激光位移传感器是利用激光技术进行位移精密测量的传感器，具有非接触、测量速度快、分辨率高等特点^[1]. 在大型结构件制造领域（如航空航天）中，自动化钻铆机器人或磨削机器人依赖激光位移传感器确定末端刀具与工件表面待加工位置的法向夹角，孙彬等^[2-5]对激光位移传感器自身内部参数例如光路光强、光电噪声、倾角误差补偿做了标定或误差补偿研究. 加工过程中，振动极易发生激光位移传感器相对于机器人末端的位置错动，必须对激光位移传感器的位置进行修正和测量来保证现场测量工作的准确性^[6]，被校准参数包括激光位移传感器在机器人末端坐标系上的光束方向以及零点位置. 另外，装夹在机器人末端的测量系统通常包括3或4个激光位移传感器^[7-8]，且激光位移传感器的光束并非都是平行关系^[9]，因此需要一种能够同时标定测量系统中多个激光位移传感器外部参数的方法.

刘勇等^[10]提出球面七点等距法，该标定方法原理简单，但需要通过测量平台数控系统辅助调整光学测头测量值，并使其相等，操作烦琐. 曹双倩等^[11]提出基于标准平面进行标定的方法，该方法需要加工出平面质量很好的工件，并使用激光跟踪仪进行测量拟合空间平面方程，精度虽高，但增加了标定成本，且实际操作复杂. 毕超等^[12]利用三坐标测量机提出使用基于标准球面目标约束并进行非线性优化的标定方法，Zhou等^[13]提出使用圆柱面及锥面为约束并进行非线性优化的标定方法，这2种方法都使用了精密的测量设备，标定成本高，且不适用于机器人末端传感器标定. 王胜华等^[14]提出定点调姿方法，用于激光位移传感器与机器人间的手眼标定，这种方法原理简单，但精度略低. 以上方法对于加工过程中多传感器在机器人末端上的同时标定具有局限性，且标定过程需要复杂的实验设备. 有学者利用其他设备辅助标定，例如王仲等^[15]提出基于单目相机的激光位移传感器标定方法。该方法对实验环境要求低，标定过程简单，可同时标定2个激光位移传感器，标定效果良好. 但这种方法除了要有电荷耦合图像传感器外，还要有角度精度较高的斜面，且须借助其他设备对斜面的角度、斜面与电荷耦合图像传感器的角度进行校准，增加了标定的工作量，此外该方法没有应用于机器人末端的传感器标定.

本研究提出基于双目视觉系统的激光位移传感器标定模型及方法，可同时标定机器人末端的3个或更多激光位移传感器的光束方向及零点位置，标定过程中无须使用其他高精度要求的辅助测量工件，具有标定成本低，适用性高，标定速度快，精度高且鲁棒性强的优点. 同时，本研究设计实验，以验证所述方案在工程中的可行性.

如图1所示，激光位移传感器的光束在空间中表现为细长的圆锥体，在激光位移传感器工作范围内可将光束简化为细长圆柱体或者直线. 当线的方向未知时，若能够获取这条线上的若干点位置，可以利用最小二乘法在空间中拟合成光束直线并求得光束的方向参数.

如图2所示，为了获取光束上的若干空间点，双目视觉系统垂直地面朝下放置，在双目视觉系统视野内放置一斜面，将激光位移传感器发出的光束打在斜面上，使形成的光斑能够在已标定位置的2个相机内同时生成图像，在图像中用重心法求取光斑区域内的光斑中心点位置^[16]，用视差法原理^[17]计算出光斑中心点 $P$在双目视觉系统左相机坐标系（规定左相机坐标系为双目视觉系统坐标系）下的坐标 ${P_{\rm{C}}}({x_{\rm{C}}}_{{P}},{y_{\rm{C}}}_P,{z_{\rm{C}}}_P)$.

移动激光位移传感器可使光斑在斜面及相机图像中产生位置变化，使双目视觉系统获取光束中更多光斑位置. 在自动化钻铆或磨削工业机器人中，待标定的参数是机器人末端坐标系下激光位移传感器的光束方向及零点位置，因此须将双目视觉坐标系中的光斑经坐标转换至机器人末端坐标系下. 为此建立标定模型.

以3个激光位移传感器组成的末端测量系统（以下称测量系统）为例. 如图3所示，3个激光位移传感器沿着末端轴线均匀周向布置于机器人末端，与轴线呈一定角度. 机器人工作范围内放置支架，其上固定投影斜面及双目视觉系统. 机器人末端带动测量系统移动，使测量系统上激光位移传感器的光束打在斜面上投影成光斑，由相机获取光斑中心点在双目视觉系统坐标系下的空间位置. 为了将光斑经坐标系转换至机器人末端坐标系下，用手眼标定方法获取双目视觉系统与机器人基座之间的位姿关系，结合机器人控制器中获取的机器人末端与基座位姿关系，计算坐标转换矩阵. 利用坐标转换矩阵将光斑转换至机器人末端坐标系下，采用最小二乘法拟合机器人末端坐标系下的光束方向参数，并利用激光位移传感器记录的距离数值进一步解算出零点位置参数.

如图4所示为各单元间转换关系，相关参数如表1所示. 为了获取机器人末端坐标系与双目视觉系统坐标系的位姿转换关系 ${}_{\rm{C}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{H}}$，从机器人控制器获取机器人末端坐标系与机器人基座坐标系的位姿 ${}_{\rm{B}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{H}}$，对机器人及双目视觉系统进行手眼标定^[18]以获得机器人基座坐标系与双目视觉系统坐标系的位姿关系 ${}_{\rm{C}}^{\rm{B}}{\boldsymbol{H}}$. 三者的关系式为

(1) ${}_{\rm{C}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{H}} = {}_{\rm{C}}^{\rm{B}}{\boldsymbol{H}}{}_{\rm{B}}^{\rm{T}}{\boldsymbol{H}}.$

由双目视觉系统获取激光光斑中心点在双目视觉系统坐标系 ${O_{\rm{C}}}$下的三维坐标 ${P}_{\rm{C}}({x}_{{\rm{C}}P},{y}_{{\rm{C}}P},{z}_{{\rm{C}}P})$. 为了得到机器人末端坐标系 ${O_{\rm{T}}}$上光斑中心点的三维坐标 ${P}_{\rm{T}}({x}_{{\rm{T}}P},{y}_{{\rm{T}}P},{z}_{{\rm{T}}P})$，进行坐标转换

(2) $\left[ {{x_{{\rm{T}}}}_P} ,{{y_{{\rm{T}}}}_P} ,{{z_{{\rm{T}}}}_P} ,1 \right]^{\rm{T}} = {}_{\boldsymbol{T}}^{\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{H}}\left[ {{x_{{\rm{C}}}}_P}, {{y_{{\rm{C}}}}_P} , {{z_{{\rm{C}}}}_P} ,1 \right]^{\rm{T}}.$

控制机器人末端改变位姿，使激光位移传感器的光斑在斜面上产生位置变化，经多次调姿可以获得机器人末端坐标系 ${O_{\rm{T}}}$上的若干点.

为了将机器人末端坐标系下的光斑点集拟合成光束所在直线，须获取若干个光斑位置信息. 由式（2）可实时获得激光光斑中心点 $P$在机器人末端坐标系 ${O_{\rm{T}}}$上的三维坐标，移动机器人末端 $m$次，每条光束上即可获取 $m$个光斑中心点坐标 $ {P}_{{\rm{T}}i}({x}_{i},{y}_{i},{z}_{i})$ $ (i=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$. 利用最小二乘法将光斑拟合成激光光束直线.

(3) $\frac{{x - {x_0}}}{{{{{k}}_x}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{{{k}}_y}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{{{k}}_z}}}.$

式中： ${x_0}$， ${y_0}$， ${z_0}$为直线上已知点 ${P_0}$的坐标， ${{{k}}_x}$， ${{{k}}_y}$， ${{{k}}_z}$为直线方向向量 ${\boldsymbol{n}}$在坐标系下的分量. 转换式（3）可以得到：

(4) $\left[ x,y \right]^{\rm{T}} = z\left[ a , c \right]^{\rm{T}} + \left[ b ,d \right]^{\rm{T}}.$

式中：a、b、c、d为激光光束直线方程待求系数， $a = {{{k}}_x}/{{{k}}_z}$， $b = {x_0} - {{{{{k}}_x}}}{z_{\rm{0}}}/{{{{{k}}_z}}}$， $c = {{{{{k}}_y}}}/{{{{{k}}_z}}}$， $d = {y_0} - {{{{{k}}_y}}}{{\rm{z}}_{\rm{0}}}/{{{{{k}}_z}}}$. 将问题转换成求解最小二乘问题：

(5) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta x = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{[{x_i} - (a{z_i} + b)]}^2}} }, \\ {\Delta y = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{[{y_i} - (c{z_i} + d)]}^2}} } . \end{array}} \right\}$

其中 $\Delta x$与 $\Delta y$取最小值 $\Delta {x_{\min }}$与 $\Delta {y_{{\rm{min}}}}$时的参数 $a,b,c,d$即为激光光束直线方程所求系数

(6) $\left. {\begin{array}{r} {a = \left({{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{x_i}{z_i} - \sum\limits_{i = 1}^m {{x_i}\sum\limits_{i = 1}^m {{z_i}} } } }}\right)\Bigg /\left[{{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{z_i}^2 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {z_i}\right)^{^2} } }}\right]}, \\ {b = \left({{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{x_i} - a\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{z_i}} } }}\right)\Bigg/{2}} ,\\ {c = \left({{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{y_i}{z_i} - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{y_i}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{z_i}} } } }}\right)\Bigg/\left[{{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{z_i}^2 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {z_i}\right)^{^2}}}}\right]}, \\ {d = \left({{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{y_i} - c\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{z_i}} } }}\right)\Bigg/{2}} . \end{array}} \right\}$

将 $m$个光斑 $ {P}_{{\rm{T}}i}({x}_{i},{y}_{i},{z}_{i})$ $ (i=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$代入式（6），即可求得直线方程参数，进而求得光束直线的方向参数 ${\boldsymbol{n}} = ({{{k}}_x},{{{k}}_y},{{{k}}_z}) = (a,c,1)$.

为了消除光斑位置提取时产生的噪声，可设定光斑中心点与拟合直线间的距离阈值，将与拟合光束直线距离过大的数据点去除并重复拟合，以获得更好的效果.

如图5所示，利用激光位移传感器控制器可以获得每个光斑到激光零点位置的距离 ${D_{\rm{i}}}$ $ (i= $ $ 1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$，将这些光斑中心点投影在拟合后的激光光束直线 $L$上，得到投影点 ${P^{'}}_{{\rm{T}}i}$ $ (i=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$. 利用投影点和对应的距离可求解出零点位置.

将 $L$的空间方程转换成参数式形式：

(7) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {k_x}t + {x_0}}, \\ {y = {k_y}t + {y_0}}, \\ {z = {k_z}t + {z_0}}. \end{array}} \right\}$

式中： $t$为未知参数. $L$的方向向量为已知参数 ${\boldsymbol{n}} = ({{{k}}_x},{{{k}}_y},{{{k}}_z})$， ${P}^{\rm{'}}{}_{{\rm{T}}i}({{k}}_{x}{t}_{i}+{x}_{0},{{k}}_{y}{t}_{i}+{y}_{0},{{k}}_{z}{t}_{i}+{z}_{0})$为光斑投影点，则光斑点 ${P_{{\rm{T}}i}}$到投影点 ${P^{'}}_{{\rm{T}}i}$的向量 ${{\boldsymbol{P}}_{{\rm{T}}i}}{\boldsymbol{P}}{'_{{\rm{T}}i}}$和方向向量 ${\boldsymbol{n}}$存在如下关系：

(8) ${{\boldsymbol{P}}_{{\rm{T}}i}}{\boldsymbol{P}}{'_{{\rm{T}}i}} \bot {\boldsymbol{n}}.$

解得

(9) ${t_i} = \frac{{({x_i} - {x_0}){{{k}}_x} + ({y_i} - {y_0}){{{k}}_y} + ({z_i} - {z_0}){{{k}}_z}}}{{{{k}}_x^2 + {{k}}_y^2 + {{k}}_z^2}}.$

代入投影点 ${P}^{\rm{'}}{}_{{\rm{T}}i}({{k}}_{x}{t}_{i}+{x}_{0},{{k}}_{y}{t}_{i}+{y}_{0},{{k}}_{z}{t}_{i}+{z}_{0})$，可得光束 $L$上的投影点坐标 $ {P}^{\rm{'}}{}_{{\rm{T}}i}({x}_{i}^{\rm{'}},{y}_{i}^{\rm{'}},{z}_{i}^{\rm{'}})$. 其对应的零点坐标为 ${P}_{{\rm{o}}i}({x}_{{\rm{o}}i},{y}_{{\rm{o}}}{}_{i},{z}_{{\rm{o}}i})$，因 ${P_{{\rm{o}}i}}\;$ 在光束直线 $L$上，设 ${P}_{\rm{o}i}({{k}}_{x}{s}_{i}+{x}_{0}, $ $ {{k}}_{y}{s}_{i}+{y}_{0},{{k}}_{z}{s}_{i}+{z}_{0})$，其中 ${s_i}$为未知参数. 令

(10) $\left| {{\boldsymbol{P}}_{Ti}^{'}{{\boldsymbol{P}}_{{\rm{o}}i}}} \right| = {D_i}.$

解得

(11) ${s_i} = \frac{{{D_i}}}{{\left({{{k}}_x^2 + {{k}}_y^2 + {{k}}_z^2} \right)^{0.5} }}+ {t_i}.$

将 ${s_i}$代入 ${P_{{\rm{o}}i}}$，可求得 $m$个投影点 ${P^{'}}_{Ti}$对应的 $m$个零点坐标 ${P}_{\rm{o}}{}_{i}({x}_{\rm{o}}{}_{i},{y}_{\rm{o}}{}_{i},{z}_{\rm{o}}{}_{i})$ $ (i=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$. 将 $m$个坐标取均值作为激光位移传感器的最终零点坐标.

(12) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{\rm{o}}} = {m^{-1}{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{x_{{\rm{o}}i}}} }}} ,\\ {{y_{\rm{o}}} = {m^{-1}{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{y_{{\rm{o}}i}}} }}}, \\ {{z_{\rm{o}}} = {m^{-1}{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{z_{{\rm{o}}i}}} }}}. \end{array}} \right\}$

由式（12）可求得机器人末端坐标系 ${O_{\rm{T}}}$下的激光位移传感器的零点位置坐标 ${P}_{{\rm{o}}}({x}_{{\rm{o}}},{y}_{{\rm{o}}},{z}_{{\rm{o}}})$.

为了验证上述理论可行性，搭建如图6所示实验平台，采用3个激光位移传感器集成的激光位移传感器测量，系统安装在UR10机器人^[19]末端，在机器人工作范围内放置固定有2台工业相机的视觉试验台，下方放置固定斜面，该斜面无须保证角度精度及表面平整度^[15]，仅用于反射光斑，UR10机器人可控制末端移动将激光光线打在斜面上形成细小光斑，实验流程如图7所示.

对双目视觉系统左相机与机器人基座之间的位姿关系进行手眼标定^[18]，如图8所示. 将标定板安装在机器人末端，移动机器人末端使标定板在视野内移动10个位姿，保证图像充满相机景深区域. 标定后双目视觉系统相对于机器人的平移部分和旋转部分的均方根误差分别为0.08 mm和0.037°，最大误差分别为0.12 mm和0.057°，满足实验要求.

进行双目视觉系统自标定，以消除镜头畸变的影响以及确定2个相机的位姿关系. 如图9所示，使双目视觉系统的左右相机（MER-500-14U3M，500万像素，8 mm焦距）同时拍摄标定板（13×15圆点标定板，精度为±1 μm），经过10次拍摄后计算得出相机的内参以及相对位姿关系. 标定结果显示左右相机的平均像素误差均为0.098像素，在100 mm×80 mm的视场范围内的测量精度可达0.036 mm，满足工作要求.

使机器人末端移动到投影斜面附近，将激光打在斜面上，并利用如图10所示的左相机图像为例的重心法求光斑中心点，以及视差法原理计算光斑中心点在相机坐标系下的空间位置. 因为在实验中斜面的作用是反射光斑，所以对斜面粗糙度和倾角精度无要求.

在实验中，机器人末端移动了17个位姿，双目视觉系统共获取3束激光打在斜面上的51个光斑中心点位置，依据式（3）将光斑中心点坐标转化至机器人末端坐标系下，如图11所示. 图中，利用聚类方法将双目视觉获取的51个分布明显的光斑分成用于拟合3束激光直线的3个点集. 每个光斑点集的光斑在图中的图形相同，例如图中用*表示用于拟合激光束2的光斑. 3个点集在机器人末端坐标系下绕z轴方向呈均匀分布，与激光位移传感器在机器人末端的安装位置基本一致.

将机器人末端坐标系下的光斑点集应用最小二乘法拟合空间直线后，计算每个光斑点到拟合直线的距离，即拟合残差 $\xi $，拟合效果如图12所示。3个激光线与机器人末端坐标系Z轴呈角度汇聚于一点，与激光位移传感器在机器人末端的安装位置和方向基本一致.

51个光斑对应直线拟合的残差值 $\xi $如图13所示. 激光束1上光斑最大残差为0.206 mm，激光束2为0.256 mm，激光束3为0.258 mm，3束激光的平均残差为0.098 mm，拟合效果良好. 由式（10）获得拟合直线的方向参数，由式（12）获得激光零点位置. 3枚激光光束的零点位置如图14所示。由图可知，计算结果与预期相符.

为了验证标定结果，使用如图15所示陶瓷标定球作为基准球面，其直径 ${d_t}$=19.989 mm. 使用UR10机器人带动基恩士LK-H050激光位移传感器组成的测量系统采集球面上的数据点集 ${P}_{{\rm{S}}i }$，通过将点集 ${P_{{\rm{S}}i}}$转换到机器人基座坐标系下形成点集 ${P_{{\rm{B}}i}}$并进行最小二乘法球面拟合. 拟合球面直径 ${d_f}$与 ${d_t}$之差 ${d_e}$体现标定方法的准确性. 计算 ${P_{{\rm{B}}i}}$到拟合球面的最大距离 ${\varepsilon _{{\rm{max}}}}$反映拟合效果. 利用测量误差 $\delta = \left| {{d_e}} \right| + {\varepsilon _{\max }}$反映整体的准确性.

在球面上不同位置重复实验10次，每次利用3束激光同时采集基准球上共240个点进行球面拟合，数据点采集情况如图16所示，拟合效果如图17所示， 拟合结果及误差如表2所示. 10次测量实验的平均测量误差 $\overline \delta $=0.038 6 mm，标准偏差 $\sigma $=0.008 6 mm. 因此在3倍标准差范围内，使用本文方法标定的激光位移传感器测量标准球的测量误差范围 $E = {\rm{0}}{\rm{.038\;6}} \pm {\rm{0}}{\rm{.025\;8}}$ mm. 结果表明利用双目视觉系统可以有效标定出激光位移传感器在机器人末端上的光束方向及零点位置. 为了进一步验证经该方法标定的激光位移传感器在机器人自动化钻铆工序中的可行性和鲁棒性，设计实验对工件表面同一固定点进行基于向量叉积法^[20]的多姿态法向测量，如图18所示.

选用已知数据模型的机床轴套作为加工对象进行实验，在轴套表面选取5个待加工点，每个加工点选取9个不同姿态，共计算得到45个法向量 ${{\boldsymbol{n}}_{uv}} = ({x_{uv}},y{}_{uv},{z_{uv}})$ $(u = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,{\rm{5;}}v = {\rm{1,2,}} \cdot \cdot \cdot ,{\rm{9}})$，其中 $u$为待加工点序号， $v$为姿态序号. 5个待加工点在数据模型中的曲率如表3所示。表中， $K$为主曲率， ${K_{\rm{m}}}$为平均曲率， ${K_{\rm{g}}}$为高斯曲率.

为了保证激光位移传感器本身的测量精度，机器人末端姿态选取范围为待加工点对应数据模型处法向的5°偏差以内^[21]. 将9种姿态下的待加工点法向量计算值求平均法向量 ${{\boldsymbol{n}}_u}$，并计算该加工点每个姿态下 ${{\boldsymbol{n}}_{uv}}$相对于 ${{\boldsymbol{n}}_u}$的残差角度 ${\theta _{{\rm{uv}}}}$. 其中

(19) ${\theta _{{{uv}}}} = {\rm{arccos}}\left(\frac{{{{\boldsymbol{n}}_{uv}}\cdot {{\boldsymbol{n}}_u}}}{{\left| {{{\boldsymbol{n}}_{uv}}} \right| \times \left| {{{\boldsymbol{n}}_u}} \right|}}\right).$

残差角度分布情况如图19所示. 由图可知，使用本文方法标定的激光位移传感器在进行工件表面法向量测量时，法向量残差角度均小于0.34°，平均残差角度与曲率成正相关，即工件曲率越小，平均残差角度越小，鲁棒性越高. 实验结果表明使用基于双目视觉的激光位移传感器标定方法标定的激光位移传感器组应用在大尺寸工件表面法向测量工作中具有可行性和鲁棒性.

为了完成大型结构件加工领域中工业机器人末端上激光位移传感器的标定工作，本文提出基于双目视觉的激光位移传感器光束方向及零点位置标定方法. 该方法特点包括：1）使用双目视觉技术标定传感器，无须再使用高精度要求的辅助测量工件，可通过预先编程实现标定过程自动化. 2）可同时标定机器人末端上的多个激光位移传感器，标定精度高、鲁棒性好.

经实验验证，该方法标定的激光位移传感器在3倍标准差范围内的测量误差范围为0.038 6±0.025 8 mm，满足大型结构件表面加工领域测量要求，为激光位移传感器的标定工作拓展了思路，可应用于更广泛的领域中. 未来将进一步研究如何提高手眼标定和激光光斑中心点提取的精度以提高光束拟合精度.