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图1 $30 \times 30$ 的栅格矩阵示意图

Fig.1 Schematic diagram of 30×30 grid matrix

栅格矩阵中存在若干静态障碍物和动态障碍物。对于任意位置的栅格都有唯一的坐标 $(x, y)$ 和序号与之相对应，在 $30 \times 30$ 的栅格环境中栅格序号 $s$ 和坐标 $(x, y)$ 的关系为：

\{\begin{array}{l} x = f i x (s / 30) + 1 \\ y = m o d (s, 30) + 1 \end{array}

G (x, y)

≠ 0

式中： $f i x$ 为向零舍入运算， $m o d$ 为求余运算， $G$ 为障碍物矩阵。

由栅格的坐标 $(x, y)$ 结合障碍物矩阵判断该位置是否为障碍物。

2 JPSG算法原理

$J P S G 算法$ 是利用 $J P S$ 算法高效率地搜索出一条局部最优路径来减少遗传算法的迭代次数，提高整体种群质量。采用 $J P S G 算法$ 可以有效解决遗传算法早期盲目搜索造成的收敛时间长、最优解不稳定的问题，能在较少的已知数据下保障最优解。随着迭代次数增加，最优解越早出现，则对提高遗传算法的稳定性越有好处。

2.1　改进遗传算法

改进遗传算法主要通过采用自适应交叉概率、变异概率和改进适应度函数计算方法来加快算法的收敛速度。

2.1.1　选择算子

轮盘赌法的选择方式是根据概率且将概率大小与适应度相关联，从而使有较高适应度的个体具有更大优势。表示为：

p_{i} = \frac{f_{i}}{\sum_{j = i}^{M} f_{j}}

(3)

式中： $p_{i} 为$ 轮盘赌法中的种群个体的概率值； $f_{i} 为$ 种群个体的适应度值；j为种群数量，j=1, 2, …, M。

2.1.2　交叉算子

交叉算子的主要作用是产生新的个体。交叉概率越大，新个体产生速度越快，同时种群中最优个体被破坏的概率越大；交叉概率越小，遗传算法的收敛速度越慢。表示为：

p_{c} = \{\begin{array}{l} 1, p_{m a x} \geq 3 p_{m i n} \\ 0.2 s i n [\frac{π}{2} (2 + \frac{p_{m a x}}{p_{m i n}})] + 0.8, 其他 \end{array}

(4)

式中： $p_{c} 为$ 交叉概率， $p_{m a x} 、 p_{m i n}$ 分别为本次迭代中种群的最大、最小路径长度。

由式(4)可知：若当前种群的最大路径长度与最小路径长度的比值变大时，交叉概率随之变大。通过不断交叉使种群路径长度加速向当前迭代种群最优路径长度靠拢；当交叉概率较小时，可以避免种群中最优路径长度被破坏。

2.1.3　变异算子

变异运算是使遗传算法突破局部最优解的重要方法。变异概率太小，则产生新个体的几率较小，且容易出现早熟现象；变异概率太大，则随机概率较大。表示为：

p_{m} = 0.05 \times [1 + c o s (\frac{π}{2} \times \frac{1.5 \times \sqrt[]{{(x_{g} - x_{s})}^{2} + {(y_{g} - y_{s})}^{2}}}{p_{m a x}})]

(5)

式中： $p_{m}$ 为变异概率， $x_{s} 、 y_{s}$ 分别为起点的横坐标和纵坐标， $x_{g} 、 y_{g}$ 分别为终点的横坐标和纵坐标。

若迭代时迭代种群内最大路径长度与起点与终点之间的距离相差较大，则当变异概率逐渐增大时，变异后得出更优的路径长度，而不至于使种群路径长度陷入局部最优路径长度。当变异概率减小时，不会破坏当前种群内路径长度的稳定性。

2.1.4　插入算子

根据式(6)可以判断路径中相邻栅格节点间是否连续。根据式(2)中 G 值是否为0，来判断每相邻两步之间是否需要重新插入节点。表示为：

m a x [a b s (x_{n e x t} - x_{n o w}), a b s (y_{n e x t} - y_{n o w})] \approx 1

(6)

\{\begin{array}{l} x_{i n s e r t} = f l o o r (\frac{x_{n e x t} + x_{n o w}}{2}) \\ y_{i n s e r t} = f l o o r (\frac{y_{n e x t} + y_{n o w}}{2}) \end{array}

(7)

式中：abs为绝对值函数，max为取最大值函数，floor为向下取整函数， $x_{n o w} 、 y_{n o w}$ 分别为当前节点的横坐标和纵坐标， $x_{n e x t} 、 y_{n e x t}$ 分别为下一节点的横坐标和纵坐标， $x_{i n s e r t} 、 y_{i n s e r t} 分别$ 为插入点的横坐标和纵坐标。

2.1.5　适应度函数

个体i的适应度表示个体在种群生存的优势程度，用于区分个体的优劣。

F_{i} = \sum_{i = 2}^{n} \sqrt[]{{(x_{i} - x_{i - 1})}^{2} + {(y_{i} - y_{i - 1})}^{2}}

(8)

F = \sqrt[]{{(x_{g} - x_{s})}^{2} + {(y_{g} - y_{s})}^{2}}

(9)

f_{i} = \frac{1}{F_{i} - F + ε}, ε \in [0, 1]

(10)

式中：F_i 为路径长度，F为起点与终点之间的距离， $ε 为$ 在区间服从均匀分布的随机数， $m$ 为最优跳点个数。

原适应度值仅仅由路径长度的倒数决定，当路径长度相近并接近最优解时，适应度值相差不大而难以区分，改进后以F_i 与 $F$ 的差值作为分母。当2个路径长度接近时能较好区分出更优路径长度而加速收敛。

2.2　JPS算法

通过式 $(11)$ 所示当前节点与上一节点之间的距离关系来判断当前方向是直行还是沿对角线方向。跳点搜索算法的优点是可以兼顾当前节点和上一节点的位置，即根据上下节点的位置关系判断下一步前进方向，同时为当前节点识别出自然邻居和强制性邻居。

\{\begin{matrix} a b s (x_{n o w} - x_{p r e}) \neq 1 \\ a b s (y_{n o w} - y_{p r e}) \neq 1 \end{matrix}

(11)

式中： $x_{p r e} 、 y_{p r e}$ 分别为上一节点的横坐标和纵坐标。

自然邻居定义为当前节点沿对角线方向上的下一个节点、水平方向上的下一个水平节点和垂直方向上的下一个垂直节点。若当前节点的邻居节点中有障碍物，且从上一节点经过当前节点到达下一节点的距离比不经过当前节点到达下一节点的距离小，则称下一节点为强制邻居，如图2和图3所示。

图2

图2 斜线强制邻居示意图

Fig.2 Schematic diagram of oblique line forced neighbors

图3

图3 直线强制邻居示意图

Fig.3 Schematic diagram of linear forced neighbors

2.2.1　跳点评估函数

通过搜索规则对跳点进行评估，选择出最优跳点以组成最优路径。评估函数如下：

f_{c o s t} = \sum_{i = 2}^{m} \sqrt[]{{(x_{m} - x_{m - 1})}^{2} + {(y_{m} - y_{m - 1})}^{2}}

(12)

f_{v a l u e} = \sqrt[]{{(x_{g} - x_{n o w})}^{2} + {(y_{g} - y_{n o w})}^{2}}

(13)

f_{j p s} = f_{c o s t} + f_{v a l u e}

(14)

式中： $f_{c o s t} 为$ 当前经过路径长度， $f_{v a l u e} 为$ 当前点与终点之间的距离， $f_{j p s} 为$ 评估函数值。

通过路径评估函数可以评判起点、跳点和终点依次连接后的路径是否为最佳路径。跳点搜索如图4所示。图中深灰色和浅灰色栅格为跳点，其中将最优跳点（浅灰色栅格）连接后，可以构成一条由起点到终点的最优路径。

图4

图4 跳点搜索示意图

Fig.4 Schematic diagram of $j u m p p o i n t s e a r c h$

2.2.2　 $o p e n l i s t$ 列表

在 $o p e n l i s t$ 列表中储存着下一个跳点信息，根据跳点评估函数计算出各个跳点值的大小，进行排序。 $o p e n l i s t$ 列表中存在着函数值相同的跳点，在其中总是优先弹出第1个跳点的位置，导致后面的跳点无法被考虑到是否为最优跳点，因此，将函数值相同的跳点一一弹出，按照所弹出跳点的位置进行路径规划，并根据路径长度选择最优跳点。

3 JPSG算法流程

$J P S G 算法流程如图 5 所示。 J P S$ 算法具有高效的局部搜索能力，改进自适应遗传算法具有较好的全局搜索能力。将 $J P S$ 算法的解析结果融入随机概率，初始化种群以加快迭代速度，同时将 $J P S$ 算法融入变异算子，随着断点位置不同可得到多种局部最优结果，最后通过对比得到最优路径。

图5

图5 $J P S G$ 算法流程图

Fig.5 Flow chart of $J P S G$ algorithm

4 路径规划仿真研究

在所建立的栅格矩阵上进行自主移动机器人路径规划仿真。

4.1　基于JPS算法的路径规划

基于 $传统 J P S$ 算法的路径规划结果如图6所示。将 $算法中 o p e n l i s t$ 列表进行改进，得到的路径规划结果如图7所示。图6中的路径长度为31.556 3，图7中的路径长度为30.970 5，可见图7中的路径为最优路径。图7中，在栅格坐标（11, 12）处存在2条到下一节点的函数值相同的路径，算法改进后由于 $o p e n l i s t$ 列表在（11, 12）处弹出等值点，实现了提前规划最优路径。

图6

图6 基于传统 $J P S$ 算法的路径规划结果

Fig.6 Path planning result based on traditional JPS algorithm

图7

图7 基于改进 $J P S$ 算法的路径规划结果

Fig.7 Path planning result based on improved JPS algorithm

4.2　静态环境下路径规划

分别采用JPSG算法、改进JPS算法、改进遗传算法和传统遗传算法进行静态环境下的路径规划，并将规划结果进行对比，来验证 $J P S G$ 算法的优越性。在相同的静态环境下，采用 $M A T L A B$ $2021 b$ 软件运行上述4种算法。将规划路径的长度、准确率、收敛迭代次数和规划时间等作为参数对算法性能进行评估，其中准确率是指该算法下出现种群最小路径长度的次数与最大迭代次数的比值。在 $30 \times 3$ 0的栅格矩阵上进行仿真。参数设置如下： $M = 10 000 个$ ， $0.6 \leq p_{c} \leq 1.0$ ， $0.02 \leq p_{m} \leq 0.10$ ，最大迭代数 $T = 100 次$ 。路径规划仿真结果如图8所示。采用JPSG算法、改进JPS算法、改进遗传算法和传统遗传算法得到的路径规划结果如图8所示。 $J P S$ 算法中没有种群规模和迭代次数，因此将基于JPSG算法、改进遗传算法和传统遗传算法的规划路径长度进行对比，如图9所示，算法性能对比如表1所示。

图8

图8 静态环境下路径规划的仿真结果

Fig.8 $S i m u l a t i o n r e s u l t s o f p a t h p l a n n i n g i n s t a t i c e n v i r o n m e n t$

图9

图9 静态环境下规划路径长度的仿真结果

Fig.9 $S i m u l a t i o n r e s u l t s o f p a t h p l a n n i n g l e n g t h i n s t a t i c$ $e n v i r o n m e n t$

表1 静态环境下算法性能对比

Table1 Comparison of algorithm performance in static environment

算法	规划路径长度	准确率/%	收敛迭代数/次	规划时间/s	方差
$J P S G 算法$	$43.399 5$	$95$	$15$	$7.9$	$0.103$
改进遗传算法	$43.937 1$	$55$	$36$	$8.9$	$0.147$
传统遗传算法	$44.072 6$	$50$	$40$	$9.3$	$0.149$

由图8可知：相对于改进JPS算法、改进遗传算法和传统遗传算法，JPSG算法具有更好的整体搜索能力，利用 $J P S$ 算法的快速局部搜索能力可加快收敛速度，且不容易陷入局部最优解； $J P S$ 算法的整体搜索能力易受周围障碍物的影响；遗传算法易陷入局部最优解。

由表1可知：相较于改进遗传算法和传统遗传算法，JPSG算法的规划路径长度最短，收敛迭代次数最少；准确率分别提高了72%、90%；规划时间分别减小了12%、15%；方差值分别减小了30%、31%，表明 $J P S G$ 算法的规划结果更加稳定。可见 $J P S G$ 算法融合了2种算法的优点，能够避免陷入局部循环、加快收敛速度以及具备较高的搜索正确率，使自主移动机器人得到最优的规划路径。此外，基于JPSG算法分别在20×20和30×30栅格矩阵上的路径规划结果如图10所示。将JPSG算法与文献[22]和文献[23]提出的RRT（rapidly-exploring random tree,快速搜索随机树）算法和改进遗传-鲸鱼融合算法等进行对比，算法性能对比如表2和表3所示。

图10

图10 基于JPSG算法的路径规划结果

Fig.10 Path planning results based on JPSG algorithm

表2 JPSG算法与文献[22]中算法的性能对比

Table 2 Performance comparison between JPSG algorithm and the algorithm in literature [22]

算法	规划时间/s	路径长度	拐点总数量/个
传统 $R R T$ 算法	0.707 3	38.85	38
改进 $R R T$ 算法	0.092 5	41.25	15
$D i j k s t r a$ 算法	4.674 8	27.31	—
$R R T - D i j k s t r a$ 算法	0.915 0	31.37	6
$J P S$ 算法	0.228 5	27.31	6
$J P S G 算法$	1.432 5	27.31	6

表3 JPSG算法与文献[23]中算法的性能对比

Table 3 Performance comparison between JPSG algorithm and the algorithm in literature [23]

算法	规划路径长度	规划时间/s
遗传算法	31.67	20.540 0
改进遗传算法	31.34	20.120 0
改进遗传-鲸鱼融合算法	30.34	19.570 0
$J P S$ 算法	28.04	0.273 6
$J P S G 算法$	28.04	1.372 4

由表1和表2可知：JPSG算法和 $J P S$ 算法在简单障碍物下搜索效率较高；由表2得出知改进 $J P S$ 算法相较于传统 $R R T$ 算法和 $R R T - D i j k s t r a$ 算法具有短时间寻优能力，与 $D i j k s t r a$ 算法相对比具有更高的搜索效率。

由表3可知， $J P S G$ 算法相较于文献[23]中的遗传算法、改进遗传算法和改进遗传-鲸鱼融合算法在地图规模和障碍物简单的状况下的搜索效率更优。

4.3　动态环境下路径规划仿真

上述仿真是在静态环境下进行的，在实际中机器人所处工作环境大多是动态的，因此在动态环境下分别采用JPSG算法、改进JPS算法、 $改进遗传算法和传统遗传算法$ 进行路径规划仿真与对比，来验证JPSG算法适应动态环境的优异性。设定机器人的探测半径为 $\sqrt[]{5}$ ，其移动速度为单位时间内的移动步长，时间步长 $∆ t = 0.5 s$ ，动态障碍物的移动速度为 $2 / s$ 。当无动态障碍物时，自主移动机器人按照原优化路径行走。由单位时间和动态障碍物的移动速度可以计算出机器人与动态障碍物发生碰撞的时间。利用MATLAB $2021 b$ 软件运行上述4种算法，得到动态环境下路径规划仿真结果。在静态和动态环境下路径规划仿真结果的对比如图11所示。其中，当采用JPSG算法时，机器人遇到第1和第2个动态障碍物后的路径规划如图12所示。图中带有空心箭头的实线代表动态障碍物的运动路径，带有实心箭头的实线代表静态环境下的规划路径，点划线代表动态环境下的规划路线，虚线代表动态障碍物的运动范围，箭头代表运动方向。将基于JPSG $算法$ 、改进 $遗传算法$ 和传统 $遗传算法$ 的规划路径长度进行对比如图13所示，算法性能对比如表4所示。

图11

图11 在静态和动态环境下路径规划仿真结果的对比

Fig.11 Comparison of simulation results of path planning in static and dynamic environments

图12

图12 机器人遇到第1，2个动态障碍物后的路径规划示意

Fig.12 Schematic of path planning after the robot encounters the first and second dynamic obstacles

图13

图13 动态环境下规划路径长度的仿真结果

Fig.13 Simulation results of path planning in dynamic environment

表4 动态环境下不同算法的性能对比结果

Table 4 Performance comparison results of different algorithms in dynamic environments

算法	规划路径长度	准确率/%	收敛迭代数/次	规划时间/s	方差
$J P S G$ 算法	$44.100 6$	$82$	$19$	9.1	$0.142$
改进遗传算法	$44.956 7$	$53$	$39$	10.4	$0.286$
$传统遗传算法$	$45.280 3$	$42$	$42$	10.6	$0.293$

由图11可知：遗传算法对动态环境的适应性较差；在障碍物不断变化的情况下， $J P S$ 算法的整体搜索能力易受周围障碍物影响；JPSG算法对动态环境的适应能力较好，能快速收敛而节省搜索时间。

由表4可知：相较于改进遗传算法和传统遗传算法，JPSG算法的规划路径长度最短，收敛迭代次数最少；准确率分别提高了55%、95%；规划时间分别减小了12%、14%；方差值分别减小了50%、51%，表明 $J P S G$ 算法的规划结果更加稳定。可见JPSG算法融合了2种算法的优点，能够避免陷入局部循环、加快收敛速度以及具备较高的搜索正确率，使自主移动机器人得到最优的规划路径。

5 结论

通过改进 $J P S 算法的 o p e n l i s t$ 弹出机制优化了 $J P S$ 算法规划路径的准确性，同时采用自适应交叉算子和变异算子改进遗传算法来优化收敛时间，最后将改进 $J P S$ 算法和改进自适应遗传算法融合，得到JPSG算法在静态和动态环境下分别采用JPSG算法、改进遗传算法、传统遗传算法进行自主移动机器人路径规划，并将各算法下规划的路径进行对比，结果表明JPSG算法在稳定性、快速性、准确性上具有明显的优势。

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