第II类机器人混流装配线（type-II robotic mixed-model assembly line，RMAL-II）结合机器人装配线和混流装配线的优势，具有小批量、多品种、高柔性等特性 ^{[ 1- 2]} . 2019年中国工业机器人新安装近14.05万台，约是5年前的2.5倍 ^{[ 3]} . 工业机器人应用的数量日益庞大，伴随能源价格上涨，其累加的能源消耗量和成本不容忽略 ^{[ 4]} . 在智能工厂的控制技术要求下，RMAL-II的平衡和排序联合决策成为必然趋势.

RMAL-II平衡与排序联合决策问题始于Rubinovitz等 ^{[ 5]} 提出的机器人装配线平衡问题，被Gao 等 ^{[ 6]} 定义为第I类机器人装配线平衡问题，后Gao 等 ^{[ 6]} 又界定了第II类机器人装配线平衡问题，即将装配任务、机器人分配给指定数量的工作站，达到最小节拍. 该问题被Yoosefelahi 等 ^{[ 7- 9]} 认同. Zhang等 ^{[ 10- 11]} 有效解决了第II类机器人U型装配线平衡问题中装配任务与机器人的分配问题，引起更多学者对第II类机器人装配线平衡问题的关注. Zhang等 ^{[ 12]} 未对机器人作业与非作业状态计算机器人能耗提出明确的节能策略，也未考虑混流产品切换准备作业的问题. 一方面，上述研究对装配线优化问题缺乏多产品混流装配情境的探索；另一方面，考虑到混流产品切换作业，平衡与排序联合决策是充分且必要的.

关于生产过程能耗的研究，Nilakantan等 ^{[ 13]} 通过设备单位时间碳排量和工作时间的乘积，量化碳足迹；周炳海等 ^{[ 14]} 采用设备功率和工作时间乘积测度机器人能耗；Nilakantan等 ^{[ 15]} 发现机器人装配线的能耗目标与效率目标非严格正相关；Zhang等 ^{[ 16]} 指出设备闲置状态下的能耗不可忽略；Mouzon等 ^{[ 17]} 研究发现在机器空闲期间将其关闭能够节约13%的能源. 生产实践已尝试主动管理装配线空闲期间能耗. 例如产品能效管理创新技术PROFIenergy能在长暂停期实现节能，还能在短的甚至极短的暂停期实现节能. 智能上电与断电让设备寿命更长且故障更少 ^{[ 18]} . 本研究立足PROFIenergy能效管理理念，提出采用关停策略精细管控RMAL-II闲置期间的能耗.

Scholl ^{[ 19]} 指出装配线平衡与排序问题是非确定性多项式难（non-deterministic polynomial hard，NP-Hard）问题，学者多采用启发式算法来求解. 如Zhang等 ^{[ 10]} 采用的帕累托人工蜂群算法和帕累托灰狼优化算法 ^{[ 11]} 、Zhang等 ^{[ 12]} 采用混合多目标蜻蜓算法. Rabbani等 ^{[ 9]} 研究表明NSGA-II在解的分布和多样性方面具有优越性. Zhang等 ^{[ 16]} 研究混流装配线平衡与排序问题时验证了NSGA-II的良好性能.

本研究详细划分机器人的状态，测度机器人在不同状态下的能源消耗. 考虑机器人关停策略与产品切换准备作业，兼顾作业、能源效率，构建RMAL-II平衡与排序联合决策双目标优化模型，并设计改进的NSGA-II求解. 通过算例分析，揭示关停策略和产品切换准备作业对RMAL-II系统的具体影响.

考虑能源消耗的RMAL-II平衡与排序联合决策问题描述如下. 在混流生产遵循最小生产单元（minimal production set, MPS）循环排序方法的前提下，为了兼顾系统效率和能源消耗这2个优化目标，综合考虑产品切换与机器人关停策略这2个核心影响因素，通过同时决策工序分配、机器人分配、MPS产品投产顺序，实现在单个MPS周期内最大工作站工作时间、机器人能源消耗的最小化.

在RMAL-II的实践中，机器人运作状态有以下5种. 1）作业状态：机器人执行产品装配作业过程. 状态1）的能耗功率最高. 2）产品切换准备作业状态：装配线上前后装配的2个产品种类发生变化时，机器人进行夹具、作业工具、参数或其他的调整作业. 状态2）会产生能耗. 3）关机状态：机器人未接通电源，不能进行任何操作. 状态3）不产生能耗. 4）开、关机动作：机器人接通、断开电源. 一般情况下，完成状态4）需要花费时间并产生能耗. 5）待机状态：机器人保持电源接通但未执行操作，随时可以进行装配作业. 状态5）会产生待机能耗.

将机器人的状态3)、状态4)、状态5)统称为闲置状态，此状态下可能会产生能耗. 在MPS内，将各装配作业之间的闲置时间称为单元内闲置时间；1个工作站从开始做MPS中第1个装配作业到做完最后1个装配作业，并完成下一次作业的准备工作，所经历的时间记作该工作站的工作时间. 按照混流装配线的生产平稳性要求，每个MPS中，各工作站总时间须保持一致，这意味着当某个工作站的实际工作时间小于最大工作时间时，存在闲置时间，等待下个MPS开始，本研究称之为单元间闲置时间.

客观上，机器人闲置时间不能完全避免，为了减少机器人在闲置时间产生的能耗，常通过合理资源配置和任务调度消减闲置时间. 本研究在此基础上，采取机器人关停策略，即当机器人待机能耗大于开关机能耗时，将其关闭以进一步减少能耗. 当机器人处于待机状态时，待机功率记为 $ {P^{\text{I}}} $，随着闲置时间 $ {T^{\text{I}}} $增加，待机能耗 $ {E^{\text{I}}} $线性增长，

(1) $ {E^{\text{I}}} = {P^{\text{I}}}{T^{\text{I}}} . $

机器人开关机产生的能耗为 $ {P^{\text{S}}} $，随着待机时间的增加，存在盈亏平衡时间 $ {T^{\text{B}}} $，使得待机能耗恰好与开关机能耗相等. 此时，

(2) $ {T^{\text{B}}} = {P^{\text{S}}}/{P^{\text{I}}} . $

当 $ {T^{\text{I}}} $＞ $ {T^{\text{B}}} $时，待机能耗将大于开关机能耗，此时关闭机器人可以实现能源节约；当 $ {T^{\text{I}}} $≤ $ {T^{\text{B}}} $时，保持待机状态更好. 引入机器人关停策略后，闲置时间能耗 $ {E^{\text{I}}} $的表达式为

(3) $ {E^{\text{I}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{P^{\text{I}}}{T^{\text{I}}}{\text{ , }}} \\ {{P^{\text{S}}}{\text{, }}} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {{T^{\text{I}}} \leqslant {T^{\text{B}}};} \\ {{T^{\text{I}}} \gt {T^{\text{B}}}.} \end{array} $

事实上，机器人开关机并非瞬间完成. 当关停策略触发时，有 $ {T^{\text{I}}} $≥ $ {T^{\text{B}}} $. 机器人开关机平均功率大于 $ {P^{\text{I}}} $，此时 $ {T^{\text{I}}} $大于设备开关机时间，即关停策略触发时的闲置时间能够完成机器人开关机过程. 因此，假定机器人开关机在瞬间完成，不影响本研究的建模和求解.

1）所有产品的工序及优先关系可以通过综合装配顺序图展现，如果产品没有综合装配顺序图中的某个工序，表示为该产品该工序的作业时间为0.

2）同道工序在不同机器人上的装配时间可能不同，在满足工序之间的优先关系的条件下，每个工序只能分配给任意1个工作站.

3）每个机器人能但只能被分配给任意1个工作站.

4）每个工作站只能有1台机器人，且假定工作站的数量与机器人的数量相同.

5）产品在某个工作站的所有工序完成后，立刻被转移到缓冲区或下个工作站，并假定缓冲区容量无限，产品移动时间可以忽略.

6）不考虑工作站和机器人的故障或维修，且工作站和机器人工作过程不中断.

7）同时间工作站只能执行1个产品的1道工序.

8）仅当机器人前后装配2种不同产品时，消耗时间和能源执行产品切换准备作业.

9）每个MPS内均包含最后1个产品到下个MPS第1个产品之间的产品切换准备作业，即在1个MPS开始时，机器人已经开机且无切换准备作业.

10）机器人作业和待机状态的能耗通过作业功率与待机功率测算，设定产品转换能耗和开关机能耗为已知.

决策变量. 当综合装配顺序图中工序 $j $被分到工作站 $k $时， ${{x}}_{ik}=1 $; 否则 ${{x}}_{ik}=0 $. 当机器人 $r $被分配到工作站 $k $时， ${{y}}_{rk}=1$；否则 ${{y}}_{rk}=0$. 当MPS中的第 $ h $个产品被分配到MPS产品投产顺序的第 $l $个位置时， $ {{z}}_{hl}=1 $；否则 $ {{z}}_{hl}=0 $.

指标. $ i、j $为综合装配顺序图中的工序编号， $i、j = 1,2, \cdots ,N;$ $ k $为工作站编号， $k = 1,2,\cdots, M;$ $ r $为机器人编号， $r = 1,2, \cdots ,M;$ $ g、d $为产品类型编号， $g、d=1,2, \cdots ,D;$ $ h $为MPS中的产品编号， $h =1, $ $ 2, \cdots ,H;$ $ l $为MPS产品投产顺序编号， $l = 1,2, \cdots ,H.$

参数. $ \phi {\text{(}}i{\text{)}} $为综合装配顺序图中工序 $ i $的所有紧前工序； $ N $为综合装配顺序图中的工序总数； $ M $为工作站或机器人的总数； $ D $为MPS的产品类型种类数； $ {Q_d} $为MPS中第 $ d $种产品的需求量； $ H $为MPS中产品总数， $H =\sum\nolimits_{d = 1}^D {{Q_d}} $； $ {t_{hir}} $为MPS中的第 $ h $个产品的工序 $i $ 在机器人 $ r $上的作业时间； $ T_{dg}^{\text{C}} $为机器人由装配第 $ d $种产品变成装配第 $ g $种产品所需的产品切换准备作业时间； $ P_{dg}^{\text{C}} $为机器人由装配第 $ d $种产品变成装配第 $ g $种产品时产品切换准备作业产生的能耗； $ P_r^{\text{S}} $为机器人 $ r $开关机的能耗； $ P_r^{\text{W}} $为机器人 $ r $工作状态下单位时间的能耗； $ P_r^{\text{I}} $为机器人 $ r $待机状态下单位时间的能耗.

变量. $ {T_{hk}} $为产品 $ h $在工作站 $ k $上的所有装配工序的时间； $ T_{lk}^{\text{O}} $为基于MPS投产顺序，第 $ l $个产品在第 k个工作站上完成所有装配作业的完工时刻； $ T_{lk}^{\text{S}} $为基于MPS投产顺序，第 $l $ 个产品在第 $ k $个工作站上装配作业开始时刻； $ T_{lk}^{\text{I}} $为在工作台 $ k $上，第 $l $ 个产品生产结束到下个产品装配作业开始之间的闲置时间； $ E_{lk}^{\text{I}} $为闲置时间 $ T_{lk}^{\text{I}} $期间产生的能耗； $ {E^{\text{W}}} $为1个MPS机器人完成所有产品装配作业的能源消耗； $ {O_{lk}} $为闲置时间 $ T_{lk}^{\text{I}} $是否关停该工作站的机器人，取1时关停，取0时不关停； $ {F_1} $为1个MPS各工作站工作时间的最大值，即最大工作时间； $ {F_2} $为MPS内机器人的全部能耗； $ \xi (l) $为MPS中第 l个排产产品的类型.

设最小化最大工作站工作时间为 ${F}_{1,\mathrm{min}}$；最小化MPS内机器人能耗为 ${F}_{2,\mathrm{min}}$.

以Gao等 ^{[ 6]} 针对单一产品所建立的第II类机器人装配线平衡模型为基础，依托MPS综合装配图构建RMAL-II平衡约束，包括工序加工顺序和分配约束、机器人分配约束、MPS产品的总装配时间约束等，表达式分别为

(4) $ \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^M {k{x_{ik}}} - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^M {k{x_{jk}}} \leqslant 0, {\text{ }}\forall i \in \phi (j) ;$

(5) $ \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^M {{x_{ik}}} {\text{ = 1}};$

(6) $ \displaystyle\sum\limits_{r = 1}^M {{y_{rk}}} {\text{ = 1}};$

(7) $ \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^M {{y_{rk}}} {\text{ = 1}};$

(8) $ {T_{hk}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\displaystyle\sum\limits_{r = 1}^M {{x_{ik}}{y_{rk}}{t_{hir}}} } . $

式（4）表示综合装配图中的工序加工顺序约束，式（5）表示综合装配图中的每个工序只能分配给1个工作站，式（6）表示每个工作站只能配置1个机器人，式（7）表示每个机器人只能分配给1个工作站，式（8）表示产品 $ h $在工作站 $ k $上的总装配时间构成.

Li等 ^{[ 20]} 认为一旦机器人分配和工序分配约束明确，混流装配线排序问题就转变为置换流水车间调度问题. 本研究依据置换流水车间调度问题属性及其模型原理，建立RMAL-II排序约束如下.

(9) $ \sum\limits_{h = 1}^H {{z_{hl}}} {\text{ = 1}},$

(10) $ \sum\limits_{l = 1}^H {{z_{hl}}} {\text{ = 1}},$

(11) $ T_{lk}^{\text{O}} = T_{lk}^{\text{S}} + \sum\limits_{h = 1}^H {{z_{hl}}{T_{hk}}}, $

(12) $ T_{lk}^{\text{S}} \geqslant T_{(l - 1)k}^{\text{O}} + T_{\xi (l - 1)\xi (l)}^{\text{C}}, $

(13) $ T_{lk}^{\text{S}} \geqslant T_{l(k - 1)}^{\text{O}}, $

(14) $ T_{11}^{\text{S}} = 0 , $

(15) $ T_{0k}^{\text{O}} = T_{l0}^{\text{O}} = 0 , $

(16) $ T_{\xi (0)\xi (1)}^{\text{C}} = 0 . $

式（9）、（10）分别表示MPS中产品和投产顺序的关系约束；式（11）表示MPS产品投产顺序中第 $ l $个产品在 $ k $个工作站上装配作业结束时刻的约束，为开始时刻加上总装配作业时间；式（12）体现产品切换带来的影响，表示MPS产品投产顺序中第 $ l $个产品在 $ k $个工作站上的装配作业开始时刻，为不小于该工作台完成上个产品的装配作业时间与这2个产品切换准备作业时间之和；式（13）表示MPS产品投产顺序中，第 $ l $个产品在 $ k $个工作站上装配作业的开始时刻约束，为不小于该产品在工作台 $k-1$上装配作业的结束时刻；式（14）~（16）为初始化约束.

为了揭示关停策略对RMAL-II平衡和排序联合决策的影响，建立机器人关停策略触发条件如下.

(17) $ {F_1} = \mathop {{\text{max}}}\limits_{k = 1,2, \cdots ,M} \left( {T_{Hk}^{\text{O}} - T_{1k}^{\text{S}} + T_{\xi (H)\xi (1)}^{\text{C}}} \right) . $

(18) $ T_{lk}^{\text{I}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {T_{(l + 1)k}^{\text{S}} - T_{lk}^{\text{O}} - T_{\xi (l)\xi (l + 1)}^{\text{C}}}{\text{, }}&{l = 1,2, \cdots ,H - 1;}\\ {{F_1} - T_{Hk}^{\text{O}} + T_{1k}^{\text{S}} - T_{\xi (H)\xi (1)}^{\text{C}}{\text{, }}}&{l = H.} \end{array}} \right. $

(19) $ {O}_{lk}=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\text{1},& {\displaystyle \sum _{r=1}^{M}{T}_{lk}^{\text{I}}\cdot {P}_{r}^{\text{I}}\cdot {y}_{rk}}{ \gt }{\displaystyle \sum _{r=1}^{M}{P}_{r}^{\text{S}}\cdot {y}_{rk}\text{；}}\\ \text{0},& 其他.\end{array}} \right. \;\; $

式（17）表示1个MPS周期内各工作站最大工作时间. 式（18）表示1个MPS周期内的闲置时间. 当 ${\text{ }}l = 1,2, \cdots ,H - 1$时， $ T_{lk}^{\text{I}} $为单元内闲置时间；当 $ {\text{ }}l = H{\text{ }} $时， $ T_{lk}^{\text{I}} $为单元间闲置时间. 式（19）表示在 $ T_{lk}^{\text{I}} $内机器人触发关停策略的条件.

给出1个MPS循环周期内，机器人在闲置过程、作业过程及整个MPS内总能耗测度方程如下.

(20) $ \begin{gathered} E_{lk}^{\text{I}} = ({O_{lk}} - 1)\sum\limits_{r = 1}^M {T_{lk}^{\text{I}} \cdot P_r^{\text{I}} \cdot {y_{rk}}} + {\text{ }}{O_{lk}}\sum\limits_{r = 1}^M {P_r^{\text{S}} \cdot {y_{rk}}} \end{gathered} , $

(21) $ {E^{\text{W}}} = \sum\limits_{k = 1}^M {\sum\limits_{l = 1}^H {\sum\limits_{r = 1}^M {\sum\limits_{h = 1}^H {{y_{rk}} \cdot P_r^{\text{W}}} } } } \cdot {z_{hl}} \cdot {T_{hk}} ,$

(22) $ {F_2} = {E^{\text{W}}} + \sum\limits_{k = 1}^M {\sum\limits_{l = 1}^H {P_{\xi (l)\xi (l + 1)}^{\text{C}}} } + {\text{ }}\sum\limits_{k = 1}^M {\sum\limits_{l = 1}^H {E_{lk}^{\text{I}}} } , $

(23) $ \xi (H + 1) = \xi (1) . $

式（20）表示 $ T_{lk}^{\text{I}} $期间的能量消耗，式（21）表示所有产品在各工作站完成所有装配作业的总能耗，式（22）表示1个MPS机器人消耗的全部能源；式（23）保证MPS产品排产顺序的第（ $ H + 1 $）个产品为下个MPS的第1个产品.

结合研究问题的特征，基于经典的NSGA-II算法，设计改进的NSGA-II，求解RMAL-II平衡与排序联合决策问题. 本研究算法特点：设计多层编码方式表示决策问题的复杂解，并根据编码方式设计交叉和变异操作，引入邻域搜索机制扩大算法搜索能力，避免陷入局部最优，以提高算法性能.

工序分配指将综合装配顺序图中的每道工序分配给每个工作站. 本研究采用工序排序向量和工序分配向量来共同实现工序分配，根据如 图1所示的综合装配顺序图生成的2个向量如 图2所示. 工序排序向量须满足综合装配顺序图中的工序先后顺序关系，为了保证初始产生可行的工序分配向量，初始化步骤如下. 1）根据综合装配顺序图生成优先关系矩阵（precedence relationship matrix，PRM），其为 $ N \times N $的矩阵，若工序 $ i $为工序 $ j $的紧前工序，则PRM第 $ i $行、第 $ j $列的分量元素为1，否则为0. 2）对PRM进行列求和，和为0表示当前列所对应的工序没有紧前工序，随机从这些列中选取1个尚未选择的工序作为工序排序向量的1个分量. 3）将所选取的工序所在行的所有值变为0，更新PRM. 4）判断是否所有的工序都已经被选择，如果还存在未被选择的工序，则转向步骤2）进行下个分量的选取；若不存在，则生成1个满足的优先关系工序排序向量. 初始工序分配向量通过随机分配生成.

机器人分配指每个工作站配置唯一工作的机器人. 本研究采用 $ 1 \times M $的向量表征机器人分配关系. 每个分量表示机器人的编号，分量之间互不相同. 随机生成1到 $ M $的排序序列，实现机器人分配向量的初始化.

MPS产品投产顺序指MPS周期内的所有产品投产顺序. 本研究采用MPS周期内产品的排序表示投产顺序，通过生成随机排序序列实现MPS产品投产顺序向量的初始化.

综上所述，本研究采用工序排序向量、工序分配向量共同表示工序分配方案，机器人分配向量表示机器人分配方案，MPS产品投产顺序向量表示产品投产顺序的方案，4个向量共同表征联合决策问题的解，编码向量与解码结果如 图3所示.

如 图4所示，采用片段重新排序交叉（fragment reordering crossover，FRC） ^{[ 21]} 对工序排序向量进行交叉以产生子代，避免产生不可行解.如 图5所示，选用顺序交叉（order crossover，OX） ^{[ 22]} 来处理机器人分配和MPS产品投产顺序向量.

工序排序向量具有优先关系的限制，为了避免交叉操作产生不可行解，进行如 图6所示的变异操作：在随机选取工序的紧前工序和紧后工序之间随机移动，产生新的个体. 通过随机交换2个分量，实现工序分配、机器人分配和MPS产品投产顺序向量的变异.

设计邻域搜索增强算法的全局搜索能力，以维持种群基因的多样性.

采用两分量优化（2-opt）对工序排序向量进行邻域搜索，即通过随机选择1个位置，反转该位置分量到最后1个分量, 如 图7所示. 该方法会使某些工序违背综合装配图中的工序优先关系，产生非可行解，为此采用以下修补步骤. 1）记工序总数为 $ N $，2-opt邻域搜索时随机选择的位置为 $ n $，令 $ i = n $. 2）若 $ i = N $，修补完成，输出工序排序向量；当 $ i \lt N $时，判断工序排序向量中第 $ i $道工序是否满足工序优先关系，如果满足，令 $ i = i + 1 $，重复步骤2）. 3）如果不满足，则将第 $ i $道工序移动到工序排序向量的最后1个位置，其他工序顺序保持不变，更新工序排序向量，转到步骤2）.

将装配作业时间最长的工作站在工序分配向量中对应的值减少1，最短的加1，实现对于工序分配向量的邻域搜索. 机器人分配和MPS产品投产顺序向量通过随机选取并与相邻前1个分量交换，实现邻域搜索.

本研究算法程序在Matlab R2021a编写，运行环境为Intel(R) Core (TM) i5-8250U CPU @ 1.60 GHz 1.80 GHz.

基准算例是算法和模型有效性验证的基础，本研究基于文献[ 23]、[ 16]，生成本文基准算例数据集，摘取部分见 表1. 图中， $\eta $为算例编号

产品工序在不同机器人上的作业时间在[0.8 t, 1.2 t]随机生成， t为标准算例工序作业时间. 机器人能源消耗水平参照文献[ 12]，机器人工作功率在[2.0, 5.0]随机生成，待机功率为工作功率的10%. 为了便于观测和比较，将大规模( $ N = 111 $)算例的 t值除以1 000，使得大、中( $N = 61$)、小( $N = 19$)规模下的 t映射到相近的区间.

在RMAL-II平衡和排序问题中要考虑产品切换和机器人关停策略，为此假定：不同的2个产品切换准备时间在[1.0, 2.0]随机生成，产品切换的单位时间能耗在[2.0, 3.0]随机生成. 鉴于混流装配线相继生产2种相同产品时，不需要产品切换准备作业，视同种产品之间切换所需的时间和能耗为0. 机器人开关机能耗在[4.0, 6.0]随机生成.

采用Taguchi试验 ^{[ 24]} 设计NSGA-Ⅱ参数. 采用算例20，细分4个参数和4个因素水平，选用正交表 $ {L}_{16}（{4}^{4}） $，借助参数组合 $ i $的响应变量 R _V评价每个参数组合下的算法性能.

(24) $ {R_{^{\text{V}}}}(i) = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{\left| {P_{i,j}^{\text{A}} \cap {R_{\text{S}}}} \right|}}{{\left| {{R_{\text{S}}}} \right|}}} \times 100{\text{%}} . $

式中： n（ n=10）为每个参数组合下重复运行的次数， $ P_{i,j}^{\text{A}} $为参数组合 $ i $下运行第 $ j $次得到的近似Pareto解集， Rs为所有 $ P_{i,j}^{\text{A}} $组成的非支配解集. R _V值越大，对应的参数组合下算法性能越好. 正交试验获得 R _V均值和显著性等级排序如 表2所示，据此选择NSGA-II算法参数. 种群大小 $ {s_{\text{p}}} $=200，最大迭代次数 $ {n_{\max }} $=300，交叉概率 $ {p_{\text{c}}} $=0.8，变异概率 $ {p_{\text{m}}} $=0.05.

从算法的搜索能力、解的收敛性、解的分布性、算法时间复杂度4个方面，分别以非支配解的数量 $ {N_{\text{m}}} $、覆盖率 ^{[ 25]} $ C $ (set coverage)、空间分布指标 ^{[ 26]} $ S $(spacing)和算法运行时间 $ T $为性能评价指标，对比NSGA-II和混合粒子群算法（hybrid particle swarm algorithm，HPSA）在不同规模算例下的有效性. HPSA的参数采用Taguchi试验设计确定： $ {s_{\text{p}}} $=200， $ {n_{\max }} $=300. 各算例下NSGA-II、HPSA分别重复运行10次、计算各性能指标的平均值 $ \overline {{N_{\text{m}}}} $， $ \overline C $， $ \overline S $和 $ \overline T $，如 表3所示.

算法求得的非支配解数量越多，为决策者提供的选择方案越丰富，算法则更具优势. 如 图8所示为不同算例下NSGA-II、HPSA的 $ \overline {{N_{\text{m}}}} $，对于小规模的算例，NSGA-II、HPSA所能找到的 $ \overline {{N_{\text{m}}}} $十分接近，随着算例规模逐渐增大、生产参数逐渐复杂，解域逐渐扩大，NSGA-II的搜索能力逐渐优于HPSA. 如算例14，HPSA所能找到的 $ \overline {{N_{\text{m}}}} $=34.50个，NSGA-II的 $ \overline {{N_{\text{m}}}} $=79.50个. 覆盖率 $ C $表示2个近似Pareto解集的相互覆盖程度，若 $ X' $、 $ X'' $为2个不同的算法，当 $ C(X',X'') $> $ C(X'',X') $时，则认为 $ X' $的收敛性比 $ X'' $好. 如 图9所示为不同算例下算法的平均覆盖率. 可知，小规模算例的HPSA收敛性优于NSGA-II，中、大规模算例的NSGA-II显著优于HPSA. 如对于算例5~20， $ \overline C ({\text{NSGA - II,HPSA}}) $的均值为0.54，而 $\overline C ({\text{HPSA}}, {\text{NSGA - II}})$均值仅为0.17. 空间分布指标 $ S $表示算法求得的近似Pareto解集分布情况，其值越小说明解分布均匀、算法的分布性越好. 如 图10所示为不同算例下算法的 $ \overline S $. 可知，小、中规模算例的NSGA-II和HPSA的 $ \overline S $差异较小，大规模算例的NSGA-II分布性优于HPSA. 算法运行时间 $ T $越短，表明算法时间复杂性低，在实践应用中更具优势. 如 图11所示为不同算例下算法的 $ \overline T $. 可知，对于小、中、大规模算例，NSGA-II的 $ \overline T $均小于HPSA. NSGA-II在不同规模下 $ \overline T $均值分别为24.94、51.00、127.18 s，与HPSA的46.05、102.86、197.22 s相比分别节约45.85%、50.42%、35.51%.

综上所述，除在小规模算例下HPSA收敛性优于NSGA-II、搜索能力和分布性相近外；在小、中、大规模算例下，NSGA-II的搜索能力、解的收敛性、解的分布性、算法时间复杂度均优于HPSA. 因此，整体而言NSGA-II优于HPSA，NSGA-II具有一定的有效性.

以能耗节约率 $ {R_{{F_1}}} $为评价指标，即考虑关停减少的能耗占不考虑关停能耗的比例，进行关停策略对RMAL-II平衡与排序联合决策的影响分析.

算例20 Pareto解的分布对比结果如 图12所示. 可知，关停策略均能够达成能源消耗节约目标. 不考虑关停策略时，得到的Pareto近似解已经不在Pareto前沿上，此时既不能实现节约能耗目标，也不能保障很好的生产效率. 考虑关停策略后，得到的Pareto前沿解增多，在一定程度上扩大了非支配解的解域，为决策者提供了更多选择方案，以根据自身的决策偏好选择最合适的解.

如 图13所示，当Pareto解的 F ₁较小，即解对应的装配线平衡性较好时， $ {R_{{F_1}}} $∈[0.75%, 5.54%]，能源节约不显著，原因是此时整个装配作业过程的各闲置时间较短，需要进行设备关停的时段较少. 当Pareto解的 F ₁较大时，平衡性随之变差，闲置时间也逐渐增加，关停策略带来的效益愈加明显， $ {R_{{F_1}}} $最大为16.68%.

基于算例2，对比无产品切换的方案1和有产品切换的方案2，分析产品种类切换对混流装配线时间效率、能源消耗的影响程度. 对比结果如 表4所示. 表中， $ R $为方案2相对于方案1的优化程度，方案1仅获得1个Pareto解，方案2获得5个. 可知，考虑切换准备作业后， F ₁平均降低16.97%， F ₂平均降低7.34%，表明考虑切换准备作业对RMAL-II系统提效、降耗都有显著作用.

（1）本研究考虑能源消耗的RMAL-II平衡与排序联合决策问题，根据生产运作流程，界定了工业机器人5种工作状态，量化了不同状态下的机器人能源消耗，解决了工作状态变化时机器人能源消耗的测量标准；同时，提出关停策略主动管理能耗，实现了规划节能和运行节能的同步考量，为构造理论模型提供了基础.

（2）兼顾生产制造效率和低能耗双目标，构建了RMAL-II平衡与排序联合决策多目标优化模型，补充完善了平衡约束、排序约束、关停策略约束和能源消耗约束，将产品切换准备作业时间体现在2个相邻产品装配时间关系约束中. 通过算法对比和基准算例分析表明，设计改进的NSGA-II求解在大、中、小算例规模下均具有一定的有效性.

（3）通过对关停策略和产品切换准备对RMAL-II平衡和排序联合决策的影响分析有如下发现. 关停策略在一定程度上能够带来能耗的节约. 能耗节约的程度与装配线系统的平衡性负相关，即随着平衡性变差，闲置时间逐渐增加，关停策略带来的效益愈加明显. 在RMAL-II平衡与排序问题中考虑切换准备作业对能效优化是有效和必要的. 在本研究使用的算例下，最大工作时间 F ₁平均降低16.97%，机器人能源消耗 F ₂平均降低7.34%. 可见，考虑切换准备作业的影响，能够降低最大工作时间和机器人能源消耗.

（4）本研究验证分析基于标准算例，未来将尝试采用企业真实运行数据. 同时，工业机器人节能技术创新空间较少，本研究限于机器人关停策略对生产制造能效目标的影响分析，未来计划探索工业互联网环境下基于PROFIenergy技术的其他节能模式对机器人混流装配优化问题的贡献.