空间自主在轨服务已成为航天器运行可靠、延长使用寿命的重要保障. 传统刚性空间机器人自由度有限，在受限环境中无法高效完成太阳帆板展开、飞行器舱内检测、空间站维护与检修等 ^{[ 1]} 典型在轨服务与维修任务. 连续型机械臂作为新型仿生机械臂，能够连续弯曲运动，具有高度灵活性，适用于复杂狭小的非结构化环境，成为当前空间机器人研究的新领域 ^{[ 2- 5]} .

连续型机械臂依靠柔性结构进行弯曲运动，此柔性结构易引发振动，属于高度复杂的非线性系统. Ivanescu等 ^{[ 6]} 将连续型机械臂分解为解耦控制系统，以曲率及曲率梯度作为控制参数，采用滑模变结构控制方法研究机械臂的形态. Alqumsan等 ^{[ 7]} 针对Cosserat杆模型设计了基于滑模的鲁棒控制器，同时考虑控制饱和输入以避免张力剧烈变化.在考虑系统存在不匹配不确定性的情况下，该团队利用多面滑模控制方法设计了鲁棒控制器，使机械臂到达目标位姿 ^{[ 8]} . Qi等 ^{[ 9]} 设计的基于模糊控制器的智能控制方法，完成了轨迹跟踪任务，使机械臂系统具有良好的稳定性与抗干扰能力. Piltan等 ^{[ 10]} 为了提高手术机器人的可靠性与故障容错精度，提出基于自适应模糊观测器的反馈线性控制方法. 由于系统高度复杂，智能控制器须调节、训练大量参数，导致该方法难以满足快速轨迹跟踪的要求.尽管上述基于滑模控制方法的连续型机械臂系统具有较强鲁棒性能与抗扰能力，但它们的系统是渐进稳定的，对这类系统的快速收敛、精准控制的动态性能有了更高的要求，因此，现有方法难以同时满足抗干扰与快速精确跟踪的控制要求.

与非有限时间控制方法相比，有限、固定时间控制方法具有更优的收敛性能以及更好的鲁棒和抗扰动性能，在航天器的快速姿态机动与振动抑制问题中有较好的应用 ^{[ 11- 12]} . 有限时间控制方法的稳定时间是与系统初始状态有关的无界函数，固定时间控制方法的稳定时间与系统参数有关，且无法直接建立控制参数与稳定时间的数学表达式，为此Sánchez-Torres等 ^{[ 13]} 提出预定时间控制方法，将稳定时间作为控制参数，该参数可根据系统设计需求提前设置，并被认作为固定稳定时间的最小上界. Wang等 ^{[ 14]} 已将预定时间稳定性理论应用于刚性航天器的姿态机动问题中，确保姿态跟踪误差和角速度在预先设定的时间内收敛到零.

为了提高线驱连续型空间机械臂系统的姿态收敛和抗扰动性能，本研究在存在外界时变干扰与系统参数不确定性的情况下，设计模糊估计器估计并补偿上界未知的干扰，再基于滑模变结构方法设计预定时间控制器. 基于Lyapunov稳定理论证明线驱连续型机械臂系统误差能在设定时间内达到预定时间稳定，并给出仿真结果验证算法的有效性.

本研究的对象为多节线驱连续型空间机械臂，如 图1所示为2节机械臂示意图. 机械臂每节长度相等，每节由3根线缆驱动中心弹性杆弯曲变形，等距分布的间隔盘为机械臂保持弯曲形态提供刚度支撑.

如 图2所示，对第 $ n $节机械臂的弯曲几何模型进行刚体等效简化. 划分机械臂的某一刚性间隔盘与其相邻连接的中心弹性杆，记为 $ k $单元，同时将单元上的中心弹性杆等效为轻质连杆，设定间隔盘的中心点为 k单元的质心点. 基于常曲率假设，第 $ n $节机械臂弯曲平面坐标系 ${{{O}}_{\gamma_{n}}}{{ - }}{{{X}}_{\gamma_{n}}}{{{Y}}_{\gamma_{n}}}{{{Z}}_{\gamma_{n}}}$为由基坐标系 ${{{O}}_{n - 1}}{{ - }}{{{X}}_{n - }}_1{{{Y}}_{n - }}_1 {{{Z}}_{n - }}_1$绕 $ {{{Z}}_{n - 1}} $轴旋转角度 $ {\gamma _n} $所得， $ {\beta _n} $为机械臂末端弯曲角度， N节连续型机械臂姿态角 ${\boldsymbol{\phi}} = \left[{\beta }_{1},{\gamma }_{1},{\beta }_{2},\right.$ ${ \left.{\gamma }_{2},\cdots,{\beta }_{N},{\gamma }_{N}\right]}^{\rm{T}}$. 依据拉格朗日第二类方程建立该机械臂的动力学模型，其动能 $ E $的表达式为

(1) $ {E_{n,k}} = \frac{1}{2}{m_{n,k}}{{\boldsymbol{v}}^{\text{T}}_{n,k,0}}{{\boldsymbol{v}}_{n,k,0}} = \\ \frac{1}{2}{m_{n,k}}\left( {{{\left(\frac{{{\text{d}}{x_{n,k}}}}{{{\text{d}}t}}\right)}^2} + {{\left(\frac{{{\text{d}}{y_{n,k}}}}{{{\text{d}}t}}\right)}^2} + {{\left(\frac{{{\text{d}}{\text{z}_{n,k}}}}{{{\text{d}}t}}\right)}^2}} \right) ， $

(2) $ {m_{n,k}} = {m_0} + {m_{\text{p}}} + 3 (N - n + 1) {m_{\text{c}}} ， $

(3) $ E = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{k = 1}^K {{E_{n,k}}} } = \frac{1}{2}{{\mathbf{\dot {\boldsymbol{\phi}} }}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{M}\dot {\boldsymbol{\phi}}}} . $

式中： $ {E_{n,k}} $为第 k单元的动能； ${{\boldsymbol{v}}_{n,k,0}} $为第 k个单元的质心速度， ${{\boldsymbol{v}}_{n,k,0}} = {\left[ {{{{\text{d}}{x_{n,k}}}}/{{{\text{d}}t}},}\,{{{{\text{d}}{y_{n,k}}}}/{{{\text{d}}t}},\,}\right.}$ ${\left.{{{{\text{d}}{\text{z}_{n,k}}}}/{{{\text{d}}t}},\,}0 \right]^{\rm{T}}}$； ${m_{n,k}}$为第 n节机械臂上第 k单元的总质量； $ {m_0} $、 $ {m_{\text{p}}} $、 $ {m_{\text{c}}} $分别为各单元的中心弹性杆、间隔盘和驱动线缆的质量； $ E $为整个多节线驱连续型机械臂上的动能； ${{\boldsymbol{M}}} $为正定矩阵， ${{\boldsymbol{M}}} \in {{\mathbf{R}}^{2N \times 2N}}$.

考虑到连续型空间机械臂处于微重力环境，忽略其重力势能影响，其弹性势能为

(4) $\begin{split} E_{{\rm{p}}_,n} = &\int_0^l {\dfrac{{{E_1}I{}_1}}{2} {{\left(\dfrac{{{\beta _n}}}{l}\right)}^2}{\text{d}}s} + 3(N - n + 1)\int_0^l {\dfrac{{{E_2}I{}_2}}{2}{{\left(\dfrac{{{\beta _n}}}{l}\right)}^2}{\text{d}}s} =\\ & \dfrac{{{E_1}I{}_1}}{{2l}}{\beta _n}^2 + 3(N - n + 1)\dfrac{{{E_2}I{}_2}}{{2l}}{\beta _n}^2 , \end{split} $

(5) $ {E_{\rm{p}}} = \sum\limits_{n = 1}^N {E_{{\rm{p}}_,n}} . $

式中： $E_{{\rm{p}}_,n}$为第 n节上的弹性势能， $ {E_1} $、 $ {E_2} $分别为弹性杆和驱动线缆的弹性模量， $ {I_1} $、 $ {I_2} $分别为弹性杆和驱动线缆的惯性矩， l为第 n节弹性杆长度.

多节线驱连续型机械臂的广义力 ${\boldsymbol{Q}}$表示为

(6) $ {\boldsymbol{Q}} = {\boldsymbol{J}}_{{\text{X }}}^{^{\text{T}}}{\boldsymbol{w}} + {\boldsymbol{J}}_{{\text{L }}}^{^{\text{T}}}{\boldsymbol{u}} . $

式中： ${{\boldsymbol{J}}_{{\text{X }}}}$为机械臂任务空间与关节空间速度的雅可比矩阵； ${{\boldsymbol{J}}_{{\text{L }}}}$为机械臂驱动空间与关节空间速度的雅可比矩阵； $\boldsymbol{w}=\left[\boldsymbol{f}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{m}^{\mathrm{T}}\right]^{\mathrm{T}}$，其中 f 、 m 分别为机械臂末端施加的外力与外力动量； u 为机械臂驱动线缆施加的驱动力， ${\boldsymbol{u}}={\left[{u}_{11},\;{u}_{12},\;{u}_{13},\right.}$ $\;{\left.\cdots ,\;{u}_{N1},\;{u}_{N2},\;{u}_{N3}\right]}^{\text{T}}$.

将动能、势能以及广义力表达式(1)~(6)代入拉格朗日第二类方程，得到多节线驱连续型机械臂的动力学方程为

(7) $ {\boldsymbol{M}{\ddot {\boldsymbol{\phi}} }} + {\boldsymbol{\dot M}{\dot {\boldsymbol{\phi}} }} - \frac{{\partial E}}{{\partial {\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }}}} + \frac{{\partial {E_{\rm{p}}}}}{{\partial {\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }}}} = {\boldsymbol{J}}_{{\text{X }}}^{^{\text{T}}}{\boldsymbol{w}} + {\boldsymbol{J}}_{{\text{L }}}^{^{\text{T}}}{\boldsymbol{u}} . $

结合式(7)，考虑存在外界时变干扰与系统参数不确定性 ${{\boldsymbol{d}}} {\text{(}}t{\text{)}}$，在末端未施加外力的情况下，多节线驱连续型空间机械臂动力学模型表示为

(8) $ {\boldsymbol{M}{\ddot {\boldsymbol{\phi}} }} + {\boldsymbol{C}{\dot {\boldsymbol{\phi}} }} + {\boldsymbol{D}{{\boldsymbol{\phi}} }} + {\boldsymbol{d}}(t) = {\boldsymbol{J}}_{{\text{L }}}^{^{\text{T}}}{\boldsymbol{u}} . $

式中： ${{\boldsymbol{M}}} \in {{\mathbf{R}}^{2N \times 2N}}$为机械臂的惯性矩阵， ${{\boldsymbol{C}}} \in {{\mathbf{R}}^{2N \times 2N}}$为科里奥利力和向心力矩阵， ${{\boldsymbol{D}}} \in {{\mathbf{R}}^{2N \times 2N}}$为广义刚度矩阵.

针对存在外界未知扰动的多节线驱连续型机械臂系统，设计基于模糊补偿的预定时间控制方法，研究机械臂的快速姿态稳定与抗扰问题.

定义机械臂系统的姿态角误差 ${\boldsymbol{e}} = {\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }} - {{\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }}_{\text{d}}}$，姿态角速度误差 ${\boldsymbol{\dot e}} = {\mathbf{\dot {\boldsymbol{\phi}} }} - {{\mathbf{\dot {\boldsymbol{\phi}} }}_{\text{d}}}$，针对连续型空间机械臂系统动力学模型式(8)的总扰动 ${{\boldsymbol{d}}} {\text{(}}t{\text{)}}$，进行如下假设.

假设1 多节线驱连续型机械臂系统受到的总干扰力矩有界但界值未知，即 ${{\boldsymbol{d}}} {\text{(}}t{\text{)}}$满足 $\left\| {{\boldsymbol{d}}(t)} \right\| \leqslant {{{d}}_{\text{H}}}$，其中 $ {d_{\text{H}}} \gt 0 $且为未知常数.

控制目标：针对多节线驱连续型机械臂系统式(8)，在假设1的条件下，设计基于模糊补偿的预定时间控制律 u ，使得线驱机械臂姿态角 $ {\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }} $能在用户预先设定时间 ${T_{\rm{c}}}$内稳定到达给定期望角度 $ {{\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }}_{\text{d}}} $，即 $\mathop {\lim }\limits_{t \to {T_{\rm{c}}}} {\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }}(t) = {{\mathbf{{\boldsymbol{\phi}} }}_{\text{d}}}$.

定义1 　对于非线性自治系统：

(9) $ {\boldsymbol{\dot x}} = {\boldsymbol{f}}({\boldsymbol{x}}),\;{\boldsymbol{x}}(0) = {{\boldsymbol{x}}_0},\;{\boldsymbol{f}}(0) = {\boldsymbol{0}},\;{\boldsymbol{x}} \in {{\bf{R}}^n} . $

式中： x 为系统状态， ${\boldsymbol{f}}:{{\mathbf{R}}^n} \to {{\mathbf{R}}^n}$是非线性连续函数. 对任意选取的时间常数 ${T_{\text{c}}} \in {{\bf{R}}_ + }$ ( ${{\bf{R}}_ + }$表示正实数)，系统式(9)在任意初始状态 ${{\boldsymbol{x}}_0}$下的解能在时间 $ {T_{\text{c}}} $内到达平衡点，即 $ \forall t \gt {T_{\text{c}}} $， ${\boldsymbol{x}}(t,{{\boldsymbol{x}}_0}) = {0}$且 $ {T_{\text{c}}} $为系统调节时间，则系统式(9)满足预定时间稳定 ^{[ 15]} .

引理1 　对于非线性自治系统式（9），假设存在连续径向无界函数 ${{V}}{\text{(}}{\boldsymbol{x}}{\text{)}}:{{\mathbf{R}}^n} \to {{\mathbf{R}}_ + } \cup \left\{ 0 \right\}$且 ${{V}}(0) = {{0}}$，

(10) $ {{\dot V}}({\boldsymbol{x}}) \leqslant - \frac{1}{{p{T_{\text{c}}}}}\exp\; \left( {{{{V}}^p}({\boldsymbol{x}})} \right){{{V}}^{1 - p}}({\boldsymbol{x}}),\;\forall {\boldsymbol{x}} \ne {{\boldsymbol{0}}} . $

式中： $ p \in (0,1.0] $. 当式(10)满足不等式成立时，称该系统弱预定时间稳定，其中 $ {T_{\text{c}}} $为弱预定时间.当式(10)满足等式成立时，称该系统为强预定时间稳定，此时 $ {T_{\text{c}}} $为强预定时间 ^{[ 15]} ，且对于任意初始状态 ${\boldsymbol{x}}({t_0}) \ne {\boldsymbol{0}}$，当 $ t \geqslant {T_{\text{c}}} $时，系统状态 ${\boldsymbol{x}}(t) = {\boldsymbol{0}}$.

选取滑模面：

(11) $ {\boldsymbol{s}} = {\boldsymbol{\dot e}} + {{\boldsymbol{\psi}} _1} . $

式中： ${{{{\boldsymbol{\psi}} _1} = \left({{{m_1}{q_1}{T_{{\text{c}}1}}}}\right)}^{-1}}\exp\; \left( {{{\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|}^{{m_1}{q_1}}}} \right){{\boldsymbol{e}}}/{{{{\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|}^{{m_1}{q_1}}}}}$； $ {m_1} $、 $ {q_1} $为常数，且 $ {m_1} \geqslant 1 $、 $ 0 \lt {q_1} \lt {{{m_1^{-1}}}} $； $ {T_{{\text{c}}1}} $为预先定义的系统误差状态到达滑模面后的稳定时间. 将式(11)对时间求导得

(12) $ \left.\begin{array}{c} \dot{\boldsymbol{s}}=\ddot{\boldsymbol{e}}+\dfrac{\partial {\boldsymbol{\psi}}_{1}}{\partial \boldsymbol{e}} \dot{\boldsymbol{e}}, \\ \dfrac{\partial {\boldsymbol{\psi}}_{1}}{\partial \boldsymbol{e}} = \dfrac{\exp\; \left(\|\boldsymbol{e}\|^{m_{1} q_{1}}\right)}{m_{1} q_{1} T_{\mathrm{c} 1}} \left(m_{1} q_{1} \dfrac{\boldsymbol{e} \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}}}{\|\boldsymbol{e}\|^{2}} + \left(\boldsymbol{I}_{n} - m_{1} q_{1} \dfrac{\boldsymbol{e e}^{\mathrm{T}}}{\|\boldsymbol{e}\|^{2}}\right) \dfrac{1}{\|\boldsymbol{e}\|^{m_{1} q_{1}}}\right). \end{array} \right\}$

式中： ${{\boldsymbol{I}}_n}$为 n维单位矩阵.

设计预定时间控制律为

(13) $ {\boldsymbol{u}} = - {\boldsymbol{J}}_{{\text{L }}}^{{\text{T + }}}{\boldsymbol{M}}\left( { - {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}({\boldsymbol{C}{\boldsymbol{\dot{\phi}} }} + {\boldsymbol{D}{{\boldsymbol{\phi}} }}) - {{{\mathbf{\ddot {\boldsymbol{\phi}} }}}_{\rm{d}}}} { + \frac{{\partial {{\boldsymbol{\psi}} _1}}}{{\partial {\boldsymbol{e}}}}{\boldsymbol{\dot e}} + {{\boldsymbol{\psi}}_ 2} + k{\text{sign}}\;({\mathbf {{\bf{s}}}})} \right) . $

式中： ${\boldsymbol{J}}_{{\text{L }}}^{{\text{T+ }}}$为矩阵 ${\boldsymbol{J}}_{{\text{L }}}^{\text{T}}$的广义逆； $k $用于补偿未知有界干扰项， $k = \hat k + \varepsilon ，$其中 $ \hat k $为干扰项的估计值， $ \varepsilon \gt 0 $； ${{\boldsymbol{\psi}} _2} = \left({{{m_2}{q_2}{T_{{\text{c}}2}}}}\right)^{-1}\exp \;\left( {{{\left\| {\boldsymbol{s}} \right\|}^{{m_2}{q_2}}}} \right){{\boldsymbol{s}}}/{{{{\left\| {\boldsymbol{s}} \right\|}^{{m_2}{q_2}}}}}$， $ {m_2} $、 $ {q_2} $均为常数，且 $ {m_2} \geqslant 1 $、 $0 \lt {q_2} \lt {{{m_2}}}^{-1}$， $ {T_{{\text{c}}2}} $为预先定义的系统误差状态到达滑模面的时间.

定理1 　对于多节线驱连续型空间机械臂系统式(8)，在存在外界时变干扰和参数不确定性时，在假设1的条件下，采用预定时间控制律式(13)，机械臂系统姿态角误差 e 将在预定时间 $ {T_{\text{c}}} $内收敛至原点，即 $ \mathop {\lim }\limits_{t \to {T_{\text{c}}}} ({\boldsymbol{\phi}} - {{\boldsymbol{\phi}} _{\text{d}}}(t)) = {\mathbf{0}} $.

证明：在系统误差状态未到达滑模面阶段，选取Lyapunov函数：

(14) $ {{{V}}_1} = {\left\| {\boldsymbol{s}} \right\|^{{m_2}}} . $

将式(14)对时间求导，并将式(12)、(13)代入，整理得到

(15) $ \begin{split} \dot{{V}}_{1}= \;&m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2} \boldsymbol{s}{ }^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{s}}=m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2} \boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\left(\ddot{{\boldsymbol{\phi}}}-\ddot{{\boldsymbol{\phi}}}_{\mathrm{d}}+\dfrac{\partial {\boldsymbol{\psi}}_{1}}{\partial \boldsymbol{e}} \dot{\boldsymbol{e}}\right)= \\ &m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2} \boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\Bigg(\boldsymbol{M}^{-1}\left(\boldsymbol{J}_{\mathrm{L} }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{u}-\boldsymbol{C} {\boldsymbol{\dot{\phi}}}-\boldsymbol{D} {\boldsymbol{\phi}}-\boldsymbol{d}(t)\right)-\ddot{{\boldsymbol{\phi}}}_{\mathrm{d}}+\Bigg. \\ &\Bigg.\dfrac{\partial {\boldsymbol{\psi}}_{1}}{\partial {\boldsymbol{e}}} \dot{\boldsymbol{e}}\Bigg)=m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2} {\boldsymbol{s}}^{ {\rm{T}}}\left(-\dfrac{1}{m_{2} q_{2} T_{\mathrm{c} 2}} \exp\; \left(\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2} q_{2}}\right)\times\right. \\ &\left.\dfrac{\boldsymbol{s}}{\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2} q_{2}}} - k \operatorname{sign}\;({\boldsymbol{s}}) + \boldsymbol{d}(t)\right) = m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2}\left( -\dfrac{1}{m_{2} q_{2} T_{\mathrm{c} 2}}\times\right. \\ &\Bigg.\exp\; \left(\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2} q_{2}}\right)\|\boldsymbol{s}\|^{2-m_{2} q_{2}}-k {\boldsymbol{s}}^{\mathrm{T}} \operatorname{sign}\;({\boldsymbol{s}})+{\boldsymbol{s}}^{\mathrm{T}} {\boldsymbol{d}}(t)\Bigg) \leqslant \\ &m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2}\left(-\dfrac{1}{m_{2} q_{2} T_{\mathrm{c} 2}} \exp\; \left(\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2} q_{2}}\right)\|\boldsymbol{s}\|^{2-m_{2} q_{2}}-\right. \\ &\Bigg.k\left\|\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\right\|+\left\|\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{d}(t)\right\|\Bigg).\\[-18pt] \end{split}$

依据Cauchy-Schwarz不等式，进一步得到

(16) $ \begin{split} \dot{{V}}_{1} \leqslant \;& m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2}\left(-\dfrac{1}{m_{2} q_{2} T_{\mathrm{c} 2}} \exp\; \left(\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2} q_{2}}\right)\|\boldsymbol{s}\|^{2-m_{2} q_{2}}-\right. \\ &\Bigg.k\left\|\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\right\|+\left\|\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\right\|\|\boldsymbol{d}(t)\|\Bigg)=m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2}\left(-\dfrac{1}{m_{2} q_{2} T_{\mathrm{c} 2}}\times\right. \\ &\Bigg.\exp \;\left(\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2} q_{2}}\right)\|\boldsymbol{s}\|^{2-m_{2} q_{2}}+\left\|\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\right\|(-k+\|\boldsymbol{d}(t)\|)\Bigg) \leqslant \\ &m_{2}\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2}-2}\left(-\dfrac{1}{m_{2} q_{2} T_{\mathrm{c} 2}} \exp \;\left(\|\boldsymbol{s}\|^{m_{2} q_{2}}\right)\|\boldsymbol{s}\|^{2-m_{2} q_{2}}\right)= \\ &-\dfrac{1}{q_{2} T_{\mathrm{c} 2}} \exp\; \left({V}_{1}^{q_{2}}\right) {V}_{1}^{1-q_{2}}.\\[-17pt] \end{split}$

根据引理1，系统误差状态将在 $ {T_{{\text{c2}}}} $时间内到达滑模面.

当系统误差状态到达滑模面时，有 ${\boldsymbol{s}} = {\boldsymbol{0}}$，即 ${\boldsymbol{\dot e}} = - {{\boldsymbol{\psi}} _1}$，选取Lyapunov函数：

(17) $ {{{V}}_2} = {\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|^{{m_1}}} . $

${{\textit{V}}_2}$对时间进行求导，并将 ${\boldsymbol{\dot e}} = - {{\boldsymbol{\psi}} _1}$代入其中，得

(18) $\begin{split} {{{\dot V}}_2} =& {m_1}{\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|^{{m_1} - 2}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\dot e}} = \\ & - {m_1}{\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|^{{m_1} - 2}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}\dfrac{1}{{{m_1}{q_1}{T_{{\text{c1}}}}}}\exp\; \left( {{{\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|}^{{m_1}{q_1}}}} \right)\dfrac{{\boldsymbol{e}}}{{{{\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|}^{{m_1}{q_1}}}}} = \\ & - \dfrac{1}{{{q_1}{T_{{\text{c1}}}}}}\exp\; \left( {{{\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|}^{{m_1}{q_1}}}} \right){\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|^{{m_1} - {m_1}{q_1}}} = \\ &- \dfrac{1}{{{q_1}{T_{{\text{c1}}}}}}\exp\; ({\textit{V}}\;_2^{{q_1}}){\textit{V}}_2^{1 - {q_1}} .\\[-17pt] \end{split}$

根据引理1，系统误差状态将在 $ {T_{{\text{c1}}}} $时间内收敛到0.

综上所述，该连续型空间机械臂系统姿态角能在用户预先设定时间 $ {T_{\text{c}}} = {T_{{\text{c1}}}} + {T_{{\text{c2}}}} $内稳定到达给定期望角度.

由预定时间控制律式(13)可知，切换增益 k易引发抖振，考虑到模糊系统具有万能逼近特性 ^{[ 16]} ，采用模糊规则估计切换增益，补偿未知有界干扰项，消除抖振.

滑模存在的条件为 ${{{ {\mathit{\dot{V}}}_1}}} \leqslant {\rm{0}}$，切换增益 k须足以消除未知干扰的影响，因此当 ${{\boldsymbol{s}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\dot s}} \gt 0$时， k应增大，当 ${{\boldsymbol{s}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\dot s}} \leqslant 0$时， k应减小. 此时，模糊规则设计为1)当 ${{\boldsymbol{s}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\dot s}}$为负大值（NB）或负中值（NM）时，输出量 $ \Delta k $也为NB或NM；2)当 ${{\boldsymbol{s}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\dot s}}$为零值（ZO）时，输出量 $ \Delta k $也为ZO；3)当 ${{\boldsymbol{s}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\dot s}}$为正大值（PB）或正中值（PM）时，输出量 $ \Delta k $也为PB或PM. 切换增益 k的上界估计

(19) $ \hat k(t) = K\int_0^t {\Delta k} {\rm{d}}t . $

式中： K为由经验值确定的比例系数.

控制参数的选取依据如下. 1) 用户预先设定的时间 $ {T_{\text{c}}} $应根据任务需求和实际物理约束合理选取；2) 合理调节参数 $ {m_1}{q_1}、{m_2}{q_2} \in (0,1.0) $，使实际物理系统满足所需收敛时间和控制力矩要求. 一般情况下，参数值越小，收敛效果越好.

对2节线驱连续型空间机械臂系统进行仿真，研究系统在基于模糊补偿的预定时间控制方法下的姿态稳定性能，并对比基于非奇异终端滑模(nonsingular terminal sliding mode control，NTSMC)的有限时间控制方法 ^{[ 11]} . 假设期望姿态角 ${{\boldsymbol{\phi}} _{\text{d}}} = {\left[{{{\phi}} _{\text{d1}}},{{{\phi}} _{\text{d2}}},{{{\phi}} _{\text{d3}}},{{{\phi}} _{\text{d4}}}\right]^{\text{T}}} = {\left[ {{0.8},{0.6},{0.8},{0.6} } \right]^{\text{T}}}$rad，初始姿态角 ${\boldsymbol{\phi}}_{0}=$ $\Big[0.15,0,0.15,0\Big]^{\mathrm{T}}{\rm{rad}}$，干扰为 $\boldsymbol{d}=\Big[0.001\sin\;(0.5 t)，$ $0.001\sin \;(0.5 t), 0.0 0 1\sin\;(0.5 t), 0.001 \sin \;(0.5 \mathit{t})\Big]^{\mathrm{T}}$. 如 图3~ 6所示分别为在基于预定时间控制的2组设定收敛时间 ${T_{\text{c}}} = 4\;{\rm{s}}$ $({T_{{\text{c1}}}} = 3\;{\rm{s}},{T_{{\text{c2}}}} = 1\;{\rm{s}})、$ ${T_c} = 11\;{\rm{s}}$ $({T_{{\text{c1}}}} = 8\;{\rm{s}}, {T_{{\text{c2}}}} = 3\;{\rm{s}})$ 情况下，姿态响应与误差曲线图以及基于NTSMC有限时间控制的仿真曲线. 图中， $\; {\beta _1} $、 $ {\gamma _1} $、 $ \;{\beta _2} $、 $ {\gamma _2} $为机械臂姿态角，姿态角误差 ${\boldsymbol{e}} = {[{e_1}{\rm{,}}{{{e}}_2},{e_3},{e_4}]^{\rm{T}}}$，其中 e ₁, e ₂, e ₃, e ₄为对应各姿态角误差.当 ${T_{\text{c}}} = 4\;{\rm{s}}$时，控制参数设置为 $ {m_1}{q_1} = 0.5 $、 $ {m_2}{q_2} = 0.38 $；当 T _c = 11 s时，控制参数设置为 ${m_1}{q_1} = 0.25$、 $ {m_2}{q_2} = 0.25 $. 由 图3、 4可知，在预定时间控制方法下，系统姿态角均能在设定时间内到达期望角度，预先设定的收敛时间越长，其姿态角实际收敛速度越慢. 在基于NTSMC的有限时间控制方法下，系统姿态角的收敛速度则相比较慢. 由 图5、 6可知，各姿态角误差均稳定在−4×10 ⁻³~3×10 ⁻³ rad，预先设定的收敛时间越短，姿态角误差的收敛精度将越高. 如 图7所示为对未知干扰 ${{\boldsymbol{d}}} {\text{(}}t{\text{)}}$上界的估计图.

虽然姿态角在不同设定时间内均能有效收敛，但两者的控制性能是不同的. 定义控制能量消耗指标

(20) $ {E_{\rm{c}}} = \sum\limits_{i = 1}^{n^{\prime}} {\int_0^T {{{\left| {{\tau _i}} \right|}^2}} } {\text{d}}t . $

式中： $ {\tau _i} $为第 i个控制力矩， $n^{\prime} $为系统控制力矩个数， T为施加力矩的结束时间.

经计算，当 ${T_{\text{c}}} = 4\;{\rm{s}}$时，控制器所消耗能量为1.25×10 ³ J，当 ${T_{\text{c}}} = 11\;{\rm{s}}$时，控制器所消耗能量为3.74×10 ³ J，当选用基于NTSMC有限时间控制方法时，控制器所消耗能量为5.23×10 ³ J. 因此基于预定时间收敛的控制器所需能量较少，且预先设定的收敛时间越短，消耗的控制能量越大，系统的快收敛速率与高收敛精度伴随着更大的控制能量消耗.在实际应用时，为了减小控制电机损耗，不妨牺牲控制性能，以达到节能的效果.

本研究针对受外界时变干扰且具有参数不确定性的多节线驱连续型空间机械臂系统的姿态稳定控制问题，设计了基于模糊补偿的预定时间控制器，使机械臂系统能够在预先设定的时间范围内到达稳定状态，且稳定时间与系统初始状态无关. 所设计的模糊估计器较好地抑制了总干扰对机械臂系统的不利影响. 本研究所提控制方法可以满足机械臂系统的快速收敛与较高精度控制要求，更贴合实际应用需求. 在工程应用中，为了高效运行被控系统，常需要在线调节控制参数以满足实际需求与应用，如何自适应调节系统控制参数是下一步计划开展的研究.