常规交叉口因左转和直行相互冲突，导致每一相位仅可使用部分进口车道，并没有充分利用交叉口道路通行资源. 为此，学者们从时间分离、空间分离的角度出发，对交叉口的几何设计进行优化改造，提出钩形转弯^[1]、U型回转^[2]、借道左转^[3]、排阵式交叉口^[4]、移位左转^[5]等新型交通组织模式. 移位左转在国外应用已较普遍^[6]，国内已应用在深圳市彩田路-福华路、红荔路-华富路^[7]交叉口. 连续流交叉口和平行流交叉口皆属于移位左转设计，能够将交叉口信号相位数减少至2个，理论上相对于常规交叉口能够提升1倍左右的容量^[8]，是当前研究的热点方向. Dhatrak等^[9-10]的研究表明，在大部分交通场景下，两者的通行能力与车均延误相差不大，然而由于两者的运行规则存在一定区别，在部分特殊场景中各有优势.

平行流交叉口由Parsons^[11]首次提出. 安实等^[12]探讨了平行流交叉口主预信号协调控制策略，有效解决了平行流交叉口多次停车的问题. 宋浪等^[13]将钩形转弯的概念引入平行流交叉口中，以解决左转非机动车过街问题. Abo-Bakr等^[14]发现，平行流交叉口能够减少常规交叉口冲突的数量，减小冲突的严重程度. Zhao等^[15]将连续流交叉口和平行流交叉口组合扩展到10种设计方案. 王旭等^[16]将平行流交叉口设计推广应用到T型交叉口中.

采用移位左转设计，须在路段上设置预信号交叉口，一般要求相邻交叉口间距大于300 m，且移位左转设计对道路几何条件的要求较高，可能存在交叉口部分方向无法满足的情况. 探讨不同设置方案下平行流交叉口的运行性能，以防止在交叉口某方向几何条件受限的情况下，选择其他方向进行移位左转改造，降低通行效率. 连续流交叉口理论的研究较成熟，已有学者针对十字交叉口4个方向全设置^[17]、对称双向设置^[18]、非对称双向设置^[19]及相邻交叉口简化设置^[20]等多种方案进行探讨. 平行流交叉口的研究主要集中在4个方向全设置移位左转车道的十字交叉口，仅少数研究涉及了对称双向设置方案^[15]，故须开展平行流交叉口其他设置方案的研究.

本研究基于车道控制的方法^[21]，将单向、非对称双向、对称双向、三向、四向设置及常规交叉口整合到优化模型中，同时优化设置方案选择、车道分配和信号配时，攻克了移位左转设计中交通需求与通行能力匹配灵活度不高的难题，解决了交叉口移位左转的不合理改造可能导致通行效率降低的问题.

平行流交叉口某方向若采用移位左转设计，几何设计如图1所示. 在该方向路段上设置预信号交叉口，将左转车道置于直行车道右侧，部分出口车道设置在直行车道和左转车道之间，称为移位左转车道(displaced left-turn, DLT). 南向左转车流在主信号交叉口处驶入移位左转车道，避免与西向直行车流相互冲突，从而将主信号交叉口处本方向直行与相交方向左转冲突(例如图1中的西直行与南左转)转移至预信号交叉口处，即在主信号交叉口处上述2股车流不再冲突，实现主信号交叉口能够同时放行本方向直行车流和相交方向左转车流，提升了交叉口通行能力. 平行流交叉口根据移位左转车道设置方向，可以分为单向、非对称双向、对称双向、三向、四向设置方案.

图1中，$ k $为车道编号，$ k \in {K_{j,1}} \cup {K_{j,2}} $，$ {K_{j,1}} = \left\{ {1, \cdots ,{n_j}} \right\} $，$ {K_{j,2}} = \left\{ {{n_j}+1, \cdots ,2{n_j}} \right\} $；$ {n_j} $为方向$ j $的可使用车道总数；$ j $为方向及子交叉口编号，$ j \in J $，$ J = \left\{ {1,2,3,4} \right\} $分别为西、南、东、北向及相应的预信号交叉口；$ i $为交叉口流向，$ i \in I $，$ I = \{ 1,2,3,4, $$5,6,7,8 \} $分别为西左转、西直行、南左转、南直行、东左转、东直行、北左转和北直行；$ i \in {I_j} $，$ {I_j} = \left\{ {2j - 1,2j,2j+1,2j+4} \right\} $表示经过预信号交叉口$ j $的流向集，分别为左转驶入、直行驶入、左转驶出和直行驶出.

为了便于模型构建与讨论，令车流接近各子交叉口的行驶车道称为接近车道，车流从子交叉口离开的行驶车道称为接收车道. 车流行驶方向从预信号往主信号行驶称为驶入车流，相应的行驶车道称为驶入车道，车流行驶方向从主信号往预信号行驶称为驶出车流，相应的行驶车道称为驶出车道，例如图1中对于西向路段，西左转、西直行经过西向路段为驶入车流，而南左转、东直行经过西向路段为驶出车流. 常规交叉口采用的几何设计称为常规设计，图1中的几何设计称为移位左转设计.

在移位左转设计行人、非机动车过街方面，安实等^[22]给出人车搭接相位过街方式和行人专用相位过街方式. 徐海军^[23]建议移位左转设计中非机动车通行采用二次过街的方式. 宋浪等^[13]结合钩形转弯与移位左转设计，以解决非机动车过街的问题. 考虑到已实施的移位左转设计普遍采用行人和非机动车二次过街方式，故本文采用二次过街.

如图2所示，常规交叉口左转和直行包含4个分流点、4个合流点和16个冲突点，冲突点表示2股车流不可同时放行. 对于左转和直行之间的4个分流点，若进口车道不设置左转和直行合用车道，则可同时放行. 为了避免左转和直行合流冲突，在常规交叉口中2股合流车流一般不同时放行. 常规交叉口中影响信号相位方案设计的冲突包括16个冲突点和4个合流点，交通冲突矩阵如下：

(1)$ {{\boldsymbol{f}}_0} = \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{i}&\;\;\,{i^\prime }1&2&3&4&5&6&7&8\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\\8\end{array}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&1&1&0&1&1&1\\0&0&1&1&1&0&1&1\\1&1&0&0&1&1&0&1\\1&1&0&0&1&1&1&0\\0&1&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&1&0&0&1&1\\1&1&0&1&1&1&0&0\\1&1&1&0&1&1&0&0\end{array}} \right]\end{array}. $

式中：$ {{\boldsymbol{f}}_0} $为常规交叉口交通冲突矩阵；$ {f_{i,i',0}} $为矩阵元素，表示流向$ i $与流向$ i' $是否冲突，$ {f_{i,i',0}} \in \left\{ {0,1} \right\} $分别表示否、是.

若交叉口方向$ j $采用移位左转设计，则可以消除本方向直行$ 2j $与相交方向左转$ 2j+1 $的冲突. 因采用左转右置设计方案，增加了本方向左转$ 2j - 1 $和直行$ 2j $的冲突，如图1所示. 由于左转选择驶入移位左转车道、直行选择驶入常规出口车道，2股车流不存在合流冲突，即消除了相交方向左转$ 2j+1 $和对向直行$ 2j+4 $的合流冲突. 在平行流交叉口的主信号处，对常规交叉口的交通冲突矩阵修正如下：

(2)$ {\rho }_{i,{i}^{\prime }}=\left\{\begin{array}{l}-{\delta }_{j},\;\forall j\in J,\;\left(i,{i}^{\prime }\right)\in \{\left(2j,2j+1\right),\\ \qquad \left(2j+1,2j\right),\left(2j+1,2j+4\right),\\ \qquad \left(2j+4,2j+1\right)\};\\{\delta }_{j},\;\forall j\in J,\;\left(i,{i}^{\prime }\right)\in \{\left(2j-1,2j\right),\\ \qquad \left(2j,2j-1\right)\};\\ 0,\;其他.\end{array} \right.$

式中：$ {\delta _j} $表示方向$ j $是否采用移位左转设计，$ {\delta _j} = {0、1} $分别表示否、是；$ {\rho _{i,i'}} $表示采用移位左转设计是否改变主信号交叉口处流向$ i $与流向$ i' $的冲突，$ {\rho _{i,i'}} = { - 1、0、1} $分别表示消除、不改变和增加.

平行流交叉口的交通冲突矩阵如下：

(3)$ {f_{i,i'}} = {f_{i,i',0}}+{\rho _{i,i'}};\;\forall i,i' \in I. $

式中：$ {f_{i,i'}} $表示平行流交叉口流向$ i $与流向$ i' $是否冲突，$ {f_{i,i'}} = {0、1} $分别表示否、是.

以交叉口储备通行能力最大化作为第1级优化目标，在各流向交通需求比例保持不变的假设下，最大化储备通行能力即最大化交叉口共用流量系数$ \mu $^[19]. 第1级优化目标只能确定临界车流的绿灯时长，但难以保证非临界车流绿灯时长最大化，虽然这不会降低交叉口储备通行能力，但会增加非临界车流的排队长度和车辆延误，故将各流向流量系数的加权平均值最大化作为第2级优化目标. 为了保证车流连续平稳经过各子交叉口，将加权平均绿波带宽最大化作为第3级优化目标. 目标函数由3部分组成，如下：

(4)$ \max \;\;\;\;{P_1}\mu +{P_2}A+{P_3}B;\;{P_1} \gg {P_2} \gg {P_3}. $

式中：$ \mu $为共用流量系数，$ A $为加权平均流量系数，$ B $为加权平均绿波带宽，$ {P_1} $、$ {P_2} $、$ {P_3} $为目标函数权重系数.

构建如下约束集，将车道集$ k \in {K_{j,1}} $划分给不同流向.

(5)$ 1 \leqslant \sum\limits_{i \in {I_j}} {{z_{i,k}}} ;\; \forall j \in J,\;k \in {K_{j,1}} \cup {K_{j,2}}. $

(6)$ 1 \leqslant \sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{z_{i,k}}} ;\; \forall j \in J,\;i \in {I_j}. $

(7)$ \sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{z_{i,k}}} \leqslant \sum\limits_{k' \in {K_{j - 1,1}}} {{z_{i,k'}}} ;\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j - 1} \right\}. $

(8)$ \sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{z_{i,k}}} \leqslant \sum\limits_{k' \in {K_{j - 2,1}}} {{z_{i,k'}}} ;\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j} \right\}. $

(9)$ \begin{split} - {\delta _j} \leqslant {z_{i,k}} - {z_{i',k}} \leqslant& {\delta _j};\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1} \right\}, \\ &i' \in \left\{ {2j+4} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \end{split}$

(10)$\begin{split} {z_{i,k}} \leqslant &1 - {z_{i',k}};\; \forall j \in J,\;\left( {i,i'} \right) \in \left\{ {\left( {2j - 1,2j} \right),} \right. \\ &\left. {\left( {2j - 1,2j+1} \right),\left( {2j,2j+1} \right)} \right\},\;k \in {K_{j,1}} \cup {K_{j,2}}.\end{split} $

(11)$ \begin{split} - {\delta _j}+&{z_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i',k'}};\; \forall j \in J,\;\left( {i,i'} \right) \in \\ &\left\{ {\left( {2j,2j - 1} \right),\left( {2j - 1,2j+1} \right)} \right\}, \\ &k \in \left\{ {1, \cdots ,{n_j} - 1} \right\},\;k' \in \left\{ {k+1, \cdots ,{n_j}} \right\}. \end{split}$

(12)$ \begin{split} M\left( {{\delta _j} - 1} \right) \leqslant& \sum\limits_{i \in {I_j}} {{z_{i,k}}} - 1 \leqslant M\left( {1 - {\delta _j}} \right); \\& \forall j \in J,\;k \in {K_{j,1}}.\end{split} $

(13)$ \begin{split} & \left( {{\delta _j} - 1} \right)+{z_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i',k'}};\; \forall j \in J,\;\left( {i,i'} \right) \in \\ &\qquad \left\{ {\left( {2j - 1,2j+1} \right),\left( {2j+1,2j} \right),\left( {2j,2j+4} \right)} \right\}, \\& \qquad k \in \left\{ {1, \cdots ,{n_j} - 1} \right\},k' \in \left\{ {k+1, \cdots ,{n_j}} \right\}. \end{split}$

式中：$ {z_{i,k}} $表示车道$ k $是否允许流向$ i $车辆使用，$ {z_{i,k}}= {0、1} $分别表示否、是；$ M $为极大的常数，用于构建线性约束条件，取值不小于10⁶.

每条车道至少允许1股车流使用，见式(5). 每股车流行驶车道数至少有1条，见式(6). 各流向在主信号交叉口处接近车道数不大于接收车道数，见式(7)、(8). 在车道集$ k \in {K_{j,1}} $中，若采用常规设计，驶出车道供所有驶出车流使用，而左转驶入、直行驶入、驶出车流禁止共用车道，驶出车道位于左转驶入车道左侧、左转驶入车道位于直行驶入车道左侧，见式(9)、(10)、(11). 若采用移位左转设计，每条车道仅允许1股车流使用，直行驶出车道位于直行驶入车道左侧、直行驶入车道位于左转驶出车道左侧、左转驶出车道位于左转驶入车道左侧，见式(12)、(13).

构建如下约束集，将车道集$ k \in {K_{j,2}} $划分给不同流向.

(14)$ - {\delta _j} \leqslant {z_{i,k}} - {z_{i,k+{n_j}}} \leqslant {\delta _j};\; \forall j \in J,\;i \in {I_j},\;k \in {K_{j,1}}. $

(15)$ \begin{split} {\delta _j} - 1 \leqslant {z_{i,k}} - {z_{i,k+{n_j}}} \leqslant& 1 - {\delta _j};\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j - 1} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \end{split}$

(16)$ \sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{z_{i,k}}} = \sum\limits_{k' \in {K_{j,2}}} {{z_{i,k'}}} ;\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j} \right\}. $

(17)$ \begin{split} M\left( {{\delta _j} - 1} \right) \leqslant& \sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{z_{2j+1,k}}} +\sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{z_{2j+4,k}}} - \sum\limits_{k' \in {K_{j,2}}} {{z_{i,k'}}} \leqslant \\& M\left( {1 - {\delta _j}} \right);\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1,2j+4} \right\}.\end{split} $

(18)$ \begin{split} {z_{i,k}} =& {z_{i',k}};\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1} \right\}, \\ &i' \in \left\{ {2j+4} \right\},\;k \in {K_{j,2}}.\end{split} $

(19)$ \begin{split} &\left( {{\delta _j} - 1} \right)+{z_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i',k'}};\; \forall j \in J,\;\left( {i,i'} \right) \in \\ &\qquad\left\{ {\left( {2j - 1,2j} \right),\left( {2j,2j+1} \right)} \right\}, \\ &\qquad k \in \left\{ {{n_j} + 1, \cdots ,2{n_j} - 1} \right\},k' \in \left\{ {k+1, \cdots ,2{n_j}} \right\}.\end{split} $

常规设计在车道集$ k \in {K_{j,1}} $与车道集$ k \in {K_{j,2}} $中对应的车道标记相同，即车道$ k $与车道$ k+{n_j} $的车道标记相同，由此可以根据车道集$ k \in {K_{j,1}} $确定车道集$ k \in {K_{j,2}} $的车道标记，不需要增加其他约束，见式(14). 对于移位左转设计，仅左转驶入在车道集$ k \in {K_{j,1}} $与车道集$ k \in {K_{j,2}} $中对应车道标记相同，见式(15). 在预信号交叉口处，直行驶入接近车道数等于接收车道数，左转驶出和直行驶出接近车道数之和等于驶出车流接收车道数，见式(16)、(17). 在车道集$ k \in {K_{j,2}} $中，左转驶出和直行驶出共用车道，而左转驶入、直行驶入、驶出车流禁止共用车道，见式(18)、(10). 在车道集$ k \in {K_{j,2}} $中，驶出车道位于直行驶入车道左侧、直行驶入车道位于左转驶入车道左侧，见式(19).

为了便于后续模型的构建，绿灯启亮时刻和绿灯持续时长用一个周期内的相对比例表示，周期时长、绿灯启亮时刻和绿灯持续时长应在合理的范围内，存在最小值、最大值约束.

(20)$ \frac{1}{{{C_{\max }}}} \leqslant \zeta \leqslant \frac{1}{{{C_{\min }}}}. $

(21)$ 0 \leqslant {t_i} \leqslant 1;\; \forall i \in I. $

(22)$ 0 \leqslant {t_{i,j}} \leqslant 1;\; \forall j \in J,\;i \in {I_j}. $

(23)$ {g_{\min }}\zeta \leqslant {g_i} \leqslant 1;\; \forall i \in I. $

(24)$ {g_{\min }}\zeta \leqslant {g_{i,j}} \leqslant 1;\; \forall j \in J,\;i \in {I_j}. $

式中：$ {C_{\min }} $、$ {C_{\max }} $分别为周期时长的最小值、最大值；$ \zeta $为周期时长的倒数；$ {t_{i,j}} $为子交叉口$ j $中流向$ i $的绿灯启亮时刻，用一个周期内的相对时刻表示，在主信号交叉口处省略$ j $；$ {g_{i,j}} $为子交叉口$ j $中流向$ i $的绿灯持续时长，用一个周期内的相对时长表示，在主信号交叉口处省略$ j $；$ {g_{\min }} $为绿灯时长的最小值.

为了保证模型生成的主信号相位相序方案可行，2股冲突车流的放行相位不可以重叠，即存在如下约束，以分配各流向放行先后顺序和绿灯持续时长.

(25)$ \begin{split} - {x_{i,i'}} \leqslant &{t_i}+{g_i}+\gamma \zeta - {t_{i'}} \leqslant 1 - {x_{i,i'}}; \\ &\forall i,i' \in I,\;{f_{i,i'}} = 1. \end{split}$

(26)$ {x_{i,i'}}+{x_{i',i}} = 1;\; \forall i,i' \in I,\;{f_{i,i'}} = 1. $

(27)$\begin{split} & {x_{i,i''}}+{x_{i'',i'}} - 1 \leqslant {x_{i,i'}} \leqslant {x_{i,i''}}+{x_{i'',i'}}; \\ & \forall i ,i',i'' \in I,\;{f_{i,i'}} = {f_{i,i''}} = {f_{i'',i'}} = 1. \end{split}$

式中：$ {x_{i,i'}} $表示主信号交叉口处流向$ i $绿灯启亮时刻是否小于流向$ i' $，$ {x_{i,i'}} = {0、1} $分别表示否、是；$ \gamma $为绿灯间隔时间.

由于式(25)~(27)仅须在2股车流存在冲突时满足，考虑到$ {f_{i,i'}} $属于变量，将式(25)~(27)等价变换为线性约束，以便于模型求解.

(28)$ \begin{split} - {x_{i,i'}}+\left( {{f_{i,i'}} - 1} \right) \leqslant& {t_i}+{g_i}+\gamma \zeta - {t_{i'}} \leqslant 1 - \\ &{x_{i,i'}}+\left( {1 - {f_{i,i'}}} \right);\; \forall i,i' \in I. \end{split} $

(29)$ {f_{i,i'}} - 1 \leqslant {x_{i,i'}}+{x_{i',i}} - 1 \leqslant 1 - {f_{i,i'}};\; \forall i,i' \in I. $

(30)$ \begin{split} &{x_{i,i''}}+{x_{i'',i'}} - 1+\left( {{f_{i,i'}}+{f_{i,i''}}+{f_{i'',i'}} - 3} \right) \leqslant {x_{i,i'}} \leqslant \\ &{x_{i,i''}}+{x_{i'',i'}}+\left( {3 - {f_{i,i'}} - {f_{i,i''}} - {f_{i'',i'}}} \right);\; \forall i,i',i'' \in I. \end{split} $

预信号相位配时约束构建如下.

(31)$ {t_{i,j}} = 0;\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j - 1,2j+4} \right\}. $

(32)$ {g_{i,j}} = 1;\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j - 1,2j+4} \right\}. $

(33)$ 0 \leqslant {t_{i,j}} \leqslant {\delta _j};\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j,2j+1} \right\}. $

(34)$ 1 - {\delta _j} \leqslant {g_{i,j}} \leqslant 1;\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j,2j+1} \right\}. $

(35)$ \begin{split} &M\left( {{\delta _j} - 1} \right) \leqslant {t_{i,j}} - \left( {{t_{i',j}}+{g_{i',j}}+\gamma \zeta } \right)+{\theta _{i,j}} \leqslant M\left( {1 - } \right. \\ &\left. {{\delta _j}} \right);\; \forall j \in J,\;\left( {i,i'} \right) \in \left\{ {\left( {2j,2j+1} \right),\left( {2j+1,2j} \right)} \right\}. \\ \end{split} $

(36)$ {g_{2j,j}}+{g_{2j+1,j}}+2\gamma \zeta \leqslant 1+M\left( {1 - {\delta _j}} \right);\; \forall j \in J. $

式中：$ \theta $为循环整数变量，以保证其他变量在规定的取值范围内.

在常规设计和移位左转设计中，左转驶入和直行驶出均不受预信号控制，令上述2股车流绿灯启亮时刻为0，绿灯持续时长为1，见式(31)、(32). 在常规设计中，直行驶入和左转驶出不受预信号控制，存在式(33)、(34)的约束. 在移位左转设计中，直行驶入和左转驶出受预信号控制，在预信号交叉口处存在冲突，不可以同时放行，相位关系见式(35)、(36).

各车道控制信号方案应与相应的主预信号相位相序相同，如下.

(37)$ \begin{split} {z_{i,k}} - 1 \leqslant& {t_i} - {T_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i,k}};\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j - 1,2j} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \end{split} $

(38)$ \begin{split} {z_{i,k}} - 1 \leqslant& {g_i} - {G_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i,k}};\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j - 1,2j} \right\},\;k \in {K_{j,1}}.\end{split} $

(39)$ \begin{split} {z_{i,k}} - 1 \leqslant &{t_{i,j}} - {T_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i,k}};\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j - 1,2j} \right\},\;k \in {K_{j,2}}.\end{split} $

(40)$ \begin{split} {z_{i,k}} - 1 \leqslant& {g_{i,j}} - {G_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i,k}};\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j - 1,2j} \right\},\;k \in {K_{j,2}}. \end{split} $

(41)$ \begin{split} {z_{i,k}} - 1 \leqslant &{t_{i,j}} - {T_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i,k}};\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j+1,2j+4} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \end{split} $

(42)$ \begin{split} {z_{i,k}} - 1 \leqslant &{g_{i,j}} - {G_{i,k}} \leqslant 1 - {z_{i,k}};\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j+1,2j+4} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \end{split} $

式中：$ {T_{i,k}} $为车道$ k $上流向$ i $的绿灯启亮时刻，用一个周期内的相对时刻表示；$ {G_{i,k}} $为车道$ k $上流向$ i $的绿灯持续时长，用一个周期内的相对时长表示.

若交叉口方向$ j $采用移位左转设计，则本方向直行$ 2j $先后在预信号交叉口$ j $、主信号交叉口处受到信号相位控制约束. 相交方向左转$ 2j+1 $先后在主信号交叉口、预信号交叉口$ j $处受到信号相位控制约束. 例如图1中，西向($ j = 1 $)采用移位左转设计，则西直行($ i = 2j = 2 $)先后经过预信号交叉口($ j = 1 $)、主信号交叉口，南左转($ i' = 2j+1 = 3 $)先后经过主信号交叉口、预信号交叉口($ j = 1 $). 参考最大带宽模型的基本思想^[24]，2股车流绿波带如图3所示.

最大带宽约束构建如下.

(43)$ B = {{\displaystyle \sum\limits_{i \in I} {{Q_i}{b_i}} }}\left/{{\displaystyle \sum\limits_{i \in I} {{Q_i}} }}. \right.$

(44)$ M\left( {{y_i} - 1} \right)+{b_{\min }}\zeta \leqslant {b_i} \leqslant {y_i};\; \forall i \in I. $

(45)$ 0 \leqslant {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } _i},{\vec \tau _i},{b_i} \leqslant 1.0;\; \forall i \in I. $

(46)$ 0 \leqslant {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } _{i,j}},{\vec \tau _{i,j}} \leqslant 1.0;\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j,2j+1} \right\}. $

(47)$ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } _i}+{b_i}+{\vec \tau _i} = {g_i};\; \forall i \in I. $

(48)$ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } _{i,j}}+{b_i}+{\vec \tau _{i,j}} = {g_i};\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j,2j+1} \right\}. $

(49)$ \begin{split} &M\left( {{y_i} - 1} \right) \leqslant {t_{i,j}}+{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } }_{i,j}}+\frac{{\left( {{L_{i,j}}+{L_{j,{\text{DLT}}}}} \right)\zeta }}{{{\upsilon _i}}} - \\ &\left( {{t_i}+{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } }_i}} \right)+{\alpha _i} \leqslant M\left( {1 - {y_i}} \right);\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j} \right\}. \end{split} $

(50)$ \begin{split}& M\left( {{y_i} - 1} \right) \leqslant {t_{i,j}}+{g_{i,j}} - {{\vec \tau }_{i,j}}+\frac{{\left( {{L_{i,j}}+{L_{j,{\text{DLT}}}}} \right)\zeta }}{{{\upsilon _i}}} - \\ &\left( {{t_i}+{g_i} - {{\vec \tau }_i}} \right)+{\beta _i} \leqslant M\left( {1 - {y_i}} \right);\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j} \right\}. \end{split} $

(51)$ \begin{split} &M\left( {{y_i} - 1} \right) \leqslant {t_i}+{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } }_i}+\frac{{\left( {{L_i}+{L_{j,{\text{DLT}}}}} \right)\zeta }}{{{\upsilon _i}}} - \\ &\left( {{t_{i,j}}+{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } }_{i,j}}} \right)+{\alpha _i} \leqslant M\left( {1 - {y_i}} \right);\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1} \right\}. \end{split} $

(52)$ \begin{split} M\left( {{y_i} - 1} \right) \leqslant &{t_i}+{g_i} - {{\vec \tau }_i}+\frac{{\left( {{L_i}+{L_{j,{\text{DLT}}}}} \right)\zeta }}{{{\upsilon _i}}} - \\ &\left( {{t_{i,j}}+{g_{i,j}} - {{\vec \tau }_{i,j}}} \right)+{\beta _i} \leqslant M\left( {1 - {y_i}} \right); \\ &\forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1} \right\}. \end{split} $

式中：$ {b_i} $为流向$ i $主预信号协调绿波带宽，用一个周期内的相对时长表示；$ {Q_i} $为流向$ i $的交通需求；$ {y_i} $表示流向$ i $主预信号协调绿波带宽是否等于0，$ {y_i} = {0、1}$分别表示否、是；$ {b_{\min }} $为绿波带宽最小值；$ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{\tau } _{i,j}} $为子交叉口$ j $中流向$ i $的绿灯启亮时刻至绿波带$ {b_i} $左边缘的时间，用一个周期内的相对时长表示，在主信号交叉口处省略$ j $；$ {\vec \tau _{i,j}} $为子交叉口$ j $中流向$ i $的绿灯启亮时刻至绿波带$ {b_i} $右边缘的时间，用一个周期内的相对时长表示，在主信号交叉口处省略$ j $；$ {L_{i,j}} $为子交叉口$ j $中流向$ i $的车辆行驶轨迹长度，在主信号交叉口处省略$ j $；$ {L_{j,{\text{DLT}}}} $为方向$ j $的移位左转车道长度；$ {\upsilon _i} $为流向$ i $的车辆行驶速度；$ \alpha $、$ \beta $为循环整数变量，以保证其他变量在规定的取值范围内.

式(43)为加权平均带宽计算公式. 式(44)~(46)限制相关变量的取值范围. 式(47)、(48)限制绿波带宽与绿灯持续时长的关系. 式(49)~(52)限制前、后2个信号灯处绿波带边缘的关系.

构建如下约束集，将各流向流量分配给各条车道.

(53)$ \left. \begin{gathered} \mu \leqslant {\mu _{i,j}},\; \forall j \in J,\;i \in {I_j}; \\ \mu \leqslant {\mu _i},\; \forall i \in I. \\ \end{gathered} \right\} $

(54)$ 0 \leqslant {q_{i,k}} \leqslant M{z_{i,k}};\; \forall j \in J,\;i \in {I_j},\;k \in {K_{j,1}} \cup {K_{j,2}}. $

(55)$\left.\begin{aligned} &{\mu _i}{Q_i} = \sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{q_{i,k}}} ,\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j - 1,2j} \right\}; \\ &{\mu _{i,j}}{Q_i} = \sum\limits_{k \in {K_{j,2}}} {{q_{i,k}}} ,\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j - 1,2j} \right\}; \\ &{\mu _{i,j}}{Q_i} = \sum\limits_{k \in {K_{j,1}}} {{q_{i,k}}} ,\; \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1,2j+4} \right\}. \end{aligned}\right\}$

(56)$ A = \frac{{\displaystyle \sum\limits_{i \in I} {{\mu _i}{Q_i}} +\displaystyle \sum\limits_{j \in J} {\displaystyle \sum\limits_{i \in {I_j}} {{\mu _{i,j}}{Q_i}} } }}{{\displaystyle \sum\limits_{i \in I} {{Q_i}} +\displaystyle \sum\limits_{j \in J} {\displaystyle \sum\limits_{i \in {I_j}} {{Q_i}} } }}. $

(57)$ \begin{split} M&\left( {{z_{i,k+1}}+{z_{i,k}} - 2} \right) \leqslant {q_{i,k+1}} - {q_{i,k}} \leqslant \\ &\quad M\left( {2 - {z_{i,k+1}} - {z_{i,k}}} \right);\; \forall j \in J,\;i \in {I_j}, \\ &\quad k \in \left\{ {1, \cdots ,{n_j} - 1} \right\} \cup \left\{ {{n_j}+1, \cdots ,2{n_j} - 1} \right\}. \end{split}$

(58)$ \begin{split} {q_{i,k}} \leqslant {s_{i,k}}{G_{i,k}};\; &\forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j - 1,2j} \right\}, \\ &k \in {K_{j,1}} \cup {K_{j,2}}. \end{split}$

(59)$ \begin{split} &{q_{2j+1,k}}+{q_{2j+4,k}} \leqslant {s_{i,k}}{G_{i,k}}+M{\delta _j}, \\ &{q_{i,k}} \leqslant {s_{i,k}}{G_{i,k}}+M\left( {1 - {\delta _j}} \right);\; \forall j \in J, \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;i \in \left\{ {2j+1,2j+4} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \end{split}$

(60)$ \begin{split} {s_{i,k}}{G_{i,k}} \leqslant& {s_{i,k'}}{G_{i,k'}}+M\left( {1 - {\delta _j}} \right);\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j} \right\},\;k \in {K_{j,2}},k' \in {K_{j,1}}. \\ \end{split} $

(61)$ \begin{split} {s_{i,k}}{G_{i,k}} \leqslant& {s_{i,k'}}{G_{i,k'}}+M\left( {1 - {\delta _j}} \right);\; \forall j \in J, \\ &i \in \left\{ {2j+1} \right\},\;k \in {K_{j+1,1}},k' \in {K_{j,1}}. \\ \end{split} $

式中：$ {\mu _{i,j}} $为子交叉口$ j $中流向$ i $的流量系数，在主信号交叉口处省略$ j $；$ {q_{i,k}} $为车道$ k $上允许流向$ i $的行驶流量；$ {s_{i,k}} $为车道$ k $上流向$ i $的车辆行驶饱和流率.

交叉口共用流量系数不大于各流向流量系数，见式(53). 某车道只有允许某流向车辆使用，其相应流向流量才可能大于0，见式(54). 各流向在各车道上的流量之和等于该流向总流量，见式(55). 加权平均流量系数计算公式见式(56). 具有相同车道标记的一组相邻车道流量相同，见式(57). 各车道交通流量不大于通行能力，见式(58)、(59). 在移位左转设计中，左转和直行在所遇第1个信号灯处的通行能力不大于所遇第2个信号灯处，见式(60)、(61).

构建如下约束集，以避免车辆排队溢出破坏交叉口稳定运行的状态.

(62)$ \begin{split} &{s_{i,k'}}\left( {{G_{i,k'}} - {b_i}} \right) \leqslant \frac{{{L_{j,{\text{DLT}}}}\zeta }}{{{d_{i,k}}}}+M\left( {2 - {\delta _j} - {\sigma _i}} \right); \\ &\qquad \forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j} \right\},\;k \in {K_{j,1}},\;k' \in {K_{j,2}}. \\ \end{split} $

(63)$ \begin{split} {q_{i,k}} \leqslant& \frac{{{L_{j,{\text{DLT}}}}\zeta }}{{{d_{i,k}}}}+M\left( {1 - {\delta _j}+{\sigma _i}} \right); \\ &\forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \\ \end{split} $

(64)$ \begin{split} {s_{i,k'}}&\left( {{G_{i,k'}} - {b_i}} \right) \leqslant \frac{{{L_{j,{\text{DLT}}}}\zeta }}{{{d_{i,k}}}}+M\left( {2 - {\delta _j} - {\sigma _i}} \right); \\ &\forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1} \right\},\;k \in {K_{j,1}},k' \in {K_{j+1,1}}. \end{split} $

(65)$ \begin{split} {q_{i,k}} \leqslant &\frac{{{L_{j,{\text{DLT}}}}\zeta }}{{{d_{i,k}}}}+M\left( {1 - {\delta _j}+{\sigma _i}} \right); \\ &\forall j \in J,\;i \in \left\{ {2j+1} \right\},\;k \in {K_{j,1}}. \\ \end{split} $

式中：$ {\sigma _i} $为排队长度约束选择变量，$ {\sigma _i} \in \left\{ {0,1} \right\} $；$ {d_{i,k}} $为车道$ k $上流向$ i $的车辆停车排队饱和车头间距.

在移位左转设计中，左转和直行在所遇的第2个信号灯处都可能存在二次停车，为了避免车辆排队溢出，增加排队长度约束，见式(62)~(65). 各流向车辆二次停车形成的排队与前后2个信号灯协调效果及第1个信号灯排队消散时刻密切相关，故各流向车辆只需满足式(62)~(65)中的1个排队长度约束公式，利用排队长度约束选择0-1变量$ \sigma $实现.

将式(4)作为目标条件，式(1)~(3)、(5)~(24)、(28)~(65)作为约束条件，将设置方案、车道标记和信号配时整合到统一的优化模型中，决策变量包括$ {\delta _j} $、$ \mu $、$ {z_{i,k}} $、$ \zeta $、$ {t_{i,j}} $、$ {g_{i,j}} $及为实现目标优化和线性约束构建而引入的一系列中间变量，所建立的模型是混合整数线性规划求解问题，可以采用已有的算法和多数商业求解器进行求解. 上述模型一般用于规划阶段. 在运营阶段，$ {z_{i,k}} $和$ {\delta _j} $为已知定值，使得优化模型决策变量仅为与信号配时有关的变量，该模型为混合整数线性规划求解问题.

为了验证所构建模型的正确性，选择单向、非对称双向、对称双向、三向、四向平行流交叉口设置方案及常规交叉口作为研究案例，模型输入参数的取值如表1所示. 采用所构建的模型进行优化求解，求解结果如图4和表2所示. 将上述结果输入VISSIM进行仿真验证，各方案之间的对比结果如表3所示. 表中，$ V $为通过车辆数，$ \phi $为车均延误，$ {\varphi _1} $为共用流量系数相对比例，$ {\varphi _2} $为车均延误相对比例，相对比例以常规交叉口为基准.

对比图4和表2可知，同一时段不会放行相互冲突的2股车流，但为了最大化交叉口通行能力，优化模型会给出最佳的信号相位方案. 例如在常规交叉口中，西直行和南左转由于存在冲突，主信号相应放行相位不可重叠，使主信号相位方案为4个相位. 在四向设置平行流交叉口中，通过特殊几何设计和运行规则消除了主信号西直行和南左转交通冲突，使主信号相位数减少到2个. 图4的几何设计均与常规设计和移位左转设计的车道布局一致，验证了所构建模型的正确性.

从表3可知，若常规设计可以设置展宽车道，则四向设置方案相对于常规交叉口能够提升54.81%的通行能力. 若常规设计不可以设置展宽车道，则能够提升88.46%的通行能力，说明平行流交叉口通行能力的提升优势明显. 整体来看，常规设计可设置展宽车道的通行能力大于不可设置的情况，即设置展宽车道有利于提升交叉口通行能力，故仅讨论可设置展宽车道的情况. 在常规设计可设置展宽车道中，与常规交叉口相比，对称双向、三向、四向设置方案分别提升了19.42%、8.57%、54.81%的通行能力，降低了14.13%、16.86%、34.48%的车均延误，但单向、非对称双向设置方案略微降低了交叉口通行能力，由此证明选择合适的平行流交叉口设置方案，对交叉口通行能力的提升至关重要.

为了分析单向、非对称双向、对称双向、三向、四向平行流交叉口设置方案在各种流量场景下对交叉口通行能力的提升效果，探讨左转流量比例$ u $、方向流量倍数$ e $对各种设置方案通行能力提升比例$ h $的影响. 设计4种实验对比案例，如表4所示，其余输入参数与3章相同.

图5~8中，平面图是曲面图在e-u平面上的投影. 从图5~8可知，与常规交叉口相比，大部分情况下，对称双向、三向、四向平行流交叉口设置方案的通行能力分别能够提升约20%、20%、50%，四向设置方案的通行能力提升幅度最大，最大值能够达到70.51%，对称双向、三向设置方案次之. 单向、非对称双向设置方案的通行能力与常规交叉口接近，通行能力提升比例随流量场景的改变在0上下波动，说明平行流交叉口不宜采用单向、非对称双向设置.

对称双向设置方案在对称双向流量倍数增加的条件下，通行能力的提升优于单向、非对称双向、三向流量倍数增加的情况，说明对称双向设置方案适用于对称流量场景. 三向设置方案在单向、非对称双向、对称双向、三向流量倍数增加的条件下，运行性能的表现相差不大，通行能力提升幅度与对称双向设置方案相近，但三向设置方案在方向流量倍数较高时的通行能力提升幅度略微大于方向流量倍数较低时，说明三向设置方案在不对称流量场景中的表现优于对称双向设置方案. 在各种流量场景下，四向设置方案的通行能力提升幅度均大于其他设置方案，且在单向、非对称双向、对称双向、三向流量倍数增加的条件下通行能力提升比例的最小值分别能够达到17.94%、20.64%、21.15%、30.99%，最大值均能达到70.51%，即平行流交叉口在工程应用中宜采用四向全设置方案.

(1)提出平行流交叉口车道控制和信号配时组合优化方法，能够实现设置方案选择(包括单向、非对称双向、对称双向、三向、四向平行流交叉口设置及常规交叉口)、车道数分配和信号配时的组合优化. 案例分析表明，与常规交叉口相比，对称双向、三向、四向设置方案的通行能力分别提升了19.42%、8.57%、54.81%，车均延误降低了14.13%、16.86%、34.48%，单向、非对称双向设置方案的通行能力和车均延误均与常规交叉口相差不大.

(2) 通过敏感性分析发现，在不同左转流量比例和方向流量倍数组合的各种流量场景中，多数情况下，对称双向、三向、四向设置方案的通行能力较常规交叉口分别能够提升约20%、20%、50%，单向、非对称双向设置方案的通行能力与常规交叉口接近. 四向设置的通行能力提升幅度最大，在各种流量场景下通行能力提升比例的最小值、最大值分别为17.94%、70.51%，即采用四向设置在各种流量场景下相较于常规交叉口均具有明显的通行能力优势. 对称双向、三向设置通行能力的提升幅度次之，但对称双向设置在对称流量场景中表现更优，三向设置在不对称流量场景中表现更优. 对称双向、三向设置在各种流量场景下的通行能力提升比例最小值分别为3.48%、3.85%，最大值分别为30.55%、29.69%，即采用对称双向、三向设置在各种流量场景下均能够有效提升常规交叉口的通行能力. 单向、非对称双向设置对交叉口通行能力的提升帮助不大，即平行流交叉口不宜采用单向、非对称双向设置.

(3) 本研究仅对比单向、非对称双向、对称双向、三向、四向平行流交叉口设置方案的通行效率，可以进一步关注各种设置方案的交通安全水平，使平行流交叉口控制更符合实际的交通运行需要.