对带非局部边界条件的热方程的初边值问题提出了LEGENDRE配置法, 并给出其半离散逼近和全离散逼近的稳定性和收敛性分析. 数值试验验证了方法的有效性.

利用特征投影分解(POD)方法建立二维双曲型方程的一种基于POD方法的含有很少自由度但具有足够高精度的降阶有限差分外推迭代格式, 给出其基于POD方法的降阶有限差分解的误差估计及基于POD方法的降阶有限差分外推迭代格式的算法实现. 用一个数值例子去说明数值计算结果与理论结果相吻合. 进一步说明这种基于POD方法的降阶有限差分外推迭代格式对于求解二维双曲方程是可行和有效的.

对非线性二维Volterra积分方程构造了一个高阶数值格式. block-by-block方法对积分方程来说是一个非常常见的方法, 借助经典block-by-block方法的思想, 构造了一个所谓的修正block-by-block方法. 该方法的优点在于除$u(x_1,y),u(x_2,y),u(x,y_1)$和$u(x,y_2)$外, 其余的未知量不需要耦合求解, 且保存了block-by-block方法好的收敛性. 并对此格式的收敛性进行了严格的分析, 证明了数值解逼近精确解的阶数是4阶.

为了构造快速求解二次Lagrangian有限元方程的几何多重网格法, 在选择二次Lagrangian有限元空间和一系列线性Lagrangian有限元空间分别作为最细网格层和其余粗网格层以及构造一种新限制算子的基础上, 提出了一种新的几何多重网格法, 并对它的计算量进行了估计. 数值实验结果, 与通常的几何多重网格法和AMG01法相比, 表明了新算法计算量少且稳健性强

圆锥曲线重新参数化可以提高曲线参数的均匀性, 且增强在拼接点处的光滑性. 常用的参数化方法是采用一次有理多项式或二次有理多项式. 采用三次有理多项式对圆锥曲线重新参数化, 使曲线的次数由二次升到六次. 以圆弧为例所得的实验结果表明, 在两段圆弧的公共点处的连续性为$C^{3}$, 而且三次有理多项式参数化与弧长参数化的弦长偏差相比二次有理多项式参数化减小两个数量级.

研究一类带有分段常数变量和避难所的天敌-害虫模型的稳定性和分支行为. 首先通过计算转化得到天敌-害虫模型对应的差分模型, 利用线性稳定性理论讨论了正平衡态局部渐近稳定的充分条件. 其次以害虫种群的内禀增长率或逃脱率为分支参数, 利用分支理论研究了模型正平衡态处产生翻转分支周期解和Neimark-Sacker分支周期解的充分条件; 并且使用正规形理论和中心流形定理构造了判断分支周期解稳定性的阈值. 最后数值模拟验证了理论分析的正确性, 并展示了该模型复杂的动力学行为.

考虑具有$p$-Laplace 算子的分数阶泛函微分方程边值问题，利用锥上的不动点定理, 得到了其正解及多个正解存在的充分条件, 所得结果推广了已有的结论, 并举例说明了结论的适用性.

在$\mathbf{R}^{N}$上研究一类拟线性椭圆型方程, 借助不光滑泛函的临界点理论和山路引理, 得到该问题具有无穷多个弱解.

研究偏序集上的测度拓扑以及与其它内蕴拓扑间的关系, 利用测度拓扑刻画了偏序集的连续性. 构造了反例说明存在完全分配格, 其上的测度拓扑不是连续格从而不是局部紧拓扑.

为了优化同异反(Identical-Discrepant-Contrary, 简称IDC)灰色相关分析中同异反趋势划分方法, 提高同异反趋势划分结果的精度, 文章在分析两种传统划分方法存在不足的基础上, 对其进行改进, 提出了均分迭代划分法和回归系数比值划分法, 并结合土壤中有机质含量和砷含量相关性的实例, 对改进后的两种方法进行数值模拟. 结果表明: 改进后的两种划分方法得到结果的可靠度均较高, 采用均分迭代划分法得到结果的可靠度为70%, 采用回归系数比值划分法得到结果的可靠度为55%, 略低于前者, 这是因为土壤有机质含量中存在“异常”数据, 对回归系数影响较大, 降低了回归系数比值划分结果的精度.

运用格理论的原理和方法对格蕴涵代数$L$的LI-理想概念作进一步研究. 首先, 在$L$的全体LI-理想之集$\mathscr{I}_{LI}(L)$上定义了格运算$\Cap$和$\Cup$, 蕴涵运算$\Longrightarrow$以及伪补运算$\circledast$, 证明了$(\mathscr{I}_{LI}(L), \subset, \Cap, \Cup, \Longrightarrow, \{O\}, L)$构成一个完备Heyting代数的结论. 其次, 利用运算$\circledast$的性质给出了$(\mathscr{I}_{LI}(L), \subset, \Cap, \Cup, \Longrightarrow, \circledast, \{O\}, L)$成为Boolean代数的若干充要条件. 最后, 借助于$L$的素LI-理想之特性获得了格$(\mathscr{I}_{LI}(L), \subset, \Cap, \Cup, \{O\}, L)$中素元的若干等价刻画.

Dilworth与Crawley1973年提出能否去掉上半模格条件来刻画元素的不可约完全交既分解问题以及能否去掉强原子格的条件刻画紧生成格结构的问题, 本文首先证明了每个元有上覆盖的紧生成格$L$中任意元有不可约完全交既分解, 从而肯定地回答了Dilworth与Crawley上述第一个问题. 之后, 在每个元有上覆盖的紧生成格中引入局部强模格与局部强分配格的概念, 研究了局部强模格中独立集的特性以及局部强模格与局部分配格的结构, 从而部分解决了Dilworth与Crawley上述第二个问题.