欠驱动无人艇（unmanned surface vessel, USV）具有自主航行、运动灵活和环境适应能力强等特点，被广泛应用于编队巡航、军事侦察、目标搜索、海上气象预报和水文地理勘査等领域^[1-5]. 实现欠驱动USV精准的轨迹跟踪控制面临以下难点：不可积分的非完整性约束、参数不确定性和外界干扰的非线性^[6-9]. 对此，许多学者利用自适应控制^[10-11]、神经网络控制^[12-14]、反步法^[15-16]和滑模控制^[17-21]等方法展开相关研究. 然而，这些方法都存在局限性：自适应控制方法的鲁棒性有待提高，神经网络控制方法计算量大，反步法需要精确的模型参数.

滑模控制方法因简单易行、鲁棒性强的特点，在欠驱动USV的轨迹跟踪控制领域得到广泛的应用^[17-21]. Ashrafiuon等^[17]将滑模控制方法引入欠驱动船舶的轨迹跟踪问题中，实现直线和曲线轨迹的跟踪，但是该方法未考虑外界干扰的影响，且滑模面抖振严重. 随后，Xu等^[18]基于外界干扰力连续可导的假设，结合PD滑模控制和反步法提出新型轨迹跟踪控制器，提高了系统的鲁棒性. 在此基础上，Sun等^[19]基于USV速度变化缓慢的假设，结合PI滑模控制和自适应控制提出新型控制器，放宽了对环境干扰力连续可导的限制. 之后，Sun等^[20]又提出带有参数估计的自适应滑模控制方法，放宽了横荡运动无源有界的假设.在上述滑膜控制方法中除文献[19]外，其他的方法未能实现全局指数稳定，鲁棒性有待提高^[22-23]. 此外，上述滑模控制方法易引起抖振现象. 为了缓解抖振，一些学者从控制理论出发，对切换增益采取自适应调节^[24-26].Qu等^[24]提出新型的切换增益自适应率（switching-gain adaptation, SGA），不仅能提高收敛速度，还能缓解抖振现象. 因此，该方法被应用于光盘驱动器伺服系统^[24]和有杆抽油系统^[27]，但是其不能实现全局指数稳定.

本研究提出基于改进SGA（improved SGA, ISGA）的欠驱动USV滑模轨迹跟踪控制算法，以提高系统鲁棒性、抑制滑模抖振. 同时，该算法结合反步法和PI滑模控制，以保证欠驱动USV跟踪并保持期望的轨迹.

如图1所示，欠驱动USV的运动一般包含纵荡、横荡、垂荡、纵摇、横摇和艏摇，共6个部分.图中， $ {O_{\text{E}}} - {X_{\text{E}}}{Y_{\text{E}}}{Z_{\text{E}}} $为地面坐标系， $ {O_{\text{b}}} - {X_{\text{b}}}{Y_{\text{b}}}{Z_{\text{b}}} $为USV附体坐标系， $ {[x,y,z,\phi ,\theta ,\psi ]^{\text{T}}} $为USV在地面坐标系下的位置与姿态， $ {[u,v,w,p,q,r]^{\text{T}}} $为USV的线速度与角速度. 本研究为USV的平面运动，在建模过程中简化垂荡、纵摇和横摇^[28-29]. 考虑参数不确定性和外界非线性干扰的影响，建立欠驱动USV的数学模型^[30]：

(1) $ {\boldsymbol{\dot \eta }} = {\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{\eta }}){\boldsymbol{v}}, $

(2) $ {\boldsymbol{M\dot v}} = - {\boldsymbol{H}}({\boldsymbol{v}}) - {\boldsymbol{Dv}}{\text{ + }}{{\boldsymbol{U}}_{{\text{prop}}}}{{ + \Delta }}{\boldsymbol{U}}. $

式中： ${\boldsymbol{\eta }} = {[x,y,\psi ]^{\text{T}}}$为USV在地面坐标系下的平面运动位置与姿态， ${\boldsymbol{v}} = {[u,v,r]^{\text{T}}}$为USV的平面运动线速度和角速度， ${{\boldsymbol{U}}_{{\text{prop}}}} = {[F,0,T]^{\text{T}}}$为推进器提供的推力和力矩， ${{\Delta }}{\boldsymbol{U}} = {[{d_{\text{u}}},{d_{\text{v}}},{d_{\text{r}}}]^{\text{T}}}$为外界环境的干扰力. 转换矩阵 ${\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{\eta }})$、惯性矩阵 ${\boldsymbol{M}}$、阻尼矩阵 ${\boldsymbol{D}}$和 ${\boldsymbol{H}}({\boldsymbol{v}})$分别为

(3) $ {\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{\eta }}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{ - \sin \psi }&0 \\ {\sin \psi }&{\cos \psi }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right], $

(4) $ {\boldsymbol{M}} = {\text{diag}}\left( {m_{11}},{m_{22}},{m_{33}}\right) {\text{,}} $

(5) $ {\boldsymbol{D}} = {\text{diag}}\left( {d_{11}},{d_{22}},{d_{33}}\right) , $

(6) $ {\boldsymbol{H}}({\boldsymbol{v}}) = {\text{diag}}\left( - {m_{22}}vr,{m_{11}}ur,\left({m_{22}} - {m_{11}}\right)uv\right) . $

式中： $ {m_{ii}} $、 $ {d_{ii}} $分别为USV惯量矩阵和阻尼矩阵的未知数值， $ {m_{ii}} $、 ${d_{ii}} > 0$，且满足 ${m_{11}} - {m_{22}} > 0$.

设定目标轨迹 ${{\boldsymbol{\eta }}_{\text{d}}} = {[{x_{\text{d}}},{y_{\text{d}}},{\psi _{\text{d}}}]^{\text{T}}}$，目标航向 ${\psi _{\text{d}}} = $ $ \arctan ({\dot y_{\text{d}}}/{\dot x_{\text{d}}})$. 设置跟踪误差为^[16]

(7) $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{\text{e}}}} \\ {{y_{\text{e}}}} \\ {{\psi _{\text{e}}}} \end{array}} \right]{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{\sin \psi }&0 \\ { - \sin \psi }&{\cos \psi }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_{\text{d}}}} \\ {y - {y_{\text{d}}}} \\ {\psi - {\psi _{\text{d}}}} \end{array}} \right]. $

本研究的目标为设计一款控制器，在存在参数不确定性和外界干扰的情况下，使位姿控制误差 $ {[{x_{\text{e}}},{y_{\text{e}}},{\psi _{\text{e}}}]^{\text{T}}} $指数收敛到0. 由式(1)~(7)可得，位姿跟踪误差的导数为

(8) $ {\dot x_{\text{e}}} = u - {v_{\text{a}}}\cos {\psi _{\text{e}}} + r{y_{\text{e}}}, $

(9) $ {\dot y_{\text{e}}} = v + {v_{\text{a}}}\sin {\psi _{\text{e}}} - r{x_{\text{e}}}. $

式中： ${v_{\text{a}}}{\text{ = }}( {{{\dot x}^2}_{\text{d}}{\text{ + }}{{\dot y}^2}_{\text{d}}})^{0.5}$.

SGA可抑制滑模抖振，但仅能实现全局渐近稳定. 本研究提出的基于理想增益的ISGA方法，可实现系统的全局指数稳定. 本研究方法利用新型自适应率更新切换增益值，使其基于理想增益自动调节，在减弱抖动的同时实现全局指数稳定.

针对非线性系统，其表达式为

(10) $ \dot a = f(a,t) + b, $

(11) $ f(a,t) = {\bf\textit{φ}}(a,t){\boldsymbol{\beta }} + \varDelta (a,t). $

式中： $ a $为状态量， $ b $为控制量， ${\bf\textit{φ}}(a,t)$为关于 $ a $和时间 $ t $的已知表达式， $\;{\boldsymbol{\beta }}$为未知参数， $ \varDelta (a,t) $为不确定非线性. 设置控制量 $ b $为

(12) $ b = - {{\bf\textit{φ}} \boldsymbol{\hat \beta} } + {\dot a_{\text{d}}} - k{a_{\text{e}}} - \lambda \tanh (\kappa \lambda {a_{\text{e}}}/\varepsilon ). $

式中： $ \kappa = $0.2785且 $\varepsilon 、k > 0$， $\;{\boldsymbol{\hat \beta }}$为 $\;{\boldsymbol{\beta }}$的估计值， $ {a_{\text{d}}} $为 $ a $的目标值. 构建李雅普诺夫函数：

(13) $ {V_{\rm{a}}} = a_{\rm{e}}^2/2. $

式中：a_e为控制误差， $ {a_{\text{e}}} = a - {a_{\text{d}}} $. $ {V_{\rm{a}}} $的导数为

(14) $ {\dot V_{\text{a}}} = - ka_{\text{e}}^{\text{2}} + {a_{\text{e}}}\left[ - {{{\bf\textit{φ}} \boldsymbol{\tilde \beta} }} + \varDelta - \lambda \tanh \left(\kappa \lambda {a_{\text{e}}}/\varepsilon \right)\right]. $

切换增益 $ \lambda $取值过大会引发滑模面严重抖振，造成系统控制性能的下降；取值过小又不足以抵消参数不确定性和非线性的影响. 因此须设计合适的 $ \lambda $. 对 $ {a_{\text{e}}} $求导，可得

(15) $ \left| {{{\bf\textit{φ}} \boldsymbol{\tilde \beta} } - \varDelta (a,t)} \right|{\text{ = }}\left| {{{\dot a}_{\text{e}}}{\text{ + }}k{a_{\text{e}}}{\text{ + }}\lambda \tanh (\kappa \lambda {a_{\text{e}}}/\varepsilon )} \right|. $

设计理想切换增益 $ {\lambda _{\text{i}}} $为

(16) $ {\lambda _{\text{i}}} = \left| {{{\dot a}_{\text{e}}}{\text{ + }}k{a_{\text{e}}}{\text{ + }}\lambda \tanh (\kappa \lambda {a_{\text{e}}}/\varepsilon )} \right|{\text{ + }}\eta . $

式中： $ \eta $为较小的正值. 理想切换增益 $ {\lambda _{\text{i}}} $永远略大于 $\left| {{{\bf\textit{φ}} \boldsymbol{\tilde \beta} } - \varDelta (a,t)} \right|$. 为了实现全局指数稳定，所提算法采用如下切换增益自适应率：

(17) $ \dot \lambda = \left\{ \begin{array}{l} - {c_{\rm{1}}} - {c_{\rm{2}}}\left( {\lambda - {\lambda _{\rm{i}}}} \right),\qquad\quad\;\;\; \lambda > {\lambda _{\rm{i}}};\\ {c_{\rm{1}}} - {c_{\rm{2}}}\left( {\lambda - {\lambda _{\rm{i}}}} \right) + {c_{\rm{3}}}\left| {{a_{\rm{e}}}} \right|,\;\;\;\;\;其他. \end{array} \right.$

式中： $ {c_{\text{1}}} \geqslant P $，且 $ {c_2}、{c_3} > 0 $. $\;P = \sup \left| {{{\dot \lambda }_{\text{i}}} - {c_{\text{3}}}\varepsilon /(\lambda - {\lambda _{\text{i}}})} \right| $. 设计李雅普诺夫函数：

(18) $ {\textit{V}_{\text{b}}} = {\textit{V}_{\text{a}}} + {(\lambda - {\lambda _{\text{i}}})^2}/(2{c_{\text{3}}}). $

${\textit{V}_{\text{b}}}$的导数可以表示为

(19) $ \begin{split} &{{\dot V}_{\rm{b}}} = - ka_{\rm{e}}^{\rm{2}} + {a_{\rm{e}}}\left[ { - {\bf\textit{φ}} {\boldsymbol{\tilde \beta}} + \varDelta - \lambda \tanh (\kappa \lambda {a_{\rm{e}}}/\varepsilon )} \right]+\\ & \qquad (\lambda - {\lambda _{\rm{i}}})(\dot \lambda - {{\dot \lambda }_{\rm{i}}})/{c_{\rm{3}}}. \end{split} $

根据 $ \mathrm{tanh}(·) $函数的性质，满足:

(20) $ 0 \leqslant \left| {\lambda {a_{\text{e}}}} \right| - \lambda {a_{\text{e}}}\tanh (\kappa \lambda {a_{\text{e}}}/\varepsilon )] \leqslant \varepsilon . $

式(19)可以转化为

(21) $ \begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_{\text{b}}} =- ka_{\text{e}}^{\text{2}} + {a_{\text{e}}}\left[ - {{\bf\textit{φ}} {\boldsymbol{\tilde \beta}} } + \varDelta - \lambda \tanh (\kappa \lambda {a_{\text{e}}}/\varepsilon )\right] + (\lambda - {\lambda _{\text{i}}}) \times \\ &\qquad(\dot \lambda - {{\dot \lambda }_{\text{i}}})/{c_3} \leqslant - ka_{\text{e}}^{\text{2}} + {a_{\text{e}}}\left[ - {{\bf\textit{φ}} {\boldsymbol{\tilde \beta}} } + \varDelta - \lambda {{\rm{sgn}}} ({a_{\text{e}}})\right] + \\ &\qquad(\lambda - {\lambda _{\text{i}}})[\dot \lambda - {{\dot \lambda }_{\text{i}}}{\text{ + }}{c_{\text{3}}}\varepsilon /(\lambda - {\lambda _{\text{i}}})]/{c_{\text{3}}}.\\[-10pt] \end{split} $

1）当 $ \lambda > {\lambda _{\text{i}}} $时，满足 $\lambda > {\lambda _{\text{i}}} > \left| {{{\bf\textit{φ} {\boldsymbol{\tilde \beta}} }} - \varDelta (a,t)} \right|$，则

(22) $ \begin{split} & {{\dot {\textit{V}}}_{\text{b}}} \leqslant - ka_{\text{e}}^{\text{2}} + \varepsilon + (\lambda - {\lambda _{\text{i}}})(\dot \lambda - {{\dot \lambda }_{\text{i}}})/{c_{\text{3}}} \leqslant \\ & \qquad - ka_{\text{e}}^{\text{2}} - {c_2}{(\lambda - {\lambda _{\text{i}}})^2}/{c_3}. \end{split} $

2）当 $ \lambda < {\lambda _{\text{i}}} $时，则

(23) $\begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_{\text{b}}} = - ka_{\text{e}}^{\text{2}} + {a_{\text{e}}}\left[ - {\bf\textit{φ}}(a,t){\boldsymbol{\tilde \beta }} + \varDelta (a,t) - \lambda {{\rm{sgn}}} ({a_{\text{e}}})\right] +(\lambda - {\lambda _{\text{i}}}) \times\\ &\qquad(\dot \lambda - {{\dot \lambda }_{\text{i}}})/{c_3} = - ka_{\text{e}}^{\text{2}} + {a_{\text{e}}}\left[ - {\bf\textit{φ}}(a,t){\boldsymbol{\tilde \beta }} + \varDelta (a,t) - {\lambda _{\text{i}}}{{\rm{sgn}}} ({a_{\text{e}}}) \right] + \\ &\qquad(\lambda - {\lambda _{\text{i}}})(\dot \lambda - {{\dot \lambda }_{\text{i}}} + {c_3}\varepsilon /(\lambda - {\lambda _{\text{i}}}))/{c_3} \leqslant - ka_{\text{e}}^{\text{2}} - {c_2}{(\lambda - {\lambda _{\text{i}}})^2}/{c_3}. \\[-10pt] \end{split}$

由1）、2）可得 ${\dot {\textit{V}}_{\text{b}}} \leqslant - ka_{\text{e}}^{\text{2}} - {c_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/{c_3}$，证明非线性系统式(10)、(11)在控制量式(12)和切换增益式(17)作用下的全局指数稳定性^[31].

构造李雅普诺夫函数：

(24) $ {{\textit{V}}_1} = (x_{\text{e}}^{\text{2}} + {\lambda _0}y_{\text{e}}^{\text{2}})/2. $

式中： $ 0 < {\lambda _0} < 1 $.则 $ {V_1} $的导数可以表示为

(25) $ \begin{split} &{\dot {{V}}_1}{\rm{ = }}{x_{\rm{e}}}\left( {u - {v_{\rm{a}}}\cos {\psi _{\rm{e}}}} \right) + {\lambda _0}{y_{\rm{e}}}\left( {v + {v_{\rm{a}}}\sin {\psi _{\rm{e}}}} \right) + \\ & \qquad \left( {1 - {\lambda _0}} \right)r{x_{\rm{e}}}{y_{\rm{e}}}. \end{split} $

传统的轨迹跟踪控制方式大多基于横荡速度无源有界的假设，在推导广义速度无源有界的过程中存在循环证明的问题. 为了避免横荡速度无源有界的假设，设虚拟速度变量：

(26) $ \bar \alpha = {v_{\text{a}}}\sin {\psi _{\text{e}}}. $

为了保证 ${\dot {\textit{V}}_1}$负定，设定 $ u $、 $ \bar \alpha $ 的目标值 $ {u_{\text{d}}} $、 $ {\bar \alpha _{\text{d}}} $ 分别为

(27) $ {u_{\text{d}}} = {v_{\text{a}}}\cos {\psi _{\text{e}}} - {\lambda _1}{x_{\text{e}}}, $

(28) $ {\bar \alpha _{\text{d}}} = - v - {\lambda _2}{y_{\text{e}}}/\rho . $

式中： ${\lambda _1}、{\lambda _2} > 0$，且 $\;\rho = {\left( {1 + x_{\rm{e}}^{\rm{2}} + y_{\rm{e}}^{\rm{2}}} \right)^{0.5}}$. $ u $、 $ \bar \alpha $的误差值 $ {u_{\text{e}}} $、 $ {\bar \alpha _{\text{e}}} $分别为

(29) $ {u_{\text{e}}} = u - {u_{\text{d}}}, $

(30) $ {\bar \alpha _{\text{e}}} = \bar \alpha - {\bar \alpha _{\text{d}}}. $

将式(26)~(30)代入(25)，可得

(31) $ {\dot {\textit{V}}_1}= - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - \frac{{{\lambda _2}{\lambda _0}y_{\text{e}}^{\text{2}}}}{\rho } + {u_{\text{e}}}{x_{\text{e}}} + {\lambda _0}{\bar \alpha _{\text{e}}}{y_{\text{e}}} + (1 - {\lambda _0})r{x_{\text{e}}}{y_{\text{e}}}. $

通过合理设计 $ F $，使误差 $ {u_{\text{e}}} $稳定. 根据式(29)，可以得到 $ {u_{\text{e}}} $的微分为

(32) $ {\dot u_{\text{e}}} = ({m_{22}}vr - {d_{11}}u + F + {d_{\text{u}}} - {m_{11}}{\dot u_{\text{d}}})/{m_{11}}. $

构造李雅普诺夫函数：

(33) $ {{\textit{V}}_2}{\text{ = }}{{\textit{V}}_1} + u_{\text{e}}^{\text{2}}/2. $

定义滑模面 $ {S_1} $为

(34) $ {S_1} = {u_{\text{e}}} + {\lambda _3}\int {{u_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } + \int {{x_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } + \int {(1 - {\lambda _0})r{x_{\text{e}}}{y_{\text{e}}}/{u_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } . $

式中： $ {\lambda _3} > 0 $. $ {u_{\text{e}}} + {\lambda _3}\int {{u_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } $构成PI滑模面的基本项， $ \int {{x_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } + \int {(1 - {\lambda _0})r{x_{\text{e}}}{y_{\text{e}}}/{u_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } $用于对消式(31)中的 $ {u_{\text{e}}}{x_{\text{e}}} + (1 - {\lambda _0})r{x_{\text{e}}}{y_{\text{e}}} $项，保证系统的稳定性. $ {S_1} $的导数为

(35) $ {\dot{S}}_{1}\text{=(}F\text+{\bf\textit{φ}}_{1}{\boldsymbol{\beta }}_{1})/{m}_{11}\text{，} $

(36) $ {{\bf\textit{φ}}_1}{\text{ = }}\left[ {{\lambda _3}{u_{\text{e}}} + {x_{\text{e}}} - {{\dot u}_{\text{d}}},vr, - u,1} \right], $

(37) $ {{\boldsymbol{\beta }}_1} = {\left[ {{m_{11}},{m_{22}},{d_{11}},{d_{\text{u}}}} \right]^{\text{T}}}. $

因此， $ {\dot u_{\text{e}}} $满足

(38) $ {\dot u_{\text{e}}} = {\dot S_1} - {\lambda _3}{u_{\text{e}}} - {x_{\text{e}}}. $

构造李雅普诺夫函数：

(39) $ {{\textit{V}}_3} = {{\textit{V}}_2} + S_1^2/2. $

根据式(35)~(39)，可以得到

(40) $ \begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_3} = - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} + {\lambda _0}{{\bar \alpha }_{\text{e}}}{y_{\text{e}}} - {\lambda _3}u_{\text{e}}^2 + \\ & \qquad (F - {{\bf\textit{φ}}_1}{{\boldsymbol{\beta }}_1})({u_{\text{e}}} + {S_1})/{m_{11}}. \end{split} $

$\;{{\boldsymbol{\beta }}_1}$的数值未知，可以根据其估计值 $\;{{\boldsymbol{\hat \beta }}_1} = \left[ {{{\hat m}_{11}}, {{\hat m}_{22}},} \right. $ $ {\left. {{{\hat d}_{11}},{{\hat d}_{\rm{u}}}} \right]^{\rm{T}}}$设置推力 $ F $为

(41) $ F = - {{\bf\textit{φ}}_1}{{\boldsymbol{\hat \beta }}_1} - {\lambda _4}({S_1} - {u_{\text{e}}}) - {\lambda _5}\tanh (\kappa {\lambda _5}({S_1} + {u_{\text{e}}})/{\varepsilon _1}). $

式中： ${\varepsilon }_{1}、{\lambda }_{4}、{\lambda }_{5} > 0$. 将式(41)代入式(35)可以得到

(42) $ \begin{split} &{m_{11}}{{\dot S}_1}{\rm{ = }}\left[ { - {{\bf\textit{φ}}_1} {{{\boldsymbol{\tilde \beta}} }_1} - {\lambda _4}({S_1} - {u_{\rm{e}}}) - } \right.\\ & \qquad \quad \Big. {{\lambda _5}\tanh \left( {\kappa {\lambda _5}\left( {{S_1} + {u_{\rm{e}}}} \right)/{\varepsilon _1}} \right)} \Big]. \end{split} $

式中： ${{\boldsymbol{\tilde \beta }}_1} = {{\boldsymbol{\hat \beta }}_1} - {{\boldsymbol{\beta }}_1}$.将式(42)代入式(39)，得到

(43) $ \begin{split} &{{\dot V}_3}{\text{ = }} - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _2}{\lambda _0}y_{\text{e}}^{\text{2}} + {\lambda _0}{{\bar \alpha }_{\text{e}}}{y_{\text{e}}} - {\lambda _4}{S_1}^2/{m_{11}} - \\ & \qquad \left({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}}\right)u_{\text{e}}^2 - \left({u_{\text{e}}} + {S_1}\right) \times \\ & \qquad \left[{\lambda _5}\tanh \left(\kappa {\lambda _5}\left({S_1} + {u_{\text{e}}}\right)/{\varepsilon _1}\right) + {{\bf\textit{φ}}_1}{{{\boldsymbol{\tilde \beta }}}_1}\right]/{m_{11}}. \end{split} $

设置 $ {\lambda _3} > {\lambda _4}/{m_{11}} $，并采用ISGA算法设计 $ {\lambda _5} $自适应率为

(44) $ {{\dot \lambda }_5} = \left\{ \begin{array}{l} - {k_1} - {k_2}\left( {{\lambda _5} - {\lambda _{{\rm{5i}}}}} \right),\qquad \qquad \;\;\;\;\;{\lambda _5} > {\lambda _{\rm{5}}}_{\rm{i}};\\ {k_1} - {k_2}\left( {{\lambda _5} - {\lambda _{{\rm{5i}}}}} \right) + {k_3}\left| {{S_1} + {u_{\rm{e}}}} \right|,\;\;\;其他. \end{array} \right. $

式中： $ {k_1} > \sup \left| {{{\dot \lambda }_{{\text{5i}}}} - {k_3}{\varepsilon _1}/({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})} \right| $，且 $ {k_2}、{k_3} > 0 $. $ {\lambda _5} $的理想增益 $ {\lambda _{{\text{5i}}}} $为

(45) $ \begin{split} &{\lambda _{{\rm{5i}}}} = \left| {{{\hat m}_{11}}{{\dot S}_1}{\rm{ + }}{\lambda _4}\left( {{S_1} - {u_e}} \right){\rm{ + }}} \right.\\ & \qquad \big. {{\lambda _5}\tanh \left( {\kappa {\lambda _5}\left( {{S_1} + {u_{\rm{e}}}} \right)/{\varepsilon _1}} \right)} \big|{\rm{ + }}{\eta _1}. \end{split} $

式中： $ {\eta _1}{\text{ = }}\sup \left| {({m_{11}} - {{\hat m}_{11}}){{\dot S}_1}} \right| + {\varDelta _1} $，且 $ {\varDelta _1} $为任意小的正值.设置李雅普诺夫函数：

(46) $ {{\textit{V}}_4} = {{\textit{V}}_3} + {({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/(2{m_{11}}{k_3}). $

${{\textit{V}}_4}$的导数为

(47) $ \begin{split} {{\dot {\textit{V}}}_4} < - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} + {\lambda _0}{{\bar \alpha }_{\text{e}}}{y_{\text{e}}} - {\lambda _4}{S_1^2}/{m_{11}} - \\ ({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}})u_{\text{e}}^2 - {k_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/({m_{11}}{k_3}). \end{split} $

通过合理设计虚拟控制量 $ r $，使误差 $ {\bar \alpha _e} $稳定. 根据式(30)，可得 $ {\bar \alpha _{\text{e}}} $的微分为

(48) $ {\dot{\overline{\alpha }}}_{\text{e}}={\dot{v}}_{\text{a}}\mathrm{sin}{\psi }_{\text{e}}+{v}_{\text{a}}\mathrm{cos}{\psi }_{\text{e}}(r-{\dot{\psi }}_{\text{d}})+Q+{\bf\textit{φ}}_{2}{\boldsymbol{\beta} }_{2}\text{，} $

(49) $ Q = {\lambda _2}({\rho ^{ - 1}} - y_{\text{e}}^{\text{2}}{\rho ^{ - 3}}){\dot y_{\text{e}}} - {k_2}{x_{\text{e}}}{y_{\text{e}}}{\rho ^{ - 3}}{\dot x_{\text{e}}}, $

(50) $ {{\bf\textit{φ}}_2} = \left[ { - ur, - v,1} \right], $

(51) $ {{\boldsymbol{\beta }}_2} = {\left[ {{m_{11}}/{m_{22}},\;{d_{22}}/{m_{22}},\;{d_{\text{v}}}/{m_{22}}} \right]^{\rm{T}}}. $

构造李雅普诺夫函数：

(52) $ {{\textit{V}}_5} = {{\textit{V}}_4} + {\bar \alpha ^{\text{2}}}_{\text{e}}/2. $

${{\textit{V}}_5}$的导数为

(53) $ \begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_5} \leqslant - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} - ({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}})u_{\text{e}}^2 - {\lambda _4}{S_1^2}/{m_{11}} -\\ & \qquad {k_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/({m_{11}}{k_3}) + {{\bar v}_{\text{e}}}{\lambda _0}{y_{\text{e}}} + {{\bar v}_{\text{e}}}{{\dot v}_{\text{a}}}\sin {\psi _{\text{e}}} + \\ & \qquad {{\bar v}_{\text{e}}}\left[{v_{\text{a}}}\cos {\psi _{\text{e}}}(r - {{\dot \psi }_{\text{d}}}) + {{\bf\textit{φ}}_2}{{\boldsymbol{\beta }}_2} + {\lambda _0}{{\dot y}_{\text{e}}}\right].\\[-10pt] \end{split} $

为了使 ${\dot {\textit{V}}_5}$负定，设定虚拟控制量 $ r $的目标值为 $ {r_{\rm{d}}} $.

(54) $ \begin{split} &{r_{\text{d}}} = {{\dot \varphi }_{\text{d}}} + [ - {{\dot v}_{\text{a}}}\sin {\psi _{\text{e}}} - {\lambda _0}{y_{\text{e}}} - {\lambda _2}{{\dot y}_{\text{e}}} - {\lambda _6}{{\bar \alpha }_{\text{e}}} - {{\bf\textit{φ}}_2}{{{\boldsymbol{\hat \beta }}}_2} -\\ &\qquad{\lambda _7}\tanh (\kappa {\lambda _7}{{\bar \alpha }_{\text{e}}}/{\varepsilon _2}) - Q]/({v_{\text{a}}}\cos {\psi _{\text{e}}}). \end{split} $

式中： $\;{{\boldsymbol{\hat \beta }}_2}$ 为 $\;{{\boldsymbol{\beta }}_2}$ 的估计值， $\;{{\boldsymbol{\hat \beta }}_2} = {\left[ {{{\hat m}_{11}}/{{\hat m}_{22}},\;{{\hat d}_{22}}/{{\hat m}_{22}},\;{{\hat d}_v}/{{\hat m}_{22}}} \right]^{\text{T}}}$，且 ${\lambda _6}、{\lambda _7}、{\varepsilon _2} > 0$. 式(48)可转化为

(55) $ \begin{split} &{{\dot {\overline \alpha }}_{\text{e}}} = - {\lambda _0}{y_{\text{e}}} - {\lambda _6}{{\overline \alpha }_{\text{e}}} - {{\bf\textit{φ}}_2}{{{\boldsymbol{\tilde \beta }}}_2} - \\ & \qquad {\lambda _7}\tanh (\kappa {\lambda _7}{{\overline \alpha }_{\text{e}}}/{\varepsilon _2}) + {v_{\text{a}}}\cos {\psi _{\text{e}}}{r_{\text{e}}}. \end{split} $

式中： $\;{{\boldsymbol{\tilde \beta }}_2} = \;{{\boldsymbol{\hat \beta }}_2} - \;{{\boldsymbol{\beta }}_2}$， ${r_{\text{e}}} = r - {r_{\text{d}}}$. 设置理想切换增益 $ {\lambda _{{\text{7i}}}} $为

(56) $ \begin{split} &{\lambda _{{\rm{7i}}}} = \left| {{{\dot {\overline \alpha} }_{\rm{e}}} + {\lambda _0}{y_{\rm{e}}} + {\lambda _6}{{\bar \alpha }_{\rm{e}}} + } \right.\\ & \qquad \big . {{\lambda _7}\tanh \left( {\kappa {\lambda _7}{{\bar \alpha }_{\rm{e}}}/{\varepsilon _2}} \right) - {v_{\rm{a}}}\cos {\psi _{\rm{e}}}{r_{\rm{e}}}} \big |{\rm{ + }}{\eta _2}. \end{split} $

式中： $ {\eta _2} $为任意小的正值. 采用ISGA算法设计的切换增益自适应率为

(57) $ {{\dot \lambda }_7} = \left\{ \begin{array}{l} - {k_4} - {k_5}\left( {{\lambda _7} - {\lambda _{\rm{7}}}_{\rm{i}}} \right),\qquad\quad \;\;\; {\lambda _7} > {\lambda _{\rm{7}}}_{\rm{i}};\\ {k_4} + {k_5}({\lambda _7} - {\lambda _{\rm{7}}}_{\rm{i}}) + {k_6}\left| {{{\bar \alpha }_{\rm{e}}}} \right|,\;\;\;\;\;其他. \end{array} \right. $

式中： $ {k_4} \geqslant {P_2} $，且 ${k_5}、{k_6} > 0$.

(58) $ {P_2} = \sup \left| {{{\dot {\lambda} }_{{\text{7i}}}} - {k_6}{\varepsilon _2}/({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})} \right|. $

构造李雅普诺夫函数：

(59) $ {{\textit{V}}_6} = {{\textit{V}}_5} + {({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})^2}/(2{k_6}). $

${{\textit{V}}_6}$的导数为

(60) $ \begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_6} \leqslant - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} - ({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}})u_{\text{e}}^2 -\\ & \qquad {\lambda _4}{S_1^2}/{m_{11}} - {\lambda _6}{\bar \alpha _{\rm{e}}^2}{\text{ + }}{{\overline \alpha }_{\text{e}}}{v_{\text{a}}}\cos {\psi _{\text{e}}}{r_{\text{e}}} - \\ & \qquad {k_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/({m_{11}}{k_3}) - {k_5}{({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})^2}/{k_6}. \end{split} $

通过合理设计T，使误差 $ {r_{\text{e}}} $稳定. $ {r_{\text{e}}} $的微分为

(61) $ {\dot r_{\text{e}}} = \left(\left({m_{11}} - {m_{22}}\right)uv - {d_{33}}r + T{\text{ + }}{d_{\text{r}}} - {m_{33}}{\dot r_{\text{d}}}\right)/{m_{33}}. $

构造李雅普诺夫函数：

(62) $ {{\textit{V}}_7} = {{\textit{V}}_6} + {r_{\text{e}}}^{\text{2}}/2. $

设计滑模面函数 $ {S_2} $：

(63) $ {S_2} = {r_{\text{e}}} + {\lambda _8}\int {{r_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } + \int {{v_{\text{a}}}{{\overline \alpha }_{\text{e}}}\cos {\psi _{\text{e}}}{\text{d}}\tau } . $

式中： ${\lambda _8} > 0$. $ {r_e} + {\lambda _8}\int {{r_{\text{e}}}{\text{d}}\tau } $构成PI滑模面的基本项， $\int {{v_{\text{a}}}{{\overline \alpha }_{\text{e}}}\cos {\psi _{\text{e}}}{\text{d}}\tau }$用于对消式(60)中的 ${\overline \alpha _{\text{e}}}{v_{\text{a}}}\cos {\psi _{\text{e}}}{r_{\text{e}}}$项，保证系统的稳定性. $ {S_2} $的导数可以表示为

(64) $ {\dot{S}}_{2}=({\bf\textit{φ}}_{3}{\boldsymbol{\beta} }_{3}+T)/{m}_{33}\text{，} $

(65) $ {{\bf\textit{φ}}_3}{\text{ = }}\left[ {{k_8}{r_{\text{e}}} + {v_{\text{a}}}{{\bar v}_{\text{e}}}\cos {\psi _{\text{e}}} - {{\dot r}_{\text{d}}},\;uv,\; - r,\;1} \right], $

(66) $ \;{{\boldsymbol{\beta }}_3} = {\left[ {{m_{33}},\;{m_{11}} - {m_{22}},\;{d_{33}},\;{d_{\text{r}}}} \right]^{\rm{T}}}. $

式(61)可表示为

(67) $ {\dot r_{\text{e}}} = {\dot S_2} - {\lambda _8}{r_{\text{e}}} - {v_{\text{a}}}{\bar \alpha _{\text{e}}}\cos {\psi _{\text{e}}}. $

构造李雅普诺夫函数：

(68) $ {{\textit{V}}_8} = {{\textit{V}}_7} + S_2^2/2. $

${{\textit{V}}_8}$的导数可以表示为

(69) $ \begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_8} \leqslant - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _6}{{\bar \alpha }_{\text{e}}}^{\text{2}} - ({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}})u_{\text{e}}^2 - \\ & \qquad{\lambda _4}{S_1^2}/{m_{11}} - {\lambda _8}r_{\text{e}}^2 + ({{\bf\textit{φ}}_3}{{\boldsymbol{\beta }}_3} + T)({r_{\text{e}}} + {S_2})/{m_{33}} - \\ & \qquad {k_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/({m_{11}}{k_3}) - {k_5}{({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})^2}/{k_6}. \end{split}$

根据 $\;{{\boldsymbol{\beta }}_3}$的估计值 $\;{{\boldsymbol{\hat \beta }}_3} = {\left[ {{{\hat m}_{33}},\;{{\hat m}_{11}} - {{\hat m}_{22}},\;{{\hat d}_{33}},\;{{\hat d}_{\text{r}}}} \right]^{\rm{T}}}$，设计 $ T $为

(70) $ T = - {{\bf\textit{φ}}_3}{{\boldsymbol{\hat \beta }}_3} - {\lambda _9}({S_2} - {r_{\text{e}}}) - {\lambda _{10}}\tanh (\kappa {\lambda _{10}}({S_2} + {r_{\text{e}}})/{\varepsilon _3}). $

式中： ${\varepsilon _3}、{\lambda _9}、{\lambda _{10}} > 0$. 此时式(64)可以转化为

(71) $ \begin{split} &{{\dot S}_2} = \left[ { - {{\bf\textit{φ}}_3} {{\boldsymbol{\tilde \beta }}_3}- {\lambda _9}\left( {{S_2} - {r_{\rm{e}}}} \right) - } \right.\\ & \qquad \Big. {{\lambda _{10}}\tanh \left( {\kappa {\lambda _{10}}({S_2} + {r_{\rm{e}}})/{\varepsilon _3}} \right)} \Big]/{m_{33}}. \end{split} $

式中： $\;{{\boldsymbol{\tilde \beta }}_3} = \;{{\boldsymbol{\hat \beta }}_3} - \;{{\boldsymbol{\beta }}_3}$. 式(69)可以转化为

(72) $ \begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_8} \leqslant - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _4}{S_1^2}/{m_{11}} - ({\lambda _8} - {\lambda _9}/{m_{33}})r_{\text{e}}^{\text{2}} - \\ & \qquad{\lambda _9}{S_2^2}/{m_{33}} - {\lambda _6}{{\bar \alpha }^{\text{2}}}_{\text{e}} - ({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}}){u_{\rm{e}}^2} - \\ &\qquad {k_5}{({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})^2}/{k_6} - {k_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/({m_{11}}{k_3}) - \\ &\qquad({r_{\text{e}}} + {S_2})\left[{\lambda _{10}}\tanh (\kappa {\lambda _{10}}({S_2} + {r_{\text{e}}})/{\varepsilon _3}) + {{\bf\textit{φ}}_3}{{{\boldsymbol{\tilde \beta }}}_3}\right]\Big{/}{m_{33}}.\\[-10pt] \end{split} $

理想增益 $ {\lambda _{10{\rm{i}}}} $可以表示为

(73) $ \begin{split} & {\lambda _{{\rm{10i}}}} = \left| {{{\hat m}_{33}}{{\dot S}_2} + {\lambda _9}({S_2} - {r_{\rm{e}}}) + } \right.\\ & \qquad \big. {{\lambda _{10}}\tanh \left( {\kappa {\lambda _{10}}\left( {{S_2} + {r_{\rm{e}}}} \right)/{\varepsilon _3}} \right)} \big| + {\eta _3}. \end{split} $

式中： $ {\eta _3}{\text{ = }}\sup \left| {({m_{33}} - {{\hat m}_{33}}){{\dot S}_2}} \right| + {\varDelta _2} $，且 $ {\varDelta _2} $是任意小的正数. 采用ISGA算法设计的切换增益自适应率为

(74) $ {{\dot \lambda }_{10}} = \left\{ \begin{array}{l} - {k_7} - {k_8}({\lambda _{10}} - {\lambda _{{\rm{10i}}}}),\;\;\;\;\;\;\qquad\qquad\; {\lambda _{10}} > {\lambda _{10{\rm{i}}}};\\ {k_7} - {k_8}({\lambda _{10}} - {\lambda _{{\rm{10i}}}}) + {k_9}\left| {{S_2} + {r_e}} \right|,\;\;\;\;其他. \end{array} \right. $

式中： ${k_7} \geqslant {P_3}$，且 ${k_8}、{k_9} > 0$.

(75) $ {P_3} = \sup \left| {{{\dot \lambda }_{{\text{10i}}}} - {k_9}{\varepsilon _3}/({\lambda _{10}} - {\lambda _{{\text{10i}}}})} \right|. $

构建李雅普诺夫函数：

(76) $ {{\textit{V}}_9} = {{\textit{V}}_8} + {({\lambda _{10}} - {\lambda _{{\text{10i}}}}{\text{)}}^2}/(2{m_{33}}{k_9}). $

根据式(72)、(74)和(76)可得:

(77) $ \begin{split} &{{\dot{\textit{V}}}_9} \leqslant - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _6}{{\bar \alpha }_{\text{e}}}^{\text{2}} - ({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}}){u_{\rm{e}}^2} - \\ & \qquad{\lambda _4}{S_1^2}/{m_{11}} - {\lambda _8}{r_{\rm{e}}^2} + ({{\bf\textit{φ}}_3}{{\boldsymbol{\beta }}_3} + T)({r_{\text{e}}} + {S_2})/{m_{33}} - \\ &\qquad{k_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/({m_{11}}{k_3}) - {k_5}{({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})^2}/{k_6} + \\ &\qquad({\lambda _{10}} - {\lambda _{{\text{10i}}}})({{\dot \lambda }_{10}} - {{\dot \lambda }_{{\text{10i}}}})/({m_{33}}{k_9}). \\[-2pt] \end{split} $

根据式(22)~(23)的ISGA特性， $ {V_9} $的导数可以表示为

(78) $ \begin{split} &{{\dot {\textit{V}}}_9} \leqslant - {\lambda _1}x_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _0}{\lambda _2}y_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _6}{{\bar \alpha }^{\text{2}}}_{\text{e}} - ({\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}}){u_{\rm{e}}^2} - \\ & \qquad {\lambda _4}{S_1^2}/{m_{11}} - ({\lambda _8} - {\lambda _9}/{m_{33}})r_{\text{e}}^{\text{2}} - {\lambda _9}{S_2^2}/{m_{33}} - \\ & \qquad{k_2}{({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/({m_{11}}{k_3}) - {k_5}{({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})^2}/{k_6} - \\ & \qquad {k_8}{({\lambda _{10}} - {\lambda _{{\text{10i}}}})^2}/({m_{33}}{k_9}). \end{split}$

如图2所示为基于ISGA的控制器原理图，具体控制方法见式（24） ~ （78）. 该方法先将目标位姿与实际位姿对比，构建滑模面；再采用ISGA算法计算理想增益，求解切换增益数值；最终根据滑模面和切换增益的数值，求取输出力/力矩.

定理1 考虑欠驱动USV的运动学模型和动力学模型式(1)~(6)满足假设1，存在控制器如式(41)、(54)、(70)，切换增益如式(44)、(57)、(74)，保证轨迹跟踪闭环系统全局指数稳定，跟踪误差 ${{\boldsymbol{z}}_{\text{e}}} = \left[ {{x_{\text{e}}},{y_{\text{e}}},{u_{\text{e}}},{{\overline v}_{\text{e}}},{r_{\text{e}}}} \right]$指数收敛到0.

假设1 目标轨迹 ${{\boldsymbol{\eta }}_d}$和环境干扰力 ${\boldsymbol{\Delta U}}$满足：1) $ {x_{\text{d}}} $、 $ {\dot x_{\text{d}}} $、 $ {\ddot x_{\text{d}}} $、 $ {y_{\text{d}}} $、 $ {\dot y_{\text{d}}} $、 $ {\ddot y_{\text{d}}} $、 $ {\psi _{\text{d}}} $、 $ {\dot \psi _{\text{d}}} $、 $ {u_{\text{d}}} $、 $ {\dot u_{\text{d}}} $、 $ {r_{\text{d}}} $和 $ {\dot r_{\text{d}}} $有界；2)环境干扰力 $ \Delta{\boldsymbol{U}}$有界.

证明：给定李雅普诺夫函数

(79) $ \begin{split} &{\textit{V}} = x_{\text{e}}^{\text{2}}/2 + {\lambda _0}y_{\text{e}}^{\text{2}}/2 + {{\bar \alpha }^{\text{2}}}_{\text{e}}/2 + u_{\text{e}}^{\text{2}}/2 + S_1^2/2 +\\ & \quad \;\; {({\lambda _5} - {\lambda _{{\text{5i}}}})^2}/(2{m_{11}}{k_3})+ {({\lambda _7} - {\lambda _{{\text{7i}}}})^2}/(2{k_6}) +\\ & \quad \;\; {r_{\text{e}}}^{\text{2}}/2 + S_2^2/2 + {({\lambda _{10}} - {\lambda _{{\text{10i}}}})^2}/(2{m_{33}}{k_9}). \end{split} $

(80) $ \dot {\textit{V}} \leqslant - 2{ K}V, $

(81) $ \begin{split} &{K} = \min \left\{ {\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _6},{\lambda _3} - {\lambda _4}/{m_{11}},{\lambda _4}/{m_{11}},\right. \\ & \quad \left.{\lambda _8} - {\lambda _9}/{m_{33}},{\lambda _9}/{m_{33}},{k_2},{k_5},{k_8}\right\} . \end{split} $

得到 $V(t) \leqslant V(0){e^{ - 2{ K}t}}$. 因此轨迹跟踪闭环系统全局指数稳定，跟踪误差 ${{\boldsymbol{z}}_{\text{e}}} = \left[ {{x_{\text{e}}},{y_{\text{e}}},{u_{\text{e}}},{{\overline v}_{\text{e}}},{r_{\text{e}}}} \right]$指数收敛到0^[31].

虽然本研究的稳定性证明过程较复杂，但是在实际运用过程中，设计 $ F $、 $ T $、 $ {r_{\text{d}}} $、 $ {\lambda _5} $、 $ {\lambda _7} $和 $ {\lambda _{10}} $即可，因此计算量不大.

以文献[18]、[20]中的欠驱动USV模型为例，在Matlab中进行Dubins轨迹的仿真实验. USV模型的参数和外界干扰如表1所示.

目标轨迹和初始状态如下：

(82) $ \left. \begin{array}{l} {x_{\rm{d}}} = t,{y_{\rm{d}}} = 100,t < 200\;{\rm{s}};\\ {x_{\rm{d}}} = 200 + 100\;{\rm{sin}}\left( {0.005 {\text{π}} (t - 200)} \right),\;\; {y_{\rm{d}}} =\\ 100\;{\rm{cos}}\left( {0.005 {\text{π}} (t - 200)} \right),200 \leqslant t < 400\;{\rm{s}};\\ {x_{\rm{d}}} = 600 - t,{y_{\rm{d}}} = 300 - t,\;\;400 \leqslant t < 600\;{\rm{s}};\\ ({x_0},{y_0},{\psi _0}) = (0,120,0),({u_0},{v_0},{r_0}) = (0,0,0). \end{array} \right\} $

为了验证该方法的有效性，将所提算法与文献[18]、[20]中的算法进行对比. 在所提算法中，给定 $ {P_1} = {P_2} = {P_3} = 1 $. 3种方法的控制参数均通过粒子群算法确定^[32]. 目标函数为位姿误差的均方根值

(83) $ J = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^N \left[x_{\text{e}}^{\text{2}}(i) + y_{\text{e}}^{\text{2}}(i) + \psi _{\text{e}}^{\text{2}}(i)\right]\Big{/}3N} . $

式中： $ N $为采样个数. 根据迭代结果，所设计的基于ISGA的欠驱动USV滑模控制器的调定参数如表2所示. 轨迹跟踪仿真的实际轨迹、跟踪误差、速度与滑模面变化结果如图3~6. 图3中，在存在参数不确定性和外界非线性干扰下，欠驱动USV精确平滑地跟踪给定轨迹，证明所提算法的强鲁棒性. 如表3所示，为了验证所提算法计算量是否过大，将所提算法与文献[18]、[20]算法的仿真运行时间进行对比. 表中， $ {E_{{\text{RMS}}}} $为均方根位姿误差， $ {F_{{\text{RMS}}}} $为均方根推力/矩， $ {t_{\text{s}}} $为仿真时间. 由图4和表3可得，相较文献[18]、[20]的算法，所提算法的计算时间并未延长；同时所提算法在合理推力和转矩范围内，位置跟踪误差 $ e $和艏摇误差 $ {\psi _{\text{e}}} $可更快速地收敛到原点，使位姿控制精度提升超过25.0%. 图5中，线速度 $ u $、 $ v $和角速度 $ r $变化曲线平滑，体现出控制系统良好的性能. 图6中，对比ISGA、SGA和固定切换增益的滑模面变化曲线，发现ISGA较SGA能更有效地抑制滑模面的抖振，同时ISGA的鲁棒性和控制精度更高.

（1）结合滑模控制和反步法，提出基于ISGA的欠驱动USV滑模轨迹跟踪算法. 该算法具有鲁棒性强、滑模抖振弱和控制精度高的优点. 相较文献[18]、[20]的算法，所提算法的位姿控制精度提升超过25.0%.

（2）相较SGA，所提算法可实现全局指数稳定.

（3）所提算法同时放宽环境干扰连续可导、USV速度缓慢变化和横荡速度无源有界的条件，更适于工程应用.

（4）后续将针对更为复杂的欠驱动USV模型进行控制器的设计，并进行实验验证. 小型USV多采用电池供电，因此节能优化技术显得尤为重要，针对欠驱动USV开展基于实时海况的节能轨迹规划将是重要的研究方向.