目前，针对多个航天器之间相互协作的空间技术研究有很多，包括航天器交会对接和编队飞行任务. 其中，大部分研究是基于线性系统模型进行航天器的机动控制. 一般情况下，这适用于航天器之间初始相对距离很近且轨道偏心率较低的情况.

航天器相对运动的线性模型结构简洁，基于线性模型提出的交会对接控制方法有很多^[1-4]. 例如，谭天乐^[5]利用状态模型预测与反演控制方法，基于线性离散系统模型，实现了航天器柔顺平滑的高精度交会对接. 李蒙等^[6]通过初值计算和精确迭代求解变轨策略，利用变轨控制实现航天器远程自主交会. 胡勇等^[7]基于特征模型控制方法，设计相对位置跟踪控制器及姿态同步控制器，实现了针对慢速翻滚目标的末段精确交会对接. 靳锴等^[8]采用状态转移矩阵求解方法建立导航误差模型，探究在外部扰动下的航天器交会制导最优解. 总的来说，采用相对运动线性模型能够使控制设计变得简单，但使其应用范围受到了局限.

为了更精确地描述航天器之间的相对运动，Zhang等^[9-10]采用非线性模型进行控制设计. Kalur等^[11]使用摄动方法校正引起非线性动力学项的初始条件，提出自适应控制律保持航天器编队飞行. Imani等^[12]基于滑模控制理论开发了2个鲁棒控制器，用于保证不确定性系统的鲁棒性和稳定性. Innocenti等^[13]将2个航天器之间的交会对接描述为非零和差分博弈问题，采用线性二次微分博弈方法计算反馈控制律. Zhang等^[14]利用优化方法，将航天器交会对接问题转换为非线性规划问题，实现最小燃料和时间的航天器交会对接机动. 针对非线性模型的不确定性而言，系统鲁棒性和稳定性一直是控制设计中的关键问题，对非线性系统采用自适应控制策略是有效的方法. 其中，自适应神经网络方法在非线性控制上得到了广泛应用^[15-18].

本文考虑存在未知外部扰动及模型不确定性的情况下航天器自主交会对接任务中的自适应控制器的设计问题. 采用一般性的非线性相对运动方程进行运动描述，通过神经网络对非线性模型的不确定性进行近似，利用自适应控制改善航天器的机动性能，采用李雅普诺夫方法分析系统的动态稳定性能. 为了探究系统存在输入约束的情况，通过设计辅助控制系统解决输入约束的问题，能够在模型不确定性的情况下实现系统的稳定性和收敛性.

考虑2个绕地飞行的航天器，如图1所示. 主动航天器被称为追踪星，被动航天器被称为目标星. 为了描述2个航天器之间的相对运动，定义2个坐标系：地球惯性坐标系（ECI）和轨道局部坐标系（LVLH）. 其中，ECI以地球为原点，赤道为基面，X轴由原点指向春分点，Z轴垂直于赤道基面并指向正北极方向，Y轴与X、Z轴组成右手直角坐标系. LVLH坐标系以目标星为原点，x轴沿航天器矢径方向，z轴垂直于轨道面并指向角动量方向，y轴与x、z轴组成右手直角坐标系.

在外部扰动的影响下，2个航天器在地球惯性坐标系下的绕飞运动方程由下式分别给出：

(1) $ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\ddot {\boldsymbol{R}}}}_{\rm{c}}} = - \dfrac{\mu }{{{{R}}_{\rm{c}}^3}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}} + {{\boldsymbol{D}}_{\rm{c}}}} ,\\ {{{\ddot {\boldsymbol{R}}}_{\rm{t}}} = - \dfrac{\mu }{{{{R}}_{\rm{t}}^3}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}} + {{\boldsymbol{D}}_{\rm{t}}}} . \end{array}} \right\} $

式中： ${{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}}$和 ${{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}}$分别为追踪星和目标星的位置矢量， ${R_{\rm{c}}} = \left\| {{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}}} \right\|$， ${R_{\rm{t}}} = \left\| {{{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}}} \right\|$；μ为地球引力常数，μ=398 600 km³/s²； ${{\boldsymbol{D}}_{\rm{c}}}$和 ${{\boldsymbol{D}}_{\rm{t}}}$为外部扰动加速度.

为了得到追踪星相对于目标星的运动方程，需要分析它们在惯性系中的相对运动，再转换为基于目标星LVLH的模型表达^[19-20]. 定义追踪星和目标星之间的相对距离 ${\boldsymbol{r}} = {{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}} - {{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}}$，代入式(1)得到在ECI坐标系下的航天器相对运动表达式：

(2) $ \ddot {\boldsymbol{r}} = - \dfrac{\mu }{{{{\left\| {{{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}} + {\boldsymbol{r}}} \right\|}^3}}}({{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}} + {\boldsymbol{r}}) + \dfrac{\mu }{{R_{\rm{t}}^3}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}} + {{\boldsymbol{D}}_{\rm{c}}} - {{\boldsymbol{D}}_{\rm{t}}} . $

若引入LVLH相对于ECI的角速度矢量 ${{\boldsymbol\omega}} _{\rm{E}}^{\rm{L}}$， $\ddot {\boldsymbol{r}}$可以表示为

(3) $ \ddot {\boldsymbol{r}} = \dfrac{{{{\rm{d}}^2}{\boldsymbol{r}}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + 2{\boldsymbol{\omega}} _{\rm{E}}^{\rm{L}} \times \dfrac{{{\rm{d}}{\boldsymbol{r}}}}{{{\rm{d}}t}} + \dfrac{{{\rm{d}}{{\boldsymbol\omega}} _{\rm{E}}^{\rm{L}}}}{{{\rm{d}}t}} \times {\boldsymbol{r}} + {\boldsymbol{\omega}} _{\rm{E}}^{\rm{L}} \times \left({\boldsymbol{\omega}} _{\rm{E}}^{\rm{L}} \times {\boldsymbol{r}}\right) . $

针对航天器的交会对接任务，建立基于目标星LVLH坐标系下的相对运动模型. 令 ${\boldsymbol{r}} = [x,y,z]$表示相对位置分量， ${{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}} = [{r_{\rm{t}}},0,0]$为目标星位置距离分量， ${\boldsymbol{\omega}} _{\rm{E}}^{\rm{L}} = [0,0,{\dot \theta _{\rm{t}}}]$为角速度分量，其中 ${\theta _{\rm{t}}}$为目标星纬度角. 将 $ {\boldsymbol{r}} $、 ${{\boldsymbol{R}}_{\rm{t}}}$、 ${\boldsymbol{\omega}} _{\rm{E}}^{\rm{L}}$代入式(2)、(3)，得到航天器之间相对运动的非线性微分方程^[19-21]：

(4) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\ddot x = 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}\dot y + {{\ddot \theta }_{\rm{t}}}y + \dot \theta _{\rm{t}}^2x - \dfrac{{\mu ({r_{\rm{t}}} + x)}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + x)}^2} + {y^2} + {z^2}]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} + } \\ \quad\;\;{\dfrac{\mu }{{r_{\rm{t}}^2}} + {d_1} + {u_1}{\text{ }}} ,\\ {\ddot y = - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}\dot x - {{\ddot \theta }_{\rm{t}}}x + \dot \theta _{\rm{t}}^2y - \dfrac{{\mu y}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + x)}^2} + {y^2} + {z^2}]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} + } \\ \quad\;\;{{d_2} + {u_2},{\text{ }}} \\ {\ddot z = - \dfrac{{\mu z}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + x)}^2} + {y^2} + {z^2}]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} + {d_3} + {u_3}.{\text{ }}} \end{array}} \right\} $

式中： $ {d_i} $为外部扰动分量且满足 $|{d_i}| \leqslant {d_{\rm{D}}}$， ${d_{\rm{D}}} > 0$； $ {u_i} $为控制加速度， $ i = 1,2,3 $. 式(4)能够精确地描述航天器之间的相对运动，特别是沿着高度椭圆形轨道飞行的航天器.

神经网络近似方法由于具有良好的函数逼近能力，通常被用作在不确定性情况下对非线性函数建模. 假设连续函数 $ f(\bar z) $具有不确定性，通过神经网络可以对 $ f(\bar z) $用以下的近似方式表达^[17,22-23]：

(5) $ f(\bar z) = {g_{nn}} + {\mu _{\rm{e}}} . $

式中： ${\mu _{\rm{e}}}$为函数近似重构的误差且满足 $|{\mu _{\rm{e}}}| \leqslant {\mu _{\rm{D}}}$， ${\mu _{\rm{D}}} > 0$. $ {g_{nn}} $项可以表示为

$ {g_{nn}} = \sum\nolimits_{j = 1}^l {\left[{w_j}s\left(\sum\nolimits_{k = 1}^n {{v_{jk}}{z_k}} + {o_{{\rm{v}}j}}\right)\right]} + {o_{\rm{w}}} . $

式中： ${o_{{\rm{v}}j}}$和 ${o_{\rm{w}}}$为阈值偏移量， $ l $为权重层节点数， $k = 1,2,\cdots,n$. 将 $ {g_{nn}} $写成矩阵形式，可以得到

(6) $ {g_{nn}}({ {\boldsymbol{Z}}}) = {{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{S}} . $

式中： ${ {\boldsymbol{Z}}} = {[{\bar {\boldsymbol{z}}},1]^{\rm{T}}} \in$Rⁿ⁺¹为输入向量， ${{\boldsymbol{\bar z}}} = [{z_1},\cdots,{z_n}]$； ${{ {\boldsymbol{W}} }}\in$R^l+1和 ${{\boldsymbol{V}}} \in$R^n×l分别为神经网络层权重， ${{\boldsymbol{W}}} = $ $ {[{w_{^1}},\cdots,{w_{l + 1}}]^{{\rm{T}}}}，$ ${{\boldsymbol{V}}} = {[{{\boldsymbol{v}}_{^1}},\cdots,{{\boldsymbol{v}}_l}]}$， ${{{\boldsymbol{v}}}_j} = {[{v_{j1}},\cdots,{v_{jn}}]}^{{\rm{T}}}$， $j = 1, $ $ \cdots, l$； ${\boldsymbol{S}} = {[s({{\boldsymbol{v}}}_1^{{\rm{T}}}{{\boldsymbol{Z}}}),\cdots,s({{\boldsymbol{v}}}_l^{{\rm{T}}}{{\boldsymbol{Z}}}),1]^{{\rm{T}}}}$，其中 $ s $为激励函数.

引入变量 $\hat {\boldsymbol{W}}$和 $\hat {\boldsymbol{V}}$作为未知权重 ${\boldsymbol{W}}$和 ${\boldsymbol{V}}$的估计值，定义估计误差分别为 $\tilde {\boldsymbol{W}} = \hat {\boldsymbol{W}} - {\boldsymbol{W}}$和 $\tilde {\boldsymbol{V}} = \hat {\boldsymbol{V}} - {\boldsymbol{V}}$. 神经网络的估计误差满足以下关系式^[23-24]：

(7) $ \begin{split} \hat{g}_{n n}({{\boldsymbol{Z}}})-g_{n n}({{\boldsymbol{Z}}}) &=\hat{{\boldsymbol{W}}}^{{\rm{T}}} \hat{{\boldsymbol{S}}}-{\boldsymbol{W}}^{{\rm{T}}} {\boldsymbol{S}} =\\ & \tilde{{\boldsymbol{W}}}^{{\rm{T}}}\left(\hat{{\boldsymbol{S}}}-\hat{{\boldsymbol{S}}}^{\prime} \hat{{\boldsymbol{V}}}^{{\rm{T}}} {\boldsymbol{Z}}\right)+\hat{{\boldsymbol{W}}}^{{\rm{T}}} \hat{{\boldsymbol{S}}}^{\prime} \tilde{{\boldsymbol{V}}}^{{\rm{T}}} {\boldsymbol{Z}}+\mu_{{\rm{r}}} \end{split}. $

式中： ${\hat{\boldsymbol{S}}} = {[{s}({\hat{\boldsymbol{v}}}_1^{{\rm{T}}}{{\boldsymbol{Z}}}),\cdots,{s}({\hat{\boldsymbol{v}}}_l^{{\rm{T}}}{{\boldsymbol{Z}}}),1]^{{\rm{T}}}}$， ${\hat {\boldsymbol{S'}}} = {\rm{diag}}\;[ \hat s_1',\cdots,\hat s_l']$，其中 $ \hat s_i'$为 ${s}({\hat{\boldsymbol{v}}}_i^{{\rm{T}}}{{\boldsymbol{Z}}})$对t的导数； ${\mu _{\rm{r}}}$为残留误差，满足

(8) $ \left| {{\mu _{\rm{r}}}} \right| \leqslant {\left\| {\boldsymbol{V}} \right\|_{\rm{F}}}{\left\| {{\boldsymbol{Z}}{{\hat {\boldsymbol{W}}}^{\rm{T}}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}'}} \right\|_{\rm{F}}} + \left\| {{{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}} \right\|{\left\| {{{\hat {\boldsymbol{S}}}'}{{\hat{\boldsymbol{ V}}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}} + {\left| {\boldsymbol{W}} \right|_1} \text{，} $

其中下标 $ {\rm{F}} $表示矩阵的Frobenius范数^[25].

航天器交会对接任务的目标是使追踪星和目标星之间的相对距离及相对速度收敛. 根据已知的相对运动信息，设计控制器来实现控制目标，如图2所示. 基于非线性系统的状态信息，通过神经网络算法对不确定性系统进行逼近. 通过设计的自适应控制律，结合神经网络的系统辨识结果，计算得到控制量，对非线性系统进行状态调整，得到的系统输出再反馈给自适应神经网络控制器系统. 下面开展具体控制算法的分析.

模型(4)中的不确定项来自于目标星的绕行参数 ${\dot \theta _{\rm{t}}}$、 ${\ddot \theta _{\rm{t}}}$、 ${r_{\rm{t}}}$及外部扰动 $ {d_i} $，这些都是未知且有界的参数项. 针对非线性动力学系统中的不确定性，采用自适应反推递归方法设计控制器^[26]. 定义状态空间向量 $ [{x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}] $ $ = [x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z] $以及变量集

(9) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{z_1} = {x_1},{\text{ }}{z_4} = {x_4} - {\alpha _1}}, \\ {{z_2} = {x_2},{\text{ }}{z_5} = {x_5} - {\alpha _2}},\\ {{z_3} = {x_3},{\text{ }}{z_6} = {x_6} - {\alpha _3}}. \end{array}} \right\} $

式中： $ {\alpha _i} = - {\beta _i}{z_i} $， $ {\beta _i} > 0 $， $ i = 1,2,3 $. 基于非线性方程(4)的状态空间表达式可以描述为

(10) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot z}_1} = {z_4} + {\alpha _1},{\text{ }}} \\ {{{\dot z}_2} = {z_5} + {\alpha _2},{\text{ }}} \\ {{{\dot z}_3} = {z_6} + {\alpha _3},{\text{ }}} \\ {{{\dot z}_4} = \dot \theta _{\rm{t}}^2{z_1} + {{\ddot \theta }_{\rm{t}}}{z_2} + 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}({z_5} + {\alpha _2}) - {\text{ }}} \\ \quad\;\;\;{\dfrac{{\mu ({r_{\rm{t}}} + {z_1})}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + {z_1})}^2} + z_2^2 + z_3^2]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} + \dfrac{\mu }{{r_{\rm{t}}^2}} + {d_1} + {u_1} - {{\dot \alpha }_1}}, \\ {{{\dot z}_5} = - {{\ddot \theta }_{\rm{t}}}{z_1} + \dot \theta _{\rm{t}}^2{z_2} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}({z_4} + {\alpha _1}) - {\text{ }}} \\ \quad\;\;\;{\dfrac{{\mu {z_2}}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + {z_1})}^2} + z_2^2 + z_3^2]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} + {d_2} + {u_2} - {{\dot \alpha }_2}} ,\\ {{{\dot z}_6} = - \dfrac{{\mu {z_3}}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + {z_1})}^2} + z_2^2 + z_3^2]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} + {d_3} + {u_3} - {{\dot \alpha }_3}.{\text{ }}} \end{array}} \right\} $

航天器交会对接的目标是使相对距离及相对速度为零，即状态空间变量为零. 根据式(9)可知，以上任务目标可以转变为使得变量 $ {z_i} $收敛到零. 从式(10)可以看出， ${\dot \theta _{\rm{t}}}$和 ${\ddot \theta _{\rm{t}}}$影响的是线性参数不确定性项， ${r_{\rm{t}}}$影响的是非线性参数不确定性项. 下面基于模型的不确定性进行控制器设计，提出引理1.

引理1 　针对非线性系统方程(10)描述的航天器之间的相对运动问题，考虑由未知参数引起的系统线性和非线性不确定性，为了实现控制目标，设计如下控制加速度输入：

(11) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = - ({\lambda _{11}} + {\lambda _{12}}){z_4} - {{\hat \phi }_1}{z_4} - \hat {\boldsymbol{W}}_1^{{\rm{T}}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_1} - } \\ {{\text{ }}{z_4} \left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_1^{{\rm{T}}}\hat {\boldsymbol{S}}_1'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_1'\hat {\boldsymbol{V}}_1^{{\rm{T}}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2 \right)} ,\\ {{u_2} = - ({\lambda _{21}} + {\lambda _{22}}){z_5} - {{\hat \phi }_2}{z_5} - \hat {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_2} - } \\ {{\text{ }}{z_5}\left( \left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_2'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_2'\hat {\boldsymbol{V}}_2^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)}, \\ {{\text{ }}{u_3} = - ({\lambda _{31}} + {\lambda _{32}}){z_6} - \hat {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_3} - {\text{ }}} \\ {{\text{ }}{z_6}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_3'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_3'\hat {\boldsymbol{V}}_3^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)} . \end{array}} \right\} $

式中： $ {\lambda _{i1}} > 0 $， $ {\lambda _{i2}} > 0 $， $ i $是为了区分设计的对应控制加速度u₁、u₂、u₃，i=1，2，3. 在以上的控制加速度设计中，参数 $ {\lambda _{i1}} $满足下式：

(12) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{\lambda _{11}} = \dfrac{1}{4} + {\beta _1} + {{(1 - \beta _1^2)}^2}}， \\ {{\lambda _{21}} = \dfrac{1}{4} + {\beta _2} + {{(1 - \beta _2^2)}^2}}， \\ {{\lambda _{31}} = {\beta _3} + {{(1 - \beta _3^2)}^2}/2.{\text{ }}} \end{array}} \right\} $

与未知参数项相关的上限值 $ {\phi _1} $和 $ {\phi _2} $的自适应估计变量 $ {\hat \phi _1} $和 $ {\hat \phi _2} $分别满足：

(13) $ \left.\begin{array}{l}\dot{\hat{\phi}}_{1}=\dot{\tilde{\phi}}_{1}=z_{4}^{2}-\varepsilon_{1} \hat{\phi}_{1}, \\ \dot{\hat{\phi}}_{2}=\dot{\tilde{\phi}}_{2}=z_{5}^{2}-\varepsilon_{2} \hat{\phi}_{2}.\end{array}\right\} $

式中：估计误差 $ {\tilde \phi _i} = {\hat \phi _i} - {\phi _i} $， $ {\varepsilon _i} > 0 $， $i = 1,2$. 未知参数项上限 $ {\phi _1} $和 $ {\phi _2} $满足以下不等式：

(14) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{\phi _1} \geqslant (6 - 2\beta _1^2)\dot \theta _{\rm{t}}^2 + \dot \theta _{\rm{t}}^4 + {{({{\ddot \theta }_{\rm{t}}} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}{\beta _2})}^2}}, \\ {{\phi _2} \geqslant (6 - 2\beta _2^2)\dot \theta _{\rm{t}}^2 + \dot \theta _{\rm{t}}^4 + {{({{\ddot \theta }_{\rm{t}}} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}{\beta _1})}^2}} . \end{array}} \right\} $

神经网络层权重的估计变量的自适应变化律为

(15) $ \left.\begin{array}{l}\dot{\hat{{\boldsymbol{W}}}}_{i}=\dot{\tilde{{\boldsymbol{W}}}}_{i}={\boldsymbol{\varGamma}}_{{\rm{w}} i}^{-1} \left[\left(\hat{{\boldsymbol{S}}}_{i}-\hat{{\boldsymbol{S}}}_{i}^{\prime} \hat{{\boldsymbol{V}}}_{i}^{{\rm{T}}} {\boldsymbol{Z}}\right) z_{i+3}-\gamma_{{\rm{w}} i} \hat{{\boldsymbol{W}}}_{i}\right] ,\\ \dot{\hat{{\boldsymbol{V}}}}_{i}=\dot{\tilde{{\boldsymbol{V}}}}_{i}={\boldsymbol{\varGamma}}_{{\rm{v}} i}^{-1} \left[{\boldsymbol{Z}} \hat{{\boldsymbol{W}}}_{i}^{{\rm{T}}} \hat{{\boldsymbol{S}}}_{i}^{\prime} z_{i+3}-\gamma_{{\rm{v}} i} \hat{{\boldsymbol{V}}}_{i}\right].\end{array}\right\} $

式中： ${{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{w}}i}}$和 ${{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{v}}i}}$为正定矩阵， ${\gamma _{{\rm{w}}i}} > 0$， ${\gamma _{{\rm{v}}i}} > 0$， $ i = 1,2,3 $. 基于以上控制策略可知，系统信号 $ {z_i} $、 $ {\hat \phi _i} $、 ${\hat {\boldsymbol{W}}_i}$和 ${\hat {\boldsymbol{V}}_i}$满足最终一致有界性，收敛到由 $ {\phi _i} $和神经网络权重定义的残差集.

在对引理1进行证明前，对系统方程(10)中的非线性不确定参数项通过神经网络方法进行近似变换，即定义

(16) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_1}\left( {\bar {\boldsymbol{z}}} \right) = \dfrac{{ - \mu ({r_{\rm{t}}} + {z_1})}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + {z_1})}^2} + z_2^2 + z_3^2]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} + \dfrac{\mu }{{r_{\rm{t}}^2}} = {\boldsymbol{W}}_1^{\rm{T}}{{\boldsymbol{S}}}_1 + } {{\mu _{{\rm{e}}1}}}, \\ {{h_2}\left( {\bar{\boldsymbol{ z}}} \right) = \dfrac{{ - \mu {z_2}}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + {z_1})}^2} + z_2^2 + z_3^2]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} = {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}{{\boldsymbol{S}}}_2 + {\mu _{{\rm{e}}2}}} ,\\ {{h_3}\left( {\bar {\boldsymbol{z}}} \right) = \dfrac{{ - \mu {z_3}}}{{{{[{{({r_{\rm{t}}} + {z_1})}^2} + z_2^2 + z_3^2]}^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}}}}} = {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_3 + {\mu _{{\rm{e}}3}}}. \end{array}} \right\} $

式中： $\bar{\boldsymbol{ z}} = [{z_1},{z_2},{z_3}]$， ${\boldsymbol{Z}} = [\bar {\boldsymbol{z}},1]$.

证明：构造如下Lyapunov函数：

(17) $ V\left( t \right) = \dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^6 {z_i^2} . $

该函数基于状态空间方程式(10)的导数为

$ \begin{split} \dot V\left( t \right) =& \sum\nolimits_{i = 1}^6 {{z_i}} {{\dot z}_i} = \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{z_i}} ({z_{i + 3}} + {\alpha _i}) + \hfill \\ &{z_4}[\dot \theta _{\rm{t}}^2{z_1} + {{\ddot \theta }_{\rm{t}}}{z_2} + 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}({z_5} + {\alpha _2}) + {h_1}(\bar z) + {d_1} + {u_1}- \hfill \\ & {{\dot \alpha }_1}] + {z_5}[ - {{\ddot \theta }_{\rm{t}}}{z_1} + \dot \theta _{\rm{t}}^2{z_2} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}({z_4} + {\alpha _1}) + \hfill \\ &{h_2}(\bar z) + {d_2} + {u_2} - {{\dot \alpha }_2}] + {z_6}[{h_3}(\bar z) + {d_3} + {u_3} - {{\dot \alpha }_3}] \hfill .\\ \end{split} $

利用杨氏不等式 $\pm xy \leqslant {x^2}/({{2\varepsilon }}) + {\varepsilon y^2}/2$(取 $ \varepsilon = 2 $)，进一步收集合并项得到

$ \begin{split} \dot V \leqslant & \left(\dfrac{1}{2} - {\beta _1}\right)z_1^2 + \left(\dfrac{1}{2} - {\beta _2}\right)z_2^2 + \left(\dfrac{1}{2} - {\beta _3}\right)z_3^2 + \hfill \\ &{z_4}\{ [{1}/{4} + {\beta _1} + {(1 + \dot \theta _{\rm{t}}^2 - \beta _1^2)^2} + {({{\ddot \theta }_{\rm{t}}} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}{\beta _2})^2} + 4\dot \theta _{\rm{t}}^2]{z_4} + \hfill \\ &{h_1} + {d_1} + {u_1}\} + \hfill \\ &{z_5}\{[{1}/{4} + {\beta _2} + {(1 + \dot \theta _{\rm{t}}^2 - \beta _2^2)^2} + {({{\ddot \theta }_{\rm{t}}} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}{\beta _1})^2} + 4\dot \theta _{\rm{t}}^2]{z_5} + \hfill \\ &{h_2} + {d_2} + {u_2}\} + \hfill \\ &{z_6}\{[{\beta _3} + {(1 - \beta _3^2)^2}/2]{z_6} + {h_3} + {d_3} + {u_3}\}. \hfill \\ \end{split} $

根据式(12)、(14)代入相应变量，得到如下不等式：

$ \begin{split} \dot V \leqslant & ({1}/{2} - {\beta _1})z_1^2 + ({1}/{2} - {\beta _2})z_2^2 + ({1}/{2}- {\beta _3})z_3^2 + \hfill \\ &{z_4}({\lambda _{11}}{z_4} + {\phi _1}{z_4} + {\boldsymbol{W}}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_1 + {\mu _{{\rm{e}}1}} + {d_1} + {u_1}) + \hfill \\ &{z_5}({\lambda _{21}}{z_5} + {\phi _2}{z_5} + {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_2 + {\mu _{{\rm{e}}2}} + {d_2} + {u_2}) + \hfill \\ &{z_6}({\lambda _{31}}{z_6} + {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_3 + {\mu _{{\rm{e}}3}} + {d_3} + {u_3}) . \end{split} $

为了证明整个控制系统的稳定性，构造如下的扩展Lyapunov函数：

(18) $ \begin{split} {V_1}(t) = & V(t) + \dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^2 {\tilde \phi _i^2} + \dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{w}}i}}} {{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i} + \hfill \\ &\dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\rm{tr}}\; \{ \tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{v}}i}}{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}\} } . \end{split} $

基于对函数 $ V(t) $的分析， $ {V_1}(t) $的导数满足：

$ \dot{V}_{1}(t)=\dot{V}+\sum_{i=1}^{2} \tilde{\phi}_{i} \dot{\tilde{\phi}}_{i}+\sum_{i=1}^{3} \tilde{{\boldsymbol{W}}}_{i}^{{\rm{T}}} {\boldsymbol{\varGamma}}_{{\rm{w}} i} \dot{\tilde{{\boldsymbol{W}}}}_{i}+\sum_{i=1}^{3} \operatorname{tr}\;\left\{\tilde{{\boldsymbol{V}}}_{i}^{{\rm{T}}} {\boldsymbol{\varGamma}}_{{\rm{v}} i} \dot{\tilde{{\boldsymbol{V}}}}_{i}\right\}. $

结合对 $ \dot V(t) $的不等式结果分析，利用系统变量的自适应变化律式(11)、(13)和(15)，得到

$ \begin{split} {{\dot V}_1}(t) \leqslant & ({1}/{2} - {\beta _1})z_1^2 + ({1}/{2} - {\beta _2})z_2^2 + ({1}/{2} - {\beta _3})z_3^2 \;+ \hfill \\ &{z_4}\bigg[{\phi _1}{z_4} + {\boldsymbol{W}}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_1 + {\mu _{{\rm{e}}1}} + {d_1} - {\lambda _{12}}{z_4} - {{\hat \phi }_1}{z_4} - \bigg. \hfill \\ &\left.\hat {\boldsymbol{W}}_1^{\rm{T}}{{\hat{\boldsymbol{ S}}}_1} - {z_4}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_1^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_1'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_1'\hat {\boldsymbol{V}}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)\right] + \hfill \\ &{z_5}\left[{\phi _2}{z_5} + {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_2 + {\mu _{{\rm{e}}2}} + {d_2} - {\lambda _{22}}{z_5} - {{\hat \phi }_2}{z_5} -\right. \hfill \\ &\left.\hat {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_2} - {z_5}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_2'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_2'\hat{\boldsymbol{ V}}_2^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)\right] + \hfill \\ &{z_6}\bigg[{\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_3 + {\mu _{{\rm{e}}3}} + {d_3} - {\lambda _{32}}{z_6} - \hat {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_3} -\bigg. \hfill \\ &\left.{z_6}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_3'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_3'\hat {\boldsymbol{V}}_3^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)\right] + \sum\nolimits_{i = 1}^2 {{{\tilde \phi }_i}(z_{i + 3}^2 -{\varepsilon _i}{{\hat \phi }_i})} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}[({{\hat {\boldsymbol{S}}}_i} - \hat {\boldsymbol{S}}_i'\hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}){z_{i + 3}} - {\gamma _{{\rm{w}}i}}{{\hat {\boldsymbol{W}}}_i}]} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\rm{tr}}\;\{ \tilde V_i^{\rm{T}}[{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i'{z_{i + 3}} - {\gamma _{{\rm{v}}i}}{{\hat {\boldsymbol{V}}}_i}]\} } . \end{split} $

根据1.2节对神经网络近似方法的分析，可得如下不等式：

$ \begin{split} {{\dot V}_1}(t) \leqslant & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {({1}/{2} - {\beta _i})z_i^2} \;+ \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{z_{i + 3}}[ - \tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}({{\hat {\boldsymbol{S}}}_i} - \hat {\boldsymbol{S}}_i'\hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}) - \hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i'\tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}} - } \hfill \\ &\quad\quad\quad\quad{z_{i + 3}}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat{\boldsymbol{ S}}_i'} \right\|{\rm{_F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_i'\hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right) - \hfill \\ &\quad\quad\quad\quad{\mu _{{\rm{r}}i}} + {\mu _{{\rm{e}}i}} + {d_i} - {\lambda _{i2}}{z_{i + 3}}] - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\varepsilon _i}{{\tilde \phi }_i}{{\hat \phi }_i}} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}[({{\hat {\boldsymbol{S}}}_i} - \hat {\boldsymbol{S}}_i'\hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}){z_{i + 3}} - {\gamma _{{\rm{w}}i}}{{\hat {\boldsymbol{W}}}_i}]} \;+ \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\rm{tr}}\;\{ \tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}[{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i'{z_{i + 3}} - {\gamma _{{\rm{v}}i}}\hat {\boldsymbol{V}}]\} } = \hfill \\ & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {({1}/{2} - {\beta _i})z_i^2} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{z_{i + 3}}[ - {z_{i + 3}}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_i'\hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)} - \hfill \\ &\quad\quad\quad\quad{\mu _{{\rm{r}}i}} + {\mu _{{\rm{e}}i}} + {d_i} - {\lambda _{i2}}{z_{i + 3}}] - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\varepsilon _i}{{\tilde \phi }_i}{{\hat \phi }_i}} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\gamma _{{\rm{w}}i}}\tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{W}}}_i}} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\rm{tr}}\;\{ {\gamma _{{\rm{v}}i}}\tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{{\hat{\boldsymbol{ V}}}_i}\} } \leqslant \hfill \\ & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {({1}/{2} - {\beta _i})z_i^2} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{z_{i + 3}}[ - {z_{i + 3}}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat{\boldsymbol{ S}}_i'\hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right) + } \hfill \\ &\quad\quad\quad\quad{d_i} - {\lambda _{i2}}{z_{i + 3}}] + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\left| {{z_{i + 3}}} \right|({{\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|}_{\rm{F}}}{{\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i'} \right\|}_{\rm{F}}} + \left\| {{\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}} \right\|{{\left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_i'\hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|}_{\rm{F}}} + } \hfill \\ &\quad\quad\quad\quad{\left| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right|_1} + {\mu _{{\rm{D}}i}}) - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\varepsilon _i}{{\tilde \phi }_i}{{\hat \phi }_i}} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\gamma _{{\rm{w}}i}}\tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{W}}}_i}} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\rm{tr}}\;\{ {\gamma _{{\rm{v}}i}}\tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{V}}}_i}\} } . \end{split} $

对其中的多个参数项进行如下的不等式转换：

(19) $ \left.\begin{aligned} & \left| {{z_{i + 3}}} \right|{\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}}{\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i^\prime } \right\|_{\rm{F}}} \leqslant z_{i + 3}^2\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_i^\prime } \right\|_{\rm{F}}^2 + \dfrac{1}{4}\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2,\\ & \left| {{z_{i + 3}}} \right|\left\| {{{\boldsymbol{W}}}_i^{\rm{T}}} \right\|{\left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_i^\prime \hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}} \leqslant z_{i + 3}^2\left\| {\hat{\boldsymbol{ S}}_i^\prime \hat {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2 + \dfrac{1}{4}{\left\| {{\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}} \right\|^2},\\ &\quad\quad \left| {{z_{i + 3}}} \right|\left( {{{\left| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right|}_1} + {\mu _{{\rm{D}}i}}} \right) \leqslant z_{i + 3}^2 + \dfrac{1}{4}{\left( {{{\left| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right|}_1} + {\mu _{{\rm{D}}i}}} \right)^2},\\ &\quad\quad\quad\quad {\gamma _{{\rm{w}}i}}\tilde{\boldsymbol{ W}}_i^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{W}}}_i} \geqslant \dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}\left( {{{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2} - {{\left\| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right\|}^2}} \right),\\ &\quad\quad\quad\quad {\mathop{ {\rm{tr}}}\nolimits} \;\left\{ {{\gamma _{{\rm{v}}i}}\tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\} \geqslant \dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left( {\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 - \left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} \right),\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad {\varepsilon _i}{{\tilde \phi }_i}\hat \phi \geqslant \dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\left( {\tilde \phi _i^2 - \phi _i^2} \right). \end{aligned}\right\} $

使用式(19)，对 $ {V_1}(t) $的导数进一步简化得到

(20) $ \begin{split} {{\dot V}_1}(t) \leqslant & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\left(\dfrac{1}{2} - {\beta _i}\right)z_i^2} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{z_{i + 3}}(2{z_{i + 3}} - {\lambda _{i2}}{z_{i + 3}})} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {[\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2/4 + {{\left\| {{\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}} \right\|}^2} /4+ {{({{\left| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right|}_1} + {\mu _{{\rm{D}}i}})}^2}/4+ d_{{\rm{D}}i}^2}] - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}(\tilde \phi _i^2 - \phi _i^2)} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}\left({{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2} - {{\left\| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right\|}^2}\right)} - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left(\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 - \left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)} . \\[-12pt] \end{split} $

选择参数 $ {\beta _i} = {{(1 + {k_i})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 + {k_i})} 2}} \right. } 2} $和 $ {\lambda _{i2}} = 2 + {{{k_{i + 3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{k_{i + 3}}} 2}} \right. } 2} $，式(20)进一步简化为

$ \begin{split} {{\dot V}_1}(t) \leqslant & - \sum\nolimits_{i = 1}^6 {\dfrac{{{k_i}}}{2}z_i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\tilde \phi _i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2}} - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} + \sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\phi _i^2} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\Biggl(\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right\|}^2} + \dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 + } \hfill \\ &\quad\quad\dfrac{{\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2}}{4} + \dfrac{{{{\left\| {{\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}} \right\|}^2}}}{4} + \dfrac{{{{({{\left| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right|}_1} + {\mu _{{\rm{D}}i}})}^2} + d_{{\rm{D}}i}^2}}{4} \Biggl) .\hfill \\ \end{split} $

为了方便，定义

$ \begin{split} {a_{{\rm{v}}1}} =& \sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\phi _i^2} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\left[\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right\|}^2} + \dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 + \right.} \hfill \\ &\left.\dfrac{1}{4}\left({\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 + {\left\| {{\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}} \right\|^2} + {({\left| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right|_1} + {\mu _{{\rm{D}}i}})^2} + d_{{\rm{D}}i}^2}\right)\right]. \hfill \\ \end{split} $

Lyapunov函数 $ {V_1}(t) $的导数的最终表达式为

(21) $ \begin{split} {{\dot V}_1}(t) \leqslant & - \sum\nolimits_{i = 1}^6 {\dfrac{{{k_i}}}{2}z_i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\tilde \phi _i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2}} - \hfill \\ & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} + {a_{{\rm{v}}1}} \leqslant - \lambda {V_1}(t) + {a_{{\rm{v}}1}} . \\[-12pt] \end{split} $

式中： $\lambda = \min \ \{ {k_i},{\varepsilon _i},{\gamma _{{\rm{w}}i}},{\gamma _{{\rm{v}}i}},{\lambda _{\min }}({{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{w}}i}}),{\lambda _{\min }}({{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{v}}i}})\}$. 式(21)表明^[26]

$ {V_1}(t) \leqslant {V_1}(0){{\rm{exp}}\;({ - \lambda t}}) + {{{a_{{\rm{v}}1}}}}/{\lambda } . $

对于有界的初始条件，系统信号最终一致有界^[27]，且收敛到由 $ {a_{{\rm{v}}1}} $定义的残差集. 从式(9)的变量代换关系，可以得出状态变量 $ {x_i} $的有界性，证明结束.

航天器上的推进器系统提供推力的能力有限，这意味着式(10)所描述的非线性模型中的输入加速度受到约束. 给出有关模型不确定性和输入约束情况下的航天器相对运动的分析结果.

假设控制加速度受约束的下限值为 $ {u_{i,{\rm{l}}}} $，上限值为 ${u_{i,{\rm{u}}}}$，即 ${u_{i,{\rm{l}}}} \leqslant {u_i} \leqslant {u_{i,{\rm{u}}}}$. 为了解决该问题，引入辅助控制变量 $ {v_i} $，其与 $ {u_i} $有如下关系：

(22) $ {u_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{i,{\rm{u}}}}{\text{, }}{v_i} > {v_{i,{\rm{u}}}};{\text{ }}} \\ {{g_i}({v_i}){\text{, }}{v_{i,{\rm{l}}}} \leqslant {v_i} \leqslant {v_{i,{\rm{u}}}}}; \\ {{u_{i,{\rm{l}}}}{\text{, }}{v_i} < {v_{i,{\rm{l}}}}.{\text{ }}} \end{array}} \right. $

式中： ${v_{i,{\rm{l}}}} < 0$， ${v_{i,{\rm{u}}}} > 0$， $ {g_i}({v_i}) $为已知的平滑函数， $i = 1, $ $ 2,3$. 为了分析约束对整体系统稳定性的影响，设计如下所示的辅助控制系统：

(23) $ {\dot \tau _i} = - {\rho _{0i}}{\tau _i} - {{{\tau _i}}}^{-1}(\left| {{z_{i + 3}}\Delta {u_i}} \right| + \dfrac{1}{2}{\rho _{1i}}\Delta u_i^2) + {\rho _{2i}}({v_i} - {u_i}) . $

式中： $ {\tau _i} $为辅助系统状态变量， $ {\rho _{0i}} $、 $ {\rho _{1i}} $、 $ {\rho _{2i}} $为正实数， $ \Delta {u_i} = {u_i} - {v_i} $， $ i = 1,2,3 $. 在这种情况下，设计控制变量 $ {v_i} $如下所示：

(24) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_1} = - {\kappa _1}{z_4} - {{\hat \phi }_1}{z_4} - {\eta _1}({z_4} - {\tau _1}) - \hat {\boldsymbol{W}}_1^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_1} - } \\ {{z_4}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_1^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_1'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_1'\hat {\boldsymbol{V}}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)} ,\\ {{v_2} = - {\kappa _2}{z_5} - {{\hat \phi }_2}{z_5} - {\eta _2}({z_5} - {\tau _2}) - \hat {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_2} - } \\ {{z_5}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_2^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_2'} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_2'\hat {\boldsymbol{V}}_2^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)}, \\ {{v_3} = - {\kappa _3}{z_6} - {\eta _3}({z_6} - {\tau _3}) - \hat {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}{{\hat {\boldsymbol{S}}}_3} - {\text{ }}} \\ {{z_6}\left(\left\| {{\boldsymbol{Z}}\hat {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}\hat {\boldsymbol{S}}_3'} \right\|_{{\rm{F}}}^2 + \left\| {\hat {\boldsymbol{S}}_3'\hat {\boldsymbol{V}}_3^{\rm{T}}{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)}. \end{array}} \right\} $

式中： $ {\kappa _i} = {\lambda _{i1}} $， $ {\eta _i} > 0 $， $ i = 1,2,3 $. 为了实现追踪星和目标星航天器之间的交会对接任务需求，提出以下引理.

引理2 　针对由式(10)描述的交会对接非线性系统，在有模型不确定性及输入约束的情况下，提出控制律(22)、(24). 设计辅助控制系统((23)，结合未知参数估计的自适应律(13)、(15)，则系统信号 $ {z_i} $、 $ {\tau _i} $、 $ {\tilde \phi _i} $、 $ {\tilde W_i} $和 $ {\tilde V_i} $将渐近收敛到一个残差集.

证明：构建如下的扩展Lyapunov函数：

(25) $ \begin{split} {V_2}\left( t \right)& = \dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^6 {z_i^2} + \dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^2 {\tilde \phi _i^2} + \dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{w}}i}}} {{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i} + \hfill \\ &\dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\rm{tr}}\;\{ \tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{v}}i}}{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}\} } + \dfrac{1}{2}\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\tau _i^2}. \\[-12pt] \end{split} $

由式(25)基于式(10)求导，得到

$ \begin{split} {{\dot V}_2}(t) \leqslant & \sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {\dfrac{1}{2} - {\beta _i}} \right)} z_i^2 + \sum\limits_{i = 1}^2 {{z_{i + 3}}} \Big( {{\lambda _{i1}}{z_{i + 3}} + {\phi _i}{z_{i + 3}} + } \\ & {{\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}} + {\mu _{{\rm{e}}i}} + {d_i} + {u_i}} \Big) + \\[-4pt] & {z_6}\left( {{\lambda _{31}}{z_6} + {\boldsymbol{W}}_3^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}_3 + {\mu _{{\rm{e}}3}} + {d_3} + {u_3}} \right) + \sum\limits_{i = 1}^2 {{{\tilde \phi }_i}} {{\dot {\tilde \phi} }_i} + \\[-4pt] & \sum\limits_{i = 1}^3 {\tilde {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}} {{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{w}}i}}{{\dot {\tilde {\boldsymbol{W}}}}_i} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{\mathop{\rm tr}\nolimits} }\; \left\{ {\tilde {\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{v}}i}}\mathop {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}}\limits^. } \right\} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{\tau _i}} {{\dot \tau }_i}. \end{split} $

根据1.2节对神经网络近似方法的分析，按照对引理1类似的证明步骤，可得

(26) $ \begin{split} {{\dot V}_2} \leqslant & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {(\dfrac{1}{2} - {\beta _i})z_i^2} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{z_{i + 3}}[ - {\eta _i}({z_{i + 3}} - {\tau _i}) + \Delta {u_i} + } \hfill \\ & 2{z_{i + 3}}] + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\left({{\left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_F^2}} + {{{{\left\| {{\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}} \right\|}^2}}} + {{{{({{\left| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right|}_1} + {\mu _{{\rm{D}}i}})}^2} + d_{{\rm{D}}i}^2}}\right)}/4 - \hfill \\ & \sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}(\tilde \phi _i^2 - \phi _i^2)} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}\left({{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2} - {{\left\| {{{\boldsymbol{W}}_i}} \right\|}^2}\right)} - \hfill \\ & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left(\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 - \left\| {{{\boldsymbol{V}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2\right)} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\tau _i}{{\dot \tau }_i}}. \\[-12pt] \end{split} $

将设计的辅助控制系统变量代入式(26)，得到

$ \begin{split} {{\dot V}_2} \leqslant & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {(\dfrac{1}{2} - {\beta _i})z_i^2} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{z_{i + 3}}[ - {\eta _i}({z_{i + 3}} - {\tau _i}) + \Delta {u_i} + 2{z_{i + 3}}] + } \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\tau _i}[ - {\rho _{0i}}{\tau _i} - \dfrac{1}{{{\tau _i}}}(\left| {{z_{i + 3}}\Delta {u_i}} \right| + \dfrac{1}{2}{\rho _{1i}}\Delta u_i^2) + } {\rho _{2i}}({v_i} - {u_i})] - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\tilde \phi _i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2}} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} + {a_{{\rm{v}}2}}\leqslant \hfill \\ & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {({1}/{2} - {\beta _i})z_i^2} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {[(2 - {\eta _i})z_{_{i + 3}}^2 + {\eta _i}{z_{i + 3}}{\tau _i} - {\rho _{0i}}\tau _i^2 - } \hfill \\ &{\rho _{1i}}\Delta u_i^2 /2+ {\rho _{2i}}\Delta {u_i}{\tau _i}] - \sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\tilde \phi _i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2}} - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} + {a_{{\rm{v}}2}} . \end{split} $

式中： $ {a_{{\rm{v}}2}} = {a_{{\rm{v}}1}} $. 基于杨氏不等式，能够进一步得到

(27) $ \begin{split} {{\dot V}_2} \leqslant & \sum\nolimits_{i = 1}^3 {({1}/{2} - {\beta _i})z_i^2} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {(2 -{{{\eta _i}}}/{2})z_{_{i + 3}}^2} + \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {({{{\eta _i}}}/{2} - {\rho _{0i}} + {{{\rho _{2i}}}}/{2})\tau _i^2} + \sum\nolimits_{i = 1}^3 {({\rho _{2i}} - {\rho _{1i}})\Delta u_i^2} - \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\tilde \phi _i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2}} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} + {a_{{\rm{v}}2}} \end{split} . $

对式(27)取 $\; {\beta _i} = {{(1 + {k_i})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 + {k_i})} 2}} \right. } 2} $， $ {\eta _i} = 4 + {k_{i + 3}} $， $ {\rho _{2i}} = {\rho _{1i}} $，令 $ {\zeta _i} = {{{\eta _i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\eta _i}} 2}} \right. } 2} - {\rho _{0i}} + {{{\rho _{2i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rho _{2i}}} 2}} \right. } 2} $. Lyapunov函数 $ {V_2}\left( t \right) $的导数的最终表达式为

(28) $ \begin{split} {{\dot V}_2} \leqslant & - \sum\nolimits_{i = 1}^6 {\dfrac{{{k_i}}}{2}z_i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {{\zeta _i}\tau _i^2} - \sum\nolimits_{i = 1}^2 {\dfrac{{{\varepsilon _i}}}{2}\tilde \phi _i^2 - } \hfill \\ &\sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{w}}i}}}}{2}{{\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{W}}}_i}} \right\|}^2}} - \sum\nolimits_{i = 1}^3 {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{v}}i}}}}{2}\left\| {{{\tilde {\boldsymbol{V}}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} + {a_{{\rm{v}}2}} \leqslant \hfill \\ & - \lambda {V_2}(t) + {a_{{\rm{v}}2}} . \end{split} $

式中： $\lambda = \min \ \{ {k_i},{\zeta _i},{\varepsilon _i},{\gamma _{{\rm{w}}i}},{\gamma _{{\rm{v}}i}},{\lambda _{\min }}({{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{w}}i}}),{\lambda _{\min }}({{\boldsymbol{\varGamma}} _{{\rm{v}}i}})\}.$式(28)意味着对于有界的初始条件，系统信号有界并且收敛到由 ${a_{{\rm{v}}2}}$定义的残差集，可以进一步得到状态变量 $ {x_i} $稳定收敛，证明结束.

为了分析比较所提出的不同控制策略，考虑2个沿地球轨道飞行的航天器之间的相对运动的机动控制，如图1所示. 目标星航天器沿着高椭圆率的轨道飞行，假设初始轨道参数为：偏心率 ${e_{\rm{t}}} = 0.6$，倾角 ${i_{\rm{t}}} = 60^\circ$，升交点赤经 ${\varOmega _{\rm{t}}} = 40^\circ$，近地点幅角 ${\omega _{\rm{t}}} = $ $ 120^\circ$，真近点角 ${f_{\rm{t}}} = 0^\circ$，轨道半长轴 ${a_{\rm{t}}} = 17\;195{\text{ km}}$. 目标星航天器和追踪星航天器之间的初始相对位置为 $[x,\ y,\ z] = [100,\ 50,\ - 10]{\text{ m}}$，初始相对速度为 $[\dot x,\ \dot y,\ \dot z] = $ $ [0.1, - 0.1,0.1]{\text{ m/s}}$.

作为比较，提出当交会对接系统模型中未考虑参数不确定性和输入约束的情况下的控制算法. 提出如下引理.

引理3 　基于两航天器之间的相对运动方程(10)，且假设已知全部系统参数. 为了实现控制目标，设计如下控制加速度输入：

(29) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = - \left({\varphi _1} + \dfrac{{{k_1}}}{2}\right){z_4} - {h_1}\left( {\bar z} \right) - {d_1}}, \\ {{u_2} = - \left({\varphi _2} + \dfrac{{{k_2}}}{2}\right){z_5} - {h_2}\left( {\bar z} \right) - {d_2}}, \\ {{u_3} = - \left({\varphi _3} + \dfrac{{{k_3}}}{2}\right){z_6} - {h_3}\left( {\bar z} \right) - {d_3}} . \end{array}} \right\} $

式中： $ {k_i} > 0 $， $ i = 1,2,3 $； $ {\varphi _i} $为与系统参数项相关的正实数，满足

(30) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{\varphi _1} = \dfrac{1}{4} + {\beta _1} + {{(1 + \dot \theta _{\rm{t}}^2 - \beta _1^2)}^2} + {{({{\ddot \theta }_{\rm{t}}} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}{\beta _2})}^2} + 4\dot \theta _{\rm{t}}^2}, \\ {{\varphi _2} = \dfrac{1}{4} + {\beta _2} + {{(1 + \dot \theta _{\rm{t}}^2 - \beta _2^2)}^2} + {{({{\ddot \theta }_{\rm{t}}} - 2{{\dot \theta }_{\rm{t}}}{\beta _1})}^2} + 4\dot \theta _{\rm{t}}^2}, \\ {{\varphi _3} = {\beta _3} + \dfrac{1}{2}{{(1 - \beta _3^2)}^2}.{\text{ }}} \end{array}} \right\} $

其中 $ \;{\beta _i} = {{\left( {1 + {k_{i + 3}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + {k_{i + 3}}} \right)} 2}} \right. } 2} $， $ {k_{i + 3}} > 0 $， $ i = 1,2,3 $. 以上控制器的设计能够使目标星和追踪星航天器之间的相对位置和速度收敛到零. 该控制算法的稳定性和有效性可以通过Lyapunov设计方法进行论证，此处不再赘述.

基于以上引理，给出当交会对接系统模型中未考虑参数不确定性和输入约束时的数值仿真结果，如图3所示. 其中，仿真图形中的虚线是零刻度线. 可以看出，在高输入加速度下2个航天器之间的相对距离和相对速度都在短时间内实现收敛.

第2章考虑的是不确定性模型的自适应控制设计，提出的控制策略的案例分析如下. 基于引理1对控制律参数进行选择， $ {k_i} = 0.001 $， $ {\varepsilon _i} = 0.01 $， ${\gamma _{{\rm{w}}i}} = $ $ {\gamma _{{\rm{v}}i}} = 0.1$. 自适应估计 $ {\hat \phi _i} $的初始值取 $ {\hat \phi _i}\left( 0 \right) = 0.1 $，神经网络权重的自适应估计初始值取 ${\hat {\boldsymbol{W}}_i}(0) = 0.01 \times {{\boldsymbol{1}}^{{l} + 1}}$， ${\hat {\boldsymbol{V}}_i}(0) = 0.01 \times {{\boldsymbol{1}}^{4 \times l}}$， $ l = 2 $.

图4给出引理1论证的追踪星和目标星航天器之间的相对距离和相对速度的收敛结果. 如图4(d)所示为通过自适应神经网络学习获得的系统模型近似误差的时间演变，即 ${h_i}(\bar z) - \hat {\boldsymbol{W}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{S}}$的误差变化. 由于初始阶段自适应算法缺少有关系统参数和外部干扰的信息，存在较大的跟踪误差. 在自适应算法的学习下，获得了很好的跟踪性能. 总之，图4所示的仿真结果表明了提出的自适应控制策略对具有不确定性的非线性系统的交会对接机动的积极影响.

第3章考虑的是模型不确定性和输入约束下的控制设计，针对提出的控制策略的案例分析如下. 基于引理2对该案例中的控制参数进行选择， $ {k_i} = 0.01 $， $ {\varepsilon _i} = 0.1 $， ${\gamma _{{\rm{w}}i}} = {\gamma _{{\rm{v}}i}} = 1$，自适应估计 $ {\hat \phi _i} $的初始值取 $ {\hat \phi _i}(0) = 0.1 $，取神经网络权重的自适应估计的初始值 ${\hat {\boldsymbol{W}}_i}(0) = 0.1 \times {{\boldsymbol{1}}^{l + 1}}$， ${\hat {\boldsymbol{V}}_i}(0) = 0.1 \times {{\boldsymbol{1}}^{4 \times l}}$， $ l = 2 $，辅助控制系统初始状态值 $ {\tau _i} = 1 $. 设置的加速度输入的饱和度为 $ 1{\text{ m/}}{{\text{s}}^2} $.

图5给出在不确定性和输入饱和情况下的仿真结果. 由于航天器之间的初始相对距离较大，在对接操作开始阶段，控制加速度输入会达到饱和值. 当追踪星接近目标星时，所需的加速度输入减小，饱和度消失. 图5(d)给出通过自适应神经网络学习得到的模型近似误差的时间演变. 可以看出，通过引理2提出的控制策略实现了相对位置和相对速度的收敛. 由于输入的限制，实现这2个航天器之间的交会对接需要更长的时间.

如图6所示，将存在输入饱和与不存在输入饱和时的仿真案例进行直接比较. 结果表明，不存在输入饱和时，控制输入会很大，能够得到快速的系统响应. 输入约束在实际应用中始终存在，被控系统无法提供很大的控制输出. 使用3章设计的控制器，即使输入饱和，也可以实现控制目标.

本文考虑存在模型不确定性的航天器交会对接自适应控制设计. 基于2个航天器相对运动非线性模型的特殊结构，通过李雅普诺夫设计方法实现自适应反推技术和自适应神经网络方法的结合. 提出的自适应反推法神经网络控制策略，保证了闭环系统及未知参数自适应估计的统一最终有界性. 这种控制器架构能够解决同时存在线性与非线性系统模型不确定性的问题. 针对同时存在模型不确定性和系统输入饱和的问题，通过增加辅助控制系统来消除约束的影响，实现系统整体的稳定性和收敛性. 通过对各个案例的仿真结果进行验证和比较，表明了所提出的控制策略的有效性，能够解决航天器交会对接非线性不确定性下的控制约束问题，确保系统的稳定性和收敛性.