱动器选型，设定音圈电机与压电陶瓷的预期最大驱动位移分别为1 mm和0.01 mm，设定平台所需驱动力不超过100 N，微夹持器的输入刚度不超过6 N/μm. 同时，平台最大应力不应超过许用应力且不应发生屈曲现象，微夹持器最大应力不应超过许用应力. 为了提高微定位夹持系统的静、动态特性，优化时：1）减小平台的丢失运动；2）增加平台的一阶频率；3）增大微夹持器的位移放大倍率；4）增大微夹持器的工作频率. 基于上述，微定位夹持系统优化模型的目标函数与约束条件分别为

(39) $\;\left. \begin{array}{l} \min \;{f_1}({\boldsymbol{X}}) = {\delta _{{\rm{lost}}}}, \\ \max \;{f_{{\rm{ 2}}}}({\boldsymbol{X}}) = {f_{\rm{p}}}, \\ \max \;{f_3}({\boldsymbol{X}}) = {R_{{\rm{amp}}}}, \\ \max \;{f_4}({\boldsymbol{X}}) = {f_{\rm{g}}}{\rm{,}} \\ \end{array} \right\}$

(40) $\;s.t.\;\left. \begin{array}{l} {\delta _x} = 1,\varDelta_ x = 0.01, \\ {F_{{\rm{p}}}} \leqslant 100,{K_{\rm{g}}} \leqslant 6, \\ {\sigma _{\rm{p}}} \leqslant \dfrac{\sigma }{k},{\sigma _{\rm{g}}} \leqslant \dfrac{\sigma }{k}, \\ \dfrac{F'_{{1}}}{4} \leqslant \dfrac{{{F_{{\rm{cr}}}}}}{k}. \\ \end{array} \right\}$

为了保证可靠性，设定安全系数k=2.

基于MATLAB中的fmincon和fgoalattain函数，采用目标规划法对微定位夹持系统进行多目标参数优化. 参数优化后微定位夹持系统的尺寸为196 mm×196 mm×51 mm，其主要结构参数如表1所示.

微定位夹持系统优化前后的静、动态特性如表2所示. 由表可知，优化后：1）微定位平台的固有频率提升25.3%，丢失运动减小25.2%；2）微夹持器的固有频率增加18.3%，位移放大倍率提升28.8%. 微定位夹持系统的静、动态特性均有较大提升，优化结果完全符合预期.

为了验证所推导理论模型的正确性和优化模型的可行性，基于表1所确定的微定位夹持系统结构参数，运用Abaqus构建有限元分析模型，分别对微定位平台和微夹持器的静、动态特性进行有限元仿真验证.

如图13所示，沿x轴方向施加0~1 mm的驱动位移δ_x，则微定位平台各项静态性能如图14所示.

如图14（a）所示，在0~1 mm驱动位移δ_x内，基于式（7）微定位平台沿x轴方向驱动力F_p理论、仿真的最大值分别为18.22、19.24 N，理论值与仿真值的相对误差为0.2%~5.6%. 如图14（b）所示，在0~1 mm驱动位移δ_x内，基于式（10）微定位平台丢失运动δ_lost理论、仿真的最大值分别为3.86 μm、4.14 μm，理论值与仿真值的相对误差为0.1%~7.3%. 由图14仿真结果可知，平台支链一中细长杆e₂所承受压力 ${F'_{{1}}}$的仿真值为3.78 N，基于式（9）可知对应压力 ${F'_{{1}}}$的理论值为3.99 N，理论值与仿真值的相对误差为5.2%. 由式（11）可知细长杆e₂所能承受压力F_cr的临界值为196.21 N，远大于其实际所承受压力 ${F'_{{1}}}$，表明细长杆无压杆失稳风险.

为了验证微定位平台的最大应力，如图15所示，沿x、y轴方向同时施加1 mm的驱动位移δ_x. 由仿真结果可知，支链一中细长杆e₂所受最大应力σ_p的仿真值为191.7 Mpa. 基于式（12）可知对应最大应力σ_p的理论值为196.2 Mpa，理论值与仿真值的相对误差为2.3%，且理论值与仿真值均远小于材料许用应力，表明平台无应力失效风险.

微定位夹持系统通过微定位平台实现微夹持器的精密定位，而解耦性能是影响平台精密定位能力的关键. 为了验证平台的解耦性能，分别对平台的输入输出耦合位移δ_c进行仿真.

平台不同方向各自由度输入点之间相互干扰所造成的位移称为平台的输入耦合，动平台在非输入方向上的输出位移称为平台的输出耦合. 如图13所示，沿x轴方向施加0~1 mm单轴驱动位移δ_x，则平台y轴输入点的耦合位移、平台中心点沿y轴的输出耦合位移如图16所示. 由图16可知，微定位平台输入、输出耦合位移的最大值分别为0.29 μm、0.46 μm. 平台输入、输出耦合位移均小于驱动位移的0.05%，可忽略不计，表明平台沿x轴输入输出完全解耦.

结合仿真结果可知，在1 mm驱动位移内，微定位平台的丢失运动δ_lost仅占驱动位移δ_x的0.41%，且其输入输出完全解耦，表明微定位平台具备实现微定位夹持系统中微夹持器精密定位的能力.

如图17所示，沿y轴方向在微夹持器两端输入点分别施加0~0.01 mm的驱动位移Δ_x，则微夹持器各项静态性能如图18所示.

由图17所示仿真结果可知微夹持器中最大应力σ_g仿真值为93.4 MPa，基于式（29）可知对应最大应力σ_g理论值为89.2 MPa，理论值与仿真值的相对误差为4.7%，且理论值与仿真值均远小于材料许用应力，表明柔性铰链无应力失效风险.

如图18（a）所示，在0~0.01 mm驱动位移内，基于式（24）微夹持器末端中心点在x轴方向输出位移Δ_out理论和仿真的最大值分别为196.1 μm、186.4 μm，理论值与仿真值的相对误差为0.5%~4.9%. 图18（b）中，在0~0.01 mm驱动位移内，基于式（26）微夹持器输入方向驱动力F_pzt理论和仿真的最大值分别为33.7 N/μm、35.2 N/μm，理论值与仿真值的相对误差为0.2%~4.5%.

对微夹持器进行有限元模态分析，得到微夹持器的前3阶模态振型如图19所示，其中三阶振型为微夹持器位移输出方向的工作振型. 基于式（33）可知微夹持器工作频率的理论值、仿真值分别为346.27、360.42 Hz，理论值与仿真值的相对误差为4.1%.

对微定位平台进行有限元模态分析，得到微定位平台的前4阶模态振型如图20所示，其中一阶振型为平台沿自由度方向的输出振型.

由仿真结果可知，微定位平台前4阶固有频率的仿真值分别为53.32、65.49、206.51、258.35 Hz. 基于式（35）可知微定位平台一阶固有频率理论值为51.16 Hz，理论值与仿真值的相对误差为4.2%，表明理论模型完全正确.

基于模态分析结果：1）微定位平台、微夹持器固有频率理论值与仿真值的相对误差均小于5%，理论模型完全正确；2）微定位平台与微夹持器动态特性间的相互影响还未深入研究，其在后续工作中还有待进一步完善.

微夹持器可达定位空间是微定位夹持系统的重要性能指标. 微夹持器的可达定位空间，可通过分析微定位平台丢失运动δ_lost、微夹持器位移放大倍率R_amp得到.

以微夹持器柔性末端为研究对象，基于式（10）和（24），当微定位平台沿x、y轴方向驱动位移为δ_x、微夹持器驱动位移为Δ_x时，其在x-y平面上的可达定位空间为

(41) $\left. \begin{array}{l} {d_x}^ + = {\delta _x} - {\delta _{{\rm{lost}}}} + {R_{{\rm{amp}}}}\varDelta _x, \\ {d_x}^ - = - ({\delta _x} - {\delta _{{\rm{lost}}}} + {R_{{\rm{amp}}}}\varDelta _x), \\ {d_y}^ + = {\delta _x} - {\delta _{{\rm{lost}}}}, \\ {d_y}^ - = - ({\delta _x} - {\delta _{{\rm{lost}}}}). \\ \end{array} \right\}$

式中：d_x⁺、d_x⁻、d_y⁺、d_y⁻分别为微夹持器柔性末端在x、y轴正负方向的定位行程. 将相关数据代入式（10）、（24）和（41）可知该微夹持器在x、y轴的定位行程分别为±1182.3 、±995.9 μm. 由此可得微夹持器的可达定位空间如图21所示. 与现有相同定位原理的微夹持器^[29]相比，本文微夹持器的可达定位空间有较大提升. 研究表明，该微定位夹持系统中微夹持器能够实现x-y平面内大行程运动.

（1）提出新型大行程两自由度柔性微定位平台，并将其与微夹持器相结合，设计大行程两自由度柔性微定位夹持系统.

（2）建立微定位夹持系统静、动态特性的理论模型，并建立全局优化模型确定微定位夹持系统的最优参数，实现微定位夹持系统的参数优化.

（3）通过有限元仿真验证微定位夹持系统理论模型的正确性与优化模型的可行性，结果表明，微定位夹持系统中微夹持器在x、y轴方向分别具有[−1182.3，1182.3]、[−995.9，995.9] μm的可达定位空间.

（4）本文未对微定位夹持系统的样机制作与实验测试进行研究，其在后续工作中还有待进一步完善.