自动驾驶技术可以避免交通事故和拥挤情况的发生. 该技术包括定位与导航、环境感知、预测与决策、路径规划以及跟踪控制等关键环节^[1-2]. 在现阶段，关于跟踪控制的研究备受追捧^[3-4]，提高轨迹跟踪精度和减少计算时间已成为新的研究热点^[5]. 跟踪控制方法包括Stanley控制、纯追踪算法、比例积分微分（proportional-integral-derivative, PID）控制以及模型预测控制等^[6-8]. 其中，模型预测控制方法受到了广泛研究^[9].

许多学者专注于研究可变参数对模型预测控制性能的影响. 李韶华等^[10]提出基于T-S模糊系统的变权重模型预测控制方法，利用T-S模糊控制策略对目标函数中的权重系数进行在线优化，提高了跟踪精度. Tian等^[11]提出基于博弈论的双目标优化模型预测控制轨迹跟踪方法，以跟踪精度与行驶稳定性为博弈参与方，构建博弈收益矩阵，用以描述两者在不同策略组合下的性能表现. 该方法显著提高了跟踪精度和行驶稳定性，但是博弈论的求解效率较低. 何洋等^[12]提出基于速度障碍模型的轨迹规划控制方法. 该模型预测控制器在无障碍物时调整输出误差权重，以保证跟踪精度；当遇到障碍物时，调整控制增量权重，实现跟踪误差自适应调整，有效提高了车辆的避障能力和行驶稳定性. Wang等^[13]以横向偏移量、转向频率和实时性为输入，引入粒子群优化算法，设计可变预测时域模型预测控制方法. 该方法具有良好的综合性能. 杜荣华等^[14]将车辆实时安全等级和横向轨迹误差作为模糊控制的输入，实现了可变预测时域的模型预测控制. 该方法在跟踪精度和横向稳定性方面均优于传统的模型预测控制方法. 何智成等^[15]构建考虑车辆侧倾转向与变形转向特性的优化模型，实现了更精确的车辆状态预测. 同时，提出基于二维高斯函数的自适应预测时域调整策略，有效提升了极限工况下的轨迹跟踪精度. 谢宪毅等^[16]通过引入矩阵分块策略，实现了控制时域步长的灵活调整，进而提出可变控制时域步长的模型预测控制方法. 其采用“前密后疏”形式的分块策略，在跟踪性能上优于“平均化”形式的分块策略. 邵柏岩等^[17]引入二进制变量来定义相邻控制量之间的支配关系，构建支配关系矩阵，并基于二进制平衡优化（binary equilibrium optimization, BiEO）算法对支配关系矩阵中的受限部分进行优化，建立增量支配模型预测控制方法. 该方法对控制精度的提升不明显，但是在长时域问题中对实时性的改善较为显著. 袁志群等^[18]针对轿车的超车过程构建考虑侧风干扰的稳定性分析模型，并建立车辆侧偏安全风险评估模型. 以侧偏风险等级、车速以及横向轨迹误差作为输入变量，设计时域自适应调节器，从而实现了预测时域与控制时域的动态调整，以较低的实时性代价提高了车辆轨迹跟踪精度. 该方法可以有效抵抗侧风影响. 上述方法中的可变参数显著改善了模型预测控制的跟踪精度和实时性，但是会造成输出转角的振荡幅度较大，从而影响系统稳定性.

为了应对模型预测控制器在实际应用中难以兼顾跟踪精度与实时性的挑战，提出考虑主客观因素的模型预测控制参数优化方法. 该方法创新地将预测时域、控制时域与采样时间作为协同优化变量，采用改进的非支配排序鲸鱼优化算法(non-dominated sorting whale optimization algorithm, NSWOA)进行离线优化，生成兼顾性能与效率的Pareto最优解集；进一步地，设计结合客观性能指标与主观工程偏好的综合决策机制，从最优解集中科学地筛选出最佳控制方案. 该策略不仅提升了轨迹跟踪精度与计算实时性的协同水平，而且为复杂系统中控制器参数的整定策略提供了可推广的新范式.

提出的考虑主客观因素的模型预测控制参数优化方法的主要目标为：离线优化模型预测控制器的输入参数，并提高轨迹跟踪精度和实时性. 整体研究框架如图1所示.

为了模拟车辆的动力学特性，构建如图2所示的三自由度车辆动力学模型. 该模型考虑了车辆的纵向、横向及横摆运动，其动力学行为可以描述为

(1)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {m{{\dot v}_x} = m{v_y}\dot \psi +{F_{x{\text{f}}}}+{F_{x{\text{r}}}},} \\ {m{{\dot v}_y} = - m{v_x}\dot \psi +{F_{y{\text{f}}}}+{F_{y{\text{r}}}},} \\ {{I_z}\ddot \psi = {l_{\text{f}}}{F_{y{\text{f}}}} - {l_{\text{r}}}{F_{y{\text{r}}}},} \\ {\dot X = {v_x}\cos \;(\psi ) - {v_y}\sin \;(\psi ),} \\ {\dot Y = {v_x}\sin \;(\psi )+{v_y}\cos \;(\psi ).} \end{array}} \right\} $

式中：$ m $为车辆质量，$ {F_{x{\text{f}}}} $和$ {F_{y{\text{f}}}} $分别为车辆前轴沿纵向和侧向的分力，$ {F_{x{\text{r}}}} $和$ {F_{y{\text{r}}}} $分别为车辆后轴沿纵向和侧向的分力，$ \psi $为车辆横摆角，$ {I_z} $为车辆绕$ z $轴的横摆惯量，$ {l_{\text{f}}} $和$ {l_{\text{r}}} $分别为车辆质心到前轴和后轴的距离，$ {v_x} $和$ {v_y} $分别为车身坐标系下的纵向速度和横向速度，$ \dot X $和$ \dot Y $分别为全局坐标系下的纵向速度和横向速度.

由于所研究的车辆为前轮转向车辆，前、后轴沿车身坐标系的纵向力和侧向力为

(2)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{F_{x{\text{f}}}} = {F_{{\text{lf}}}}\cos \left( {{\delta _{\text{f}}}} \right) - {F_{{\text{cf}}}}\sin \left( {{\delta _{\text{f}}}} \right),} \\ {{F_{{y\text{f}}}} = {F_{{\text{lf}}}}\sin \left( {{\delta _{\text{f}}}} \right)+{F_{{\text{cf}}}}\cos \left( {{\delta _{\text{f}}}} \right),} \\ {{F_{x{\text{r}}}} = {F_{{\text{lr}}}},} \\ {{F_{y{\text{r}}}} = {F_{{\text{cr}}}}.} \end{array}} \right\} $

式中：${\delta _{\text{f}}}$为前轮转角，${F_{{\text{lf}}}}$和${F_{{\text{cf}}}}$分别为前轮在纵向和侧向所受的轮胎力，${F_{{\text{lr}}}}$和${F_{{\text{cr}}}}$分别为后轮的纵向力和侧向力.

轮胎的纵向力与侧向力的计算公式为

(3)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{F_{{\text{cf}}}} = {C_{{\text{cf}}}}{\alpha _{\text{f}}},} \; {{F_{{\text{cr}}}} = {C_{{\text{cr}}}}{\alpha _{\text{r}}},} \\ {{F_{{\text{lf}}}} = {C_{{\text{lf}}}}{s_{\text{f}}},} \; {{F_{{\text{lr}}}} = {C_{{\text{lr}}}}{s_{\text{r}}}.} \end{array}} \right\} $

式中：$ {C_{{\text{cf}}}} $和$ {C_{{\text{cr}}}} $分别为前轮和后轮的侧向刚度，$ {C_{{\text{lf}}}} $和$ {C_{{\text{lr}}}} $为前、后轮的纵向刚度，$ {\alpha _{\text{f}}} $和$ {\alpha _{\text{r}}} $分别为前、后轮的侧偏角，$ {s_{\text{f}}} $和$ {s_{\text{r}}} $为前、后轮的纵向滑移率.

Pacejka提出的魔术公式^[19]是广泛应用于轮胎力学建模的经验公式，能够有效描述轮胎在不同工况下的纵向力、侧向力以及回正力矩等关键力学特性：

(4)$ P(x) = D\sin \left( C{\tan ^{ - 1}}\left({B_x}x - E\left({B_x}x - {\tan ^{ - 1}}\left({B_x}x\right) \right) \right) \right) . $

式中：$D$为峰值因子；$C$为形状因子；$ {B_x} $为刚度因子；$ E $为曲率因子，由轮胎的垂向载荷和外倾角确定；$ P $为输出变量，可以是纵向力$ {F_{\text{l}}} $或侧向力$ {F_{\text{c}}} $；$ x $为输入变量，表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率.

设置状态量为$ {\boldsymbol{\xi}} = {\left[ {{v_y},{\text{ }}{v_x},{\text{ }}\psi ,{\text{ }}\dot \psi ,{\text{ }}Y,{\text{ }}X} \right]^{\text{T}}} $，控制量为$ u = {\delta _{\text{f}}} $，其中$ X $和$ Y $为全局坐标系下车辆的纵向和横向位置. 三自由度非线性车辆动力学模型的状态方程可以表示为

(5)$ \dot {\boldsymbol{\xi}} = f({\boldsymbol{\xi}} ,u). $

参考轨迹的表达式为

(6)$ {\dot {\boldsymbol{\xi}} _{\mathrm{r}}} = f({{\boldsymbol{\xi}} _{\mathrm{r}}},{u_{\mathrm{r}}}). $

在参考轨迹的某一点处对状态方程进行一阶泰勒级数展开，可以得到线性化表达式：

(7)$ \dot {\boldsymbol{\xi }}= f({{\boldsymbol{\xi}} _{\mathrm{r}}},{u_{\mathrm{r}}})+\dfrac{{\partial f({\boldsymbol{\xi}} ,u)}}{{\partial {\boldsymbol{\xi}} }}({\boldsymbol{\xi}} - {{\boldsymbol{\xi}} _{\mathrm{r}}})+\dfrac{{\partial f({\boldsymbol{\xi}} ,u)}}{{\partial u}}(u - {u_{\mathrm{r}}}). $

将式(7)与式(6)相减，可以得到

(8)$ \dot {\boldsymbol{\xi }}- {\dot {\boldsymbol{\xi}} _{\mathrm{r}}} = \dfrac{{\partial f({\boldsymbol{\xi}} ,u)}}{{\partial {\boldsymbol{\xi}} }}({\boldsymbol{\xi }}- {{\boldsymbol{\xi}} _{\mathrm{r}}})+\dfrac{{\partial f({\boldsymbol{\xi}} ,u)}}{{\partial u}}(u - {u_{\mathrm{r}}}). $

将状态量误差设置为$\tilde {\boldsymbol{\xi}} = {\boldsymbol{\xi}} - {{\boldsymbol{\xi }}_{\mathrm{r}}}$，控制量误差设置为$\tilde u = u - {u_{\mathrm{r}}}$. 联立式(6)、(7)以及状态量误差、控制量误差，可得线性状态方程：

(9)$ \dot{{\boldsymbol{\xi}}}=\boldsymbol{A} \tilde{{\boldsymbol{\xi}}}+\boldsymbol{B} \tilde{u} . $

式中：$ {\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{A_2}}&0&{{A_3}}&0&0 \\ {{A_4}}&{{A_5}}&0&{{A_6}}&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ {{A_7}}&{{A_8}}&0&{{A_9}}&0&0 \\ {{A_{10}}}&{{A_{11}}}&{{A_{12}}}&0&0&0 \\ {{A_{13}}}&{{A_{14}}}&{{A_{15}}}&0&0&0 \end{array}} \right] $，${A_1} = - {{2({C_{{\text{cf}}}} + {C_{{\text{cr}}}})}}/{{m{v_x}}}$，

${A_2} = {{2[{C_{{\text{cf}}}}({v _y}+{l_{\text{f}}}\dot \psi ) - {C_{{\text{cr}}}}({l_{\text{r}}}\dot \psi - {v _y})]}}/{{mv_x^2}} - \dot \psi $，

${A_3} = {{2\left( {{C_{{\text{cr}}}}{l_{\text{r}}} - {C_{{\text{cf}}}}{l_{\text{f}}}} \right)}}/{{m{v_x}}} - {v_x}$，${A_4} = \dot \psi - {{2{C_{{\text{cf}}}}{\delta _{\text{f}}}}}/{{m{v_x}}}$，

${A_5} = {{2{C_{{\text{cf}}}}{\delta _{\text{f}}}({v_y}+{l_{\text{f}}}\dot \psi )}}/{{mv_x^2}}$，${A_6} = {v_y} - {{2{C_{{\text{cr}}}}{\delta _{\text{f}}}{l_{\text{r}}}}}/{{m{v_x}}}$，

${A_7} = {{2({C_{{\text{cr}}}}{l_{\text{r}}} - {C_{{\text{cf}}}}{l_{\text{f}}})}}/{{{I_z}{v_x}}}$，

${A_8} = {{2[{C_{{\text{cf}}}}{l_{\text{f}}}({v_y}+{l_{\text{f}}}\dot \psi ) - {l_{\text{r}}}({v _y} - {l_{\text{r}}}\dot \psi )]}}/{{{I_z}v_x^{}}}$，

$ {A_9} = - {{2({C_{{\text{cr}}}}l_{\text{r}}^2 + {C_{{\text{cf}}}}l_{\text{f}}^2)}}/{{{I_z}{v_x}}} $，${A_{10}} = \cos \;(\psi )$，${A_{11}} = \sin \;(\psi )$，

${A_{12}} = {v_x}{\text{cos}}\;(\psi ) - {v_y}{\text{sin}}\;(\psi )$，${A_{13}} = - \sin \;(\psi )$，

${A_{14}} = \cos \;(\psi )$，${A_{15}} = - {v_y}{\text{cos}}\;(\psi ) - {v_x}{\text{sin}}\;(\psi )$；

$ {\boldsymbol{B}} = {\left[ {\dfrac{{2{C_{{\text{cf}}}}}}{m},{\text{ }}\dfrac{{4{C_{{\text{cf}}}}{\delta _{\text{f}}}{v_x} - 2{C_{{\text{cf}}}}\left( {{v_y}+{l_{\text{f}}}\dot \psi } \right)}}{{m{v_x}}},{\text{ }}0,{\text{ }}\dfrac{{2{C_{{\text{cf}}}}{l_{\text{f}}}}}{{{I_z}}},{\text{ }}0,{\text{ }}0} \right]^{\text{T}}} $.

对于上述线性化后的连续状态方程，采用前向欧拉法进行离散化处理，获得适用于控制系统的离散时间状态方程：

(10)$ \tilde{\boldsymbol{\xi}}(t+1)=(\boldsymbol{I}+T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{A}) \tilde{\boldsymbol{\xi}}(t)+T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{B} \tilde{u}(t) . $

式中：$T_{\mathrm{s}}$为采样时间，t为当前时刻，$\boldsymbol{I}$为单位矩阵.

模型预测控制器的目标函数须综合考虑跟踪精度与控制平顺性. 因此，设计目标函数：

(11)$ \begin{split}J(t)= & \sum_{i=1}^{N_{\mathrm{p}}}\left\|{\boldsymbol{\eta}}(t+i \mid t)-{\boldsymbol{\eta}}_{\text {ref }}(t+i \mid t)\right\|_{\boldsymbol{Q}}^2+ \\& \sum_{i=1}^{N_{\mathrm{c}}-1}\|\Delta \boldsymbol{U}(t+i \mid t)\|_{\boldsymbol{R}}^2+\rho \varepsilon^2 .\end{split} $

式中：$ {N_{\text{p}}} $为预测时域，$ {N_{\text{c}}} $为控制时域，i为未来预测步数，$ \rho $为权重系数，$ \varepsilon $为松弛因子，$ {\boldsymbol{\eta}} (t+i|t) $为当前时刻的输出，$ {{\boldsymbol{\eta}} _{{\text{ref}}}}(t+i|t) $为参考输出，$ \boldsymbol{Q} $为跟踪精度权重矩阵，$ \Delta \boldsymbol{U}(t+i|t) $为当前时刻的系统输入，$ \boldsymbol{R} $为控制增量权重矩阵.

将当前时刻的状态量与前一时刻的控制量组合为新的状态量，对式(10)作如下转换：

(12)$ {\boldsymbol{\xi}} (t\;|\;t) = {\left[ {\tilde {\boldsymbol{\xi}} (t\;|\;t),{\text{ }}\tilde u(t - 1|t)} \right]^{\text{T}}}. $

得到新的状态空间表达式：

(13)$ \left.\begin{array}{l}\boldsymbol{\xi}(t+1 \mid t)=\tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t} \boldsymbol{\xi}(t \mid t)+\tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} \Delta \boldsymbol{U}(t \mid t), \\\boldsymbol{\eta}(t \mid t)=\tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \boldsymbol{\xi}(t \mid t) .\end{array}\right\} $

式中：$\tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{I}+T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{A} & T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{B} \\\mathbf{0}_{m \times n} & \boldsymbol{I}_m\end{array}\right]$，$\tilde{\boldsymbol{B}}_{k, t}=\left[\begin{array}{c}T_{\mathrm{s}} \boldsymbol{B} \\\boldsymbol{I}_m\end{array}\right]$，$ n $为状态量维度，$ m $为控制量维度，$\tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} $为输出矩阵.

在系统模型的基础上，经过详细推导，可得其预测输出的表达形式为

(14)$ \boldsymbol{Y}(t)=\boldsymbol{\varPsi}_t \boldsymbol{\xi}(t \mid t)+\boldsymbol{\theta}_t \Delta \boldsymbol{U}(t) . $

式中：$ \boldsymbol{Y}(t) = \left[{\boldsymbol{\eta}}(t + 1 \mid t), {\boldsymbol{\eta}}(t+2 \mid t), \cdots, {\boldsymbol{\eta}}\left(t + N_{\mathrm{p}} \mid t\right)\right]_{1 \times N_{\mathrm{p}}}^{\mathrm{T}}$，

$ \boldsymbol{\varPsi}_t=\left[\tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}, \tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}^2, \cdots, \tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}^{N_{\mathrm{p}}}\right]_{1 \times N_{\mathrm{p}}}^{\mathrm{T}}$，

$ {\boldsymbol{\theta}_t = \left[ \begin{array}{cccc}\tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} & {\bf{0}} & \cdots & {\bf{0}} \\\tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} & \tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} & \cdots & {\bf{0}} \\\vdots & \vdots & {} & \vdots \\\tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}^{N_{\mathrm{c}}} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} & \tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}^{N_{\mathrm{c}}-1} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} & \cdots & \tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} \\\vdots & \vdots & {} & \vdots \\\tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}^{N_{\mathrm{p}}-1} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} & \tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}^{N_{\mathrm{p}}-2} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t} & \cdots & \tilde{\boldsymbol{C}}_{t, t} \tilde{\boldsymbol{A}}_{t, t}^{N_{\mathrm{p}}-N_{\mathrm{c}}} \tilde{\boldsymbol{B}}_{t, t}\end{array} \right]_{N_{\mathrm{p}} \times N_{\mathrm{c}}}}，$

$ \Delta \boldsymbol{U}(t) = \left[\Delta u(t \mid t), \Delta u(t + 1 \mid t), \cdots, \Delta u\left(t + N_{\mathrm{c}} \mid t\right)\right]_{1 \times N_{\mathrm{c}}}^{\mathrm{T}}$.

在控制过程中，考虑到控制量存在极限约束以及控制增量限制，控制量约束的数学表达式为

(15)$ {u}_{\mathrm{min}}(t+k)\leqslant u(t+k)\leqslant {u}_{\mathrm{max}}(t+k);\;k=0,1,\cdots ,{N}_{\text{c}}-1. $

控制增量约束表达式为

(16)$ \Delta {u}_{\mathrm{min}}(t+k)\leqslant \Delta u(t+k)\leqslant \Delta {u}_{\mathrm{max}}(t+k);\;k=0,1,\cdots ,{N}_{\text{c}}-1. $

控制量与控制增量满足

(17)$ u(t+k)=u(t+k-1)+\Delta u(t+k). $

为了将控制增量转换为实际的控制输入量，定义如下关系式：

(18)$ \left.\begin{array}{l}\boldsymbol{U}(t)=\mathbf{1}_{N_{\mathrm{c}}} \times u(t-1), \\\boldsymbol{G}=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \\1 & 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right]_{N_{\mathrm{c}} \times N_{\mathrm{c}}} \otimes \boldsymbol{I}_m \cdot\end{array}\right\} $

式中：$ {{\bf{1}}_{{N_{\text{c}}}}} $为行数为$ {N_{\text{c}}} $的列向量，$ \boldsymbol{I}_m $为维度为$ m $的单位矩阵，$ \otimes $为克罗内克积运算，$ u(t - 1) $为上一时刻的实际控制量.

结合式(17)、(18)，可以将式(15)转换为

(19)$ \boldsymbol{U}_{\min } \leqslant \boldsymbol{G} \times \Delta \boldsymbol{U}(t)+\boldsymbol{U}(t) \leqslant \boldsymbol{U}_{\max } . $

式中：${\boldsymbol{U}_{\min }}$和${\boldsymbol{U}_{\max }}$分别为控制时域内控制量最小值和最大值的集合.

为了便于优化求解，将式(11)中的目标函数重构为标准二次规划形式：

(20)$ \left.\begin{array}{l}\min J, \\J=\left[\Delta \boldsymbol{U}(t)^{\mathrm{T}}, \varepsilon\right]^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_t\left[\Delta \boldsymbol{U}(t)^{\mathrm{T}}, \varepsilon\right]+\boldsymbol{G}_t\left[\Delta \boldsymbol{U}(t)^{\mathrm{T}}, \varepsilon\right], \\\text { s.t. } \Delta \boldsymbol{U}_{\min } \leqslant \Delta \boldsymbol{U}(t) \leqslant \Delta \boldsymbol{U}_{\max }, \\\quad \;\;\;\;\boldsymbol{U}_{\min } \leqslant \boldsymbol{G} \times \Delta \boldsymbol{U}(t)+\boldsymbol{U}(t) \leqslant \boldsymbol{U}_{\max } .\end{array}\right\} $

式中：$ \boldsymbol{H}_t=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{\theta}_t^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\theta}_t+\boldsymbol{R} & \mathbf{0} \\\mathbf{0} & \rho\end{array}\right]$，$\boldsymbol{G}_t=\left[2 \boldsymbol{e}_t^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\theta}_t, 0\right]$，$\boldsymbol{e}_t$为预测时域内的跟踪误差.

在每个控制周期中，完成对式(20)的求解后，即可得到控制时域内的控制输入增量序列，具体表示为

(21)$ \Delta \boldsymbol{U}_t^*=\left[\Delta u_t^*, \Delta u_{t+1}^*, \cdots, \Delta u_{t+N_{\mathrm{c}}-1}^*\right]^{\mathrm{T}} . $

在模型预测控制器求解完成后，将式(21)中的第1个元素作为实际的控制输入：

(22)$ u(t)=u(t-1)+\Delta u_t^*. $

在模型预测控制的研究过程中发现，控制器的跟踪精度和实时性主要受控制器输入参数的影响. 控制器输入参数主要包括：预测时域、控制时域和采样时间. 图3为不同预测时域、控制时域和采样时间对应的单次计算时间(t_s)曲线图. 可以看出，随着预测时域、控制时域和采样时间的增大，控制器的单次计算时间均延长.

NSWOA是典型的多目标优化方法，其全局搜索能力和收敛性较好. 算法的具体优化过程如下.

1）环绕猎物. 座头鲸个体在搜索空间中围绕当前最优解进行位置更新，随着迭代过程的推进，逐步向最优解靠近，从而实现全局寻优：

(23)$ X_i^{{t_{\text{c}}}+1} = X_{{\text{best}}}^{{t_{\text{c}}}} - {{A}_{\mathrm{w}}} \times {D_1}, $

(24)$ {D_1} = |{C} \times X_{{\text{best}}}^{{t_{\text{c}}}} - X_i^{{t_{\text{c}}}}|. $

式中：${t_{\text{c}}}$为当前迭代次数，$X_{{\text{best}}}^{{t_{\text{c}}}}$为搜索至第$ {t_{\text{c}}} $代时种群内取得全局最优解的鲸鱼个体位置，$X_i^{{t_{\text{c}}}}$为第$ {t_{\text{c}}} $次迭代时第$ i $个个体的位置，${D_1}$为包围步长，系数${{A}_{\mathrm{w}}}$和${C}$的计算公式为

(25)$ {{A}_{\mathrm{w}}} = 2{a_\gamma }r - {a_\gamma }, $

(26)$ {C} = 2r, $

(27)$ {a_\gamma } = 2 - 2{{{t_{\text{c}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{t_{\text{c}}}} {{T_{\max }}}}} \right. } {{T_{\max }}}}. $

式中：$r$是0~1.0之间的随机数，${T_{\max }}$为最大迭代次数，${a_\gamma }$为迭代过程中从2.0线性递减至0的变量.

收缩包围机制：在算法迭代过程中，通过将式(25)中的参数${a_\gamma }$由2.0逐渐减小至0来模拟该行为，此时${{A}_{\mathrm{w}}}$在[−${a_\gamma }$,${a_\gamma }$]内变化. 当${{A}_{\mathrm{w}}}$取值为[−1.0, 1.0]内的随机数时，鲸鱼个体可以在其当前位置与当前最优解之间的任意位置进行更新.

2）气泡网攻击. 为了模拟鲸鱼沿螺旋路径释放气泡网并逐步逼近猎物的捕食行为，采用下式更新鲸鱼个体的位置：

(28)$ X_i^{{t_{\text{c}}}+1} = {D_2}{{\mathrm{e}}^{bl}}\cos \;(2\text{π} l)+X_{{\text{best}}}^{{t_{\text{c}}}}, $

(29)$ {D_2} = |X_{{\text{best}}}^{{t_{\text{c}}}} - X_i^{{t_{\text{c}}}}|. $

式中：${D_2}$为鲸鱼个体与当前最优解（猎物）之间的距离；$b$为控制对数螺旋形状的常数；$l$是[−1.0, 1.0]内服从均匀分布的随机数，用于模拟捕食路径的随机性.

3）搜索猎物. 在搜索阶段，鲸鱼个体从当前种群中随机选择1个解作为参考目标，并据此进行位置更新. 这一机制旨在扩展搜索范围，增强算法的全局探索能力，同时保持种群多样性. 对应的位置更新公式为

(30)$ X_i^{{t_{\text{c}}}+1} = X_{{\text{rand}}}^{{t_{\text{c}}}} - {{A}_{\mathrm{w}}} \times {D_3}, $

(31)$ {D_3} = |C \times X_{{\text{rand}}}^{{t_{\text{c}}}} - X_i^{{t_{\text{c}}}}|. $

式中：$X_{{\text{rand}}}^{{t_{\text{c}}}}$为从当前种群中随机选择的某个个体的位置，${D_3}$为猎物搜索阶段的包围步长.

座头鲸在捕猎过程中沿着圆圈做螺旋运动，不断缩小圆圈直径，直到完成捕猎. 为了模拟螺旋捕猎行为，设定鲸鱼在更新位置时以相等的概率选择收缩包围机制或螺旋模型. 当随机概率$\geqslant $0.5时，采用气泡网攻击阶段的位置更新方式；当随机概率<0.5时，根据${A_{\mathrm{w}}}$值来确定更新方式：当|${A_{\mathrm{w}}}$|<1时采用环绕猎物阶段的方式更新位置，当|${A_{\mathrm{w}}}$|$\geqslant $1时采用搜索猎物阶段的方式更新位置. 图4为改进NSWOA的流程图.

4）拥挤距离计算. 对于每个个体，将其对应的控制器参数传递给模型预测控制器，采用二次规划方法求解式(20)，得到轨迹误差平方和与总计算时间. 根据个体在目标空间中的性能表现对其进行非支配排序，以区分不同层级的非支配解. 随后，计算同一非支配层内各解之间的拥挤距离，用于衡量其在目标空间中的分布密度. 拥挤距离的计算公式为

(32)$ d_i=\displaystyle\sum_{k=1}^M \dfrac{f_k(i+1)-f_k(i-1)}{f_k^{\max }-f_k^{\min }} . $

式中：$f_k^{\max }$和$f_k^{\min }$为第$k$个目标函数的最大值和最小值，$M$为种群规模，${f_k}(i+1)$和${f_k}(i - 1)$分别为个体$i+1$和$i - 1$的第$k$个目标函数.

最终，根据个体的适应度进行选择，排名越靠前表明适应度越高. 当2个个体的排名不一致时，优先选择排名更小的个体；若两者的排名相同，则选择拥挤距离较大的个体. 按照这一规则持续选取个体，直到种群数量达到预设的目标值.

为了生成1个在特定范围内变化的混沌序列，并通过该序列来初始化变量，改进后的Sinusoidal映射结合控制参数、缩放因子和小偏移量，用于种群初始化：

(33)$ X_i^{{t_{\text{c}}}+1} = {\sigma _{\mathrm{s}} }\mu_{\mathrm{s}} {(X_i^{{t_{\text{c}}}})^2}\sin \;({\text{π}}X_i^{{t_{\text{c}}}}). $

式中：$\mu_{\mathrm{s}} $为控制参数，取值在[0, 4.0]之间^[20]，经过多次仿真最终确定$\mu_{\mathrm{s}} $=2.5时优化效果最好；${\sigma _{\mathrm{s}} }$为缩放因子，用于确保初始位置适应目标范围.

为了避免数值不稳定性，引入小偏移量$ \epsilon $，在更新$X_i^{{t_{\text{c}}}+1}$后加入额外的边界限制：

(34)$ X_i^{t_{\mathrm{c}}+1}=\left\{\begin{array}{ll}\epsilon, & X_i^{t_{\mathrm{c}}+1}<\epsilon ; \\1-\epsilon, & X_i^{t_{\mathrm{c}}+1}>1-\epsilon .\end{array}\right. $

莱维飞行策略是一种随机行为策略^[21]，其步长计算公式为

(35)$ {\text{Levy}}\;(\beta ) = \dfrac{{{\mu }}}{{|\gamma {|^{ - \beta }}}}. $

式中：${\text{Levy}}\;(\beta )$表示服从参数为$\beta $的莱维分布，当0<$\beta $<2时，${\mu }$服从N(0, ${\sigma ^2}$)分布，$\gamma $服从N(0, 1)分布. $\sigma $的计算公式为

(36)$ \sigma = \dfrac{{\varGamma (1+\beta )\sin \left( {{{{\text{π }}\beta } \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{π }}\beta } 2}} \right. } 2}} \right)}}{{\beta \varGamma \left( {{{\left( {1+\beta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1+\beta } \right)} 2}} \right. } 2}} \right) \times {2^{{{\left( {\beta - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\beta - 1} \right)} 2}} \right. } 2}}}}}. $

式中：$\varGamma $表示Gamma分布函数，参数$\beta $＝1.5.

将原有的螺旋位置更新机制替换为基于改进莱维飞行策略的位置更新方式，以增强算法的全局搜索能力和跳出局部最优的能力. 改进后的位置更新公式为

(37)$ X_i^{{t_{\text{c}}}{\text+}1} = X_i^{{t_{\text{c}}}}+{\varphi _{\mathrm{L}} }{\text{Levy}}\;(\beta )(X_{{\text{best}}}^{{t_{\text{c}}}} - \varphi X_i^{{t_{\text{c}}}}). $

式中：${\varphi _{\mathrm{L}} }$为莱维飞行的缩放系数，取值为0.01；系数$\varphi $=1, 2.

为了全面评估改进后的NSWOA的性能，选取反转世代距离(inverted generational distance, IGD)和世代距离(generational distance, GD)作为主要评价指标. IGD指标综合反映了算法解集的收敛性与分布性，其值越低，表明所得解集在逼近真实Pareto前沿的同时具有更好的多样性和覆盖范围. GD指标主要用于衡量算法解集向真实Pareto前沿收敛的程度，其值越小，说明解集的收敛性能越好.

对改进NSWOA、基于改进Sinusoidal映射的改进NSWOA (SNSWOA)和改进Sinusoidal映射和莱维飞行策略相结合的改进NSWOA (SLNSWOA)的性能进行对比，测试函数选择ZDT1、ZDT2、ZDT4和ZDT6. 为了保证实验结果的统计有效性，将各算法的种群规模统一设定为50，最大迭代次数设为1 000. 对每种算法独立运行30次，以消除随机因素的影响，并计算各项指标的平均值，结果如表1所示. 由于须对多个算法和测试函数进行30次独立运行，总计算量较大. 种群规模50和最大迭代次数1 000的组合在保证算法充分探索解空间的同时，将单次运行时间控制在可接受范围内，从而确保了可行性. 从表1可以看出，在3种算法中，SLNSWOA的IGD值和GD值均为最低. 图5为3种算法在不同函数下的最优解与真实解的对比图，其中f₁、f₂为测试函数值. 可以看出，NSWOA得到的最优解存在相对集中和超出边界的问题，SNSWOA改善了NSWOA超出边界的问题，而SLNSWOA在SNSWOA的基础上进一步改善了最优解分布不均的问题.

将模型预测控制参数调整问题转换为数学中的优化问题，以预测时域、控制时域和采样时间为优化变量，以横向轨迹误差平方和与总计算时间为优化目标，建立多目标优化函数：

(38)$ \left.\begin{array}{l}\min _{N_{\mathrm{p}}, N_{\mathrm{c}}, T_{\mathrm{s}}}\left({\mathrm{Yet}}, T_{\mathrm{t}}\right), \\{\mathrm{Yet}}=\operatorname{sum}\left\{\left[{\eta}(k)-{\eta}_{\text {ref }}(k)\right]^2\right\}, \\T_{\mathrm{t}}=\operatorname{sum}(t_{\mathrm{s}}), \\\text { s.t. } N_{\mathrm{p}}^1 \leqslant N_{\mathrm{p}} \leqslant N_{\mathrm{p}}^{\mathrm{u}}, N_{\mathrm{c}}^1 \leqslant N_{\mathrm{c}} \leqslant N_{\mathrm{c}}^{\mathrm{u}}, \\\quad\;\;\; T_{\mathrm{s}}^1 \leqslant T_{\mathrm{s}} \leqslant T_{\mathrm{s}}^{\mathrm{u}} .\end{array}\right\} $

式中：Yet为实际横向轨迹与参考轨迹之差的平方和，$ \eta (k) $可以从式(13)中得到，T_t为总计算时间，$ N_{\text{p}}^{\text{u}} $、$ N_{\text{p}}^{\text{l}} $为预测时域的优化范围上、下限，$ N_{\text{c}}^{\text{u}} $、$ N_{\text{c}}^{\text{l}} $为控制时域的优化范围上、下限，$ T_{\text{s}}^{\text{u}} $、$ T_{\text{s}}^{\text{l}} $为采样时间的优化范围上、下限.

所设置的2个优化目标涉及对工程可实施性的主观判断，须考虑人为因素的影响，因此需要对这2个目标的重要性进行主观评估，从而确定其相应的主观权重. 以这2个目标作为评价指标，基于Pareto最优解集，采用连续有序加权平均（continuous ordered weighted averaging, COWA）算子法^[22]计算其客观权重，以此降低Pareto前沿两端不稳定解对权重分配的干扰. 随后，结合博弈论方法^[23]，对主观与客观权重进行协调融合，获得综合权重. 最终，运用逼近理想解排序法（technique for order preference by similarity to an ideal solution, TOPSIS）^[24]，依据综合权重对Pareto最优解集中各个解进行评估与排序. 具体流程如下.

1） 通过专家打分法确定2个指标的主观权重. 邀请$g$位专家对2项优化目标的重要性进行独立评分，随后对所有专家的评分结果进行归一化处理，从而获得各指标对应的主观权重$\omega _n^{1 * }$：

(39)$ \omega_n^{1 *}=\sum_{a=1}^g A_{a n} \bigg/ \sum_{a=1}^g \sum_{n=1}^2 A_{a n} . $

式中：${A_{an}}$为第$a$位专家对第$n$个指标的打分值.

2） Pareto最优解集共包含${b_{\mathrm{w}}}$个非支配解，将2个目标函数作为评估指标，可以构建指标矩阵$\boldsymbol{S}$：

(40)$ \boldsymbol{S}=\left[s_{m n}\right]_{b_{\mathrm{w}} \times 2} ;\;\; m=1,2, \cdots, b_{\mathrm{w}},\; n=1,2 . $

3） 标准化处理指标矩阵中的各个元素：

(41)$ s_{mn}^ * = {{{s_{mn}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{s_{mn}}} {{s_{\max }}}}} \right. } {{s_{\max }}}}. $

式中：${s_{\max }}$为每列的最大元素.

4） 利用COWA算子法计算2个指标的客观权重$\omega _n^{2 * }$：

(42)$ \omega_n^{2 *}=\omega_n^* \bigg/ \displaystyle\sum_{n=1}^2 \omega_n^* . $

式中：$ \omega_n^* = \displaystyle\sum_{m=1}^{b_{\mathrm{w}}} v_m s_{m n}^*$，$v_m = c_{b_{\mathrm{w}}-1}^{m-1} \bigg/ \displaystyle\sum_{i=0}^{b_{\mathrm{w}}-1} c_{b_{\mathrm{w}}-1}^i = \dfrac{c_{b_{\mathrm{w}} - 1}^{m-1}}{2^{b_{\mathrm{w}}-1}}$，$c_{{b_w} - 1}^{m - 1}$为从${b_{\mathrm{w}}} - 1$个元素中任意抽取$m - 1$个元素的组合数.

5） 基于博弈论框架，构建收益函数以量化博弈结果. 收益函数是以数值表示的博弈结果，博弈参与方为主观赋权法与客观赋权法，二者分别以对应的权重向量作为博弈策略. 将主、客观权重占比${\phi _1}$和${\phi _2}$作为收益函数，其中，${\phi _1}$、${\phi _2}$∈[0, 1.0]，且${\phi _1}$+${\phi _2}$=1. 通过引入系数${\phi _1}$和${\phi _2}$对主、客观权重进行线性组合，得到综合权重. 在此基础上，使综合权重与主观权重及客观权重之间的离差极小化，最终获得的综合权重${\psi _n}$为

(43)$ {\psi _n} = {\phi _1}\omega _n^{2 * }+{\phi _2}\omega _n^{1 * }. $

将专家打分原始数据记为$\{ {x_{ij}}\} $. 综合权重${\psi _n}$的计算过程可以被视为最优策略的求解问题，该策略旨在最小化各评估指标之间的差异，从而提升评价结果的一致性与可靠性. 为此，构建拉格朗日函数，通过其最小化过程求解系数${\phi _1}$与${\phi _2}$^[25]. 在满足$\phi_1^{\prime 2}+\phi_2^{\prime 2}=1$且$\phi _1^\prime $、$\phi _2^\prime $∈[0,1.0]的条件下，确定$\phi _1^\prime $和$\phi _2^\prime $，使得下式最小化：

(44)$ \begin{split} F\left(\phi_1^{\prime}, \phi_2^{\prime}\right)= & \displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{b_{\mathrm{w}}}\left(\phi_1^{\prime} \omega_1^{1^*}+\phi_2^{\prime} \omega_1^{2^*}\right) x_{i 1}+ \\& \displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{b_{\mathrm{w}}}\left(\phi_1^{\prime} \omega_2^{1^*}+\phi_2^{\prime} \omega_2^{2^*}\right) x_{i 2}\end{split} $

对求得的$\phi _1^\prime $和$\phi _1^\prime $进行归一化处理，即令${\phi _1} = {\phi _1^\prime } / \left( {\phi _1^\prime +\phi _2^\prime } \right)$，${\phi _2} = {{\phi _2^\prime } \mathord{\left/ {\vphantom {{\phi _2^\prime } {\left( {\phi _1^\prime +\phi _2^\prime } \right)}}} \right. } {\left( {\phi _1^\prime +\phi _2^\prime } \right)}}$.

6）为指标矩阵中的各个元素赋予相应的权重，从而构造赋权矩阵${\boldsymbol{K}}$：

(45)$ \boldsymbol{K}=\left[k_{m n}\right]_{b_{\mathrm{w}} \times 2} ;\;\; m=1,2, \cdots, b_{\mathrm{w}},\; n=1,2 . $

7）依据逼近理想解排序法的基本原理，将赋权矩阵中每列的最小元素作为最优解$Y_n^+$，将赋权矩阵中最大元素作为最劣解$Y_n^ - $：

(46)$ Y_n^+ = \min ({k_{1n}},{k_{2n}}, \cdots ,{k_{{b_{\mathrm{w}}}n}}), $

(47)$ Y_n^ - = \max ({k_{1n}},{k_{2n}}, \cdots ,{k_{{b_{\mathrm{w}}}n}}). $

8）计算得到赋权矩阵中各元素${k_{mn}}$与$Y_n^+$、$Y_n^ - $的距离$Z_m^+$和$ Z_m^ - $：

(48)$ Z_m^+=\sqrt{\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^2\left(k_{m n}-Y_n^+\right)^2}, $

(49)$ {Z}_{m}^-=\sqrt{\displaystyle\sum\nolimits _{n=1}^{2}{({k}_{mn}-{Y}_{n}^-)}^{2}}. $

9）计算Pareto最优解集中第m个解与最优解之间的接近指数${R_m}$：

(50)$ {R_m} = \dfrac{{Z_m^ - }}{{Z_m^++Z_m^ - }}. $

将该指数值按照降序进行排序. 接近指数${R_m}$越大，表示该解越接近理想最优水平.

在仿真过程中，相关参数设置如下：汽车质量为1 723 kg，绕z轴的转动惯量为4 175 kg·m²，前轴与质心的距离为1.232 m，后轴与质心的距离为1.468 m，轮胎规格为225/60 R18，轮胎附着系数为0.85. 在控制策略方面，预测时域初始值设为25，控制时域初始值为10，采样时间初始值为0.02 s；在优化过程中，预测时域的优化范围为[15，35]，控制时域的优化范围为[1，14]，采样时间的优化范围为[0.01, 0.1] s.

设置SLNSWOA的迭代次数为200，种群规模为20. 邀请20位专家对2项指标进行打分，打分标准为：1分表示“不重要”，2分为“一般”，3分为“较重要”，4分为“重要”，5分为“非常重要”. 专家打分结果如表2所示，其中，$ {Z_{{\text{Yet}}}} $为横向轨迹误差平方和的打分值，$ {Z_{{T_{\mathrm{t}}}}} $为总计算时间的打分值.

许多学者^[26-27]采用双移线轨迹来评估自动驾驶汽车的轨迹跟踪精度. 双移线轨迹可以表示为

(51)$ \left.\begin{split} {Y_{{\text{ref}}}}(X) =& \dfrac{{{d_{y1}}}}{2}\left[ {1+\tanh {(z_1)}} \right] - \dfrac{{{d_{y2}}}}{2}\left[ {1+\tanh {(z_2)}} \right], \\ {\psi _{{\text{ref}}}}(X) =& {\tan ^{ - 1}}\left[ {d_{y1}}{{\left( {\dfrac{1}{{\cosh {(z_1)}}}} \right)}^2}\left( {\dfrac{{1.2}}{{{d_{x1}}}}} \right) -\right. \\& \left. {d_{y2}}{{\left( {\dfrac{1}{{\cosh {(z_2)}}}} \right)}^2}\left( {\dfrac{{1.2}}{{{d_{x2}}}}} \right) \right] .\end{split} \right\} $

式中：$ {Y_{{\text{ref}}}}(X) $为参考侧向位置，$ {\psi _{{\text{ref}}}}(X) $为参考横摆角，$ {d_{x1}} $=25.00 m，$ {d_{x2}} $=21.95 m，$ {d_{y1}} $=4.05 m，$ {d_{y2}} $=5.70 m，${z_1} = \left[\dfrac{{2.40}}{{{d_{x1}}}}(X - 27.19) - 1.20\right]$ m，${z_2} = {\left[\dfrac{{2.40}}{{{d_{x2}}}}(X - 56.46) -\right.} {\left.1.20\right]}$ m.

在双移线工况下，SLNSWOA得到的Pareto最优解如图6所示. 其中，Yet为横向轨迹误差平方和，T_t为总计算时间. 横向轨迹误差平方和在1 106.518 0 ~1 128.262 4 mm²之间，总计算时间在2.733 7 s~3.321 4 s之间.

利用式(43)计算得到2个指标的综合权重分别为0.506 0和0.494 0. 以接近指数最高的1组参数组合作为多目标优化的最佳方案. 利用4.2节中的决策方法得到最佳方案：预测时域为15，控制时域为8，采样时间为0.013 4 s.

为了验证所提参数优化方法的轨迹跟踪效果，分别采用原始模型预测控制(model predictive control, MPC)方法、文献[14]中的变预测时域模型预测控制方法FIS-MPC、基于粒子群优化的模型预测控制参数优化方法PSO-MPC、仅考虑主观因素的SWSLN-MPC方法、仅考虑客观因素的OWSLN-MPC方法以及提出的SOWSLN-MPC方法进行仿真实验. 其中，PSO-MPC为单目标优化算法，为了同时提高跟踪精度和实时性，将式(38)中的${\mathrm{Yet}}$与$T_{\mathrm{t}}$之和作为单目标优化的目标函数；得到的预测时域为25，控制时域为14，采样时间为0.010 0 s. 由SWSLN-MPC方法得到的预测时域为23，控制时域为5，采样时间为0.012 6 s. 采用OWSLN-MPC方法得到的预测时域为26，控制时域为4，采样时间为0.011 2 s.

图7展示了各方法在不同速度下的跟踪轨迹和横向轨迹误差$ {Y_{\text{e}}} $. 从图7中(a)~(c)的跟踪轨迹可以看出，SOWSLN-MPC方法的跟踪轨迹最接近于参考轨迹. 从图7(d)~(f)中可以看出，当速度为10、15、17 m/s时，SOWSLN-MPC方法的横向轨迹误差在第1个波峰处较其他方法更小，在第2个波峰处较其他方法更大.

为了全面评估不同优化策略对模型预测控制性能的影响，在多种车速（v_x=10、15、17 m/s）下对各方法的轨迹跟踪精度与计算效率进行统计分析，如表3所示，其中$\Delta{\mathrm{Yet}} $、$\Delta Y_{\mathrm{t}} $分别为各方法相较于原始MPC方法的${\mathrm{Yet}} $、$T_{\mathrm{t}} $降低幅度. 结果表明，在跟踪精度方面，所有改进型MPC方法均优于原始MPC方法，其中SOWSLN-MPC方法表现最优，在3种车速下的横向轨迹误差平方和较原始MPC方法平均降低了56.27%；FIS-MPC、PSO-MPC、SWSLN-MPC和OWSLN-MPC方法相较于原始MPC方法分别降低了29.89%、53.50%、46.40%和46.82%. 尤其在高速工况（v_x=17 m/s）下，SOWSLN-MPC的误差降幅达到70.52%，体现出更强的鲁棒性与适应性. 在计算效率方面，FIS-MPC和SOWSLN-MPC方法在提升精度的同时显著缩短了总计算时间，与MPC方法相比，分别平均减少了16.21%和21.54%. 相比之下，PSO-MPC方法虽然在精度上表现突出（平均降低了53.50%），但是其计算时间反而平均增加了1.43%（在v_x = 15 m/s工况下甚至上升了8.65%），实时性受限；SWSLN-MPC方法与OWSLN-MPC方法虽然有一定加速效果（平均减时约10%~12%），但是仍然不及SOWSLN-MPC方法的综合性能.

综上，SOWSLN-MPC方法不仅在轨迹跟踪精度上达到最优值，而且实现了显著的计算加速，有效兼顾了控制性能与实时性.

提出融合主客观因素的模型预测控制参数优化方法，通过改进的非支配排序鲸鱼优化算法对预测时域、控制时域及采样时间进行多目标离线优化，获得Pareto最优解集，并进一步构建兼顾主客观因素的综合决策机制，从中遴选出最佳的控制参数配置. 仿真结果表明，所提方法在提升轨迹跟踪精度与保障实时性方面展现出显著优势，验证了该方法的有效性与鲁棒性. 尽管当前成果主要基于仿真环境，尚未经过实车试验的全面检验，但是为复杂动态系统中MPC参数的整定策略提供了新思路. 未来工作将聚焦于实车平台部署，结合实际道路场景与传感器噪声等不确定性因素，进一步验证并完善所提方法的工程适用性. 此外，探索在线自适应调整机制与多源信息融合策略，亦是推动跟踪控制技术从“仿真可行”迈向“落地可靠”的关键方向.