液压机械臂采用集中式驱动方式，多执行器运动节流损失大，能量优化尤为重要^[1]. 液压机械臂的能量优化包括降低液压系统能耗^[2]和减少运动所需能量. 现有研究大多围绕前者展开. 针对后者，可利用液压机械臂多关节具备的冗余特性（即末端处于同一位置，而机械臂位姿并不相同），在相同末端轨迹时降低负载能耗^[3]. 现有冗余分解方法针对电驱动的工业机器人设计，使其末端在沿预设轨迹运动的同时实现额外目标^[4-7]. Peng等^[8]设计的时间−能量−脉动优化的轨迹规划方法，采用非支配邻域免疫遗传算法优化机械臂的多个目标函数，得到各关节运动参数最优的规划曲线. 徐帷等^[9]采用强化学习方法实现目标跟踪及避障的自主路径规划. 为了最小化机械臂的能量消耗，Yokose^[10]提出结合辐射法与遗传算法的最优冗余分解方法. Yin等^[11]提出基于机器学习的机器人轨迹规划方法以逼近能量消耗最优的轨迹. Ferrentino等^[12]从拓扑角度研究基于运动可行性、平滑性指标的冗余分解，提出基于状态空间离散化的动态寻优冗余分解. 为了避免机械臂与障碍物间的交集，Gong等^[13]在多解空间中寻找子空间，得到避免超过关节极限的冗余分解. Hoang等^[14-15]采用梯度投影法实现加速度层面冗余分解，降低静态扭矩，使得扭矩产生的局部加速度减小. 梯度投影法计算量较小，已被广泛用于降低冗余机械臂的能耗^[4,14].

液压机械臂采用集中式驱动方式，多个关节由液压泵供油，其能耗特性与分布式独立控制的电驱动机械臂存在显著差异，直接应用传统冗余分解方法难以获得液压机械臂的能量最优解. 考虑液压驱动特性，Beiner等^[16]提出在梯度投影法基础上，以缸速范数最小作为优化准则，获得了良好的节能特性. 缸速范数最小是求解缸速的平方和最小，而非直接描述液压系统能耗的流量、压力目标，导致其能耗最小解存在随位姿时变的偏差，且难以通过计算补偿. Nurmi等^[17-18]以液压系统能耗为优化准则，基于动态规划算法求解到了全局能量消耗最少的冗余分解. 但是，动态规划优化计算时间长（三自由度求解耗时30 min），易陷入“维数灾难”问题，不适用于实时在线运动规划. 最小缸速范数法求解结果虽为次优解，但相较梯度投影法优化效果更好，且具备动态规划算法欠缺的高计算效率. 最小缸速范数法的核心是雅可比矩阵变换. Chan等^[19-20]指出加权雅可比矩阵可以调整机械臂冗余自运动，实现特定的目标优化. 刘志忠等^[21]提出的可变加权矩阵法，简化了雅可比矩阵，提高了优化效率. 这些加权矩阵权值优化方法仅针对电驱动机械臂，优化目标为各向同性位姿、操作度最大^[22]，未涉及能量优化.

本研究提出基于流量最小的冗余分解方法. 基于冗余液压机械臂的运动学模型，推导得到缸速范数最小的冗余分解； 在缸速范数最小的基础条件下，采用优化加权矩阵权重的方法，进一步调整液压缸缸速分配关系，搜索直接决定液压机械臂能耗的系统流量最小值；在不同末端轨迹下开展试验验证.

冗余液压机械臂在末端位置相同的情况下有不同的自运动流形，使得机械臂冗余分解的耗能存在优化空间. 不同于工程机械，液压机械臂对运动精度控制和响应特性要求极高，一般采用恒压伺服系统驱动. 本研究以系统的流量消耗来评价液压机械臂能耗，设定液压机械臂末端执行器的运动轨迹，并将轨迹离散化以便进行算法优化.

确定机械臂连杆i到连杆 $i-1 $的坐标变换关系为

(1) $ {\boldsymbol{T}}_i^{i - 1} = {{\boldsymbol{R}}_{X}}\left( {{\alpha _{i - 1}}} \right){{\boldsymbol{D}}_{X}}\left( {{a_{i - 1}}} \right){{\boldsymbol{R}}_{Z}}\left( {{\theta _i}} \right){{\boldsymbol{D}}_{Z}}\left( {{d_i}} \right). $

式中： $ {\boldsymbol{R}}_{{X}}\left({{\alpha }}_{{i}{-1}}\right) $、 $ {\boldsymbol{D}}_{{X}}\left({{a}\text{}}_{{i}{-1}}\right) $、 $ {\boldsymbol{R}}_{{Z}}\left({\theta }_{{i}}\right) $、 $ {\boldsymbol{D}}_{{Z}}\left({{d}\text{}}_{{i}}\right) $分别为机械臂连杆i到连杆 $i-1 $的绕轴旋转变换、沿臂方向位移变换、绕臂旋转变换、沿轴方向位移变换.

(2) $ {{\boldsymbol{R}}_{X}}\left( {{\alpha_{i - 1}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&{{\text{cos }}{\alpha _{i - 1}}}&{ - {\text{sin }}{\alpha_{i - 1}}}&0 \\ 0&{{\text{sin }}{\alpha _{i - 1}}}&{{\text{cos }}{\alpha_{i - 1}}}&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]， $

(3) $ {{\boldsymbol{D}}_{X}}\left( {{a_{i - 1}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{{a_{i - 1}}} \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]， $

(4) $ {{\boldsymbol{R}}_{Z}}\left( {{\theta _i}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{cos }}{\theta _i}}&{ - {\text{sin }}{\theta _i}}&0&0 \\ {{\text{sin }}{\theta _i}}&{{\text{cos }}{\theta _i}}&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]， $

(5) $ {{\boldsymbol{D}}_{Z}}\left( {{d_i}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&{{d_i}} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]. $

式中： $ {{a}}_{{i}{-1}} $为机械臂第i关节和第 $ {i}{-1} $关节间沿第 $ {i}{-1} $节臂杆方向的移动距离； $ {\alpha }_{{i}{-1}} $为机械臂第i关节绕第 $ {i}{-1} $关节转轴的角度； $ {{d}}_{{i}} $为机械臂第 $ {i} $关节和第 $ {i}{-1} $关节沿转轴方向的移动距离； $ {\theta }_{{i}} $为机械臂第i关节以第 $ {i}{-1} $关节为轴转过的角度.

机械臂末端速度和关节角度的运动学关系表达式为

(6) $ {\boldsymbol{\dot x}} = {\boldsymbol{J\dot \theta }}. $

式中： $ \boldsymbol{\dot{x}} $为机械臂末端速度矢量，在笛卡尔坐标系中由各坐标轴方向的速度组成；J为i行、j列的雅可比矩阵 $ \left({i < j}\right) $， $ {\boldsymbol{\dot{\theta }}} $为关节角速度.

(7) $ {\boldsymbol{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{11}}}&{{J_{12}}}& \cdots &{{J_{1j}}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{J_{i1}}}&{{J_{i2}}}& \cdots &{{J_{ij}}} \end{array}} \right]. $

把由雅可比矩阵解算得到的关节角度空间转换到驱动空间的液压缸缸速

(8) $ {\boldsymbol{v}} = {\boldsymbol{J}}_{\text{h}}^{ - 1}{\boldsymbol{\dot x}}. $

式中：v为机械臂各关节液压缸缸速矢量， $ {\boldsymbol{J}}_{\text{h}}^{{-1}} $为把机械臂末端速度转换到驱动空间液压缸缸速的伪逆矩阵

(9) $ {\boldsymbol{J}}_{\text{h}}^{ - 1} = {\boldsymbol{J}} \times {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}, $

(10) $ {\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_1}}&{}&{}&{{\bf{0}}} \\ {}&{{r_2}}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots &{} \\ {{\bf{0}}}&{}&{}&{{r_i}} \end{array}} \right]. $

式中：i为关节序号， $ {{r}}_{{i}} $为液压缸力臂，R为关节速度转化到液压缸缸速的变换矩阵. 系统的能耗由各驱动液压缸消耗的流量决定，表达式分别有

(11) $ {Q_i} = {v_i}{A_i}， $

(12) $ E = {P_{\text{s}}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {Q_i}. $

式中： $ {{Q}}_{{i}} $为液压缸消耗的流量, $ {{v}}_{{i}} $为液压缸缸速， $ {{A}}_{{i}} $为压力作用面积， $ {{P}}_{\text{s}} $为恒压系统压力，E为冗余液压机械臂能耗.

冗余液压机械臂运动所需的流量由各个关节的运动决定，为了减小机械臂运动过程中的流量消耗，由液压机械臂的正运动学方程推导出液压缸缸速和机械臂末端速度的关系. 在缸速最小范数的基础上引入加权矩阵，通过动态优化加权矩阵权值，使机械臂瞬时流量不断减小，实现能耗最少的冗余分解目标.

对于冗余液压机械臂能量优化问题，利用液压缸驱动空间确定液压缸缸速和机械臂末端速度的关系，表达式为

(13) $ {\boldsymbol{\dot x = J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{v}}. $

为了使冗余液压机械臂液压缸速度范数最小，构造目标函数L，使用拉格朗日乘数法求解关于L的多元函数最小值.

(14) $ {\text{min }}{\left| {\left| {\boldsymbol{v}} \right|} \right|^2}. $

(15) $ L = \frac{1}{2}{\left| {\left| {\boldsymbol{v}} \right|} \right|^2}+{\boldsymbol{\lambda} ^{\text{T}}}\left( {{\boldsymbol{\dot x}} - {\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{v}}} \right). $

对速度范数 $ {||\boldsymbol{v}||}^{\text{2}} $和系数 $ {\boldsymbol{\lambda}} $求偏导，并令

(16) $ \frac{{{{\rm{d}}} {\boldsymbol{L}}}}{{{{\rm{d}}} {\boldsymbol{v}}}} = {{{{\boldsymbol{v}}}}^{\text{T}}}{{ - }}{{\boldsymbol{\lambda }}^{\text{T}}}{{{\boldsymbol{J}}}}{{{{\boldsymbol{R}}}}^{ - 1}} = {\boldsymbol{0}}. $

得到液压缸缸速v为

(17) $ {{\boldsymbol{v}}} = {\left( {{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}}{\boldsymbol{\lambda}} . $

把式（17）代入式（13）有

(18) $ \dot {\boldsymbol{x}} = {\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\left( {{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}}{\boldsymbol{\lambda}} . $

由式（18）求解 $ {\boldsymbol{\lambda }}$并代入式（17）得到

(19) $ {\boldsymbol{v}} = {\left( {{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}}{({\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\left( {{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}})^{ - 1}}{\boldsymbol{\dot x}}. $

由驱动空间液压缸缸速到末端执行器位置空间的伪逆矩阵为

(20) $ {{\boldsymbol{J}}^{\text+}} = {\left( {{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}}{({\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\left( {{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}})^{ - 1}}. $

将目标轨迹离散化成为N点，设定每两步的时间间隔为dt. 关节角度由液压缸缸速和前一步的角位移联合确定，计算式为

(21) $ {q_i} = {R_i}^{ - 1}{v_i}{{\rm{d}}} t+{q_{i - 1}}. $

引入加权矩阵W（一般为对角矩阵），并给出加权矩阵的指数形式，求解液压缸缸速的伪逆矩阵为

(22) $ {\boldsymbol{J}}_{\text{h}}^+ = {{\boldsymbol{W}}^{{\text{ − 2}}l}}{\left( {{{\boldsymbol{J}}^+}} \right)^{\text{T}}}{\left( {{{\boldsymbol{J}}^+}{{\boldsymbol{W}}^{{\text{ − 2}}l}}{{\left( {{{\boldsymbol{J}}^+}} \right)}^{\text{T}}}} \right)^{ - 1}}. $

加权矩阵的权值一般不随关节位姿变化，但是随着机械臂在运动时位姿变化，不同加权矩阵可以改变运动所需流量. 因此，动态调整加权矩阵权值，可以使机械臂在末端轨迹不变的情况下降低系统所需流量. 每个关节的角度q在第k时刻的表达式为

(23) $ {q_{i,k+1}} = {q_{i,k}}+{\dot q_{i,k}}\left( {{w_i}} \right){\text{d}}t+c\left( {{\boldsymbol{I}} - {{\boldsymbol{J}}^+}{\boldsymbol{J}}} \right) {H}. $

式中： $ {{q}}_{{i,k}\text{+1}} $为机械臂关节在k+1时刻的角度， $ {\dot{{q}}}_{{i,k}}\left({{w}}_{{i}}\right) $为k时刻关节速度，c为限位梯度函数系数， $ {H} $为关节角度限位函数. 当关节角度没有超过关节极限时，限位函数值接近0；关节角度超过限位项后，限位函数值趋于无穷大，关节限位函数曲线示例如图1所示. 图中， $ \theta $为关节角度. 以关节的流量消耗减少作为优化目标，求取其减小的方向，表达式为

(24) $ \frac{{{\rm{d}}{Q_k}}}{{{\rm{d}}{\boldsymbol{w}}}} = \frac{{{\rm{d}}f\left( {{w_i},{{\boldsymbol{J}}_{\rm{H}}}\left( {{q_k}} \right),{x_k},H\left( {{q_k}} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}{\boldsymbol{w}}}} < 0; \; {k} = {0}\text{,}\text{1}\text{,} \cdots \text{,}N-1 . $

式中：N为末端轨迹的离散个数， $ {{Q}}_{{k}} $为k时刻机械臂运动所需流量， $ {{w}}_{{i}} $为关节 $ i $的权值， $ {\boldsymbol{J}\text{}}_{\text{H}} $为k时刻伪逆雅可比矩阵， $ {{x}}_{{k}} $为k时刻机械臂末端位置. 从第1个周期开始，以一定步长调整优化参数直至优化目标不再向期望方向变化，重复前述步骤直至所有周期都完成优化. 以加权矩阵的权值作为优化参数，流量最小为优化目标，采用值搜索逼近优化目标的方式求机械臂各关节角度逆解. 最小流量优化的流程图如图2所示. 基于最小流量优化法求解液压机械臂能量优化的冗余分解伪代码见算法1.

算法1　 最小流量冗余分解

for i=1 to m do

　set w_1k=1+dx

　calculate Qp_1k

　if Qp_1k< Qp_01

　　symbol_1k=1

　　else

　　symbol_1k=1

　end if

　w_1k=w_1k+symbol*dx

　calculate Qp_1k(i+1)

　if

　　Qp_1k(i+1)>= Qp_1k(i+1)

　　w_1k(i+1)= w_1k(i)

　end if

end for

W=diag[w_1k(end),w_2k(end) ,w_3k(end)]

Calculate ${\rm{v_i }}$， ${\rm{{q}_{i}}}$, ${\rm{{Qp}_{i}}}$

end for

三关节液压机械臂在平面运动时已具有冗余特性，且更多关节机械臂的能量优化方法相比于三关节冗余机械臂仅增加了矩阵维度，因而平面三自由度冗余机械臂的能量优化结论可以扩展到更多关节的冗余液压机械臂. 以如图3所示的平面三关节液压机械臂为例研究能耗优化算法.

如图4所示，机械臂1、2、3关节为液压缸驱动关节转动，液压缸长度与关节角度用三角形的几何关系表示. 关节角度和液压缸长度的关系表达式为

(25) $ {c_{\text{i}}} = \sqrt {L_{i1}^2+L_{i2}^2 - 2{L_{i1}}{L_{i2}}{\text{ cos}}\,\, {{\beta _{i3}}} } . $

式中： $ i $为关节序号， $ {{L}}_{{i}\text{1}} $、 $ {{L}}_{{i}\text{2}} $为机械臂关节1旋转中心和液压缸两端铰点的距离. $ {\;\beta }_{\text{11}} $为基座2个铰点连线和竖直方向的夹角， $ {\;\beta }_{\text{12}} $为关节1的活塞铰点和关节1旋转中心的连线与关节1、2旋转中心连线的夹角， $ {\;\beta }_{\text{13}} $为基座2个铰点连线和关节1、2旋转中心连线的夹角. 关节2、3结构参数同理可得. 关节i的速度 $ {{v}}_{{i}} $、加速度 $ {{a}}_{{i}} $表达式分别为

(27) $ {v_i} = \frac{{\partial {c_i}\left( {{q_i}} \right)}}{{\partial {q_i}}}{\dot q_i} = {r_i}{\dot q_i}， $

(28) $ {a_i} = \frac{{\partial {r_i}\left( {{q_i}} \right)}}{{\partial {q_i}}}\dot q_i^2+{r_i}{\ddot q_i}. $

式中： $ {{r}}_{{i}} $为液压缸力臂，计算式为

(29) $ {r_i} = \frac{{{L_{i1}}{L_{i2}}{\text{sin }} {{\beta _{i3}}} }}{{\sqrt {L_{i1}^2+L_{i2}^2 - 2{L_{i1}}{L_{i2}}{\text{cos }} {{\beta _{i3}}} } }}， $

(30) $ {\beta _{13}} = 0.5{{\text{π }}}- {\beta _{11}}+{\beta _{12}}+{q_1}, $

(31) $ {\beta _{23}} = {\text{π }}+{\beta _{21}} - {\beta _{22}}+{q_2}， $

(32) $ {\beta _{33}} = {\text{π }} - {\beta _{31}} - {\beta _{32}}+{q_3}. $

以关节3初始角度为变量，由机械臂末端初始位置和关节3初始角度得到各关节的初始逆运动学解析解，以求得的解析解为基础，分别使用最小流量优化法（minimum flow method, MF）、最小缸速范数法（minimum acutator velocity norm, MAVN）、梯度投影法（gradient projection method, GP）对三角形轨迹和椭圆轨迹进行优化.

(33) $ {q_2} = {\alpha _{\text{n}}} - {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{L_3}\sin {{q_3}} }}{{{L_2}+{L_3}\cos {{q_3}} }}} \right)， $

(34) $ {q_1} = {\sin ^{ - 1}}\left( n_2 n_3\right). $

式中： $ {{n}}_{\text{1}} $、 $ \alpha _{n} $、 $ {{n}}_{\text{2}} $、 $ {{n}}_{\text{3}}$均为中间变量，表达式分别为

(35) $ {n_1} = d_x^2+d_{y}^2 - \left( {L_2^2+L_3^2+2{L_2}{L_3}\cos {{q_3}} } \right) - L_1^2， $

(36) $ {a_{\text{n}}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n_1}}}{{2{L_1}\sqrt {L_2^{\text{2}}+L_3^{\text{2}}+2{L_2}{L_3}\cos {{q_3}} } }}} \right)， $

(37) $ \begin{split} {n_2} = & {d_{y}}\cos \left( {{a_n}} \right)\sqrt {L_2^2+L_3^2+2{L_2}{L_3}\cos {{q_3}} }- \\ & {d_{x}}\sin \left( {{a_n}} \right)\sqrt {L_2^{\text{2}}+L_3^{\text{2}}+2{L_2}{L_3}\cos {{q_3}} } +{L_1}{d_{y}}， \end{split} $

(38) $ \begin{split} {n_3} = & 2{L_1}\cos \left( {{a_n}} \right)\sqrt {L_2^2+L_3^2+2{L_2}{L_3}\cos {{q_3}} } +\\ &L_1^2+\left( {L_2^2+L_3^2+2{L_2}{L_3}\cos {{q_3}} } \right). \end{split} $

式中： $ {{L}}_{\text{1}} $、 $ {{L}}_{\text{2}} $、 $ {{L}}_{\text{3}} $分别为臂杆1、臂杆2、臂杆3的几何尺寸， $ {{q}}_{\text{1}} $、 $ {{q}}_{\text{2}} $、 $ {{q}}_{\text{3}} $分别为关节1相对于水平基座转过角度、关节2相对关节1转过角度、关节3相对关节2转过角度， $ {{d}}_{x} $、 $ {{d}}_{y} $分别为机械臂末端X方向和Y方向的位移.

在机械臂可达空间内设置典型轨迹，验证基于最小流量法的优化效果，以文献[16]的最小缸速范数法、梯度投影法作为对比，3种方法均添加关节角度极限限位. 研究算例中机械臂的结构尺寸及液压缸的结构参数如表1所示. 表中，L为机械臂长，d为活塞直径。

1）三角形轨迹规划. 如图5所示的三角形轨迹经过最小流量法优化后的关节角度如图6所示. 图中，q_P为规划角度。3种方法规划的关节运动角度均存在显著差异，但末端轨迹保持一致. 3种方法的计算求解时间均较短，远低于动态规划算法的计算求解时间.

2）椭圆轨迹规划. 如图7所示，机械臂以五次多项式形式的速度完成椭圆轨迹，其最小流量优化角度对比结果如图8所示. 3种方法的关节运动角度均存在显著差异.

3）试验验证. 用于验证本研究所提算法的液压机械臂试验平台如图9所示. 液压系统由液压动力源、液压缸、液压滑环、伺服阀组成. 液压动力源的最大流量由变排量泵决定，系统压力由比例溢流阀调定. 流量计安装在机械臂高压进油口，实时检测液压机械臂的系统流量. 计算机控制系统采用Matlab/Simulink XPC-Target实时控制系统，以宿主机和目标机主从双机模式工作. 控制系统通过总线系统—采集卡—目标机—宿主机获得压力传感器、流量传感器、角度编码器的压力、流量、角度等反馈信息，并将计算控制信号输出至伺服阀，实现液压机械臂的高精度轨迹跟踪控制. 设计的三角轨迹和椭圆轨迹运行耗时30 s. 如图10为编码器测量的实际关节角位移。图中，q_E为试验角度。如图11所示，将实际角位移代入冗余液压机械臂运动学正解，得到笛卡尔坐标系下执行器末端轨迹，在XOY平面内绘制出实际轨迹图. 可以看出，3种方法的液压机械臂均准确跟踪了规划的关节角度，其末端也完全沿着预设轨迹运动.

采集3种方法的系统流量数据如图12所示. 不同位姿下，液压缸伸出/缩进位移、臂杆末端的位置变化等均不同，本研究所提流量优化方法针对机械臂在运动中时变的位姿寻找流量耗费最少的解. 在试验模型中，关节3的液压缸活塞面积小于2. 经最小流量法优化后，关节2的运动幅度小于最小缸速范数法和梯度投影法的求解结果，关节3的运动幅度大于最小缸速范数法和梯度投影法求解结果. 说明流量优化方法在任意轨迹下均具备降低液压机械臂运动所需流量的能力. 对于三角形轨迹，当关节3运动到其极限位置时（t=16 s），由于关节3不能越过该极限位置，此时关节2开始运动完成设定轨迹，关节1的运动需要更多的流量，导致最小流量优化法的流量短暂高于最小缸速范数法和梯度投影法.

在不考虑压力损失和流量泄漏的恒压系统中，系统能耗计算式为

(39) $ {E_{\rm{c}}} = \int_{{t_1}}^{{t_2}} p{Q_{\rm{p}}}\left( t \right){\rm{d}}t. $

式中：t₁、t₂分别为开始时间和结束时间，p为系统压力， $ {{Q}}_{{{\rm{p}}}}\left({t}\right) $为流量随时间变化的函数. 由式(38)求出2种轨迹下不同算法的理论计算和试验验证的能耗如表2所示. 表中，E_c,t、E_c,e分别为三角形轨迹和椭圆形轨迹下的系统能耗。相比于最小缸速范数法和梯度投影法，2种轨迹下最小流量优化方法理论计算平均节能7.2%、7.4%，试验验证平均节能5.1%、5.3%. 虽然理论计算中忽略液压油黏滞摩擦、关节运动副间的摩擦、液压缸的阻尼等因素，导致试验节能率稍低于理论计算，但是试验仍验证了最小流量法的节能效果.

梯度投影法和最小缸速范数法分别通过降低关节角速度范数和液压缸缸速范数来减少能耗，并未以直接考虑液压系统层面的流量作为优化目标. 本研究提出最小流量优化算法，通过动态调整加权矩阵权重降低预设轨迹每步的能耗，在不影响机械臂末端运动轨迹的条件下，降低了关节运动的流量需求，减少了系统的能耗. 液压机械臂的试验结果表明，采用本研究所提基于最小流量的冗余分解方法，相比于现有最小缸速范数法和梯度投影法，三角形和椭圆形轨迹下平均节能分别为5.1%、5.3%，节能效果更优. 本研究以恒压伺服系统为对象，下一步计划在负载敏感等压力/流量均变化的系统开展研究，以将所提方法拓展至更多的应用场合.