基于改进果蝇优化算法的塔机自适应滑模控制研究

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.040

基于改进果蝇优化算法的塔机自适应滑模控制研究

何育民^,^,, 韩莹, 周晶

西安建筑科技大学机电工程学院，陕西西安 710055

Research on adaptive sliding mode control of tower crane based on improved fruit fly optimization algorithm

HE Yumin^,^,, HAN Ying, ZHOU Jing

School of Mechanical and Electrical Engineering, Xi'an University of Architecture and Technology, Xi'an 710055, China

收稿日期: 2022-11-25 修回日期: 2023-01-10

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 519705449
陕西省秦创原“科学家+工程师”队伍建设项目. 2022KXJ032

Received: 2022-11-25 Revised: 2023-01-10

作者简介 About authors

何育民（1968—），男，陕西西安人，副教授，博士，从事塔机平稳运行、机电一体化研究，E-mail:he_yumin@163.com，https://orcid.org/0000-0002-6386-1647 , E-mail：he_yumin@163.com

摘要

针对部分工况下塔机负载摆角直接测量困难、系统滑模控制器抖振明显以及控制器参数调节复杂等问题，提出了一种基于改进果蝇优化算法的塔机自适应滑模控制方法。首先，根据拉格朗日方程，得到了塔机单摆系统的动力学模型。然后，设计了线性扩张状态观测器，用于观测塔机负载摆动状态，并将观测结果反馈到自适应滑模控制器中；在构造滑模面时，采用双曲正切函数代替常用的符号函数以增加其连续性，从而减小抖振。最后，改进了果蝇优化算法的寻优策略及搜索半径，并对自适应滑模控制器的参数进行了优化。结果表明，所设计的线性扩张状态观测器跟踪观测塔机负载摆角的收敛速度较快且跟踪误差小于1.3%；经改进果蝇优化算法优化后的自适应滑模控制器不仅对负载摆动有较好的抑制作用，而且具有较强的抗干扰性和鲁棒性。所提出的控制方法可在实现精确定位的同时有效避免塔机负载摆动带来的安全隐患，保障工人的安全和工程的顺利开展。

关键词： 塔机 ; 负载摆动 ; 扩张状态观测器 ; 果蝇优化算法 ; 自适应滑模控制

Abstract

In view of the direct measurement difficulties of load swing angle of tower crane under some working conditions, obvious chattering of the system sliding mode controller and complicated adjustment of controller parameters, an adaptive sliding mode control method for tower crane based on improved fruit fly optimization algorithm was proposed. Firstly, based on the Lagrange equation, the dynamics model of the tower crane single pendulum system was obtained. Then, a linear extended state observer was designed to observe the load swing state of tower crane, and the observation results were fed back to the adaptive sliding mode controller. When constructing sliding mode surface, the hyperbolic tangent function was used instead of the common symbol function to increase its continuity and reduce chattering. Finally, the optimization strategy and search radius of the fruit fly optimization algorithm were improved, and the parameters of the adaptive sliding mode controller were optimized. The results showed that the designed linear extended state observer could track and observe the load swing angle of the tower crane with fast convergence speed and tracking error less than 1.3%. The adaptive sliding mode controller optimized by the improved fruit fly optimization algorithm not only had a good suppression effect on the load swing of tower crane, but also had strong anti-interference and robustness. The proposed control method can effectively avoid safety hazards caused by tower crane load swing while achieving precise positioning, ensuring the safety of workers and the smooth progress of the project.

Keywords： tower crane ; load swing ; extended state observer ; fruit fly optimization algorithm ; adaptive sliding mode control

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本文引用格式

何育民, 韩莹, 周晶. 基于改进果蝇优化算法的塔机自适应滑模控制研究. 工程设计学报[J], 2023, 30(3): 271-280 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.040

HE Yumin, HAN Ying, ZHOU Jing. Research on adaptive sliding mode control of tower crane based on improved fruit fly optimization algorithm. Chinese Journal of Engineering Design[J], 2023, 30(3): 271-280 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.040

塔机（塔式起重机）多应用于高层建筑施工现场的材料运输。由于施工现场复杂因素的影响，塔机的负载常常会出现摆动现象，使得其运输安全性受到威胁^[1-2]。此外，塔机的智能化、自动化等问题也越来越受关注^[3]。

塔机的工作环境复杂，部分工况下负载摆角难以直接测量，且外部干扰因素较多，导致其定位防摆难度增大。由于塔机系统的欠驱动性，使得其控制问题较为复杂，许多学者对此开展了大量研究^[4-9]。Liu等^[10]设计了一种非线性滑模跟踪控制器，其能在快速消除跟踪误差的同时抑制塔机负载摆动，具有良好的跟踪性能和摆动抑制效果。Wu等^[11]提出了一种基于 $H_{\infty}$ 的自适应模糊控制方法，该方法融合了一种变结构技术方案，可补偿外部干扰对跟踪误差的影响，有效地减小了塔机负载的摆动。Sun等^[12]提出了一种改进的反馈控制器，通过构造积分项来补偿稳态误差，并对其防摆效果进行了实验验证。由此可见，消除跟踪误差是塔机防摆控制中的重要环节。针对非线性动力学系统模型内部参数的不确定性和外部未知状态对控制效果的干扰，可利用状态观测器来估计干扰，进而对干扰进行补偿。肖仁等^[13]在机械臂的轨迹跟踪控制中，利用固定时间观测器对外部扰动及关节状态进行观测估计，并将其反馈至自适应滑模控制器以进行跟踪控制，有效地抑制了机械臂系统的抖振。Xiao等^[14]利用一种线性状态观测器实现了机械臂的轨迹跟踪，但是由于线性观测器的固有约束，跟踪效果并不十分理想。扩张状态观测器可拓展应用至估计系统的总扰动，将其用于控制器前馈补偿能够解决控制器过度依赖高增益反馈的问题。将扩张状态观测器与滑模控制相结合，可实现预期的动态扰动跟踪效果，通过滑模控制使系统状态从超平面之外向切换超平面收束，系统一旦到达切换超平面，控制作用将保证系统沿切换超平面到达系统平衡状态。赵兴强等^[15]设计了一种机械臂自适应神经网络滑模控制器，有效地抑制了逼近误差及外部扰动。此外，也有诸多学者针对控制器的参数优化问题开展了研究^[16-20]。凤丽洲等^[21]提出了一种双重驱动的果蝇优化算法（fruit fly optimization algorithm, FOA），并将其应用于PID（proportional-integral-derivative，比例-积分-微分）控制器的优化，提高了PID控制器的响应速度和稳定性。赵晓军等^[22]利用FOA对PID控制器进行了优化，并与利用遗传算法优化的PID控制器进行对比，验证了经FOA优化的PID控制器具有较快的收敛速度。相较于其他群智能算法，FOA实现简单且收敛速度较快，适用于结合扩张状态观测器与自适应滑模控制器的控制系统的优化，不会引入复杂的参数来影响稳定性，具有较高的实用性。

针对部分工况下塔机负载摆角直接测量困难、系统滑模控制器抖振明显、控制器参数调节复杂等问题，笔者提出一种基于改进FOA（improved FOA, IMFOA）的塔机自适应滑模控制方法。首先，建立塔机单摆系统的动力学模型，研究其在作变幅运动时负载的摆动控制。然后，设计用于观测负载摆动状态的线性扩张状态观测器，并将其估计值反馈到自适应滑模控制器中；对自适应滑模控制器的滑模面进行重新构造，以减小抖振。接着，对FOA的寻优策略及搜索半径进行动态调整与改进，并将其应用于自适应滑模控制器的参数优化，以提升控制器的控制效果。最后，通过仿真和实验来验证所设计扩张状态观测器的跟踪观测效果以及优化后自适应滑模控制器的防摆效果。

1 塔机单摆系统的动力学模型

构建塔机单摆系统的动力学模型，寻求驱动力与负载摆角间的耦合关系，以将负载的摆动控制转化为对变幅小车的运动控制。塔机单摆系统的简化模型如图1所示。图中：坐标系原点位于塔机机身与平衡臂、起重臂的交点中心处；M和m分别为变幅小车和负载的质量； $F_{x}$ 为变幅小车在臂架上沿变幅运动方向（ $X$ 方向）运动时的驱动力； $x$ 和 $l$ 分别为变幅小车的变幅距离和绳索的长度； $θ_{1}$ 为塔机在作变幅运动时的负载摆角。

图1

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图1 塔机单摆系统简化模型

Fig.1 Simplified model of tower crane single pendulum system

运用拉格朗日方程建立塔机单摆系统的动力学模型。考虑到塔机的实际工况，建立模型前作如下假设。

假设1：由于受到重力的影响，在实际应用中负载总是保持在臂架下方工作，故摆角 $θ_{1}$ 始终满足 $|θ_{1}| \leq \frac{π}{2}$ ^[23]。

假设2：当负载接近平衡状态时，可认为 $c o s θ_{1} = 1$ ， $s i n θ_{1} = 0$ 。

根据图1，塔机单摆系统的动能T和势能P可分别表示为：

\begin{array}{l} T = \frac{1}{2} M v_{M}^{2} + \frac{1}{2} m v_{m}^{2} = \\ \frac{1}{2} M ({\dot{x}}_{M}^{2} + {\dot{y}}_{M}^{2}) + \frac{1}{2} m ({\dot{x}}_{m}^{2} + {\dot{y}}_{m}^{2}) = \\ \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} (M + m) + \frac{1}{2} m (2 \dot{x} l {\dot{θ}}_{1} c o s θ_{1} + l^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2}) \end{array}

P = - m g l c o s θ_{1}

其中：

{\dot{x}}_{M} = \dot{x}

{\dot{y}}_{M} = 0

{\dot{x}}_{m} = \dot{x} + \dot{l} s i n θ_{1} + l {\dot{θ}}_{1} c o s θ_{1}

{\dot{y}}_{m} = - \dot{l} c o s θ_{1} + l {\dot{θ}}_{1} s i n θ_{1}

式中：v_M和v_m分别为变幅小车和负载的速度；x_M、y_M和x_m、y_m分别为变幅小车和负载的位置。

由此可得，塔机单摆系统的拉格朗日算子L为：

\begin{array}{l} L = T - P = \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} (M + m) + \\ \frac{1}{2} m (l^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} + 2 \dot{x} l {\dot{θ}}_{1} c o s θ_{1}) + m g l c o s θ_{1} \end{array}

根据式(3)，可得：

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}) - \frac{\partial L}{\partial x} = F_{x} - F_{f x}

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{θ}}_{1}}) - \frac{\partial L}{\partial θ_{1}} = 0

式中：F_fx 为塔机作变幅运动时变幅小车受到的摩擦阻力。

根据文献[24]，令 $F = F_{x} - F_{f x}$ ， $F_{f x} = f_{1} t a n h (\dot{x} / ε_{x}) +$ $f_{2} |\dot{x}| \dot{x}$ （f₁、f₂和 $ε_{x}$ 为变幅方向上待确定的摩擦相关参数），得到在绳长不变的变幅工况下塔机单摆系统的动力学方程：

(M + m) \ddot{x} + m l {\ddot{θ}}_{1} c o s θ_{1} - m l {\dot{θ}}_{1}^{2} s i n θ_{1} = F

l {\ddot{θ}}_{1} + \ddot{x} c o s θ_{1} + g s i n θ_{1} = 0

由于塔机单摆系统的动力学方程具有复杂非线性，直接对其进行分析会引入过多参数，故本文对其非线性部分进行线性化处理。根据实际情况，视负载处于平衡位置时为静止状态，即 $θ_{1} = 0 °$ ， $s i n θ_{1} = θ_{1}$ ， $c o s θ_{1} = 1$ 。经线性化处理后，将上述塔机单摆系统的动力学方程转换成状态空间形式，可得：

\ddot{x} = \frac{m g}{M} θ_{1} + \frac{1}{M} F

{\ddot{θ}}_{1} = - \frac{(M + m) g}{M l} θ_{1} - \frac{1}{M l} F

2 塔机防摆控制器设计

2.1　线性扩张状态观测器

针对部分工况下塔机负载摆角难以直接测量的问题，设计了一种线性扩张状态观测器，用于观测估计负载摆动状态，并将其反馈至自适应滑模控制器中，实现变幅小车的精确定位与负载防摆。

令 $θ_{1} = α_{1}$ ，对式(7)进行扩张，可得：

\{\begin{array}{l} {\dot{α}}_{1} = α_{2} \\ {\dot{α}}_{2} = - \frac{(M + m) g}{M l} α_{1} - \frac{1}{M l} F \end{array}

(8)

将式(8)写成矩阵形式：

\{\begin{array}{l} \dot{α} = A α + B F \\ y = C α \end{array}

(9)

其中：

\dot{α} = [\begin{matrix} {\dot{α}}_{1} \\ {\dot{α}}_{2} \end{matrix}]

，

α = [\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \end{matrix}]

，

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ ϖ & 0 \end{matrix}]

，

B = [\begin{matrix} 0 \\ - \frac{1}{M l} \end{matrix}]

C = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

，

ϖ = - \frac{(M + m) g}{M l}

根据式(9)，设计线性扩张状态观测器：

\{\begin{array}{l} \dot{z} = A z + B F + L (y - \hat{y}) \\ \hat{y} = C z \end{array}

(10)

式中： z 为状态 $α$ 的估计值， $z = {[\begin{matrix} z_{1} & z_{2} \end{matrix}]}^{T}$ ； $y$ 为负载摆角输出； $\hat{y}$ 为摆角输出 $y$ 的估计值； L 为观测增益向量， $L = {[\begin{matrix} 3 ω_{0} & 3 ω_{0}^{2} \end{matrix}]}^{T}$ ，其中 $ω_{0}$ 为线性扩张状态观测器的带宽。

定义 e 为 $α$ 的观测误差， $e = {[\begin{matrix} e_{1} & e_{2} \end{matrix}]}^{T}$ ，其中 $e_{1} = α_{1} - z_{1}$ ， $e_{2} = α_{2} - z_{2}$ ，由式(9)和式(10)可得观测误差方程：

[\begin{matrix} {\dot{e}}_{1} \\ {\dot{e}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 3 ω_{0} & 1 \\ - 3 ω_{0}^{2} + ϖ & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix}]

(11)

令 $W_{1} = e_{1}$ ， $W_{2} = - 3 ω_{0} e_{1} + e_{2}$ ，则式(11)可表示为：

\{\begin{array}{l} {\dot{W}}_{1} = W_{2} \\ {\dot{W}}_{2} = - 3 ω_{0}^{2} W_{1} - 3 ω_{0} W_{2} \end{array}

(12)

令 $a = 3 ω_{0}$ ， $b = 3 ω_{0}^{2}$ ，即 ${\dot{W}}_{2} = - b W_{1} - a W_{2}$ ，则式(12)的特征方程为： $a λ^{2} + b λ = 0$ （λ为特征根）。由Hurwitz定理可知，特征方程的根具有负实部的充要条件为^[25]： $a > 0$ ， $b > 0$ 。

根据巴尔巴辛公式，可得观测误差方程的Lyapunov函数 $V$ ：

V = \frac{1}{2} b W_{2}^{2} + \frac{1}{2} {(a W_{1} + W_{2})}^{2}

根据 $a > 0$ ， $b > 0$ ，可得：

V = \frac{1}{2} b W_{2}^{2} + \frac{1}{2} {(a W_{1} + W_{2})}^{2} \geq 0

对Lyapunov函数 $V$ 求导，并将式(12)代入可得：

V = - b^{2} W_{1} W_{2} - a b W_{2}^{2} - a b W_{1}^{2} - b W_{1} W_{2}

由此可知， $V$ 正定， $\dot{V} < 0$ ，则线性扩张状态观测器在 $e_{1} = 0 、 e_{2} = 0$ 条件下渐进稳定。

2.2　自适应滑模控制器

定义塔机单摆系统误差的线性滑模面s为：

s = \dot{x} + γ_{1} e_{x} + γ_{2} {\dot{θ}}_{1} + γ_{3} θ_{1}

(13)

式中： $γ_{1} 、 γ_{2} 和 γ_{3}$ 为待整定系数；e_x 为位置误差， $e_{x} = x - x_{p}$ ，其中 $x_{p}$ 为变幅小车的目标位置。

对滑模面 $s$ 求导，可得：

\dot{s} = \ddot{x} + γ_{1} \dot{x} + γ_{2} {\ddot{θ}}_{1} + γ_{3} {\dot{θ}}_{1}

(14)

将式(6)和式(7)代入式(14)，可得：

\dot{s} = γ_{1} \dot{x} + [\frac{m g}{M} - \frac{γ_{2} (M + m)}{M l}] θ_{1} + γ_{3} {\dot{θ}}_{1} + \frac{l - γ_{2}}{M l} F

(15)

令 $\dot{s} = 0$ ，则可求得等效驱动力F_eq：

F_{e q} = \frac{M l}{γ_{2} - l} \{γ_{1} \dot{x} + [\frac{m g}{M} - \frac{γ_{2} (M + m) g}{M l}] θ_{1} + γ_{3} {\dot{θ}}_{1}\}

(16)

在式(16)中加入基于滑模面 $s$ 的双曲正切函数 $ζ t a n h (s)$ （常数ζ为运动点趋近滑模面的速率），则滑模控制律可更新为：

\begin{array}{l} F_{x s} = \frac{M l}{γ_{2} - l} \{γ_{1} \dot{x} + [\frac{m g}{M} - \frac{γ_{2} (M + m) g}{M l}] θ_{1} + \\ γ_{3} {\dot{θ}}_{1} + ζ \overset{}{\underset{}{t a n h}} (s)\} \end{array}

(17)

式中：F_x_s为滑模控制器输出的驱动力。

采用的双曲正切函数 $ζ t a n h (s)$ 属于连续函数，其在一定程度上可减小采用不连续符号函数引起的系统抖振，使滑模控制器得到修正。为了进一步抑制滑模控制系统的抖振，提高系统的抗干扰性能，引入自适应控制设计。

定义变幅小车位移输出的估计值：

{\hat{y}}_{x} = - Γ_{x} η_{x}^{T} \dot{x}

(18)

其中：

\begin{matrix} η_{x} ≜ {[t a n h (\frac{\dot{x}}{ε_{x}}) |\dot{x}| \dot{x}]}^{T} \\ y_{x} ≜ {[f_{1} f_{2}]}^{T} \end{matrix}

式中： $y_{x}$ 为变幅小车的位移输出； ${\hat{y}}_{x}$ 为位移输出 $y_{x}$ 的估计值； $Γ_{x}$ 为正定对角矩阵， $Γ_{x} \in R_{2 \times 2}$ 。

为了提高塔机系统的暂态性能，提出如下自适应控制律：

F_{x n} = - ε_{0} s + η_{x}^{T} {\hat{y}}_{x}

(19)

其中：

\begin{matrix} ε_{0} = (1 + 1 / |{\tilde{θ}}_{1} - λ|) e^{- |s|} \\ {\tilde{θ}}_{1} = θ_{1 o} - θ_{1} \end{matrix}

式中：F_x_n为自适应控制器输出的驱动力； $θ_{1 o}$ 为负载摆角的目标值； ${\tilde{θ}}_{1}$ 为负载摆角的误差。

自适应控制律能够实现相应的参数更新率递推，简化了控制器的设计步骤，结合式(17)与式(19)，塔机防摆控制器可设计为：

F = F_{x n} + F_{x s}

(20)

综上，塔机防摆控制系统的总体结构框图如图2所示。

图2

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图2 塔机防摆控制系统总体结构框图

Fig.2 Overall structure diagram of tower crane anti-swing control system

3 基于IMFOA的塔机防摆控制器参数优化

FOA通过模拟果蝇种群的觅食行为来获得全局最优参数，其计算复杂性低且参数依赖性弱^[26]，故适用于参数优化。FOA的寻优原理如图3所示。

图3

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图3 FOA寻优原理

Fig.3 FOA optimization principle

传统FOA寻优的主要步骤如下：

步骤1 初始化果蝇种群的相关参数。果蝇个体i在利用嗅觉搜索食物时，其位置X_i 、Y_i 为：

\{\begin{matrix} X_{i} = X_{a x i s} + R_{d o m} \\ Y_{i} = Y_{a x i s} + R_{d o m} \end{matrix}

式中：X_axis、Y_axis为果蝇群体随机初始化位置；R_dom为果蝇个体的随机搜索距离。

步骤2 获取果蝇个体所在位置的味道浓度 $S_{s m e l l}$ ：

S_{s m e l l} = f i t n e s s (S_{i})

式中： $S_{i}$ 为果蝇个体味道浓度判定值；fitness()为味道浓度判断函数。

步骤3 种群中其他果蝇利用视觉飞向当前最优味道浓度S_best对应的果蝇个体位置，在位置更新后会形成新的果蝇种群中心。经过不断的迭代寻优，获得最优参数。

通过对比发现，标准FOA的多种改进方法着重强调个体之间的竞争，而忽略了种群协作的重要性。因此，本文对FOA的寻优策略实施动态调整：使2/3的果蝇沿原进化方向搜索，而其余果蝇以弧形曲线沿进化方向边缘环绕搜索，以此在丰富搜索路径多样性的同时加快寻优速度。通过判断果蝇个体位置与搜索方向矢量的直线距离的大小，同时考虑全局与局部间的协调因素来确定果蝇个体的新位置，可表示为：

\{\begin{matrix} X_{i + 1} = μ r d o m (*) + R φ \frac{π}{180}, X_{i} \geq λ_{i} \\ Y_{i + 1} = μ r d o m (*) + R φ \frac{π}{180}, Y_{i} \geq λ_{i} \end{matrix}

其中：

R = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt[]{X_{i}^{2} + Y_{i}^{2}}

式中： $λ_{i}$ 为果蝇个体位置到搜索方向矢量的直线距离； $r d o m (*)$ 为搜索区间内随机数；R为搜索半径； $μ$ 为全局-局部协调因子（常数），其数值与搜索能力成正比； $φ$ 为相邻果蝇个体的方向矢量夹角。

此外，针对搜索半径随机性较大的问题，本文根据平均味道浓度来改变种群中1/3果蝇以弧形曲线进行边缘环绕的固定搜索半径，即确定新的搜索半径，以明确果蝇个体间的分工，增大个体搜索范围的差异性，扩大群体搜索范围的多样性。

IMFOA中新搜索半径的计算式如下：

\{\begin{array}{l} R_{m i n} = R S_{s m o} \\ R_{1} = (1 - \frac{t}{T}) S_{s m l, i} \sqrt[]{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i + 1} - X_{i})}^{2}} \\ R_{m a x} = \frac{1}{T} S_{b e s t} \end{array}

式中：R_min、R₁、R_max分别为最小搜索半径、当前搜索半径和最大搜索半径；S_smo、S_sml,_i 为初始种群平均味道浓度和当前味道浓度；t和T为当前迭代次数和最大迭代次数。

以上通过对标准FOA寻优策略及搜索半径进行优化，旨在提高算法的寻优速度和精度，尽可能地避免FOA易陷入局部最优解的典型缺陷，合理分散个体竞争以增强种群协作，划清分工，提高个体逃逸能力与局部开发能力，拓展新的进化路线。

4 塔机防摆控制器控制效果分析

4.1　线性扩张状态观测器的跟踪观测仿真

为验证所设计的线性扩张状态观测器的跟踪观测效果，利用MATLAB/Simulink软件进行仿真分析。第1组塔机单摆系统的参数选取如下：M=8 kg，m=6 kg，l=3 m。第1组参数下线性扩张状态观测器跟踪观测负载摆角的跟踪速度与跟踪误差如图4所示。由图4可知，所设计的线性扩张状态观测器可以较快的速度进行跟踪，跟踪误差在2 s内快速收敛至0º附近，2 s之后跟踪相对误差小于0.7%。

图4

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图4 第1组线性扩张状态观测器跟踪观测仿真结果

Fig.4 The first group of linear extended state observer tracking observation simulation results

为了分析塔机单摆系统参数对线性扩张状态观测器跟踪观测效果的影响，开展第2组仿真，单摆系统的参数选取如下：M=6 kg，m=4 kg，l=5 m。第2组参数下线性扩张状态观测器跟踪观测负载摆角的跟踪速度与跟踪误差如图5所示。由图5可知，当变幅小车和负载的质量、绳索长度发生改变时，由于跟踪速度减慢，使得跟踪精度提高，跟踪误差的收敛速度变快，虽然在收敛至0º附近时出现了周期性震荡，但是整体上相对误差仍保持在1.3%以内，表明所设计的线性扩张状态观测器在系统参数变化时依然能保持较快的跟踪速度和较高的跟踪精度。

图5

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图5 第2组线性扩张状态观测器跟踪观测仿真结果

Fig.5 The second group of linear extended state observer tracking observation simulation results

4.2　自适应滑模控制器的防摆控制效果分析

为进一步验证参数经IMFOA充分优化后的自适应滑模控制器的控制效果，选取参数未优化、经FOA优化和经IMFOA优化三种情况，开展塔机防摆控制仿真分析，并对不同情况下的控制效果进行对比。相关参数选取如下：M=8 kg，m=6 kg，l=3 m，g=9.8 m/s²， $λ = 0.5$ ， $ε_{x} = - 0.01$ ， $γ_{1} = 0.54$ ， $γ_{2} = 0.62$ ， $γ_{3} = - 2.65$ ；变幅小车的目标位置 $x_{p} = 1 m$ 。不同情况下自适应滑模控制器控制效果的仿真结果对比如图6所示，其控制性能对比如表1所示。表中：小车到达位置用时代表塔机在实际工作时将货物运送至目标位置所用的时间；负载的最大摆角代表货物在运输过程中因启动制动等而引起的最大摆动角度；负载残余摆角及其收敛用时代表塔机运输货物时在摆动得到有效抑制后因惯性作用而产生的负载摆角及其基本恢复平衡状态所需的时间。

图6

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图6 优化前后自适应滑模控制器控制效果的仿真结果对比

Fig.6 Comparison of control effect simulation results of adaptive sliding mode controller before and after optimization

表1 优化前后自适应滑模控制器的控制性能对比

Table 1 Comparison of control performance of adaptive sliding mode controller before and after optimization

性能参数	优化前	优化后
性能参数	优化前	FOA	IMFOA
小车到达位置/m	1.10	1.09	1.08
小车到达位置用时/s	7.36	6.47	5.50
负载最大摆角/( $°$ )	1.50	1.00	0.82
负载残余摆角/( $°$ )	0.08	0.05	0.02
残余摆角收敛用时/s	1.12	0.90	0.59

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根据图6和表1，在滑模面重构后，所设计的自适应滑模控制器即使未优化参数，其也能在短时间内抑制负载的摆动，但经IMFOA优化后，该控制器对负载摆动的抑制效果显著提升，且加快了负载残余摆角的收敛速度；与此同时，变幅小车到达目标位置的精度得到提升且无明显超调。由此可见，IMFOA的寻优能力良好，对自适应滑模控制器参数的优化具有较好的适用性。从解决工程实际问题角度看，防摆控制器的应用有效降低了塔机运输中负载的摆动程度，缩短了摆动的持续时间，使得塔机运输安全性得到保障，运输效率得到一定程度的提高。

为了验证仿真分析的准确性，在实验室内利用同比缩小的塔机模型开展实验验证。首先，通过MATLAB/Simulink软件对控制板进行编译生成代码，设置采样周期为0.005 s；然后，通过串口记录控制板输出数据。控制板通过数/模转换器向电机驱动器发送设计电压信号以驱动电机，相应电压信号通过模/数转换器传回控制板。自适应滑模控制器控制效果的实验结果如图7所示。对比图6和图7可知，由于外界环境干扰因素的存在，实验结果与仿真结果存在一定误差，但两者的相对误差保持在3.2 %以内，验证了仿真结果的准确性。后续通过仿真来对不同工况下自适应滑模控制器的其他控制性能进行分析。

图7

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图7 优化前后自适应滑模控制器控制效果的实验结果对比

Fig.7 Comparison of control effect experimental results of adaptive sliding mode controller before and after optimization

为了验证参数经IMFOA充分优化后自适应滑模控制器的鲁棒性，设计了3组仿真分析：1）负载质量改变；2）绳索长度改变；3）负载初始摆角改变。不同工况下自适应滑模控制器的控制效果如图8所示。由图可知，在负载质量增大、绳索长度变长和负载初始摆角变大的情况下，负载摆角峰值虽增大，但仍保持在1.5 $°$ 左右，且残余摆角在5 s内已经收敛至0 $°$ 附近；当负载质量较小、绳索长度较短、负载初始摆角接近0 $°$ 时，负载摆角峰值控制在0.5 $°$ 以内。由此说明，参数经IMFOA充分优化后的自适应滑模控制器具有较好的鲁棒性。

图8

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图8 不同工况下自适应滑模控制器的控制效果对比

Fig.8 Comparison of control effects of adaptive sliding mode controller under different working conditions

为了验证参数经IMFOA充分优化的自适应滑模控制器的抗干扰性，在不改变任何参数的情况下，仅在摆动过程中和摆动停止后分别施加不同干扰信号并进行抗干扰性能仿真分析，结果如图9所示。由图9可以看出，5 s后负载摆角基本收敛至0 $°$ 附近；在第6秒，第11秒和第16秒时施加正弦扰动后，负载摆角幅值小范围波动后快速平稳。当负载摆角完全收敛至0 $°$ 后，分别施加了3次脉冲扰动，波动值小于 $2 °$ ，且快速平稳。结果表明，本文所设计的自适应滑模控制器具有良好的抗干扰性能和鲁棒性，且在负载质量、绳索长度以及负载初始摆角改变的条件下均具有良好的控制效果，适用于塔机单摆系统的复杂工况。

图9

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图9 干扰条件下自适应滑模控制器的控制效果

Fig.9 Control effect of adaptive sliding mode controller under interference condition

5 结论

针对塔机负载摆角难以直接测量、系统滑模控制器抖振明显和控制器参数调节复杂等问题，设计了线性扩张状态观测器，并将观测结果反馈至自适应滑模控制器中进行状态跟踪。根据塔机单摆系统的特点，重新构造线性滑模面，并结合自适应控制算法减小滑模控制器的抖振。对标准FOA的寻优策略及搜索半径进行了改进，增强了其寻优能力及搜索速度，并运用IMFOA对自适应滑模控制器进行参数优化。结果表明，所设计的线性扩张状态观测器的跟踪误差小于1.3%；相较于优化前，参数经FOA优化的自适应滑模控制器的控制性能得到了提高，可以有效抑制塔机负载摆动，且其具有较好的快速性、抗干扰性和鲁棒性。

未来，将开展更加贴合实际的非线性塔机防摆控制的深入研究，并制作实验样机进行更全面的实验验证。

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... 塔机（塔式起重机）多应用于高层建筑施工现场的材料运输.由于施工现场复杂因素的影响，塔机的负载常常会出现摆动现象，使得其运输安全性受到威胁^[1-2].此外，塔机的智能化、自动化等问题也越来越受关注^[3]. ...

基于滑模自抗扰控制的变绳长塔机防摆控制

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Adaptive sway reduction for tower crane systems with varying cable lengths

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Variable coefficient active disturbance rejection control for crane system

2019

... 塔机的工作环境复杂，部分工况下负载摆角难以直接测量，且外部干扰因素较多，导致其定位防摆难度增大.由于塔机系统的欠驱动性，使得其控制问题较为复杂，许多学者对此开展了大量研究^[4-9].Liu等^[10]设计了一种非线性滑模跟踪控制器，其能在快速消除跟踪误差的同时抑制塔机负载摆动，具有良好的跟踪性能和摆动抑制效果.Wu等^[11]提出了一种基于

H_{\infty}

的自适应模糊控制方法，该方法融合了一种变结构技术方案，可补偿外部干扰对跟踪误差的影响，有效地减小了塔机负载的摆动.Sun等^[12]提出了一种改进的反馈控制器，通过构造积分项来补偿稳态误差，并对其防摆效果进行了实验验证.由此可见，消除跟踪误差是塔机防摆控制中的重要环节.针对非线性动力学系统模型内部参数的不确定性和外部未知状态对控制效果的干扰，可利用状态观测器来估计干扰，进而对干扰进行补偿.肖仁等^[13]在机械臂的轨迹跟踪控制中，利用固定时间观测器对外部扰动及关节状态进行观测估计，并将其反馈至自适应滑模控制器以进行跟踪控制，有效地抑制了机械臂系统的抖振.Xiao等^[14]利用一种线性状态观测器实现了机械臂的轨迹跟踪，但是由于线性观测器的固有约束，跟踪效果并不十分理想.扩张状态观测器可拓展应用至估计系统的总扰动，将其用于控制器前馈补偿能够解决控制器过度依赖高增益反馈的问题.将扩张状态观测器与滑模控制相结合，可实现预期的动态扰动跟踪效果，通过滑模控制使系统状态从超平面之外向切换超平面收束，系统一旦到达切换超平面，控制作用将保证系统沿切换超平面到达系统平衡状态.赵兴强等^[15]设计了一种机械臂自适应神经网络滑模控制器，有效地抑制了逼近误差及外部扰动.此外，也有诸多学者针对控制器的参数优化问题开展了研究^[16-20].凤丽洲等^[21]提出了一种双重驱动的果蝇优化算法（fruit fly optimization algorithm, FOA），并将其应用于PID（proportional-integral-derivative，比例-积分-微分）控制器的优化，提高了PID控制器的响应速度和稳定性.赵晓军等^[22]利用FOA对PID控制器进行了优化，并与利用遗传算法优化的PID控制器进行对比，验证了经FOA优化的PID控制器具有较快的收敛速度.相较于其他群智能算法，FOA实现简单且收敛速度较快，适用于结合扩张状态观测器与自适应滑模控制器的控制系统的优化，不会引入复杂的参数来影响稳定性，具有较高的实用性. ...

Digital twin： stability analysis for tower crane hoisting safety with a scale model

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... 假设1：由于受到重力的影响，在实际应用中负载总是保持在臂架下方工作，故摆角

θ_{1}

始终满足

|θ_{1}| \leq \frac{π}{2}

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... 根据文献[24]，令

F = F_{x} - F_{f x}

，

F_{f x} = f_{1} t a n h (\dot{x} / ε_{x}) +

f_{2} |\dot{x}| \dot{x}

（f₁、f₂和

ε_{x}

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基于Hurwicz的概率不确定的灰色随机多准则决策方法

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... 令

a = 3 ω_{0}

，

b = 3 ω_{0}^{2}

，即

{\dot{W}}_{2} = - b W_{1} - a W_{2}

，则式(12)的特征方程为：

a λ^{2} + b λ = 0

（λ为特征根）.由Hurwitz定理可知，特征方程的根具有负实部的充要条件为^[25]：

a > 0

，

b > 0

. ...

基于Hurwicz的概率不确定的灰色随机多准则决策方法

2015

... 令

a = 3 ω_{0}

，

b = 3 ω_{0}^{2}

，即

{\dot{W}}_{2} = - b W_{1} - a W_{2}

，则式(12)的特征方程为：

a λ^{2} + b λ = 0

（λ为特征根）.由Hurwitz定理可知，特征方程的根具有负实部的充要条件为^[25]：

a > 0

，

b > 0

. ...

DSLC-FOA： improved fruit fly optimization algorithm for application to structural engineering design optimization problems

2018

... FOA通过模拟果蝇种群的觅食行为来获得全局最优参数，其计算复杂性低且参数依赖性弱^[26]，故适用于参数优化.FOA的寻优原理如图3所示. ...

〈

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