基于多项式拟合的六维力传感器解耦算法研究

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.063

基于多项式拟合的六维力传感器解耦算法研究

王志军^,^,, 张小涛, 李梦祥

华北理工大学机械工程学院，河北唐山 063210

Research on decoupling algorithm of six-dimensional force sensor based on polynomial fitting

WANG Zhijun^,^,, ZHANG Xiaotao, LI Mengxiang

College of Mechanical Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan 063210, China

收稿日期: 2023-02-27 修回日期: 2023-04-04

基金资助:

河北省高等学校科学技术研究项目. ZD2020151
唐山市科技创新团队培养计划资助项目. 21130208D

Received: 2023-02-27 Revised: 2023-04-04

作者简介 About authors

王志军（1983—），男，河北唐山人，教授，博士，从事并联机器人及六维力传感器技术研究，E-mail:zjwang@ncst.edu.cn，https://orcid.org/0000-0003-3316-4821 , E-mail：zjwang@ncst.edu.cn

摘要

六维力传感器作为重要的空间力感知元件，被广泛应用于机器人的力/位置控制、抓取装配、轮廓检测、自主避障和人机交互等。目前，提高精度是六维力传感器的主要研究方向之一。但由于受到自身结构和加工误差等因素的影响，六维力传感器会产生维间耦合现象，而维间耦合是影响其精度的重要因素。为减少耦合误差的影响，采用误差分析、理论推导及实验验证相结合的方法对六维力传感器的解耦算法进行研究。首先，对六维力传感器进行了耦合分析，得到其耦合模型。然后，对六维力传感器的线性解耦算法进行研究，并在此基础上提出了基于多项式拟合的解耦算法，以在不改变六维力传感器结构的前提下减小耦合误差，从而提高其精度。最后，选用正交并联六维力传感器开展标定实验，并分别采用2种算法进行解耦求解。结果表明，基于多项式拟合的解耦算法能减小维间耦合对六维力传感器精度的影响；所提出的解耦算法有效地提高了六维力传感器的精度，与线性解耦算法相比，最大耦合误差减小了8.914个百分点且线性度误差减小了0.111个百分点。研究结果可为六维力传感器维间耦合误差的减小和精度的提高提供参考。

关键词： 六维力传感器 ; 耦合模型 ; 解耦算法 ; 多项式拟合 ; 标定实验 ; 解耦求解

Abstract

As an important spatial force sensing element, the six-dimensional force sensor is widely used in robot force/position control, grasping assembly, contour detection, autonomous obstacle avoidance and human-computer interaction. At present, improving the accuracy is one of the main research directions of six-dimensional force sensors. However, due to the influence of own structure and processing error and other factors, the six-dimensional force sensor will produce the interdimensional coupling phenomenon, and the interdimensional coupling is an important factor affecting its accuracy. In order to reduce the influence of coupling error, the decoupling algorithm of six-dimensional force sensor is studied by combining error analysis, theoretical derivation and experimental verification. Firstly, the coupling analysis of the six-dimensional force sensor was carried out, and its coupling model was obtained. Then, the linear decoupling algorithm of the six-dimensional force sensor was studied, and on this basis, the decoupling algorithm based on polynomial fitting was proposed to reduce the coupling error without changing the structure of the six-dimensional force sensor, so as to improve its accuracy. Finally, the orthogonal parallel six-dimensional force sensor was selected to carry out calibration experiments, and two algorithms were used for decoupling solution. The results showed that the decoupling algorithm based on polynomial fitting could reduce the influence of interdimensional coupling on the accuracy of six-dimensional force sensors. The proposed decoupling algorithm effectively improved the accuracy of the six-dimensional force sensor. Compared with the linear decoupling algorithm, the maximum coupling error was reduced by 8.914 percentage points and the linearity error was reduced by 0.111 percentage points. The research results can provide reference for reducing the coupling error and improving the accuracy of six-dimensional force sensors.

Keywords： six-dimensional force sensor ; coupling model ; decoupling algorithm ; polynomial fitting ; calibration experiment ; decoupling solution

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本文引用格式

王志军, 张小涛, 李梦祥. 基于多项式拟合的六维力传感器解耦算法研究. 工程设计学报[J], 2023, 30(5): 571-578 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.063

WANG Zhijun, ZHANG Xiaotao, LI Mengxiang. Research on decoupling algorithm of six-dimensional force sensor based on polynomial fitting. Chinese Journal of Engineering Design[J], 2023, 30(5): 571-578 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.063

随着科技的发展，智能机器人正加速融入工业生产和日常生活。六维力传感器作为实现智能机器人“触觉”的重要感知元件，得到了世界各国学者的广泛关注^[1]。现阶段，六维力传感器主要包括电容型、压电型、光电型和应变片型等几种类型。但由于受到机械结构原理、机械加工误差、应变片粘贴位置以及系统标定方式的影响，任何类型的六维力传感器均会不可避免地产生耦合误差^[2-4]。在此前的研究中，减小耦合误差的方式主要有改变结构和材料、改善加工工艺等，即从根源上进行结构解耦。积木拼装式六维力传感器是最早开发的、最具有代表性的结构解耦式六维力传感器，其通过多个应变检测模块实现对不同力的检测，从而达到结构解耦的目的。但由于加工装配难度过大以及测量精度不理想，积木拼装式六维力传感器并没有得到广泛应用。与结构解耦相对应的是软件解耦，软件解耦是指采用合适的算法推导出六维力传感器输入值与输出值的关系。实现软件解耦的方法有2种：第1种是线性解耦，最常用的是最小二乘法^[5]；第2种是维间解耦，适用于线性解耦无法解决问题的场合，最常用的是机器学习算法，包括BP（back propagation，反向传播）神经网络^[6]、随机森林^[7]和极限学习机^[8]等。综上可知，结构解耦虽然原理简单，但会增加加工难度和制造成本；软件解耦虽能够有效降低制造成本，但运算复杂，易出现病态矩阵，导致精度降低。因此，设计一种运算简单、精确度高的六维力传感器解耦算法具有重要意义。

为此，笔者首先对六维力传感器的线性解耦算法进行研究，并对其进行耦合误差分析。然后，在线性解耦算法的基础上，提出基于多项式拟合的六维力传感器解耦算法。最后，基于正交并联六维力传感器的标定实验数据，对2种解耦算法进行误差分析，旨在为提高六维力传感器的精度提供新思路。

1 六维力传感器耦合分析及其耦合模型构建

1.1　耦合分析

现阶段，六维力传感器的结构主要分为一体式和并联式。一体式六维力传感器由金属材料经一次加工形成，通过布置在空间内不同方位的应变片组合来确定六维外力。一体式六维力传感器的结构形式有多种^[9-13]，其中十字梁结构的六维力传感器（见图1）最为常用。但是，由于一体式六维力传感器的结构具有整体性，当对其某一方向施加外力时，会引起其他方向力的耦合，即形成维间耦合误差，无法实现完全解耦。并联式六维力传感器采用球铰连接的方式，其测力分支可看作只承受轴向力的二力杆。由机构的静力学分析可知，当将外力施加到并联式六维力传感器上时，其测量分支上的敏感元件之间不存在应力耦合，巧妙地实现了结构解耦。但在实际应用中，完全理想的球铰不易实现，通常采用传统球副代替，但传统球副存在加工误差、理论间隙和摩擦转矩等，导致并联式六维力传感器也存在维间耦合。此外，并联式六维力传感器的自身结构也是引起维间耦合的重要因素。如图2所示的Stewart并联结构六维力传感器，其所受的任何方向的力或力矩均由6个测力分支测得，当所受外力为单方向时，6个测力分支均只承受轴向力。结合一阶静力学矩阵可知，该六维力传感器在所有方向上均存在测量值，即自身结构造成了耦合误差。

图1

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图1 十字梁结构六维力传感器

Fig.1 Six-dimensional force sensor with cross beam structure

图2

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图2 Stewart并联结构六维力传感器

Fig.2 Stewart six-dimensional force sensor with parallel structure

1.2　耦合模型构建

根据上文分析，在理想情况下，当六维力传感器只有单方向力/力矩输入时，其输出应只在对应方向上存在。但由于存在维间耦合，使得六维力传感器在其他方向上也存在输出。根据六维力传感器的耦合关系，得到其输入-输出耦合模型，如图3所示。

图3

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图3 六维力传感器的输入-输出耦合模型

Fig.3 Input-output coupling model of six-dimensional force sensor

根据图3，利用矩阵形式表示六维力传感器的耦合关系，可得：

F_{c} = H F_{s}

(1)

其中：

F_{c} = {[\begin{matrix} F_{c x} & F_{c y} & F_{c z} & M_{c x} & M_{c y} & M_{c z} \end{matrix}]}^{T}

H = {[\begin{matrix} 1 & H_{12} & H_{13} & H_{14} & H_{15} & H_{16} \\ H_{21} & 1 & H_{23} & H_{24} & H_{25} & H_{26} \\ H_{31} & H_{32} & 1 & H_{34} & H_{35} & H_{36} \\ H_{41} & H_{42} & H_{43} & 1 & H_{45} & H_{46} \\ H_{51} & H_{52} & H_{53} & H_{54} & 1 & H_{56} \\ H_{61} & H_{62} & H_{63} & H_{64} & H_{65} & 1 \end{matrix}]}^{T}

F_{s} = {[\begin{matrix} F_{s x} & F_{s y} & F_{s z} & M_{s x} & M_{s y} & M_{s z} \end{matrix}]}^{T}

式中： $F_{s}$ 为六维力传感器所受的广义力（输入力），F_s_i $(i = 1, 2, \dots, 6)$ 为第 $i$ 维输入量； $F_{c}$ 为六维力传感器的输出力， $F_{c j} (j = 1, 2, \dots, 6)$ 为第 $j$ 维输出量； $H_{i j} (i \neq j)$ 为第 $i$ 维输入量与第 $j$ 维输出量的耦合关系函数。

为简化上述数学模型，将任意输出量 $F_{c j} (j = 1, 2, \dots, 6)$ 与各输入量 $F_{s i} (i = 1, 2, \dots, 6)$ 的关系表示为：

F_{c j} = F_{s i} + \sum_{i = 1, i \neq j}^{6} H_{i j} (F_{s i}), j = 1, 2, \dots, 6

(2)

式中： $H_{i j} (F_{s i})$ 为关于 $F_{s i}$ 的函数。

式(2)中 $H_{i j} (F_{s i})$ 的表达式可用以下多项式的形式表示：

H_{i j} (F_{s i}) = a_{0} + a_{1} F_{s i} + a_{2} F_{s i}^{2} + \dots + a_{n} F_{s i}^{n}

(3)

由式(3)可知，确定六维力传感器耦合函数的问题可转换为确定其多项式阶数和各阶系数的问题。

2 六维力传感器的线性解耦算法

线性解耦算法是最常见的六维力传感器解耦算法，其实现前提为：1）假定六维力传感器系统为线性系统；2）六维力传感器所受的广义外力必须可分解为3个方向上的力/力矩分量；3）六维力传感器输出的电压信号可以相互累加。线性解耦算法的工作原理为：通过对输入量和输出量进行线性拟合，进而得到标定矩阵^[14-15]。采用矩阵形式可表示为：

F_{s} = G U

式中： $G$ 为标定矩阵； U 为六维力传感器产生的电压信号， $U = {[\begin{matrix} U_{1} & U_{2} & \dots & U_{m} \end{matrix}]}^{T}$ 。

根据式(4)，利用最小二乘法拟合得到标定矩阵 $G$ ：

G = F_{s} U^{-}

$式中$ ： $U^{-}$ 为 $U$ 的伪逆矩阵， $U^{-} = U^{T} {(U U^{T})}^{- 1}$ 。

联立式(4)和式(5)，可得标定矩阵 $G$ ：

G = F_{s} U^{T} (U U^{T})^{- 1}

式(6)中 $G$ 为 $6 \times m$ 阶标定矩阵，即解耦矩阵。为了能够获得较为准确的标定矩阵，标定的次数必须远大于标定矩阵的维数。

进而得到六维力传感器所产生的电压信号 U 与其输出力 $F_{c}$ 的关系：

F_{c} = F_{s} U^{T} {(U U^{T})}^{- 1} U

由于存在加工误差以及零点漂移等因素的影响，六维力传感器的输入-输出关系往往不是线性关系，可能是多项式函数关系。因此，六维力传感器的线性解耦算法存在很大的耦合误差。

3 基于多项式拟合的六维力传感器解耦算法

以提高六维力传感器的精度为目的，提出了基于多项式拟合的解耦算法。为了消除六维力传感器工作时零值点不为0的现象对其精度的影响^[16]，通过调控将其空载状态下的输出值设为0。此时，耦合矩阵 $H$ 中每一行耦合函数的相加输出值为0，即可认为任意耦合函数的表达式为：

H_{i j} (F_{s i}) = a_{1} F_{s i} + a_{2} F_{s i}^{2} + \dots + a_{n} F_{s i}^{n}

由式(8)可知，该耦合函数可直接从一阶自变量的系数开始考虑。任何一种六维力传感器均可通过调控来实现空载状态下的输出值为0。本文基于多项式拟合的解耦算法的前提为空载状态下输出值为0。

3.1　具体解耦过程

在空载状态下输出值为0的情况下，当输入量 $F_{s x}$ 不为0，其余输入量均为0时， $H_{i j} (i \neq 1)$ 均等于0，此时通过赋予不同的 $F_{s x}$ ，即可得到不同的输出量 $F_{c j} (j = 1, 2, \dots, 6)$ 。对输入量 $F_{s x}$ 和输出量 $F_{c j}$ 进行多项式曲线拟合，即可得到相应的耦合函数表达式：

F_{c j} = H_{1 j} (F_{s i})

, j = 2, 3, 4, 5, 6

(9)

在相同条件下，当输入量 $F_{s y}$ 不为0，其余输入量均为0时， $H_{i j} (i \neq 2)$ 均等于0，此时通过赋予不同的 $F_{s y}$ ，即可得到不同的输出量 $F_{c j} (j = 1, 2, \dots, 6)$ 。对输入量 $F_{s y}$ 和输出量 $F_{c j}$ 进行多项式曲线拟合，即可得到相应的耦合函数表达式：

F_{c j} = H_{2 j} (F_{s i}),

j = 1, 3, 4, 5, 6

(10)

同理，分别令输入量 $F_{s z}$ 、 $M_{s x}$ 、 $M_{s y}$ 、 $M_{s z}$ 不为0，其余输入量均为0，即可求得其余 $H_{i j} (F_{s i})$ 的函数表达式。由此，可得到输入-输出耦合矩阵 $H$ 。根据求得的耦合矩阵，联合式(4)，可求解得到解耦后的各维输出量，表示为：

Δ F_{c j} = F_{c j} - \sum_{i = 1, i \neq j}^{6} H_{i j} (F_{s i}), j = 1, 2, \dots, 6

（11）

式中： $Δ F_{c j}$ 为解耦后的输出量。

3.2　数值算例

以图4所示的正交并联六维力传感器为研究对象开展标定实验，并利用线性解耦算法和基于多项式拟合的解耦算法进行解耦求解。

图4

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图4 正交并联六维力传感器

Fig.4 Orthogonal parallel six-dimensional force sensor

在正交并联六维力传感器的各方向测量范围内分别取10个加载点进行标定实验，得到其各测量分支的输出电压并代入式(6)，即得到其标定矩阵 $G$ ：

G = [\begin{array}{r} - 0.117 1 & - 0.315 2 & - 0.298 3 & 0.021 2 & - 0.356 4 & - 0.348 6 \\ 0.041 6 & 0.206 5 & - 0.132 4 & 0.056 9 & 0.051 9 & - 0.011 5 \\ 0.844 7 & 0.688 4 & 0.655 7 & - 0.026 8 & - 0.140 3 & - 0.159 8 \\ - 0.009 4 & 0.037 6 & - 0.047 9 & - 0.012 7 & - 0.010 8 & 0.002 7 \\ - 0.010 2 & 0.052 4 & 0.049 0 & - 0.003 2 & 0.044 3 & 0.043 5 \\ - 0.010 1 & - 0.006 2 & - 0.006 1 & - 0.013 2 & 0.003 7 & - 0.009 4 \end{array}]

对正交并联六维力传感器施加不同的力 $F_{s x}$ （均为x正方向的力），通过标定实验得到一组数据，如表1所示。从表1中可以看出，当六维力传感器的x正方向有输入力 $F_{s x}$ 时，各个方向均有力/力矩的输出。由此可见，维间耦合是影响六维力传感器精度的一个重要因素。

表1 不同 $F_{s x}$ 下正交并联六维力传感器的标定实验结果

Table 1 Calibration experiment results of orthogonal parallel six-dimensional force sensor under different $F_{s x}$

序号	$F_{s x} / N$	$F_{c x} / N$	$F_{c y} / N$	$F_{c z} / N$	$M_{c x} / (N \cdot m)$	$M_{c y} / (N \cdot m)$	$M_{c z} / (N \cdot m)$
1	10	9.958 4	-0.039 4	0.121 5	-0.005 5	0.014 9	0.014 6
2	20	19.820 2	-0.052 3	0.011 8	-0.012 5	0.031 2	0.030 8
3	30	29.823 4	-0.068 0	-0.106 4	-0.018 9	0.044 6	0.046 7
4	40	39.645 4	-0.121 6	-0.158 9	-0.027 7	0.0553	0.060 1
5	50	49.706 9	-0.159 7	-0.219 7	-0.030 5	0.051 7	0.067 4
6	60	59.837 8	-0.169 5	-0.251 1	-0.032 0	0.055 0	0.068 1
7	70	69.804 1	-0.234 3	-0.398 5	-0.043 3	0.061 7	0.071 2
8	80	79.827 2	-0.304 9	-0.483 5	-0.058 7	0.059 1	0.071 7
9	90	89.772 3	-0.356 8	-0.553 9	-0.060 2	0.049 0	0.069 5
10	100	99.784 8	-0.417 5	-0.725 5	-0.080 7	0.038 3	0.068 2

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根据表1所示的标定数据，采用基于多项式拟合的六维力传感器解耦算法进行解耦求解。因篇幅限制，本文只给出施加标准力 $F_{s x}$ 和 $F_{s y}$ 时的拟合函数和拟合图像，实施过程如下。

对x正方向施加标准力F_s_x，记录其余5个通道力/力矩的输出量 $F_{c y}$ 、 $F_{c z}$ 、 $M_{c x}$ 、 $M_{c y}$ 、 $M_{c z}$ 。根据测量结果，进行多项式曲线拟合，结果分别如图5至图9所示。各输出量 $F_{c y}$ 、 $F_{c z}$ 、 $M_{c x}$ 、 $M_{c y}$ 、 $M_{c z}$ 与F_s_x 的耦合函数分别为：

F_{c y} = \{\begin{matrix} - 0.001 84 F_{s x} - 0.000 02 F_{s x}^{2}, & F_{s x} \geq 0 \\ - 0.001 62 F_{s x} - 0.000 02 F_{s x}^{2}, & F_{s x} < 0 \end{matrix}

F_{c z} = \{\begin{matrix} 0.000 56 F_{s x} + 0.000 07 F_{s x}^{2}, & F_{s x} \geq 0 \\ 0.006 12 F_{s x} + 0.000 12 F_{s x}^{2}, & F_{s x} < 0 \end{matrix}

M_{c x} = \{\begin{array}{l} 0.000 452 10 F_{s x} + 0.000 003 F_{s x}^{2}, & F_{s x} \geq 0 \\ 0.000 787 F_{s x} + 0.000 002 F_{s x}^{2}, & F_{s x} < 0 \end{array}

M_{c y} = \{\begin{array}{l} 0.001 870 F_{s x} + 0.000 015 F_{s x}^{2}, & F_{s x} \geq 0 \\ 0.001 613 0 F_{s x} + 0.000 000 9 F_{s x}^{2}, & F_{s x} < 0 \end{array}

M_{c z} = \{\begin{array}{l} 0.001 910 F_{s x} - 0.000 013 F_{s x}^{2}, & F_{s x} \geq 0 \\ - 0.000 710 F_{s x} + 0.000 001 3 F_{s x}^{2}, & F_{s x} < 0 \end{array}

图5

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图5 $F_{c y}$ 与 $F_{s x}$ 的耦合关系

Fig.5 Coupling relationship between $F_{c y}$ and $F_{s x}$

图6

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图6 $F_{c z} 与 F_{s x}$ 的耦合关系

Fig.6 Coupling relationship between $F_{c z}$ and $F_{s x}$

图7

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图7 $M_{c x} 与 F_{s x}$ 的耦合关系

Fig.7 Coupling relationship between $M_{c x}$ and $F_{s x}$

图8

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图8 $M_{c y} 与 F_{s x}$ 的耦合关系

Fig.8 Coupling relationship between $M_{c y}$ and $F_{s x}$

图9

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图9 $M_{c z} 与 F_{s x}$ 的耦合关系

Fig.9 Coupling relationship between $M_{c z}$ and $F_{s x}$

对 $y 正$ 方向施加标准力F_s_y，记录其余5个通道力/力矩的输出量 $F_{c x}$ 、 $F_{c z}$ 、 $M_{c x}$ 、 $M_{c y}$ 、 $M_{c z}$ 。根据测量结果，进行多项式曲线拟合，结果如图10至图14

图10

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图10 $F_{c x}$ 与 $F_{s y}$ 的耦合关系

Fig.10 Coupling relationship between $F_{c x}$ and $F_{s y}$

图11

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图11 $F_{c z}$ 与 $F_{s y}$ 的耦合关系

Fig.11 Coupling relationship between $F_{c z}$ and $F_{s y}$

图12

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图12 $M_{c x}$ 与 $F_{s y}$ 的耦合关系

Fig.12 Coupling relationship between $M_{c x}$ and $F_{s y}$

图13

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图13 $M_{c y}$ 与 $F_{s y}$ 的耦合关系

Fig.13 Coupling relationship between $M_{c y}$ and $F_{s y}$

图14

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图14 $M_{c z}$ 与 $F_{s y}$ 的耦合关系

Fig.14 Coupling relationship between $M_{c z}$ and $F_{s y}$

所示。各输出量 $F_{c x}$ 、 $F_{c z}$ 、 $M_{c x}$ 、 $M_{c y}$ 、 $M_{c z}$ 与F_s_y 的耦合函数分别为：

F_{c x} = \{\begin{array}{l} - 0.002 690 0 F_{s y} - 0.000 004 7 F_{s y}^{2}, & F_{s y} \geq 0 \\ 0.002 060 F_{s y} + 0.000 016 F_{s y}^{2}, & F_{s y} < 0 \end{array}

F_{c z} = \{\begin{array}{l} 0.000 56 F_{s y} - 0.000 093 F_{s y}^{2}, & F_{s y} \geq 0 \\ - 0.011 780 F_{s y} - 0.000 207 F_{s y}^{2}, & F_{s y} < 0 \end{array}

M_{c x} = \{\begin{matrix} - 0.001 240 F_{s y} + 0.000 021 F_{s y}^{2}, & F_{s y} \geq 0 \\ - 0.002 570 F_{s y} - 0.000 021 F_{s y}^{2}, & F_{s y} < 0 \end{matrix}

M_{c y} = \{\begin{matrix} \begin{array}{l} - 0.002 54 F_{s y} + 0.000 052 3 F_{s y}^{2} + \\ 0.000 000 33 F_{s y}^{3}, F_{s y} \geq 0 \end{array} \\ 0.000 054 8 F_{s y} - 0.000 006 3 F_{s y}^{2}, F_{s y} < 0 \end{matrix}

M_{c z} = \{\begin{matrix} \begin{array}{l} - 0.002 54 F_{s y} + 0.000 052 3 F_{s y}^{2} + \\ 0.000 000 33 F_{s y}^{3}, F_{s y} \geq 0 \end{array} \\ \begin{array}{l} 0.000 585 F_{s y} - 0.000 002 7 F_{s y}^{2} + \\ 0.000 000 000 49 F_{s y}^{3}, F_{s y} < 0 \end{array} \end{matrix}

4 基于不同解耦算法的六维力传感器误差分析

为了确定基于多项式拟合的六维力传感器解耦算法的优劣程度，根据上述解耦结果建立误差矩阵，以进行精度评价。本文主要针对线性度误差和最大耦合误差展开分析。

分别将式(7)、式(11)对应的矩阵形式与式(4)相减并对各元素取绝对值，可得：

Δ L_{1} = {[Δ L_{F x 1} Δ L_{F y 1} Δ L_{F z 1} Δ L_{M x 1} Δ L_{M y 1} Δ L_{M z 1}]}^{T}

Δ L_{2} = {[Δ L_{F x 2} Δ L_{F y 2} Δ L_{F z 2} Δ L_{M x 2} Δ L_{M y 2} Δ L_{M z 2}]}^{T}

式(12)和式(13)即为基于2种解耦算法的六维力传感器检测力与实际施加力的偏差，即线性度误差；将各方向力的最大偏差与该方向力最大量程之比作为各方向的最大耦合误差。以 $施加 F_{s x}$ 为例，最大耦合误差用矩阵形式可表示为：

\begin{array}{l} E_{L} = [\frac{m a x (Δ L_{F x})}{F_{x M}} \frac{m a x (Δ L_{F y})}{F_{y M}} \frac{m a x (Δ L_{F z})}{F_{z M}} \\ \frac{m a x (Δ L_{M x})}{M_{x M}} \frac{m a x (Δ L_{M y})}{M_{y M}} {\frac{m a x (Δ L_{M z})}{M_{z M}}]}^{T} \end{array}

式中： $m a x ()$ 为取最大值的函数； $F_{x M} 、 F_{y M} 、 \dots 、$ $M_{z M}$ 为各方向力/力矩的满量程值。

经计算，线性解耦算法的误差矩阵 $E_{L 1}$ 为：

E_{L 1} = [\begin{matrix} 0.041 7 & 0.008 3 & 0.250 9 & 0.082 0 & 0.072 5 & 0.063 6 \\ 0.039 4 & 0.092 5 & 0.047 1 & 0.004 8 & 0.159 9 & 0.127 2 \\ 0.121 5 & 0.022 3 & 0.309 5 & 0.446 5 & 0.475 4 & 0.986 7 \\ 0.005 5 & 0.041 0 & 0.032 8 & 0.011 4 & 0.054 6 & 0.006 1 \\ 0.014 5 & 0.024 3 & 0.011 9 & 0.006 8 & 0.008 4 & 0.001 1 \\ 0.014 6 & 0.010 7 & 0.006 9 & 0.031 3 & 0.027 2 & 0.022 6 \end{matrix}]

基于多项式拟合的解耦算法的误差矩阵 $E_{L 2}$ 为：

E_{L 2} = [\begin{matrix} 0.040 3 & 0.013 4 & 0.001 0 & 0.011 3 & 0.010 2 & 0.002 3 \\ 0.018 7 & 0.090 4 & 0.005 1 & 0.000 7 & 0.047 2 & 0.009 4 \\ 0.095 3 & 0.010 9 & 0.298 4 & 0.001 8 & 0.041 0 & 0.045 3 \\ 0.005 0 & 0.005 5 & 0.000 9 & 0.010 8 & 0.007 9 & 0.001 5 \\ 0.005 9 & 0.000 3 & 0.001 3 & 0.000 5 & 0.007 6 & 0.003 1 \\ 0.004 2 & 0.000 8 & 0.000 4 & 0.001 2 & 0.002 5 & 0.018 9 \end{matrix}]

2种解耦算法的误差分析结果如表2所示。对比表2中的各组数据可知，由于正交并联六维力传感器的线性度误差较小，因此2种解耦方法均具有良好的解耦性能，即解耦算法对线性度误差的影响较小（2种算法对应的线性度误差最大仅相差0.111个百分点）。此外，相较于线性解耦，多项式拟合解耦使六维力传感器各方向的最大耦合误差显著减小，尤其是F_z，减小了8.914个百分点。综合来看，基于多项式拟合的解耦算法更能抑制六维力传感器耦合误差的影响，有效地提高了其精度。

表2 不同解耦算法的误差分析结果对比 (%)

Table 2 Comparison of error analysis results of different decoupling algorithms

解耦方法	误差	$F_{x}$	$F_{y}$	$F_{z}$	$M_{x}$	$M_{y}$	$M_{z}$
线性解耦	线性度误差	0.417	0.925	3.095	0.144	0.084	0.226
线性解耦	最大耦合误差	2.509	1.599	9.867	0.546	0.243	0.313
多项式拟合解耦	线性度误差	0.403	0.904	2.984	0.108	0.076	0.189
多项式拟合解耦	最大耦合误差	1.340	0.472	0.953	0.055	0.059	0.042

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5 结论

本文首先分析了六维力传感器耦合误差的产生原因，并得到了其耦合模型；然后研究了六维力传感器的线性解耦算法，并在此基础上提出了基于多项式拟合的解耦算法；最后对正交并联六维力传感器进行标定实验，并分别用2种解耦算法进行求解。结果表明：基于多项式拟合的解耦算法更能减小六维力传感器自身的耦合误差，有效提高了其精度并解决了零点漂移所带来的影响。

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... 现阶段，六维力传感器的结构主要分为一体式和并联式.一体式六维力传感器由金属材料经一次加工形成，通过布置在空间内不同方位的应变片组合来确定六维外力.一体式六维力传感器的结构形式有多种^[9-13]，其中十字梁结构的六维力传感器（见图1）最为常用.但是，由于一体式六维力传感器的结构具有整体性，当对其某一方向施加外力时，会引起其他方向力的耦合，即形成维间耦合误差，无法实现完全解耦.并联式六维力传感器采用球铰连接的方式，其测力分支可看作只承受轴向力的二力杆.由机构的静力学分析可知，当将外力施加到并联式六维力传感器上时，其测量分支上的敏感元件之间不存在应力耦合，巧妙地实现了结构解耦.但在实际应用中，完全理想的球铰不易实现，通常采用传统球副代替，但传统球副存在加工误差、理论间隙和摩擦转矩等，导致并联式六维力传感器也存在维间耦合.此外，并联式六维力传感器的自身结构也是引起维间耦合的重要因素.如图2所示的Stewart并联结构六维力传感器，其所受的任何方向的力或力矩均由6个测力分支测得，当所受外力为单方向时，6个测力分支均只承受轴向力.结合一阶静力学矩阵可知，该六维力传感器在所有方向上均存在测量值，即自身结构造成了耦合误差. ...

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... 线性解耦算法是最常见的六维力传感器解耦算法，其实现前提为：1）假定六维力传感器系统为线性系统；2）六维力传感器所受的广义外力必须可分解为3个方向上的力/力矩分量；3）六维力传感器输出的电压信号可以相互累加.线性解耦算法的工作原理为：通过对输入量和输出量进行线性拟合，进而得到标定矩阵^[14-15].采用矩阵形式可表示为： ...

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... 以提高六维力传感器的精度为目的，提出了基于多项式拟合的解耦算法.为了消除六维力传感器工作时零值点不为0的现象对其精度的影响^[16]，通过调控将其空载状态下的输出值设为0.此时，耦合矩阵

H

中每一行耦合函数的相加输出值为0，即可认为任意耦合函数的表达式为： ...

〈

〉