电液伺服系统的功重比大，传动形式简单，响应速度快，被广泛应用于工程设备^[1-2]、航空航天^[3]领域. 随着工业自动化技术的发展，电液伺服系统面临更为恶劣的作业环境与更为严格的性能指标，驱使工业界和学术界不断探究更高精度、高鲁棒性的控制策略.

经典控制理论为系统建模与分析提供了基础^[4]，使得以PID为代表的线性控制策略被广泛应用于各类电液伺服位置控制系统中^[5-7]. 随着现代控制理论的发展，电液伺服系统的状态空间模型和非线性控制方法的研究取得显著进展^[8]，以反步法为基础的自适应控制^[9]、鲁棒控制^[10-11]策略被相继提出. PID控制策略虽然能够实现高精度的静态稳定控制，但动态响应能力有限；控制策略（如鲁棒自适应）虽然能够提高系统响应能力，但存在参数调节困难、依赖模型的缺陷. 在此背景下，韩京清^[12]提出自抗扰控制(active disturbance rejection control, ADRC)策略，Gao^[13]改进ADRC，发展出兼具调节参数少、鲁棒性强、控制精度高、不依赖模型等优点的线性自抗扰控制(linear active disturbance rejection control LADRC)，为控制系统设计提供了新的方法.

关于LADRC参数整定方法的研究集中在低阶线性被控对象和二阶LADRC的控制策略上^[14-16]，通过提取闭环传递函数特征方程，直接进行LADRC的参数稳定域求解. 对于电液伺服系统这类高阶系统，当采用LADRC的控制策略时，闭环系统特征方程的次数超过7次，LADRC的参数稳定域难以求解，致使控制器参数整定困难. 本研究针对电液伺服系统LADRC参数难以整定的问题，推导LADRC的频域等效模型，分析等效模型的频域特性，研究各参数对电液伺服系统闭环性能的影响规律，提出电液伺服系统LADRC参数匹配设计方法，以期为电液伺服系统LADRC参数设计提供参考.

电液位置伺服控制系统的组成如图1所示，阀控缸系统是电液伺服系统中典型的被控对象，阀控缸模型的描述方法已经趋于完善^[17-19]，液压缸活塞位移与阀口开度的关系可描述为

(1)$ Y\left( s \right) = \frac{{{K_{{\mathrm{a}}}}\left[ {U\left( s \right)+D\left( s \right)} \right]}}{{s\left( {\dfrac{{{s^2}}}{{{\omega _{{\mathrm{h}}}}^2}}+\dfrac{{2{\xi _{{\mathrm{h}}}}}}{{{\omega _{{\mathrm{h}}}}}}s+1} \right)}}. $

式中：$ Y(s) $为活塞位移；$ U(s) $为伺服阀阀口相对开度；$ D(s) $为折算至阀口开度的等效扰动，由外部扰动（如负载）和内部扰动（如建模误差）组成；$ {K_{\text{a}}} $为液压系统的速度增益. 当液压缸两腔压力改变或阀口开启方向改变时，速度增益系数将产生相应的变化，为了减小$ D(s) $，在常规负载压力处建模$ {K_{\text{a}}} $：

(2)$ \left. \begin{gathered} \alpha = {{{A_2}}}/{{{A_1}}}, \\ {K_{\mathrm{a}}} = \frac{{\left( {1 + \alpha } \right){Q_{{\text{ch}}}}}}{{\left( {{A_{\text{1}}} + {A_2}} \right)\sqrt {\Delta {p_{{\text{ch}}}}} }}\times \\ \left( \sqrt {\frac{1}{{1 + {\alpha ^3}}}\left( {{p_{\text{S}}} - \alpha {p_{\text{T}}} - {p_{\text{L}}}} \right)} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {\alpha ^3}}}\left( {\alpha {p_{\text{S}}} - {p_{\text{T}}}+{p_{\text{L}}}} \right)} \,\right) . \\ \end{gathered} \right\} $

式中：$ {Q_{{\text{ch}}}} $为伺服阀最大开度时的特征流量；$ \Delta {p_{{\text{ch}}}} $为特征流量对应的伺服阀单边压降；$ {A_1} $为无杆腔有效面积；$ {A_2} $为有杆腔的有效面积；$ {p_{\text{S}}} $为系统压力；$ {p_{\text{T}}} $为回油压力；$ {p_{\text{L}}} $为负载压力，$ {p_{\text{L}}} = {p_1} - \alpha {p_2} $. 液压固有频率$ {\omega _{\text{h}}} $与阀口开度、活塞位置、活塞运动速度、等效负载质量有关，为了减小$ D(s) $，$ {\omega _{\text{h}}} $取常规工作位置和负载质量的数值计算：

(3)$ {\omega _{\text{h}}} = \sqrt {\frac{{{\beta _{\text{e}}}}}{m}\left( {\frac{{{A_1}^2}}{{{V_1}}}+\frac{{{A_2}^2}}{{{V_2}}}} \right)} . $

式中：$ {\beta _{\text{e}}} $为油液弹性模量；$ m $为折算至液压缸上的等效质量；$ {V_1} $为无杆腔与管路容积、$ {V_2} $为无杆腔与管路容积. 液压阻尼比$ {\xi _{\text{h}}} $与阀口开度、泄漏相关，阀控缸系统是典型的欠阻尼系统，取$ {\xi _{\text{h}}} $=0.1~0.2.

电液伺服系统线性自抗扰控制器结构如图2所示，$y$为液压缸活塞位移，选取系统状态变量$ {[{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}]}^{\text{T}}={[y, \dot{y}, \ddot{y}]}^{\text{T}} $，将被控对象描述为积分串联型系统：

(4)$ {{\dot x}_1} = {x_2}, \;\; {{\dot x}_2} = {x_3}, \;\; {{\dot x}_3} = {b_0}u+d. $

式中：$ {b_0} $为名义控制增益，是线性自抗扰控制器参数；$ d $为系统的总扰动，$ {f_{\text{d}}} \triangleq \dot d $. 将$ d $扩张为新的状态${x_4}$，扩张后系统状态空间方程为

(5)$ \left. \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2}, \; {{\dot x}_2} = {x_3}, \\ {{\dot x}_3} = {x_4}+{b_0}u, \; {{\dot x}_4} = {f_{\text{d}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

对应线性扩张状态观测器(linear extended state observer，LESO)的形式为

(6)$ \left. \begin{gathered} {{\dot {\hat x}}_1} = {{\hat x}_2}+4{\omega _0}({x_1} - {{\hat x}_1}), \\ {{\dot {\hat x}}_2} = {{\hat x}_3}+6\omega _0^2({x_1} - {{\hat x}_1}), \\ {{\dot {\hat x}}_3} = {{\hat x}_4}+4\omega _0^3({x_1} - {{\hat x}_1})+{b_0}u, \\ {{\dot {\hat x}}_4} = \omega _0^4({x_1} - {{\hat x}_1}). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：$ {\omega _0} $为观测器带宽，是线性自抗扰控制器参数；${\hat x_i}$为对式(5)中状态变量的估计值，由于系统中的物理量均有界，基于Lyapunov稳定性理论，LESO的设计流程能够使各阶状态的估计误差收敛至有界范围，并能够通过增大观测器带宽来减小状态估计误差的最终收敛上界^[20]. 根据分离定理，独立设计状态反馈控制器：

(7)$ u = \frac{1}{{{b_0}}}\left[ {{\omega _{\text{c}}}^3\left( {r - {{\hat x}_1}} \right) - 3{\omega _{\text{c}}}^2{{\hat x}_2} - 3{\omega _{\text{c}}}{{\hat x}_3} - {{\hat x}_4}} \right]. $

式中：$ {\omega _{\text{c}}} $为控制器带宽，是线性自抗扰控制器参数；$ r $为期望的活塞位移指令. 当$ {\omega _0} $≫$ {\omega _{\text{c}}} $，状态估计误差极小时，电液伺服系统的闭环特性可近似描述为如下理论模型：

(8)$ \frac{{Y\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{{\omega _{\text{c}}}^3}}{{{{\left( {s+{\omega _{\text{c}}}} \right)}^3}}}. $

LADRC的设计范式在理论上表明，提高控制器和观测器的带宽即可任意提升系统的动态响应能力，而名义控制增益${b_0}$的设计是任意的. 在实际电液伺服系统中，由于伺服阀的开度饱和特性以及高阶未建模动态的存在，液压系统无法实现任意强度的调节能力和扰动抑制能力；此外，当LADRC策略在计算机系统中实施时，计算步长和采样噪声会对LADRC的控制性能产生影响，过高的观测器和控制器带宽理论设计值将导致控制量的输出产生激烈震荡，造成伺服阀高频抖动，系统失稳. 因此，针对电液伺服系统线性自抗扰控制器参数的设计方法，仍需开展进一步的研究.

线性自抗扰控制器的结构不含非线性项，能够借助频域等效方法深入分析控制器特性. 联立式(6)、(7)，求解控制器输出$u$关于状态变量的估计值$ \hat {\boldsymbol{x}} = {\left[ {{{\hat x}_1},{{\hat x}_2},{{\hat x}_3},{{\hat x}_4}} \right]^{\mathrm{T}}} $、期望位移指令$r$以及液压缸位移反馈$y$的状态空间矩阵表达式：

(9)$ \left. \begin{gathered} {\dot {\hat {\boldsymbol{x}}}} = {\bar {\boldsymbol{A}}\hat {\boldsymbol{x}}}+{\bar {\boldsymbol{B}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r \\ y \end{array}} \right], \\ u = {\bar {\boldsymbol{C}}\hat {\boldsymbol{x}}}+{\bar {\boldsymbol{D}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r \\ y \end{array}} \right]. \\ \end{gathered} \right\} $

(10)$ \left. \begin{split}& {\bar {\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4{\omega _0}}&1&0&0 \\ { - 6\omega _0^2}&0&1&0 \\ { - 4\omega _0^3 - {\omega _{\text{c}}}^3}&{ - 3{\omega _{\text{c}}}^2}&{ - 3{\omega _{\text{c}}}}&0 \\ { - \omega _0^4}&0&0&0 \end{array}} \right],\\& {\bar {\boldsymbol{B}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ {{\omega _{\text{c}}}^3} \end{array}} \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {4{\omega _0}} \\ {6\omega _0^2} \\ {4\omega _0^3} \\ {\omega _0^4} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right], \\& {\bar {\boldsymbol{C}}} = \frac{1}{{{b_0}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\omega _{\text{c}}}^3},&{ - 3{\omega _{\text{c}}}^2},&{ - 3{\omega _{\text{c}}}},&{ - 1} \end{array}} \right],\\& {\bar {\boldsymbol{D}}} = \frac{1}{{{b_0}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _{\text{c}}}^3},&0 \end{array}} \right]. \\ \end{split} \right\} $

对式(9)进行拉式变换，得到控制器输出$u$与期望位移指令$r$以及液压缸位移反馈$y$之间的频域关系式：

(11)$ \begin{split} U\left( s \right) =& \left[ {{\bar {\boldsymbol{C}}}{{\left( {s{{\boldsymbol{I}}} - {\bar {\boldsymbol{A}}}} \right)}^{ - 1}}{{{\bar {\boldsymbol{B}}}}_1}+{{\bar D}_1}} \right]R\left( s \right)+ \\ & \left[ {{\bar {\boldsymbol{C}}}{{\left( {s{{\boldsymbol{I}}} - {\bar {\boldsymbol{A}}}} \right)}^{ - 1}}{{{\bar {\boldsymbol{B}}}}_2}+{{\bar D}_2}} \right]Y\left( s \right). \end{split} $

(12)$ \left. \begin{gathered} {{{\bar {\boldsymbol{B}}}}_1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0,&0,&{{\omega _{\text{c}}}^3},&0 \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}}, \\ {{\bar D}_1} = {{{\omega _{\text{c}}}^3}}/{{{b_0}}}, \\ {{{\bar B}}_2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {4{\omega _0}},&{6\omega _0^2},&{4\omega _0^3},&{\omega _0^4} \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}},\; \\ {{\bar D}_2} = 0. \\ \end{gathered} \right\} $

由式(1)、(11)将电液伺服线性自抗扰控制系统等效为如图3所示的频域模型，其中$ N(s) $为采样信号中的噪声，$ {G_{\text{P}}}(s) $为被控对象的无扰动理论模型：

(13)$ {G_{\text{P}}}\left( s \right) = \frac{{{K_{\text{a}}}}}{{s\left( {\dfrac{{{s^2}}}{{{\omega _{\text{h}}}^2}}+\dfrac{{2{\xi _{\text{h}}}}}{{{\omega _{\text{h}}}}}s+1} \right)}}. $

$ {G_{\text{c}}}(s) $为等效串联矫正环节，定义带宽系数$k$，使得线性自抗扰控制器带宽与观测器带宽之间满足

(14)$ {\omega _{\text{c}}} = k{\omega _0}. $

则串联环节传递函数的表达式为

(15)$ {G_{\text{c}}}\left( s \right) = \frac{{{\omega _0}^4{C_1}{s^3}+{\omega _0}^5{C_2}{s^2}+{\omega _0}^6{C_3}s+{\omega _0}^7{C_4}}}{{{b_0}s\left( {{B_1}{s^3}+{\omega _0}{B_2}{s^2}+{\omega _0}^2{B_3}s+{\omega _0}^3{B_4}} \right)}}. $

(16)$ \left. \begin{gathered} {C_1} = 1+12k+18{k^2}+4{k^3}, \\ {C_2} = 3k+12{k^2}+6{k^3}, \\ {C_3} = 3{k^2}+4{k^3}, \; {C_4} = {k^3}, \\ {B_1} = 1, \; {B_2} = 4+3k, \\ {B_3} = 6+12k+3{k^2}, \\ {B_4} = 4+18k+12{k^2}+{k^3}. \\ \end{gathered} \right\} $

$ {G_{\text{F}}}(s) $为等效前馈矫正环节，

(17)$ {G_{\text{F}}}\left( s \right) = \frac{{{\omega _0}^3{F_1}{s^3}+{\omega _0}^4{F_2}{s^2}+{\omega _0}^5{F_3}s+{\omega _0}^5{F_4}}}{{{b_0}\left( {{B_1}{s^3}+{\omega _0}{B_2}{s^2}+{\omega _0}^2{B_3}s+{\omega _0}^3{B_4}} \right)}}. $

(18)$ \left. \begin{gathered} {F_1} = {k^3}, \; {F_2} = - \left( {1+12k+18{k^2}} \right), \\ {F_3} = - \left( {3k+12{k^2}} \right), \; {F_4} = - 3{k^2}. \\ \end{gathered} \right\} $

根据LADRC控制设计流程，${b_0}$、${\omega _0}$、${\omega _{\text{c}}}$的取值均大于0，即$k > 0$，基于Routh判据分析，确定前馈环节$ {G_{\text{F}}}(s) $的极点均具有负实部，前馈系统稳定；串联环节$ {G_{\text{c}}}(s) $与受控对象$ {G_{\text{P}}}(s) $均为最小相位系统. 稳定的前馈环节不会对闭环系统的稳定性产生影响，因此在系统稳定性分析时，须考虑串联环节$ {G_{\text{c}}}(s) $与受控对象$ {G_{\text{P}}}(s) $的频域特性，通过开环传递函数特性进行系统的稳定裕度设计，电液伺服系统开环传递函数${G_{\text{k}}}(s)$表达式为

(19)$ {G_{\text{k}}}\left( s \right) = {G_{\text{c}}}\left( s \right){G_{\text{P}}}\left( s \right). $

如图4所示为串联环节$ {G_{\text{c}}}(s) $的伯德图，其中L为响应信号对输入信号的幅值比，$\varphi $为响应信号对输入信号的相位滞后. 幅频曲线存在2处拐点频率ω_g1、ω_g2(ω_g1<ω_g2)，幅频曲线的渐近线斜率在拐点频率处改变，频率小于ω_g1时，渐近线斜率为−20 dB/dec，频率介于拐点频率之间时，渐近线斜率为40 dB/dec，频率大于ω_g2时，渐近线斜率为−20 dB/dec；相频曲线起始于−90°，在相位峰值频率${\omega _{\text{m}}}$处达到极大值.

式(15)中，零极点的解析解形式复杂，不便进行频域特性分析，由于系统的零点位置与极点位置分布集中，通过韦达定理求解拐点频率ω_g1、ω_g2以及相位峰值频率${\omega _{\text{m}}}$的近似解：

(20)$ \left. \begin{gathered} {\omega _{{\text{g}}1}} = {\omega _0}\sqrt[3]{{\frac{{{k^3}}}{{1+12k+18{k^2}+4{k^3}}}}}, \\ {\omega _{{\text{g}}2}} = {\omega _0}\sqrt[3]{{4+18k+12{k^2}+{k^3}}}, \\ {\omega _{\text{m}}} = \sqrt k {\omega _0}\sqrt[6]{{\frac{{4+18k+12{k^2}+{k^3}}}{{1+12k+18{k^2}+4{k^3}}}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

分别改变线性自抗扰控制器参数${\omega _0}$、$k$、${b_0}$的取值，分析各参数对矫正环节$ {G_{\text{c}}}(s) $频域特性的影响. 当改变观测器带宽${\omega _0}$的取值，固定${b_0} = 1$、$k = 0.25$时，$ {G_{\text{c}}}(s) $的频域特性变化规律如图5所示. 可以看出，随着${\omega _0}$增大，ω_g1、ω_g2和${\omega _{\text{m}}}$均增大，拐点频率间距不变；幅频曲线的增益增大，相频曲线波峰位置后移，波形宽度与高度不变. 当改变带宽系数$k$的取值，固定${b_0} = 1$、${\omega _0} = 100$时，$ {G_{\text{c}}}(s) $的频域特性变化规律如图6所示. 可以看出，随$k$取值的增大，ω_g1、ω_g2和${\omega _{\text{m}}}$增大，幅频曲线的增益增大，相频曲线波峰后移；拐点频率间距、相频曲线波形宽度以及波形高度先减小后增大，在$k = 1$时达到极小值. 当改变名义控制增益${b_0}$的取值，固定${\omega _0} = $100、k = 0.25时，$ {G_{\text{c}}}(s) $的频域特性变化规律如图7所示. 可以看出，随${b_0}$的减小，幅频曲线的增益增大；拐点频率、相位峰值频率以及相频曲线无变化.

电液伺服系统对指令的响应能力、抗扰特性和抗噪特性是衡量LADRC性能的重要指标，研究LADRC各参数对闭环系统性能的影响规律能够为控制器参数设计提供有效指导. 单独调节${\omega _0}、k、{b_0}$，闭环系统频域特性的变化如图8~图10所示. 由图8可以看出，随着${\omega _0}$增大，系统对指令信号的跟踪能力增强，带宽提高；电液伺服系统抵抗扰动的能力提高；高频扰动和噪声对伺服阀阀口开度的影响增强，对伺服阀最大调节能力和响应速度的要求提高. ${\omega _0}$的设计受噪声以及伺服阀能力的限制，${\omega _0}$过大将使伺服阀阀芯震荡. 由图9可以看出，随着$k$的增大，系统动态跟踪能力和抗扰能力提高，抗噪能力减弱；受观测器带宽的限制，当$k > 1$时，继续增大带宽系数，系统的动态跟踪性能和抗扰性能不再明显提升，而高频扰动和噪声对阀口开度的影响持续增强. 在进行LADRC控制器参数设计时，一般取$k \leqslant 1$，即${\omega _{\text{c}}} \leqslant {\omega _0}$. 由图10可以看出，随${b_0}$取值的减小，电液伺服系统动态跟踪能力和抗扰能力提高；阀口开度受噪声和扰动的影响增大. 受观测器和控制器带宽的限制，${b_0}$减小至一定数值后，电液伺服系统的带宽不再明显提高.

根据式(8)，控制器带宽${\omega _{\text{c}}}$可依据期望的闭环性能设计；为了保证系统响应速度，同时减小高频噪声影响，避免阀芯震荡，取$k$=0.1~1.0；为了保证闭环系统具有一定稳定裕度，名义控制增益${b_0}$须根据参数$k$、${\omega _0}$以及液压系统特性进行匹配设计. 分别讨论在不同液压固有频率下，名义控制增益${b_0}$的匹配设计方法. 当$0.1 < k < 1$时，串联环节$ {G_{\text{c}}}(s) $的相位峰值频率${\omega _{\text{m}}}$的近似计算式为

(21)$ {\omega _{\text{m}}} = \sqrt k {\omega _0}. $

当${\omega _{\text{m}}}\gg{\omega _{\text{h}}}$时，开环传递函数${G_{\text{k}}}(s)$的伯德图如图11所示. 由于串联矫正环节在${\omega _{\text{m}}}$附近具有较高的相位数值，开环传递函数的相频曲线在${\omega _{\text{m}}}$附近存在超过−180°的波峰，使得名义控制增益${b_0}$的取值存在2个稳定区间. 当${b_0}$取值极大时，如曲线一所示，系统处于稳定区一，但相位裕度较小，开环传递函数在液压系统工作频率段的增益较小，导致电液伺服系统稳定调整的时间长，并存在较大的超调. 逐渐减小${b_0}$，如曲线二所示，开环传递函数的总增益增加，系统进入不稳定区，致使系统扰动处理的负担增大，电液伺服系统出现震荡. 继续减小${b_0}$，如曲线三所示，系统进入稳定区二，具有较高的相位裕度，且开环传递函数在液压系统工作频率段增益较大，电液伺服系统具有高响应速度，低超调的优良属性. 当${b_0}$取值很小时，如曲线四所示，系统将再次失稳.

如图12所示，当${\omega _{\text{m}}}$与${\omega _{\text{h}}}$相近时，名义控制增益${b_0}$取值的2个稳定区间合并，${b_0}$大于一定值时即可使闭环系统稳定. 匹配设计${b_0}$，使得开环传递函数的幅频曲线在${\omega _{\text{m}}}$附近负穿越，电液伺服系统兼具快速响应、低超调以及稳定性好的优点. 液压系统${G_{\text{P}}}(s)$在${\omega _{\text{m}}}$处的幅值比${K_{\text{h}}}$的计算式为

(22)$ {K_{\text{h}}} = \frac{{{K_{\text{a}}}}}{{{\omega _{\text{m}}}\sqrt {{{\left( {1 - \dfrac{{{\omega _{\text{m}}}^2}}{{{\omega _{\text{h}}}^2}}} \right)}^2}+{{\left( {\dfrac{{2{\xi _{\text{h}}}{\omega _{\text{m}}}}}{{{\omega _{\text{h}}}}}} \right)}^2}} }}. $

矫正环节${G_{\text{c}}}\left( s \right)$在${\omega _{\text{m}}}$处的幅值比${K_{\text{c}}}$的计算式为

(23)$ {K_{\text{c}}} = \frac{{{\omega _0}^3}}{{{b_0}}}\sqrt {\frac{{{{\left( {{C_3} - {C_1}k} \right)}^2}k+{{\left( {{C_4} - {C_2}k} \right)}^2}}}{{{{\left( {{B_1}{k^2} - {B_3}k} \right)}^2}+{{\left( {{B_4} - {B_2}k} \right)}^2}k}}} . $

为了实现开环传递函数在${\omega _{\text{m}}}$处完成幅频曲线的负穿越，须匹配设计${b_0}$使得$ {K_{\text{h}}}{K_{\text{c}}} = 1 $，${b_0}$进行匹配设计的计算式为

(24)$ {b_0} = {K_{\text{h}}}{\omega _0}^3\sqrt {\frac{{{{\left( {{C_3} - {C_1}k} \right)}^2}k+{{\left( {{C_4} - {C_2}k} \right)}^2}}}{{{{\left( {{B_1}{k^2} - {B_3}k} \right)}^2}+{{\left( {{B_4} - {B_2}k} \right)}^2}k}}} . $

当${\omega _{\text{h}}}$较大时，受噪声、控制步长限制，须设计${\omega _{\text{m}}}< {\omega _{\text{h}}}$，此时，${G_{\text{k}}}(s)$的伯德图如图13所示，名义控制增益${b_0}$的取值仅存在1个稳定区间，当${b_0}$足够大时，如曲线一所示，系统稳定；减小${b_0}$至一定值，如曲线二所示，系统相对稳定性下降；继续减小${b_0}$，如曲线三所示，幅值裕度为负值，系统失稳. 系统的幅值裕度主要由开环传递函数${G_{\text{k}}}(s)$在${\omega _{\text{h}}}$处的幅值比决定. 液压系统${G_{\text{P}}}(s)$在${\omega _{\text{h}}}$处的幅值比${K_{\text{h}}}$的计算式为

(25)$ {K_{\text{h}}} = \frac{{{K_{\text{a}}}}}{{2{\xi _{\text{h}}}{\omega _{\text{h}}}}}. $

串联环节${G_{\text{c}}}\left( s \right)$在${\omega _{\text{h}}}$处的幅值比${K_{\text{c}}}$的计算式为

(26)$ \begin{aligned} & {K_{\text{c}}} =\frac{{{\omega _0}^4}}{{{b_0}{\omega _{\text{h}}}}} \times \\& \sqrt {\frac{{{{\left( {{\omega _0}^2{C_3} - {\omega _{\text{h}}}^2{C_1}} \right)}^2}{\omega _{\text{h}}}^2+{\omega _0}^2{{\left( {{\omega _0}^2{C_4} - {C_2}{\omega _{\text{h}}}^2} \right)}^2}}}{{{{\left( {{\omega _0}^2{B_3} - {\omega _{\text{h}}}^2{B_1}} \right)}^2}{\omega _{\text{h}}}^2+{\omega _0}^2{{\left( {{\omega _0}^2{B_4} - {B_2}{\omega _{\text{h}}}^2} \right)}^2}}}} .\end{aligned} $

为了实现开环传递函数在${\omega _{\text{h}}}$处具有一定的幅值裕度，须匹配设计${b_0}$使得$ {K_{\text{h}}}{K_{\text{c}}} < 0.5 $，${b_0}$进行匹配设计的计算式为

(27)$ \begin{aligned} & {b_0} > \frac{{{K_{\text{a}}}{\omega _0}^4}}{{{\xi _{\mathrm{h}}}{\omega _{\text{h}}}^2}} \times \\& \sqrt {\frac{{{{\left( {{\omega _0}^2{C_3} - {\omega _{\text{h}}}^2{C_1}} \right)}^2}{\omega _{\text{h}}}^2 + {\omega _0}^2{{\left( {{\omega _0}^2{C_4} - {C_2}{\omega _{\text{h}}}^2} \right)}^2}}}{{{{\left( {{\omega _0}^2{B_3} - {\omega _{\text{h}}}^2{B_1}} \right)}^2}{\omega _{\text{h}}}^2 + {\omega _0}^2{{\left( {{\omega _0}^2{B_4} - {B_2}{\omega _{\text{h}}}^2} \right)}^2}}}} .\end{aligned} $

由于开环传递函数的幅频曲线在拐点频率之间具有正的斜率，幅频曲线无法在拐点频率之间完成负穿越，电液伺服系统的相位稳定裕度受到限制，三阶LADRC在此工况下难以有效改善电液伺服系统的动态性能. 降低LADRC控制器的阶数，使拐点频率之间具有负的斜率，能够提高系统的相位裕度，改善系统性能，一阶LADRC控制器结构为

(28)$ \left. \begin{gathered} {{\dot z}_1} = {z_2}+2{\omega _0}\left( {y - {z_1}} \right)+{b_0}u, \\ {{\dot z}_2} = {\omega _0}^2\left( {y - {z_1}} \right), \\ u = \frac{1}{{{b_0}}}\left[ {{\omega _{\text{c}}}\left( {r - {z_1}} \right) - {z_2}} \right]. \\ \end{gathered} \right\} $

一阶LADRC等效串联环节的拐点频率和相位峰值频率可以直接求解计算：

(29)$ \left. \begin{gathered} {\omega _{{\text{g1}}}} = \frac{{k{\omega _0}}}{{1+2k}}, \\ {\omega _{{\text{g2}}}} = (2+k){\omega _0}, \\ {\omega _{\text{m}}} = {\omega _0}\sqrt {\frac{{k(2+k)}}{{1+2k}}} . \\ \end{gathered} \right\} $

采用一阶LADRC控制器的电液伺服系统开环传递的伯德图如图14所示. 调节一阶LADRC的名义控制增益${b_0}$，使得开环传递函数的幅频曲线在${\omega _{\text{m}}}$附近负穿越，系统兼具稳定性和快速响应性，一阶LADRC参数${b_0}$进行匹配设计的计算式为

(30)$ {b_0} = \frac{{{\omega _0}{K_{\text{a}}}}}{{{\omega _{\text{m}}}\sqrt {{{\left( {1 - \dfrac{{{\omega _{\text{m}}}^2}}{{{\omega _{\text{h}}}^2}}} \right)}^2}+{{\left( {\dfrac{{2{\xi _{\text{h}}}{\omega _{\text{m}}}}}{{{\omega _{\text{h}}}}}} \right)}^2}} }}\sqrt {\dfrac{{{{\left( {1+2k} \right)}^2}+{k^2}}}{{{k^2}+{{\left( {2+k} \right)}^2}k}}} . $

液压固有频率的大小与系统的负载质量密切相关. 对于重载系统，液压固有频率通常低于所设计的相位峰值频率；对于小负载系统，液压固有频率较高，若设计的相位峰值频率过大，可能会激发噪声干扰，为此将相位峰值频率设计为低于液压固有频率. 开展仿真与实验研究，验证本研究理论分析结果与LADRC参数设计方法.

搭建Amesim仿真模型如图15所示，对不同液压固有频率下LADRC的参数设计方法进行验证.

在小液压固有频率工况下的系统主要参数如表1工况一所示. 表中， D₁为液压缸缸径，D₂为液压缸杆径，l为液压缸行程. 工况一的系统液压固有频率约为15 rad/s，采样与控制周期为1 ms. 根据期望闭环性能设计${\omega _0} = 200$，$k = 0.25$，分析验证不同${b_0}$下，系统的稳定特性.设置指令信号为阶跃信号，${b_0}$分别取不同数值，系统的响应、误差及阀口开度随时间t变化的曲线如图16~图18所示. 当${b_0} = $300000时，系统虽然稳定，但存在较大的超调，达到稳定所需调整时间长；${b_0} = $2000时，系统输出持续震荡，阀口开度变化范围较大，无法实现零静差控制；根据式(24)设计名义控制增益${b_0} = 80$时，输出曲线响应速度快、超调小、稳态调整时间短，且阀口开度变化平滑；继续减小${b_0}$至10时，阀口开度出现急剧抖动，系统失稳.设置指令信号为正弦信号，指令幅值为50 mm，周期分别为5、10、20 s，匹配设计名义控制增益${b_0} = 80$，系统的响应和阀口相对开度曲线如图19所示. 在不同工作频率下，液压系统的响应与式(8)所述理论模型的响应相近，曲线跟踪过程无抖振，阀口开度变化平滑. 不同负载质量工况下，对LADRC名义控制增益参数${b_0}$进行匹配设计，系统阶跃和正弦跟踪曲线如图20所示. 随负载质量的增大，液压系统惯性增大，系统的超调量和调节时间随之提高. 受匹配名义控制增益${b_0}$作用，系统始终保持稳定，在不同负载工况下，具有相一致的正弦响应能力. 仿真结果表明，系统阶跃响应的稳定性变化规律与本研究理论分析结果一致，LADRC的参数匹配设计方法能够实现低超调、响应快、稳定性好的控制效果；对于不同工作频率和系统负载的工况，LADRC参数的匹配设计方法具有较好的适应性.

大液压固有频率工况下系统主要参数如表1中工况二所示. 其中液压固有频率约为470 rad/s，根据期望闭环性能设计${\omega _0} = 60$，$k = 0.25$，分别匹配设计三阶和一阶LADRC控制器，对比分析电液伺服系统响应性能. 设置指令信号为阶跃信号，系统的响应曲线如图21所示. 可以看出，2种控制器的上升时间相近，一阶LADRC控制器的响应无超调，稳定调节时间为1.34 s；受相位裕度限制，三阶LADRC控制器的系统响应超调达16.7%，稳定调节时间为5.23 s. 设置指令信号为正弦信号，指令幅值为100 mm，周期为10 s，系统响应和误差曲线如图22所示，三阶和一阶LADRC控制器的最大跟踪误差分别为15.50、4.19 mm，均方根误差分别为10.69、2.96 mm. 仿真结果表明，本研究提出的参数匹配设计方法能够保证系统稳定，当液压固有频率较大时，一阶LADRC控制器相较于三阶LADRC控制器具有更好的控制性能，与本研究理论分析结果一致.

电液伺服系统实验台如图23所示，采样与控制单元硬件为倍福CX5120嵌入式控制器、EL系列IO模块，控制器时钟频率为1.46 GHz，基于TWINCAT软件平台对电液伺服系统进行实时采样控制. 泵站出口压力经溢流阀调定后连接至伺服阀压力油口，位移传感器检测液压缸位移输送电流4~20 mA至采样单元，经控制器计算求解输出电流4~20 mA控制伺服阀阀芯开度，以此控制电液伺服系统运作. 在实验过程中，整个控制系统的采样频率为1 000 Hz，实验设备主要参数如表1中工况二所示.

为了对比验证三阶及一阶LADRC对大液压固有频率系统的控制性能，设计${\omega _0} = 60$、$k = 0.25$，分别根据式(27)、(30)匹配设计三阶、一阶LADRC控制器. 开展阶跃响应和正弦曲线跟踪实验，实验结果如图24所示. 三阶与一阶LADRC阶跃响应的上升时间分别为2.86、2.62 s；超调量分别为16.0%、4.6%；调节时间分别为8.48、3.24 s. 相较于三阶LADRC，一阶LADRC具有更快的响应速度和更好的相对稳定性. 正弦指令信号幅值为100 mm，周期为10 s，三阶与一阶LADRC的响应曲线最大误差分别为15.06、4.56 mm；均方根分别为10.73、3.08 mm. 相较于三阶LADRC，一阶LADRC具有更强的动态跟踪能力. 实验结果表明，本研究提出的参数匹配设计方法能够有效实现系统稳定，对于液压固有频率较大的系统，一阶LADRC控制器的阶跃响应超调、调节时间、正弦响应的最大误差、均方根误差分别较三阶LADRC控制器的减少71.25%、61.79%、69.72%和71.29%，一阶LADRC控制器的控制性能更好. 该结果与本研究理论分析结果一致.

本研究1）针对电液伺服系统LADRC参数难以整定的问题，推导线性自抗扰控制器的频域等效模型，从频域角度分析LADRC对电液伺服系统的校正机理. 2）分析LADRC参数对电液伺服系统闭环性能的影响，增大观测器带宽、增大带宽系数或减小名义控制增益会不同程度地提高系统对指令信号的响应能力和抗干扰能力，但会增加噪声对控制性能的影响，提高对伺服阀调节能力和响应速度的需求. 3）讨论不同液压固有频率下LADRC参数的匹配设计方法，仿真与实验结果表明，本研究提出的LADRC参数匹配设计方法能有效确保闭环系统的稳定性. 在液压固有频率较低的工况下，三阶LADRC控制能够有效改善液压系统响应性能. 在液压固有频率较高的工况下，一阶LADRC比三阶LADRC的控制性能更优. 本研究仅针对LADRC等效串联校正环节分析液压系统闭环性能和稳定性，未来将研究等效前馈校正环节对液压系统特性的影响，进一步指导LADRC控制器参数设计.