机电伺服系统具有结构简单、环保、高效的特点，被广泛应用于社会生产各个领域，如机械臂、精密转台、医疗仪器等. 随着社会需求的增加，机电系统工作环境日趋复杂，工作强度也越来越大，出现故障的几率也随之大大增加，而对产品可靠性的要求却与日俱增，因此故障检测与容错控制系统的设计就变得尤为重要.

故障检测方法可以大致分为2种：基于信号的故障检测和基于模型的故障检测. 基于信号的故障检测方法主要依赖数据测量与处理技术，根据提取的故障特征来判断是否发生故障^[1]，基于模型的故障检测方法则是利用冗余的系统解析模型输出与系统真实输出产生残差，来判别系统是否发生故障^[2]. 基于模型的故障检测方法常用的模型有卡尔曼滤波器^[3-4]、自适应滑模观测器^[5-10]、未知输入观测器^[11]等. 其中自适应滑模观测器因其自身的变结构，对噪声和干扰具有较强的鲁棒性，但敏感性也会相对下降.陶立权等^[12]采用自适应滑模观测器直接检测故障信息，设定了故障的阈值检测故障，但是要求故障上界已知. 穆凌霞等^[13]首先设计了一个辅助输出系统，再针对辅助输出系统设计了自适应滑模观测器，在此基础上进行了故障重构，但是其设计的自适应滑模观测器不能较好地区分扰动和故障，故障识别准确率不太高.

容错控制是基于系统故障检测、诊断和控制理论的非线性智能控制方法，可以分为被动容错控制和主动容错控制.其中，被动容错控制将系统故障看作干扰，利用鲁棒技术使控制器对故障发生与否不敏感^[14-15]，其结构简单、易于工程实现，但缺乏针对性，控制器设计较为保守；主动容错控制利用在线故障检测结果，进行针对性的控制器调节，使系统性能不受故障的影响或影响减小，因此可以恢复系统部分甚至全部控制性能. Gayaka等^[16-18]做了大量而细致的工作，指出伺服系统的固有非线性、随环境及工况正常变化的参数不确定性及未建模干扰（不确定性非线性，如摩擦、外干扰）是基于模型的故障检测难于设计及难以应用于工程实践的原因，并提出了有针对性的故障检测策略，如间接自适应策略、鲁棒非线性观测器，获得了较好的理论分析结果，并在此基础上设计了容错控制器. 国内科研院校也在这个领域进行了积极的探索研究，Zhu等 ^[19]将故障分为传感器故障和作动器故障，将系统状态、传感器故障和执行器故障作为增维系统的状态变量，利用观测器的状态估计，对传感器和执行器实现故障重构，从而定位到故障发生的具体传感器或者执行器，并在此基础上设计了容错控制器，但即便如此，其本质上仍然是基于模型的故障检测及主动容错设计，在不明确系统参数变化的原因时，故障检测效果一般.

基于上述分析，针对可能发生故障的机电伺服系统，本研究提出基于自适应神经网络滑模观测器的快速终端滑模容错控制策略，提高了观测器在故障发生时的状态估计精度以及故障检测准确性. 观测器精度的提高保证了容错控制器的容错性能和控制精度.

机电伺服作动系统主要由伺服驱动器及执行电机、机械传动机构、惯性负载、传感器（信号测量仪器：光电编码器或旋转变压器）、控制器以及其他的电气连接设备等部分组成，其系统组成如图1所示.

本研究以永磁同步电机作为机电控制系统的执行器，根据牛顿第二定律，建立永磁同步电机控制系统的数学模型：

(1) $ m\ddot y = {k_{\rm{u}}}u - B\dot y+{d_{\rm{n}}}+\eta \left( t \right){f_0} . $

式中：m为负载折算到电机端的转动惯量；y为电机位置输出量；k_u为电机力矩系数；u为控制输入；B为作动器系统折算到电机的黏性阻尼系数；d_n为未建模动态干扰； $ {f_0} $为系统的执行器加性故障，如电机的卡滞与振动，会导致系统无法正常工作，执行器损坏，故障发生的形式未知，故障发生的时间未知； $\eta \left( t \right)$为故障发生的时间规律. $\eta \left( t \right)$的表达式为

(2) $ \eta (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0}, & t{\text{ < }}{t_{\text{0}}}; \\ {1 - \exp \; ( - \mu (t - {t_0})),}&t{\text{ > }}{t_0}. \end{array}} \right. $

式中： $ \;\mu $为常数，t₀为故障发生时刻.

将式(1)两边同时除以转动惯量 $ m $，得到

(3) $ \ddot y = {\theta _1}u - {\theta _2}\dot y+{d_1}+f . $

式中： ${\theta _1} = {k_{\rm{u}}}/m$, $ {\theta _2} = B/m $， ${d_1} = {d_{\rm{n}}}/m$， $ f = {{\eta \left( t \right){f_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\eta \left( t \right){f_0}} m}} \right. } m} $.

将式（3）转化为状态空间形式，选取系统状态变量x =[x₁, x₂]^T = [y, $ \dot{y} $]^T. 由于系统参数未知，定义参数名义值为θ_1n、θ_2n，参数不确定项为Δθ₁、Δθ₂，则系统的状态空间方程为

(4) $ \left.\begin{array}{l} {{\dot x}_1} = \;{x_2}, \\ {{\dot x}_2} =\; \left( {{\theta _{1{\text{n}}}}+\Delta {\theta _1}} \right)u - \left( {{\theta _{{\text{2n}}}}+\Delta {\theta _2}} \right){x_2}+{d_1}+f , \\ y =\; {x_1} . \end{array}\right\}$

式（4）也可以写为

(5) $ \left.\begin{aligned} \dot {\boldsymbol{x}} =\;& {\boldsymbol{Ax}}+{\boldsymbol{B}}u+{\boldsymbol {D}}f+{\boldsymbol{E}}d, \\ y =\;&{\boldsymbol{Cx}} . \end{aligned}\right\} $

式中： ${\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ 0&{ - {\theta _2}_{\text{n}}} \end{array}} \right]$, ${\boldsymbol{B}} = {\left[ {0,{\theta _1}_{\text{n}}} \right]^{\rm{T}}}$, ${\boldsymbol{D}} = {\left[ {0,1} \right]^{{\rm{T}}}}$, ${\boldsymbol{E}} = {\left[ {0,1} \right]^{{\rm{T}}}}$, ${\boldsymbol{C}}{{ = }}\left[ {1,0} \right]$, $d = {d_1}+\Delta {\theta _1}u - \Delta {\theta _2}{x_2}$.

通过式（5），容易验证系统的参数矩阵A、C、D满足 ${\rm{rank}}\; \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{sI}} - {\boldsymbol{A}}}&{\boldsymbol{D}} \\ {\boldsymbol{C}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]} \right) = n+{\rm{rank}}\;({\boldsymbol{D}})$， $ n $为系统阶次，因此系统(A，C，D)是最小相位系统. 由于 ${\rm{rank}}\;({\boldsymbol{C}}[{\boldsymbol{D}},{\boldsymbol{E}}]) \ne {\rm{rank}}\;([{\boldsymbol{D}},{\boldsymbol{E}}])$，为了简化研究，本研究根据文献[14]，构造辅助输出系统：

(6) $ \left.\begin{aligned} \dot {\boldsymbol{x}} =\;& {\boldsymbol{Ax}}+{\boldsymbol{B}}u{+}{\boldsymbol{D}}f+{\boldsymbol{E}}d, \\ {{{y}}_{\rm{a}}}{{ = }}\;&{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}{\boldsymbol{x}}. \end{aligned}\right\} $

式中： $ {{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}} = {\left[ {{\boldsymbol{C}},{\boldsymbol{CA}}} \right]^{{\rm{T}}}} $， $ {\rm{rank}}\;({{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}[{\boldsymbol{D}},{\boldsymbol{E}}]) = {\rm{rank}}\;([{\boldsymbol{D}},{\boldsymbol{E}}]) $且 $ {{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}} $、D、E均为列满秩，所以辅助输出系统（式（6））满足匹配条件.

由文献[14]可以证明式(6)与式(5)的不变零点相同.

经验证 $ {\rm{rank}}\;\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{sI}} - {\boldsymbol{A}}}&{\boldsymbol{D}} \\ {{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]} \right) = n+{\rm{rank}}\;({\boldsymbol{D}}) $等式成立，因此存在对称阵Q、增益矩阵L以及矩阵G和对称正定矩阵P, 使得如下公式成立:

(7) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}})}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}}+{\boldsymbol{P}}({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}) = - {\boldsymbol{Q}}}, \\ {{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = {\boldsymbol{G}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}} . \end{array}} \right\} $

假设1　故障 $ f $有上界，但是上界未知，即 $ ||f|| \leqslant \alpha $， $ \alpha $未知， $ d $有上界，且上界已知， $ ||d|| \leqslant {\delta _{\rm{d}}} $.

观测器的设计是基于自适应滑模观测器，引入RBF神经网络，利用神经网络的逼近能力，准确估计故障，以获得更好的状态重构效果，思路如下.

对于辅助输出系统(式(6))，设计如下观测器：

(8) $ \left.\begin{aligned} {\boldsymbol{\dot{ \hat x}}} =\;& {\boldsymbol{A}}\hat {{\boldsymbol{x}}}+{\boldsymbol{B}}u+{\boldsymbol{L}}({{\boldsymbol{y}}_{\rm{a}}} - {{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}\hat {{\boldsymbol{x}}})+{{\boldsymbol{V}}_1}(t)+{\boldsymbol{D}}\hat f({{\hat {x}}_1},{{\hat {x}}_2},u), \\ {{\hat {\boldsymbol{y}}}_{\rm{a}}} =&\; {{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}\hat {\boldsymbol{x}} . \end{aligned}\right\} $

式中：V₁(t)为滑模变结构输入信号, $\hat f $为神经网络的输出. V₁(t)表达式如下：

(9) $ {{\boldsymbol{V}}_1}(t) = \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} { ({\rho _1}(t)+{\rho _0}){{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}^{\rm{T}}||{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{N}}||\dfrac{{{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}}}{{||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}||}}},&{{{\boldsymbol{y}}_{\rm{a}}} \ne {{\hat {\boldsymbol{y}}}_{\rm{a}}}}; \\ {{\boldsymbol{0}}}, & {{{\boldsymbol{y}}_{\rm{a}}} = {{\hat {\boldsymbol{y}}}_{\rm{a}}} }. \end{array} \right. $

式中： $ \;{\rho _0} > 0 $， $ {\rho _1}(t) $为设计的滑模增益， $ {\boldsymbol{N}} $为待设计矩阵, $ {{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}} = {{\boldsymbol{y}}_{\rm{a}}} - {{\boldsymbol{\hat y}}_{\rm{a}}} $. $ \;{\rho _1}(t) $的自适应率设计为

(10) $ \frac{{{\rm{d}}{\rho _1}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = {\rho _2}+{\gamma _\rho }\varepsilon . $

式中： $ {\rho _2} = \eta ||{\boldsymbol{G}}||||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}|| $， $ \eta > 0 $； $ {\gamma _\rho } > 0 $； $ \varepsilon = {\varepsilon _{\rm{n}}} - {\rho _1}\left( t \right) $， $ {\varepsilon _{{\rm{n}}}} $为拟合误差上界. 滑模面的设计为 $ {s} = \left\{ {{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}:{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}} = {\boldsymbol{0}}} \right\} $，观测器采用了典型的RBF三层神经网络，结构如图2所示.

第1层为输入层，第2层为隐含层，第3层为输出层，激活函数采用高斯基函数 $ {h_j} = \exp\; \left( - {\dfrac{{||{\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{c}}_j}||}}{{2{b_j}^2}}^2}\right) $，其中， $ {{\boldsymbol{c}}_j} $为网络j节点的中心矢量， $ {b_j} $为高斯基函数的宽度 ， $ {\boldsymbol{x}} $为控制输入. 在理想情况下，故障的拟合公式如下： $f = {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\varepsilon _1}$， $ {\boldsymbol{w}} $=[w₁,w₂$, \cdots, $ w_n]^T为隐层与输出层之间的理想权值， ${\boldsymbol{h}} = \left[ {h_1},{h_2},\cdots, {h_m} \right]^{\rm{T}}$为高斯基函数的输出； $ {\varepsilon _1} $为神经网络的拟合误差，且 $ ||{\varepsilon _1}|| \leqslant {\varepsilon _{\rm{n}}} $. 式(8)中 $ \hat f $为神经网络的输出，由于神经网络的理想权值未知，用 $ \hat {\boldsymbol{w}} $代替得到 $ \hat f({x_1},{x_2},u) = {{\boldsymbol{\hat w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}} $，设计权值更新率：

(11) $ {\boldsymbol{\dot {\hat w}}} = - 2{\boldsymbol{h}}{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}} - {\gamma _\omega }{\boldsymbol{\hat w}} . $

式中： $ {\gamma _\omega } > 0 $； $ {\boldsymbol{e}} $为观测误差，由式(6)~(8)得到.

(12) $ {\boldsymbol{\dot e}} = {\boldsymbol{\dot x}} - {\boldsymbol{\dot {\hat x}}} = ({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}\tilde f+{\boldsymbol{E}}d - {{\boldsymbol{V}}_1}(t) . $

式中：

(13) $ \begin{split} \tilde f =\;& f({x_1},{x_2},u) - \hat f({{\hat x}_1},{{\hat x}_2},u) \\ =\;& f({x_1},{x_2},u) - \hat f({{\hat x}_1},{{\hat x}_2},u) - \hat f({x_1},{x_2},u)+\hat f({x_1},{x_2},u) \\ =\;& {{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\varepsilon _1}+\hat f({x_1},{x_2},u) - \hat f({{\hat x}_1},{{\hat x}_2},u) .\\[-10pt] \end{split} $

根据神经网络的特性， $ \hat f $满足利普希茨条件，存在一个常量h_of，对于， $\forall {{\boldsymbol{X}}_1},{{\boldsymbol{X}}_2} \in {{\rm{{\bf{R}}}}^i}$满足如下不等式： $\left| {\hat f({{\boldsymbol{X}}_1}) - \hat f({{\boldsymbol{X}}_2})} \right|$ $\leqslant {h_{{\rm{o{f}}}}}\left\| {{{\boldsymbol{X}}_1} - {{\boldsymbol{X}}_2}} \right\|$.

引理1　 $- {\rm{tr}}\; \left({{{{\boldsymbol{\tilde Z}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\hat Z}}}\right) \leqslant - \dfrac{1}{2}||{\boldsymbol{\tilde Z}}|{|_{\text{F}}}^{\text{2}}+\dfrac{1}{2}||{\boldsymbol{Z}}|{|_{\text{F}}}^{\text{2}}$. 其中 $ {\boldsymbol{\tilde Z}} = {\boldsymbol{\hat Z}} - {\boldsymbol{Z}} $.

定理1　对于满足假设1的观测器（式(8)），应用参数自适应率（式(10)）以及权值更新率（式(11)），可以实现观测误差有界稳定.

证明　设计李雅普诺夫函数，定义神经网络的权值估计误差 $\tilde {\boldsymbol{w}} = {\boldsymbol{w}} - \hat {\boldsymbol{w}}$，有

(14) $ {V} = {{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{\eta ^{ - 1}}{\varepsilon ^2}+\frac{1}{2}{{\boldsymbol{\tilde w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\tilde w}} . $

易知，式(14)是正定的，对其求导可得

(15) $ \dot V = {{\boldsymbol{\dot e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P\dot e}}+2{\eta ^{ - 1}}\varepsilon \dot \varepsilon +{{\boldsymbol{\tilde w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}} . $

将式(12)代入式(15)中，得到

(16) $ \begin{split} \dot V =\;& {\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}\tilde f+{\boldsymbol{E}}d - {{\boldsymbol{V}}_1}(t)} \right]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}{\boldsymbol{e}}+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}\tilde f+{\boldsymbol{E}}d - {{\boldsymbol{V}}_1}(t)} \right]+ \\ \;&2{\eta ^{ - 1}}\varepsilon \dot \varepsilon +{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot{ \hat w}}} . \end{split} $

将式(10)、(13)代入式(16)，可以推得

(17) $ \begin{split} \dot V =\;& {[({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{\left( {{\boldsymbol{E}}d} \right)^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left( {{\boldsymbol{E}}d} \right)+ \\ \;&{\left[ {{\boldsymbol{D}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+\hat f({x_1},{x_2},u) - \hat f({{\hat x}_1},{{\hat x}_2},u)} \right)} \right]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}} \right]+{\varepsilon _1}{({\boldsymbol{PD}})^{\rm{T}}}e - {({\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{V}}_1}(t))^{\rm{T}}}{\boldsymbol{e}} + \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {{\boldsymbol{D}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+\hat f({x_1},{x_2},u) - \hat f({{\hat x}_1},{{\hat x}_2},u)} \right)} \right] - \\ \;& 2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2}+{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}} - {\boldsymbol{e}}{}^{\rm{T}}{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{V}}_1}(t)+2{\eta ^{ - 1}}\varepsilon ( - {\rho _2}) + \\ \;&{\boldsymbol{e}}{}^{\rm{T}}{\boldsymbol{PD}}{\varepsilon _1} . \end{split} $

将式(7)、(9)代入式(17)，得到

(18) $ \begin{split} \dot V =\;& {[({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{\left( {{\boldsymbol{E}}d} \right)^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{\boldsymbol{e}}{}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}{\varepsilon _1} + \\ \;&{\left[ {{\boldsymbol{D}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+\hat f({x_1},{x_2},u) - \hat f({{\hat x}_1},{{\hat x}_2},u)} \right)} \right]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}} \right]+{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left( {{\boldsymbol{E}}d} \right)+{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}}+{\varepsilon _1}{\boldsymbol{G}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}{\boldsymbol{e}}+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {{\boldsymbol{D}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+\hat f({x_1},{x_2},u) - \hat f({{\hat x}_1},{{\hat x}_2},u)} \right)} \right]- \\ \;&2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2} - {{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}({\rho _1}+{\rho _0})\frac{{||{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{N}}||}}{{||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}||}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}} - \\ \;&({\rho _1}+{\rho _0})\frac{{||{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{N}}||}}{{||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}||}}{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}{\boldsymbol{e}}+2{\eta ^{ - 1}}\varepsilon ( - {\rho _2}) .\\[-15pt] \end{split} $

由于 $ {{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}} = {{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}{\boldsymbol{e}} $，根据式(18)可以推导得到

(19) $ \begin{split} \dot V \leqslant\;& {\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+||{\boldsymbol{e}}|{|^2}+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right] - 2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2} + \\ \;&2{\varepsilon _1}||{\boldsymbol{G}}||||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}|| - 2({\rho _1}+{\rho _0})||{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{N}}||||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}|| + \\ \;&2{\eta ^{ - 1}}\varepsilon ( - {\rho _2})+{h_{{{\rm{of}}}}}^2{\text{||}}{\boldsymbol{PD}}{\text{|}}{{\text{|}}^{\text{2}}}||{\boldsymbol{e}}|{|^2}+{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}} . \end{split}$

设计 $ {\boldsymbol{N}} = {\boldsymbol{P}} $，由 $\varepsilon = {\varepsilon _{{\rm{n}}}} - {\rho _1}$， $ {\rho _2} = \eta ||{\boldsymbol{G}}||||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}|| $， $\;{\rho _0} > 0$可知

(20) $\begin{split} \dot V \leqslant\;& {\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}} + \\ \;&||{\boldsymbol{e}}|{|^2}(1+{h_{{\rm{of}}}}^2{\text{||}}{\boldsymbol{PD}}{\text{|}}{{\text{|}}^{\text{2}}}) - 2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2} - 2{\eta ^{ - 1}}\varepsilon ({\rho _2})+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\boldsymbol{{\rm{T}}}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right]+{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}}+ \\ \;&2{\varepsilon _1}||{\boldsymbol{G}}||||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}|| - 2({\rho _1}+{\rho _0})||{\boldsymbol{G}}||||{{\boldsymbol{e}}_{\rm{y}}}|| \leqslant\; \\ & {\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}}+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right] + \\ \;&||{\boldsymbol{e}}|{|^2}(1+{h_{{\rm{of}}}}^2{\text{||}}{\boldsymbol{PD}}{\text{|}}{{\text{|}}^{\text{2}}}) - 2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2} . \end{split} $

定义 $ {{\boldsymbol{A}}_1} = {\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}} $,根据式(7)、(11)，可以推导得到

(21) $ \begin{split} \dot V \leqslant\;& {\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right]^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}} - 2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2}+ \\ \;&{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\left[ {({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{L}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{a}}}){\boldsymbol{e}}+{\boldsymbol{D}}{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}+{\boldsymbol{E}}d} \right]+ \\ \;&||{\boldsymbol{e}}|{|^2}(1+{h_{\rm{of}}}^2{\text{||}}{\boldsymbol{PD}}{\text{|}}{{\text{|}}^{\text{2}}})+{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}} \leqslant\; \\ & {{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}({{\boldsymbol{A}}_1}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{+P}}{{\boldsymbol{A}}_1}){\boldsymbol{e}}+2{\delta _{\rm{d}}}||{\boldsymbol{EP}}||||{\boldsymbol{e}}||+ \\ \;&||{\boldsymbol{e}}|{|^2}(1+{h_{\rm{of}}}^2{\text{||}}{\boldsymbol{PD}}{\text{|}}{{\text{|}}^{\text{2}}})+2{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{h}}{{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}} - 2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2} + \\ \;&{{{\boldsymbol{\tilde w}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\dot {\hat w}}} \leqslant\; \\ & - \frac{{{\lambda _{\min }}({\boldsymbol{Q}})+2+{h_{\rm{of}}}^2||{\boldsymbol{PD}}|{|^2}}}{{{\lambda _{\max }}({\boldsymbol{P}})}}{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}}+{\delta _{\rm{d}}}^2||{\boldsymbol{EP}}|{|^2} + \\ \;&{\gamma _\omega }\left[ { - \frac{1}{2}||{\boldsymbol{\tilde w}}|{|^2}+\frac{1}{2}||{\boldsymbol{w}}|{|_{\rm{F}}}^2} \right] - 2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2} = \\ \;& - \frac{{{\lambda _{\min }}({\boldsymbol{Q}})+2+{h_{\rm{of}}}^2||{\boldsymbol{PD}}|{|^2}}}{{{\lambda _{\max }}({\boldsymbol{P}})}}{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Pe}} - \frac{{{\gamma _\omega }}}{2}||{\boldsymbol{\tilde w}}|{|^2}- \\ \;&2{\eta ^{ - 1}}{\gamma _\rho }{\varepsilon ^2}+\frac{{{\gamma _\omega }}}{2}||{\boldsymbol{w}}|{|_{\rm{F}}}^2+{\delta _{\rm{d}}}^2||{\boldsymbol{EP}}|{|^2} .\\[-13pt] \end{split} $

式中： $\lambda_{\min}({\boldsymbol{Q}}) $表示矢量Q的最小特征值， $\lambda _{\max}({\boldsymbol{P}}) $表示矢量P的最大特征值.

令

(22) $ \left.\begin{aligned} {\lambda _1} =\;& \min \; \left\{ {\frac{{{\lambda _{\min }}({\boldsymbol{Q}})+2+{h_{{\rm{of}}}}^2||{\boldsymbol{PD}}|{|^2}}}{{{\lambda _{\max }}({\boldsymbol{P}})}},{\gamma _\omega },2{\gamma _\rho }} \right\} , \\ {\lambda _2} =\;& \frac{{{\gamma _\omega }}}{2}||{\boldsymbol{w}}|{|_{\rm{F}}}^2+{\delta _{\rm{d}}}^2||{\boldsymbol{EP}}|{|^2} . \end{aligned}\right\}$

式(21)可以化简为 $ \dot V \leqslant - {\lambda _1}V+{\lambda _2} $，得到

(23) $ \dot V \leqslant \left(V(0) - \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}\right){{\rm{e}}^{ - {\lambda _1}t}}+\frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} . $

当t趋于无穷， $V \to {{{\lambda _2}}}/{{{\lambda _1}}}$，故系统有界稳定.

由状态观测器的观测误差，定义如下残差 $ {e_x}(t) $用于故障检测：

(24) $ {e_x}(t) = \left [ {{{({x_1} - {{\hat x}_1})}^2}+{{({x_2} - {{\hat x}_2})}^2}} \right]^{1/2} . $

当传感器发生故障时，残差 $ {e_x}(t) $将变大，一旦超过一定阈值，则可判断系统存在故障.当传感器工作正常而执行器发生故障时， $ {e_x}(t) $不会发生明显变化，但 $ \hat f({\hat x_1},{\hat x_2}) $可以检测出系统中的故障，此时可以通过检测 $ \hat f({\hat x_1},{\hat x_2}) $的值是否超过一定阈值来判断系统是否发生故障.这样通过综合 $ {e_x}(t) $和 $ \hat f({\hat x_1},{\hat x_2}) $的检测结果判断系统中是否发生了故障，从而提高系统故障的识别准确率.

根据上述观测器的设计以及系统状态方程，控制器设计步骤如下.

1）定义滑模面 $ s $.

定义误差：

(25) $ \begin{split} e =\; {x_1} - {x_{{\rm{d}}}}, \; \dot e =\; {x_2} - {{\dot x}_{{\rm{d}}}}, \; \ddot e =\; {{\dot x}_2} - {{\ddot x}_{{\rm{d}}}} . \end{split} $

式中： $ {x_{\rm{d}}} $为输入参考信号， $ {e_{}} $为跟踪误差.设计滑模面：

(26) $ s = {\dot e_{}}+{c_1}e+{c_2}{e^{{q}/{p}}} . $

式中： $ {c_1} $、 $ {c_2} $为大于零的常数， $ 0 < q < p < 2q $.

对滑模面求导，得到

(27) $ \dot s = {\ddot e_{}}+{c_1}\dot e+{c_2}\tfrac{q}{p}{e^{{q}/{p} - 1}}\dot e . $

将式(25)代入可得

(28) $ \dot s = {\dot x_2} - {\ddot x_{\rm{d}}}+({c_1}+{c_2}\tfrac{q}{p}{e^{{q}/{p} - 1}})\dot e . $

定义 ${\sigma _1} = {c_2}({q}/{p}){e^{{q}/{p} - 1}}$，根据系统状态方程（式(4)）可以得到

(29) $ \dot s = {\theta _1}u - {\theta _2}{x_2}+d+f - {\ddot x_{\rm{d}}}+({c_1}+{\sigma _1})\dot e . $

2）设计控制器 $ u $.

根据式(29)设计控制器：

(30) $ \left. \begin{aligned} u =\;& ({u_{\rm{a}}}+{u_{\rm{s}}})/ {{\hat \theta }_1} , \\ {u_{\rm{a}}} =\;& \left[ {{{\hat \theta }_2}{{\hat x}_2} - (c+{\sigma _1})\dot {\hat e}+{{\ddot x}_{\rm{d}}} - \hat f} \right] , \\ {u_{\rm{s}}} =\;& {u_{{\rm{s}}1}}+{u_{{\rm{s}}2}} . \end{aligned}\right\} $

式中：u_a为前馈补偿项, u_s为鲁棒项.

3）设计参数自适应率.

将式(30)代入(29)，得到

(31) $ \begin{split} \dot s =\;& {{\tilde \theta }_1}u - {{\tilde \theta }_2}{{\hat x}_2}+\left( {c+{\sigma _1} - {\theta _2}} \right){{\tilde x}_2}+d+\tilde f+{u_{\rm{s}}} = \\ \;& - {{\tilde {\boldsymbol{\theta }}}^{\rm{T}}}{\bf\textit{φ}} +\left( {c+{\sigma _1} - {\theta _2}} \right){{\tilde x}_2}+d+\tilde f+{u_s} . \end{split} $

式中： ${\bf\textit{φ}} {\text{ = }}{\left[ { - u,{{\hat x}_2}} \right]^{\rm{T}}},$ ${\boldsymbol{\tilde \theta}} = {\boldsymbol{\theta}} - \hat {\boldsymbol{\theta}}$， $ \tilde f = f - \hat f $.

取自适应函数 $ {\boldsymbol{\tau}} ={\bf\textit{φ}} s $. 系统参数自适应率设计为

(32) $ {\boldsymbol{\dot {\hat \theta} }} = {{{\rm{Proj}}} _{\hat \theta }}\left( {{\boldsymbol{\varGamma \tau }}} \right) - {k_\theta }{\boldsymbol{\hat \theta }} . $

式中： $ {\boldsymbol{\varGamma }} $为对角自适应率矩阵 ， $ {{{\rm{Proj}}} _{\hat \theta }} $为不连续映射函数. 定义如下：

(33) $ \mathrm{Proj}_{\hat{\rm{\theta} }}\{m\}=\left\{\begin{array}{l}0,\;\;\;\;{\hat{\theta }}_{i}={\theta }_{i\mathrm{max}},\;{m}_{i} > 0;\\ 0,\;\;\;\;{\hat{\theta }}_{i}={\theta }_{i\mathrm{min}}, \;{m}_{i} < 0;\\ {m}_{i},\;其他.\end{array} \right. $

一般根据客观条件，假设1中的 $ {\delta _{\rm{d}}} $很难做到已知.下面针对未知的干扰上界展开研究，此处设计系统模型干扰上界 $ {\delta _{\rm{d}}} $的自适应率：

(34) $ {\dot {\hat \delta} _{\rm{d}}} = \gamma \left| s \right| - {k_\delta }{\hat \delta _{\rm{d}}} . $

式中： $ \gamma $、 $ {k_\delta } $均大于0.

4）设计鲁棒项.

设计线性鲁棒项 $ {u_{\rm{s}}}_1 = - {k_1}s $，非线性鲁棒项 $ {u_{\rm{s}}}_2 = {u_{{\rm{s}}21}}+{u_{{\rm{s}}22}} $，满足

(35) $ \left.\begin{aligned} &{u_{{\rm{s}}}}_{21}s \leqslant 0,\;{u_{{{\rm{s}}}22}}s \leqslant 0 , \\ & s\left[ {{u_{{{\rm{s}}21}}}+\tilde f+\left( {c+{\sigma _1} - {\theta _2}} \right){{\tilde x}_2}} \right] \leqslant {\varepsilon _{{\sigma }1}} , \\ & s\left[ {{u_{{{\rm{s}}22}}}+d+{{\tilde \delta }_{{\rm{d}}}}{{\rm{sgn}}} \;(s)} \right] \leqslant {\varepsilon _{\sigma 2}} . \end{aligned}\right\}$

式中： $ {k_1} > 0 $， $ {\varepsilon _{\sigma 1}} > 0 $， $ {\varepsilon _{\sigma 2}} > 0 $， $ {\tilde \delta _{{\rm{d}}}} = {\delta _{{\rm{d}}}} - {\hat \delta _{{\rm{d}}}} $， $ \mathrm{sgn}\;(\cdot) $表示符号函数.

取如下的非线性鲁棒项 $ {u}_{{\rm{s}}21}、{u}_{\text{s}22} $:

(36) $ \left.\begin{aligned} {u_{\rm{s}}}_{21} =\;& - \frac{{{h_\sigma }^2}}{{4{\varepsilon _{\sigma 1}}}}s = - {k_{21}}s , \\ {u_{{\rm{s}}22}} = \;& - \frac{{{{\hat \delta }_{\rm{d}}}^2}}{{4{\varepsilon _{\sigma 2}}}}s = - {k_{22}}s. \end{aligned}\right\} $

由观测误差有界稳定可知，存在正常数 ${h_1}、{h_2}$，其值满足 $ {h_1} > \left| {{{\tilde x}_2}} \right|,{h_2} > \left| {\tilde f} \right| $，因此，可以设计常值 $ {h_\sigma } $，满足 $ {h_{\sigma }} \geqslant (c+{\sigma _1}+{\theta _2}_{\max }) {h_1}+{h_2} $.

不等式(35)的证明如下：

(37) $ \begin{split} & s\left[ {{u_{{{\rm{s}}}21}}+\tilde f+\left( {c+{\sigma _1} - {\theta _2}} \right){{\tilde x}_2}} \right]\leqslant \\ & s\left\{ { - \frac{{{{\left[ {(c + {\sigma _1}+{\theta _2}_{\max }){h_1}+{h_2}} \right]}^2}}}{{4{\varepsilon _{\sigma 1}}}}s + (c+{\sigma _1}+{\theta _2}_{\max }){h_1}+{h_2}} \right\} \leqslant\\ & - {\left[ {\frac{{\left[ {(c+{\sigma _1}+{\theta _2}_{\max }){h_1}+{h_2}} \right]s}}{{2\sqrt {{\varepsilon _{\sigma 1}}} }}} \right]^2}+ \\ &2\frac{1}{{2\sqrt {{\varepsilon _{\sigma 1}}} }}\sqrt {{\varepsilon _{\sigma 1}}} \left[ {(c+{\sigma _1}+{\theta _2}_{\max }){h_1}+{h_2}} \right]s - {\varepsilon _{\sigma 1}}+{\varepsilon _{\sigma 1}} \leqslant \\ & - {\left[ {\frac{{\left[ {(c+{\sigma _1}+{\theta _2}_{\max }){h_1}+{h_2}} \right]s}}{{2\sqrt {{\varepsilon _{\sigma 1}}} }} - \sqrt {{\varepsilon _{\sigma 1}}} } \right]^2}+{\varepsilon _{\sigma 1}} \leqslant {\varepsilon _{\sigma 1}} .\\[-18pt] \end{split} $

同理可证： $s\left[ {{u_{{\rm{s}}22}}+d+{{\tilde \delta }_{{\rm{d}}}}{{\rm{sgn}}}\; (s)} \right] \leqslant {\varepsilon _{\sigma 2}}$.

本节设计的总体控制策略结构，如图3所示.

定理2　对于辅助输出系统（式(6)），基于参数自适应率（式(32)）和干扰上界自适应率（式(34)）的控制器（式(30)），可以实现系统跟踪误差的有界稳定.

证明

设计李雅普诺夫函数：

(38) $ V = \frac{1}{2}{s^2}+\frac{1}{2}{{\boldsymbol{\tilde \theta }}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{\varGamma }}^{{ - 1}}}{\boldsymbol{\tilde \theta }}+\frac{1}{2}{\gamma ^{ - 1}}{\tilde \delta _{\rm{d}}}^2 . $

根据式(29)、(32)、(34)可以证明，过程如下.

(39) $ \begin{split} \dot V =\;& s\left[ { - {{{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}{\bf\textit{φ}} + \left( {c + {\sigma _1} - {\theta _2}} \right){{\tilde x}_2} + d + \tilde f + {u_{\rm{s}}}} \right]+\\ \;&{{{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{\varGamma }}^{-{1}}}({\rm{Proj}}({\boldsymbol{\varGamma \tau }}) - {k_\theta }{\boldsymbol{\hat \theta }}) + {\gamma ^{ - 1}}{{\tilde \delta }_{\rm{d}}}(\gamma |s| - {k_{\delta }}{{\hat \delta }_{\rm{d}}}) =\\ \;& - {k_1}{s^2} + s({u_{{\rm{s}}21}} + {u_{{\rm{s}}22}}) - s{{{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}{\bf\textit{φ}} + {{{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{\varGamma }}^{ - 1}}{\rm{Proj}}({\boldsymbol{\varGamma \tau }})-\\ \;&{k_{\theta }}{{{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{\varGamma }}^{{ - 1}}}{\boldsymbol{\hat \theta }} + s\left( {d + {{\tilde \delta }_{\rm{d}}}{\rm{sgn}}\;\left( s \right)} \right) - {k_\delta }{\gamma ^{ - 1}}{{\tilde \delta }_{\rm{d}}}{{\hat \delta }_{\rm{d}}}+\\ \;&s\left[ {\tilde f + \left( {c + {\sigma _1} - {\theta _2}} \right){{\tilde x}_2}} \right] \leqslant\\ \;& - {k_1}{s^2} + {\varepsilon _{\sigma 1}} + {\varepsilon _{\sigma 2}} - {k_{\theta }}{{{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{\varGamma }}^{ - 1}}{\boldsymbol{\hat \theta }} - {k_\delta }{\gamma ^{ - 1}}{{\tilde \delta }_{\rm{d}}}{{\hat \delta }_{\rm{d}}} .\\[-10pt] \end{split} $

根据引理1，可证：

(40) $ \begin{split} {\dot {V}} \leqslant & {- {k_1}{s^2}} + {\varepsilon _{\sigma 1}} + {\varepsilon _{\sigma 2}} - \frac{1}{2}{k_{\theta }}||{\tilde{\boldsymbol{ \theta }}}|{|^2} + \frac{1}{2}{k_{\theta }}||{\boldsymbol{\theta }}|{|_{\rm{F}}}^2 - \\ & \frac{1}{2}{k_{\delta}}{\gamma ^{ - 1}}||{{\tilde \delta }_{\rm{d}}}|{|^2} + \frac{1}{2}{k_{\delta}}{\gamma ^{ - 1}}||{\delta _{\rm{d}}}|{|_{\rm{F}}}^2 = \\ & -\left[ {{k_1}{s^2} + \frac{1}{2}{k_{\theta}}||{\tilde {\boldsymbol{\theta }}}|{|^2} + \frac{1}{2}{k_{\delta}}||{{\tilde \delta }_{\rm{d}}}|{|^2}} \right] + {\varepsilon _{\sigma 1}} + \\ & {\varepsilon _{\sigma 2}} + \frac{1}{2}{k_{\theta }}||{\boldsymbol{\theta }}|{|_{\rm{F}}}^2 + \frac{1}{2}{k_{\delta }}||{\delta _{\rm{d}}}|{|_{\rm{F}}}^2. \end{split}$

定义

(41) $ \left.\begin{aligned} {\lambda _{{{\rm{k}}1}}} =\;& \min \;\{ 2{k_1},{k_{\theta }},{k_\delta }\}, \\ {\lambda _{{{\rm{k}}2}}} =\;& {\varepsilon _{\sigma 1}}+{\varepsilon _{\sigma 2}}+\frac{1}{2}{k_\theta }||{\boldsymbol{\theta }}|{|_{\rm{F}}}^2+\frac{1}{2}{k_\theta }||{\delta _{\rm{d}}}|{|_{\rm{F}}}^2 . \end{aligned}\right\} $

故 $ \dot V = - {\lambda _{{{\rm{k}}1}}}V+{\lambda _{{{\rm{k}}2}}} $，可证：

(42) $ V \leqslant \left( {V\left( 0 \right) - \frac{{{\lambda _{{{\rm{k}}2}}}}}{{{\lambda _{{{\rm{k}}1}}}}}} \right){{\rm{e}}^{{\lambda _{{{\rm{k}}1}}}t}}+\frac{{{\lambda _{{{\rm{k}}2}}}}}{{{\lambda _{{{\rm{k}}1}}}}} . $

有界稳定.

基于上述分析，所设计的容错控制器可以实现系统跟踪误差的有界稳定，所设计的基于自适应神经网络的滑模观测器可以很好地实现故障检测和状态估计.其中故障的估计，可以用于控制器前馈补偿项，以对故障进行补偿；状态的估计可以用于控制器的状态重构，从而实现主动容错控制.

为了验证所设计的快速终端滑模主动容错控制系统的有效性，对常见几种控制器的仿真结果进行比较分析，分别为PID控制器、普通快速终端滑模控制器、本研究设计的快速终端滑模主动容错控制器. 衡量跟踪精度的性能指标包括均值 $ \;\mu $、标准差 $ \sigma $、跟踪误差最大值 $ {M_{\rm{e}}} $. 指标定义如下：

(43) $ \left.\begin{aligned} M_{\rm{e}} =\;& \mathop {{\max}}\limits_{i{ = 1,2},\cdots, \;n}\; |e(i)|, \\ \mu =\;& \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {|e(i)|} , \\ \sigma =\;& \left[ {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {|e(i) - \mu {|^2}} }\right]^{1/2} . \end{aligned}\right\} $

为了验证本研究控制策略的有效性，系统给定信号 ${x_{{1{\rm{d}}}}} = 10\left( {1 - \exp \; \left( {0.5t} \right)} \right)\sin \; \left( {{{{\text{π}}}} t} \right)$，引入故障 $f = \left( 10+ 0.01{x_1}{x_2} \right) \left( {1 - {\text{exp}} \;\left( { - 0.2\left( {t - 10} \right)} \right)} \right)$.为了验证控制系统在结构化不确定性下是否有较高的跟踪精度与参数自学习能力，引入参数摄动，模拟在系统运行中参数的变化，具体实现方式是将控制器输出的控制量缩减为原来的 0.5倍.为了验证系统在非结构化不确定性下是否能够保持较高的跟踪精度和稳定性，引入外部扰动 $ d $，其表达式为 $ d = 0.01{x_1}{x_2} $.在故障、参数摄动、外部扰动同时存在的复杂工况下，验证本研究所设计的控制策略的有效性.

本研究想要呈现的是各控制器的最优控制性能对比图，由于各控制器的最优参数并不相同，参数选择会有所不同，参数如下.

1）PID控制器. PID控制器是工业控制中应用最广泛的控制器件，主要是由3个部分组成，包括比例环节k_p、积分环节k_i、微分环节k_d. 3个参数各自功能不同，增加k_p的值，可以加快响应速率，提高跟踪精度，但是太大会导致超调. 增加k_i有利于减小系统的静态误差，以及在跟踪误差较小，k_p系数调节效果不大时，能够进一步消除静态误差.增加系统的k_d系数，会加快响应速度，减小系统的超调量，但是太大也会导致系统调节时间延长.根据实际工况下仿真的调试结果，系数选择如下：k_p=100，k_i=1，k_d=2;

2）快速终端滑模控制器（fast terminal sliding mode，FTSM）. 快速终端滑模是基于终端滑模进行改进的滑模控制器，在收敛速度上具有很大优势，快速终端滑模系统无论是在系统远离平衡位置还是接近平衡位置时，都能快速精确地收敛到平衡位置.根据实际工况下仿真的调试结果，各参数选择如下： $ {c_1} = 200,{c_2} = 0.1,q = 7,p = 9 $， $ {k_1}+{k_{21}}+ {k_{22}} = 1.92 $ .

3）快速终端滑模主动容错控制器（fast terminal sliding mode active fault tolerant，FTSM_AFT）. 快速终端滑模主动控制器，以RBF对故障的估计作为控制器前馈补偿项，重构控制器的结构，针对性较强，根据实际工况下仿真的调试结果，各参数选择如下： $ {c_1} = 300,{c_2} = 0.5,q = 7,p = 9 $， $ {k_1}+{k_{21}}+ {k_{22}} = 1.8 $，RBF神经网络的结构：2-5-1，初始权值 $ {w_i} = 0 $， $ b = 100 $， ${\boldsymbol{c}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1.3}&{{\text{0}}{\text{.61}}}&{{\text{0}}{\text{.91}}}&{{\text{1}}{\text{.5}}} \\ 1&{1.3}&{0.61}&{0.91}&{1.5} \end{array}} \right]$.

仿真结果如图4~7所示. 各个控制器的性能指标如表1所示.

由图4及表1可以看出，FTSM_AFT控制器相比PID控制器和普通快速终端滑模控制器具有更高的控制精度.原因在于，FTSM_AFT控制器针对系统中存在的结构化不确定性，采用参数自适应的方式进行估计和补偿.

由图5可以看出，参数估计值可以较快地收敛到真值，从而保证参数不确定性的补偿精度.针对系统中存在的非结构化不确定性设计了具有干扰上界自适应增益的鲁棒项加以克服. TSMC_AFT控制器在故障发生时利用神经网络对故障的估计值进行针对性的补偿，从而大大提高了控制精度.

由图6可以看出，故障检测效果良好，这样就可以部分或者完全恢复系统在出现故障前的性能.

由图7可以看出，观测器通过故障补偿具有较好的状态估计性能，从而保证了基于状态重构的容错控制器的性能.而传统PID控制器则是依靠自身一定的鲁棒性克服故障和扰动，FTSM通过滑模变结构来克服故障和扰动，虽然比PID控制器性能有所提高，但相对于FTSM_AFT控制器由于缺少了针对性的补偿，性能依旧较差.

为了进一步验证本研究提出的容错控制策略在实际工作场合的有效性，进行实验研究，并依旧与PID、快速终端滑模算法在控制精度和稳定性方面进行比较. 实验平台的结构如图8所示.该平台由底座、永磁同步电机运动系统(包括永磁同步电机、电动驱动器、旋转编码器、惯性板和联轴器)、电源、测控系统组成. 该测控系统包括监控软件和工控机.工控机配备实时操作系统，使用C语言编写控制程序. 工控机配有用于发送控制命令的16位数字/模拟(D/A)转换卡和用于采集光电编码器位置信息的16位采集卡. 控制周期为0.5 ms.系统速度由高精度位置信号的后向差产生. 同时，采用截止频率为50 Hz的二阶Butterworth滤波器对速度信号中的实测噪声进行抑制.

实验环节采用3种控制器作对比，参考信号为 ${x_{{1{\rm{d}}}}} = 10\left( {1 - \exp \; \left( {0.5t} \right)} \right)\sin \; \left({ { \pi} t} \right)$，故障信号和干扰信号和上述的仿真一致.选择3种工况进行测试，工况选择以及各控制器的参数选取如下.

1）工况1. 仅存在加性故障 $ f $，验证系统在故障发生时的故障检测能力与主动容错效果.

参数选择如下：

PID： ${k_{\rm{p}}} = 30,{k_{\rm{i}}} = 10,{k_{\rm{d}}} = 1$

FTSM： $ {c_1} = 120,{c_2} = 4,q = 29,p = 31 $, k₁+k₂₁+k₂₂=0.45

FTSM-AFT： $ {c_1} = 110,{c_2} = 15,q = 29,p = 31 $,k₁+k₂₁+k₂₂=0.5，初始权值为 $ {w_i} = 0 $, $ b = 100 $, ${\boldsymbol{c}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1.3}&{{\text{0}}{\text{.61}}}&{{\text{0}}{\text{.91}}}&{{\text{1}}{\text{.5}}} \\ 1&{1.3}&{0.61}&{0.91}&{1.5} \end{array}} \right]$.

2）工况2. 存在加性故障 $ f $以及外部干扰 $ d $，在随时可能出现故障的前提下，考虑系统中可能存在的非结构化不确定性，验证系统的稳定性.

参数选择如下：

PID： ${k_{\rm{p}}} = 30,{k_{\rm{i}}} = 15,{k_{\rm{d}}} = 1$

FTSM： $ {c_1} = 80,{c_2} = 10,q = 29,p = 31 $，k₁+k₂₁+k₂₂=0.45

FTSM-AFT： $ {c_1} = 120,{c_2} = 15,q = 29,p = 31 $, k₁+k₂₁+k₂₂=0.45，初始权值为 $ {w_i} $、 $ b $、c同上.

3）工况3. 存在加性故障信号 $ f $、外部干扰 $ d $、参数摄动，参数摄动的实现的方式是将控制器 $ u $变为原来的0.5倍，验证系统在结构化和非结构化不确定因素、故障同时存在的恶劣工况下，控制策略的各个环节是否依旧正常工作.

3种工况中f和d的设置和仿真中的设置是一样的.

参数选择如下.

PID： ${k_{\rm{p}}} = 30,{k_{\rm{i}}} = 15,{k_{\rm{d}}} = 1$

FTSM： $ {c_1} = 120,{c_2} = 30,q = 29,p = 31 $, k₁+k₂₁+k₂₂=0.45

FTSM-AFT： $ {c_1} = 120,{c_2} = 15,q = 29,p = 31 $, k₁+k₂₁+k₂₂=0.45，初始权值同上.

实验结果如图9~11所示.

由表2和图9可以看出，当系统仅存在加性故障时，3种控制器的跟踪误差都较小，但本研究设计的TSMC_AFT控制器跟踪精度最高. 原因在于PID控制器只能依靠自身的鲁棒性克服故障对系统的影响，因此控制性能较差. 普通快速终端滑模控制器依靠自身的滑模变结构来克服故障的影响，性能有一定提高. 而TSMC_AFT控制器在故障发生时利用神经网络对故障的估计值进行了针对性的补偿，故而具有高精度的状态重构和较好的容错能力，从而大大提高了控制精度.

由图10和表3可以看出，3种控制器在系统出现非结构化不确定性时，控制精度均有所下降，但本研究设计的控制策略精度仍是3个控制器中最高的. 因为它能够依靠具有自适应增益的鲁棒项，来克服系统的不确定性，使系统在不确定性存在下依旧保持稳定和较好的跟踪精度，验证了该控制策略在系统存在非结构化不确定性时，能够保持较高的跟踪精度、响应速率和容错能力.

由图11和表4可以看出,系统在结构化和非结构化不确定性、故障同时存在的恶劣工况下，PID和快速终端滑模控制器跟踪精度均大大下降，而TSMC-AFT控制器的控制精度虽有所下降，但依旧在3种控制器中保持最高的跟踪精度，满足系统的性能要求. 验证了所提出的控制器在这种复杂工况下，能够较好地估计故障和模型不确定性（包括参数不确定性和外干扰），并有针对性的进行补偿，获得高精度的重构状态和容错控制.

针对机电伺服系统故障检测准确率不高，系统容错性能不佳的问题，本研究提出了基于自适应神经网络滑模观测器的快速终端滑模的主动容错控制策略，提高了系统的的控制精度和容错性能，通过仿真和实验验证本研究所提控制策略的可行性.

本研究提出的方法还是有一定的局限性，由于系统故障较为复杂，为了方便研究仅对系统加性故障进行了研究，并且对故障进行了简单的建模，所以在适用范围上有一定的局限性. 下一步考虑将系统的乘性故障以及更加复杂的综合故障作为研究对象.