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图 1 车路参考模型

Fig.1 Vehicle-road reference model

$ \left.\begin{array}{l}{\dot{d}_{{y}}}={v}_{{y}}+{v}_{{x}}\mathrm{sin}\;\varphi \approx{v}_{{y}}+{v}_{{x}}\varphi， \\ {\dot{v}_{{y}}}=-2\dfrac{{C}_{\text{f}}+{C}_{\text{r}}}{m{v}_{{x}}}{v}_{{y}}+\left(2\dfrac{b{C}_{\text{r}}-a{C}_{\text{f}}}{m{v}_{{x}}}-{v}_{{x}}\right){\omega }_{{\mathrm{r}}}+2\dfrac{{C}_{\text{f}}}{m}{\delta }_{\text{f}}，\\ {\dot\varphi }={\omega }_{\text{r}}，\\ {\dot{\omega }_{\text{r}}}=2\dfrac{b{C}_{\text{r}}-a{C}_{\text{f}}}{{I}_{{z}}{v}_{{x}}}{v}_{{y}}-2\dfrac{{a}^{2}{C}_{\text{f}}+{b}^{2}{C}_{\text{r}}}{{I}_{{z}}{v}_{{x}}}{\omega }_{{\mathrm{r}}}+2\dfrac{a{C}_{\text{f}}}{{I}_{{z}}}{\delta }_{\text{f}}.\end{array}\right\}. $

(1)

式中：$ {d_y} $为车身坐标系下车辆质心与车道中心线之间的横向位移，$ {v_y} $为车身坐标系下的横向速度，$ {v_{{x}}} $为车身坐标系下的纵向速度，$ {v_y} $与$ {v_{{{{x}}}}} $的合成速度为质心速度，$ \varphi $为横摆角，$ {\omega _{\text{r}}} $为横摆角速度，$ {C_{\text{f}}} $为前轮的侧偏刚度，$ {C_{\text{r}}} $为后轮的侧偏刚度，$ a $为前轴与车辆质心之间的距离，$ b $为后轴与车辆质心之间的距离，$ {\delta _{\text{f}}} $为前轮转角，$ {I_{{z}}} $为绕z轴的转动惯量.

以$ {\boldsymbol{x}} = {[\,{d_{{y}}},\,\,{v_{{y}}},\,\,\varphi ,\,\,{\omega _{\text{r}}}]^{\mathrm{T}}} $为状态向量，$ {\boldsymbol{y}} = {[\,{d_{{y}}},\,\,\varphi ]^{\mathrm{T}}} $为模型预测输出，$ {u_{\text{1}}} $为驾驶人的控制输入，$ {u_{\text{2}}} $为智能系统的控制输入，建立连续状态空间方程：

$ \left.\begin{array}{l}{\dot{\boldsymbol{x}}}={\boldsymbol{\varPsi x}}+{\boldsymbol{\varPi}} {u}_{1}+{\boldsymbol{\varPi}} {u}_{2},\\ {\boldsymbol{y}}={\boldsymbol{Cx}}.\end{array} \right\}$

(2)

式中：各系数矩阵满足

$\begin{split} {\boldsymbol{\varPsi}} =&\left[\begin{array}{cccc}0& 1& {v}_{{x}}& 0\\ 0& -2\dfrac{{C}_{\text{f}}+{C}_{\text{r}}}{m{v}_{{x}}}& 0& 2\dfrac{b{C}_{\text{r}}-a{C}_{\text{f}}}{m{v}_{{x}}}-{v}_{{x}}\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 2\dfrac{b{C}_{\text{r}}-a{C}_{\text{f}}}{{I}_{{z}}{v}_{{x}}}& 0& -2\dfrac{{a}^{2}{C}_{\text{f}}+{b}^{2}{C}_{\text{r}}}{{I}_{{z}}{v}_{{x}}}\end{array}\right],\\ {\boldsymbol{\varPi}} =&{\boldsymbol{}}{\left[0，2\dfrac{{C}_{\text{f}}}{m}，0，2\dfrac{a{C}_{\text{f}}}{{I}_{{z}}}\right]}^{\text{T}},\\{\boldsymbol{C}}=&\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right].\end{split}$

以$ {T_{\text{s}}} $为采样周期，对式(2)进行离散化处理，得到离散状态空间方程：

$ \left. \begin{gathered} {\boldsymbol{x}}(k+1|k) = {\boldsymbol{Ax}}(k)+{\boldsymbol{B}}{u_1}(k)+{\boldsymbol{B}}{u_2}(k), \\ {\boldsymbol{y}}(k) = {\boldsymbol{Cx}}(k). \\ \end{gathered} \right\} $

(3)

式中：各系数矩阵满足

$ \begin{gathered} {\boldsymbol A} = {{\text{e}}^{{\boldsymbol{\varPsi}} \;{T_{\text{s}}}}} , \\ {\boldsymbol B} = \int_0^{{T_{\text{s}}}} {{{\text{e}}^{{{\boldsymbol{\varPsi}} _{}}\tau }}} {\mathrm{d}}\tau {\boldsymbol{\varPi}}. \\ \end{gathered} $

1.1.2. 多步预测模型

令当前时刻为k，预测时域为[k，k+p−1]，控制时域为[k, k+c−1]，其中c ≤ p. 由式(3)逐步迭代整理得到

$ \left. \begin{gathered} {\boldsymbol{X}}(k+1|k) = {{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)+{{\boldsymbol{B}}_p}{{\boldsymbol{U}}_1}(k)+{{\boldsymbol{B}}_p}{{\boldsymbol{U}}_2}(k), \\ {\boldsymbol{Y}}(k) = {{\boldsymbol{C}}_p}{\boldsymbol{X}}(k) . \\ \end{gathered} \right\} $

(4)

式中：

$ {\boldsymbol{X}}(k+1|k)={[{{\boldsymbol{x}}}^{\text{T}}(k+1|k),\cdots \text{，}{{\boldsymbol{x}}}^{\text{T}}(k+p|k)]}^{{\mathrm{T}}} , $

$ {{\boldsymbol{U}}}_{1}(k)={[{u}_{1}(k),{u}_{1}(k+1)\text{，}\cdots \text{，}{u}_{1}(k+c-1)]}^{{\mathrm{T}}} , $

$ {{\boldsymbol{U}}}_{2}(k)={[{u}_{2}(k),{u}_{2}(k+1)\text{，}\cdots \text{，}{u}_{2}(k+c-1)]}^{{\mathrm{T}}} , $

$ {\boldsymbol{Y}}(k){\text{ = }}{\left[ {{{\boldsymbol{y}}^{\text{T}}}(k),{{\boldsymbol{y}}^{\text{T}}}(k+1), \cdots ,{{\boldsymbol{y}}^{\text{T}}}(k+p - 1)} \right]^{\mathrm{T}}} , $

$ {{\boldsymbol{A}}_p} = {\left. {{{\left[ {{{({\boldsymbol{A}})}^{\text{T}}},\,{{({{\boldsymbol{A}}^2})}^{\text{T}}},\,\, \cdots \,,\,{{({{\boldsymbol{A}}^p})}^{\text{T}}}} \right]}^{\text{T}}}} \right|_{4p \times 4}} , $

$ {{\boldsymbol{B}}_p} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{0}}& \cdots &{\boldsymbol{0}} \\ {{\boldsymbol{AB}}}&{\boldsymbol{B}}& \cdots &{\boldsymbol{0}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{{\boldsymbol{A}}^{c - 1}}{\boldsymbol{B}}}&{{{\boldsymbol{A}}^{c - 2}}{\boldsymbol{B}}}& \cdots &{\boldsymbol{B}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{{\boldsymbol{A}}^{p - 1}}{\boldsymbol{B}}}&{{{\boldsymbol{A}}^{p - 2}}{\boldsymbol{B}}}& \cdots &{{{\boldsymbol{A}}^{p - c}}{\boldsymbol{B}}} \end{array}} \right]_{4p \times c}} , $

$ {{\boldsymbol{C}}_p} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{C}}&{}&{} \\ {}&{\boldsymbol{C}}&{}&{\boldsymbol{0}} \\ {}&{}& \ddots \\ {\boldsymbol{0}}&{}&{}&{\boldsymbol{C}}\end{array}} \right]_{2p \times 4p}} . $

2. 非合作博弈共享控制

控制层的协同互补是人机共驾领域关注的焦点. 人机并行控制具有双环并行的控制结构，驾驶人与智能系统的输入具有冗余与博弈的特征^[2]. 基于非合作博弈理论^[20-21]，设计基于非合作博弈的模型预测控制(non-cooperative game based model predictive control, NCG-MPC)算法，以提高双驾双控系统的友好性.

2.1. 人机共驾策略设计

2.1.1. 非合作人机共驾策略

如图2所示，在非合作人机共驾策略中，根据环境感知、车辆模型规划出车辆运动可行域，按照车道偏离程度^[6]将车辆运动可行域划分成安全域、过渡域、预警域、危险域. 根据驾驶人模型、车辆模型得到驾驶人的期望轨迹，通过车辆运动可行域与驾驶人期望轨迹进行危险态势估计. 权重$ {w_1} $、$ {w_2} $分别为驾驶人与智能系统的驾驶参与度，满足$ {w_1}+{w_2} = 1 $.

图 2

图 2 非合作人机共驾策略

Fig.2 Non-cooperative driver-automation shared control strategy

非合作人机共驾策略的作用是根据危险态势估计模型来综合协调驾驶人与智能系统的驾驶参与度，能够较好地兼顾驾乘舒适性与行驶安全性，保证驾驶人时刻在环. 当车辆处于安全域或过渡域前期时，在保证一定的横向运动控制精度的前提下，给予驾驶人足够的控制权裕度，以提升驾驶人的舒适体验. 当因驾驶人误操作、走神、疲劳等而导致车辆进入预警域或危险域时，该策略会逐步将驾驶控制权从驾驶人移交给智能系统.

2.1.2. 控制权博弈模型

定义预瞄偏移距离(preview offset distance, POD)为车辆在预瞄点处偏移车道中心线的距离. 根据JTG B01-2014公路工程技术标准可知，我国高速公路车道的宽度为3.75 m，轿车宽度约为1.6~1.8 m. 基于POD距离，将车辆运动可行域划分成以下区域：1）安全域[0, 0.35] m，驾驶人占主导权；2) 过渡域(0.35, 0.6] m，逐渐提高智能系统的控制权值；3) 预警域(0.5, ∞) m，启动分级预警^[22]；4) 危险域(0.6, ∞) m，智能系统快速接管驾驶控制权.

为了提高驾驶人的主观感受度及其对智能系统的信任感，宜尽量减少驾驶人控制权重低于0.5的情况^[6]. 此外，考虑到驾驶人对线性函数的接受度较佳，设计控制权博弈模型，如图3所示. 图中，POD距离d_POD是时间的函数.

图 3

图 3 控制权博弈模型

Fig.3 Game-theoretical model of control authority

驾驶人控制权的数学描述如下：

$ {w_1}({d_{\rm{POD}}}) = \left\{ \begin{gathered} 1\;\;\;,\;\;{d_{\rm{POD}}} \in [0,0.1] ; \\ - 2{d_{\rm{POD}}}+1.2\;\;,\;\;{d_{\rm{POD}}} \in (0.1,0.35] ; \\ 0.5\;,\;\;{d_{\rm{POD}}} \in (0.35,0.45]; \\ - 2{d_{\rm{POD}}}+1.4\;\;,\;\;{d_{\rm{POD}}} \in (0.45,0.7] ; \\ 0\;\;\;,\;\;{d_{\rm{POD}}} \in (0.7,+\infty ) . \\ \end{gathered} \right. $

(5)

式中：$ {w_1}({d_{{\mathrm{POD}}}}) $为驾驶人控制权函数.

2.2. 共享控制算法的设计

2.2.1. 代价函数

车道保持的任务是使车辆横向位置应尽可能逼近期望路径，为了保证控制效果，控制输入宜尽可能小. 在非合作人机共驾策略中，包含2个决策者（即系统有2个控制输入）：驾驶人、智能系统. 这2个决策者都期望自身在实现控制目标时所花费的成本最小，构造代价函数如下：

$ \begin{split} {J_1}(k){\text{ = }}&\sum\limits_{i = 1}^p {\bigl\| {{\boldsymbol{y}}(k+i) - {{\boldsymbol{y}}_{{\text{1,des}}}}(k+i)} \bigl\|_{{{\boldsymbol{q}}_1}(k)}^2} + \\& \sum\limits_{i = 0}^{c - 1} {{\bigl| {{u_1}(k+i)} \bigl|}_{{r_1}(k)}^2}, \end{split} $

(6)

$\begin{split} {J_2}(k){\text{ = }}&\sum\limits_{i = 1}^p {\bigl\| {{\boldsymbol{y}}(k+i) - {{\boldsymbol{y}}_{{\text{2,des}}}}(k+i)} \bigl\|_{{{\boldsymbol{q}}_2}(k)}^2} + \\ & \sum\limits_{i = 0}^{c - 1} {\bigl| {{u_2}(k+i)} \bigl|_{{r_2}(k)}^2}.\end{split} $

(7)

在代价函数中，第1项体现了对期望轨迹的跟踪能力，第2项反映了对控制平稳性的要求. 式中：

$ {{\boldsymbol{q}}_1}(k) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_1}(k)}&{0} \\ {0}&{{\lambda _1}(k)} \end{array}} \right]， $

$ {{\boldsymbol{q}}_2}(k) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_2}(k)}&{0} \\ {0}&{{\lambda _2}(k)} \end{array}} \right] ;$

$ {{\boldsymbol{y}}_{1,{\text{des}}}}(k) $、$ {{\boldsymbol{y}}_{2,{\text{des}}}}(k) $分别为驾驶人与智能系统的局部期望轨迹；$ {r}_{1}(k)、{r}_{2}(k) $分别为相应的控制输入的加权系数；$ {{\boldsymbol{q}}}_{1}(k)、{{\boldsymbol{q}}}_{2}(k) $分别为相应的状态加权矩阵，也称为置信度矩阵，用来动态调整驾驶人与智能系统之间的驾驶参与度；$ {\lambda }_{1}(k)、{\lambda }_{2}(k) $影响相应规划轨迹的超调特性^[20].

基于图3所示的控制权博弈模型，当车辆进入危险域时，通过逐步下调$ {w_1}(k) $与上调$ {w_2}(k) $，增加智能系统规划路径的置信度，进而确保行驶安全性. 当车辆进入安全域时，通过逐步上调$ {w_1}(k) $与下调$ {w_2}(k) $，提高驾驶人的控制权裕度，改善驾驶舒适性. 通过合理调整驾驶人与智能系统的驾驶参与度，能够较好地实现驾驶人与智能系统之间驾驶控制权的平稳交接.

2.2.2. 约束条件及松弛化处理

考虑到车辆自身的物理限制及实际应用场景，对由控制输入、系统状态所构成的控制器工作域进行边界约束：

$ \left. \begin{gathered} {u_{1,\min }} \leqslant {u_1}(k+i|k) \leqslant {u_{1,\max }},\;\;i \in [0,\;c - 1] ; \\ {u_{2,\min }} \leqslant {u_2}(k+i|k) \leqslant {u_{2,\max }},\;\;i \in [0,\;c - 1] ; \\ {d_{{{y}},\min }} \leqslant {d_{{y}}}(k+i+1|k) \leqslant {d_{y,\max }},\;\;i \in [0,p - 1]; \\ {\varphi _{\min }} \leqslant \varphi (k+i+1|k) \leqslant {\varphi _{\max }},\;\;i \in [0,p - 1] . \\ \end{gathered} \right\} $

(8)

式中：$ {u_{1,\min }} $、$ {u_{2,\min }} $为控制下界，${u_{1,\max }}$、${u_{2,\max }}$为控制上界， $ {d_{{{y}},\min }} $、$ {\varphi _{\min }} $为输出下界， $ {d_{{{y}},\max }} $、$ {\varphi _{\max }} $为输出上界.

将式(8)所示的硬约束条件所构成的约束空间称为求解可行域. 在MPC有限时域滚动优化过程中，可能会出现求解可行域内无可行解的问题. 采用松弛因子对硬约束条件进行松弛化处理，以扩展求解可行域^[19]，保证可行解存在.

$ \left. \begin{gathered} {u_{1,\min }}+{\varepsilon _1}\upsilon _{\min }^{{u_1}} \leqslant {u_1} \leqslant {u_{1,\max }}+{\varepsilon _1}\upsilon _{\max }^{{u_1}}, \\ {u_{2,\min }}+{\varepsilon _2}\upsilon _{\min }^{{u_2}} \leqslant {u_2} \leqslant {u_{2,\max }}+{\varepsilon _2}\upsilon _{\max }^{{u_2}}, \\ {d_{{{y}},\min }}+{\varepsilon _3}\upsilon _{\min }^d \leqslant {d_{{y}}} \leqslant {d_{y,\max }}+{\varepsilon _3}\upsilon _{\max }^d , \\ {\varphi _{\min }}+{\varepsilon _4}\upsilon _{\min }^{\varphi} \leqslant \varphi \leqslant {\varphi _{\max }}+{\varepsilon _4}\upsilon _{\max }^{\varphi}. \\ \end{gathered} \right\} $

(9)

式中：松弛因子满足${\varepsilon _1} \geqslant 0$, ${\varepsilon _2} \geqslant 0$, ${\varepsilon _3} \geqslant 0$, ${\varepsilon _4} \geqslant 0$; 松弛系数满足$\upsilon _{\min }^{{u_1}} \leqslant 0$, $\upsilon _{\min }^{{u_2}} \leqslant 0$, $\upsilon _{\min }^d \leqslant 0$, $\upsilon _{\min }^{\varphi} \leqslant 0$, $\upsilon _{\max }^{{u_1}} \geqslant 0$，$\upsilon _{\max }^{{u_2}} \geqslant 0$, $\upsilon _{\max }^d \geqslant 0$, $\upsilon _{\max }^{\varphi} \geqslant 0$.

2.2.3. 算法演变

为了防止因引入松弛因子而导致对控制器工作域的边界约束作用失效，在代价函数中增加正则化项，以惩罚松弛因子扩展工作域边界的能力，从而在硬约束问题求解可行性与工作域边界的松弛程度之间寻求平衡^[19]. 根据式(6)、(7)与(9)，重构代价函数如下.

$\left.\begin{gathered} J\,_1^*(k) = {J_1}(k)+{\boldsymbol{\varepsilon}} _1^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{\rho}} _1}{{\boldsymbol{\varepsilon}} _1} = \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_1}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _1}} \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{H}}_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_1}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _1}} \end{array}} \right]+2{\boldsymbol{f}}_1^{\mathrm{T}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_1}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _1}} \end{array}} \right]\;{+}{{{{{{{C}}}}}}_1}; \\ {\mathrm{s.t}}.\;\;\;{{\boldsymbol{\varOmega}} _1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_1}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _1}} \end{array}} \right] \leqslant {{\boldsymbol{T}}_1}. \\ \end{gathered}\right\} $

(10)

$ \left.\begin{gathered} J\,_2^*(k) = {J_2}(k)+{\boldsymbol{\varepsilon}} _2^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{\rho}} _2}{{\boldsymbol{\varepsilon}} _2} = \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_2}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _2}} \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{H}}_2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_2}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _2}} \end{array}} \right]+2{\boldsymbol{f}}_2^{\mathrm{T}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_2}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _2}} \end{array}} \right]\;{+}{{{C}}_2} ; \\ {\mathrm{s.t}}.\;\;\;{{\boldsymbol{\varOmega}} _2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_2}} \\ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} _2}} \end{array}} \right] \leqslant {{\boldsymbol{T}}_2} . \\ \end{gathered} \right\}$

(11)

式中：C₁、C₂为常数项，

$ \begin{gathered} {{\boldsymbol{H}}_1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{B}}_p^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{C}}_p^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}+{{\boldsymbol{R}}_1}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{\rho}} _1}} \end{array}} \right]_{(c+3) \times (c+3)}} \\ {{\boldsymbol{f}}_1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}(k){\boldsymbol{A}}_p^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{C}}_p^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}}, \\ \end{gathered} , $

$ \begin{gathered} {{\boldsymbol{H}}_2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{B}}_p^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{C}}_p^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_2}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}+{{\boldsymbol{R}}_2}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{\rho}} _2}} \end{array}} \right]_{(c+3) \times (c+3)}} \\ {{\boldsymbol{f}}_2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}(k){\boldsymbol{A}}_p^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{C}}_p^{\mathrm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_2}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}} , \\ \end{gathered} , $

$ \begin{gathered} {{\boldsymbol{\varepsilon}} _1} = {[{\varepsilon _1},{\varepsilon _3},{\varepsilon _4}]^{\mathrm{T}}}, \\ {{\boldsymbol{\varepsilon}} _2} = {[{\varepsilon _2},{\varepsilon _3},{\varepsilon _4}]^{\mathrm{T}}}, \\ \end{gathered} $

$ \begin{split} {{\boldsymbol T}_1} =& {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_{1,\max }}} \\ { - {{\boldsymbol{U}}_{1,\min }}} \\ {{{\boldsymbol{D}}_{\max }} - {{\boldsymbol E}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \\ { - {{\boldsymbol{D}}_{\min }}+{{\boldsymbol E}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \\ {{{\boldsymbol{\varPhi}} _{\max }} - {{\boldsymbol E}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \\ { - {{\boldsymbol{\varPhi}} _{\min }}+{{\boldsymbol E}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \end{array}} \right]_{(2c+4p) \times 1}} ,\end{split}$

$\begin{split} {{\boldsymbol T}_2} =& {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{U}}_{2,\max }}} \\ { - {{\boldsymbol{U}}_{2,\min }}} \\ {{{\boldsymbol{D}}_{\max }} - {{\boldsymbol E}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \\ { - {{\boldsymbol{D}}_{\min }}+{{\boldsymbol E}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \\ {{{\boldsymbol{\varPhi}} _{\max }} - {{\boldsymbol E}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \\ { - {{\boldsymbol{\varPhi}} _{\min }}+{{\boldsymbol E}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{A}}_p}{\boldsymbol{x}}(k)} \end{array}} \right]_{(2c+4p) \times 1}},\end{split} $

$ \begin{split} {{\boldsymbol{\varOmega}} _1} = &{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_c}} & { - {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^{{u_1}}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} \\ { - {{\boldsymbol{I}}_c}} & {{\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^{{u_1}}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} \\ {{{\boldsymbol{E}}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & { - {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^d} & {\boldsymbol{0}} \\ { - {{\boldsymbol{E}}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & {{\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^d} & {\boldsymbol{0}} \\ {{{\boldsymbol{E}}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} & { - {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^{\varphi} } \\ { - {{\boldsymbol{E}}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} & {{\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^{\varphi}} \end{array}} \right]_{(2c+4p) \times (c+3)}} ,\end{split}$

$ \begin{split} {{\boldsymbol{\varOmega}} _2} = & {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_c}} & { - {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^{{u_2}}} & {\boldsymbol{0}} &v {\boldsymbol{0}} \\ { - {{\boldsymbol{I}}_c}} & {{\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^{{u_2}}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} \\ {{{\boldsymbol{E}}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & { - {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^d} & {\boldsymbol{0}} \\ { - {{\boldsymbol{E}}_d}{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & {{\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^d} & {\boldsymbol{0}} \\ {{{\boldsymbol{E}}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} & { - {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^{\varphi} } \\ { - {{\boldsymbol{E}}_{\varphi} }{{\boldsymbol{C}}_p}{{\boldsymbol{B}}_p}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} & {{\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^{\varphi} } \end{array}} \right]_{(2c+4p) \times (c+3)}}.\end{split} $

其中，

$ \begin{gathered}{{\boldsymbol{Q}}_1} = {\mathrm{diag}}\;[{{\boldsymbol{q}}_1},{{\boldsymbol{q}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{q}}_1}] , \\ {{\boldsymbol{Q}}_2} = {\mathrm{diag}}\;[{{\boldsymbol{q}}_2},{{\boldsymbol{q}}_2}, \cdots ,{{\boldsymbol{q}}_2}] , \\ {{\boldsymbol{R}}_1} = {\mathrm{diag}}\;[{r_1},{r_1}, \cdots ,{r_1}] , \\ {{\boldsymbol{R}}_2} = {\mathrm{diag}}\;[{r_2},{r_2}, \cdots ,{r_2}] , \\ {{\boldsymbol{\rho}} _1} = {\mathrm{diag}} \;[{\rho _1},{\rho _3},{\rho _4}]， \\ {{\boldsymbol{\rho}} _2} = {\mathrm{diag}} \;[{\rho _2},{\rho _3},{\rho _4}]， \\ \end{gathered} $

$ {{\boldsymbol{I}}_c} $为c×c的单位矩阵，

$ \begin{gathered} {{\boldsymbol E}_d} = {\text{diag}} \;\left[ {{{\boldsymbol{e}}_d},\,{{\boldsymbol{e}}_d},\, \cdots \,,\,{{\boldsymbol{e}}_d}} \right], \\ {{\boldsymbol E}_{\varphi} } = {\text{diag}} \;\left[{{{\boldsymbol{e}}_{\varphi} },\,{{\boldsymbol{e}}_{\varphi} },\, \cdots \,,\,{{\boldsymbol{e}}_{\varphi} }} \right] , \\ {{\boldsymbol{e}}_d} = [1,0], \\{{\boldsymbol{e}}_{\varphi} } = [0,1],\\{{\boldsymbol{U}}_{1,\max }} = {\left[ {{u_{1,\max }},\,{u_{1,\max }},\, \cdots \,,\,{u_{1,\max }}} \right]^{\mathrm{T}}}, \\ {{\boldsymbol{U}}_{2,\max }} = {\left[ {{u_{2,\max }},\,{u_{2,\max }},\, \cdots \,,\,{u_{2,\max }}} \right]^{\mathrm{T}}} , \\ {{\boldsymbol{U}}_{1,\min }} = {\left[ {{u_{1,\min }},\,{u_{1,\min }},\, \cdots \,,\,{u_{1,\min }}} \right]^{\mathrm{T}}} , \\ {{\boldsymbol{U}}_{2,\min }} = {\left[ {{u_{2,\min }},\,{u_{2,\min }},\, \cdots \,,\,{u_{2,\min }}} \right]^{\mathrm{T}}} , \\ {{\boldsymbol{D}}_{\max }} = {\left[ {{d_{{{y}},\max }},\,{d_{{{y}},\max }},\, \cdots \,,\,{d_{{{y}},\max }}} \right]^{\rm{T}}} ,\\ {{\boldsymbol{D}}_{\min }} = {\left[ {{d_{{{y}},\min }},\,{d_{{{y}},\min }},\, \cdots \,,\,{d_{{{y}},\min }}} \right]^{\rm{T}}} ,\\ {{\boldsymbol{\varPhi}} _{\max }} = {\left[ {{{\varphi} _{\max }},\,{{\varphi} _{\max }},\, \cdots \,,\,{{\varphi} _{\max }}} \right]^{\rm{T}}} ,\\ {{\boldsymbol{\varPhi}} _{\min }} = {\left[ {{{\varphi} _{\min }},\,{{\varphi} _{\min }},\, \cdots \,,\,{{\varphi} _{\min }}} \right]^{\rm{T}}}, \\ {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^{{u_1}} = {\left[ {\upsilon _{\max }^{{u_1}},\,\upsilon _{\max }^{{u_1}},\, \cdots \,,\,\upsilon _{\max }^{{u_1}}} \right]^{\rm{T}}} ,\\ {\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^{{u_1}} = {\left[ {\upsilon _{\min }^{{u_1}},\,\upsilon _{\min }^{{u_1}},\, \cdots \,,\,\upsilon _{\min }^{{u_1}}} \right]^{\rm{T}}} ,\\ {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^{{u_2}} = {\left[ {\upsilon _{\max }^{{u_2}},\,\upsilon _{\max }^{{u_2}},\, \cdots \,,\,\upsilon _{\max }^{{u_2}}} \right]^{\rm{T}}} \\ {\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^{{u_2}} = {\left[ {\upsilon _{\min }^{{u_2}},\,\upsilon _{\min }^{{u_2}},\, \cdots \,,\,\upsilon _{\min }^{{u_2}}} \right]^{\rm{T}}} ,\\ {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^d = {\left[ {\upsilon _{\max }^d,\,\upsilon _{\max }^d,\, \cdots \,,\,\upsilon _{\max }^d} \right]^{\rm{T}}} ,\\ {\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^d = {\left[ {\upsilon _{\min }^d,\,\upsilon _{\min }^d,\, \cdots \,,\,\upsilon _{\min }^d} \right]^{\rm{T}}} ,\end{gathered} $

$ \begin{gathered} {\boldsymbol{\upsilon}} _{\max }^{\varphi} = {\left[ {\upsilon _{\max }^{\varphi} ,\,\upsilon _{\max }^{\varphi} ,\, \cdots \,,\,\upsilon _{\max }^{\varphi} } \right]^{\rm{T}}} , \\ {\boldsymbol{\upsilon}} _{\min }^{\varphi} = {\left[ {\upsilon _{\min }^{\varphi} ,\,\upsilon _{\min }^{\varphi} ,\, \cdots \,,\,\upsilon _{\min }^{\varphi} } \right]^{\rm{T}}} . \\ \end{gathered} $

将共驾型LKAS算法设计问题转化为线性不等式约束的二次规划(quadratic programming, QP)问题. 对于每一个参与者来说，非合作博弈的均衡解，即纳什均衡，可以通过求解QP问题得到. 在滚动优化求解过程中，选取向量解的第1个数值作为下一步的输入，如此重复，实现滚动在线控制.

3. 实验验证

为了验证控制算法与控制策略的有效性，基于Matlab/Simulink及CarSim集成环境，搭建驾驶人在环的共驾型LKAS模型. 整车动力学参数见表1，驾驶群体特性参数^[22]见表2，试验台架如图4所示. 基于笔者等^[22]的研究，将驾驶人的驾驶状态划分为正常驾驶状态、激进驾驶状态、疲劳驾驶状态，不同驾驶状态下驾驶人对侧偏的敏感程度不一样，即局部期望路径$ {y_{1,{\text{des}}}}(k) $不一样，智能系统的局部期望路径一直是车道中心线. 对比控制方法采用MPC控制，将驾驶人输入与智能系统输入的线性加权组合作为MPC控制器的输入，假设驾驶人控制权重为0.5.

表 1 整车动力学参数

Tab.1 Vehicular dynamics parameters

参数	数值
簧载质量/kg	1 650
质心绕z轴的转动惯量/( kg·m²)	3 234
前轴与车辆质心之间的距离/m	1.4
后轴与车辆质心之间的距离/m	1.65
车身宽度/m	1.88
前轮的侧偏刚度/( kN·rad⁻¹)	80
后轮的侧偏刚度/( kN·rad⁻¹)	80
路面附着系数	0.8
迎风面积/m²	2.0

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图 4

图 4 驾驶人在环试验台架

Fig.4 Driver-in-loop experimental platform

表 2 驾驶状态特性参数

Tab.2 Parameters of driving state characteristics

驾驶状态	参数	数值
正常驾驶	反应时间/s	0.5~1.2
正常驾驶	制动减速度/(m·s⁻²)	−2~0
正常驾驶	侧偏位移/m	−0.6~0.6
激进驾驶	反应时间/s	0.1~0.7
激进驾驶	制动减速度/(m·s⁻²)	−3~0
激进驾驶	侧偏位移/m	−0.4~0.4
疲劳驾驶	反应时间/s	0.8~2.0
疲劳驾驶	制动减速度/(m·s⁻²)	−4~0
疲劳驾驶	侧偏位移/m	−0.9~0.9

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如图5所示，针对不同的驾驶状态，分别对人驾与共驾模式下的横向位移进行仿真对比. 大约在第25 s时刻，开始转向操作. 与人驾模式相比，NCG-MPC共驾模式能够有效地提高路径的跟踪精度，尤其是对疲劳驾驶状态下因误操作而导致的异常侧偏具有较明显的抑制作用. MPC共驾模式相当于驾驶人和一个优秀的驾驶助理按照平等控制权共同操控车辆，跟踪效果好，响应快. 如图6(c)所示，驾驶人的驾驶控制权是逐步移交给智能系统的，即智能系统的介入有一定的延时，导致NCG-MPC共驾的侧偏相对较大. 这种固定权重分配会影响到驾驶人的主观感受^[6]，即友好性相对不足.

图 5

图 5 不同驾驶状态下的横向位移对比

Fig.5 Comparison of lateral displacements under different driving states

图 6

图 6 不同驾驶状态下驾驶人控制权的对比

Fig.6 Comparison of control authority under different driving states

如图6所示，针对不同的驾驶状态，分别对驾驶人控制权进行仿真对比. 与正常驾驶状态相比，激进驾驶状态下由于驾驶人的应急反应较快，对侧偏的敏感度较高，能够将侧偏位移控制在±0.4 m范围内（见图5(b)），所以能够一直掌握较高的驾驶控制权. 在疲劳驾驶状态下，当侧偏过大时，利用设计的控制权博弈模型，能够及时将驾驶控制权移交给智能系统，此时智能驾驶系统占绝对主导权. 当侧偏变小时，智能系统将驾驶控制权逐步归还给驾驶人，即针对不同的驾驶状态，该控制权博弈模型具有较好的适应能力.

如图7所示，针对不同的驾驶状态，分别对NCG-MPC共驾模式下驾驶人、智能系统及共驾的方向盘转角δ_w进行仿真对比. 在0~25 s过程中， CarSim直道并非严格直线，故该过程中智能系统会有一定的输入. 由于该过程中的侧偏很小，控制权博弈模型给智能系统分配的输入权重很小甚至为0，这样使得合成输入接近于0. 在疲劳驾驶状态下，当驾驶人方向盘转向过大时，在控制权博弈模型的作用下智能驾驶系统将会及时介入，快速接管方向盘以纠正车辆的偏离行为，有效提高了车辆横向控制的抗扰动能力.

图 7

图 7 不同驾驶状态下方向盘转角的对比

Fig.7 Comparison of steering wheel angles under different driving states

4. 结　论

（1）基于MPC模型预测控制框架提出共驾型LKAS控制算法，采用二次型性能指标及线性不等式约束的形式，将前轮转角决策问题转化成带约束的在线二次规划问题.

（2）基于非合作博弈理论设计非合作人机共驾策略，以提高驾驶人与智能系统双驾双控过程中的友好性. 按照车道偏离程度，将车辆运动可行域划分成安全域、过渡域、预警域、危险域，综合车辆运动可行域与驾驶人期望轨迹进行危险态势估计. 采用POD距离对驾驶人与智能系统的置信度矩阵进行更新，以实现驾驶人与智能系统之间驾驶控制权的平稳交接，在保证驾驶人时刻在环的同时，能够有效避免因交接突兀而影响驾乘舒适性的不足.

（3）为了提高驾驶人的主观感受度及其对智能系统的信任感，设计控制权博弈模型. 在保证一定的横向运动控制精度的前提下，给予驾驶人足够的控制权裕度，以满足驾驶人的主观感受.

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