空间并联多稳态机构的设计与分析

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2025.04.149

空间并联多稳态机构的设计与分析

李保坤^,^,¹^,², 李琳^,¹, 赵伟¹, 陶珍钰¹

1.安徽理工大学机电工程学院，安徽淮南 232001

2.广西制造系统与先进制造技术重点实验室，广西桂林 541004

Design and analysis of spatial parallel multi-stable mechanism

LI Baokun^,^,¹^,², LI Lin^,¹, ZHAO Wei¹, TAO Zhenyu¹

1.School of Mechanical and Electrical Engineering, Anhui University of Technology, Huainan 232001, China

2.Guangxi Key Laboratory of Manufacturing Systems and Advanced Manufacturing Technology, Guilin 541004, China

通讯作者: 李　琳（1998—），女，硕士生，从事柔顺机构学研究，E-mail: 1786101759@qq.com

收稿日期: 2024-06-27 修回日期: 2024-07-31

基金资助:

国家自然科学基金资助项目.  U21A20122
广西制造系统与先进制造技术重点实验室开放基金资助项目.  23354S013
安徽理工大学专项培育项目.  YZ2023H2A003

Received: 2024-06-27 Revised: 2024-07-31

作者简介 About authors

李保坤（1982—），男，教授，博士，从事机构学和机器人等研究，E-mail:libkmail@126.com,http://orcid.org/0000-0001-5413-4061 , E-mail：libkmail@126.com

摘要

空间并联多稳态机构（spatial parallel multi-stable mechanism, SPMM）指在外力作用下能切换为不同稳定平衡状态的机构，是传统空间刚性并联机构与柔顺机构的结合，更稳定并能节约能量。采用刚体置换方法创新设计了具有8种稳态位形的六自由度3-PSPS SPMM，通过移动3个分支能实现机构8种稳态位形之间的切换。首先，分析了SPMM结构，对机构进行静力学分析，建立了能量-运动学微分方程来确定机构稳态，并采用MATLAB软件得到了机构运动过程的能量图；其次，利用基于Lagrange-Dirichlet原理的能量法，确定了机构的8种稳态位形，分析了运动过程中稳态位形之间的切换路径；最后，采用3D打印的SPMM模型，进行了实验验证。所研究的SPMM能实现稳态位形可控，能广泛应用于运动平台和缓冲机构的设计中。

关键词： 柔顺机构 ; 空间并联多稳态机构 ; 稳态 ; 能量-运动学微分方程方程

Abstract

Spatial parallel multi-stable mechanism (SPMM) is a mechanism that can switch to different stable equilibrium states under external forces. It is a combination of traditional spatial rigid parallel mechanisms and compliant mechanisms, which is more stable and can save energy. The 6-DOF 3-PSPS SPMM with eight kinds of steady-state configurations was innovatively designed by using the rigid body substitution method. By moving three branches, eight kinds of steady-state configurations of the mechanism could be switched. Firstly, the SPMM structure was analyzed, the mechanism statics analysis was carried out, the energy-kinematic differential equation was established to determine the steady-state of the mechanism, and the energy diagram of the mechanism's motion process was obtained by MATLAB software. Secondly, using the energy method based on Lagrange-Dirichlet principle, eight steady-state configurations of the mechanism were determined, and the switching paths between the steady-state configurations were analyzed. Finally, the 3D printed SPMM model was used for experimental verification. The SPMM can realize steady-state configuration control and can be widely used in the design of motion platform and buffer mechanism.

Keywords： flexible mechanism ; spatial parallel multi-stable mechanism ; steady-state ; energy-kinematic differential equation

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本文引用格式

李保坤, 李琳, 赵伟, 陶珍钰. 空间并联多稳态机构的设计与分析[J]. 工程设计学报, 2025, 32(2): 191-198 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2025.04.149

LI Baokun, LI Lin, ZHAO Wei, TAO Zhenyu. Design and analysis of spatial parallel multi-stable mechanism[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2025, 32(2): 191-198 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2025.04.149

多稳态柔顺机构是一种新型机构，其利用结构的弹性变形来传递力、运动或能量^[1]。该机制可以使机构通过储存或释放自身柔性部件的能量实现不同稳定平衡状态之间的转变。相比传统的刚性机构，柔顺机构具有一定的优势。它们可进行可重复运动，通过结构的弹性变形使得总机构的运动范围减小，因此能实现小范围的大行程和小行程运动。3种常见的柔顺机构设计方法包括基于约束的设计^[2]、伪刚体模型法^[3]和拓扑综合设计^[4]，此外还有刚体置换（rigid body replacement, RBR）方法^[5]和基于螺杆理论的方法^[6]等。RBR方法是将刚性机构中的关节替换为各种柔顺关节；不考虑机构的驱动，而是用于类型合成，以获得非驱动机械结构。多稳态柔顺机构在过载保护^[7]、形状重构^[8]、宽带振动能量采集^[9]以及在微操作系统和超材料^[10]等领域得到了广泛应用。

双稳态机构是一种在其运动范围内具有2个稳态的柔性机构。从能量的角度来看，该机构在运动过程中具有1个最大能量值和2个最小能量值。双稳态机构具有较为丰富的性能和结构设计。学者们提出将多个具有不同性能的双稳态机构进行结合，形成了如基于屈曲梁的双稳态机制^[11]、柔顺四连杆双稳态机制^[12]、Young双稳态机制^[13]和柔顺双稳态Sarrus机制^[14]等多种机制。

并联机构刚度大，承载能力强，定位精度高，动态性能好，结构相对紧凑，能够很好地适应智能制造对精细化操作的要求^[15-16]。低自由度并联机构具有成本低、结构简单、易于控制等明显优点。串并联机器人的构造和精密装配使其具有非常广阔的发展前景^[17]。

从能量角度来分析柔顺机构。柔顺机构利用其弹性元件，将很大部分的力转化为自身的应变能。若给处于平衡状态的机构一个微小的外力，机构自身的弹性势能没有改变，机构姿态也不会发生变化，那么这样的平衡是稳定的。基于Lagrange-Dirichlet原理的能量法^[18]表明，稳定平衡状态出现在势能为局部最小值时。因此，为了确定机构的稳定性，可先描绘其运动过程中的势能图，则任何势能为局部最小值时为其稳态位形。

目前可用的多稳态机构几乎是通过拼接不超过3个稳态的平面或空间柔顺机构来实现的^[19]。那么，为了实现更多个稳态，需要更复杂的结构。这促使作者开发能够实现8个稳定平衡状态的空间并联多稳态机构（spatial parallel multi-stable mechanism, SPMM）。受Fan 等^[20]提出的一种新型空间并联八稳态机构的启发，作者结合并联机构和柔顺机构的特点，在3-PRR刚性并联机构^[21]的基础上，采用RBR方法进行改进。将原3-PRR中的一个刚性杆用柔性弹簧代替，设计了3-PRPR空间并联多稳态机构，并对其运动势能进行了分析；应用柔顺机构的能量原理，来验证并联多稳态机构的静态平衡位形，更加清晰地揭示非稳态与稳态的本质；对稳态位形之间的运动路径进行了理论分析，最后进行了实验验证。

1 SPMM模型分析

1.1　SPMM模型

本文提出了一种六自由度3-PRPR SPMM，其结构如图1所示。该机构由1个底座（固定平台）、1个动平台和3个柔性PRPR分支组成，其中：R表示旋转关节，P表示由线性弹簧组成的移动副和安装在底座固定杆上的移动关节。3个柔性PRPR分支沿动平台的圆周方向均匀布置，并相连于动平台和底座；中心刚性的动平台用作运动端的致动器，其半径为r_m，通过旋转关节与3个柔性分支相连；底座上的固定杆呈正交分布，其与水平面的夹角α=45°，被固定为框架。在初始状态下，动平台与基座中心的距离为 $h$ ，底座固定杆上移动关节与底座中心的距离为D_i (i=1, 2, 3)，底座固定杆上移动关节与第1个转动关节的距离为b。坐标系设置在底座上，以便于分析动平台的变化。

图1

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图1 SPMM结构

Fig.1 Structure of SPMM

通过3个PRPR分支的灵活移动，机构能保持多个稳态，此时机构的最小总应变能处于稳定状态。通过移动底座固定杆上的移动关节，来驱动3个分支，从而改变动平台的姿态。在运动过程中，由线性弹簧组成的柔性棱柱关节经历了能量存储与释放。最初，弹簧的压缩增加了机构的势能；当势能达到临界阈值后被释放，并迅速达到机构处于稳态时的最小能量状态。为了区分这些平衡状态，作者将3个分支与水平面的夹角θ₁、θ₂和θ₃作为可观察的运动学参数。当机构状态发生变化时，这些角度将随着动平台姿态的变化而变化。

1.2　静力学分析

通过机构的几何关系建立能量-运动学微分方程。

记柔性肢的长度分别为l₁、l₂、l₃，底座固定杆上移动关节的坐标分别为P₁、P₂、P₃。建立的坐标系如图1所示，则：

P_{1} = [\begin{matrix} - (r_{m} + l_{1} c o s θ_{1} + b s i n α) \\ 0 \\ h + l_{1} s i n θ_{1} - b c o s α \end{matrix}]

(1)

P_{2} = R_{z} (\frac{2 π}{3}) [\begin{matrix} - (r_{m} + l_{2} c o s θ_{2} + b s i n α) \\ 0 \\ h + l_{2} s i n θ_{2} - b c o s α \end{matrix}]

(2)

P_{3} = R_{z} (- \frac{2 π}{3}) [\begin{matrix} - (r_{m} + l_{3} c o s θ_{3} + b s i n α) \\ 0 \\ h + l_{3} s i n θ_{3} - b c o s α \end{matrix}]

(3)

其中：

s i n θ_{i} = \frac{D_{i} s i n α - h - b c o s α}{l_{i}}

c o s θ_{i} = \frac{D_{i} c o s α - b s i n α - r_{m}}{l_{i}}

R_{z} (α) = [\begin{matrix} c o s α & - s i n α & 0 \\ s i n α & c o s α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

由图1中底座三杆呈正交分布的几何关系，可得式(4)至式(6)：

(P_{1} - P_{2})^{T} \cdot (P_{1} - P_{2}) - ({D_{1}}^{2} + {D_{2}}^{2}) = 0

(4)

(P_{2} - P_{3})^{T} \cdot (P_{2} - P_{3}) - ({D_{2}}^{2} + {D_{3}}^{2}) = 0

(5)

(P_{1} - P_{3})^{T} \cdot (P_{1} - P_{3}) - ({D_{1}}^{2} + {D_{3}}^{2}) = 0

(6)

式中：D_i =D-d_i，D为初始位置时移动关节与底座中心的距离；d_i 为各分支上移动关节的移动量，为主要输入量。

为了了解d_i 与机构势能的关系，以便于控制机构位形，对式(4)至式(6)进行微分，得到：

\begin{array}{l} (P_{1} - P_{2})^{T} (\frac{\partial P_{1}}{\partial l_{1}} - \frac{\partial P_{2}}{\partial l_{2}} 0) [\begin{matrix} d l_{1} \\ d l_{2} \\ d l_{3} \end{matrix}] = (P_{1} - P_{2})^{T} \\ (\frac{\partial P_{1}}{\partial d_{1}} - \frac{\partial P_{2}}{\partial d_{2}} 0) [\begin{matrix} d d_{1} \\ d d_{2} \\ d d_{3} \end{matrix}] + (\begin{matrix} 2 D_{1} & 2 D_{2} & 0 \end{matrix}) [\begin{matrix} d d_{1} \\ d d_{2} \\ d d_{3} \end{matrix}] \end{array}

(7)

\begin{array}{l} (P_{2} - P_{3})^{T} (0 \frac{\partial P_{2}}{\partial l_{2}} - \frac{\partial P_{3}}{\partial l_{3}}) [\begin{matrix} d l_{1} \\ d l_{2} \\ d l_{3} \end{matrix}] = (P_{2} - P_{3})^{T} \\ (0 - \frac{\partial P_{2}}{\partial d_{2}} - \frac{\partial P_{3}}{\partial d_{3}}) [\begin{matrix} d d_{1} \\ d d_{2} \\ d d_{3} \end{matrix}] + (\begin{matrix} 0 & 2 D_{2} & 2 D_{3} \end{matrix}) [\begin{matrix} d d_{1} \\ d d_{2} \\ d d_{3} \end{matrix}] \end{array}

(8)

\begin{array}{l} (P_{1} - P_{3})^{T} (\frac{\partial P_{1}}{\partial l_{1}} 0 - \frac{\partial P_{3}}{\partial l_{3}}) [\begin{matrix} d l_{1} \\ d l_{2} \\ d l_{3} \end{matrix}] = (P_{1} - P_{3})^{T} \\ (\frac{\partial P_{1}}{\partial d_{1}} 0 - \frac{\partial P_{3}}{\partial d_{3}}) [\begin{matrix} d d_{1} \\ d d_{2} \\ d d_{3} \end{matrix}] + (\begin{matrix} 2 D_{1} & 0 & 2 D_{3} \end{matrix}) [\begin{matrix} d d_{1} \\ d d_{2} \\ d d_{3} \end{matrix}] \end{array}

(9)

其中：

\frac{\partial P_{1}}{\partial l_{1}} = [\begin{matrix} - c o s θ_{1} \\ 0 \\ s i n θ_{1} \end{matrix}]

(10)

\frac{\partial P_{2}}{\partial l_{2}} = R_{z} (\frac{2 π}{3}) [\begin{matrix} - c o s θ_{2} \\ 0 \\ s i n θ_{2} \end{matrix}]

(11)

\frac{\partial P_{3}}{\partial l_{3}} = R_{z} (- \frac{2 π}{3}) [\begin{matrix} - c o s θ_{3} \\ 0 \\ s i n θ_{3} \end{matrix}]

(12)

\frac{\partial P_{1}}{\partial d_{1}} = [\begin{matrix} - c o s α \\ 0 \\ - s i n α \end{matrix}]

(13)

\frac{\partial P_{2}}{\partial d_{2}} = R_{z} (\frac{2 π}{3}) [\begin{matrix} - c o s α \\ 0 \\ - s i n α \end{matrix}]

(14)

\frac{\partial P_{3}}{\partial d_{3}} = R_{z} (- \frac{2 π}{3}) [\begin{matrix} - c o s α \\ 0 \\ - s i n α \end{matrix}]

(15)

将方程(7)至方程(9)表示成矩阵形式，则：

A d l_{i} = B d d_{i}

(16)

其中：

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{matrix}]

(17)

B = [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & 0 \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & 0 & b_{33} \end{matrix}]

(18)

a_{11} = \frac{3}{2} (r_{m} + b s i n α) c o s θ_{1} + l_{1} + \frac{1}{2} l_{2} c o s θ_{1} c o s θ_{2} - l_{2} s i n θ_{1} s i n θ_{2}

a_{12} = \frac{3}{2} (r_{m} + b s i n α) c o s θ_{2} + l_{2} + \frac{1}{2} l_{1} c o s θ_{1} c o s θ_{2} - l_{1} s i n θ_{1} s i n θ_{2}

a_{22} = \frac{3}{2} (r_{m} + b s i n α) c o s θ_{2} + l_{2} + \frac{1}{2} l_{3} c o s θ_{2} c o s θ_{3} - l_{3} s i n θ_{2} s i n θ_{3}

a_{23} = \frac{3}{2} (r_{m} + b s i n α) c o s θ_{3} + l_{3} + \frac{1}{2} l_{2} c o s θ_{2} c o s θ_{3} - l_{2} s i n θ_{2} s i n θ_{3}

a_{31} = \frac{3}{2} (r_{m} + b s i n α) c o s θ_{1} + l_{1} + \frac{1}{2} l_{3} c o s θ_{1} c o s θ_{3} - l_{3} s i n θ_{1} s i n θ_{3}

a_{33} = \frac{3}{2} (r_{m} + b s i n α) c o s θ_{3} + l_{3} + \frac{1}{2} l_{1} c o s θ_{1} c o s θ_{3} - l_{1} s i n θ_{1} s i n θ_{3}

b_{11} = D_{1} - \frac{1}{2} D_{2} c o s^{2} α + D_{2} s i n^{2} α

b_{12} = D_{2} - \frac{1}{2} D_{1} c o s^{2} α + D_{1} s i n^{2} α

b_{22} = D_{2} - \frac{1}{2} D_{3} c o s^{2} α + D_{3} s i n^{2} α

b_{23} = D_{3} - \frac{1}{2} D_{2} c o s^{2} α + D_{2} s i n^{2} α

b_{31} = D_{1} - \frac{1}{2} D_{3} c o s^{2} α + D_{3} s i n^{2} α

b_{33} = D_{3} - \frac{1}{2} D_{2} c o s^{2} α + D_{2} s i n^{2} α

机构中3个分支的运动总势能V为：

V = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{3} k_{i} {(l_{0 i} - l_{i})}^{2}

(19)

式中：k_i 为第i分支上弹簧的刚度系数， $l_{0 i}$ 为第 $i$ 分支上弹簧的原长。

结合式(16)，可以将式(19)转化为：

d V = \sum_{i = 1}^{3} k_{i} (l_{0 i} - l_{i}) d l_{i} = f^{T} \cdot A^{- 1} B d d_{i}

(20)

其中： $f^{T} = [\begin{matrix} k_{1} (l_{01} - l_{1}) \\ k_{2} (l_{02} - l_{2}) \\ k_{3} (l_{03} - l_{3}) \end{matrix}]$ 。

由此可以得到势能V与输入量 $d_{i}$ 之间的关系。

根据基于能量的稳定性理论可知，当能量的一阶微分方程的解为0且能量为极小值时，机构处于稳态。

\begin{array}{l} f^{T} \cdot A^{- 1} B = \\ [\begin{matrix} k_{1} (l_{01} - l_{1}) \\ k_{2} (l_{02} - l_{2}) \\ k_{3} (l_{03} - l_{3}) \end{matrix}] \cdot {[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & 0 \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & 0 & b_{33} \end{matrix}] = 0 \end{array}

(21)

求解式(21)，只有在 A^-1B 为满秩、 f^T=0时满足极小值条件。所以当l₀₁=l₁，l₀₂=l₂，l₀₃=l₃时符合条件，在此情况下机构具有8个稳态。

2 SPMM运动能量分析

根据上述理论分析可知，SPMM存在8种稳态位形。根据基于Lagrange-Dirichlet原理的能量法，利用MATLAB软件分析并绘制机构势能曲面图，观察机构的稳态位形。根据机构的几何结构，可得到式(22)和式(23)。假设机构弹簧的刚度系数k₁=k₂=k₃=20 N/rad，机构的结构参数：r_m=30 mm，b=20 mm，α=45°，l₀₁=180 mm，D=310 mm。

D_{i} c o s α = b s i n α + l_{i} c o s θ_{i} + r_{m}

D_{i} s i n α = b c o s α + l_{i} s i n θ_{i} + h

当3个分支都运动时，有4个变量，即3个分支与水平面的夹角 $θ_{i}$ 和移动平台的高度h。在机构运动过程中，4个变量同时发生变化，因此无法对机构进行运动能量分析。只有当h为定值时，才能进行机构运动能量的分析。考虑到机构的对称性，后续分2种情况分析其能量，以确定其稳态位形。

首先，确定h，通过式(19)、(22)、(23)计算机构势能的变化。

情况1: 分支1和分支3不动，只有分支2移动。

保持关节1和关节3位置不变，移动关节2（即d₁=0，d₃=0，d₂=[0, 310] mm），分析机构势能的变化。仅有1个分支移动时机构的势能变化曲线如图2所示。由图可知：在运动过程中，A₁ (0, 0)和A₂ (306.767, 0) mm为能量极小值点，此时机构的势能为0，即弹簧处于原长；B (153.538，7.369) mm为能量极大值点。因此，当机构只有1个分支移动时，机构存在2种稳态位形。

图2

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图2 仅有1个分支移动时SPMM势能变化曲线

Fig.2 SPMM potential energy variation curve with only one branch movement

由于并联机构的对称性，以一个关节为例进行分析。随着关节2移动，机构势能和θ₂发生变化，由此分析机构位形及其切换路径。

根据式(22)和式(23)求θ_i，以θ₂为例进行分析。分别利用式(24)和式(25)由cos θ₂和sin θ₂反求θ₂，得出运动过程中θ₂的变化曲线，如图3所示。由图(a)可知，在d₂=43.78 mm时曲线发生转折。由于是通过cos θ₂反求θ₂，此时θ₂会出现2种情况，由θ₂=0开始变化为正值或负值，结合机构模型和图(b)可以判断θ₂由 $0$ 变化为负值。图(b)中，θ₂由sin θ₂反求得到，转折点的角度为-90°，此时d₂=247.54 mm。

θ_{2} = a r c c o s \frac{- b c o s α - r_{m} + (D_{2} - d_{2}) c o s α}{l_{2}}

θ_{2} = a r c s i n \frac{(D_{2} - d_{2}) s i n α - h + b s i n α}{l_{2}}

图3

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图3 机构运动过程中 θ₂ 变化曲线

Fig.3 θ₂variation curve during movement of mechanism

情况2：分支1不动，分支2和分支3同时移动。

1）分支1在初始位置时机构的势能。

保持关节1位置不变，移动关节2和关节3（即d₁=0，d₂=[0，310] mm，d₃=[0，310] mm），分析机构势能变化。

2个分支同时移动时机构的势能变化如图4所示。由图可知，机构势能有4个极小值点A₁、A₂、A₃、A₄和1个极大值点。机构势能为极小值时机构处于稳态，其相应的位形A1、A2、A3、A4如图5所示。

图4

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图4 分支2和分支3同时移动、分支1在初始位置时SPMM势能变化

Fig.4 SPMM potential energy variation with branch 2, 3 simultaneous movement and branch 1 in initial position

图5

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图5 分支2和分支3同时移动、 d₁=0时SPMM稳态位形

Fig.5 SPMM steady-state configurations with branch 2, 3 simultaneous movement and d₁=0

2）分支1不在初始位置时机构的势能。

调节关节1的位置，分别取d₁=0，50，250，153.538，306.767 mm，则机构的势能变化如图6所示。由图可知，当d₁=153.538 mm时，机构的总势能达到最大值；当d₁=0, 306.767 mm时，机构的总势能均为最小值，即分支1上的弹簧都处于原长，则机构的势能曲面也相同。因此，当d₁=0时机构有4种稳态位形。类似地，当d₁=306.767 mm时机构也有4种稳态位形，如图7所示，分别记为C1、C2、C3、C4。

图6

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图6 分支2和分支3同时移动、分支1在不同位置时SPMM势能变化曲面

Fig.6 SPMM potential energy variation surfaces with branch 2, 3 simultaneous movement and branch 1 in different positions

图7

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图7 分支2和分支3同时移动、 d₁=306.767 mm时SPMM稳态位形

Fig.7 SPMM steady-state configurations with branch 2, 3 simultaneous movement and d₁=306.767 mm

3 SPMM稳态位形切换路径分析

基于上述分析可知，SPMM有8个稳态。根据θ_i 的变化，来研究8种稳态位形之间的切换路径。以一个PSPS分支为例：其初始状态为第1个平衡稳定状态，θ_i 为正值，用θ_i⁺ 表示；中间经历θ_i =0°，用θ_i⁰表示；当θ_i =45°时，由弹簧构成的移动副与底座固定杆之间的夹角为90°，此弹簧的长度 $l_{i}$ 处于最小值，势能达到最大值；最后，机构处于另一稳态时，θ_i 为负值，用θ_i^-表示，且大于-90°。因此，一个分支稳态位形之间的切换用θ_i⁺、θ_i⁰、θ_i^-表示。只有1个分支移动时，机构的8个稳态分别位于六面体的8个端角处，如图8所示，稳态位形切换路径沿着六面体的边。

图8

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图8 仅有1个分支移动时SPMM稳态位形切换路径

Fig.8 SPMM steady-state configuration switching path with only one branch movement

当2个分支同时移动时，稳态位形切换路径沿着六面体的面对角线，如图9所示。

图9

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图9 2个分支同时移动时SPMM稳态位形切换路径

Fig.9 SPMM steady-state configuration switching path with two branches simultaneous movement

当3个分支同时移动时，稳态位形切换路径沿四面体的体对角线，θ_i、h及弹簧长度L_i 在运动过程中都发生了改变。在这一过程中影响因素较多，存在很大的不确定性，路径变化难以分析。

4 实验验证

为了验证SPMM稳态及稳态位形切换路径理论分析的准确性，本文进行实验验证。3D打印并验证SPMM模型，然后将它嵌套在底座固定杆的移动副上，进行移动控制，来验证机构的稳态及稳态位形切换路径是否与理论分析结果一致。1）将3个分支放置在初始位置，然后固定2个分支，仅移动1个分支；2）固定1个分支，同时移动2个分支；3）将2）中的固定分支分别放置在距初始位置153.538、250、306.767 mm的位置，同时移动2个分支；4）同时移动3个分支。

通过实验可知，SPMM的所有8种稳态位形都与理论分析结果一致，其中部分稳态位形如图10所示。其路径变化也与理论分析结果一致。

图10

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图10 SPMM 3D模型部分稳态位形

Fig.10 Partial steady-state configurations of SPMM 3D model

当固定1个或2个分支时，动平台的高度保持在初始状态，则可以实现机构稳态位形切换。如果3个分支同时移动，需要改变动平台的高度，这样每个分支与水平面之间的角度就不会改变，稳态也不会改变。当3个分支同时移动时，无法实现机构从A1到C4稳态位形的切换。在3个分支同时移动过程中，作为能量储存或释放的柔性元件——弹簧不会有任何变化，改变的是弹簧构成的移动关节与水平面的夹角。随着分支1上移动关节的运动，动平台往底座中心靠近直至与底座接触，使机构处于锁定状态，如图11所示。如果要实现从A1到C4稳态位形的切换，底座必须提供外力。而这与柔顺机构的特征不一致，因此，3个分支同时运动时无法实现多稳态位形的切换。

图11

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图11 3个分支同时运动时机构的锁定状态

Fig.11 Locked state of mechanism with three branches simultaneous movement

5 结论

本文提出了一种具有8个稳态的SPMM。通过建立基于能量-运动学微分方程的静力学模型，对其进行分析和论证，得出以下结论：

1）SPMM具有8个稳态，通过MATLAB仿真确定了8种稳态位形。

2）分析了8种稳态位形的切换路径。3D打印了SPMM模型，通过实验验证了SPMM的多稳态特性和多种稳态位形切换路径的可行性。

后续将研究SPMM各部分参数与动平台姿态之间的关系。SPMM可用于需要变化平台的大型机械中，实现工程应用。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

任军，何文浩.

3-PSS柔性并联微操作机器人运动学及工作空间分析

［J］. 机械设计与制造， 2022（12）： 58-63.