双半挂汽车列车（B-double）比半挂汽车列车增加了1个车辆单元，即多1节半挂车，使载货量提升了近50%. 在同等载货量的情况下，综合考虑油耗等方面，可节省约四成运输成本，减少污染物排放^[1]，目前在欧美国家得到广泛使用. 中国于2016年实施了《汽车、挂车及汽车列车外廓尺寸、轴荷及质量限制》（GB1589−2016），其中新增了牵引杆挂车列车、中置轴挂车列车和中置轴车辆运输列车等车型，为发展双半挂汽车列车奠定了基础^[2].

针对半挂或全挂汽车列车的建模，国内外学者做了相关工作. Francer^[3]研究牵引车-半挂车稳态转弯操纵中方向响应的仿真，包括多轴和多铰接点的重型卡车转向增益、不足转向梯度、有效轴距、操纵图和临界车速对车辆稳定性的影响^[4]. Xie^[5]分析汽车列车的系统动力学行为，给出基于牛顿第二定律的用于计算机仿真的运动方程. 在自动高速公路系统（automated highway system，AHS）中，采用拉格朗日力学分析方法，构建牵引车-半挂车的非线性和线性计算机仿真模型，结果表明，系统阻尼和纵向车速之间存在比例关系^[6].

针对半挂或全挂汽车列车的操纵稳定性，国内外学者做了相关工作. Salaani^[7]提出铰接式车辆不足转向梯度的表达式和临界车速方程，通过试验测得数据，提出阻抗（impedance）的概念，为分析操纵稳定性带来便利. Pauwelussen^[8]采用相平面和操纵图的方法，分别构建单个车辆单元和牵引车-半挂车组合的2个车辆单元的非线性模型，分析横摆稳定性. Dahlberg等^[9]证实牵引车鞍座即第五轮的位置向后移动将导致系统状态不稳定. 牵引车-半挂车操纵稳定性可通过牵引车和半挂车各自的不足转向梯度来定义和评价，牵引车和半挂车的结构参数对不足转向梯度会产生影响^[10-12]. 韦超毅^[13]采用根轨迹法研究旅行拖车即轿车-拖挂车的稳态横摆角速度增益对操纵稳定性的影响. Bao等^[14]提出牵引车和全挂车的线性动力学模型，发现增大挂车轴距和在转向时在牵引鞍座提供阻抗力矩，可提升驾驶员躲避障碍操作的稳定性. 杨秀建^[15]在非线性动力学中采用分岔和状态流形理论，在线性动力学中采用不足转向梯度和操纵图，更全面地评价车辆的操纵稳定性，提供了丰富的理论依据. Ren等^[16]通过牵引车-半挂车的非线性模型操纵图，提出相比鞍座处的载荷，驾驶速度和载货质量对稳定性有更加重要的影响. Tabatabaei等^[17]认为轮胎侧偏刚度的变化对铰接式重型车辆的方向稳定性有影响，可以采用适当的制动力和驱动力分布来保持侧偏刚度的变化，从而提升稳定性. Ou等^[18]认为在单车道变换试验中，减少半挂车的载货量、降低车速和减少牵引车前轴与质心的距离、增加鞍座的前置距离及阻尼系数，能够提升牵引车-半挂车的操纵稳定性. 张义花等^[19]建立包括主动力矩控制的双挂汽车列车模型，通过遗传算法优化设计了线性二次型调节器（linear quadratic regulator，LQR），从而获得最优控制的主动力矩，使各个车辆单元更快达到稳定状态.

上述研究较少涉及到双半挂汽车列车不足转向梯度的表达式、稳态横摆角速度增益的表达式及操纵稳定性分析. 提出双半挂汽车列车线性动力学模型的建模分析方法，该方法可简化建模过程，进一步求解出不足转向梯度和稳态横摆角速度之间的关系. 此外，还论证了车辆的结构参数对不足转向梯度的影响.

双半挂汽车列车由牵引车、第1节半挂车和第2节半挂车共计3个车辆单元组成，如图1所示.

假设条件如下：1）双半挂汽车列车在平坦路面上行驶，不考虑路面不平度的因素，忽略与行驶动力学相关的垂向运动和路面耦合作用；2）忽略悬架的侧倾运动效应及影响；3）转向系统为刚性，将输入直接施加于牵引车前轮；4）不计空气动力作用的影响；5）3个车辆单元的侧向加速度（a_y、a_y1、a_y2）均限定在0.4g以下（g为重力加速度），沿x轴的前进速度不变，且质心的纵向速度相等，即v_x=v_x1=v_x2，表明车辆的运动方程和轮胎模型为线性. 由于未考虑侧倾运动，不计同车轴左右轮胎的载荷转移，忽略车辆宽度即轮距的影响，左右轮胎的合力作用在各车轴中心. 牵引车的运动状态参数仅包含侧向速度和横摆角速度，所构建的车辆模型为单轨三质心四自由度模型.

如图2所示，构建固结于地面的大地坐标系XOY、牵引车质心的坐标系xoy、第1节半挂车质心的坐标系x₁o₁y₁和第2节半挂车质心的坐标系x₂o₂y₂. 图中，a为牵引车质心到其前轴中心的距离；a₁为第1节半挂车质心到其前方铰接点的距离；a₂为第2节半挂车质心到其铰接点的距离；b、b₁、b₂分别为3个车辆单元的质心到其自身后轴中心的距离，因此轴距分别为L=a+b、L₁=a₁+b₁、L₂=a₂+b₂；c、c₁分别为牵引车和第1节半挂车的质心到其自身后方铰接点的距离；δ为牵引车的前轮转角；φ、φ₁、φ₂分别为3个车辆单元的质心航向角；ψ、ψ₁、ψ₂分别为质心横摆角；r、r₁、r₂分别为质心横摆角速度；β、β₁、β₂分别为质心侧偏角；θ₁、 ${\theta_1}\!\!'$分别为牵引车与第1节半挂车联结鞍座处的铰接角与角速度；θ₂、 ${\theta_2}\!\!'$分别为第1节与第2节半挂车联结鞍座处的铰接角与角速度；v_y、v_y1、v_y2分别为3个车辆单元质心的侧向速度.

牵引车前轴和后轴中心的侧向速度分别为V_wf=v_y+ar、V_wr=v_y－br；第1节半挂车后轴中心的侧向速度为V_w1=v_xsin θ₁+v_y－(c+L₁)r+L₁${\theta_1}\!\!'$，第2节半挂车后轴中心的侧向速度为V_w2=v_xsin θ₁+v_xsin θ₂+v_y－(c+a₁+c₁+L₂)r+(a₁+c₁+L₂) ${\theta_1}\!\!'$+L₂${\theta_2}\!\!'$. 假设角度较小，sin θ₁≈θ₁，sin θ₂≈θ₂，则牵引车前轴和后轴、第1节半挂车后轴和第2节半挂车后轴的轮胎侧偏角表达式分别为

(1) $ \left. \begin{array}{l} {\alpha _{\rm{f}}} \!=\!\! - \left({{{V_{{\rm{wf}}}} - \delta }}\right)\big/{{{v_x}}} \!=\! \delta - \left({{{v_y} + ar}}\right)\Big/{{{v_x}}}{\rm{,}}\\ {\alpha _{\rm{r}}} \!=\! - {{{V_{{\rm{wr}}}}}}\big/{{{v_x}}} \!=\! - \left({{{v_y} - br}}\right)\Big/{{{v_x}}},\\ {\alpha _1} \!=\! - {{{V_{{\rm{w}}1}}}}\big/{{{v_x}}} \!=\! - \left({{{v_x}{\theta _1} \!+\! {v_y} - \left( {c \!+\! {L_1}} \right)r \!+\! {L_1}{{\theta}_1^{{'}}}}}\right)\Big/{{{v_x}}},\\ {\alpha _2} \!=\! - {{{V_{{\rm{w2}}}}}}\big/{{{v_x}}} \!=\! - \left[{{{v_x}{\theta _1} \!\!+\!\! {v_x}{\theta _2} \!\!+\!\! {v_y} - \left( {c \!\!+\!\! {a_1} \!\!+\!\! {c_1} \!\!+\!\! {L_2}} \right){{\theta}_2^{{'}}}}}\right]\Big/{{{v_x}}} \!-\!\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[{{\left( {{a_1} + {c_1} + {L_2}} \right){{\theta}_1^{{'}}} + {L_2}{{\theta}_2^{{'}}}}}\right]\Big/{{{v_x}}}. \end{array} \right\} $

轮胎采用线性模型，牵引车前轴和后轴的轮胎侧偏刚度分别为k_f、k_r，第1节半挂车和第2节半挂车后轴的轮胎侧偏刚度分别为k₁、k₂. 可得4个车轴轮胎侧偏力的表达式分别为

(2) $ \begin{array}{l} {F_{y{\rm{f}}}} = {k_{\rm{f}}}{\alpha _{\rm{f}}}{\rm{,}}\; {F_{y{\rm{r}}}} = {k_{\rm{r}}}{\alpha _{\rm{r}}}{\rm{,}}\; {F_{y1}} = {k_1}{\alpha _1}{\rm{,}}\; {F_{y2}} = {k_2}{\alpha _2}. \end{array} $

由图2中的几何关系，可得牵引车的质心航向角为φ=β+ψ，航向角速度为φ′=β′+ψ′=β′+r. 根据圆周运动公式，向心加速度=线速度×角速度，即a_n=vω，如图3所示，牵引车的侧向加速度为a_y=v_xφ ′=v_x(β′+r). 曲线运动公式为线速度=角速度×半径，即v=ωR. 对其求导可得，切向加速度=角加速度×半径，即a_τ =ω′R. 如图3所示，第1节、第2节半挂车的侧向加速度分别为a_y1=a_y－(c+a₁)r′+ ${a\theta_1}\!\!'$，a_y2=a_y－(c+a₁+c₁+a₂)r′+(a₁+c₁+a₂) ${\theta_1}\!\!^{\prime\prime}$－a₂${\theta_2}\!\!^{\prime\prime}$.

3个车辆单元的质量分别为m、m₁、m₂，横摆转动惯量分别为I_z、I_z1、I_z2. 3个车辆单元作为整体，由侧向力平衡可得

(3) $ m{a_y} + {m_1}{a_{y1}} + {m_2}{a_{y2}} = {F_{y{\rm{f}}}}{\rm{ + }}{F_{y{\rm{r}}}}{\rm{ + }}{F_{y1}} + {F_{y2}}. $

由牵引车质心的横摆力矩平衡可得

(4) $ \begin{split} {I_z}r^{\prime} &+ {I_{z1}}{r_1}^\prime + {I_{z2}}{r_2}^\prime - \left( {c + {a_1}} \right){m_1}{a_{y1}} -\quad \\ & \left( {c + {a_1} + {c_1} + {a_2}} \right){m_2}{a_{y2}} = a{F_{y{\rm{f}}}} - b{F_{y{\rm{r}}}} - \\ & \left( {c + {L_1}} \right){F_{y1}} - \left( {c + {a_1} + {c_1} + {L_2}} \right){F_{y2}}.\quad\;\; \end{split} $

将2节半挂车作为整体，由第1个铰接点的横摆力矩平衡可得

(5) $ \begin{split} {I_{z1}}{r_1}\!^\prime + {I_{z2}}{r_2}\!^\prime - {a_1}{m_1}{a_{y1}} - \left( {{a_1} + {c_1} + {a_2}} \right){m_2}{a_{y2}} = \\ - {L_1}{F_{y1}} - \left( {{a_1} + {c_1} + {L_2}} \right){F_{y2}}. \end{split} $

将第2节半挂车作为整体，由第2个铰接点的横摆力矩平衡可得

(6) $ {I_{z2}}{r_2}\!^\prime - {a_2}{m_2}{a_{y2}} = - {L_2}{F_{y2}}. $

式（4）与式（5）相减，可得

(7) $ {I_z}r' - c{m_1}{a_{y1}} - c{m_2}{a_{y2}} = a{F_{y{\rm{f}}}} - b{F_{y{\rm{r}}}} - c{F_{y1}} - c{F_{y2}}. $

式（5）与式（6）相减，可得

(8) $ \begin{split} {I_{z1}}{r_1}^{\!\prime} - {a_1}{m_1}{a_{y1}} - \left( {{a_1} + {c_1}} \right){m_2}{a_{y2}} =\\ - {L_1}{F_{y1}} - \left( {{a_1} + {c_1}} \right){F_{y2}}. \end{split} $

由图2中的几何关系可知，ψ₁=ψ－θ₁，ψ₂=ψ₁－θ₁，对其求导可得2个鞍座的约束条件分别为

(9) $ \left. \begin{align} & {{r}_{1}}=r-{{{{{\theta }}}}^\prime_{1}}\rm{,} \\ & {{r}_{2}}={{r}_{1}}-{{{{{\theta }}}}^\prime_{2}}=r-{{{{{\theta }}}}^\prime_{1}}-{{{{{\theta }}}}^\prime_{2}}, \\ & {{{{r}}}^\prime_{1}}={r}'-{{\theta }_{1}}\!\!^{\prime\prime}\rm{,} \\ & {{{{r}}}^\prime_{2}}={{{{r}}}^\prime_{1}}-{{\theta }_{2}}\!\!^{\prime\prime}={r}'-{{\theta }_{1}}\!\!^{\prime\prime}-{{\theta }_{2}}\!\!^{\prime\prime}. \\ \end{align} \right\} $

令状态向量X=[v_y，r， ${\theta_1}\!\!'$，θ₁， ${\theta_2}\!\!'$，θ₂]^T，输入向量为U=[δ]，输出向量为Y=X=[v_y，r， ${\theta_1}\!\!'$，θ₁， ${\theta_2}\!\!'$，θ₂]^T. 式（3）、（6）~（9）构成微分方程组，将其转写为矩阵形式PX′+QX=RU，可得状态空间的表达式为

(10) $ \left. \begin{array}{l} {{X'}} = - {{{P}}^{ - 1}}{{QX}} + {{{P}}^{ - 1}}{{RU}} = {{AX}} + {{BU}},\\ {{Y}} = {{CX}} + {{DU}}. \end{array} \right\} $

利用以上建模方法比采用其他文献中的建模方法^{[11, 17, 20]}更易得到微分方程组，后续求解也更简洁，不易导致计算错误.

另一种常用的建模方法的微分方程组为

(11) $ \left. \begin{array}{l} m{a_y} = {F_{y{\rm{f}}}} + {F_{y{\rm{r}}}} - {F_1}{\rm{,}}\\ {I_z}r^\prime = a{F_{y{\rm{f}}}} - b{F_{y{\rm{r}}}} + cF,\\ {m_1}{a_{y1}} = {F_1} + {F_{y1}} - {F_2}{\rm{,}}\\ {I_{z1}}{{r}^\prime\!\!\!_1} = {a_1}{F_1} - {b_1}{F_{y1}} + {c_1}{F_2},\\ {m_2}{a_{y2}} = {F_2} + {F_{y2}}{\rm{,}}\\ {I_{z2}}{{r}^\prime\!\!\!_2} = {a_2}{F_2} - {b_2}{F_{y2}},\\ {r_1} = r - {\theta _1}\!\!^\prime {\rm{,}}\\ {{r}^\prime\!\!_1} = r^\prime - {\theta _1^{\prime \prime }\!},\\ {r_2} = {r_1} - {\theta}^\prime _2 = r - {\theta }^\prime _1 - {\theta }^\prime _2{\rm{,}}\\ {{r}^\prime\!\!_2} = {{r}^\prime\!\!_1} - {{\theta _2^{\prime \prime }\!}\!} = r' - {{\theta _1^{\prime \prime }}\!} - {{\theta _2^{\prime \prime }}\!}. \end{array} \right\} $

式中：F₁、F₂分别为2个铰接点的侧向作用力与反作用力. 该建模方法的微分方程数量多，求解过程较为复杂，极易造成计算失误.

车辆在前轮角阶跃输入下等速行驶时，得到的稳态响应为等速圆周运动，可用稳态横摆角速度与前轮转角的比值来评价稳态响应，通常情况下，过度的不足转向和过多转向，都会使车辆失去控制^[20]. 给直线等速行驶的双半挂汽车列车的前轮转向以一定的角阶跃输入，其进入等速圆周行驶的响应特性，是判定系统是否稳定的重要特性. 当系统进入稳态转向时，可近似认为r=r₁=r₂=r_S，v_y=v_y1=v_y2=v_yS，β=β₁=β₂=β_S，2个铰接点的铰接角相等且为常数，即θ₁=θ₂=θ_S，微分方程组中的微分变量为0，即 ${v_y}\!\!^\prime=r^\prime={r_1}\!\!^\prime={r_2}\!\!^\prime={\theta_1}\!\!^\prime={\theta}^{\prime\prime}\!\!\!_1={\theta_2}\!\!'={\theta}^{\prime\prime}\!\!\!_2=$0，式（10）可化简为X=Q⁻¹RU，则3个车辆单元的横摆角速度增益分别为

(12) $ \left. \begin{array}{l} {\left. {\displaystyle\frac{r}{\delta }} \right)_{\rm{S}}} = {{{v_x}}}\Big/\left({{K{v_x}^2 + L}}\right),\\ {\left. {\displaystyle\frac{{{r_1}}}{{{\theta _1}}}} \right)_{\rm{S}}} = {{{v_x}}}\Big/\left[{{{K_1}{v_x}^2 + {L_1} - \left( {b - c} \right)}}\right],\\ {\left. {\displaystyle\frac{{{r_2}}}{{{\theta _2}}}} \right)_{\rm{S}}} = {{{v_x}}}\Big/\left[{{{K_2}{v_x}^2 + {L_2} - \left( {{b_1} - {c_1}} \right)}}\right]. \end{array} \right\} $

式中：

(13) $ \begin{split} K = \left( {\displaystyle\frac{b}{{{k_{\rm{f}}}}} - \displaystyle\frac{a}{{{k_{\rm{r}}}}}} \right)\displaystyle\frac{m}{L} + \left( {\displaystyle\frac{{b - c}}{{{k_{\rm{f}}}}} - \displaystyle\frac{{a + c}}{{{k_{\rm{r}}}}}} \right)\frac{{{b_1}}}{{{L_1}}}\displaystyle\frac{{{m_1}}}{L} + \\\left( {\displaystyle\frac{{b - c}}{{{k_{\rm{f}}}}} - \displaystyle\frac{{a + c}}{{{k_{\rm{r}}}}}} \right)\displaystyle\frac{{{b_1} - {c_1}}}{{{L_1}}}\displaystyle\frac{{{b_2}}}{{{L_2}}}\displaystyle\frac{{{m_2}}}{L}, \end{split} $

(14) $ \begin{split} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{K_1} =& \displaystyle\frac{a}{{{k_{\rm{r}}}}}\displaystyle\frac{m}{L} + \left( {\displaystyle\frac{{a + c}}{L}\displaystyle\frac{b}{{{k_{\rm{r}}}}} - \displaystyle\frac{{{a_1}}}{{{k_1}}}} \right)\displaystyle\frac{{{m_1}}}{{{L_1}}} + \\ &\left( {\displaystyle\frac{{a + c}}{L}\displaystyle\frac{{{b_1} - {c_1}}}{{{k_{\rm{r}}}}} - \displaystyle\frac{{{a_1} + {c_1}}}{{{k_1}}}} \right)\displaystyle\frac{{{b_2}}}{{{L_2}}}\displaystyle\frac{{{m_2}}}{{{L_1}}}, \end{split} $

(15) $ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{K_2} = \frac{{{a_1}}}{{{k_1}}}\frac{{{m_1}}}{{{L_1}}} + \left( {\frac{{{a_1} + {c_1}}}{{{L_1}}}\frac{{{b_2}}}{{{k_1}}} - \frac{{{a_2}}}{{{k_2}}}} \right)\frac{{{m_2}}}{{{L_2}}}. $

其中，K、K₁、K₂分别牵引车、第1节和第2节半挂车的不足转向梯度，是表征稳定响应的重要参数. 在线性系统中，不足转向梯度仅由系统本身的物理参数决定. 如表1所示为双半挂汽车列车的结构参数.

当车辆纵向速度为0~50 m/s时，3个车辆单元的稳态横摆角速度增益随速度变化的曲线如图4所示. K=0.013 1>0表明牵引车具有不足转向特性，当v_x增加时， $\left.\displaystyle\frac{r}{\delta }\right)_{\rm S} $变化趋势为先增后减. K₂=0.004 8>0表明第2节半挂车具有不足转向特性， $\left.\displaystyle\frac{r_1}{\theta_1 }\right)_{\rm S} $变化趋势为先增后减. K₁=－0.009<0表明第1节半挂车具有过多转向特性， $\left.\displaystyle\frac{r_2}{\theta_2 }\right)_{\rm S} $变化趋势为不断变大且趋向于+∞. 这符合文献[20]中对稳态响应3种情况的阐述.

式（13）右侧3项分别为牵引车、第1节和第2节半挂车质量的稳定因数. 在一般情况下，k_f<k_r且数值差距大，a、b数值差距小，则b/k_f > a/k_r，表明第1项大于0. 当 (b−c)/k_f > ( a+c)/k_r时，第2项和第3项均大于0，K将增加，牵引车的不足转向趋势增强；当(b−c)/k_f < ( a+c)/k_r时，第2项和第3项均小于0，K将减小，牵引车的不足转向趋势减弱. 对具备载货量的重型双半挂汽车列车而言，第2项和第3项分别经m₁和m₂倍放大后会远小于0，导致牵引车的不足转向趋势大大削弱，产生中性或过多转向. 由图3所构建的模型，可知0 $ \leqslant$c $ \leqslant$b，代入表1中数据，可得c与K的变化关系. 如图5（a）所示，K随c的增大逐渐变小，但K>0. 因此，在总体布置设计中应该减小c，使牵引车保持较好的不足转向特性.

式（14）右侧3项分别为牵引车、第1节和第2节半挂车质量的稳定因数. 第1项大于0；当(a+c)b/(Lk_r) > a₁/k₁，(a+c)(b₁−c₁)/(Lk_r) > ( a₁+c₁)/k₁时，第2项和第3项均大于0，K₁将增加，第1节半挂车的不足转向趋势增强；当 (a+c)b/(Lk_r) < a₁/k₁，(a+c)(b₁−c₁)/(Lk_r) < ( a₁+c₁)/k₁ 时，第2项和第3项均小于0，K₁将减小，第1节半挂车不足转向趋势减弱. 对具备载货量的重型双半挂汽车列车而言，第2项和第3项分别经m₁和m₂倍放大后会远小于0，导致第1节半挂车的不足转向趋势大大削弱，产生中性或过多转向. 由图3所构建的模型，可知0 $ \leqslant$c₁$ \leqslant$b₁，代入表1中的数据，可得c₁与K₁的变化关系. 如图5（b）所示，K₁随c₁的增大逐渐变小，当c₁=1.89时，K₁=0，此后K₁<0. 因此，在总体布置设计中应该保持适当的c₁，使第1节半挂车具备适当的不足转向特性.

式（15）右侧2项分别为第1节和第2节半挂车质量的稳定因数. 第1项大于0；当 (a₁+c₁)b₂/(L₁k₁) > a₂/k₂时，第2项大于0，K₂将增加，第2节半挂车的不足转向趋势增强；当 (a₁+c₁)b₂/(L₁k₁) < a₂/k₂时，K₂将减小，第2节半挂车的不足转向趋势减弱. 对具备载货量的重型双半挂汽车列车而言，第2项经m₂倍放大后会远小于0，导致第2节半挂车的不足转向趋势大大削弱，产生中性或过多转向. 0 $ \leqslant$c₁$ \leqslant$b₁，代入表1中的数据，可得c₁与K₂的变化关系. 如图5（c）所示，K₂随c₁的增大逐渐增大，且K₂>0. 在总体布置设计中应该增大c₁，使第2节半挂车保持较好的不足转向特性. 但是，在增大c₁时要考虑K₁的变化情况，保证c₁<1.89.

K、K₁的变化与3个车辆单元均有关，K₂的变化与第1节和第2节挂车有关，变化趋势各不相同. K₁、K₂的变化趋势相反，且均受c₁的影响，在实际中，需根据载货量的大小，综合考虑并妥善调整参数c₁，使3个车辆单元处于不足转向状态.

为了研究在稳态情况下，铰接角与牵引车转向角之间的关系以及2个铰接角之间的关系对双半挂汽车列车操纵稳定性的影响，将式（12）的3个算式两两相除，可得稳态相对增益^[21]分别为

(16) $ \left. \begin{array}{l} {\left. {\displaystyle\frac{{{\theta _1}}}{\delta }} \right)_{\rm{S}}}{\rm{ = }}\left[{{{K_1}{v_x}^2 + {L_1} - \left( {b - c} \right)}}\right]\Big/\left({{K{v_x}^2 + L}}\right),\\ {\left. {\displaystyle\frac{{{\theta _2}}}{{{\theta _1}}}} \right)_{\rm{S}}}{\rm{ = }}\left[{{{K_2}{v_x}^2 + {L_2} - \left( {{b_1} - {c_1}} \right)}}\right]\Big/\left[{{{K_1}{v_x}^2 + {L_1} - \left( {b - c} \right)}}\right],\\ {\left. {\displaystyle\frac{{{\theta _2}}}{\delta }} \right)_{\rm{S}}}{\rm{ = }}\left[{{{K_2}{v_x}^2 + {L_2} - \left( {{b_1} - {c_1}} \right)}}\right]\Big/\left({{K{v_x}^2 + L}}\right). \end{array} \right\} $

文献[3]、[8]、[10]、[11]均提及半挂汽车列车的相对增益. 代入表1中数据，可得如式（16）所示的仿真结果；如图6所示. 当v_x增加时，式（16）中的第1式和第3式的变化趋势为逐渐减小，且各接近1个稳态值；第2式的变化趋势为不断增大且趋向于+∞.

改写式（16），可得

(17) $ \left. \begin{array}{l} \!\!{\left. {\displaystyle\frac{{{\theta _1}}}{\delta }} \right)_{\rm{S}}} \!\!=\!\! \displaystyle\frac{{{K_1}}}{K} + \displaystyle\frac{{{K_1}}}{K}\displaystyle\frac{{\left[{{{L_1} - \left( {b - c} \right)}}\right]\big/{{{K_1}}} - {L}\big/{K}}}{{{v_x}^2 + {L}\big/{K}}},\\ \!\!{\left. {\displaystyle\frac{{{\theta _2}}}{{{\theta _1}}}} \right)_{\rm{S}}} \!\!=\!\! \displaystyle\frac{{{K_2}}}{{{K_1}}} + \displaystyle\frac{{{K_2}}}{{{K_1}}}\displaystyle\frac{{\left[{{{L_2} - \left( {{b_1} - {c_1}} \right)}}\right]\big/{{{K_2}}} - \left[{{{L_1} - \left( {b - c} \right)}}\right]\big/{{{K_1}}}}}{{{v_x}^2 + \left[{{{L_1} - \left( {b - c} \right)}}\right]\big/{{{K_1}}}}},\\ \!\!{\left. {\displaystyle\frac{{{\theta _2}}}{\delta }} \right)_{\rm{S}}} \!\!=\!\! \displaystyle\frac{{{K_2}}}{K} + \displaystyle\frac{{{K_2}}}{K}\frac{{\left[{{{L_2} - \left( {{b_1} - {c_1}} \right)}}\right]\big/{{{K_2}}} - {L}\big/{K}}}{{{v_x}^2 + {L}\big/{K}}}. \end{array} \!\!\right\} $

由式（17）可知，K和K₁、K₁和K₂、K和K₂分别影响牵引车和第1节半挂车、第1节半挂车和第2节半挂车、牵引车和第2节半挂车之间的相对增益，进而影响转向稳定性. 在量化分析中，分类标准基于不足转向梯度（K、K₁、K₂）、质心位置（b、b₁、b₂）和鞍座位置（c、c₁、c₂）的变化，则式（17）的3个算式，根据其分子和分母的不同情况，会出现6类结果，如图7~9所示. 图中，M₁=L₁−(b−c)，M₂=L₂−(b₁−c₁).

提出新的建模分析方法，该方法思路清晰简洁，计算过程简单. 在牵引车前轮转角的阶跃输入下，稳态时双挂汽车列车做等速圆周运动，求解3个车辆单元的稳态横摆角速度增益表达式和不足转向梯度表达式，进而推导出3个车辆单元两两之间的稳态相对增益表达式. 分析鞍座位置变化与3个车辆单元不足转向梯度的关系. 通过量化分析，根据不足转向梯度、质心位置和鞍座位置的变化，对3个稳态相对增益曲线变化进行分析，每条曲线分为6种情况. 应尽量确保满足其中3种稳定情况，使双半挂汽车列车运行稳定. 当载荷量增加时，恰当调整2个鞍座的位置，尽量保证3个车辆单元处于不足转向状态，可保证汽车列车行驶状态良好. 本研究为双半挂汽车列车的结构参数设计和操纵稳定性改善提供了理论基础.