随着“电传飞控”思想的引入，机电作动系统的研究在航天航空领域得到全面开展，飞行器的全电控制发展需求对机电作动器机械性能和控制性能提出了更高的要求，因此实现机电作动器的高精度控制十分必要^[1-3].

低速性能是精密机电作动系统的核心指标之一，在低速阶段，摩擦非线性对伺服系统的影响最明显. 随着伺服系统对控制精度要求的提高，选择合适的控制策略合理解决非线性摩擦环节对系统的制约问题十分重要. 目前，相关控制技术在跟踪幅值为20°的阶跃信号时，误差可以控制在−0.01°~0.5°^[4]；当跟踪幅值为2.5°、频率为0.5 Hz的正弦信号时，跟踪误差最小可以达到0.03°^[5].

针对摩擦非线性的补偿，现阶段主要有2类解决方法：1）直接将摩擦视为外干扰，通过改进控制策略提高系统的抗干扰能力，从而抑制摩擦；2）通过基于摩擦模型的前馈补偿来消除摩擦环节对系统的影响. 对于第1类解决方法，人们提出的先进算法有状态反馈调节、自适应控制及鲁棒控制等. 自适应控制算法对于处理系统不确定性参数有很好的效果，但对于外干扰和未建模动态特性的抵御能力较差^[6-7]；鲁棒控制可以补偿具有已知上界函数的不确定动态特性^[8]，因此常用自适应鲁棒控制算法^[9-12]结合两者特点来解决参数不确定性与外干扰共存的问題. 此外，神经网络被越来越多地应用于解决摩擦问题^[13]，但该类算法的控制精度依赖于较多的神经网络节点数和训练次数，不利于工程实现. 综上所述，该类方法无法精确地补偿摩擦非线性，且扰动增大会引起反馈增益加大，导致控制性能降低. 对于第2类解决方法，建立精确的数学模型能够更好地描述和预测摩擦过程，精准补偿摩擦非线性，已有的模型有静态模型（如Coulomb模型^[14-15]、Stribeck模型^[16-18]）以及动态模型（如Dahl模型^[19-20]、LuGre模型^[21-23]）. 其中，LuGre模型与真实的摩擦现象更接近，因此本文选择该模型来补偿机电作动系统的摩擦非线性.

LuGre模型的内部摩擦状态无法直接测量且摩擦系数通常未知，因此针对摩擦内部状态，本文设计非线性观测器进行观测. 针对摩擦系数、转动惯量及其他不确定性参数设计参数自适应律，引入鲁棒项克服系统的其他外干扰，实验结果证明了系统良好的跟踪性能与工程应用性能.

将永磁同步电机作为系统的伺服执行器，数学模型表示为

(1) $J\ddot y = u - F - {T_{\rm{L}}} - f. $

式中：J为系统负载折算到电机端的转动惯量，y为执行器角度输出变量，u为控制量，F为摩擦扭矩，T_L为负载扭矩，f为其他外干扰变量.

LuGre摩擦模型如下：

(2) ${F = {\sigma _0}z + {\sigma _1}\dot z + {\sigma _2}\dot y}, $

(3) ${\dot z = \dot y - \frac{{\dot y}}{{g(\dot y)}}z}, $

(4) ${g(\dot y) = {F_{\rm{c}}} + \left( {{F_{\rm{s}}} - {F_{\rm{c}}}} \right){{\rm{exp\;}}[{ - \left( {\dot y/{{\dot y}_{\rm{s}}}} \right)^2}]}}. $

式中：σ₀为鬃毛刚度系数，σ₁为阻尼摩擦系数，σ₂为黏滞摩擦系数，这3个系数通常是未知的；z为内部摩擦状态变量，物理上不可测； $ \dot y $为相对速度； $ g\left( {\dot y} \right)$为模拟恒速状态的已知函数；F_c为库仑摩擦力矩；F_s为最大静摩擦力矩； ${\dot y_{\rm{s}}}$为Stribeck角速度. 对于所有 $ \dot y $，可以证明z是有界的，因此由z产生的摩擦有界^[24].

对于伺服执行器的二阶动力学模型（1）、LuGre摩擦模型（2）和（3），自适应鲁棒控制的目的是使得执行器的位置和速度能够渐近跟踪给定的有界参考信号，同时保证系统中的内部信号有界. 假定给定的信号是边界平滑且可微分的，可以将基于非线性观测器的自适应鲁棒控制表述为鲁棒的内部摩擦状态估计以及自适应位置和速度跟踪的控制方法.

根据上述数学模型，定义系统位置与速度状态为 ${{x}} = {[{x_1},{x_2}]^{\rm{T}}} = {[y,\;\dot y]^{\rm{T}}}$，系统的状态方程整合如下：

(5) $\left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ J{{\dot x}_2} = u - {\sigma _0}z - {\sigma _1}{x_2} + {\sigma _1}\dfrac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}z - {\sigma _2}{x_2} - {T_{\rm{L}}} - f. \end{array} \right\} $

定义：

$\begin{array}{l} {{\theta}} = {\left[ {{\theta _1},\;{\theta _2},\;{\theta _3},\;{\theta _4},\;{\theta _5}} \right]^{\rm{T}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\left[ {1/J,\;{\sigma _0}/J,\;{\sigma _1}/J,\;\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2}} \right)/J,\;{T_{\rm{L}}}/J} \right],\\ \varDelta = f/L, \end{array} $

则式（5）转化为

(6) $\left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = {\theta _1}u - {\theta _2}z + {\theta _3}\dfrac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}z - {\theta _4}{x_2} - {\theta _5} - \varDelta . \end{array} \right\} $

针对系统存在的非线性因素，采用反步设计的思想来设计控制器. 设计思路如图1所示.

1）设计虚拟控制量 ${x_{2{\rm{eq}}}}$.

将理想的位置状态设为 ${x_{1{\rm{d}}}}$，实际状态设为 ${x_1}$，引入e₁来表示位置的跟踪误差，即

(7) ${e_1} = {x_1} - {x_{1{\rm{d}}}}. $

设 ${x_{2{\rm{eq}}}}$为 ${\dot x_1}$的虚拟控制量，引入e₂来表示速度误差，即

(8) ${e_2} = {\dot e_1} + {k_1}{e_1} = {x_2} - {x_{2{\rm{eq}}}}, $

(9) $\begin{split} \;\\ {x_{2{\rm{eq}}}} = {\dot x_{1{\rm{d}}}} - {k_1}{e_1}. \end{split} $

式中： ${k_1}$为反馈增益，且恒为正数.

从式（8）可知，如果使e₂趋于0，则e₁必将趋向于0，此时控制器的跟踪性能将达到最好.

2）设计非线性观测器.

由于系统建模采用的LuGre模型中内部摩擦状态无法物理测量，设计非线性观测器，用以观测摩擦内部状态 $z\left( t \right)$：

(10) $\dot{ \hat z} = {x_2} - \frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\hat z - \beta {e_2}. $

3）设计实际控制量 $u$. 根据式（6）、（8），可得

(11) ${\dot e_2} = {\theta _1}u - {\theta _2}z + {\theta _3}\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}z - {\theta _4}{x_2} - {\theta _5} - \varDelta - {\dot x_{2{\rm{eq}}}}. $

根据式（11）可以设计控制量 $u$：

(12) $\left. \begin{array}{l} u = {u_{\rm{a}}} + {u_{{\rm{s}}1}} + {u_{{\rm{s}}2}},\\ {u_{\rm{a}}} = \dfrac{1}{{{{\hat \theta }_1}}}\left( {{{\hat \theta }_2}\hat z - {{\hat \theta }_3}\dfrac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\hat z + {{\hat \theta }_4}{x_2} + {{\hat \theta }_5} + {{\dot x}_{2{\rm{eq}}}}} \right),\\ {u_{{\rm{s}}1}} = - {k_2}{e_2}. \end{array} \right\} $

式中：u_a为前馈补偿项， ${u_{\rm{s}}} = {u_{{\rm{s}}1}} + {u_{{\rm{s}}2}}$为鲁棒项， $ \tilde \theta = \hat \theta - \theta $.

将式（12）代入式（11），可得

(13) $\begin{split} {{\dot e}_2} =& {\theta _1}\left( { - {k_2}{e_2} + {u_{{\rm{s}}2}} + {u_{\rm{a}}}} \right) - {\theta _2}z + {\theta _3}\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}z - \\ &{\theta _4}{x_2} - {\theta _5} - \varDelta - {{\dot x}_{2{\rm{eq}}}}=\\ & - {\theta _1}{k_2}{e_2} + {\theta _1}{u_{{\rm{s}}2}} - {{\tilde \theta }_1}{u_{\rm{a}}} + {{\tilde \theta }_2}\hat z + {\theta _2}\tilde z - \\ &{{\tilde \theta }_3}\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\hat z - {\theta _3}\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\tilde z + {{\tilde \theta }_4}{x_2} + {{\tilde \theta }_5} - \varDelta =\\ & - {\theta _1}{k_2}{e_2} + {\theta _1}{u_{{\rm{s}}2}} - {{{\varphi}} ^{\rm{T}}}\tilde {{\theta}} + {\theta _2}\tilde z - {\theta _3}\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\tilde z - \varDelta . \end{split} $

式中：

$\begin{split} &{{\varphi }} = \left[ {{u_{\rm{a}}}, - \hat z,\;\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\hat z,\; - {x_2}, - 1} \right]^{\rm{T}},\\ &\tilde {{\theta}} = \left[ {{{\tilde \theta }_1},\;{{\tilde \theta }_2},\;{{\tilde \theta }_3},\;{{\tilde \theta }_4},\;{{\tilde \theta }_5}} \right]^{\rm{T}},\;\tilde z = \hat z - z. \end{split} $

为了尽可能降低参数不确定性对控制性能的影响，设计参数回归器，用以估计系统参数. 在已知系统不确定性有界的前提下，设计参数自适应律为

(14) $\dot {\hat {{\theta}}} ={\rm{Pr}} {\rm{o}}{{\rm{j}}_\theta }\left( {{{\varGamma}} {{\varphi}} {e_2}} \right). $

不连续映射的表达式如下：

(15) $ {{\rm{Proj}}_{\hat \theta }}(i) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;{{\hat \theta }_i} = {\theta _{i\max }},i > 0;\\ 0,\;\;\;\;\;{{\hat \theta }_i} = {\theta _{i\min }},i < 0;\\ i,\;\;\;\;\;{\text{其他}} . \end{array} \right. $

为了保证z稳定有界，修改式（10）为

(16) $\dot {\hat z} = {\rm{Pr o}}{{\rm{j}}_z}\left( {{x_2} - \frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\hat z - \beta {e_2}} \right). $

上述设计满足如下性质.

(17) $\begin{split} &{\rm{P}}1:\;\hat {{\theta}}\in {L_ \infty } = \left\{ {\hat {{\theta}} :{{{\theta}} _{\min }} \leqslant \hat {{\theta}} \leqslant {{{\theta}} _{\max }}} \right\},\;\left| \varDelta \right| \leqslant \delta .\\ &{\rm{P}}2:{\text{若}}\left| {z\left( 0 \right)} \right| \leqslant {F_{\rm{s}}},\;{\text{则对于任意}}t \geqslant 0,\;\left| {z\left( t \right)} \right| \leqslant {F_{\rm{s}}}.\\ &{\rm{P}}3:{{\tilde {{\theta}} }^{\rm{T}}}\left( {{{{\varGamma}} ^{ - 1}}{\rm{Pr}} {\rm{o}}{{\rm{j}}_\theta }\left( {{{\varGamma}} {{\varphi}} {e_2}} \right) -{{ \varphi}} {e_2}} \right) \leqslant 0.\\ &{\rm{P}}4:\left[ {{\rm{Pr o}}{{\rm{j}}_z}\left( {{x_2} - \frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\hat z - \beta {e_2}} \right) - \left( {{x_2} - \frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{{g\left( {{x_2}} \right)}}\hat z - \beta {e_2}} \right)} \right] \leqslant 0. \end{split} $

4）设计非线性鲁棒项 ${u_{{\rm{s}}2}}$.

在步骤3）中， $\hat \theta $代替真值被代入控制器，但参数的估计值不可避免地与真值存在一定的误差. 为了解决参数估计的误差和系统的其他非线性，构造非线性鲁棒反馈项 ${u_{{\rm{s}}2}} $，以提高系统的抗干扰特性. 根据式（13）可以设计满足如下条件的 ${u_{{\rm{s}}2}}$：

(18) $\left. \begin{array}{l} e_2u_{{\rm{s}}2}\leqslant 0, \\ e_2\left[ -{{\varphi}} ^{\rm{T}}\tilde{{{\theta}}}+\theta _2\tilde{z}-\theta _3\dfrac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\tilde{z}-\varDelta +\theta _1u_{s2} \right] \leqslant \varepsilon . \end{array}\right\} $

式中： $ \varepsilon $为任意小且恒正的数.

列出满足式（18）的 ${u_{{\rm{s}}2}} $设计实例：

(19) $u_{{\rm{s}}2}=-\frac{3}{4\varepsilon \theta _{\min}}\left( h_0^2+h_1^2+h_2^2 \right) e_2. $

式中：

(20) $\left.\begin{array}{l} h_0\geqslant \lVert {{\varphi}} \rVert \lVert {{\theta}} _{\max}-{{\theta}} _{\min} \rVert +\delta , \\ h_1\geqslant \theta _{2\max}\left( z_{\max}-z_{\min} \right) , \\ h_2\geqslant \theta _{3\max}\dfrac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\left( z_{\max}-z_{\min} \right). \end{array}\right\} $

定理1 　当系统的时变扰动对系统造成的影响不可忽略时，系统可以按照规定的状态对速度和位置进行跟踪，跟踪误差被限制在一个已知函数内，系统处于有界稳定状态，保证了系统的稳定性.

证明：对定理1所述的情况，定义如下的Lyapunov函数：

(21) $V_1={e_2^2}/2. $

对式（21）进行求导，可得

(22) $\begin{split} \dot{V}_1=& e_2 \dot{e}_2= \\ & -\theta _1k_2e_2^2+e_2\left[ -{{\varphi}} ^{\rm{T}}\tilde{{{\theta}}}+\theta _2\tilde{z}-\theta _3\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\tilde{z}-\varDelta \theta _1u_{{\rm{s}}2} \right] \leqslant \\ & -\theta _{1\min}k_2e_2^2-\left( \frac{h_0\sqrt{3}}{2\sqrt{\varepsilon}}\left| e_2 \right|-\sqrt{\varepsilon /3} \right) ^2- \\ & \left( \frac{h_1\sqrt{3}}{2\sqrt{\varepsilon}}\left| e_2 \right|-\sqrt{\varepsilon /3} \right) ^2-\left( \frac{h_1\sqrt{3}}{2\sqrt{\varepsilon}}\left| e_2 \right|-\sqrt{\varepsilon /3} \right) ^2+\varepsilon \leqslant \\ & -\lambda V_1+\varepsilon ;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \lambda =2k_2\theta _{1\min} . \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $

求解式（22），可得

(23) $V_1\left( t \right) \leqslant V_1\left( 0 \right) {\rm{exp}}\;({-\lambda t})+\frac{\varepsilon}{\lambda}\left[ 1-{\rm{exp}}\;({-\lambda t}) \right] . $

由以上证明过程可以得出，控制器具有以 $\lambda $为指数收敛速率的指数瞬态表现，控制器能够实现有界稳定.

定理2 　若系统受到的时变扰动在系统所有的非线性因素中所占的比例很小，对系统造成的影响可以忽略不计，则此时控制器除了满足定理1的结论以外，还可以实现渐进稳定，即当 $t \to \infty $时， $e \to 0$.

证明：当时变扰动的影响可以忽略，即满足定理2所述的情形时，建立的Lyapunov函数如下：

(24) $V_2=\frac{1}{2}e_2^2+\frac{1}{2}\tilde{{{\theta}}}^{\rm{T}}{{\varGamma}} ^{-1}\tilde{{{\theta}}}+\frac{1}{2\beta}{(}\theta _2+\theta _3{)}\tilde{z}^2 . $

对式（24）进行求导，可得

(25) $\begin{split} \dot{V}_2=& e_2\left[ -{{\varphi}} ^{\rm{T}}\tilde{{{\theta}}}+\theta _2\tilde{z}-\theta _3\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\tilde{z}+\theta _1u_{{\rm{s}}2} \right] - \\ & \theta _1k_1e_{2}^{2}+\tilde{{{\theta}}}{{\varGamma}} ^{-1}\dot{\hat{{{\theta}}}}+ \frac{\ \theta _2}{\beta}\tilde{z}\left( \dot{\hat{z}}-\dot{z} \right) +\frac{\theta _3}{\beta}\tilde{z}\left( \dot{\hat{z}}-\dot{z} \right) \leqslant \\ & -\theta _1k_1e_2^2+\tilde{{{\theta}}}\left( {{\varGamma}} ^{-1}\dot{\hat{{{\theta}}}}-{{\varphi}} ^{\rm{T}}e_2 \right) + \\ & \frac{\theta _2}{\beta}\tilde{z}\left[ \dot{\hat{z}}-\left( x_2-\frac{x_2}{g\left( x_2 \right)}\hat{z}-\beta e_2 \right) \right] - \\ & \frac{\theta _2}{\beta}\tilde{z}\dot{z}+\frac{\theta _2}{\beta}\tilde{z}\left( x_2-\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\hat{z} \right) + \\ & \frac{\theta _3}{\beta}\tilde{z}\left[ \dot{\hat{z}}-\left( x_2-\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\hat{z}+\beta \frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}e_2 \right) \right] - \\ & \frac{\theta _3}{\beta}\tilde{z}\dot{z}+\frac{\theta _3}{\beta}\tilde{z}\left( x_2-\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\hat{z} \right) \leqslant \\ & -\theta _1k_2e_2^2-\frac{\theta _2}{\beta}\tilde{z}\dot{z}+\frac{\theta _2}{\beta}\tilde{z}\left( x_2-\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\hat{z} \right) - \\ & \frac{\theta _3}{\beta}\tilde{z}\dot{z}+\frac{\theta _3}{\beta}\left( x_2-\frac{x_2}{g\left( x_2 \right)}\hat{z} \right) \leqslant \\ & -\theta _1k_2e_2^2-\frac{\theta _2}{\beta}\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\tilde{z}^2-\frac{\theta _3}{\beta}\frac{\left| x_2 \right|}{g\left( x_2 \right)}\tilde{z}^2\leqslant \\ & -\theta _1k_2e_2^2\leqslant 0 . \end{split} $

由上述Lyapunov函数，根据Lyapunov稳定性定理可知，所设计的控制器能够获得渐进跟踪的性能.

为了验证所提控制策略的有效性，使得系统输出跟踪期望位置曲线分别为低频正弦信号 $10\times $ $ \left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]\sin t$和阶跃信号 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} \right]$，采样时间步长为1 ms，系统负载转矩为2 N·m.

对比3种控制器的跟踪性能，证明所设计控制器的有效性.

1）PID：比例-积分-微分控制器. 当位置曲线输入为阶跃信号 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} \right]$时，K_p = −0.5，K_i = −0.1，K_d = −0.1，这3个参数分别代表比例增益、积分增益和微分增益. 当位置参考输入为 $10\sin t \left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]$时，控制器的参数为：K_p = −0.3， K_i = −0.2， K_d = −0.1.

2）ARC：自适应鲁棒控制器. 当位置参考输入为阶跃信号 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} \right]$时，控制器的参数为：K₁=50，K₂=0.7. 当位置参考输入为 $10\times $ $ \left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]\sin t$时，控制器参数设置为：K₁=40，K₂=0.6.

3）NOARC即提出的基于非线性观测器的自适应鲁棒控制器.

当位置参考输入为阶跃信号 $10\times[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} ]$时，K₁=100，K₂=40，β=0.01，参数自适应律中的对角矩阵取为diag [1, 1, 2, 2, 2]. 当位置参考输入为 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;{( - 0.5t)}}} \right] \sin t$时，控制器参数设置为：K₁=200，K₂=0.5，β=0.01，参数自适应律中的对角矩阵取为diag [2, 1, 2, 2, 2].

工况1：跟踪阶跃位置曲线 $10\times[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} ]$.

给定曲线及各控制器的跟踪误差如图2所示.

选用以下3个性能指标，用于衡量每种控制算法的质量，即跟踪误差的最大值、平均值和标准差，定义如下.

(26) ${{M_e} = \mathop {\max }\limits_{_{i = 1, \cdots ,N}} \left\{ {\left| {{e_1}(i)} \right|} \right\}}, $

(27) ${\mu = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {{e_1}(i)} \right|} }, $

(28) ${\sigma = \sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left[ {\left| {{e_1}(i)} \right| - \mu } \right]}^2}} } }. $

3种控制器的性能指标比较如表1所示.

由图2和表1可见，当跟踪阶跃曲线时，3个控制器中的PID跟踪精度最低，与ARC和NOARC相比差了一个数量级. NOARC由于精准观测了摩擦模型的内部状态，考虑干扰和参数不确定性，各项性能指标都最优，且均值性能指标明显优于ARC和PID.

如图3所示为跟踪阶跃曲线时内部摩擦状态z及观测误差曲线，跟踪精度较高，表明非线性观测器对摩擦模型内部状态的观测效果较好. 如图4所示为摩擦力矩F及误差曲线，由于阶跃曲线外部的激励信号不够充分，在非线性观测器和参数回归器的共同作用下，对摩擦力的估计有一定的误差，但总体上保证了控制器的控制精度.

如图5所示为阶跃工况下NOARC的参数估计曲线. 模型中的5个参数均能够从估计值逐渐回归到真值，说明所设计的参数自适应律能够很好地发挥作用，控制器的性能良好.

工况2：跟踪低速低频正弦位置曲线 $10\times $ $ \left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]\sin t$.

给定曲线及各控制器的跟踪误差如图6所示.

由图6和表2可见，在低频且速度不超过2 r/min的工况下，NOARC控制精度最高，跟踪误差最大值、均值和标准差性能指标都优于ARC和PID，说明在低速、低频的情况下，非线性观测器能够很好地估计摩擦状态，参数自适应律及鲁棒项能够克服摩擦补偿误差及其余外部扰动对系统的影响.

如图7所示为在低频低速情况下z及观测误差曲线，如图8所示为摩擦力矩F及误差曲线. 可以看出，非线性观测器的观测精度较高，对摩擦状态的观测效果较好，设计的参数自适应律保证了控制器的控制效果.

如图9所示为低频低速工况下NOARC的参数估计曲线. 可以看出，5个参数均能够从估计值逐渐回归到真值且振荡较小，参数自适应律和鲁棒项保证了系统的稳定性及不确定性参数估计的准确性.

实验验证平台的总装图及控制系统如图10、11所示. 实验系统的元器件表及电机参数见表3、4. 该平台包括1个基座、1个永磁同步电机运动系统（包括永磁同步电机Kollmorgen D063M-13-1310、电动驱动器Kollmorgen ServoStar 620、精度约为±13″的旋转编码器Heidenhain ERN180、惯量盘和联轴器）、电源以及测控系统. 测控系统包括1个监视软件和1个工控机，工控机装有实时操作系统RTU，使用C语言编写控制程序. 工控机内装有1个16位数字/模拟（D / A）转换卡Advantech PCI-1723（用于发送控制命令）和1个16位Heidenhain IK-220采集卡（用于采集光电编码器位置信息）. 控制周期为0.5 ms. 系统速度由高精度位置信号的后向差产生. 采用截止频率为50 Hz的二阶Butterworth滤波器，衰减速度信号中的测量噪声.

实验平台元器件及型号规格见表3，电机参数见表4.

为了验证所提控制策略的有效性，实验环节选择和仿真环节相同的3种控制器对比跟踪性能.

1）PID：比例-积分-微分控制器. 当位置曲线输入为阶跃信号 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} \right]$时，K_p = −5，K_i = −1，K_d = −0.01，这3个参数分别代表比例增益、积分增益和微分增益. 当位置参考输入为 $10\sin t \times $ $ \left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]$时，控制器的参数为：K_p = −3，K_i = −2，K_d = −0.01.

2）ARC：自适应鲁棒控制器. 当位置参考输入为阶跃信号 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} \right]$时，控制器的参数为：K₁=100，K₂=6. 当位置参考输入为 $10\times $ $ \left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]\sin t$时，控制器参数设置为：K₁ = 130，K₂ = 4.

3）NOARC即提出的基于非线性观测器的自适应鲁棒控制器. 当位置参考输入为阶跃信号 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} \right]$时，K₁=150，K₂=30，β=0.5，参数自适应律中的对角矩阵取为diag [2,1,10, 2, 3]. 当位置参考输入为 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]\sin t$时，控制器参数设置为：K₁ = 240，K₂ = 10，β = 0.2，参数自适应律中的对角矩阵取为diag [1, 3, 2, 1, 2].

工况1：跟踪阶跃位置曲线 $10\times\left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.2t})}} \right]$.

给定曲线及各控制器的跟踪误差如图12所示. 从图12可见，在实际跟踪阶跃曲线时，PID、ARC及NOARC 3个控制器中，PID跟踪精度最低，在0~10 s开始阶段的稳态误差较大. ARC跟踪在趋于稳定后跟踪误差一直保持为6×10⁻³，存在一定的误差. NOARC由于精准观测了摩擦模型的内部状态，且考虑了干扰和参数不确定性，达到了较高的控制精度.

工况2：跟踪低速低频正弦位置曲线 $10\times $ $ \left[ {1 - {{\rm{exp}}\;({ - 0.5t})}} \right]\sin t$.

给定曲线及各控制器的跟踪误差如图13所示. 从图13可见，在低频且速度不超过2 r/min的工况下，NOARC控制精度最高，跟踪误差的最大值、均值都优于ARC和PID，说明在低速、低频的情况下，非线性观测器能够很好地估计摩擦状态，参数自适应律及鲁棒项能够克服摩擦补偿误差及其余外部扰动对系统的影响.

本文设计基于非线性观测器的自适应鲁棒控制器，用以补偿机电作动系统的摩擦力矩及其他非线性. 利用LuGre模型对系统的摩擦非线性进行建模，针对模型的内部不可测量摩擦状态设计非线性观测器进行观测. 针对不确定参数，设计参数自适应律进行估计，针对参数补偿误差和外部扰动设计线性和非线性鲁棒项，利用李雅普诺夫函数证明所提的控制器有界稳定. 所设计的参数自适应律能够逼近未知的惯性和摩擦参数，补偿系统的参数不确定性及常值干扰. 线性鲁棒项可以提高系统的鲁棒性，保证系统的稳定性. 非线性鲁棒项可以克服部分外干扰对系统控制性能的影响. 实验结果表明，提出的NOARC与ARC相比跟踪精度提高了约50%，与PID相比跟踪精度提高了一个数量级，有效提升了机电作动系统的跟踪性能和鲁棒性.