近年来，纯电动汽车的快速发展推动了汽车制动系统技术的革新. 相较于传统的液压制动系统，线控制动系统，特别是电子机械制动(electromechanical brake, EMB)系统，凭借结构紧凑、响应迅速的优势，逐渐成为研究热点^[1-2]. 与传统的液压制动相比，EMB通过电机直接驱动卡钳，实现了对每个车轮的独立、精确控制^[3]，提高了车辆的稳定性、操控性和安全性. EMB系统的全电控特性使其对故障更敏感. 相较于传统液压制动系统冗余的液压备份，EMB故障可能导致制动性能严重下降^[4-5]. 提升EMB系统的容错性，是保障车辆行驶安全的重要课题，也是当前研究的热点之一. 针对单轮制动失效，Park等^[6]提出基于Karush-Kuhn-Tucker 条件优化设计方法和拉格朗日乘子进行制动力重构的方法. Zhou等^[7]引入故障因子衡量制动失效程度并对制动力进行重构，使用滑模控制器控制车辆横摆力矩. Zhang等^[8]提出内层基于模型预测控制，外层基于模糊控制的双层控制器. Tang等^[9]设计基于规则的扭矩重建控制器和基于高增益反馈鲁棒控制算法的前轮转角控制器，分别控制车辆纵向和横向的加速度. 基于弯道失效工况，陈佳瑶等^[10]使用滑模控制器计算车辆所需的横摆力矩，基于弯道制动时的动力学特征使用序列二次规划法分配制动力. 孙丽琴等^[4]通过滑模控制器计算维持车辆稳定所需的前轮转角，通过规则对制动力进行重构. Ito等^[11]通过广播控制，将架构从常规集中控制转变为自主分布式控制制动力和驱动力，当出现单轮或双轮失效时，车辆通过其他车轮的自主分布式行为来保持性能.

以上研究大多考虑直线制动下的单轮失效工况，未考虑路面状况对制动的影响. 在多轮失效的情况下，完全通过直接横摆力矩控制前轮转角难以满足系统的实时性. 由于3个及3个以上车轮发生制动失效的概率很小，且当车辆只有一个车轮正常制动时，制动力几乎完全损失，研究3个或者3个以上车轮制动失效的意义不大^[12]. 本文提出针对EMB系统失效的弯道制动车辆稳定性控制策略，主要内容如下.

(1) 单轮失效时，通过设计改进的线性二次调节器，使调节器能够根据不同的工况调整Q矩阵和R矩阵，提高算法的准确性. 在综合弯道制动下，合理分配制动力.

(2) 双轮失效时，设计基于模糊控制的前轮预瞄纯跟踪算法，提高该算法的响应速度，使算法可以更快地跟踪目标轨迹，引导车辆沿着目标轨迹行驶直至停下.

当车辆进行稳态转向时，车辆的操纵特性可以用线性二自由度车辆模型来近似描述^[13]. 选取经典的线性二自由度单轨车辆模型作为参考模型，如图1所示.

(1)$ \left. \begin{gathered} \dot \beta = \frac{{{k_{\text{f}}}+{k_{\text{r}}}}}{{m{v_{{x}}}}}\beta +\left( {\frac{{a{k_{\text{f}}} - b{k_{\text{r}}}}}{{mv_{{x}}^2}} - 1} \right)\gamma - \frac{{{k_{\text{f}}}}}{{m{v_{{x}}}}}{\delta _{\text{f}}}, \\ \dot \gamma = \frac{{a{k_{\text{f}}} - b{k_{\text{r}}}}}{{{I_{{z}}}}}\beta +\frac{{{a^2}{k_{\text{f}}}+{b^2}{k_{\text{r}}}}}{{{I_{{z}}}{v_{{x}}}}}\gamma - \frac{{a{k_{\text{f}}}}}{{{I_{{z}}}}}{\delta _{\text{f}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：m为整车质量，v_x为车辆质心处沿x方向上的速度， a、b分别为质心沿前、后轴的距离，I_z 为整车绕z轴的转动惯量，β为质心侧偏角，γ为横摆角速度，δ_f 为前轮转角， k_f、k_r分别为车辆前、后轴侧偏刚度.

考虑路面附着条件的限制，修正后的理想车辆横摆角速度和质心侧偏角分别为

(2)$ {\gamma _{\text{d}}} = \min \left\{ {\left| {\frac{{{v_{{x}}}}}{{\left( {1+Kv_{{x}}^{\text{2}}} \right) \left( {a+b} \right)}} {\delta _{\text{f}}}} \right|,\left| {\frac{{\mu g}}{{{v_{{x}}}}}} \right|} \right\} \cdot {{\mathrm{sgn}}} \left( {{\delta _{\text{f}}}} \right), $

(3)$\begin{split} {\beta _{\mathrm{d}}} =& \min \left\{ \left| {\frac{{b{k_{\text{r}}}+mav_{{x}}^{\text{2}}}}{{{k_{\text{f}}} \left( {a+b} \right)\left( {1+Kv_{{x}}^{\text{2}}} \right)}}} \right|,\right.\\&\left.\left| {\mu g \left( {\frac{b}{{v_{{x}}^{\text{2}}}}+\frac{{ma}}{{{k_{\text{f}}}\left( {a+b} \right)}}} \right)} \right| \right\} \cdot {{\mathrm{sgn}}} \left( {{\delta _{\text{f}}}} \right).\end{split} $

式中：μ为路面附着系数，K为稳定性因数.

为了分析车辆转弯制动时的受力情况并制订相应的制动力分配控制策略，需要建立合适的整车动力学模型. 弯道制动工况包含了车辆的转向及制动特性，选用包含车辆纵向、侧向及横摆运动的三自由度模型（见图2）. 根据牛顿运动定律，可得

(4)$ \begin{split} m({a_{{x}}} - \gamma {v_{{y}}}) =& ({F_{{{x1}}}}+{F_{{{x}}2}})\cos \;{\delta _{\text{f}}}+\\&({F_{{{y1}}}}+{F_{{{y2}}}})\sin \;{\delta _{\text{f}}}+{F_{{{x3}}}}+{F_{{{x4}}}},\end{split} $

(5)$ \begin{split} m({a_{{y}}}+\gamma {v_{{x}}}) =& ({F_{{{y1}}}}+{F_{{{y2}}}})\cos\; {\delta _{\text{f}}} -\\&({F_{{{x1}}}}+{F_{x2}})\sin \;{\delta _{\text{f}}}+{F_{{{y3}}}}+{F_{{{y4}}}}, \end{split}$

(6)$ \begin{split} {I_{{z}}}\dot \gamma =& \left( {a({F_{{{x1}}}}+{F_{{{x2}}}})+\frac{{{l_{\text{d}}}}}{2} \cdot ({F_{{{y1}}}} - {F_{{{y2}}}})} \right)\sin\; {\delta _{\text{f}}}+ \\&a({F_{{{y1}}}}+{F_{{{y2}}}})\cos \;{\delta _{\text{f}}} - b({F_{{{y3}}}}+{F_{{{y4}}}})+\\&\left( {\left( {{F_{{{x1}}}} - {F_{{{x2}}}}} \right)\cos \;{\delta _{\text{f}}}+\left( {{F_{{{x3}}}} - {F_{{{x4}}}}} \right)} \right){l_{\mathrm{d}}}/2. \end{split} $

式中：v_y为车辆质心处沿y方向上的速度，a_x、a_y分别为车辆的纵向/侧向加速度，F_xi、F_yi分别为轮胎纵向力和侧向力，i= 1、2、3、4分别表示左前轮、右前轮、左后轮及右后轮，l_d为车辆轮距.

对整车轮胎的建模采用的是Dugoff模型（见图3）. 该模型只关注滑动率和刚度，无须考虑车轮的径向变形、横摆角、轮速.

对单个轮胎进行受力分析，在坐标系下经过受力分解，得到纵向力F_xi与侧向力F_yi（i表示不同车轮）的表达式如下：

(7)$ {F_{{{x}}i}} = \mu {F_{{{z}}i}}{C_{{x}}} \frac{\lambda }{{1 - \lambda }} f\left( L \right), $

(8)$ {F_{{{y}}i}} = \mu {F_{{{z}}i}}{C_{{y}}} \frac{{\tan\; \alpha }}{{1 - \lambda }}f\left( L \right). $

式中：λ为滑移率，F_z为车轮垂向载荷，α为轮胎侧偏角，C_x、C_y分别为轮胎纵向和侧向侧偏刚度.

(9)$ f\left(L\right)=\left\{\begin{array}{l}L(2-L),L < 0;\\ 1,L\geqslant 0.\end{array} \right.$

边界值L用于描述轮胎滑移导致的非线性特性：

(10)$\begin{split} L =& \frac{1}{{2\sqrt {C_{{x}}^{\text{2}}{\lambda ^2}+C_{{y}}^{\text{2}}{{\tan }^2}\alpha } }} \cdot \left( {1 - \lambda } \right) \times \\&\left( {1 - \varepsilon {v_{{x}}} \sqrt {C_{{x}}^{\text{2}}{\lambda ^2}+C_{{y}}^{\text{2}}{{\tan }^2}\alpha } } \right). \end{split}$

式中：ε为速度影响系数.

通过归一化处理后，得到新的Dugoff轮胎模型形式：

(11)$ {F_{{{x}}i}} = \mu F_{{{x}}i}^0 = \mu {F_{{{z}}i}}{C_x}\frac{\lambda }{{1 - \lambda }} f\left( L \right), $

(12)$ {F_{{{y}}i}} = \mu F_{{{y}}i}^0 = \mu {F_{{{z}}i}}{C_{{y}}}\frac{{\tan \;\alpha }}{{1 - \lambda }} f\left( L \right). $

式中：$F_{{{x}}i}^0、F_{{{y}}i}^0$分别为轮胎在纵向和侧向受力的归一化表示. 该形式忽略了路面附着系数的影响，为参数估计的准确性提供了保障.

使用Dugoff轮胎模型，还需滑移率λ、轮胎侧偏角α和车轮垂向载荷F_z，相关的计算公式如下.

轮胎垂向载荷的计算公式为

(13)$ {F_{{{z1}}}} = {m_{\text{w}}}g+{m_{\text{b}}}g \frac{b}{{2\left( {a+b} \right)}} - {m_{\text{b}}}{a_{{x}}} \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2\left( {a+b} \right)}} - {m_{\text{b}}}{a_{{y}}} \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2{l_{\text{d}}}}}, $

(14)$ {F_{{{z2}}}} = {m_{\text{w}}}g+{m_{\text{b}}}g \frac{b}{{2\left( {a+b} \right)}} - {m_{\text{b}}}{a_{{x}}} \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2\left( {a+b} \right)}}+{m_{\text{b}}}{a_{{y}}} \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2{l_{\text{d}}}}}, $

(15)$ {F_{{{z3}}}} = {m_{\text{w}}}g+{m_{\text{b}}}g \frac{a}{{2\left( {a+b} \right)}}+{m_{\text{b}}}{a_{{x}}} \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2\left( {a+b} \right)}} - {m_{\text{b}}}g \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2{l_{\text{d}}}}}, $

(16)$ {F_{{{z4}}}} = {m_{\text{w}}}g+{m_{\text{b}}}g \frac{a}{{2\left( {a+b} \right)}}+{m_{\text{b}}}{a_{{x}}} \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2\left( {a+b} \right)}}+{m_{\text{b}}}g \frac{{{h_{\text{g}}}}}{{2{l_{\text{d}}}}}. $

式中：m_w 为轮胎质量，m_b 为车身质量，h_g为车辆质心距地面的高度.

轮胎侧偏角的计算公式为

(17)$ {\alpha _1} = - \left( {{\delta _{\text{f}}} - \arctan \frac{{{u_{{{y1}}}}}}{{{u_{{{x1}}}}}}} \right), $

(18)$ {\alpha _2} = - \left( {{\delta _{\text{f}}} - \arctan \frac{{{u_{{{y2}}}}}}{{{u_{{{x2}}}}}}} \right), $

(19)$ {\alpha _3} = \arctan \frac{{{u_{{{y3}}}}}}{{{u_{{{x3}}}}}}, $

(20)$ {\alpha _4} = \arctan \frac{{{u_{{{y4}}}}}}{{{u_{{{x4}}}}}}. $

式中：u_x、u_y分别为轮心的纵向、侧向速度.

EMB系统失效的情况多种多样，本文假设的失效形式为执行器完全失效，即无法提供任何制动力，且失效可以被立即检测.

以左转中的左前轮制动失效为例，如图4所示，由于失去了F_x1的限制，车辆会存在向右转动的趋势，此时会发生转向不足. EMB系统的固有冗余可以补偿部分制动力^[12]，为了维持车辆稳定，须对车辆产生的横摆力矩进行抑制. 设计相应的控制器对车轮进行控制.

在上层结构的横摆力矩计算中，PID控制、滑模控制、线性二次调节器(linear quadratic regulator, LQR)和模型预测控制较常用. PID控制过于依赖经验，滑模控制的抖振会破坏系统稳定且难以抑制，模型预测控制虽然较准确但运算量过大，会对系统的时效性造成影响^[14–18]. 选择LQR作为计算车辆附加横摆力矩的方法.

(21)$ J = \int_0^\infty {\left( {\Delta {{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Q}}\Delta {\boldsymbol{x}}+\Delta {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{R}}\Delta {\boldsymbol{u}}} \right){\mathrm{d}}t} {\text{.}} $

式中：Q、R为偏差系统的权重矩阵，Q为对称正定（或半正定）矩阵，R为对称正定矩阵. 系统的状态量分别为质心侧偏角偏差量$\Delta \beta $和横摆角速度偏差量$\Delta \gamma $. 系统的控制量为车辆稳定横摆力矩$\Delta M$. 在传统的LQR方法中，Q和R矩阵是根据经验制定且无法实时更新，无法满足复杂路况下的控制需求^[19]. 针对这一问题，制定基于改进黏菌算法的权重优化策略.

考虑到车辆稳定性控制的物理意义，将Q矩阵定义为对角矩阵，对角线上的元素分别为q₁、q₂；R矩阵定义为一维矩阵，即R = [r]. 引入系数$ {w}_{\beta }\left(0\leqslant {w}_{\beta}\leqslant 1.0\right) $来描述车辆质心侧偏角误差对车辆稳定性控制的权重^[20].

(22)$ {w_{\beta}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{\left| \beta \right|}}{{\mu {\beta _0}}} ,\quad \left| \beta \right| < \mu {\beta _0}; \\ {\text{ }}1 ,\quad\quad {\text{其他}}{\text{.}} \\ \end{gathered} \right. $

式中：β₀为参考值. 令$ {q}_{1}=q，{q}_{2}=q \left(1-{w}_{\beta }\right) $，此时LQR的目标函数可以表示为

(23)$ J = \frac{q}{2} \cdot \int\limits_0^\infty {\left( {{w_{\beta }} \Delta {\beta ^2}\left( t \right)+\left( {1 - {w_{\beta}}} \right) \Delta {\gamma ^2}\left( t \right)+r \Delta M} \right)} {\mathrm{d}}t. $

黏菌优化算法(SMA)基于黏菌觅食的行为. 黏菌主要依靠生物振荡器产生的传播波来改变静脉内的细胞质流动，使其倾向于处于较好的食物富集位置，从而达到寻优效果. 相较于其他群体智能优化算法具有参数少、收敛速度快的特点^[21]，但黏菌优化算法的结果依赖于初始解且容易陷入局部最优，容易造成SMA的求解精度下降^[22-23]. 为了解决以上问题，提出如下改进.

在黏菌算法的搜索过程中，个体位置在寻优和跳出局部最优的过程中起着至关重要的作用. 在每次迭代中，使用高斯扰动确定黏菌个体位置并进行贪婪选择.

(24)$ \left. \begin{gathered} {{\boldsymbol{X}}_{\mathrm{b}}}(t+1) = \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{X}}_{{\text{b2}}}}\left( t \right) ,f\left( {{{\boldsymbol{X}}_{{\text{b2}}}}\left( t \right)} \right) < f\left( {{{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right)} \right); \\ {{{{\boldsymbol{X}}}}_{\text{b}}}\left( t \right) ,{\text{其他}}{\text{.}} \\ \end{gathered} \right. \\ {{\boldsymbol{X}}_{{\text{b2}}}}(t) = {{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right) \left( {1+G} \right). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：t为迭代次数，X_b为最优黏菌个体位置，X_b2为对最优黏菌个体位置进行高斯扰动后的新位置，G为(0,1.0)的满足高斯分布的随机数.

在种群位置更新阶段，为了平衡黏菌个体当下最优位置和随机位置的分布，将种群位置更新阶段按照最大迭代次数t_max分为以下3个阶段.

第1阶段($ t\leqslant {t}_{\mathrm{max}}/3 $)由最优个体和2个随机个体的位置引导黏菌，即

(25)$ {\boldsymbol{X}}\left( {t+1} \right) = {{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right)+{v_{\text{c}}}\left( {{\boldsymbol{W}} {{\boldsymbol{X}}_{\text{A}}}\left( t \right) - {{\boldsymbol{X}}_{\text{B}}}\left( t \right)} \right). $

式中：X_b为加入高斯扰动后的最优黏菌个体位置，v_c为反馈因子，W为黏菌的权重系数，X_A和X_B为黏菌群体中随机选取的2个个体的位置.

第2阶段($t \in \left( {{{{t_{\max }}}}/{3},{{2{t_{\max }}}}/{3}} \right)$)须保证黏菌向最优位置接近的同时有跳出局部最优的能力，以避免算法过早收敛. 最优个体位置和随机个体位置通过交互产生新的位置，引导个体更新位置. 位置更新公式如下：

(26)$ \left. \begin{gathered} {\boldsymbol{X}}\left( {t+1} \right) = \left( {1 - {v_{\text{c}}}} \right){{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right)+{v_{\text{c}}}\left( {{\boldsymbol{W}} {{\boldsymbol{S}}_{\text{1}}}\left( t \right) - {{\boldsymbol{S}}_{\text{2}}}\left( t \right)} \right), \\ {{\boldsymbol{S}}_1}\left( t \right) = {v_{\text{b}}}{{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right)+\left( {1 - {v_{\text{b}}}} \right){{\boldsymbol{X}}_{\text{A}}}\left( t \right), \\ {{\boldsymbol{S}}_2}\left( t \right) = {v_{\text{b}}}{{\boldsymbol{X}}_{\text{B}}}\left( t \right)+\left( {1 - {v_{\text{b}}}} \right){{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：v_b为(${{ - }}\arctan \left( { - \left( {t/{t_{\max }}} \right)+1} \right)$，$\arctan \left( { - \left( {t/{t_{\max }}} \right)+1} \right)$)的随机数.

第3阶段($ t\geqslant 2{t}_{\mathrm{max}}/3 $)时，大部分黏菌个体已经处于最优位置附近，位置更新由最优位置和黏菌自身位置共同指导. 位置更新公式如下：

(27)$ {\boldsymbol{X}}\left( {t+1} \right) = (1 - {v_{\text{c}}}){{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right)+{v_{\text{c}}}\left( {{\boldsymbol{W}} {{\boldsymbol{X}}_{\text{b}}}\left( t \right) - {\boldsymbol{X}}\left( t \right)} \right). $

v_c用来描述食物浓度与黏菌质量之间的反馈关系，v_c从1.0线性下降到0. 这种线性下降的反馈因子不能准确地描述实际情况下质量和浓度之间的反馈关系，导致算法出现收敛速度慢的问题. 引入可调节的反馈因子：在算法迭代前期，黏菌个体大范围感受食物浓度，此时食物浓度低，应该加快反馈因子的下降速度，减弱反馈关系，有利于提高算法的全局搜索能力；在算法迭代后期，食物浓度高，此时应该保持较平稳的反馈系数，有利于个体局部探索最高的食物浓度(最优解). 公式如下：

(28)$ {v_{\text{c}}} = {\left[ {\frac{{{{\mathrm{exp}}\;({{({{t_{\max }} - t})}/{{{t_{\max }}}}})} - 1}}{{e - 1}}} \right]^k}. $

式中：k为调节因子. k与v_c的关系如图5所示. 可以看出，k越大，v_c的下降速度越快. 在实际应用中，k既不能过大，也不能过小. k过大会导致算法前期收敛过快而陷入局部极小值点； k太小则不能体现反馈因子在平衡算法搜索能力上的优势，使得算法的收敛速度变慢. 为了平衡算法的搜索能力和收敛速度，通过实验分析，选取k =2较合适.

为了确保制动过程中的车辆稳定性，选择将质心侧偏角和横摆角速度进行标准化处理后的累加值作为改进SMA中的评价函数：

(29)$ {F_{{\mathrm{SMA}}}} = \sum\limits_{}^T { {\left[ {\left( {\frac{{{\beta _j} - {{\bar \beta }_j}}}{{{\sigma _\beta }}}} \right)+\left( {\frac{{{\omega _j} - {{\bar \omega }_j}}}{{{\sigma _\omega }}}} \right)} \right]} } {\text{.}} $

式中：T为采样时间，β_j和ω_j分别为j时刻下的质心侧偏角和横摆角速度，${\bar \beta _j}$和$ {\bar \omega _j} $分别为与之对应的采样时间内的均值，σ_β和σ_ω分别为与之对应的采样时间内的标准差. 当达到最大迭代次数或认为种群个体适应度无变化时，优化算法中止.

为了提高车辆的稳定性，使车轮产生的制动力和横摆力矩达到最大，考虑轮胎的附着椭圆^[24]与路面状况，建立弯道单轮制动失效时的目标函数如下：

(30)$ \begin{split} \min H =& \min \left[ {{{\left( {m \cdot {z_{\text{b}}}g - {{\boldsymbol{F}}_{{x}}} {{\boldsymbol{K}}_{{\text{fail}}}} {{\boldsymbol{C}}_{{1}}}} \right)}^2}+\chi \cdot \Delta M - } \right. \\ &\left. { \frac{{{l_{\text{d}}}}}{2}\left( {{{\boldsymbol{F}}_{{x}}} {{\boldsymbol{K}}_{{\text{fail}}}} {{\boldsymbol{C}}_{\text{2}}}} \right)} \right];\,\,\,\,\,\, {2 < {\text{tr}}\;({{\boldsymbol{K}}_{{\text{fail}}}}) < 4} .\end{split} $

式中：z_b为制动强度，

${{\boldsymbol{F}}_{{x}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{{{x1}}}}},&{{F_{{{x}}2}}},&{{F_{{{x}}3}}},&{{F_{{{x}}4}}} \end{array}} \right] ，$

$ {{\boldsymbol{C}}_{\text{1}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\; {\delta _{\text{f}}}},&{\cos\; {\delta _{\text{f}}}},&1,&1 \end{array}} \right]^{\text{T}}} , $

$ {{\boldsymbol{C}}_2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \cos \;{\delta _{\text{f}}}},&{\cos \;{\delta _{\text{f}}}},&{ - 1},&1 \end{array}} \right]^{\text{T}}} , $

$ {{\boldsymbol{K}}_{{\text{fail}}}} = {\text{diag}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{{{x}}1}}},&{{k_{{{x}}2}}},&{{k_{{{x3}}}}},&{{k_{{{x}}4}}} \end{array}} \right] . $

函数需要满足如下约束条件：

(31)$ 0 \leqslant {F_{{{x}}i}} \leqslant \sqrt {{{\left( {{\mu _i} {k_{{{x}}i}} {F_{{{z}}i}}} \right)}^2} - {{\left( {{k_{{{x}}i}} {F_{{{y}}i}}} \right)}^2}} ; \; i = 1,2,3,4. $

式中：k_xi(i = 1,2,3,4)为4个车轮的制动失效情况，当不存在失效故障时为1，发生失效故障时为0；$\chi $为用来平衡总制动力和横摆力矩的权重系数，$\chi $为车辆质心到车轮距离的倒数.

使用序列二次规划(SQP)法优化求解该目标函数^[25]，得到重构后的剩余三轮制动力. 从图4可知，若其他条件相同，则同侧的单轮制动失效造成的转动大致相同，且由于轴荷转移，前轴制动失效的危险性更大；异侧单轮制动失效间的区别更多集中在横摆力矩方向上^[4,12]，因此当其他车轮发生随机制动失效时，可以采用相同的方法计算横摆力矩. 仅在制动力分配环节调整k_xi. 单轮制动失效时的控制过程如图6所示.

EMB系统出现双轮制动失效共有3种情况：同轴轮失效，对角轮失效和同侧轮失效. 前两者对整车稳定性的影响小于同侧轮失效的情况. 由于本文进行了适当的简化，在相同的制动条件下，左、右两侧的制动失效，横摆力矩的方向相反^[12]，以左转中左侧双轮制动失效为例. 此时车辆将发生严重转向不足，且无法通过差动制动的方法抑制横摆. 设计基于模糊控制的纯跟踪算法（pure pursuit algorithm）进行路径跟踪.

纯跟踪算法是基于几何关系的路径跟踪控制算法. 该算法通过在参考路径上选取一个预瞄点，利用车辆当前位置与该预瞄点之间的几何关系，计算出车辆所需的转向角，从而使车辆渐进逼近并跟踪预设路径^[26-27]. 由于假设车辆在路面上进行稳态转向，预设路径可以通过失效前的方向盘转角获得.

传统的纯跟踪算法采用后轴跟踪，该方法虽然简化了计算量，但因为它依赖于前轮的转向动作来间接引导后轮的行驶路径，在面对路径变化时响应滞后. 为了满足车辆在动态环境下对快速响应的需求，将路径跟踪控制点前移至前轴，以缩短车辆的控制响应时间，提高车辆在复杂路况下的机动性和适应性. 根据简化的车辆运动学模型和图7的几何关系，可得

(32)$ {\delta _{\text{f}}} = \arctan \frac{{2(a+b)\sin \varPhi }}{{{L_{\text{p}}}+2(a+b)\cos \varPhi }} . $

式中：$ \varPhi = \arctan\; [({{{P_{{y}}} - {A_{{y}}}}})/({{{P_{{x}}} - {A_{{x}}}}})] - \varphi $，其中，A_x、A_y分别为前轮的x、y坐标，P_x、P_y分别为预瞄点的x、y坐标；预瞄距离$ {L_{\text{p}}} = {k_{\text{p}}} v+{L_{{\text{fc}}}} $，其中k_p为预瞄距离系数，L_fc为预设距离，根据文献[28]确定为3 m.

式(32)中的L_p仅考虑了车速的影响，忽略了横向误差e_y和航向误差e_φ的影响. 当车辆存在较大偏差时，为了减小超调并提高系统稳定性，须适当增大预瞄距离. 横向误差、航向误差与预瞄距离之间无明确的几何关系. 为了解决上述问题，引入自适应模糊控制器，对预瞄距离系数进行动态调整^[29]. 为了便于实现，采用解析式的形式，对该模糊控制器进行描述：

(33)$ {k_{\text{p}}} = \lambda _{\textit{μ }}^{ - 1} \left[ {{\lambda _{{y}}}\left( {S - \left| {{E_{{y}}}} \right|} \right)+\left( {1 - {\lambda _{{y}}}} \right) \left( {S - \left| {{E_{{\varphi }}}} \right|} \right)} \right]. $

式中：[ ]表示向下取整运算函数，E_y和E_φ分别为横向和航向误差的模糊变量，S为模糊控制系统论域调整设定值，λ_μ和λ_y为模糊控制规则的自调整函数.

在纯跟踪算法中，当横向误差较大时，需要在决策中增大横向误差的权重，以保证车辆快速跟踪到目标路径；航向误差同理. 将自调整函数选为

(34)$ {\lambda _y} = 0.85 \times {\left( {{{\left| y \right|}}/{{{E_{\max }}}}} \right)^p}+0.1 . $

式中：E_max为最大误差的设定值，其值大于|y|的最大值；p为自调整函数的幂次. 为了保证横向误差的权重，选择幂次p < 1.

路面情况会影响预瞄距离的选择，当路面条件较差时，可以通过适当增大预瞄距离，避免系统相应超调. 选定路面自调整函数为

(35)$ {\lambda _{\textit{μ }}} = \frac{{20}}{{1+{\exp\;({ - 3\mu })}}} . $

将横向误差e_y和航向误差e_φ作为模糊自适应控制的输入变量，e_y的基本论域为(−500,500)，e_φ的基本论域为(−100,100)，论域为[−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]，量化因子分别为0.01和0.05. 预瞄距离系数k_p为输出变量.

综上，提出的基于模糊控制的前轮预瞄纯跟踪算法的工作流程如图8所示.

由于此时已无法通过调节制动力维持车身稳定，可以直接将制动力调整为当前工况下可达到的最大值，即当tr (K_fail) ≤ 2时，

(36)$ {F_{{{x}}i}} = \sqrt {{{\left( {{\mu _i} {k_{{{x}}i}} {F_{{{z}}i}}} \right)}^2} - {{\left( {{k_{{{x}}i}} {F_{{{y}}i}}} \right)}^2}} (i = 1,2,3,4). $

基于D2P快速原型搭建硬件在环仿真系统，在实际的控制器中验证弯道制动工况下单双轮失效下的稳定性控制策略. 硬件在环试验的总体构架如图9所示. 车辆参数如表1所示. 改进SMA算法的参数如下：最大迭代次数为500，搜索上下界为[0, 1000], z = 0.03.

为了模拟车辆在不同失效情况下进行制动的工况，设置试验工况如下.

1）当单轮失效时，分别在μ = 0.85和0.2的路面条件下，车辆以60 km/h的初速度在半径为100 m和50 m的弯道内逆时针行驶并进行制动，期望制动强度为0.7g，完全停止时停止仿真试验.

2）当双轮失效时，分别在μ = 0.85和0.2的路面条件下，车辆以40 km/h的初速度在半径为100 m和50 m的弯道内逆时针行驶并进行制动，完全停止时停止仿真试验.

如图10所示为单轮失效下的试验结果，为了验证单轮失效下的有效性，选择与传统的PID控制器进行对比，参数值分别为${k_{\mathrm{p}}} = 120$，${k_{\mathrm{i}}} = 5$，${k_{\mathrm{d}}} = 16$. 图10中，LaD为车辆跑偏的距离. 在不进行控制时，车辆出现了明显的失稳和跑偏，在较急的弯道中发生了失控. 在加入所提的控制策略后，由于进行了制动力的重构，车辆的失稳得到了有效的抑制. 当在较缓的弯道进行制动时，车辆的质心侧偏角小于1°，1 s内横摆角速度的最大变化量从传统方法下的4°/s下降至2°/s. 当在较急的弯道进行制动时，1 s内横摆角速度的最大变化量从6°/s下降至3°/s，有效地避免了车辆在弯道制动过程中出现甩尾失控的情况. 该控制策略有效控制了车辆跑偏，由于EMB系统本身存在一定的响应时间及控制策略自身的滞后性，车辆出现了一定的跑偏，但在随后的制动过程中该控制策略可以使车辆的横向偏差保持在安全范围（< 1.5 m）内.

如图11所示为左侧双轮失效下的试验结果，为了验证方法的有效性，选择与未改进的纯跟踪算法进行对比. 当无控制时，车辆出现严重转向不足，而后完全失控的情况，在较急的弯道中进行制动时情况更严重，也更难控制. 在引入本文所提的控制策略对失效纠正后，质心侧偏角小于2°. 当在较缓的弯道内进行制动时，1 s内的横摆角速度的最大变化量小于2°/s，横向偏差的最大值小于1.5 m. 当在较急的弯道内进行制动时，1 s内的横摆角速度的最大变化量小于5°/s，横向偏差的最大值小于2 m，有效避免了车辆出现失稳、跑偏甚至失控的情况，也避免了控制超调的情况. 该控制策略可以令车辆沿预设轨迹稳定前进直至安全停下，很大程度上提高了同侧双轮制动失效这一紧急情况下的安全性.

针对弯道制动过程中可能发生的单轮和双轮失效2种工况，分别设计相应的控制策略. 针对单轮失效，通过优化分配四轮制动力矩，有效抑制了车辆的横向偏移. 针对双轮失效，采用路径跟踪控制策略，确保车辆能够沿着预设路径稳定行驶. 试验结果表明，所提出的控制策略显著提高了车辆在极端工况下的稳定性，为提升车辆的主动安全性提供了新的技术途径. 未来的研究将进一步考虑速度更高时的制动失效情况.