汽车带来的诸如道路拥堵、事故频发、能源消耗及环境污染等问题成为制约汽车工业可持续发展的瓶颈^[1]. 智能网联汽车作为未来道路交通系统的重要发展方向，因可通过队列行驶显著提升交通效率而受到广泛关注^[2]. 学者围绕车辆队列的建模、控制、稳定性等问题开展大量研究，取得了一系列成果^[3].

针对车辆队列稳定性控制问题，宋家成等^[4]提出基于数据驱动的鲁棒自适应巡航控制算法，保证了车辆的跟踪精度和鲁棒性能. 针对车辆外部扰动问题，Zhu等^[5-6]提出自适应协同队列控制算法. 由上述文献可知，队列控制器的设计依赖于传感器输出的精确车辆状态. 考虑传感器量测过程往往伴随着扰动和噪声，Vargas等^[7]研究了加性噪声下车辆队列的链式稳定性问题. Liu等^[8]通过Riccati方程求解系统矩阵与噪声方差的关系，推导了外部扰动下车辆队列一致性稳定的充要条件. 在车辆队列实际行驶过程中，受传感器成本和数据采集精度的限制，车辆的部分状态信息（如速度、加速度）往往不易准确获取^[9]，增加了控制器的设计难度. 输出反馈作为仅利用输出信息对控制器进行设计的方法，为部分状态信息未知的车辆队列控制提供了新思路^[10]. 如Jiang等^[11]仅用领航车辆的相对输出信息来实现巡航控制. Wang等^[12]针对模型存在未知扰动和不确定性的问题，提出基于分布式输出反馈的车辆队列协同控制算法. 行驶中的车辆队列多采用周期性连续采样的时间触发机制进行状态的测量与更新，给带宽有限的车载网络信道带来沉重负担. 对于稳定行驶的车辆队列，周期性采样将使大量无用的重复信息散布在有限信道中，造成通信网络的冗余和计算资源的浪费^[13]. 不同于时间触发机制，事件触发机制仅在违背触发条件时执行控制任务，能够有效降低控制任务执行数量并节约通信资源^[14]. Yang等^[15]提出基于相对控制输入的事件触发机制，用于减少控制器到执行器的通信传输数据. Kang等^[16]根据状态波动引起的控制输入变化设计事件触发策略，仅当系统状态变化足够大时进行传感器信息传输. 静态事件触发机制阈值固定，灵活性低. 自适应触发机制引入时变参数，根据系统状态在一定范围内对触发阈值进行动态调整^[17]. Shi等^[18]通过预设自适应最大阈值建立自适应事件触发机制，有效减少了控制信号的传输次数. Wang等^[19]基于车辆状态变化设置触发条件，避免了车辆间的无效数据传输. 此外，动态触发机制通过在触发条件中引入非负的动态变量，使平均触发间隔时间延长，可进一步减少通信资源消耗^[20]. 如Wang等^[21]提出动态事件触发鲁棒控制方法，降低了多车辆协同过程中的通信资源消耗. 事件触发机制虽然能够节省通信资源，但是造成了控制性能下降^[22]. 在触发间隙，若参考信号发生突变，车辆队列可能会错过关系系统性能的重要量测信息，导致控制性能下降甚至失稳^[23]. 如何综合时间触发和事件触发的优势，在保证控制性能的同时有效节约通信资源，是值得深入研究的问题. Liu等^[24-25]针对网络攻击下控制系统的稳定性问题，设计时间-事件混合触发机制，使得系统在保证控制性能的同时有效节省了通信资源. 上述混合触发机制假设切换变量服从伯努利（Bernoulli）分布，无法根据系统当前状态进行自适应切换，难以满足车辆队列的实际行车需求.

本文研究传感器与通信资源受限下的车辆队列控制问题. 通过构造状态观测器，仅利用位置信息实现对车辆状态的估计；提出基于时间-事件混合触发机制的车辆队列输出反馈控制算法. 相较于已有研究，本研究仅基于车辆位置信息可实现车辆队列跟踪控制，有助于降低车辆传感器成本. 此外，单一事件触发机制可能造成系统性能下降，本研究提出的时间-事件混合触发机制能够在保证车辆跟踪性能的前提下显著降低通信资源消耗.

如图1所示，考虑包含1辆领航车和$n$辆跟随车的车辆队列，队列中所有车辆接收领航车辆状态信息并跟随行驶. 车辆$i$的动力学方程^[26]为

(1)$ \left. \begin{gathered} {{\dot x}_i} = {v_i},\; {{\dot v}_i} = {a_i}, \\ {{\dot a}_i} = {f_i}({v_i},{a_i})+{u_i}, \\ {y_i} = {x_i};\; i = 1,2, \cdots ,n. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：${x_i}$、${v_i}$、${a_i}$分别为第$i$辆车的位置、速度和加速度，${u_i}$为第$i$辆车的控制输入，${y_i}$为输出；${f_i}({v_i},{a_i})$为表征车辆动力学的非线性函数，

(2)$ {f_i}({v_i},{a_i}) = - \frac{1}{{{\xi _i}}}\left( {{{\dot v}_i}+\frac{{\rho {S_i}{C_{\text{d}}}}}{{2{m_i}}}v_i^2+\frac{{{F_i}}}{{{m_i}}}} \right) - \frac{{\rho {S_i}{C_{\text{d}}}{v_i}{a_i}}}{{{m_i}}}. $

式中：$\rho $为空气质量密度，${C_{\text{d}}}$为空气阻力系数，${S_i}$为车辆迎风面积，${F_i}$为机械阻力，${\xi _i}$为发动机时间常数，${m_i}$为车身质量. 为了降低系统硬件成本，在实际应用中，车辆的部分状态信息往往难以获得，须仅利用输出信息实现车辆队列的控制. 为了达到控制性能与通信资源的平衡，车辆队列应能在稳定运行状态下采用事件触发机制以有效节约通信资源，在系统状态突变时自动切换到采样更为密集的时间触发方式以保证控制性能. 本研究仅利用位置信息设计${u_i}$，使得1）车辆$i$可跟随给定速度；2）车辆队列闭环系统稳定，所有的控制信号和误差有界. 系统采用时间-事件混合触发的方式运行，相较于时间触发机制更节省通信资源，相较于事件触发机制有更好的控制性能.

引理1^[27] $V(t)$是初值为$V(0)$的连续有界函数，且$V(t) \geqslant 0$. 若存在$a > 0$且$b$为常数，那么$V(t)$有界的条件为

$ \dot V(t) \leqslant aV(t)+b. $

引理2^[28] 对于任意$\varrho \in {{\mathbf{R}}^+}$和$\mu > 0$，均有

$ 0 \leqslant \left| \varrho \right| - \varrho \tanh ( {{\varrho }/{\mu }} ) \leqslant 0.278\;5\mu . $

针对基于时间-事件触发的车辆队列输出反馈控制问题，1）利用车辆输出的位置信息设计状态观测器，对未知的速度和加速度信息进行估计；2）基于估计的状态信息，通过反步法设计控制器保持系统稳定；3）由跟踪误差${\varsigma _i}$决定系统在运行时采用何种触发机制；4）控制信号送至车辆$i$的执行器，完成控制任务. 系统控制原理如图2所示.

针对车辆部分状态信息不可测量的问题，设计观测器对未知状态进行估计. 选取变量${x_i} = {x_{i,1}}$、${v_i} = {x_{i,2}}$、${a_i} = {x_{i,3}}$，构造状态观测器：

(3)$ \left. \begin{gathered} {{\dot {\hat x}}_{i,1}} = {{\hat x}_{i,2}}+{l_1}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}), \\ {{\dot {\hat x}}_{i,2}} = {{\hat x}_{i,3}}+{l_2}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}), \\ {{\dot {\hat x}}_{i,3}} = {u_i}+{f_i}({v_i},{a_i})+{l_3}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：${l_1},{l_2},{l_3}$为状态观测增益，$ {\hat x_{i,j}} $为状态变量$ {x_{i,j}} $的估计值. 定义$ {e_{i,1}} = {x_{i,1}} - {\hat x_{i,1}}、{e_{i,2}} = {x_{i,2}} - {\hat x_{i,2}}、{e_{i,3}} = {x_{i,3}} - {\hat x_{i,3}} $，则观测误差方程为

(4)$ \left. \begin{gathered} {{\dot e}_{i,1}} = {e_{i,2}} - {l_1}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}), \\ {{\dot e}_{i,2}} = {e_{i,3}} - {l_2}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}), \\ {{\dot e}_{i,3}} = - {l_3}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}). \\ \end{gathered} \right\} $

令${{{\boldsymbol{e}}}_i} = {\left[ {{e_{i,1}},{e_{i,2}},{e_{i,3}}} \right]^{\text{T}}}$，将式$(4)$写成矩阵形式：

(5)$ {{\dot {\boldsymbol{e}}}_i} = {{{\boldsymbol{A}}}_i}{{{\boldsymbol{e}}}_i}, \;\; {{{\boldsymbol{A}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {l_1}}&1&0 \\ { - {l_2}}&0&1 \\ { - {l_3}}&0&0 \end{array}} \right] . $

通过选择适当参数，使$ {{{\boldsymbol{A}}}_i} $为赫尔维兹矩阵，则存在正定矩阵${{{\boldsymbol{P}}}_i} = {{\boldsymbol{P}}}_i^{\text{T}} > {\mathbf{0}}$，满足${{\boldsymbol{A}}}_i^{\text{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}+{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{{\boldsymbol{A}}}_i} = - {{{\boldsymbol{Q}}}_i}$（其中，${{{\boldsymbol{Q}}}_i} = {{\boldsymbol{Q}}}_i^{\text{T}} > {\mathbf{0}}$）. 选择李雅普诺夫函数

(6)$ {V_{i,e}} = {{\boldsymbol{e}}}_i^{\text{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{{\boldsymbol{e}}}_i}. $

式中：${{{\boldsymbol{P}}}_i} = {{\boldsymbol{P}}}_i^{\text{T}} \in {{\mathbf{R}}^{3 \times 3}} > {\mathbf{0}}$为正定矩阵. 对式(6)求时间导数，并将式(5)代入，得到

(7)$ \begin{split} {{\dot V}_{i,e}} & = {\dot {\boldsymbol{e}}}_i^{\text{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{{\boldsymbol{e}}}_i}+{{\boldsymbol{e}}}_i^{\text{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{{\dot {\boldsymbol{e}}}}_i} = {{\boldsymbol{e}}}_i^{\text{T}}({{\boldsymbol{A}}}_i^{\text{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}+{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{{\boldsymbol{A}}}_i}){{{\boldsymbol{e}}}_i} =\\ & - {{\boldsymbol{e}}}_i^{\text{T}}{{{\boldsymbol{Q}}}_i}{{{\boldsymbol{e}}}_i} \leqslant - {\lambda _{\min }}({{{\boldsymbol{Q}}}_i}){\left\| {{{{\boldsymbol{e}}}_i}} \right\|^2}. \end{split} $

其中${{{\boldsymbol{Q}}}_i} = - ({{\boldsymbol{A}}}_i^{\text{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}+{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{{\boldsymbol{A}}}_i})$，$ {\lambda _{\min }}({{{\boldsymbol{Q}}}_i}) $为矩阵${{{\boldsymbol{Q}}}_i}$的最小特征值. 通过选择适当参数，使矩阵${{{\boldsymbol{A}}}_i}$为赫尔维兹矩阵，则存在${{{\boldsymbol{P}}}_i} > {\mathbf{0}}$使得${{{\boldsymbol{Q}}}_i} = {{\boldsymbol{Q}}}_i^{\text{T}} > {\mathbf{0}}$成立.

注1　由式(6)和式(7)可知，${V_{i,e}}$正定且${\dot V_{i,e}}$半负定，因此状态观测器式(3)的估计误差趋近于零.

为了节省通信资源并保证控制性能，设计基于跟踪误差的时间-事件混合触发机制. 定义参数$ {\varsigma _i} = \left| {{z_{i,1}}} \right|+\left| {{z_{i,2}}} \right|+\left| {{z_{i,3}}} \right| $，其中$ {z_{i,j}} $为状态误差. 假设常数$ {\zeta _i} $为设定的阈值，当${\varsigma _i}$超过阈值时，系统采用时间触发机制以保证较高的控制精度；当${\varsigma _i}$小于阈值时，系统采用事件触发机制以节省系统资源. 分2种情况进行讨论.

情况1 当$ {\varsigma _i} > {\zeta _i} $时，系统跟踪误差大于设定阈值，车辆队列采用时间触发方式进行频繁采样以保证控制性能. 在该情况下，系统的控制输入${u_i}$即为虚拟控制律${\alpha _{i,3}}$.

情况2 当$ {\varsigma _i} \leqslant {\zeta _i} $时，系统跟踪误差在设定阈值之内，车辆队列采用事件触发方式以节约通信资源. 在该情况下，仅当预设的触发条件满足时，控制输入才会更新.

定义

(8)$ {\delta _i}(t) = {\varTheta _i}(t) - {\varTheta _i}({t_k}). $

式中：$ {\varTheta _i}(t) $为系统当前控制信号，$ {\varTheta _i}({t_k}) $为上一触发时刻的控制信号. 设定触发阈值

(9)$ \left| {{\delta _i}(t)} \right| \geqslant \lambda \left| {{\varTheta _i}({t_k})} \right|+\eta . $

式中：$\eta $为给定正数，$\left\{ {{t_k},k \in {{\mathbf{Z}}^+}} \right\}$为第$k$次触发时刻.

(10)$ {t_{k+1}} = \inf \left\{ {t > {t_k}|\left| {{\delta _i}(t)} \right| \geqslant \lambda \left| {{\varTheta _i}({t_k})} \right|+\eta } \right\}. $

在事件触发机制下，输入信号${u_i}(t)$仅在触发时刻才会更新，在触发间隙${u_i}(t)$将保持为$ {\varTheta _i}({t_k}) $，即当$t \in \left[ {{t_k},} \right.\left. {{t_{k+1}}} \right)$时，${u_i}(t) = {\varTheta _i}({t_k})$.

注2　本研究设计的时间-事件混合触发机制根据触发信号$ {\varsigma _i} $的变化确定系统所采用的触发方式. 当${\varsigma _i}$较大时，表明系统的跟踪误差较大，须连续采集车辆的状态信息以进行控制，即采用时间触发方式来保证较好的控制性能；当${\varsigma _i}$较小时，表示车辆队列运行较为稳定，仅需在触发时刻进行控制，采用事件触发机制来节省通信资源.

针对车辆动力学式(1)，采用反步法设计车辆队列控制器，主要步骤如下.

1）定义$ z_{i,1}=\hat{x}_{i,1}-y_{\mathrm{d}} $，其中$ {y_{\mathrm{d}}} $为领航车的位置. 由状态观测器式(3)得到

(11)$ \begin{split} {{\dot z}_{i,1}} = & {{\dot {\hat x}}_{i,1}} - {{\dot y}_{\mathrm{d}}} =\\ & {{\hat x}_{i,2}}+{l_{i,1}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}) - {{\dot y}_{\mathrm{d}}}. \end{split} $

选择李雅普诺夫函数$ {V_{i,1}} = \dfrac{1}{2}z_{i,1}^2 $求导，得到

(12)$ \begin{split}\dot{V}_{i,1} =& z_{i,1}\left[\hat{x}_{i,2}+l_{i,1}(y_i- {\hat x}_{i,1})-\dot{y}_{\mathrm{d}}\right] =\\ & z_{i,1}\left[z_{i,2}+\alpha_{i,1}+l_{i,1}(y_i-{\hat x}_{i,1})-\dot{y}_{\mathrm{d}}\right].\end{split} $

设计虚拟控制律

(13)$ \alpha_{i,1}=-c_{i,1}z_{i,1}-l_{i,1}(y_i-{\hat x}_{i,1})+\dot{y}_{\mathrm{d}}. $

其中${c_{i,1}} > 0$为控制参数. 令${z_{i,2}} = {\hat x_{i,2}} - {\alpha _{i,1}}$，并将${\alpha _{i,1}}$代入式(12)，得到

(14)$ {\dot V_{i,1}} = - {c_{i,1}}z_{i,1}^2+{z_{i,1}}{z_{i,2}}. $

因此，当$ {z_{i,2}} = 0 $时，$ {\dot V_{i,1}} \leqslant 0 $.

2）定义$ {z_{i,2}} = {\hat x_{i,2}} - {\alpha _{i,1}} $，由虚拟控制律$ {\alpha _{i,1}} $得到

(15)$ {{\dot z}_{i,2}} = {{\dot {\hat x}}_{i,2}} - {{\dot \alpha }_{i,1}} = {{\hat x}_{i,3}}+{l_{i,2}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}) - {{\dot \alpha }_{i,1}}, $

(16)$ \dot{\alpha}_{i,1}=-c_{i,1}\dot{z}_{i,1}-l_{i,1}(\dot{y}_i-\dot{\hat x}_{i,1})+\ddot{y}_\mathrm{d}. $

选择李雅普诺夫函数$ {V_{i,2}} = {V_{i,1}}+\dfrac{1}{2}z_{i,2}^2 $求导，得到

(17)$ \begin{split} {{\dot V}_{i,2}} = & {{\dot V}_{i,1}}+{z_{i,2}}\left[ {{{\hat x}_{i,3}}+{l_{i,2}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}) - {{\dot \alpha }_{i,1}}} \right]= \\ & - {c_{i,1}}z_{i,1}^2+{z_{i,1}}{z_{i,2}}+{z_{i,2}}\left[ {{{\hat x}_{i,3}}+{c_{i,1}}{{\dot z}_{i,1}}+} \right. \\ & \left. {{l_{i,2}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}})+{l_{i,1}}({{\dot y}_i} - {{\dot {\hat x}}_{i,1}}) - {{\ddot y}_\mathrm{d}}} \right]. \end{split} $

设计虚拟控制律

(18)$ \begin{split}\alpha_{i,2}= & -c_{i,2}z_{i,2}-z_{i,1}-c_{i,1}\dot{z}_{i,1}+\ddot{y}_{\mathrm{d}}- \\ & l_{i,1}(\dot{y}_i-\dot{\hat x}_{i,1})-l_{i,2}(y_i-{\hat x}_{i,1}).\end{split} $

其中${c_{i,2}} > 0$为控制参数. 令${z_{i,3}} = {\hat x_{i,3}} - {\alpha _{i,2}}$，并将${\alpha _{i,2}}$代入式(17)，得到

(19)$ {\dot V_{i,2}} = - {c_{i,1}}z_{i,1}^2 - {c_{i,2}}z_{i,2}^2+{z_{i,2}}{z_{i,3}}. $

因此，当$ {z_{i,3}} = 0 $时，$ {\dot V_{i,2}} \leqslant 0 $.

3）定义$ {z_{i,3}} = {\hat x_{i,3}} - {\alpha _{i,2}} $，由虚拟控制律$ {\alpha _{i,2}} $得到

(20)$ \begin{split} {{\dot z}_{i,3}} =& {{\dot {\hat x}}_{i,3}} - {{\dot \alpha }_{i,2}} = \\ & {u_i}+{f_i}({v_i},{a_i})+{l_{i,3}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}) - {{\dot \alpha }_{i,2}}, \end{split} $

(21)$ \begin{split} {{\dot \alpha }_{i,2}} = & - {c_{i,2}}{{\dot z}_{i,2}} - {{\dot z}_{i,1}} - {c_{i,1}}{{\ddot z}_{i,1}}+{{\dddot y}_{\rm{d}}} - \\ & {l_{i,1}}({{\ddot y}_i} - {{\ddot {\hat x}}_{i,1}}) - {l_{i,2}}({{\dot y}_i} - {{\dot {\hat x}}_{i,1}}). \end{split} $

选择李雅普诺夫函数$ {V_{i,3}} = {V_{i,2}}+\dfrac{1}{2}z_{i,3}^2 $求导，得到

(22)$ \begin{split} & {{\dot V}_{i,3}} = {{\dot V}_{i,2}}+{z_{i,3}}\left[ {{u_i}+{f_i}({v_i},{a_i})+{l_{i,3}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}) - {{\dot \alpha }_{i,2}}} \right] = \\ &\;\; - {c_{i,1}}z_{i,1}^2 - {c_{i,1}}z_{i,2}^2+{z_{i,2}}{z_{i,3}}+{z_{i,3}}\left[ {({u_i} - {\alpha _{i,3}})} \right.+ \\ & \;\;{\alpha _{i,3}}+{f_i}({v_i},{a_i})+{l_{i,3}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}})+{{\dot z}_{i,1}}+ {c_{i,1}}{{\ddot z}_{i,1}}+\\ &\;\; {c_{i,2}}{{\dot z}_{i,2}}+{l_{i,2}}({{\dot y}_i} - {{\dot {\hat x}}_{i,1}}) - {{\dddot y}_{\rm{d}}}+ \left. {{l_{i,1}}({{\ddot y}_i} - {{\ddot {\hat x}}_{i,1}})} \right]. \end{split} $

设计虚拟控制律

(23)$ \begin{split} {\alpha _{i,3}} =& - {c_{i,3}}{z_{i,3}} - {l_{i,3}}({y_i} - {{\hat x}_{i,1}}) - {f_i}({v_i},{a_i}) - \\ & {{\dot z}_{i,1}} - {c_{i,1}}{{\ddot z}_{i,1}} - {c_{i,2}}{{\dot z}_{i,2}}+{{\dddot y}_{\rm{d}}} - {z_{i,2}} - \\ & {l_{i,1}}({{\ddot y}_i} - {{\ddot {\hat x}}_{i,1}}) - {l_{i,2}}({{\dot y}_i} - {{\dot {\hat x}}_{i,1}}). \end{split} $

其中${c_{i,3}} > 0$为控制参数.

根据本研究设计的时间-事件混合触发机制可知，车辆会根据当前状态自动选择触发方式，因此存在以下2种情况.

情况1 当$ {\varsigma _i} > {\zeta _i} $时，车辆队列采用时间触发机制. 此时，系统的控制输入等于虚拟控制律$ {\alpha _{i,3}} $，即

(24)$ {u_i} = {\alpha _{i,3}}. $

将式(24)代入式(25)，得到

(25)$ {\dot V_{i,3}} = - {c_{i,1}}z_{i,1}^2 - {c_{i,2}}z_{i,2}^2 - {c_{i,3}}z_{i,3}^2. $

情况2 当$ {\varsigma _i} \leqslant {\zeta _i} $时，车辆队列采用事件触发机制. 由事件触发机制可知，当$t \in \left[ {{t_k},} \right.\left. {{t_{k+1}}} \right)$时，$ {u_i}(t) = {\varTheta _i}({t_k}) $，即在触发间隔内，${u_i}(t)$保持${\varTheta _i}({t_k})$不变；在满足事件触发条件时，${u_i}(t) = {\varTheta _i}({t_{k+1}})$.

因此，控制器${\varTheta _i}(t)$表示为

(26)$ {\varTheta _i}({t}) = - (1+\lambda )\left[ {{\alpha _{i,3}}\tanh \left( {\frac{{{z_{i,3}}{\alpha _{i,3}}}}{\mu }} \right)} \right.+\left. {\bar \eta \tanh \left( {\frac{{\bar \eta {z_{i,3}}}}{\mu }} \right)} \right]. $

其中，$ \bar \eta > \dfrac{\eta }{{1 - \lambda }} $和$\mu > 0$均为待设计参数. 根据引理2，将式(26)代入式(22)中的$ {z_{i,3}}({u_i} - {\alpha _{i,3}}) $项，得到

(27)$ \begin{split} z_{i, 3}\left(u_i-\alpha_{i, 3}\right) & =-(1+\lambda)\left[z_{i, 3} \alpha_{i, 3} \tanh \left(\frac{z_{i, 3} \alpha_{i, 3}}{\mu}\right)+\right. \\& \left.z_{i, 3} \bar{\eta} \tanh \left(\frac{z_{i, 3} \bar{\eta}}{\mu}\right)\right]- z_{i, 3} \alpha_{i, 3} \leqslant \\& (1+\lambda)\left[-z_{i, 3} \alpha_{i, 3} \tanh \left(\frac{z_{i, 3} \alpha_{i, 3}}{\mu}\right)-\right. \\& \left.z_{i, 3} \bar{\eta} \tanh \left(\frac{z_{i, 3} \bar{\eta}}{\mu}\right)\right]+ \\& (1+\lambda)\left[\left|z_{i, 3} \alpha_{i, 3}\right|+\left|z_{i, 3} \bar{\eta}\right|\right] \leqslant \\& 0.557(1+\lambda) \mu . \end{split} $

将式(27)代入式(22)得到

(28)$ \begin{split} \dot{V}_{i, 3} & =-c_{i, 1} z_{i, 1}^2-c_{i, 2} z_{i, 2}^2-c_{i, 3} z_{i, 3}^2+z_{i, 3}\left(u_i-\alpha_{i, 3}\right)\leqslant \\& -c_{i, 1} z_{i, 1}^2-c_{i, 2} z_{i, 2}^2-c_{i, 3} z_{i, 3}^2+0.557(1+\lambda) \mu .\end{split} $

至此，完成基于时间-事件触发的车辆队列的控制器设计. 如果设计的控制器可以保证$ {V_{i,3}} $有界，则跟踪误差同样有界.

选择李雅普诺夫函数

(29)$ V(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{V_{i,3}}} . $

对$V(t)$求导

(30)$ \dot V(t) \leqslant - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{c_{i,1}}z_{i,1}^2+{c_{i,2}}z_{i,2}^2+{c_{i,3}}z_{i,3}^2} \right)} +\vartheta \leqslant - a V+\vartheta . $

其中$a = 2\mathop {\min }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \left\{ {{c_{i,1}},{c_{i,2}},{c_{i,3}}} \right\}$. 由式(25)可知，在情况1中，$ \vartheta = 0 $；由式(28)可知，在情况2中，$ \vartheta=0.557(1+\lambda) n \mu $. 在式(30)两边同乘以$ \mathrm{e}^{at} $并积分，得到

(31)$ \int_0^t {{{\mathrm{e}}^{at}}\dot V} {\text{d}}t \leqslant \int_0^t { - a{{\mathrm{e}}^{at}}V} {\text{d}}t+\int_0^t {{{\mathrm{e}}^{at}}\vartheta } {\text{d}}t, $

(32)$ {{\mathrm{e}}^{at}}V(t) - V(0) \leqslant \int_0^t {{{\mathrm{e}}^{at}}\vartheta } {\text{d}}t. $

进一步得到

(33)$ \frac{1}{2}z_{i,j}^2 \leqslant V(t) \leqslant \left[ {V(0) - \frac{\vartheta }{a}} \right]{{\mathrm{e}}^{ - at}}+\frac{\vartheta }{a}. $

则跟踪误差满足

(34)$ \left| {{z_{i,j}}} \right| \leqslant \sqrt {2\left[ {V(0) - \frac{\vartheta }{a}} \right]{{\mathrm{e}}^{ - at}}+\frac{{2\vartheta }}{a}} . $

因此，$V(t)$的上界为$ {\vartheta }/{a} $，则车辆车队的控制信号一致最终有界. 因为$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{\rm{e}}^{ - at}} = 0$，所以跟踪误差${z_{i,j}}$最终有界于$ \left| {{z_{i,j}}} \right| \leqslant \sqrt {{{2\vartheta }}/{a}} $.

对混合触发机制不会产生芝诺（Zeno）现象进行证明. 对于情况1，混合触发机制切换为时间触发机制. 此时有${t_{k+1}} - {t_k} \equiv \Delta t $. 其中$\Delta t > 0$为固定的采样间隔. 对于情况2，由于${\delta _i}(t) = {\varTheta _i}(t) - {\varTheta _i}({t_k})$，且$ {\varTheta _i}({t_k}) $在$t \in \left[ {{t_k},} \right.\left. {{t_{k+1}}} \right)$中为不变值，则

(35)$ {{\dot \delta }_i}(t) = {{\dot \varTheta }_i}(t), \;\;\left| {{{\dot \varTheta }_i}(t)} \right| \leqslant \kappa ,\quad t \in \left[ {{t_k},{t_{k+1}}} \right). $

其中常数$ \kappa > 0 $. 进一步有

(36)$ \left| {{{\dot \delta }_i}({t_k})} \right| = \frac{{{\delta _i}(t_{k+1}^ - ) - {\delta _i}({t_k})}}{{{t_{k+1}} - {t_k}}} \leqslant \kappa $

根据式(36)得到

(37)$ {t_{k+1}} - {t_k} \geqslant \frac{{\left| {{\delta _i}(t_{k+1}^ - ) - {\delta _i}({t_k})} \right|}}{\kappa } \geqslant \frac{\eta }{\kappa }. $

定义$ {t_{\min }} = {\eta }/{\kappa } $，有$ {t_{k+1}} - {t_k} \geqslant {t_{\min }} $，即相邻事件触发之间存在最小时间间隔$ {t_{\min }} $. 因此，所提的时间-事件混合触发机制不会产生Zeno现象.

注3　本研究采用仅跟随领航车辆的通信拓扑. 当车辆队列中发生扰动时，车辆能够使用领航车辆信息校正跟踪误差，扰动不会沿队列传播，车辆队列的链式稳定性得以保证.

为了验证所提方法的有效性，利用Matlab开展仿真研究. 考虑由1辆领航车和5辆跟随车组成的车辆队列. 假设车辆的初始速度和加速度均为零，初始位置$ {\boldsymbol{x}}\left( 0 \right){\text{ }} = {\left[ {75,60,45,30,15,0} \right]^{\text{T}}}{\text{m}} $，车间距$d = 10{\text{ m}}$. 车辆的动力学参数$\rho = 1.2{\text{ kg/}}{{\text{m}}^3}$、$ C_{\mathrm{d}}=0.35 $、${A_i} = 2.2{\text{ }}{{\text{m}}^3}$、${\xi _i} = 0.25$、${m_i} = 1\;464{\text{ kg}}$、${F_i} = 5{\text{ N}}$. 控制器参数${l_1} = 0.01$、${l_2} = 0.02$、${l_2} = 0.03$、${c_{i.1}} = 1$、${c_{i.2}} = 2$、${c_{i.3}} = 3$、${\varsigma _i} = 0.5$. 为了使仿真结果更有代表性，选择如图3所示的市郊驾驶循环（extra urban driving cycle，EUDC）工况作为领航车的给定参考速度. 该工况持续时间400 s，最高速度为25 m/s.

如图4所示为车辆队列控制仿真结果. 可以看出，在仿真过程中车辆位置曲线没有发生交叉，表明车辆间未发生碰撞，每辆车可以保持与前车固定的间距进行队列行驶. 车辆速度曲线与给定参考信号一致，可以实现对给定速度的精确跟踪. 车辆的加速度和控制输入的变化与车辆速度变化的规律保持一致.

如图5所示为每辆车的采样间隔. 结合车辆速度曲线可以看出，在加速和减速阶段，车辆状态变化较为剧烈，需要频繁更新控制输入以保证控制性能，因此该阶段以时间触发为主；反观匀速行驶阶段，车辆状态变化很小，因此采用事件触发方式，节约通信资源.

如图6所示为每辆车速度和加速度的估计值与实际值的误差曲线. 可以看出，速度误差能快速收敛到0，状态估计效果良好. 加速度的状态估计误差虽然存在一定的波动，但能满足队列行驶要求.

以上仿真结果表明，本研究设计的状态观测器能够实现对车辆速度和加速度的准确估计，设计的控制器可以根据车辆行驶状态自动调节采样方式，实现车辆队列的跟踪控制，且整个闭环系统稳定，所有控制信息以及误差均有界.

进一步验证所提时间-事件混合触发机制同时保证车辆跟踪性能和节省通信资源的优越性，分别与单一时间触发机制^[29]和单一事件触发机制^[15]下的车辆队列控制效果进行对比. 如表1所示为5辆车在不同触发机制下的触发次数${n_{\text{t}}}$. 可以看出，在单一时间触发机制下，控制信号被周期性传送至执行器，触发次数最多（40 000次），单一事件触发机制的触发次数最少（430次）. 时间-事件混合触发机制在车辆队列匀速平稳运行过程中由时间触发机制切换为事件触发机制，极大减少了无效触发次数，最终平均控制次数为3 715次，仅为单一时间触发机制次数的9.2%，显著节省了通信资源.

以车辆2作为参考，3种触发机制下车辆的状态误差如图7所示. 可以看出，在时间触发机制下，由于采样频率较高，车辆队列控制器周期性地执行控制信号，跟踪性能最好. 在单一事件触发机制下，由于采样间隔较大，在领航车辆突然加减速情况下，车辆的位置、速度与加速度跟踪误差最大值分别为$ {\text{0}}{\text{.21 m}} $、${\text{0}}{\text{.17 m/s}}$以及${\text{1}}{\text{.46 m/}}{{\text{s}}^2}$，跟踪误差在整个过程中处于振荡波动状态，振荡幅值分别约为${\text{0}}{\text{.015 m}}$、${\text{0}}{\text{.04 m/s}}$以及${\text{0}}{\text{.12 m/}}{{\text{s}}^2}$. 相较而言，在时间-事件混合触发机制下，通过根据误差大小切换时间和事件触发机制，车辆的位置、速度与加速度跟踪误差最大值分别为${\text{0}}{\text{.01 m}}$、${\text{0}}{\text{.027 m/s}}$以及${\text{1}}{\text{.4 m/}}{{\text{s}}^2}$，振荡幅值分别约为${\text{0}}{\text{.000 7 m}}$、${\text{0}}{\text{.003 m/s}}$以及${\text{0}}{\text{.009 m/}}{{\text{s}}^2}$，远远小于事件触发机制的控制误差. 因此，相较于单一的时间或事件触发机制，时间-事件混合触发机制能够在有效保证车辆跟踪性能的基础上，显著节省通信资源.

本研究1）仅利用车辆位置信息，通过设计状态观测器实现对车辆速度与加速度信息的准确估计，摆脱了对专用传感器的依赖，有效降低了系统状态的量测与感知成本. 2）设计时间-事件混合触发机制，在车辆队列平稳运行时采用事件触发模式以节省通信资源，在状态剧烈变化时采用时间触发模式以保证控制性能，实现了控制性能与通信资源的有效平衡. 3）在时间-事件混合触发架构下，基于反步控制的思想，设计仅基于位置信息的车辆队列输出反馈控制器，实现了车辆队列的稳定控制. 本研究提出的时间-事件混合触发机制初步实现了车辆队列控制性能与通信资源的有效平衡，未来计划针对触发阈值的设计、触发机制对系统性能的影响机理与数理关系问题深入开展研究.