随着人们对机器人需求的不断上升，机器人的应用范围不断扩大，已广泛应用于打磨、抛光、装配等领域. 在手动示教、人机共存之类的操作中，人与机器人的工作空间重叠，对机器人的防碰撞具有更高的要求，在这些应用场景中，往往需要机器人的力感知能力. 通常有2种途径实现机器人的力感知，即增加力/力矩传感器或者直接通过检测机器人电机电流来感知机器人的外部力信息. 由于力/力矩传感器价格昂贵，研究人员通过检测电机电流而获得关节力矩，并利用机器人动力学方程得到机器人末端的受力情况. 机器人关节的运动是通过RV减速器或谐波减速器将伺服电机的运动传递到手臂的，由于减速器各个运动部件间存在摩擦，在机器人动力学方程的建立中须考虑关节传动的摩擦力. 因此，结合机器人关节摩擦模型，可以建立更加精确的机器人动力学模型，以提高机器人末端力感知的精度^[1-2].

由于机器人运动学方程存在非线性，关节的运动速度变化较大，如何将满足不同运动速度的较高精度的摩擦模型综合到动力学方程中是机器人推广应用的关键问题之一. 机器人关节减速器传动的摩擦模型有库伦+黏性摩擦、Stribeck摩擦和LuGre摩擦模型等. Grotjahn等^[3]在库伦+黏性摩擦模型的基础上，通过在关节低速的情况下引入反正切函数，克服机器人关节在转速为0时摩擦力矩不连续的缺点. Hamon等^[4-5]通过对机器人进行摩擦测量实验时发现，外力作用会导致机器人关节内部零件接触面间作用力发生改变，进而影响摩擦力，故提出考虑负载力矩影响的扩展摩擦模型以描述关节摩擦特性. Iwasawa等^[6]考虑到在系统速度较低时摩擦力所产生的Stribeck效应，提出与Stribeck摩擦模型相结合的分段式摩擦模型，在某一速度阈值内采用特定函数实现摩擦力的连续性. Kermani等^[7]引入能够全面描述低速阶段摩擦力特性的LuGre摩擦模型，并基于两步法理论辨识出摩擦参数，以多自由度机器人为实验平台进行摩擦补偿实验，进一步改善了系统的轨迹跟踪性能. 虽然动态摩擦模型能够更全面、更精确地反映真实的摩擦力特性，具有更好的连续性，但静态摩擦模型在工程实践应用中的地位同样重要. 如Hensen等^[8]将加入零速区间的Stribeck摩擦模型和Lugre摩擦模型的实验结果进行对比分析，发现2种摩擦模型在系统中所引起的极限环振荡效果基本一致，而且有实验表明，好的静态摩擦模型能够以90%的精确程度近似拟合低速区域的真实摩擦力^[9]. 同样，动态摩擦模型也会使模型结构变得复杂，包含参数变多，辨识难度也随之增加. 例如，Lugre摩擦模型引入了表示接触表面平均变形量的状态z，而变量z难以测量导致模型中的动态参数辨识变得困难. Stribeck摩擦模型作为静态摩擦模型的典型代表，能够较好地描述低速段摩擦力的变化趋势，且具有结构简单、适用性广的特点. 因此，本研究以Stribeck摩擦模型作为研究对象.

结合摩擦过程分析和数学模型，学者们针对Stribeck摩擦模型相继提出了多种辨识方法. 例如，Marton等^[10]将Stribeck摩擦模型进行泰勒展开，线性化处理为低速区和高速区2个分段，并根据摩擦力与稳态速度之间的关系对模型参数进行辨识. 然而，近似化处理在简化Stribeck效应的同时也降低了原始模型的准确性. Vakil等^[11]在给定的输入信号下，基于能量法则得到包含Stribeck模型参数的非线性优化目标函数，并采用最小二乘求根法辨识出摩擦参数. Kennedy等^[12]让机器人在速度控制模式下，采集关节在不同速度稳态所对应的摩擦力矩信息，得到速度-摩擦力矩之间的映射关系，再利用曲线拟合的方法计算出摩擦模型参数值. 然而，关节在有限的运动范围内保证稳态高速运动是困难的. 孙洪鑫等^[13]在建立理论的静力Stribeck曲线后，分别采用改进遗传算法和粒子群算法来辨识摩擦模型参数，并通过仿真实验验证了2种算法的可行性.

本研究以串联关节型机器人为研究对象，提出改进的Stribeck摩擦模型，对机器人关节传动的摩擦力矩进行建模，在提高摩擦模型拟合精度的同时进一步改善了机器人低速运动的控制性能. 提出基于混合遗传算法与余弦轨迹的摩擦模型参数辨识方法. 对机器人各关节设计2条特定的余弦激励轨迹；采用遗传算法对采集到的速度和摩擦力矩进行离线辨识，同时加入模拟退火算法保证参数辨识过程的可靠性；通过实验验证所提方法的可行性和有效性.

对于关节型机器人，其机器人动力学方程是关于机器人关节力矩、关节位置、关节角速度和关节角加速度之间的表达式^[14]，即

(1) ${{\tau }}\;{\rm{ = }}{{M}}\left( {{q}} \right){\ddot{ q}} + {{C}}\left( {{{q,\dot q}}} \right){\dot{ q}} + {{G}}\left( {{q}} \right).$

式中： ${{q}}$为机器人关节的位置矢量， ${{M}}\left( {{q}} \right)$为机器人手臂惯量矩阵， ${{C}}\left( {{{q}},\dot {{q}}} \right)$为与离心力和科氏力有关的速度项矩阵， ${{G}}\left( {{q}} \right)$为重力项， ${{\tau }}$为关节力矩矢量.

根据Khalil等^[15]的相关研究，可以将式（1）中机器人的未知参数定义为一组模型参数向量 ${{\beta }}$，并将未知参数的系数整合为观测矩阵 ${{{H}}_{\rm{b}}}$. 此时，可以将机器人动力学方程线性化表示为

(2) $ {{\tau}} ={{{H}}}_{\rm{b}}\left({{q}},\dot{{{q}}},\ddot{{{q}}}\right)\times {{\beta}} .$

采用优化后的周期性傅里叶级数作为激励轨迹^[16]，采集机器人在该轨迹下运动所得到的关节力矩信息，并对采样数据进行平均化及滤波处理. 通过加权最小二乘法^[17]和基于半正定规划(semidefinite programming, SDP)的物理可行性分析法^[18]相结合的辨识算法，可以得到机器人动力学方程的未知参数 ${{\beta }}$.

考虑到机器人关节运动过程中摩擦力的影响，令关节摩擦力矩为 ${{{\tau }}_{\rm{f}}}$，可以将机器人动力学方程^[14]表示为

(3) ${{\tau }}\;{\rm{ = }}\;{{M}}\left( {{q}} \right){\ddot{ q}} + {{C}}\left( {{{q,\dot q}}} \right){\dot{ q}} + {{G}}\left( {{q}} \right) + {{{\tau }}_{\rm{f}}}.$

由式（3）可知，在机器人的动力学方程及关节位置、角速度、角加速度、关节力矩已知的情况下，可以令 $\hat{{{M}}}{\text{、}}\hat{{{C}}}{\text{、}}\hat{{{G}}}$为式（3）中相应变量的辨识值，令 ${{\tau }}$为机器人关节的实际力矩. 此时，可以计算出机器人关节的摩擦力矩为

(4) ${{\hat{ \tau }}_{\rm{f}}} = {{\tau }} - {\hat{ M}}\left( {{q}} \right){\ddot{ q}} - {\hat{ C}}\left( {{{q,\dot q}}} \right){\dot{ q}} - {\hat{ G}}\left( {{q}} \right).$

在机器人动力学模型中通常采用库伦+黏性摩擦模型对关节的摩擦力矩进行建模，但库伦+黏性摩擦模型只考虑了摩擦的线性部分. 通过综合分析多种摩擦模型的复杂度和实用性，可知Stribeck摩擦模型作为静态摩擦模型的典型代表，可以较好地描述0速度附近的摩擦力静态特性，故本研究采用Stribeck摩擦模型对机器人的关节摩擦力矩进行建模.

典型的Stribeck摩擦模型数学表达式如下：

(5) $F = \left( {{f_{\rm{C}}} + \left( {{f_{\rm{S}}} - {f_{\rm{C}}}} \right)\exp \;\left( { - {{\left| {{{{{\dot q}_{{i}}}} / {v_{\rm{s}}}}} \right|}^\gamma }} \right)} \right){\rm{sign}}\;({\dot q_{{i}}}) + {f_{\rm{V}}}{\dot q_{{i}}}.$

式中：F为摩擦力； $i$为关节序号， $i=1,2,{\cdots},6$； ${\dot q_{{i}}}$为关节 $i$的角速度； ${f_{\rm{C}}}$为库伦摩擦系数； ${f_{\rm{S}}}$为最大静摩擦力系数； $v_{\rm{s}}$为Stribeck速度阈值； $\gamma $为Stribeck曲线的衰减经验常数，一般为0.5~2.0，本研究采用Gauss指数模型^[19]， $\gamma = 2.0$； ${f_{\rm{V}}}$为黏性摩擦系数.

实验发现，机器人所测得的关节摩擦力矩相对于正、负速度并不是完全对称的，为了解决这个问题，Hong^[20]在伺服系统转动方向不同时采用2组不同的静态摩擦模型参数进行摩擦特性描述. 本研究考虑到模型的简便性和实用性，在Gauss指数模型中添加偏置参数 ${f_{\rm{P}}}$，能够较好地提高摩擦模型的拟合效果. 此时，可以将式（5）进一步修改为

(6) $\begin{array}{l} F = \left( {{f_{\rm{C}}} + \left( {{f_{\rm{S}}} - {f_{\rm{C}}}} \right)\exp\; \left( { - {{\left| {{{{{\dot q}_{{i}}}} / {v_{\rm{s}}}}} \right|}^2}} \right)} \right){\rm{sign}}\;({{\dot q}_{{i}}}) + {f_{\rm{V}}}{{\dot q}_{{i}}} + {f_{\rm{P}}}. \end{array} $

由于式（6）中含有符号函数，所描述的摩擦力在速度为0时不连续，会导致机器人关节在运动换向时产生力矩的突变，影响机器人低速运动控制性能. 为了解决该问题，在关节运行于低速区间时引入线性函数连接Stribeck摩擦模型. 如图1所示即为改进的Stribeck摩擦模型，表达式为

(7) $ {\tau _{\rm{f}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\left| {{{\dot q}_{{i}}}} \right|}}{{{{\dot q}_{{{i0}}}}}}F\left( {{{\dot q}_{{{i0}}}}} \right),}&{\left| {{{\dot q}_{{i}}}} \right| < {{\dot q}_{{{i0}}}};}\\ {F\left( {{{\dot q}_{{i}}}} \right),}&{\left| {{{\dot q}_{{i}}}} \right| > {{\dot q}_{{{i0}}}}.} \end{array}} \right.$

式中： $F\left( {{{\dot q}_{{i}}}} \right)$为由式（6）得出的F， ${\dot q_{{{i0}}}}$为设定的速度阈值.

为了辨识关节摩擦模型的摩擦参数，首先须建立机器人关节摩擦力矩与所对应关节速度之间的映射关系. 基于第1章所述的方法可知关节摩擦力矩是通过式（4）计算得到的，在机器人处于空载且外力为0的状态下，若同时对几个关节进行摩擦辨识，不仅会增加关节科氏力和离心力估计误差对摩擦参数辨识产生的影响，还会对机器人各关节之间的耦合运动带来误差影响，导致摩擦参数辨识精度降低，故采用每个关节单独辨识的方案以避免这些影响. 由于三角函数轨迹构造简单，且无穷阶导数都是连续的，可以得到无冲击且柔性较好的加减速性能，而其中余弦轨迹的初速度为0，可以保证机器人运动平稳，故采用机器人跟踪余弦轨迹的运动方案. 采集机器人关节的力矩和位置信息，并通过滤波处理与差分运算建立速度与关节摩擦力矩之间的映射关系.

当机器人仅有单关节且按照余弦轨迹运动时，式（6）中摩擦力矩函数的前4个摩擦参数的偏导数如下：

(8) ${{\partial F} / {\partial {f_{\rm{C}}}}} = {\rm{sign}}\;({\dot q_{{i}}}) - \exp \;\left( {{{ - {{\dot q}_{{i}}}^2} / {v_{{\rm{s}}}^2}}} \right),$

(9) ${{\partial F} / {\partial {f_{\rm{S}}}}} = \exp\; \left( {{{ - {{\dot q}_{{i}}}^2} / {v{_{\rm{s}}^2}}}} \right){\rm{sign}}\;({\dot q_{{i}}}),$

(10) ${{\partial F} / {\partial v_{\rm{s}}}} = 2\left( {{f_{\rm{S}}} - {f_{\rm{C}}}} \right)\left( {{{{{\dot q}_{{i}}}^2} / {v{_{\rm{s}}^3}}}} \right)\exp \;\left( {{{ - {{\dot q}_{{i}}}^2} / {v{_{\rm{s}}^2}}}} \right){\rm{sign}}\;({\dot q_{{i}}}),$

(11) ${{\partial F} / {\partial {f_{\rm{V}}}}} = {\dot q_{{i}}}.$

在式（8）~（11）中，4个偏导数均包含运动速度 ${\dot q_{{i}}}$，且前三项偏导数均包含指数函数 $\exp \;\left( { - {{{{\dot q}_{{i}}}^2} / {v{_{\rm{s}}^2}}}} \right)$，该指数函数具有随速度 ${\dot q_i}$的増大而加速衰减的性质. 为了消除符号函数的影响，假设 ${\dot q_{{i}}} > 0$，可知 ${{\partial F} / {\partial {f_{\rm{C}}}}}$和 ${{\partial F} / {\partial {f_{\rm{V}}}}}$随着速度 ${\dot q_{{i}}}$的增大而增大， ${{\partial F} / {\partial {f_{\rm{S}}}}}$和 ${{\partial F} / {\partial v_{\rm{s}}}}$随着速度 ${\dot q_{{i}}}$的增大而减小，而且偏导数反映了变量对函数变化的影响.

采用描图法^[10]对Stribeck曲线进行拟合的基本方法如图2所示，高速段的拟合直线在纵轴上的截距为库伦摩擦系数 ${f_{\rm{C}}}$，其斜率为黏性摩擦系数 ${f_{\rm{V}}}$，低速段的拟合直线在纵轴上的截距为最大静摩擦力系数 ${f_{\rm{S}}}$，其与库伦摩擦系数 ${f_{\rm{C}}}$对应直线的交点值为Stribeck速度阈值 $v_{\rm{s}}$，因此低速运动利于辨识参数 ${f_{\rm{S}}}$和 $v_{\rm{s}}$，高速运动则利于辨识参数 ${f_{\rm{C}}}$和 ${f_{\rm{V}}}$. 为了更全面准确地辨识出摩擦参数，不能采用单一的余弦规律运动轨迹方案，故本研究采取高速余弦轨迹和低速余弦轨迹相结合的运动方案，利用混合遗传算法辨识改进的Stribeck关节摩擦模型参数.

遗传算法是模仿自然界生物进化思想而得出的全局概率随机搜索算法，该算法具有较强的鲁棒性和全局最优性的特点，但计算时间较长，且容易陷入局部最优解. 因此，在遗传算法的运行过程中加入模拟退火算法，将遗传算法的全局搜索优点和模拟退火算法具有的能够跳出局部最优解的优点相结合，使算法在搜索效率和速度方面均有所提升.

取待辨识摩擦参数的机器人关节，并锁定其余关节，让该关节在设定的余弦轨迹下运动，采集数据并滤波，得到一组转速 $\left\{ {{{\dot q}_{{i}}}} \right\}_{i = 1}^N$及其相对应的摩擦力矩 $\left\{ {{M_{{\rm{f}}i}}} \right\}_{i = 1}^N$，其中， $N$为采样次数. 由上述两序列数据间的关系绘制成的曲线即为Stribeck曲线.

将待辨识的摩擦参数转化成向量形式：

(12) ${{{x}}_{\rm{S}}} = {\left[ {{{\hat f}_{\rm{C}}}\,,\,{{\hat f}_{\rm{S}}}\,,\,\hat v_{\rm{s}},\,{{\hat f}_{\rm{V}}}\,,\,{{\hat f}_{\rm{P}}}} \right]^{\,{\rm{T}}}}.$

定义摩擦力矩的误差为

(13) $e\left( {{{{x}}_{\rm{S}}},{{\dot q}_{{i}}}} \right) = {M_{{\rm{f}}i}} - {\tau _{\rm{f}}}\left( {{{{x}}_{\rm{S}}},{{\dot q}_{{i}}}} \right).$

式中： ${M_{{\rm{f}}i}}$为实际摩擦力矩， ${\tau _{\rm{f}}}\left( {{{{x}}_{\rm{S}}},{{\dot q}_{{i}}}} \right)$为辨识摩擦力矩.

(14) $ \begin{split} {\tau _{\rm{f}}}\left( {{{{x}}_{\rm{S}}},{{\dot q}_{{i}}}} \right) =& \left[ {{{\hat f}_{\rm{C}}} + \left( {{{\hat f}_{\rm{S}}} - {{\hat f}_{\rm{C}}}} \right)\exp\; \left( { - {{\left( {{{{{\dot q}_{{i}}}} / {\hat v_{\rm{s}}}}} \right)}^2}} \right)} \right]{\rm{sign}}\;({{\dot q}_{{i}}}) + \\ &{{\hat f}_{\rm{V}}}{{\dot q}_{{i}}} + {{\hat f}_{\rm{P}}}. \end{split} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

定义目标函数为

(15) $J = \frac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{e^2}\left( {{{{x}}_{\rm{S}}},{{\dot q}_{{i}}}} \right)} .$

辨识的目标转化为解决极小化目标函数 $J$的问题.

在参数辨识的过程中，以模拟退火混合遗传算法作为优化工具，主要步骤如下.

1）初始化. 设置进化代数器 $t = 0$，最大进化代数为 $T$，在参数的范围内随机生成初始种群 $\left\{ {{{{X}}_k}} \right\}_{k = 1}^W$， $W$为种群规模大小，此时可将待辨识向量 ${{{x}}_{\rm{S}}}$中所含参数个数作为算法求解空间的维数.

2）个体评价. 根据目标函数式（15），定义适应度函数：

(16) $f\left( {{X_k}} \right) = \frac{1}{{J\left( {{X_k}} \right)}};\;k = 1,\;2,\;\cdots,\;W.$

3）选择、交叉、变异操作. 选择操作采用轮盘赌算法，为了保证前期群体的多样性，交叉算子采用随代数增加而逐步减小的策略，而变异算子随着代数的增加呈上升趋势是为了避免进化后期群体太过单一的问题，故交叉、变异参数选择自适应参数^[21]：

(17) $\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{Pc}} = \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{Pc}}_{1} - \dfrac{{({\rm{Pc}}_{1} - {\rm{Pc}}_{2}) - (f' - {f_{{\rm{avg}}}})}}{{{f_{\max }} - {f_{{\rm{avg}}}}}},\quad \quad\! f' \geqslant {f_{{\rm{avg}}}}};\\ {{\rm{Pc}}_{1}, \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;f' < {f_{{\rm{avg}}}}}. \end{array}} \right.}\\ {{\rm{Pm}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\rm{Pm}}}}_{1} - \dfrac{{({\rm{Pm}}_{1} - {\rm{Pm}}_{2}) - ({f_{\max }} - f)}}{{{f_{\max }} - {f_{{\rm{avg}}}}}},\quad f\geqslant {f_{{\rm{avg}}}}};\\ {{{{\rm{Pm}}}}_{1},\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\mkern 1mu} f < {f_{{\rm{avg}}}}}. \end{array}} \right.} \end{array}$

式中： ${f_{\max }}$为群体中最大适应度， ${f_{{\rm{avg}}}}$为每代群体的平均适应度， $f'$为要交叉的2个个体中较大的适应度， $f$为要变异的个体的适应度， ${\rm{P{c}}}_{1}{\text{、}} {\rm{P{c}}}_{2}{\text{、}} $ $ {\rm{P{m}}}_{1}{\text{、}}{\rm{P{m}}}_{2}$为常数参数.

交叉方式采用均匀交叉，假设在2个个体 $ {{{x}}}_{i}^{t}{\text{、}}{{{x}}}_{i+1}^{t}$之间进行交叉，交叉后2个新个体为

(18) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}}_i^{t + 1} = \beta {{x}}_i^t + \left( {1 - \beta } \right){{x}}_i^{t + 1},}\\ {{{x}}_{i + 1}^{t + 1} = \beta {{x}}_{i + 1}^t + \left( {1 - \beta } \right){{x}}_i^t.} \end{array}} \right\}$

式中：参数β为常数或随机数， $\beta \in \left[ {0\;,\;1.0} \right]$.

变异方式采用单点变异，假设在个体 ${{{x}}_k}$产生变异，变异后的新个体^[22]为

(19) ${{{x'}}\!\!_k} = {\rm{rand}}\;\left[ {{{{x}}_k} - s\left( t \right)\left( {{{{x}}_k} - {{L}}} \right),\;} \right.\left. {{{{x}}_k} + s\left( t \right)\left( {{{U}} - {{{x}}_k}} \right)} \right].$

式中： $s\left( t \right)$为变异尺度， $s\left( t \right) = 1 - {r^{{{\left( {1 - t/T} \right)}^c}}}$， $T$为最大进化代数， $c$为常数参数，一般取c=2~4，r为随机参数， $r \in \left[ {0\;,\;1.0} \right]$； $ {U}{\text{、}}{L}$分别为种群个体x_k的上、下限.

4）模拟退火操作. 给予经遗传算法得到的较优解一定的扰动后得到新种群，而该新种群中的个体相对于扰动前群体中的个体在品质上有所差异，若新个体优于旧个体，则接受该新个体；若新个体劣于旧个体，则以特定的概率 ${{p}}$接受该新个体，称为Metropolis准则^[23]：

(20) ${{p}} = \left\{ \begin{array}{l} 1,\quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad \quad \quad \;\;{f_{{\rm{new}}}} \geqslant {f_{{\rm{old}}}} ;\\ {{\rm{exp}}\;{{{({f_{{\rm{new}}}} - {f_{{\rm{old}}}})} / {{{{T}}_{\rm{C}}}}},\quad \quad \quad }}\quad {f_{{\rm{new}}}} < {f_{{\rm{old}}}}. \\ \end{array} \right.$

式中： ${f_{{\rm{new}}}}$为新个体的适应度， ${f_{{\rm{old}}}}$为旧个体的适应度， ${{{T}}_{\rm{C}}}$为当前温度.

扰动方式采用Pei等^[24]提出的快速模拟退火（very fast simulated annealing，VFSA）算法：

(21) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}}_i^{t + 1} = {{x}}_i^t + {y_i}\left( {{{U }}- {{L}}} \right),}\\ {{y_i} = {\rm{sgn}}\;(u - 0.5){{{T}}_{\rm{C}}}\left[ {{{\left( {1 + 1/{{{T}}_{\rm{C}}}} \right)}^{\left| {2u - 1} \right|}} - 1} \right].} \end{array}} \right\}$

式中： $u$为随机参数， $u \in [0\;,\;1.0]$.

在未达到模拟退火迭代次数要求时，循环执行操作4）.

5）降温操作. 在退火操作达到迭代次数后，进行降温操作: ${{{T}}_{\rm{C}}} = {0.99^{{t / {10}}}}{{{T}}_{\rm{C}}}$， $t$为当前进化代数.

6）精英保留操作. 用迄今为止的最优个体替换当前种群中最差的个体.

7）若满足停止条件（ $t > T$）结束运算，否则转到步骤2）继续计算，最终以进行过程中得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出.

程序设计流程如图3所示.

使用广州数控RB08A3型机器人研究各关节的摩擦力矩特性，机器人实验平台如图4所示. 使用装载实时控制系统的工控机作为上位机，并采用EtherCat协议进行通信，同时以控制柜向伺服驱动器发送脉冲的方式驱动机器人各关节的运动. 在给RB08A3型机器人上电后，机器人的6个关节都处于使能状态，在上位机未给机器人各关节的伺服电机下发运动指令时，各关节的位置、速度可以保证在0值附近进行极小范围内的漂移. 实验中关节的力矩信号通过伺服系统的电流环采样获得，机器人的关节位置通过关节编码盘换算得到，机器人控制和采样周期均为1 ms.

在针对机器人其中1个关节摩擦进行辨识时，机器人其他关节的位置会影响该关节的辨识结果，不过所产生的影响在机器人运动控制过程中是可接受的. 以关节1为实验对象，研究关节1在跟踪余弦轨迹运动时，关节2、3在不同的锁死位置对关节1摩擦力矩的影响，结果如图5所示. 图中， ${\dot q_1}$为关节1的角速度. 可以看出，关节2、3在不同的锁死位置下对关节1的摩擦力矩偏差小于6%，因此，本研究在对机器人其中1个关节进行摩擦参数辨识时，将机器人其他关节锁定在其对应的零位位置保持不动，以使辨识结果具有更高的可靠性.

基于第1章所述方法计算得到机器人的动力学方程^[14]后，设计机器人第1关节的运动轨迹为 ${q_1} = 0.8\cos \;(0.2{\text{π}} t)$，同时将机器人除第1关节以外的其余关节分别锁定在其对应的零位位置上. 在重复运动10次后，采集机器人关节同一时刻下的位置及力矩信息，并进行平均化和滤波处理，利用中心差分法对位置信息进行微分运算，得到相对应的角速度和角加速度信息，代入式（4）中可以计算得到关节速度 $\left\{ {{{\dot q}_1}} \right\}_{j = 1}^N$与实际摩擦力矩 $\left\{ {{M_{{\rm{f1}}}}} \right\}_{j = 1}^N$之间的关系，如图6所示.

为了验证混合遗传算法的有效性，另外选用最小二乘法和遗传算法分别对摩擦参数进行辨识. 其中最小二乘法是求出向量 ${{{x}}_{\rm{S}}}$使得目标函数 ${\left\| {e\left( {{{{x}}_{\rm{S}}}} \right)} \right\|^2}$最小，使用条件是 $e\left( {{{{x}}_{\rm{S}}}} \right)$必须是连续可微函数，但式（15）的目标函数 $J$包含不连续符号函数 ${\rm{sign}}\;\left( {{{\dot q}_1}} \right)$，因此该目标函数不满足连续可微条件. 为了满足最小二乘法使用条件，只分析 ${\dot q_1} > 0$的情况. 混合遗传算法除了模拟退火部分外，其余参数设置皆与遗传算法的一致.

参照Vakil等^[11]提出的最小二乘求根法，依次求出所有的摩擦参数，再利用图描法得到各参数的预估值作为遗传算法和混合遗传算法的参数初值，并为辨识参数设定一个搜索范围，上述3种算法所得到的摩擦参数辨识结果如表1所示. 可以看出，3种算法的辨识结果基本一致. 由此绘制的Stribeck拟合曲线如图7所示. 图中，F_f1为关节1摩擦力矩的计算值. 可以看出，曲线拟合的结果与原始数据基本重合，说明上述算法对摩擦力矩的精确求解使得拟合的偏差较小，3种算法均能准确地对摩擦参数进行辨识. 如图8所示为目标函数 $J$分别在遗传算法和混合遗传算法中随进化代数增加的变化趋势，可以发现，混合遗传算法得到最优结果所需的进化代数远远小于遗传算法. 以上3种算法的优缺点如表2所示，可以看出，选择混合遗传算法进行摩擦参数辨识为最佳方案.

基于第3章所述的改进Stribeck摩擦模型参数辨识方法，对机器人第1关节的摩擦参数进行辨识. 将机器人除第1关节以外的其余关节分别锁定在其对应的零位位置，其中第1关节的运动轨迹分别为

(22) ${q_{11}} = {{\text{π}} / 4} + 0.2\left[ {\cos\; (0.08{\text{π}}t )- 1} \right],$

(23) ${q_{12}} = {{\text{π}} / 4} + 0.8\left[ {\cos\;( 0.2{\text{π}} t )- 1} \right].$

对上述轨迹进行重复运动，令 $n = 10$，获得关节位置信息及相应的力矩信息. 实验数据的处理方式同4.2节所述，利用式（4）计算得到关节速度 $\left\{ {{{\dot q}_1}} \right\}_{j = 1}^N$与实际摩擦力矩 $\left\{ {{M_{{\rm{f1}}}}} \right\}_{j = 1}^N$之间的关系. 如第2章所述，当机器人按照式（22）的轨迹运动时，确定关节1的摩擦参数 ${f_{\rm{S}}}{\text{、}}v_{\rm{s}}$；当机器人按照式（23）运动时，确定关节1的摩擦参数 ${f_{\rm{C}}}{\text{、}}{f_{\rm{V}}}$. 对2个运动轨迹的实验结果进行分析，可以得到关节1的摩擦力矩-速度曲线，如图9所示.

在利用模拟退火混合遗传算法进行参数辨识时，取种群规模 $W = 100$，最大遗传代数 $T = 500$，交叉参数 ${\rm{Pc}}{_1} = 0.9,\;{\rm{Pc}}{_2} = 0.6$，变异参数 ${\rm{Pm}}{_1} = $0.1， ${\rm{Pm}}{_2} = $ $ 0.001$，冷却因子 $k = 0.99$，种群搜索空间设置为 ${f_{\rm{C}}} \in $ $ \left[ {5\;,\;20} \right]$, ${f_{\rm{S}}} \in \left[ {15\;,\;50} \right]$, ${f_{\rm{V}}} \in \left[ {10\;,\;40} \right]$, $v_{\rm{s}} \in \left[ {0.001\;,\;0.100} \right]$, ${f_{\rm{P}}} \!\in\! \left[ { - 1\;,\;1} \right]$, ${\dot q_{\rm{0}}}\! \in\! \left[ {0\;,\;0.1} \right]$.

辨识得到改进Stribeck摩擦模型参数，与其对应的摩擦力矩-速度曲线拟合结果如图10所示. 图中，虚线为实际摩擦力矩，实线为利用辨识值所计算得到的摩擦力矩. 可以看出，辨识得到的计算摩擦力矩与实际摩擦力矩基本吻合. 同理，在针对机器人其他任一关节的摩擦参数进行辨识时，机器人其余关节都锁定在其对应的零位位置保持不动，最后辨识出该关节的摩擦参数，如表3所示.

为了验证所辨识摩擦模型参数的准确性，验证轨迹采用二级傅里叶级数轨迹，关节1所采用的验证轨迹为 $0.{\rm{3cos}}\;(0.{\rm{1}}{\text{π}} t) + 0.6\sin\;( 0.{\rm{1}}{\text{π}} t) +0.1{\rm{cos}}\;(0.{\rm{2}}{\text{π}} t) -$ $0.05\sin\;( 0.{\rm{2}}{\text{π}} t)$，重复运行轨迹5次，截取其中一个周期数据，其余关节类似地进行实验并采集数据，从而得到各关节的实际力矩. 如图11所示为各关节的力矩拟合图. 图中，细实线为各关节的实际关节力矩，虚线为以库伦+黏性摩擦模型为基础计算得出的关节力矩，点线为以原始Stribeck摩擦模型为基础计算得出的关节力矩，点划线为以改进Stribeck摩擦模型为基础计算得出的关节力矩. 可以看出，以改进Stribeck摩擦模型为基础的计算关节力矩与实际关节力矩最拟合. 如表4所示为以不同摩擦模型为基础得到的计算力矩与实际力矩相比较得出的残差平方和. 表中， $\displaystyle\sum \varepsilon^2 $为关节力矩残差平方和，Δ为残差减少百分比. 可以看出，对于机器人第3关节而言，改进Stribeck摩擦模型相对于库伦+黏性摩擦模型和原始Stribeck摩擦模型计算得到的关节力矩误差减少效果最佳，分别降低33.6%和17.3%；对于机器人第2关节而言，改进Stribeck摩擦模型相对于库伦+黏性摩擦模型和原始Stribeck摩擦模型计算得到的关节力矩误差减少效果最差，分别降低17.7%和11.8%. 综上所述，改进Stribeck摩擦模型可以进一步提高机器人动力学模型的精度.

（1）为了使改进Stribeck摩擦模型更好地描述机器人关节的摩擦力，提出采用不同余弦轨迹相结合的运动方案，并利用模拟退火混合遗传算法辨识出摩擦参数，有效避免了经典线性辨识方法的局限性和传统遗传算法易陷入局部最优解的问题.

（2）利用广州数控RB08A3型机器人实验平台，将辨识出的改进Stribeck摩擦模型代入二级傅里叶级数轨迹进行实验验证. 结果表明：改进Stribeck摩擦模型与传统库伦+黏性摩擦模型相比，可以减小17.7%~33.6%的关节力矩计算误差，并进一步提高机器人动力学模型的准确度.

（3）在机器人运动过程中，关节内部的摩擦力矩是机器人动力学方程建立精度的重要影响因素，但在其中仍存在其他的非线性扰动. 在未来须对这些非线性因素进行更深入的研究，以进一步提高机器人动力学方程的精度.