在自动涂装领域，传统人工喷涂正逐步被喷涂机器人替代. 相较于人工喷涂，机器人自动喷涂不仅具有精度、效率、稳定性良好的特点，还能够连续作业^[1-3],在涂装生产中具有喷涂效率高和喷涂质量良好的特点.

六轴喷涂机器人本体作业范围有限制，为了满足大型部件的自动喷涂要求，通常会配置外部轴与机器人本体进行联动以拓展作业范围. 在当前工业机器人主流构型中，具有中空非球形手腕的7R 6-DOF（六自由度）喷涂机器人因运动范围广、灵活性高，被广泛应用于喷涂作业^[4]. 当机器人配置外部轴后，系统总自由度将超过6个，导致机器人运动冗余. 在这种状态下的机器人具有无穷多个逆运动学解，使得机器人系统的灵活性更高，若不采用合理的机器人轨迹规划策略，极可能产生机器人本体与外部轴运行不匹配导致轨迹不平滑，引发系统的抖动现象，影响喷涂质量和缩短系统使用寿命. 因此，在设计和应用冗余机器人系统时，应特别关注轨迹规划策略的合理性，确保系统稳定且可靠.

冗余机器人轨迹规划方法主要有3种，分别是几何法^[5-7]、代数解法^[8]和数值迭代法^[9-11]. 几何法是将机器人各关节与末端执行器建立数学关系，通过对应的数学关系，在已知机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置和姿态的情况下，求解机器人各时刻关节角度或位置. 几何法适用于结构相对简单，关节数较少的机器人. 代数解法常采用雅可比矩阵及其变形求解关节速度与末端执行器线速度和角速度之间的微分关系，常用求解方法有闭环伪逆法和梯度下降法. 代数解法在机器人多解或无解的情况下无法求解. 数值迭代解法将机器人轨迹规划问题转换为在一定约束条件下求目标函数最优解问题，通常采用群优化算法进行优化计算. 数值迭代解法通过全局优化目标函数，能够在多解或无明确解析解的情况下获得更优解，且对奇异性问题具有更强的鲁棒性. 如孔令竹^[12]提出基于灰狼优化算法的机械臂避障轨迹规划方法，实现机械臂各连杆全局避障且轨迹平滑，但收敛速度较慢. 李甚霖等^[13]结合萤火虫算法与遗传算法优化机械臂轨迹时间，使搜索精度和效率得到提升，但在复杂环境下算法对高维冗余变量和多约束条件的适应性不足，容易陷入局部最优. 徐强等^[14]提出改进模拟退火遗传算法，通过多种策略优化机械臂轨迹，提升了算法求解质量和效率，但算法对参数（如退火衰减系数、遗传操作概率）调优依赖性强. Bai等^[15]提出基于Cauchy折射的人工蜂群算法并进行冗余机械臂逆运动学问题求解，提升了收敛精度和速度，但算法复杂度较高. 冗余机器人进行大型部件喷涂时的运动幅度大、运行时间长，为了提升机器人喷涂效率和喷涂质量，减小外部轴磨损，延长机器人系统整体使用寿命，本研究基于改进粒子群算法，对具有外部轴的冗余机器人喷涂轨迹进行优化.

大尺寸工件喷涂所需的作业空间大，喷涂系统通常为6轴喷涂机器人附加外部轴的形式. 冗余喷涂机器人系统由2台7R 6-DOF喷涂机器人和2条7轴导轨组成，待喷涂工件摆放其中，如图1所示. 根据实际机器人喷涂应用需求，以ABB IRB 5500型7R 6-DOF喷涂机器人为研究对象，机器人本体的Y轴方向上配置外部轴以进行移动喷涂. 如表1机器人系统采用改进Denavit-Hartenberg（D-H）参数法^[16-18]确定机器人的D-H参数，其中A_i为关节轴，${\theta _i}$为连杆转角，${d_i}$为关节距离，${L_{i - 1}}$为连杆的长度，${\varphi _{i - 1}}$为连杆扭转角. 如图2所示，机器人系统由1个移动关节和7个旋转关节表示，由Matlab机器人工具箱生成连杆模型.

机器人在配置移动外部轴之后处于冗余状态. 在机器人运动范围内，已知末端执行器在笛卡尔空间的位置和姿态，可解出无穷多组逆运动学解，赋予系统的冗余关节合适的变量值，是求冗余机器人逆运动学解相对简单的方法. 田威等^[19]针对附加外部轴的工业机器人提出分站式定位逆解方法，为冗余机器人的逆运动学求解提供了思路. 已知末端执行器位姿矩阵：

(1)$ {\boldsymbol{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{n}}_{{x}}}}&{{{{o}}_{{x}}}}&{{{{a}}_{{x}}}}&{{{{p}}_{{x}}}} \\ {{{{n}}_{{y}}}}&{{{{o}}_{{y}}}}&{{{{a}}_{{y}}}}&{{{{p}}_{{y}}}} \\ {{{{n}}_{{z}}}}&{{{{o}}_{{z}}}}&{{{{a}}_{{z}}}}&{{{{p}}_{{z}}}} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]. $

对应的指定外部轴位置y，有

(2)$ {{\boldsymbol{T}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{n}}_{{x}}}}&{{{{o}}_{{x}}}}&{{{{a}}_{{x}}}}&{{{{p}}_{{x}}}} \\ {{{{n}}_{{y}}}}&{{{{o}}_{{y}}}}&{{{{a}}_{{y}}}}&{{{{p}}_{{y}}}{{ - y}}} \\ {{{{n}}_{{z}}}}&{{{{o}}_{{z}}}}&{{{{a}}_{{z}}}}&{{{{p}}_{{z}}}} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] . $

${{\boldsymbol{T}}_1}$为末端执行器相对于机器人本体基坐标系下的位姿，此时只需求解出机器人本体逆运动学解即可. 如图3所示，常见的喷涂机器人属于中空非球形手腕的7R 6-DOF机器人. A₅与A₆的旋转角度相等，方向相反；A₄与A₇相交于点P，当A₅和A₆旋转时，点P位置在空间中发生变化，即A₄、A₅、A₆、A₇不符合Pieper原则，因此7R 6-DOF机器人无法得到准确的解析解，只能通过迭代的方法求逆解. 采用Wang等^[20]提出的7R 6-DOF机器人逆运动学求解方法进行解算：1）使用等效的6R机器人求一般逆运动学解析解，作为7R 6-DOF机器人的近似解；2）为了规避A₄和A₇共线时造成机器人姿态奇异的问题，采用阻尼最小二乘法^[21]迭代计算得到可行解，阻尼因子的引入能够平衡运动学逆解的精度和可行性.

由于外部轴的引入，机器人系统的喷涂轨迹规划须进行整体优化，以提高机器人外部轴与机器人本体之间的耦合度，保证机器人在喷涂过程中的动作柔顺性，减小机器人外部轴的磨损，延长机器人系统使用寿命. 已知机器人在笛卡尔空间下以梯形加减速的方式进行速度规划，以恒定速度执行喷涂任务，且机器人末端与机器人关节轴空间有如下关系：

(3)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{a}}_{\rm{e}}}} \\ {{{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{e}}}} \end{array}} \right] = {{\boldsymbol{J\alpha }}_{\rm{j}}}. $

式中：${{\boldsymbol{a}}_{\mathrm{e}}}$为机器人末端的笛卡尔加速度；${{\boldsymbol{\alpha}} _{\mathrm{e}}}$为机器人末端角加速度；$ \boldsymbol{J} $为雅可比矩阵，机器人有6个主动旋转关节和1个移动关节，因此雅可比矩阵为$ 6\times 7 $矩阵；${{\boldsymbol{\alpha}} _{\mathrm{j}}}$为机器人各关节加速度. 采用伪逆法求解机器人关节加速度：

(4)$ {{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{j}}} = {{\boldsymbol{J}}^{\mathrm{T}}}{\left( {{{\boldsymbol{JJ}}^{\mathrm{T}}}} \right)^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{a}}_{\rm{e}}}} \\ {{{\boldsymbol{\alpha }}_{\rm{e}}}} \end{array}} \right]. $

为了实现机器人各关节运动幅度和机器人喷涂能量损耗综合最优，定义包含机器人各关节运动幅度适应度和喷涂过程中机器人能量损耗适应度的目标函数，并为机器人关节引入不同的权重. 适应度目标函数为

(5)$ S = {S_1}+\beta {S_2}\text{，} $

(6)$ {S_1} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^8 \frac{{{q_i}\left| {{\theta _{i0}} - {\theta _{i1}}} \right|}}{{{\theta _{i,{\text{max}}}} - {\theta _{i,{\text{min}}}}}}\text{，} $

(7)$ {S_2} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^8 \sqrt {\frac{1}{t}\displaystyle\mathop \int \nolimits_0^t {q_i}{\alpha _{i-1}}^2{\mathrm{d}}t} . $

式中：${S_1}$为机器人各关节运动幅度适应度函数；${S_2}$为机器人喷涂能量损耗适应度函数；$\beta $为能量损耗适应度函数权重系数，为了使算法在搜索过程中能够综合考虑${S_1}$和${S_2}$产生的影响，取$\beta = 0.000\;1$；${q_i}$为各关节对应的权重；${\theta _{i0}}$为机器人运动初始各关节位置；${\theta _{i1}}$为机器人运动结束各关节位置；${\theta _{i,{\text{max}}}}$为机器人各关节最大运动范围；${\theta _{i,{\text{min}}}}$为机器人各关节最小运动范围；${\alpha _{i-1}}$为关节空间下的关节角加速度；t为喷涂时间. 根据各关节运动对机器人末端位置的影响程度，分别设置外部轴的权重${q_1}$=0.4，机器人本体关节权重${q_2}$=0.2，${q_3}$=${q_4}$=0.15，${q_5}$=${q_6}$=${q_7}$=${q_8}$=0.05. 兼顾机器人关节角范围及运动参数限值，定义相应的约束条件为

(8)$ {\theta _{i,{\text{min}}}} \leqslant {\theta _i} \leqslant {\theta _{i,{\text{max}}}}\text{，} $

(9)$ \left| {{v_i}} \right| \leqslant {v_{i,{\text{max}}}}\text{，} $

(10)$ \left| {{\alpha _i}} \right| \leqslant {\alpha _{i,{\text{max}}}}. $

式中：${v_{i,{\text{max}}}}$为机器人各关节最大运动速度，${\alpha _{i,{\text{max}}}}$为机器人各关节最大运动加速度.

粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)源于对鸟群捕食行为的研究，基本思想是通过群体成员之间的协作和信息共享来寻求最优解空间. 在初始化个体时，个体均带有位置和速度属性，个体寻优过程会随机生成速度矢量，并更新对应位置. 个体均记录自己的最优位置，即局部最优解，群体中所有个体的最优位置可以看作是群体的全局最优解. 通过不断更新粒子速度和位置，群体逐渐向全局最优解靠拢. 算法基本原理：在$ D $维空间中，建立由$N$个粒子构成的粒子群，初始化$N$个粒子的位置和速度. 假设第$i$个粒子的位置${{\boldsymbol{X}}_i}$表示为向量${\left[ {{X_{i1}},{X_{i2}}, \cdots ,{X_{i{{{D}}}}}} \right]^{\mathrm{T}}}$，将${{\boldsymbol{X}}_i}$代入目标函数即可求得该粒子的适应度，通过比较每次迭代中每个粒子对应的适应度值来判断每轮迭代中粒子${{\boldsymbol{X}}_i}$的好坏. 假设第$i$个粒子的速度表示为${{\boldsymbol{V}}_i} = {\left[ {{V_{i1}},{V_{i2}}, \cdots ,{V_{i{{D}}}}} \right]^{\mathrm{T}}}$，第$i$粒子的最优值为${{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{b}}} = {\left[ {{P_{{\mathrm{b}}i1}},{P_{{\mathrm{b}}i2}}, \cdots ,{P_{{\mathrm{b}}i{{D}}}}} \right]^{\mathrm{T}}}$，种群粒子的最优值为$ {{\boldsymbol{G}}_{\mathrm{b}}} = {\left[ {{G_{{\mathrm{b}}i1}},{G_{{\mathrm{b}}i2}}, \cdots ,{G_{{\mathrm{b}}i{{D}}}}} \right]^{{\mathrm{T}}}} $，粒子速度和位置的更新式为

(11)$ {\boldsymbol{V}}_i^{t+1} = wv_i^t+{c_1}{r_1}\left( {{\boldsymbol{P}}_{bi}^t - {\boldsymbol{X}}_i^t} \right)+{c_2}{r_2}\left( {{\boldsymbol{G}}_{bi}^t - {\boldsymbol{X}}_i^t} \right) \text{，} $

(12)$ {\boldsymbol{X}}_i^{t+1} = {\boldsymbol{X}}_i^t+{\boldsymbol{V}}_i^{t+1}. $

式中：${\boldsymbol{V}}_i^t$、${\boldsymbol{X}}_i^t$分别为粒子在当前迭代次数下的速度和位置，$w$为惯性权重，${c_1}$、${c_2}$均为学习因子，${r_1}$、${r_2}$均为0~1.0的随机数.

PSO中的惯性权重表示当前速度受前一刻速度影响的程度. 在每个粒子通过调整自己的速度和位置来寻找最优解的过程中，惯性权重决定了粒子速度变化的惯性大小. 当惯性权重较大时，粒子更多地继承前一时刻的速度，优点是有利于粒子在更大的空间范围内搜索，从而增强算法的全局搜索能力，缺点是算法收敛速度慢，不能进行精确搜索. 当惯性权重较小时，粒子对前一时刻速度的继承减少，这有利于粒子在小范围内进行精确搜索，增强算法局部搜索能力，但容易导致算法收敛速度过慢或陷入局部最优. 因此将惯性权重改为动态自适应函数，使算法在搜索前期侧重于全局搜索能力，搜索后期侧重于局部搜索能力，达到最佳搜索效果. 改进后的惯性权重为

(13)$ w = {w_{{\text{max}}}} \cdot \frac{{{s_{{\text{b}}}}}}{{{s_{{\text{w}}}}}}. $

式中：${w_{{\text{max}}}}$为最大惯性权重值，${s_{{\text{b}}}}$为当前全局最优适应度值，${s_{{\text{w}}}}$为当前全局最差适应度值. 传统粒子群算法的学习因子是固定值，较大的学习因子有利于全局搜索，但后期收敛较慢，较小的学习因子搜索能力受限，无法同时提高算法的寻优速度和求解精度. 引入非线性学习因子来进行自适应调整，以达到速度和精度的均衡. 由式（11）可知，学习因子${c_1}$影响粒子“自我认知”能力，应随着搜索迭代次数增加而逐渐衰减；${c_2}$影响粒子“社会认知”能力，应随着搜索迭代次数增加而逐渐增大. 因此将${c_1}$、${c_2}$由固定值改进为非线性变化的动态函数：

(14)$ {c_1} = {c_{{\text{max}}}}+\left( {{c_{{\text{min}}}} - {c_{{\text{max}}}}} \right) \cdot \frac{1}{{1+{{\mathrm{e}}^{ - \delta \left( {k - {N_{\max }}/2} \right)}}}} \text{，} $

(15)$ {c_2} = {c_{{\text{min}}}}+\left( {{c_{{\text{max}}}} - {c_{{\text{min}}}}} \right) \cdot \frac{1}{{1+{{\mathrm{e}}^{ - \delta \left( {k - {N_{\max }}/2} \right)}}}} . $

式中：${c_{{\text{max}}}}$为最大学习因子值，${c_{{\text{min}}}}$为最小学习因子值，${N_{{\text{max}}}}$为最大迭代次数，$k$为当前迭代次数，$\delta $控制变化系数. 非线性学习因子改进后的算法，在搜索寻优前期，${c_1} > {c_2}$，保证了粒子在初期充满整个解区域且不会陷入局部极值；在搜索迭代的后期，${c_1} < {c_2}$，能够使种群保持较强的全局开发能力，获得更好的收敛效果^[22-24]. 改进后的粒子群算法流程如图4所示.

针对冗余机器人轨迹优化问题，构建改进粒子群算法求解器，求解器初始化步骤如下. 1）初始化求解器相关参数，设置各个粒子初始位置和速度分别为

(16)$ {x_i} = {p_y} - \mathrm{rand} \left( {0,1} \right)\left( {{\theta _{1,{\text{max}}}} - {\theta _{1,{\text{min}}}}} \right)\text{，} $

(17)$ {v_i} = \frac{{{p_y}}}{{10}} - \mathrm{rand} \left( {0,1} \right)\left( {{\theta _{1,{\text{max}}}} - {\theta _{1,{\text{min}}}}} \right). $

式中：$ {p}_{y} $为目标点y方向位置，${\theta _{1,{\text{max}}}}$为外部轴可达的最大位置，${\theta _{1,{\text{min}}}}$为外部轴可达的最小位置. 2）根据最小阻尼二乘法求出冗余机器人本体轴关节位移，将冗余机器人各关节位移代入目标函数，求解对应的适应度，记录全局最优粒子的适应度. 3）根据式（13）、（14）、（15）更新参数$w$和${c_1}$、${c_2}$并代入式（11）、（12），更新粒子群的位置和速度，判断粒子位置是否满足约束条件. 若满足，则继续下一步；若不满足约束条件，说明求解的外部轴位置不合理，则将本轮该粒子的适应度设置为无穷大. 4）根据步骤3）的粒子位置计算对应的适应度，记录全局最优粒子的位置和对应的适应度、每个粒子当前的最优位置和适应度. 5）判断是否达到最大迭代次数. 若达到最大次数，则输出最优粒子位置和对应的最优适应度；若未达到最大次数，则返回步骤3）.

如图5所示，以装备车辆喷涂曲线型斑点迷彩图案为例进行仿真验证. 如图6所示，斑点迷彩图案的喷涂路径包含曲线型边界轮廓和内部填充直线，喷涂时须在较大空间范围进行工艺动作并保持轨迹平滑，才能确保良好的喷涂效果. 分别设计填充直线喷涂路径实验和曲线边界喷涂实验，在ABB机器人仿真软件RobotStudio和Matlab 2016仿真环境下对机器人喷涂进行联合仿真验证，对比分析优化前和分别采用GA-PSO算法^[9]、改进模拟退火遗传算法^[14]、本研究所提算法计算得到的机器人喷涂轨迹.

为了保证喷涂质量，在实验轨迹规划之前，针对涂料特性构建机器人喷涂沉积模型，以确定机器人喷涂时的路径宽幅、喷涂距离和喷涂速率等参数. 根据如图7所示的机器人迷彩喷涂设备及喷嘴特点，采用椭圆双$\beta $模型对涂层厚度分布进行建模. 当喷枪以一定速度匀速移动时，在已知静态喷涂厚度分布模型的基础上，进一步对喷枪动态喷涂厚度分布进行建模，以确定喷枪在匀速运动时涂层的厚度分布情况. 最终得出动态喷涂沉积模型为

(18)$T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {\text{π}} {q_{{\mathrm{max}}}}b\varGamma \left( {{\beta _2}} \right)}}{{\nu \varGamma \left( {{\beta _2}+0.5} \right)}}{\left[ {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{{a}}^2}}}} \right]^{{\beta _1} - 0.5}}. $

式中：$x$为喷枪移动距离，${\beta _1}、{\beta _2}$均为模型沉积速率参数，${q_{\max }}$为最大沉积速率，$a,b$分别为椭圆长短半轴，$ v $为喷涂速率，$\varGamma (\cdot)$为伽马函数. 通过喷涂测试确定模型相关参数，具体参见文献[25]，据此设置合理的喷涂工艺参数，使喷涂轨迹膜厚均匀.

在RobotStudio中规划喷涂路径，设置喷涂仿真相关参数；通过Matlab构建机器人运动学模型，代入优化求解器，求解最优外部轴位置. 将优化前后对应的外部轴位置代入RobotStudio中，进行喷涂仿真，监测仿真过程中的机器人各关节位置变化情况以及系统整体能量损耗情况. 在使用求解器求解外部轴最优位置时，须对求解器相关参数初始化. 为了使算法性能达到最优，设置${w_{{\text{max}}}} = 2$，${N_{{\text{max}}}} = 50$，${c_{{\text{max}}}} = 2.0$，${c_{{\text{min}}}} = 1.0$，$\delta = 0.1$；初始化粒子群中粒子个数$m = 20$，粒子群维度$D = 1$.

直线喷涂实验主要验证机器人模拟喷涂斑点迷彩填充路径时的轨迹优化效果. 在RobotStudio中规划长度为2 300 mm的喷涂路径，喷涂速度为800 mm/s，喷涂加速度为10 000 mm/s²，喷涂距离为50 mm，设定的直线喷涂起点和终点位置如表2所示. 分别采用GA-PSO算法^[9]、改进模拟退火遗传算法^[14]和所提算法迭代求解冗余机器人各关节轴位置，算出迭代过程中算法参数和适应度S的变化情况，结果如图8所示，其中n_e为迭代次数. 随着迭代次数增加，$w$递减至收敛状态，${c_1}$由${c_{{\text{max}}}}$非线性递减至${c_{{\text{min}}}}$,${c_2}$由${c_{{\text{min}}}}$非线性递增至${c_{{\text{max}}}}$，算法参数迭代变化满足改进要求. 在3种算法中，所提算法的收敛速度均最快，且寻优效果最好，算法改进的有效性由此得到验证.

考虑到群优化算法存在随机性，对直线最优外部轴轨迹重复求解30次，记录各个算法的平均收敛次数${n_{\mathrm{c}}}$（收敛次数表示算法求解得到本次全局最优适应度所需迭代次数）、全局最优适应度${\bar S_{{\mathrm{b}}}}$和系统能量损耗${E_{{\mathrm{s}}}}$，如表3所示. 所提算法的平均收敛次数为12次，相比GA-PSO和改进模拟退火遗传算法，收敛速度分别提升了33.3%和40.0%. 所提算法平均最优适应度为0.271 1，略优于对比算法. 从监测信号中获取系统整体能量损耗，得到优化前的系统能量损耗为1 774 J，采用所提算法优化后，系统能量损耗较优化的减少了35.4%，较GA-PSO算法的降低了1.3%，较改进模拟退火遗传算法的降低了2.8%. 结果表明，所提改进粒子群算法在冗余机器人喷涂轨迹优化中具有比对比算法更高的综合优化性能，其改进策略有效减少了关节冲击和能量损耗.

机器人在喷涂过程中主要移动外部轴和机器人本体关节轴1、2、3到达喷涂位置，为此分析优化前和采用3种算法规划的对应轴轨迹变化情况. 如图9所示，利用算法优化外部轴轨迹后，外部轴移动路径大幅减少，从实验数据得知，外部轴运动幅度采用所提算法优化后较优化前减少了32.6%，较GA-PSO算法减少了0.4%，较改进模拟退火遗传算法减少了2.3%. 如图10所示，在保持机器人末端线速度恒定的情况下，优化前机器人末端速度由外部轴提供，即外部轴速度等于机器人末端线速度，优化后机器人末端速度组成除了外部轴的速度外，机器人本体也提供了部分速度，即优化后冗余机器人外部轴与本体轴之间耦合度提高.

曲线喷涂实验主要验证机器人在斑点迷彩图案的边界曲线喷涂时的轨迹优化效果. 如图11所示，通过图像处理技术提取斑点迷彩图案轮廓，采用贝塞尔曲线拟合得到曲线喷涂路径^[26]，形成相应的路径点. 设置喷涂速度为1 000 mm/s, 喷涂加速度为10 000 mm/s²，喷涂距离为50 mm，$ {\theta _x} $、$ {\theta _z} $=180°（$ {\theta _x} $为路径点绕x轴旋转角度，$ {\theta _z} $为路径点绕z轴旋转角度），曲线路径点位置如表4所示. 对比3种算法优化后各路径点对应的外部轴位置，如表5所示.

分析优化前和采用不同算法优化后外部轴和本体1、2、3轴在喷涂过程的轨迹、速度和加速度变化情况，如图12~17所示. 由图12可以看出，算法优化后机器人的外部轴移动幅度明显降低，采用所提算法优化后的外部轴轨迹较对比算法优化的效果更佳. 结合数据可知，采用所提算法优化后，机器人的外部轴运动幅度较优化前的降低了58.7%，较GA-PSO算法的降低了17.8%，较改进模型退火遗传算法的降低了21.0%. 由图16可以看出，采用所提算法优化后的外部轴最大加速度较优化前的大幅减小，相较于对比算法均有所减小，说明外部轴关节冲击得到明显改善. 结合图13、15、17分析可知，算法优化前的机器人末端执行器线速度主要由外部轴提供，算法优化后，机器人通过外部轴与本体轴之间配合使末端达到指定线速度，即优化后冗余机器人外部轴与本体轴之间耦合度提高. 由喷涂仿真可知，在执行曲线喷涂任务中，算法优化前的机器人系统能量损耗为4 367.1 J，经GA-PSO算法优化后为3 289.3 J，经改进模型退火遗传算法优化后为3 448 J，经所提算法优化后为3 196.2 J. 所提算法优化的机器人系统能量损耗相较于优化前的降低了26.8%，相较GA-PSO算法优化的降低了2.8%，相较改进模型退火遗传算法优化的降低了7.3%. 该结果验证了所提算法的有效性.

针对大型部件喷涂过程中冗余机器人的轨迹优化问题，以冗余机器人运动幅度和能量损耗为优化目标，提出基于粒子群的机器人运动轨迹优化方法. 对冗余机器人建立运动学模型，利用改进粒子群算法构建轨迹优化求解器，通过设计自适应惯性权重和非线性学习因子，加速算法的收敛速度和寻优精度，求解得到喷涂路径各目标点对应的最优外部轴位置. 通过喷涂仿真验证所提算法的有效性，分析算法优化前后机器人各关节的运动幅度变化和系统能量损耗情况. 实验结果表明，在直线路径和曲线路径喷涂实验中，所提算法的收敛速度较现有算法更快，寻优效果更好，所提算法能够有效优化冗余机器人的喷涂轨迹. 尽管本研究提出的喷涂机器人轨迹优化方法在能量损耗与运动平滑性方面取得了显著效果，但算法的大规模路径求解计算效率仍有提升空间. 下一步工作将结合凸优化理论与高性能求解器，通过将轨迹优化问题转化为可快速求解的凸优化模型，以实现方法的实时性求解与工程应用推广.