平衡阀被广泛应用于工程机械中，能够应对大范围变化的负载，特别是与运动方向相反的负载力（负负载），保证了闭锁与低成本安全性. 参数或工况不当会引发失稳振动^[1-2]，过于保守的阀参数选择会导致背压过高，增加系统能耗^[3]，可能需要降低控制增益以换取稳定性^[4]，陷入稳定性-能耗-精度的权衡，因而含平衡阀系统的建模与主动控制具有重要意义.

对平衡阀进行动态建模是理解和改善系统稳定性的关键. Kozlov等^[5]通过实验测绘阀特性，验证静态模型. Sciancalepore等^[6]考虑稳态液动力，揭示了大流量下稳态液动力对平衡阀特性具有显著的影响. Rituraj等^[7]提出面向数字孪生的平衡阀动、静态辨识方案. Sun等^[8]针对含平衡阀系统，构建能耗模型并进行优化. 多数工作侧重数值仿真，缺乏基于非线性动力系统方法论的稳定性分析.

在含平衡阀系统的振动抑制方面，Nordhammer等^[9]通过调整平衡阀先导比降低举升系统冲击，利用线性化模型得到稳定性条件，指出平衡阀使系统极易失稳^[10]. Ritelli等^[11]通过数值仿真，揭示含平衡阀系统对节能性与动态性能不可兼得. Sørensen等^[12]在平衡阀先导口上设计二次回路，实现了有效的抑振. Sun等^[13]针对含平衡阀系统进行Hopf分叉分析，给出分析稳定性的基础方法. Łopatka等^[14]针对PID控制的多自由度液压机械手，讨论了平衡阀参数对控制轨迹与精度的影响. 这些方法主要依赖被动参数的优化，抑振效果有限.

在主动抑振控制方面，Cristofori等^[15]提出基于进油腔压力反馈和极值搜索优化的增益调度抑振控制方法. Kjelland等^[16]利用输入整形，降低了含平衡阀起重机系统的振荡. Jensen等^[4]利用自适应增益调度，实现抑振. Jose等^[17]设计增益调度线性MPC，实现了46%的振动抑制. Jia等^[18]利用负载口独立阀与动态压力反馈，实现主动阻尼控制和大型柔性机械手的有效抑振. 尽管主动控制已着眼于含平衡阀液压系统的“稳定性-精度”矛盾并抑制振动，但迄今缺乏严格的稳定性证明，控制器结构与参数依赖经验调试，重载大惯量极端工况下的稳定性与抑振效果尚无理论保证.

为了破解含平衡阀阀控缸的“稳定性-精度”矛盾，本文提出非线性MPC轨迹平稳跟踪方法. 建立含平衡阀阀控缸DAE模型并简化为仿射非线性状态空间形式. 通过部分反馈线性化分离零动态、剖析失稳机理，构造控制Lyapunov函数（CLF），证明局部可镇定. 以 CLF 水平集设置终端代价与约束，设计闭环渐近稳定的 NMPC. 通过不同的负载实验，与传统的前馈-反馈（FF-PI）控制进行对比，验证利用该方法，可以在保证稳定性的前提下显著提升跟踪精度.

所研究系统的液压原理图如图1所示.

回路在2个运动方向均配置了同向型卸荷类平衡阀^[1]. 不失一般性，仅考察系统单向移动的情形，等效结构如图1所示. 液压缸的二阶动力学方程为

(1)$ M\ddot x+C\dot x = {A_1}{p_1} - {A_2}{p_2} - {F_{\text{L}}} . $

式中：$M$为质量；$C$为液压缸阻尼系数；${A_1}$和${A_2}$分别为进油腔、出油腔的有效面积；${F_{\text{L}}}$为载荷力，记载荷力与运动速度相反时为正负载.

假设比例阀阀芯的动态特性可忽略，记$u$为比例阀的归一化开度，是受控的系统输入. 记${q_{V1}}$为进油腔的流入体积流量，${q_{V2}}$为出油腔的流出体积流量，${k_{\text{q}}}$为流量系数，根据比例阀的阀口流量特性可得

(2)$ q_{V1}=k_{{\mathrm{q}}} u \sqrt{p_{{\mathrm{s}}}-p_{1}} , $

(3)$ q_{V2}=k_{{\mathrm{q}}} u \sqrt{p_{{\mathrm{r}}}} . $

式中：p_s为供油压力，p_r为回油路平衡阀与比例阀之间的压力.

记平衡阀阀芯位移为${x_{\text{c}}}$，当${x_{\text{c}}} > 0$时表示平衡阀开启. 记$ {k_{{\text{qc}}}} $为平衡阀流量系数，${a_{\text{c}}}({x_{\text{c}}})$为平衡阀的阀开口-通流面积函数. 平衡阀为湍流节流^[7]，其流量特性表示如下：

(4)$ {q_{V2}} = {k_{{\text{qc}}}}{a_{\text{c}}}({x_{\text{c}}})\sqrt {{p_2} - {p_{\text{r}}}} . $

联立式(3)、(4)，可得

(5)$ 0 = k_{\text{q}}^2{u^2}{p_{\text{r}}} - k_{{\text{qc}}}^2a_{\text{c}}^2({x_{\text{c}}})({p_2} - {p_{\text{r}}}) . $

平衡阀阀芯为含摩擦的弹簧-质量二阶系统，

(6)$ {m_{\text{c}}}{\ddot x_{\text{c}}} = - {k_{\text{c}}}({x_{\text{c}}}+{x_{{\text{c0}}}})+{f_{\text{c}}}({\dot x_{\text{c}}})+{A_{\text{c}}}(\gamma {p_1}+{p_2}) . $

式中：$ {m_{\text{c}}} $为平衡阀阀芯质量，$ {k_{\text{c}}} $为平衡阀弹簧的刚度，$ {x_{{\text{c0}}}} $为弹簧预压缩量，$ {f_{\text{c}}} $为平衡阀阀芯所受的摩擦力，$ {A_{\text{c}}} $为平衡阀压力控制面积，$ \gamma $为先导比. 假设平衡阀内的单向阀压降可忽略，且平衡阀容腔极小，控制油路流量可忽略.

当液压缸正向运动时，忽略内、外泄漏，进油腔、出油腔的流量分别为

(7)$ \left.\begin{gathered} {q_{V1}} = \frac{{{V_1}}}{\beta }{{\dot p}_1}+{{\dot V}_1} , \\ {q_{V2}} = - \frac{{{V_2}}}{\beta }{{\dot p}_2} - {{\dot V}_2} . \\ \end{gathered} \right\}$

式中：$ {V_1} $、$ {V_2} $分别为液压缸进油腔、出油腔的体积，是液压缸位移的线性函数；$ {\dot V_1} $、$ {\dot V_2} $分别为进油腔、出油腔体积对时间的导数，$\dot V_1=A_1\dot x, \dot V_2=-A_2\dot x $；β为油液的体弹性模量. 联立式(2)、(3)、(6)、(7)，可得

(8)$ \left. \begin{aligned} & {m_{\text{c}}}{{\ddot x}_{\text{c}}} =- {k_{\text{c}}}({x_{\text{c}}}+{x_{{\text{c0}}}})+{f_{\text{c}}}({{\dot x}_{\text{c}}})+{A_{\text{c}}}(\gamma {p_1}+{p_2}), \\ & M\ddot x = - C\dot x+{A_1}{p_1} - {A_2}{p_2} - {F_{\text{L}}} ,\\ & {{\dot p}_1} = - \frac{{{A_1}\beta }}{{{V_1}}}\dot x+\frac{{\beta {k_{\text{q}}}}}{{{V_1}}}\sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} u, \\ & {{\dot p}_2} = \frac{{{A_2}\beta }}{{{V_2}}}\dot x - \frac{{\beta {k_{\text{q}}}}}{{{V_2}}}\sqrt {{p_{\text{r}}}} u .\\ \end{aligned} \right\} $

(9)$ 0 = k_{\text{q}}^2{u^2}{p_{\text{r}}} - k_{{\text{qc}}}^2a_{\text{c}}^2({x_{\text{c}}})({p_2} - {p_{\text{r}}}) .$

式(8)、(9)是一组微分-代数方程（DAEs）.

根据式(9)，引入回油压力增益函数

(10)$ {g_{\text{p}}}(u,{x_{\text{c}}}) = \frac{{k_{{\text{qc}}}^2a_{\text{c}}^2({x_{\text{c}}})}}{{k_{\text{q}}^2{u^2}+k_{{\text{qc}}}^2a_{\text{c}}^2({x_{\text{c}}})}} , $

使得

(11)$ {p_{\text{r}}} = {g_{\text{p}}}(u,{x_{\text{c}}}){p_2}. $

平衡阀阀芯开度-通流面积关系$ {a_{\text{c}}}({x_c}) $是单调递增函数^[1]，可以推导得到回油压力增益函数对平衡阀阀芯具有严格的单调性，即

(12)$ \frac{{\partial {g_{\text{p}}}}}{{\partial {x_{\text{c}}}}} = \frac{{\partial {g_{\text{p}}}}}{{\partial {a_{\text{c}}}}}\frac{{{\text{d}}{a_{\mathrm{c}}}}}{{{\text{d}}{x_{\text{c}}}}} > 0 . $

根据隐函数定理可知，式(8)、(9)表示的DAE可以通过式(11)化为唯一等价的ODE，${p_2}$项的微分方程变为

(13)$ {\dot p_2} = \frac{{{A_2}\beta }}{{{V_2}}}\dot x - \frac{{\beta {k_{\text{q}}}}}{{{V_2}}}\sqrt {{g_{\text{p}}}(u,{x_{\text{c}}}){p_2}} \;u . $

从式(13)可知，所研究的系统并非仿射非线性系统. 对式(13)进行合理简化，记

(14)$ {\tilde g_{\text{p}}}\left( {{x_{\text{c}}};\;{u_{\text{p}}}(t)} \right) = {g_{\text{p}}}\left( {{u_{\text{p}}}(t),{x_{\text{c}}}} \right) . $

式中：${u_{\text{p}}}(t)$为先验输入，在分析系统动态时视${u_{\text{p}}}(t)$为缓变先验参数，在一段时间内视为常数，且有${u_{\text{p}}}(t) \approx u(t)$. 式(13)改写为

(15)$ {\dot p_2} = \frac{{{A_2}\beta }}{{{V_2}}}\dot x - \frac{{\beta {k_{\text{q}}}}}{{{V_2}}}\sqrt {{{\tilde g}_{\text{p}}}({x_{\text{c}}}){p_2}} \;u . $

式(6)中包含非线性摩擦力$ {f_{\text{c}}}({\dot x_{\text{c}}}) $，特别是当平衡阀阀芯处于低速静摩擦状态时，阀芯在一定控制压力范围内被锁止，表现出滞回特性^[7]. 当阀芯锁止时，系统在局部退化为含固定回流液阻的阀控缸，更容易镇定，但系统变为非光滑系统，不利于分析. 提出利用线性阻尼力简化非线性摩擦力，保留对稳定性不利的动态. 式(6)简化为弹簧-质量-阻尼系统，两边同时除以${A_{\text{c}}}$，可得

(16)$ {\bar m_{\text{c}}}{\ddot x_{\text{c}}} = - {K_{\text{c}}}{x_{\text{c}}} - {C_{\text{c}}}{\dot x_{\text{c}}} - {p_{{\text{cm}}}}+\gamma {p_1}+{p_2} . $

式中：$ {C_{\text{c}}} $为平衡阀阀芯的单位面积等效阻尼系数；${\bar m_{\text{c}}}$为平衡阀阀芯的单位面积等效质量，${\bar m_{\text{c}}} = {m_{\text{c}}}/{A_{\text{c}}}$；$ {K_{\text{c}}} $为弹簧的单位面积等效刚度，$ {K_{\text{c}}} = {k_{\text{c}}}/{A_{\text{c}}} $；常数${p_{{\text{cm}}}}$为平衡阀的最小开启压力（设定压力），${p_{{\text{cm}}}} = {K_{\text{c}}}{x_{{\text{c0}}}}$.

液压缸两腔体积$ {V_1} $、$ {V_2} $是液压缸位置的函数，而液压缸位置较速度、加速度及两腔压力而言可以视为缓变参数，记

(17)$\left. \begin{split} &{K_{{\beta 1}} = \frac{{{A_1}\beta }}{{{V_1}}},\;{{K_{\beta 2}}}} = \frac{{{A_2}\beta }}{{{V_2}}}, \\& {G_{{\text{u1}}}} = \frac{{\beta {k_{\text{q}}}}}{{{V_1}}},\;{G_{{\text{u2}}}} = \frac{{\beta {k_{\text{q}}}}}{{{V_2}}} . \\ \end{split} \right\}$

通过变换与简化，式(8)、(9)改写为

(18)$ \Sigma :\left\{ \begin{aligned} & {{\bar m}_{\text{c}}}{{\ddot x}_{\text{c}}} = - {K_{\text{c}}}{x_{\text{c}}} - {C_{\text{c}}}{{\dot x}_{\text{c}}} - {p_{{\text{cm}}}}+\gamma {p_1}+{p_2}, \\ & M\ddot x = - C\dot x+{A_1}{p_1} - {A_2}{p_2} - {F_{\text{L}}} ,\\ & {{\dot p}_1} = - {K_{\beta 1}}\dot x+{G_{{\text{u1}}}}\sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} u, \\ & {{\dot p}_2} = {K_{\beta 2}}\dot x - {G_{{\text{u2}}}}\sqrt {{{\tilde g}_{\text{p}}}({x_{\text{c}}})} \sqrt {{p_2}} u. \\ \end{aligned} \right\} $

记$ {\boldsymbol{x}} = \left[ {{x_{\mathrm{c}}},\;{{\dot x}_{\mathrm{c}}},\;\dot x,\;{p_1},\;{p_2}} \right] \in \mathcal{X} \subset {{\bf{R}}^5} $为系统状态向量，其中$\mathcal{X}$为状态的可行集. 系统$\Sigma $为维度$n = 5$的仿射非线性系统，具有以下状态空间模型的形式：

(19)$ \Sigma :\;{\boldsymbol{\dot x}} = f({\boldsymbol{x}})+g({\boldsymbol{x}})u . $

记系统的输出函数为$y = h({\boldsymbol{x}})$. 针对液压缸轨迹跟踪的运动控制问题，视液压缸速度为系统输出，即$y = \dot x$. 记期望速度为${y_{\text{R}}}$，系统稳定在$y = {y_{\text{R}}}$时的状态为系统平衡点. 记${\mathcal{L}_f}h(x)$为标量函数$h$在向量场$f$上的李导数，由于

(20)$\left. \begin{split} & {\mathcal{L}_g}\mathcal{L}_f^{\;0}h(x) = 0 ,\\ & {\mathcal{L}_g}\mathcal{L}_f^{\;1}h(x) = \frac{{\left( {{A_1}{G_{{\text{u1}}}} \sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} +{A_2}{G_{{\text{u2}}}} \sqrt {{{\tilde g}_{\text{p}}}{p_2}} } \right)}}{M}u ,\\ \end{split} \right\}$

系统相对阶$r = 2$. 系统通过输出$y = h({\boldsymbol{x}})$的精确线性化问题不可解，系统具有零动态^[19]，仅能进行部分反馈线性化. 系统可反馈线性化的子系统维度为$r = 2$，零动态的维度为$n - r = 3$. 记微分同胚$\varPsi :\mathcal{X} \mapsto {\bf{R}}^5$，满足

(21)$ {\left[ {{z_1},{z_2},{p_1},{\xi _1},{\xi _2}} \right]^ {\mathrm{T}} } = \varPsi ({\boldsymbol{x}}) = {\left[ {{x_{\text{c}}},{{\dot x}_{\text{c}}},{p_1},\dot x - {y_{\text{R}}},\ddot x} \right]^ {\mathrm{T}} } . $

式中：$ {z_1} $、$ {z_2} $分别为平衡阀阀芯的位移、速度，$ {\xi _1} $、$ {\xi _2} $分别为坐标变换后的液压缸速度与加速度，$ {\xi _1} = 0 $对应液压缸的速度平衡点$ \dot x = {y_{\text{R}}} $.

系统$\Sigma $在坐标变换$\varPsi $下，可以写成

(22)$\left.\begin{split} & {{\dot z}_1} = {z_2}, \\ & {{\dot z}_2} = - \frac{{{K_{\text{c}}}}}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}{z_1} - \frac{{{C_{\text{c}}}}}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}{z_2} - \frac{{{p_{{\text{cm}}}}}}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}+\frac{\gamma }{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}{p_1}+\frac{1}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}{p_2} ,\\ & {{\dot p}_1} = - {K_{\beta 1}}({\xi _1}+{y_{\text{R}}})+{G_{{\text{u1}}}}\sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} u ,\\ & {{\dot \xi }_1} = {\xi _2} ,\\ & {{\dot \xi }_2} = - \frac{C}{M}{\xi _2} - \frac{{{K_{\text{β }}}}}{M}({\xi _1}+{y_{\text{R}}})+\frac{{{G_{\text{u}}}({z_1},{z_3},{p_2})}}{M}u. \\ \end{split} \right\}$

式中：$ {K_{\beta}} $为液压油腔的总刚度，$ {K_{\beta}} = {A_1}{K_{{\beta}1}}+ {A_2}{K_{{\beta{ 2}}}} $；$ {G_{\text{u}}}({z_1},{p_1},{p_2}) $为系统的输入增益，$ {G_{\text{u}}}({z_1},{p_1},{p_2}) = {A_1}{G_{{\text{u1}}}} \sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} +{A_2}{G_{{\text{u2}}}}\sqrt {{{\tilde g}_{\text{p}}}({z_1})} \sqrt {{p_2}} $. 记

(23)$ {p_{\text{L}}} = \frac{{{F_{\text{L}}}+C{y_{\text{R}}}}}{{{A_1}}},\;\quad \phi = \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} . $

式中：$ {p_{\text{L}}} $为无背压情况下进油腔的稳态压力，$ \phi $为进油腔、出油腔的有效面积之比. 在式(21)的坐标下，${p_2}$是$ {\xi _1} $和$ {p_1} $的函数，

(24)$ {p_2}({\xi _1},{p_1}) = - \frac{C}{{{A_2}}}{\xi _1}+\phi {p_1} - \phi {p_{\text{L}}} . $

记$ {u^{\text{z}}} $为使输出$y(t)$恒等于期望轨迹$ {y_{\text{R}}} $的唯一输入，有

(25)$ {u^{\text{z}}} = \frac{{{K_{\beta}}{y_{\text{R}}}}}{{{G_{\text{u}}}\left( {{z_1},{p_1},{p_2}(0,{p_1})} \right)}} . $

将${\xi _1} \equiv {\xi _2} \equiv 0$，$u = {u^{\text{z}}}$代入式(22)，得到系统的零动态$ {\Sigma _{\text{z}}} $为

(26)$ \left.\begin{aligned} & {{\dot z}_1} = {z_2} ,\\ & {{\dot z}_2} = - \frac{{{K_{\text{c}}}}}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}{z_1} - \frac{{{C_{\text{c}}}}}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}{z_2}+\frac{{\gamma +\phi }}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}}{p_1}- \frac{{\phi {p_{\text{L}}}+{p_{{\text{cm}}}}}}{{{{\bar m}_{\text{c}}}}} ,\\ & {{\dot p}_1} = - {K_{\beta 1}}{y_{\text{R}}}+\frac{{{K_{\beta}}{G_{{\text{u1}}}}\sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} {y_{\text{R}}}}}{{{G_{\text{u}}}\left( {{z_1},{p_1},{p_2}(0,0,{p_1})} \right)}} .\\ \end{aligned} \right\} $

由${\dot z_i} = 0$（其中$i = 1,2,3$），得到$ {\Sigma _{\text{z}}} $的平衡点为

(27)$ \left[ \begin{gathered} z_1^ \circ \\ z_2^ \circ \\ p_1^ \circ \\ \end{gathered} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\gamma +\phi }}{{{K_{\text{c}}}}}p_1^ \circ - \dfrac{{\phi {p_{\text{L}}}+{p_{{\text{cm}}}}}}{{{K_{\text{c}}}}}} \\ 0 \\ {\dfrac{{{\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ {p_{\text{L}}}+{p_{\text{s}}}}}{{{\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ +1}}} \end{array}} \right] . $

式中：$ \tilde g_{\text{p}}^ \circ = {\tilde g_{\text{p}}}(z_1^ \circ ) $.

系统零动态在平衡点的稳定性决定了系统能否实现输出轨迹的精确跟踪^[20]. 系统零动态$ {\Sigma _{\text{z}}} $具有高度非线性，其稳定性条件及收敛域不易解析获得，这是含平衡阀阀控缸易失稳且难以设计全局镇定控制器的原因. 通过构造局部控制Lyapunov函数(control Lyapunov function，即CLF)，分析局部可镇定性. 提出以下2个假设.

假设1：$ {p_{\text{L}}} < {p_1} < {p_{\text{s}}} $，保证各阀口处压力梯度为正、流量为正.

假设2：平衡阀阀芯位置快速收敛于平衡点处，即$ {z_1} = 0,\;{z_2} = 0 $，式(18)中的平衡阀力平衡方程退化为

(28)$ z_1^ \circ ({p_2}) = \frac{{\gamma p_1^ \circ - {p_{{\text{cm}}}}+{p_2}}}{{{K_{\text{c}}}}} . $

假设2通过控制器设计来保证，将在3章详细阐述. 在假设2下，平衡阀动态退化为式(28)表示的几何约束，系统退化为降阶系统$ \tilde \Sigma $.

(29)$ \tilde \Sigma :\left\{ \begin{aligned} & \ddot x = - \frac{C}{M}\dot x+\frac{{{A_1}}}{M}{p_1} - \frac{{{A_2}}}{M}{p_2} - \frac{{{F_{\text{L}}}}}{M} ,\\ & {{\dot p}_1} = - {K_{\beta 1}}\dot x+{G_{{\text{u1}}}}\sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} u ,\\& {{\dot p}_2} = {K_{\beta 2}}\dot x - {G_{{\text{u2}}}}\sqrt {{{\tilde g}_{\text{p}}}\left( {z_1^ \circ ({p_2})} \right)} \sqrt {{p_2}} u .\\ \end{aligned} \right. $

用$ {\boldsymbol{\tilde x}} = {\left[ {\dot x,{p_1},{p_2}} \right]^ {\mathrm{T}} } $表示降阶系统$ \tilde \Sigma $的状态向量. 针对$ \tilde \Sigma $设计备选CLF：

(30)$ V({\boldsymbol{\tilde x}}) = \frac{1}{2}{(\dot x - {y_{\text{R}}})^2}+\frac{1}{2}{({p_1} - p_1^ \circ )^2} . $

系统的$f、g$满足

(31)$ {\mathcal{L}_g}({\boldsymbol{\tilde x}}) = {G_{{\text{u1}}}}\sqrt {{p_{\text{s}}} - {p_1}} ({p_1} - p_1^ \circ ) , $

(32)$ {\mathcal{L}_f}V({\boldsymbol{\tilde x}}) = (\dot x - {y_{\text{R}}})\frac{{ - C\dot x+{A_1}p_1^ \circ - {A_2}{p_2} - {F_{\text{L}}}}}{M} . $

结合假设1，由$ {\mathcal{L}_g}({\boldsymbol{\tilde x}}) = 0 $得到$ {p_1} = p_1^ \circ $，代入式(32)，整理可得

(33)$\begin{split} {\mathcal{L}_f}V({\boldsymbol{\tilde x}}) = &- \frac{{{\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ C{{\left( {\dot x - {y_{\text{R}}}} \right)}^2}}}{{M\left( {{\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ +1} \right)}}- \left( {\dot x - {y_{\text{R}}}} \right) \times\\& \left( {C\dot x - {A_1}{p_{\text{s}}}+{A_2}{p_2}+{\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ \left( {{p_2}+{F_{\text{L}}}} \right)} \right). \\ \end{split} $

式（33）等号右边第1项为二次型，恒小于等于零，因此$ {\mathcal{L}_f}V({\boldsymbol{\tilde x}}) $的符号取决于(33)等号右边第2项. 当$\dot x - {y_{\text{R}}} > 0$时，应满足

(34)$ - C\dot x+{A_1}{p_{\text{s}}} - {A_2}{p_2} - {\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ \left( {{A_2}{p_2}+{F_{\text{L}}}} \right) < 0 . $

整理得到

(35)$ {p_2} > \frac{{ - C\dot x+{A_1}{p_{\text{s}}} - {\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ {F_{\text{L}}}}}{{{\phi ^3}\tilde g_{\text{p}}^ \circ +1}} = p_2^ \circ . $

将$ p_1^ \circ $的表达式代入式(24)并与式(35)对比，式(35)的不等号右边是${p_2}$在$\dot x = {y_{\text{R}}},\;{p_1} = p_1^ \circ $的平衡点，记为$p_2^ \circ $. 观察式(29)中${p_2}$的动态方程，根据式(12)中回油压力增益函数值随着平衡阀阀芯开度单调递增的性质可知，${p_2}$的动态方程具有负特征值，当$ {\mathcal{L}_g}({\boldsymbol{\tilde x}}) = 0 $时，${p_2}$指数收敛于$\dot x > {y_{\text{R}}},\;{p_1} = p_1^ \circ $的平衡点${p_2^{\circ}}' $. ${p_2^ \circ }' > p_2^ \circ $，因此$ {p_2} \to {p_2^ \circ} ' > p_2^ \circ $，不等式(35)在${p_2^ \circ} '$的某个邻域内局部满足.

同理可得，当$\dot x - {y_{\text{R}}} < 0$时，有$ {p_2} \to {p_2^ \circ} ' < p_2^ \circ $. 结合2种情况得到的不等式，式(35)可以写成

(36)$ \dot x \ne {y_{\text{R}}}\; \Rightarrow \;(\dot x - {y_{\text{R}}})({p_2} - p_2^ \circ ) > 0 . $

综上可知，当控制器镇定进油腔压力${p_1}$使得$ {p_1} \equiv p_1^ \circ $，且假设2成立时，平衡阀对${p_2}$起到负反馈镇定的作用，并使${p_2}$指数收敛于${p_2^ \circ} '$，进一步使得$ \dot V < 0 $. 存在平衡点$ {\boldsymbol{\tilde x}} = {{\boldsymbol{\tilde x}}^ \circ } $附近的某个去心邻域${U^ \circ }$，满足

(37)$ \forall {\boldsymbol{\tilde x}} \in {U^ \circ },\;{\mathcal{L}_g}V({\boldsymbol{\tilde x}}) = 0\; \Rightarrow \;{\mathcal{L}_f}V({\boldsymbol{\tilde x}}) < 0 . $

从式(37)可知，$V$为局部CLF. 由Artstein-Sontag定理可知，对于任意$ {\boldsymbol{\tilde x}} \in {U^ \circ } $，存在反馈增益$ \kappa $，使得在反馈控制率$ u = - \kappa {\mathcal{L}_g}V $下有

(38)$ \dot V({\boldsymbol{\tilde x}}) = {\mathcal{L}_f}V - \kappa {\mathcal{L}_g}V{\left( {{\mathcal{L}_g}V} \right)^ {\mathrm{T}} } < 0 . $

系统$ \tilde \Sigma $在${U^ \circ }$内是局部可镇定的. 根据这一结果，系统的全局渐进镇定问题可以转化为先规划一条轨迹进入${U^ \circ }$，再利用CLF进行局部镇定.

NMPC须实现以下功能. 1）通过控制器的设计，保证假设2成立. 2）当系统处于${U^ \circ }$外时，规划一条轨迹进入可镇定的邻域${U^ \circ }$. 3）系统在${U^ \circ }$内时，利用CLF实现渐近稳定.

记降阶系统$ \tilde \Sigma $为以下控制-仿射形式：

(39)$ \tilde \Sigma :\;{\boldsymbol{\dot {\tilde x}}} = \tilde f({\boldsymbol{\tilde x}})+\tilde g({\boldsymbol{\tilde x}})u . $

系统$ \tilde \Sigma $通过显式四阶龙格-库塔数值格式进行时间离散，记为

(40)$ {\tilde \Sigma _{\text{d}}}:\;{{\boldsymbol{\dot {\tilde x}}}_{k+1}} = {\tilde f_{\text{d}}}({{\boldsymbol{\tilde x}}_k})+{\tilde g_{\text{d}}}({{\boldsymbol{\tilde x}}_k}){u_k} . $

当NMPC的采样时间${T_{\text{s}}}$足够小时，可以认为时间离散模型(40)与时间连续模型(39)是等价的.

记阶段代价函数（stage cost）为$l$，终端代价函数（terminal cost）为${l_{\text{f}}}$，可行输入集合为$\mathcal{U}$，终端状态集合为$ {\mathcal{X}_{\text{f}}} $. 有限时域的离散非线性模型预测控制（NMPC）表示为

(41)$ \left.\begin{split} &\underset{{u}_{k},{\tilde{\boldsymbol{x}}}_{k}}{\mathrm{min}}\,\,\,\, {l}_{\text{f}}\left({\tilde{\boldsymbol{x}}}_{N},{y}_{\text{R,}N}\right)+{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}l}\left({\tilde{\boldsymbol{x}}}_{k},{y}_{\text{R,}k},{u}_{k}\right);\\ & \begin{array}{ll}\text{s}\text{.t}.& {\tilde{\boldsymbol{x}}}_{k+1}={\tilde{f}}_{\text{d}}\left({\tilde{\boldsymbol{x}}}_{k}\right)+{\tilde{g}}_{\text{d}}\left({\tilde{\boldsymbol{x}}}_{k}\right){u}_{k}(k=0,1,\cdots ,N-1),\\ & {\tilde{\boldsymbol{x}}}_{0}={\widehat{\tilde{\boldsymbol{x}}}}_{0},\\ & {u}_{k}\in \mathcal{U}(k=0,1,\cdots ,N-1),\\ &{\tilde{\boldsymbol{x}}}_{N}\in {\mathcal{X}}_{\text{f}}.\end{array}\end{split} \right\}$

式中： ${\hat {\tilde {\boldsymbol x}}}_0 $ 为测量或观测到的当前时刻状态，$N$为预测时域，${y_{{\text{R,}}k}}$为输出$y$在k时刻的速度参考轨迹.

式(41)表示的NMPC用于速度内环跟踪速度轨迹，位置环利用PI控制在既有速度轨迹上叠加修正，提出的控制器如图2所示.

设计阶段代价函数保证假设2成立. 根据式(16)可知，$\gamma {p_1}+{p_2}$是平衡阀阀芯上的输入力，据此提出平衡阀阀芯镇定项，即$ {\left\| {\gamma {p_{1,k}}+{p_{2,k}} - (\gamma {p_{1,k - 1}}+{p_{2,k - 1}})} \right\|^2} $，通过优化的方式降低平衡阀阀芯的力波动，使阀芯在摩擦力的作用下快速收敛至准静态，满足2.2节的假设2.

利用假设2，将式(28)代入式(25)，通过部分反馈线性化得到前馈输入：

(42)$ {\tilde u^{\text{z}}} = \frac{{{K_{\beta}}{y_{\text{R}}}}}{{{G_{\text{u}}}\left( {z_1^ \circ ({p_2}),{p_1},{p_2}} \right)}} . $

NMPC的阶段代价函数为

(43)$ \begin{split} l\left( {{{{\boldsymbol{\tilde x}}}_k},{y_{\text{R}}},u} \right) =& Q{\left\| {{{\dot x}_k} - {y_{{\text{R,}}k}}} \right\|^2} +R{\left\| {{u_k} - {{\tilde u}^{\text{z}}}({p_{1,k}},{p_{2,k}},{y_{{\text{R,}}k}})} \right\|^2} + \\& S{\left\| {\gamma {p_{1,k}}+{p_{2,k}} - (\gamma {p_{1,k - 1}}+{p_{2,k - 1}})} \right\|^2} .\\[-1pt] \end{split}$

根据2.2节可知，系统$ \tilde \Sigma $具有局部可镇定性的结果，设计终端代价函数为CLF，即

(44)$ {l_{\text{f}}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde x}}}_N},{y_{{\text{R,}}N}}} \right) = {Q_{\text{f}}}\;V({{\boldsymbol{\tilde x}}_N};{y_{{\text{R,}}N}}) .$

终端状态应在某一满足式(35)的邻域内，记满足式(36)的终端状态集合为

(45)$ \varTheta = \left\{ {{{{\boldsymbol{\tilde x}}}_N} \in \mathcal{X}|({{\dot x}_N} - {y_{{\text{R}},N}})({p_{2,N}} - p_{2,N}^ \circ ) \geqslant 0\;} \right\} . $

终端状态应取值于CLF的水平集，

(46)$ {\varOmega _0} = \left\{ {{{{\boldsymbol{\tilde x}}}_N} \in \mathcal{X}|{l_{\text{f}}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde x}}}_N},{y_{{\text{R,}}N}}} \right) \leqslant {l_{\text{f}}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde x}}}_0},{y_{{\text{R,}}0}}} \right)\;} \right\} . $

CLF水平集作为终端不等约束，可以保证NMPC在收敛域内的渐近稳定性^[21]. 将终端状态集合设计为$ {\mathcal{X}_{\text{f}}} = \varTheta \cap {\varOmega _0} $. NMPC利用数值求解最优控制问题的方式，引导系统在$N$步内进入CLF的收敛域${U^ \circ }$. 若系统已在${U^ \circ }$内，则利用CLF终端代价和CLF水平集组成的终端约束实现渐近稳定性.

在降阶系统(29)中，${p_1}、{p_2}$通过压力传感器直接测量，速度$\dot x$通过状态观测器估计. 速度观测器视液压缸为独立系统，负载力、库仑摩擦力及液压力的合力可以由传感器和模型间接测量，该合力记为${u_{\text{f}}}$. 系统方程为

(47)$\left.\begin{split} & M(x)\ddot x+C\dot x = {u_{\text{f}}} ,\\& {u_{\text{f}}} = - {F_{\text{L}}}(x) - {f_{\text{c}}}{{\mathrm{sgn}}}\,\, (\dot x)+{A_1}{p_1} - {A_2}{p_2}. \\[-1pt] \end{split} \right\}$

式中：惯量$M(x)$、负载力$ {F_{\text{L}}}(x) $随着机构位置变化，由机构动力学分析确定；$ {f_{\text{c}}} $为库仑摩擦系数. 线性系统(47)利用标准离散卡尔曼滤波器实现状态观测，具体的设计过程不作详细讨论.

式(41)所定义的非线性优化问题通过Simulink的内置Nonlinear MPC模块和第三方商用求解器SNOPT^[22]实现. 如图2所示，NMPC在Windows环境下运行，通过Simulation Pace模块维持100 Hz（控制周期为0.01 s）的控制频率. 速度观测器、传感器IO及机构动力学部分通过代码生成工具部署至倍福软PLC，以10 000 Hz（运行周期为0.1 ms）的频率运行. 控制器的实现和通信细节如图3所示.

为了提升NMPC的运行效率，当求解最优化问题时，使用上一控制周期的解作为初值，即热启动（warm start）策略，对求解器的迭代次数设定上限. 控制器的具体参数和配置详见表1.

此外，模型参数通过实验进行精确标定，平衡阀开口与通流面积的函数${a_{\text{c}}}({x_{\text{c}}})$通过拆解测得.

为了模拟含平衡阀阀控缸的变负载运动控制场景，实验在可调末端配重的单关节实验台上进行，如图4所示.

实验台在不同位置处，负载重力折算到液压缸的负载力不同，可以模拟实机变负载力工况. 试验台可以实现不同负载力方向的工况，如图5所示.

实验台的各参数及元件信息见表2.

选用传统的模型前馈-反馈控制器（下称FF-PI控制器）作为对比基准，所用的模型与NMPC控制器一致. FF-PI控制器与提出控制器的主要区别在于将NMPC部分替换为式(42)所述的模型前馈. FF-PI控制器如图6所示.

选用2种不同的参数控制器用于对比，控制器的增益参数未进行寻优调试，选取原则是跟踪快速、精度可接受（平均误差小于1 mm），且静差迅速消除. 所设的增益参数如表3所示. 表中，$ {K_{\text{p}}} $为位置环比例增益，$ {K_{\text{I}}} $为位置环积分增益.

实验分别在无配重和240 kg配重2种工况下开展. 运动控制实验所跟踪的预规划轨迹如图7所示，在不同的负载力方向下，包含低、中、高3种速度水平的正、反向运动. 其中，t为时间.

系统位置轨迹的跟踪情况如图8所示. 可以看出，位置轨迹与预设轨迹基本吻合，跟踪控制精度高.

抑振效果主要通过比较液压驱动力来评估. 定义液压驱动力为${F_{\text{h}}} = {p_1}{A_1} - {p_2}{A_2}$，在无末端负载条件下${F_{\text{h}}}$的时域波形如图9所示. 图中，灰色阴影区域为发生失稳振动的区段，可以直观判断系统的平稳程度. 如图10所示为${F_{\text{h}}}$的对数功率谱密度log₂P，反映了液压系统在频域下的振动能量分布.

当无末端负载时，同增益FF-PI控制器出现小范围失稳振动，主要集中在负载力与速度同向时（即负负载工况）. 在该工况下，利用所提出方法以及小增益FF-PI，均未出现失稳振动.

在240 kg末端负载条件下的液压驱动力轨迹如图11所示，液压驱动力的对数功率谱密度如图12所示.

在240 kg末端负载下，不同增益的FF-PI均出现了频繁、严重的失稳振动，特别是系统在负负载工况下出现了100%的失稳率；利用提出方法，有效抑制了振动，与2种FF-PI控制器相比，在不同工况下的平均振幅显著降低. 记所提出方法对应的功率谱密度为${{P}_{{\text{prop}}}}$，对比控制器$i$（$i \in ${同增益FF-PI, 小增益FF-PI}）的功率谱密度为${{P}_i}$. 抑振指标定义为

$ \begin{gathered} {G_i} = 10{\lg}\left( {\frac{{{{P}_i}}}{{{{P}_{{\text{prop}}}}}}} \right),\\ {\eta _i} = \left( {1 - \frac{{{{P}_{{\text{prop}}}}}}{{{{P}_i}}}} \right) \times 100{\text{%}}. \\ \end{gathered} $

式中：$ {G_i} $为对数功率谱降幅，${\eta _i}$为谱功率百分比降幅. 各工况下的$ {G}_{i} $与${\eta _i}$见表4.

与传统的FF-PI控制相比，提出方法在抑振方面均有不同程度的提升：与小增益FF-PI相比，无末端负载时降幅不明显，240 kg负载时振幅平均降低了73.18%. 与相同增益的FF-PI相比，无负载下振幅平均降低了35.52%，240 kg负载下振幅平均降低了88.19%，抑振性能具有显著的提升，证明了提出控制器在抑振方面的优越性.

不同工况下位置轨迹跟踪误差的箱线图如图13所示，轨迹跟踪均方误差如图14所示.其中，$\bar{{e}} $为平均位置误差, ${\bar {{e}}}= {\mathrm{RMSE}}\;(x-y_{{\mathrm{R}}})$.

从图13、14可知，提出方法的轨迹精度与相同增益的FF-PI控制相当. 与相同增益的FF-PI控制相比，虽然小增益FF-PI控制的失稳振动相对减少，但降低了轨迹精度，说明传统FF-PI控制在稳定性和精度之间存在矛盾.

综上可知，含平衡阀阀控缸系统在负负载工况下更容易出现失稳、精度降低的问题. 与相同增益的FF-PI相比，提出方法具有显著的抑振能力，带载情况下的振幅平均降低88.19%，且轨迹精度相近，平均轨迹误差相差不超过5%. 与小增益FF-PI相比，提出方法具有更优的带载抑振能力和更高的轨迹精度. 所提控制器在不失稳的前提下保证了控制精度，突破了传统控制方法中稳定性与精度的矛盾.

（1） 通过部分反馈线性化发现，含平衡阀阀控缸系统存在零动态. 这一点导致传统FF-PI控制无法通过参数调整兼顾精度和稳定性.

（2） 本研究揭示了含平衡阀系统易失稳、难以设计全局镇定控制器的主要原因如下：系统零动态稳定性条件及收敛域不易解析获得.

（3） 通过构造局部CLF，证明了含平衡阀阀控缸系统具有局部可镇定性，提出可保证局部渐近稳定的NMPC轨迹跟踪控制方法. 理论上的渐近稳定性是含平衡阀系统抑振的关键.

（4） 实验表明，所提出的控制方法实现了稳定的高精度轨迹跟踪控制，在不同负载工况下较传统方法均具有优越性，有较大的工程应用价值. 所提方法所需的算力较高，将在未来的工作中进行研究和改进.