随着航天事业的蓬勃发展，机器人在空间探测中得到广泛的应用^[1-3]. 与传统的多关节刚性机器人相比，连续体机器人凭借良好的柔顺性和灵活性的优点，可以实现狭窄复杂环境下的作业，更适合于空间站建设、维护和检修等空间任务^[4].

目前，常用的机器人高精度控制方法有自适应控制、滑模控制、反步控制等，但是大多是渐进稳定的. Dian等^[5]针对线驱动柔性机器人，提出基于滑模控制器和线性扩张观测器的新型抗扰控制方法，但滑模控制器采用的是指数趋近律. Ayala-Carrillo等^[6]针对气驱动连续体机器人的鲁棒跟踪控制问题，提出基于有限时间的滑模控制器，实现跟踪误差在有限时间内收敛. 针对自由漂浮空间机器人的任务空间跟踪控制问题，Jin等^[7]采用固定时间稳定性理论，保证跟踪误差的收敛时间有界且独立于系统初始状态. 固定时间控制器的时间与参数关系复杂，Sánchez-Torres等^[8]提出预定义时间稳定理论，稳定时间上界显含于系统，简化控制器设计.

预定义时间稳定理论可以确保系统响应速度，在设计控制器时能够直接给定收敛时间. Ye等^[9]提出基于预定义时间的空间飞行器姿态控制算法，结合滑模控制和预定义时间理论实现对飞行器姿态的高精度控制. Jin等^[10]针对自由漂浮空间机器人的任务空间跟踪控制问题，提出基于预定义时间的反步控制方法，实现机器人末端位姿轨迹的快速跟踪. Liu等^[11]提出基于预定义时间的终端滑模控制方法，实现双臂空间机器人的高精度轨迹跟踪控制. 目前针对线驱动柔性机器人的轨迹跟踪控制问题，基于预定义时间的控制研究较少.

RBF神经网络由于良好的非线性逼近性能，被广泛应用于控制领域. Kim等^[12]提出自适应鲁棒RBF神经网络的误差控制方法，提高了2自由度的蛇形机器人在未知扰动下的控制性能. Zhang等^[13]提出结合RBF神经网络和有限时间稳定的控制算法，证明了系统的有限时间稳定性. He等^[14]针对具有不确定性的非线性纯反馈系统的控制问题，结合RBF神经网络和固定时间理论，保证跟踪误差在固定时间收敛到原点邻域. 针对多段线驱动柔性空间机器人这一复杂模型，难免存在建模误差及外界干扰，因此使用RBF神经网络对这些干扰进行补偿，有利于提高控制性能.

基于以上研究，本文提出柔性空间机器人预定义时间自适应滑模控制算法. 主要创新点如下. 1）结合柔性机器人与空间机器人，基于常曲率假设和拉格朗日法，建立柔性空间机器人的动力学模型. 2）针对柔性空间机器人的关节轨迹跟踪问题，提出基于预定义时间稳定性理论的滑模控制算法，简化了控制器的设计. 3）针对柔性空间机器人的建模误差和外界干扰，引入RBF神经网络进行补偿，提高了机器人系统的自适应性能. 通过仿真验证了所提出的预定义时间滑模控制器的有效性和RBF神经网络的自适应性.

柔性空间机器人模型如图1所示，分为以下2个部分：三段式柔性机械臂和自由漂浮的卫星基座. 柔性机械臂的三维模型如图2所示，由3段线驱动柔性机械臂组成，其中每段中心为弹性的柔性杆，由3根驱动绳控制，可以向任意方向弯曲成一段圆弧，等距分布的支撑盘用于保持中心杆的曲率. 这种形式的优点如下：线驱动柔性机械臂的灵活性和适应性好，更容易在空间受限的复杂环境下进行探索和操作^[15]，如图3所示.

常用的柔性臂变形描述有常曲率法、有限元法、cosserat杆理论. 为了简化建模过程，将柔性机器人的控制作为研究重点，选择常曲率法作为柔性机器人的运动学建模基础. 根据常曲率假设可知，连续型的柔性机器人可以近似为一系列等曲率的子段.

对于长度为l的柔性机械臂，如图4所示，其运动变形可以描述为等曲率的杆件^[16].

定义旋转变换如下：

(1)$\left.\begin{aligned} {{\boldsymbol{R}}}_{z}\left({\varphi }_{i}\right)=&\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{cos}}}\;{{{\varphi} }_{{i}}}& -{{\mathrm{sin}}}\;{{{\varphi} }_{{i}}}& 0\\ {{\mathrm{sin}}}\;{{\varphi }_{i}}& {{\mathrm{cos}}}\;{{\varphi }_{i}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\;\;\\{{\boldsymbol{R}}}_{y}\left({\theta }_{i}\right)=&\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{cos}}}\;{{\theta }_{i}}& 0& {{\mathrm{sin}}}\;{{\theta }_{i}}\\ 0& 1& 0\\ -{{\mathrm{sin}}}\;{{\theta }_{i}}& 0& {{\mathrm{cos}}}\;{{\theta }_{i}}\end{array}\right] .\end{aligned}\right\} $

定义单段柔性臂圆弧所在的平面与$ xOz $平面的夹角为弯曲平面角$ \mathit{\varphi } $，如图5所示. 对于第$ i $段柔性臂，当弯曲平面角$ {\varphi }_{i}=0 $时的坐标变换如图6所示.

图6中，$ {\theta }_{i} $为$ {x}_{i} $与$ {x}_{i-1} $所成的角，定义$ {\theta }_{i} $为第$ i $段的弯曲角，$ {r}_{i} $为第$ i $段的弯曲半径. 从图6可得局部位置：

(2)$ {{\boldsymbol{r}}}_{i,\text{lcl}}=\left[1 -{{\mathrm{cos}}}\;{{\theta }_{i}},\;\text{0},\;{{\mathrm{sin}}}\;{{\theta }_{i}}\right]^{{\mathrm{T}}}{r}_{i} \text{}=\left[1 -{{\mathrm{cos}}}\;{{\theta }_{i}},\;\text{0},\;{{\mathrm{sin}}}\;{{\theta }_{i}}\right]^{{\mathrm{T}}}l/{\theta }_{i} . $

式中：下标$ \text{lcl} $表示局部坐标系；当$\;\; {\theta }_{i}=0 $时，$ {{\boldsymbol{r}}}_{i,{\mathrm{lcl}}}={\left[\begin{array}{ccc}0,& 0,& l\end{array}\right]}^{{\mathrm{T}}} $.

为了得到机械臂上每一点的位姿，提出使用弧长参数进行建模. 将机械臂的一个分段视为一段弧，定义弧长参数$ s\in [0,\text{1.0}] $，$ s=0 $对应弧的首端，$ s=1 $对应弧的末端. 当$\;\; {\theta }_{i}=0 $时，$ {{\boldsymbol{r}}}_{i,\text{lcl}}= {\left[\begin{array}{ccc}0,& 0,& sl\end{array}\right]}^{{\mathrm{T}}} $. 在等曲率假设的条件下，臂段中任意一点的位置坐标可以表示为

(3)$ {{\boldsymbol{r}}}_{i,\text{lcl}}({\theta }_{i},s) = \left[1 - {{\mathrm{cos}}}\;({s{\theta }_{i}}),\;\text{0},\;{{\mathrm{sin}}}\;({s{\theta }_{i}})\right]^{{\mathrm{T}}}l/{\theta }_{i} \text{}\triangleq \boldsymbol{p}({\theta }_{i},s) . $

当$ {\varphi }_{i}\ne 0 $时，盘$ i $的几何中心在盘$ i-1 $的局部坐标位置表示为

(4)$ {{\boldsymbol{r}}}_{i,\text{lcl}}({\varphi }_{i},{\theta }_{i},s)={{\boldsymbol{R}}}_{z}\left({\varphi }_{i}\right){\boldsymbol{p}}({\theta }_{i},s) . $

姿态可以通过旋转变换矩阵表示为

(5)$ {{\boldsymbol{R}}}_{i,\text{lcl}}({\varphi }_{i},{\theta }_{i}\text{,}s)={\boldsymbol{R}}_{z}\left({\varphi }_{i}\right){{\boldsymbol{R}}}_{y}\left(s{\theta }_{i}\right){{\boldsymbol{R}}}_{z}(-{\varphi }_{i}) . $

线驱动连续体机械臂的运动学分析不仅包括上述关节空间（弯曲平面角、弯曲角）和工作空间（末端位姿）的映射关系，还包括驱动空间（绳索长度）和关节空间的映射关系，可见文献[17]，不再详述.

定义如下符号：$ {{\boldsymbol{q}}}_{0}=[{x}_{0},\;{y}_{0},\;{z}_{0},\;{\varphi }_{0},\;{\theta }_{0},\;{\psi }_{0}{]}^{{\mathrm{T}}} $为基座对应的虚拟关节变量，其中$ {x}_{0}、{y}_{0}、{z}_{0} $为基座质心在惯性系下的坐标，$ {\varphi }_{0}、{\theta }_{0}、{\psi }_{0} $为采用3-2-1顺序描述的欧拉角(本体相对于惯性系)，基座的速度为$ {{\boldsymbol{V}}}_{0}=[{{{\boldsymbol{v}}}_{0}}^{{\rm T}},{{{\boldsymbol{\omega}} }_{0}}^{{\rm T}}{]}^{{\rm T}} $；$ {\boldsymbol{q}}=[{\varphi }_{1},\;{\theta }_{1}\text{,}\;{\varphi }_{2}\text{,}\;{\theta }_{2}\text{,}\;{\varphi }_{3}\text{,}\;{\theta }_{3}{]}^{{\mathrm{T}}} $为虚拟关节变量，虚拟关节速度为$ \dot{{\boldsymbol{q}}} $，其中$ {\varphi }_{i} $、$ {\theta }_{i} $分别为第$ i(i=\mathrm{1,2},3) $段柔性臂的弯曲平面角和弯曲角；$ \bar{{\boldsymbol{q}}}=[{{\boldsymbol{q}}}_{0}^{{\mathrm{T}}},\;{{\boldsymbol{q}}}^{{\mathrm{T}}}{]}^{{\mathrm{T}}} $为广义虚拟关节变量，$ \dot{\bar{{\boldsymbol{q}}}} $为广义虚拟关节速度.

由于在空间机器人在基座悬浮的状态下几乎不受外力，机器人系统的机械臂和基座位姿是相互耦合的，需要考虑整个系统的动量守恒. 系统的动量守恒方程可以表示为

(6)$ \left[\begin{array}{c}{{\boldsymbol{P}}}_{0}\\ {{\boldsymbol{L}}}_{0}\end{array}\right]={{\boldsymbol{H}}}_{0}{{\boldsymbol{V}}}_{0}+{{\boldsymbol H}}_{{\mathrm{m}}}\dot{{\boldsymbol{q}}} . $

式中：$ {{\boldsymbol{P}}}_{0} $和$ {{\boldsymbol{L}}}_{0} $分别为柔性空间机器人系统的线动量和角动量，$ {{\boldsymbol{H}}}_{0} $和$ {{\boldsymbol H}}_{{\mathrm{m}}} $分别为系统动量关于基座运动速度和关节运动速度的惯性矩阵，$ {{\boldsymbol{V}}}_{0}= [{{{\boldsymbol{v}}}_{0}}^{{\rm T}},\;{{{\boldsymbol{\omega}} }_{0}}^{{\rm T}}{]}^{{\rm T}} $为基座的速度向量.

系统总动能为

(7)$ K={K}_{0,{\mathrm{t}}}+{K}_{0,{\mathrm{r}}}+\sum _{i=1}^{3}({K}_{i,{\mathrm{t}}}+{K}_{i,{\mathrm{r}}}) . $

式中：$ {K}_{0,{\mathrm{t}}} $和$ {K}_{0,{\mathrm{r}}} $分别为基座的平动和转动动能，$ {K}_{i,{\mathrm{t}}} $和$ {K}_{i,{\mathrm{r}}} $分别为第$ i $段柔性臂（包含中心杆和圆盘）的平动和转动动能.

由于在太空环境下系统受到的重力势能等效为零，总势能只包含柔性杆的弹性势能，

(8)$ U=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{3}E{I}_{xx}{\left(\frac{{\theta }_{i}}{l}\right)}^{2} . $

式中：$ E $为柔性杆的弹性势能，$ {I}_{xx} $为柔性杆的惯性矩.

动力学建模采用拉格朗日法建模，机器人系统的拉格朗日函数为

(9)$ L=K-U . $

拉格朗日方程为

(10)$ \frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{{\boldsymbol{q}}}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \bar{{\boldsymbol{q}}}}={\boldsymbol{\tau}} , $

可得系统的运动方程为

(11)$\begin{split} &{\boldsymbol{M}}\left(\bar{{\boldsymbol{q}}}\right)\ddot{\bar{{\boldsymbol{q}}}}+{\boldsymbol{N}}(\bar{{\boldsymbol{q}}},\dot{\bar{{\boldsymbol{q}}}})+{\boldsymbol{C}}\left(\bar{{\boldsymbol{q}}}\right)=\bar{{\boldsymbol{\tau}} }\iff\\&\left[\begin{array}{cc}{{\boldsymbol{M}}}_{00}& {{\boldsymbol{M}}}_{0q}\\ {{\boldsymbol{M}}}_{q0}& {{\boldsymbol{M}}}_{qq}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\ddot{{\boldsymbol{q}}}}_{0}\\ \ddot{{\boldsymbol{q}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{\boldsymbol{N}}}_{0}\\ {{\boldsymbol{N}}}_{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{\boldsymbol{C}}}_{0}\\ {{\boldsymbol{C}}}_{q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{{\boldsymbol{\tau}} }_{0}\\ {\boldsymbol{\tau}} \end{array}\right]\end{split}.$

式中：$ {\boldsymbol{M}}\left(\bar{{\boldsymbol{q}}}\right) $为$ 12\times 12 $阶的正定惯性矩阵，$ {\boldsymbol{N}}(\bar{{\boldsymbol{q}}},\dot{\bar{{\boldsymbol{q}}}}) $为$ 12\times 1 $阶的包含离心力和哥式力的向量，$ {\boldsymbol{C}}\left(\bar{{\boldsymbol{q}}}\right) $为$ 12\times 1 $阶的关于弹性势能的向量，$ \bar{{\boldsymbol{\tau}} } $为$ 12\times 1 $阶的包括输入力矩和其他力或力矩在各关节的等效广义力矩（$ {{\boldsymbol{\tau}} }_{0} $对应基座的$ 6\times 1 $阶力矩，$ {\boldsymbol{\tau}} $对应机械臂的$ 6\times 1 $阶力矩）. 线驱动连续体机械臂的广义力矩与绳索拉力的关系可以参照文献[18]，广义力矩可以通过映射关系换算为绳索的拉力，不再详述. 由于基座是自由漂浮的，$ {{\boldsymbol{\tau}} }_{0} $对应的控制量为0. 式(11)等价于

(12)$\begin{split} &(-{{\boldsymbol{M}}}_{q0}{{\boldsymbol{M}}}_{00}^{-1}{{\boldsymbol{M}}}_{0q}+{{\boldsymbol{M}}}_{qq})\ddot{{\boldsymbol{q}}}+\\&{{\boldsymbol{M}}}_{q0}{{\boldsymbol{M}}}_{00}^{-1}(-{{\boldsymbol{N}}}_{0}-{{\boldsymbol{C}}}_{0})+{{\boldsymbol{N}}}_{q}+{{\boldsymbol{C}}}_{q}={\boldsymbol{\tau}} .\end{split} $

化简得到

(13)$ {\boldsymbol{A}}\ddot{{{\boldsymbol{q}}}}+{\boldsymbol{B}}={\boldsymbol{\tau}} . $

式中：$ {\boldsymbol{A}}=-{{\boldsymbol{M}}}_{q0}{{\boldsymbol{M}}}_{00}^{-1}{{\boldsymbol{M}}}_{0q}+{{\boldsymbol{M}}}_{qq}， $$ {\boldsymbol{B}}={{\boldsymbol{M}}}_{q0}{{\boldsymbol{M}}}_{00}^{-1}(-{{\boldsymbol{N}}}_{0}- {{\boldsymbol{C}}}_{0})+ {{\boldsymbol{N}}}_{q}+{{\boldsymbol{C}}}_{q} $.

假设系统存在外部干扰，则动力学方程(13)可以修改为

(14)$ {\boldsymbol{A}}\ddot{{\boldsymbol{q}}}+{\boldsymbol{B}}={\boldsymbol{\tau}} +{\boldsymbol{d}} . $

式中：$ {\boldsymbol{d}} $为$ n\times 1 $维的未知外部干扰.

对于柔性空间机器人这类复杂系统，难以获取模型的准确模型，但是可以得到机器人的名义模型. 考虑机器人的名义模型为$ {{\boldsymbol{A}}}_{0} $和$ {{\boldsymbol{B}}}_{0} $，则$ \Delta {\boldsymbol{A}}= {{\boldsymbol{A}}}_{0}-{\boldsymbol{A}} $,$ \Delta {\boldsymbol{B}}={{\boldsymbol{B}}}_{0}-{\boldsymbol{B}} $为建模误差. 式(14)可以修改为

(15)$ {{\boldsymbol{A}}}_{0}\ddot{{\boldsymbol{q}}}+{{\boldsymbol{B}}}_{0}={\boldsymbol{\tau}} +{{\boldsymbol{f}}}' . $

式中：$ {{\boldsymbol{f}}}'=\Delta {\boldsymbol{A}}\ddot{{\boldsymbol{q}}}+\Delta {\boldsymbol{B}}+{\boldsymbol{d}} $.

取状态变量

(16)$ \left.\begin{array}{c}{{\boldsymbol{x}}}_{1}={\boldsymbol{q}},\\ {{\boldsymbol{x}}}_{2}={\dot{{\boldsymbol{x}}}}_{1}=\dot{{\boldsymbol{q}}},\end{array}\right\} $

则系统为

(17)$ \left.\begin{array}{c}{\dot{{\boldsymbol{x}}}}_{1}={{\boldsymbol{x}}}_{2},\\ {\dot{{\boldsymbol{x}}}}_{2}={\boldsymbol{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right)+{\boldsymbol{gu}}+{\boldsymbol{H}}.\end{array}\right\} $

式中：$ {\boldsymbol{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right)={{\boldsymbol{A}}}_{0}^{-1}{{\boldsymbol{f}}}'={\left[{f}_{1},\cdots ,{f}_{n}\right]}^{{\rm T}}， $$ {\boldsymbol{g}}={{\boldsymbol{A}}}_{0}^{-1}， $$ {\boldsymbol{u}}={\boldsymbol{\tau}} $为控制输入，$ {\boldsymbol{H}}=-{{\boldsymbol{A}}}_{0}^{-1}{{\boldsymbol{B}}}_{0} $.

考虑如下的不确定动态系统：

(18)$ \dot{{\boldsymbol{x}}}=f(t,{\boldsymbol{x}}),\;\;{\boldsymbol{x}}\left({t}_{0}\right)={{\boldsymbol{x}}}_{0} . $

式中：$ {\boldsymbol{x}}\in {{\bf{R}}}^{n} $为系统状态，$ f(t,{\boldsymbol{x}}) $为非线性函数，$ {{\boldsymbol{x}}}_{0} $为系统的初始状态.

定义1　若系统(18)是全局有限时间稳定的，且收敛时间上界与初始状态无关，则称系统为全局固定时间稳定的^[19].

定义2　若系统(18)是全局固定时间稳定的，且收敛时间上界显含于系统函数中，则称系统为全局预定义时间稳定的^[20].

系统(18)的预定义时间稳定的充分条件由以下引理给出.

引理1　如果存在径向无界的Lyapunov函数

(19)$ \dot{V}\left(x\right)=-\frac{\pi }{\eta {T}_{{\mathrm{c}}}\sqrt{\alpha \beta }}\left(\alpha {V}^{1-{\eta }/{2}}+\beta {V}^{1+{\eta }/{2}}\right)+\varepsilon , $

则称该系统是预定义时间稳定的^[21]. 式中：${T}_{{\mathrm{c}}} $为预定义时间，$ {T}_{{\mathrm{c}}} > 0 $；$ \eta \in \left(\mathrm{0,1.0}\right) $；$ \alpha 、\beta > 0 $；$\varepsilon $为系统参数，$ 0 < \varepsilon < \infty $. 系统的残差集为

(20)$ \begin{split} &\Biggl\{{19}\underset{t\to {T}_{\text{pc}}}{{\mathrm{lim}}}x\left|V\left(x\right)\leqslant\right.\\&\left.{\rm{min}}\left\{{\left(\frac{\varepsilon \eta {T}_{{\mathrm{c}}}\sqrt{\alpha \beta }}{\pi \alpha (1-\mu )}\right)}^{\frac{2}{2-\eta }},\;\;{\left(\frac{\varepsilon \eta {T}_{{\mathrm{c}}}\sqrt{\alpha \beta }}{\pi \alpha (1-\mu )}\right)}^{\frac{2}{2+\eta }}\right\}\right\} .\end{split} $

式中：$ 0 < \mu < 1.0 $.

针对式(17)描述的柔性空间机器人动力学模型，控制器设计的目的是使实际关节角$ {{\boldsymbol{x}}}_{1}=[{q}_{1},\cdots , {q}_{n}{]}^{{\rm T}} $跟踪上期望关节角$ {{\boldsymbol{x}}}_{{\mathrm{d}}}=[{q}_{1{\mathrm{d}}},\cdots ,{q}_{n{\mathrm{d}}}{]}^{{\rm T}} $. 定义角度误差为$ {\boldsymbol{e}}={{\boldsymbol{x}}}_{1}-{{\boldsymbol{x}}}_{{\mathrm{d}}}=[{e}_{1},\cdots ,{e}_{n}] $.

为了证明关节角误差能够在预定义时间内收敛，选取Lyapunov函数为

(21)$ {V}_{1}=\frac{1}{2}{{\boldsymbol{e}}}^{{\rm T}}{\boldsymbol{e}} . $

切换函数选择为

(22)$ {\boldsymbol{s}}=\dot{{\boldsymbol{e}}}+{\boldsymbol{\psi}} . $

式中：

$ {\boldsymbol{\psi}} =\dfrac{\pi }{2{\eta }_{1}{T}_{{\mathrm{c}}1}\sqrt{{\alpha }_{1}{\beta }_{1}}}\left({\alpha }_{1}{{V}_{1}}^{-{{\eta }_{1}}/{2}}+{\beta }_{1}{{V}_{1}}^{{{\eta }_{1}}/{2}}\right){\boldsymbol{e}} $，

其中$ {\eta }_{1}\in \left(\mathrm{0,1.0}\right) $，$ {\alpha }_{1}、{\beta }_{1} > 0 $，$ {T}_{\text{c1}} $为预定义时间.

该预定义时间滑模控制器对应的稳定时间分为以下2个阶段：第1个阶段为切换函数$ {\boldsymbol{s}} $趋近于0的阶段（趋近阶段），第2个阶段为角度误差$ {\boldsymbol{e}} $趋近于0的阶段（滑动阶段）. 以下进行稳定性证明，给出控制器输出量.

滑动阶段：$ {\boldsymbol{s}}={\boldsymbol{0}} $. 由式(22)得到

(23)$ \dot{{\boldsymbol{e}}}=-{\boldsymbol{\psi}} . $

对$ {V}_{1} $求导，可得

(24)$\begin{split} {\dot{{V}}}_{1}=&{{\boldsymbol{e}}}^{{\rm T}}\dot{{\boldsymbol{e}}}=-{\boldsymbol{e}}{}^{{\rm T}}{\boldsymbol{\psi}} \text{}\\=&-\frac{\pi }{{\eta }_{1}{T}_{\text{c1}}\sqrt{{\alpha }_{1}{\beta }_{1}}}\left({\alpha }_{1}{{V}_{1}}^{1-{{\eta }_{1}}/{2}}+{\beta }_{1}{{V}_{1}}^{1+{{\eta }_{1}}/{2}}\right) .\end{split} $

根据引理1可知，$ {\boldsymbol{e}} $将在预定义时间$ {T}_{\text{c1}} $内收敛到0.

趋近阶段：$ {\boldsymbol{s}}\ne {\boldsymbol{0}} $. 选取Lyapunov函数为

(25)$ {V}_{2}=\frac{1}{2}{{\boldsymbol{s}}}^{{\rm T}}{\boldsymbol{s}} . $

对$ {V}_{2} $求导，可得

(26)$ {\dot{{V}}}_{2}={{\boldsymbol{s}}}^{{\rm T}}\dot{{\boldsymbol{s}}}={{\boldsymbol{s}}}^{{\rm T}}\left(\ddot{{\boldsymbol{e}}}+\dot{{\boldsymbol{\psi}} }\right) \text={\boldsymbol{s}}^{{\rm T}}\left[{\boldsymbol{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right)+{\boldsymbol{gu}}+{\boldsymbol{H}}-{\ddot{{\boldsymbol{x}}}}_{{\mathrm{d}}}+\dot{{\boldsymbol{\psi}} }\right] . $

设控制量为

(27)$ {\boldsymbol{u}}=-{{\boldsymbol{g}}}^{-1}\left[{\boldsymbol{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right)+{\boldsymbol{H}}-{\ddot{{\boldsymbol{x}}}}_{{\mathrm{d}}}+\dot{{\boldsymbol{\psi}} }+{\boldsymbol{\kappa}} \right] . $

式中：

${\boldsymbol{\kappa}} =\dfrac{\text{π} }{2{\eta }_{2}{T}_{\text{c2}}\sqrt{{\alpha }_{2}{\beta }_{2}}}\left({\alpha }_{2}{{V}_{2}}^{-{{\eta }_{2}}/{2}}+{\beta }_{2}{{V}_{2}}^{{{\eta }_{2}}/{2}}\right){\boldsymbol{s}}.$

将式(27)代入式(26)，可得

(28)$ {\dot{V}}_{2}=-\frac{\pi }{{\eta }_{2}{T}_{\text{c2}}\sqrt{{\alpha }_{2}{\beta }_{2}}}\left({\alpha }_{2}{{V}_{2}}^{1-{{\eta }_{2}}/{2}}+{\beta }_{2}{{V}_{2}}^{1+{{\eta }_{2}}/{2}}\right) . $

根据引理1可知，$ {\boldsymbol{s}} $将在预定义时间$ {T}_{{\mathrm{c}}2} $内收敛到$ {\boldsymbol{0}} $.

综上可知，该系统为全局预定义时间稳定，收敛时间为$ {T}_{{\mathrm{c}}}\leqslant {T}_{\text{c1}}+{T}_{\text{c2}} $.

在式(27)的控制量中，$ {{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right) $为未知的非线性项，很难保证设计准确的控制律$ {\boldsymbol{u}} $. 利用自适应控制的思想，采用RBF神经网络补偿未知项$ {{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right) $，其中神经网络的自适应律可以由Lyapunov函数导出并证明稳定性.

RBF神经网络是前向型神经网络，由于结构简单和非线性逼近能力较强，可以被应用于自适应非线性控制. 该网络的结构分为3层，如图7所示.

第1层为网络的输入层，$ {\boldsymbol{x}}={\left[{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}\right]}^{{\rm T}} $为$ n $维输入.

第2层为网络的隐藏层，激活函数采用径向基函数，输出为$ {\boldsymbol{h}}\left({\boldsymbol{x}}\right)=[{h}_{1},\cdots ,{h}_{m}{]}^{{\rm T}} $. 最常用的径向基函数是高斯基函数，计算公式为

(29)$ {h}_{j}\left({\boldsymbol{x}}\right)={\rm{exp}}\left(-{{||{\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{c}}||}^{2}}/({2{{{b}}}^{2}})\right) . $

式中：$ {\boldsymbol{c}} $为高斯基函数中心的坐标向量，$ b $为高斯基函数的宽度.

第3层为网络的输出层，输出为

(30)$ y={{\boldsymbol{W}}}^{{\rm T}}{\boldsymbol{h}}\left({\boldsymbol{x}}\right)={W}_{1}{h}_{1}+\dots +{W}_{m}{h}_{m} . $

式中：$ {\boldsymbol{W}}={\left[{W}_{1},\cdots ,{W}_{m}\right]}^{{\rm T}} $为RBF神经网络的权值.

选择神经网络的输入为$ {\boldsymbol{x}}={\left[{\boldsymbol{e}},\;\dot{{\boldsymbol{e}}}\right]}^{{\rm T}} $，在理想情况下，神经网络的输出为

(31)$ {f}_{i}={{\boldsymbol{W}}}^{*{\rm T}}{\boldsymbol{h}}\left({\boldsymbol{x}}\right)-{\varepsilon }_{i} . $

式中：$ {{\boldsymbol{W}}}^{*} $为理想权值，$ {\varepsilon }_{i} $为逼近误差. 假设在实际情况下，神经网络的输出为

(32)$ {\hat{f}}_{i}={\hat{{\boldsymbol{W}}}}^{{\rm T}}{\boldsymbol{h}}\left({\boldsymbol{x}}\right) . $

式中：$ \hat{{\boldsymbol{W}}} $为实际权值. 定义$ \tilde{{\boldsymbol{W}}}={{\boldsymbol{W}}}^{*}-\hat{{\boldsymbol{W}}} $为权值误差，$ {\tilde{f}}_{i}={f}_{i}-{\hat{f}}_{i} $为补偿误差.

选取Lyapunov函数为

(33)$ {V}_{3}=\frac{1}{2}{{s}_{i}}^{2}+\frac{1}{2}\gamma {\tilde{{\boldsymbol{W}}}}^{{\rm T}}\tilde{{\boldsymbol{W}}} . $

式中：$ {\eta }_{3} > 0 $. 对$ {V}_{3} $求导，可得

(34)$\begin{split} {\dot{V}}_{3}=&{s}_{i}{\dot{s}}_{i}+\gamma {\tilde{{\boldsymbol{W}}}}^{{\rm T}}\dot{\tilde{{\boldsymbol{W}}}}=\\&{s}_{i}\left({\tilde{{\boldsymbol{W}}}}^{{\rm T}}{\boldsymbol{h}}\left({\boldsymbol{x}}\right)-{\kappa }_{i}-{\varepsilon }_{i}\right)+\gamma {\tilde{{\boldsymbol{W}}}}^{{\rm T}}\dot{\tilde{{\boldsymbol{W}}}} =\\&{\tilde{\boldsymbol{W}}}^{{\rm T}}\left({s}_{i}{\boldsymbol{h}}\left({\boldsymbol{x}}\right)-\gamma \dot{\hat{{\boldsymbol{W}}}}\right)-{s}_{i}{\kappa }_{i}-{s}_{i}{\varepsilon }_{i} .\end{split} $

由此，可以将自适应律设计为

(35)$ \dot{\hat{{\boldsymbol{W}}}}=\frac{1}{\gamma }{s}_{i}{\boldsymbol{h}}\left({\boldsymbol{x}}\right) , $

则

(36)$ {\dot{V}}_{3}=-\frac{\pi }{{\eta }_{2}{T}_{\text{c2}}\sqrt{{\alpha }_{2}{\beta }_{2}}}\left({\alpha }_{2}{{V}_{2}}^{1-{\eta _{2}}/{2}}+{\beta }_{2}{{V}_{2}}^{1+{\eta }_{2}/{2}}\right)-{s}_{i}{\varepsilon }_{i} . $

由于RBF神经网络具有良好的逼近性能，误差$ {\varepsilon }_{i} $可以趋于较小的值. 根据引理1可知，该系统可以在预定义时间$ {T}_{\text{c2}} $内收敛到残差集.

通过在SolidWorks软件中建立柔性空间机器人的三维模型，可以计算得到基座和连杆的形状、质量和转动惯量等模型参数. 柔性空间机器人的模型参数的测量值如表1所示.

为了验证预定义时间控制器的性能，将其与文献[22]的固定时间控制器进行比较. 设柔性空间机器人各关节角的期望轨迹为$ {q}_{{\mathrm{d}}}=0.1{{\mathrm{cos}}}\;\;(2t) $，初始状态为$ {\boldsymbol{q}}=[0.08,0.08,0.08,0.08,0.08, $$0.08{]}^{{\rm T}} $，未知项$ {{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right)=0 $. 预定义时间控制器的参数如下：$ {\eta }_{1}=0.4 $， $ {T}_{\text{c1}}=1 $，$ {\alpha }_{1}=1 $， $ {\beta }_{1}=1 $， $ {\eta }_{2}=0.4 $， $ {T}_{\text{c2}}=1 $， $ {\alpha }_{2}=1 $， $ {\beta }_{2}=1 $，收敛时间显含于控制器，合计上限为2 s. 固定时间控制器的参数如下：$ {k}_{1}=4 $, $ {k}_{2}=4 $, $ {\alpha }_{1}=1.5 $, $ {\alpha }_{2}=0.5 $, $ \alpha =4 $, $ \beta =4 $, $ {\gamma }_{1}=1.5 $, $ {\gamma }_{2}=0.5 $，收敛时间由公式

(37)$\begin{split} T < T_{{\mathrm{max}}}=& {T_{{\mathrm{r}}}+T_{{\mathrm{s}}}}= \left(\frac{1}{\alpha ({\gamma }_{1}-1)}+\frac{1}{\beta (1-{\gamma }_{2})}\right)+\\&\left(\frac{1}{{k}_{1}({\alpha }_{1}-1)}+\frac{1}{{k}_{2}(1-{\alpha }_{2})}\right) . \end{split}$

计算得出，上限为2 s. 当系统初始状态和期望轨迹较近和较远时，分别进行仿真分析. 假定各个关节到达稳态的判定条件如下：后续的跟踪误差绝对值小于$ 1\times 1{0}^{-4}\;{\mathrm{rad}} $. 轨迹跟踪结果如图8、9所示，实际收敛时间如表2、3所示.

表2中，$ {T}_{\text{r1}} $为预定义时间的实际收敛时间，$ {T}_{\text{r2}} $为固定时间的实际收敛时间. 从图8和表2的仿真结果可以看出，当系统初始状态靠近期望轨迹时，本文的预定义时间控制器和对比的固定时间控制器均能够很快实时跟踪机器人的期望角度，并且实际时间均比理论收敛时间（2 s）少. 在同样的理论收敛时间下，对比的固定时间控制器在0.35 s以上才能实时跟踪期望轨迹，本文的预定义时间控制器均在0.099 s时能够实时跟踪期望轨迹，具有更快的收敛速度.

表3中，$ {T}_{\text{r3}} $为预定义时间的实际收敛时间，$ {T}_{\text{r4}} $为固定时间的实际收敛时间. 从图9和表3的仿真结果可以看出，当系统初始状态远离期望轨迹时，本文的预定义时间控制器和对比的固定时间控制器均能够很快跟踪机器人的期望角度，并且实际时间均比理论收敛时间少2 s. 在同样的理论收敛时间下，对比的固定时间控制器约在0.392 s时能够实时跟踪期望轨迹，本文的预定义时间控制器约在0.259 s时能够实时跟踪期望轨迹，具有更快的收敛速度.

为了验证RBF神经网络的补偿性能，在预定义时间控制器有RBF神经网络补偿和无任何补偿的条件下，开展对比实验. 控制器参数$ {T}_{{\mathrm{c}}1}=1 $，$ {T}_{{\mathrm{c}}2}=3 $，其余不变. 神经网络的相关初始参数设置如下：初始权值为零向量，隐含层的中心向量$ {\boldsymbol{c}} $ =$ [-2, -1.5, -1, 0, 1, 1.5, 2] $，宽度$ b $ = 30，学习率$ \gamma $ = 0.002. 将机器人关节角的初始状态设置为$ {\boldsymbol{q}}\left(0\right)=[0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5{]}^{{\rm T}} $. 未知项$ {{f}}\left({\boldsymbol{x}}\right) $的相关参数设置如下：建模误差$ \Delta {\boldsymbol{A}}=0.001{{\boldsymbol{A}}}_{0} $，$\Delta {\boldsymbol{B}}= $$ 0.001{{\boldsymbol{B}}}_{0} $；外部干扰为$ {\boldsymbol{d}}={{\mathrm{sin}}}\;(20t)+0.2{{\mathrm{rand}}}\;(t) $，其中$ {\mathrm{rand}}\left(t\right)\in \left(\mathrm{0,1.0}\right) $为随机噪声. 补偿性能的仿真结果如图10、11所示.

从图10可以看出，神经网络能够很快实时跟踪未知项，神经网络输出的变化趋势和数值大小基本上与实际的未知项一致. 从图11可以看出，无补偿项的关节误差收敛速度较慢，实时跟踪期望轨迹后误差持续振荡，有补偿项的关节误差收敛速度更快，实时跟踪期望误差后误差基本趋近于零，且收敛时间低于预定的时间上界. 由此可以看出，当面临较大的不确定性干扰时，RBF神经网络能够有效地提高预定义时间控制器的性能，减少收敛时间并降低系统不确定性的影响.

针对提出的柔性空间机器人模型，为了验证轨迹跟踪的控制性能，将轨迹规划与轨迹跟踪进行联合仿真. 轨迹规划和轨迹跟踪时间均为5 s.

给定机器人基座的初始位姿为$ {\boldsymbol{q}}_{0}\left(0\right)= [0,0,0,0,0,0{]}^{{\rm T}} $，初始关节角为$ {\boldsymbol{q}}\left(0\right)=[0.8,0.8,0.8, 0.8, 0.8,0.8{]}^{{\rm T}}\text{rad} $，则末端的初始位置为$ [1.03,0.70, 0.88{]}^{{\rm T}}{\mathrm{m}} $，初始姿态四元数为$ [0.36,-0.67,0.65,0.00{]}^{{\rm T}} $. 期望终止位置为$ [0.85,0.48,0.38{]}^{{\rm T}}{\mathrm{m}} $，期望终止姿态四元数为$ [-0.22,-0.67,0.71,-0.00{]}^{{\rm T}} $. 系统的初始动量假设为零.

将机器人末端设定为梯形速度^[23]，末端的期望线速度和角速度如图12所示. 经过位姿反馈轨迹规划生成的期望关节角. 柔性空间机器人的实际末端速度可以表示为

(38)$ {{\boldsymbol{V}}}_{{\mathrm{e}}}={{\boldsymbol{J}}}_{0}{{\boldsymbol{V}}}_{0}+{{\boldsymbol{J}}}_{{\mathrm{m}}}\dot{{\boldsymbol{q}}} . $

式中：$ {{\boldsymbol{V}}}_{{\mathrm{e}}}=[{{{\boldsymbol{v}}}_{{\mathrm{e}}}}^{{\rm T}},\;{{{\boldsymbol{\omega}} }_{{\mathrm{e}}}}^{{\rm T}}{]}^{{\rm T}} $为柔性空间机器人末端的速度，其中$ {{\boldsymbol{v}}}_{{\mathrm{e}}} $为相应的线速度，$ {{\boldsymbol{\omega}} }_{{\mathrm{e}}} $为相应的角速度；$ {{\boldsymbol{J}}}_{0} $为基座的速度雅可比矩阵；$ {{\boldsymbol{J}}}_{{\mathrm{m}}} $为柔性机械臂的速度雅可比矩阵.

柔性臂空间机器人的末端位姿误差反馈运动学模型可以表示为

(39)$ {\dot{{\boldsymbol{e}}}}_{{\mathrm{p}}}={{\boldsymbol{J}}}_{{\mathrm{e}}}{{\boldsymbol{V}}}_{{\mathrm{e}}}-{{\boldsymbol{J}}}_{\text{ed}}{{\boldsymbol{V}}}_{\text{ed}} . $

式中：$ {{\boldsymbol{e}}}_{{\mathrm{p}}}=[{{\boldsymbol{e}}}_{{\mathrm{e}}}^{{\rm T}},\;{{\boldsymbol{\sigma}} }_{{\mathrm{e}}}^{{\rm T}}{]}^{{\rm T}} $为末端的位姿误差，其中$ {{\boldsymbol{e}}}_{{\mathrm{e}}} $为位置误差，$ {{\boldsymbol{\sigma }}}_{{\mathrm{e}}} $为用修正的罗德里戈参数表示的姿态误差；$ {{\boldsymbol{V}}}_{\text{ed}}=[{{{\boldsymbol{v}}}_{\text{ed}}}^{{\rm T}},\;{{{\boldsymbol{\omega}} }_{\text{ed}}}^{{\rm T}}{]}^{{\rm T}} $为末端的期望速度；$ {{\boldsymbol{J}}}_{{\mathrm{e}}} $和$ {{\boldsymbol{J}}}_{\text{ed}} $为转换矩阵^[11].

综合式(6)、(38)和(39)，可得位姿误差运动学的一般形式为

(40)$ {\dot{{\boldsymbol{e}}}}_{{\mathrm{p}}}={\boldsymbol{J}}\dot{{\boldsymbol{q}}}+{\boldsymbol{\xi}} . $

式中：$ {\boldsymbol{J}} = {{\boldsymbol{J}}}_{{\mathrm{e}}}({{\boldsymbol{J}}}_{{\mathrm{m}}} - {{\boldsymbol{J}}}_{0}{{{\boldsymbol{H}}}_{0}}^{-1}{{\boldsymbol{H}}}_{{\mathrm{m}}}) $，$ {\boldsymbol{\xi}} = {{\boldsymbol{J}}}_{{\mathrm{e}}}{{\boldsymbol{J}}}_{0}{{\boldsymbol{H}}}_{0}^{-1}{\boldsymbol{C}} - {{\boldsymbol{J}}}_{\text{ed}}{{\boldsymbol{V}}}_{\text{ed}} $，其中$ {\boldsymbol{C}} $为机器人系统的动量.

柔性空间机器人的关节速度可以规划为

(41)$ {\dot{{\boldsymbol{q}}}}_{{\mathrm{d}}}={{\boldsymbol{J}}}^{-1}\left(-{\boldsymbol{K{{\boldsymbol{e}}}}}_{{\mathrm{p}}}-{\boldsymbol{\xi }}\right) . $

式中：$ {\boldsymbol{K}} $为比例系数矩阵，$ {\boldsymbol{K}}=\text{diag}\;[{k}_{1},\cdots ,{k}_{n}] $，设置$ {k}_{i}=3 $；$ {\boldsymbol{J}}^{-1} $可以采用文献[23]的避奇异方法.

预定义时间控制器将轨迹规划的关节轨迹作为期望轨迹，开展轨迹跟踪的仿真验证. 控制器参数$ {T}_{\text{c1}}=1 $， $ {T}_{\text{c2}}=3 $，未知项和神经网络的参数设置与4.2节保持一致. 由于进行了轨迹规划，将轨迹跟踪时的初始误差设置为0. 轨迹跟踪的仿真结果如图13所示，基座位姿的变化如图14所示.

从图13可以看出，经过轨迹规划后，采用基于预定义时间的自适应滑模控制器可以良好地跟踪关节空间轨迹，在仿真过程中各关节误差始终接近于0. 如图14所示，由于是空间机器人，基座没有固定和驱动保持稳定，在机械臂的运动过程中，基座的位姿发生一定的变化.

本文针对具有系统建模误差和外界干扰的柔性空间机器人轨迹跟踪问题，提出基于预定义时间的自适应滑模控制算法. 通过常曲率柔性杆假设、动量守恒方程和拉格朗日法，建立柔性空间机器人的动力学模型. 针对该模型，设计预定义时间收敛的滑模控制器. 针对系统的不确定项，采用RBF神经网络进行补偿，利用Lyapunov理论证明了系统误差可以在预定义时间内收敛. 通过在Matlab/Simulink上的数值仿真，证明了预定义时间控制方法能够在系统显含的预定时间内收敛，在收敛速度上优于固定时间控制. RBF神经网络可以较好地与预定义时间控制方法结合，补偿系统的不确定性. 在经过轨迹规划后，对关节角度进行轨迹跟踪控制，验证模型和控制器的有效性. 未来的工作将结合柔性空间机器人的实际应用进行进一步的研究.