基于自适应神经网络的机械臂滑模轨迹跟踪控制

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.050

基于自适应神经网络的机械臂滑模轨迹跟踪控制

李琦琦^,¹, 徐向荣^,^,¹, 张卉¹^,²

1.安徽工业大学机械工程学院，安徽马鞍山 243032

2.安徽工业大学冶金工程学院，安徽马鞍山 243032

Sliding mode trajectory tracking control of manipulator based on adaptive neural network

LI Qiqi^,¹, XU Xiangrong^,^,¹, ZHANG Hui¹^,²

1.School of Mechanical Engineering, Anhui University of Technology, Maanshan 243032, China

2.School of Metallurgical Engineering, Anhui University of Technology, Maanshan 243032, China

通讯作者: 徐向荣（1962—），男，安徽无为人，教授，博士，从事仿生力学、机器人轨迹规划与控制、生物力学等研究，E-mail: xuxr@ahut.edu.cn，https://orcid.org/0000-0002-3663-4457

收稿日期: 2022-12-23 修回日期: 2023-02-01

基金资助:

国家重点研发计划项目.  2017YFE0113200
国际科技合作基地开放资金资助项目.  ISTC2021KF07.  ISTC2021KF08
安徽工业大学校青年基金资助项目.  QZ202217

Received: 2022-12-23 Revised: 2023-02-01

作者简介 About authors

李琦琦（1996—），男，安徽宿州人，硕士生，从事机器人技术及应用研究，E-mail:13637099782@163.com , E-mail：13637099782@163.com

摘要

针对动态建模误差和不确定性扰动对机械臂末端高精度轨迹跟踪控制的不利影响，提出了一种新型的基于自适应神经网络的机械臂滑模控制策略。该控制策略可分为三部分：自适应神经网络补偿项、切换控制项和等效控制项。自适应神经网络的引入，避免了建模误差和外界未知扰动对机械臂系统的影响，提高了轨迹跟踪精度；切换控制项可使机械臂系统性能在迅速趋近滑模面的同时以很小的速率趋近平衡点，既能保证系统稳定，又能避免系统过于抖振；等效控制项用于对机械臂动力学模型的重力项和哥氏力项进行补偿，实现对模型的线性化处理，保证了系统的控制精度。最后，通过构造Lyapunov函数验证了所设计控制系统的稳定性，并在MATLAB/Simulink环境下和机器人系统工具箱中开展仿真实验和对比实验。结果表明，所提出的控制算法能够在保持机械臂稳定性的同时实现高精度的轨迹跟踪，验证了该控制算法的有效性和优越性。自适应神经网络滑模控制算法可为提高机械臂末端轨迹跟踪精度提供一种解决方案。

关键词： 机械臂 ; 高精度 ; 轨迹跟踪 ; 自适应神经网络

Abstract

In view of the adverse effects of dynamic modeling errors and uncertain perturbations on the high-precision trajectory tracking control of the end of manipulators, a novel sliding mode control strategy for manipulators based on the adaptive neural network was proposed. The control strategy could be divided into three parts: adaptive neural network compensation term, switching control term and equivalent control term. The introduction of adaptive neural network avoided the influence of modeling error and unknown external disturbance on the manipulator system, and improved the trajectory tracking accuracy. The switching control term could enable the manipulator system performance to quickly approach the sliding mode surface while approaching the equilibrium point at a very small rate, so as to ensure system stability while avoiding excessive chattering. The equivalent control term was used to compensate the gravity term and Coriolis force term of the manipulator dynamics model, which realized the linearization of the model and ensured the system control accuracy. Finally, the stability of the designed control system was proved by constructing the Lyapunov function, and the simulation experiment and comparison experiment were carried out in MATLAB/Simulink environment and robot system toolbox. The results showed that the proposed control algorithm could achieve high-precision trajectory tracking while maintaining the stability of the manipulator, which verified the correctness and superiority of this control algorithm. The adaptive neural network sliding mode control algorithm provides a solution for enhancing the trajectory tracking accuracy of the end of manipulators.

Keywords： manipulator ; high-precision ; trajectory tracking ; adaptive neural network

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本文引用格式

李琦琦, 徐向荣, 张卉. 基于自适应神经网络的机械臂滑模轨迹跟踪控制. 工程设计学报[J], 2023, 30(4): 512-520 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.050

LI Qiqi, XU Xiangrong, ZHANG Hui. Sliding mode trajectory tracking control of manipulator based on adaptive neural network. Chinese Journal of Engineering Design[J], 2023, 30(4): 512-520 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2023.00.050

随着工业的发展，对机械臂性能的要求不断提高，其中轨迹跟踪精度是评价机械臂性能的重要因素之一^[1-3]。在机械臂的实际操作过程中，由于受到外界干扰以及建模误差的影响，其运动轨迹常常会偏离预期轨迹。因此，设计性能优良的轨迹跟踪控制器具有重要价值^[4-5]。

目前，国内外学者提出了多种控制算法，用于解决机械臂末端轨迹跟踪精度不高的问题，如模糊控制、迭代学习控制、反演控制、鲁棒控制和滑模控制等^[6-10]。其中，滑模控制因具有自身切换项，对外界扰动不敏感，被广泛应用于机械臂控制。但是，自身切换项的存在会给控制系统带来不良影响，即会使系统产生不同程度的抖振。因此，研究如何减小抖振并保证系统稳定是滑模控制成功应用于机械臂系统的重要环节^[11-12]。

为了从理论上解决滑模控制的抖振问题，杨亮等^[13]提出了滑模趋近律概念，同时给出了等速趋近律、指数趋近律和幂次趋近律等方法，用于解决机械臂系统的抖振问题。对于滑动模态上的改进，Duan、Dwivedi等^[14-15]分别提出用饱和函数取代符号函数、准滑动模态等方案，与具有理想开关特性的符号函数相比，基于饱和函数的输入力矩曲线较平滑，可削弱系统的抖振。终端滑模控制策略是在变结构理论发展中提出的一种先进的控制策略，相较于传统的线性滑模控制，终端滑模控制能够在保证系统稳定的同时使系统在固定时间内收敛。Gillini等^[16]提出了一种非奇异终端滑模控制策略，该策略克服了终端滑模控制的奇异特性和线性滑模的收敛速度较慢的问题；何欣荣等^[17]针对滑模控制收敛时间受初始误差影响的问题，提出了一种固定时间滑模面，将其应用于机械臂系统并开展仿真实验，验证了所提出控制算法的有效性；郭宇飞等^[18]将对数幂次趋近函数引入滑模趋近律中，通过严格的数学计算推导出收敛时间的有限性，并开展了相关的仿真实验和对比实验，对控制算法的正确性和优越性进行了验证；翟伟娜等^[19]在传统滑模变结构不足的基础上，提出了一种改进的双幂次趋近律，通过调整参数，使得机械臂系统能较快地跟踪给定轨迹且抖振较小。然而在实际应用中，须对包括外界扰动的不确定因素进行保守估计，但这会引起较大的切换增益，进而导致系统产生抖振。针对这一问题，国内外学者在滑模控制的基础上，通过引入其他控制策略来对不确定信号进行补偿，以获得更好的跟踪效果。孟思华等^[20]在非线性积分滑模控制的基础上，引入RBF（radial basis function，径向基函数）神经网络对双关节机械臂的不确定因素进行在线补偿，提高了系统的定位精度，降低了关节的抖振幅度。李正楠、Jia等^[21-22]在用时间延迟估计对机械臂模型进行简化的基础上，将自适应模糊策略引入非奇异终端滑模控制中，通过实时调节切换增益，减小了系统的抖振。

目前，很多文献中提出的轨迹跟踪算法均只针对二自由度机械臂进行了验证^[23-24]。为此，笔者拟针对存在建模误差和外界扰动的六自由度机械臂系统，提出一种基于名义模型的自适应神经网络滑模控制策略。该控制策略可分为三部分：自适应神经网络补偿项、切换控制项和等效控制项。首先，建立机械臂的理论动力学模型，并分析理论模型和实际模型之间的集总建模误差；然后，利用自适应神经网络对建模误差进行在线实时补偿，在提高机械臂系统跟踪精度的同时减小系统的抖振；接着，通过构建Lyapunov函数来验证整个系统的稳定性；最后在MATLAB/Simulink环境下对机械臂进行仿真实验，并与PD（proportional-derivative，比例-微分）控制算法和文献[24]中的控制算法进行比较，以验证所提出控制算法的有效性和优越性，旨在为多自由度机械臂的高精度轨迹跟踪提供一种可行的解决方案。

1 机械臂动力学模型构建

本文以Kinova Jaco2六自由度机械臂为研究对象，该机械臂系统的整体结构及其D-H坐标系如图1所示。

图1

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图1 六自由度机械臂系统结构及其D-H坐标系

Fig.1 Structure of six-degree-of-freedom manipulator system and its D-H coordinate system

考虑到实际建模误差和外界干扰的影响，根据拉格朗日法，建立机械臂的动力学方程：

M (q) \ddot{q} + C (q, \dot{q}) \dot{q} + G (q) + F (\dot{q}) + τ_{d} = τ

式中： $q 、 \dot{q} 、 \ddot{q}$ 分别为机械臂关节空间中的关节角度矢量、关节角速度矢量和关节角加速度矢量， $q, \dot{q}, \ddot{q} \in R_{6 \times 1}$ ； $M (q)$ 为惯性矩阵， $M (q) \in R_{6 \times 6}$ ； $C (q, \dot{q})$ 为离心力和哥氏力矩阵， $C (q, \dot{q}) \in R_{6 \times 1}$ ； $G (q)$ 为重力矩阵， $G (q) \in R_{6 \times 1}$ ； τ 为关节控制力矩， $τ \in R_{6 \times 1}$ ； τ_d为机械臂系统的时变有界外部扰动， $τ_{d} \in R_{6 \times 1}$ ； $F (\dot{q})$ 为关节摩擦力矩阵， $F (\dot{q}) \in R_{6 \times 1}$ 。

上述动力学模型具有以下几个性质：

1） $\dot{M} (q) - 2 C (q, \dot{q})$ 是一个斜对称矩阵，即存在对于 $\forall x \in R$ ， $x^{T} (\dot{M} (q) - 2 C (q, \dot{q})) x = 0$ 。

2）惯性矩阵 $M (q)$ 为对称正定惯性矩阵，即存在正数m₁、m₂，满足不等式 $m_{1} {‖x‖}^{2} \leq x^{T} M (q) x \leq m_{2} {‖x‖}^{2}$ 。

[引理]：针对 $ψ$ : $[0, \infty) \in R$ ，存在不等式方程 $\dot{ψ} \leq - α ψ + f$ ，对于 $\forall t \geq t_{0} \geq 0$ ，其解为：

ψ (t) \leq e^{- α (t - t_{0})} ψ (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} e^{- α (t - ζ)} f (ζ) d ζ

式中： $α$ 为任意常数。

在工程实践中，由于存在不确定性扰动和动力学参数辨识困难的问题，很难建立机械臂的精确动力学模型。因此，本文在机械臂理论动力学模型的基础上，构建机械臂动力学方程的名义模型。具体处理方法为：对机械臂理论动力学模型中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矩阵、重力矩阵进行进一步处理，将每一项看作名义模型项和不确定项之和，即：

\{\begin{array}{l} M (q) = M_{0} (q) + Δ M (q) \\ C (q, \dot{q}) = C_{0} (q, \dot{q}) + Δ C (q, \dot{q}) \\ G (q) = G_{0} (q) + Δ G (q) \end{array}

式中： $M_{0} (q) 、 C_{0} (q, \dot{q}) 、 G_{0} (q)$ 分别为名义模型中的名义惯性矩阵、名义离心力和哥氏力矩阵、名义重力矩阵； $Δ M (q) 、 Δ C (q, \dot{q}) 、 Δ G (q)$ 为动力学模型的不确定项，即机械臂系统的模型误差。

将式(2)代入式(1)，可得：

M_{0} (q) \ddot{q} + C_{0} (q, \dot{q}) \dot{q} + G_{0} (q) + ρ = τ

其中：

ρ = Δ M (q) + Δ C (q, \dot{q}) + Δ G (q) + F (\dot{q}) + τ_{d}

式中： ρ 为动力学模型的集总建模误差，即总的不确定项。

2 机械臂控制系统设计

设机械臂的目标关节角度为 $q_{d} (t)$ ，实际关节角度为 $q (t)$ ，则关节角度跟踪误差 $e (t)$ 、关节角速度跟踪误差 $\dot{e} (t)$ 和关节角加速度跟踪误差 $\ddot{e} (t)$ 分别表示为：

\{\begin{array}{l} e (t) = q_{d} (t) - q (t) \\ \dot{e} (t) = {\dot{q}}_{d} (t) - \dot{q} (t) \\ \ddot{e} (t) = {\ddot{q}}_{d} (t) - \ddot{q} (t) \end{array}

滑模面 s 选取线性滑模面，即：

s = \dot{e} + Λ e

其中：

s = {[s_{1} s_{2} \dots s_{n}]}^{T}, Λ = d i a g (Λ_{1}, Λ_{2}, \dots, Λ_{n})

式中： Λ 为待设计的参数矩阵。

对式(5)求导并将式(3)和式(4)代入，可得：

\begin{array}{l} \dot{s} = \ddot{e} + Λ \dot{e} = {\ddot{q}}_{d} - \ddot{q} + Λ \dot{e} = \\ {\ddot{q}}_{d} - M_{0}^{- 1} (q) (τ - C_{0} (q, \dot{q}) \dot{q} - G_{0} (q) - ρ) + Λ \dot{e} \end{array}

令式(6)中的 $\dot{s} = 0$ ，可得机械臂的等效控制律：

τ_{e q} = M_{0} (q) {\ddot{q}}_{d} + C_{0} (q, \dot{q}) \dot{q} + G_{0} (q) + M_{0} (q) Λ \dot{e}

式中： τ_eq为等效控制力矩。

控制系统的趋近律取指数趋近律，即：

\dot{s} = - k s - ε s g n (s), k > 0, ε > 0

式(8)中 $\dot{s} = - k s$ 项为指数趋近项，其解为：

s (t) = s (0) e^{- k t}

在 $k$ 选择合适的情况下，可保证机械臂控制系统趋近稳定，且系统的趋近速度与k值大小有关。定义Lyapunov函数为 $V = 1 / 2 s^{2}$ ，对其求导并代入指数趋近率，可得：

\dot{V} = s \dot{s} = s (- k s - ε s g n (s)) = - k s^{2} - ε |s| \leq - \frac{k}{2} V

根据[引理]，针对式(9)，取 $α = k / 2$ ， $f = 0$ ，则式(9)的解为： $V (t) \leq e^{- \frac{k}{2} (t - t_{0})} V (t_{0})$ 。由此可知，加入等速趋近项后，机械臂系统仍是收敛的。

在指数趋近律中加入等速趋近项的原因是：由式(8)的解的表达式可以看出，采用纯指数趋近时，运动点逼近切换面的过程是渐进的，系统到达滑模面的时间不是有限的，且在到达滑模面时的趋近速度很小，甚至趋于零；而加入等速趋近项后，运动点逼近切换面时的趋近速度是常值 $ε$ ，保证了系统状态向量在到达滑模面时能以较小的速度趋近平衡点。

由式(7)和式(8)可得，系统切换项的控制律为：

τ_{s} = M_{0} (q) (k s + ε s g n (s))

综上可得，机械臂系统在名义模型下的控制律为：

\begin{array}{l} τ = τ_{e q} + τ_{s} = M_{0} (q) ({\ddot{q}}_{d} + Λ \dot{e} + k s + ε s g n (s)) + \\ C_{0} (q, \dot{q}) \dot{q} + G_{0} (q) \end{array}

考虑机械臂系统动力学模型的总不确定项 ρ 时，定义 $\hat{ρ}$ 为 ρ 的估计值，则机械臂系统的控制律更新为：

\begin{array}{l} τ = τ_{e q} + τ_{s} + \hat{ρ} = M_{0} (q) ({\ddot{q}}_{d} + Λ \dot{e} + k s + ε s g n (s)) + \\ C_{0} (q, \dot{q}) \dot{q} + G_{0} (q) + \hat{ρ} \end{array}

随后，利用自适应RBF神经网络能在一个紧凑集和任意精度下逼近任何非线性函数的特性来预估机械臂系统的不确定函数，并将其估计值作为前馈端输入到控制系统中。RBF神经网络的结构主体包括输入层、隐含层和输出层，如图2所示。

图2

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图2 RBF神经网络结构

Fig.2 RBF neural network structure

图2所示的RBF神经网络包括n个输入层、m个隐含层和1个输出层。在该神经网络中，用 $X = {[x_{1} x_{2} \dots x_{n}]}^{T}$ 来表示输入层数据，在实际应用中，可以根据不同情况选取不同的维度和参数；用 $h = {[h_{1} h_{2} \dots h_{m}]}^{T}$ 表示隐含层的输出，每一个元素 $h_{j} (j = 1, 2, \dots, m)$ 代表一个神经元，每个神经元的值均用高斯基函数来计算，可表示为：

h_{j} (t) = e x p (- \frac{{‖X - c_{j}‖}^{2}}{2 b_{j}^{2}})

其中：

c = [\begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n m} \end{matrix}]

式中： c 为一个 $n \times m$ 阶矩阵，取其每一列向量 $c_{j}$ 作为第 $j$ 个神经元高斯基函数中心点的向量； $b = {[b_{1} b_{2} \dots b_{m}]}^{T}$ ， $b_{j}$ 为第j个高斯基函数的宽度。

假设神经网络输出层的理想权值 $W = {[ω_{1} ω_{2} \dots ω_{m}]}^{T}$ ，可计算RBF神经网络的理想输出值y，表示为：

y = \sum_{j = 1}^{m} ω_{j} h_{j} (t)

根据RBF神经网络的工作原理，在机械臂系统控制应用中，取 $X = [e^{T} {\dot{e}}^{T} q_{d}^{T} {\dot{q}}_{d}^{T} {\ddot{q}}_{d}^{T}]$ 作为输入向量，则RBF神经网络对不确定项 $ρ$ 的估计输出为：

\hat{ρ} = {\hat{W}}^{T} h (X)

式中： $\hat{W}$ 为输出层理想权值的估计值，定义 $\tilde{W} = W - \hat{W}$ 表示权值误差，则模型总的不确定项的估计误差为：

ρ - \hat{ρ} = W^{T} h (X) - {\hat{W}}^{T} h (X) = {\tilde{W}}^{T} h (X) + ε_{1}

式中： $ε_{1}$ 为动力学模型不确定项的估计误差。

结合基于名义模型的控制律以及RBF神经网络对系统不确定项的估计值，可以得到机械臂系统的总控制律：

\begin{array}{l} τ = M_{0} (q) ({\ddot{q}}_{d} + k s + ε s g n (s) + Λ \dot{e}) + \\ C_{0} (q, \dot{q}) \dot{q} + G_{0} (q) + {\hat{W}}^{T} h (X) + ε_{N} s g n (s) \end{array}

式中： $ε_{N} s g n (s)$ 为控制律中的鲁棒项，其在保证系统稳定的同时能够降低神经网络的估计误差对系统精度的影响。

为了在满足系统稳定性的同时实现神经网络权值的自适应调节，取神经网络权值的自适应律为：

\dot{\hat{W}} = Γ h (X) s^{T} M_{0}^{- 1} (q)

式中： Γ 为待设计的正对角矩阵， $Γ = d i a g (γ_{1}, γ_{2}, \dots, γ_{n})$ 。

综上所述，本文所设计的机械臂控制系统的框图如图3所示。

图3

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图3 机械臂控制系统框图

Fig.3 Block diagram of manipulator control system

3 机械臂控制系统稳定性证明

对于整个机械臂的控制系统，本文采用构造Lyapunov函数的方法进行稳定性证明。选取的Lyapunov函数的表达式为：

V = \frac{1}{2} s^{T} s + \frac{1}{2} t r ({\tilde{W}}^{T} Γ^{- 1} \tilde{W})

式中： $t r (•)$ 为矩阵的迹。

对式(19)求导，可得：

\begin{array}{l} \dot{V} = s^{T} \dot{s} - t r ({\tilde{W}}^{T} Γ^{- 1} \dot{\hat{W}}) = s^{T} [- k s - ε s g n (s) + M_{0}^{- 1} (q) ({\tilde{W}}^{T} h (X) + \\ ε_{1}) - M_{0}^{- 1} (q) ε_{N} s g n (s)] - t r ({\tilde{W}}^{T} Γ^{- 1} \dot{\hat{W}}) = \\ s^{T} (- k s - ε s g n (s) + M_{0}^{- 1} (q) ε_{1} - M_{0}^{- 1} (q) ε_{N} s g n (s)) + \\ s^{T} M_{0}^{- 1} (q) {\tilde{W}}^{T} h (X) - t r ({\tilde{W}}^{T} Γ^{- 1} \dot{\hat{W}}) = \\ s^{T} (- k s - ε s g n (s) + M_{0}^{- 1} (q) ε_{1} - M_{0}^{- 1} (q) ε_{N} s g n (s)) + \\ t r ({\tilde{W}}^{T} h (X) s^{T} M_{0}^{- 1} (q)) - t r ({\tilde{W}}^{T} Γ^{- 1} \dot{\hat{W}}) \end{array}

将式(18)代入式(20)，可得：

\begin{array}{l} \dot{V} = s^{T} (- k s - ε s g n (s) + M_{0}^{- 1} (q) ε_{1} - M_{0}^{- 1} (q) ε_{N} s g n (s)) = \\ s^{T} (- k s - ε s g n (s)) + s^{T} (M_{0}^{- 1} (q) ε_{1} - M_{0}^{- 1} (q) ε_{N} s g n (s)) \leq \\ s^{T} (- k s - ε s g n (s)) \leq 0 \end{array}

当 $\dot{V} \equiv 0$ 时， $s \equiv 0$ ，根据LaSalle不变性原理，在 $t \to \infty$ 时， $e \to 0$ ， $\dot{e} \to 0$ 。由此证明，闭环系统是渐进稳定的。

4 仿真实验

为了验证本文提出的机械臂控制算法的有效性，以Kinova Jaco2六自由度机械臂为控制对象，其关节 $1 \sim 6$ 的位置依次从基座延伸到腕关节驱动器，具体的D-H参数如表1所示。其中： $θ_{i} 、 α_{i - 1} 、 d_{i} 、 a_{i - 1}$ 分别表示关节转角、连杆扭角、连杆偏距和连杆长度，i=1, 2, …, 6。在MATLAB/Simulink环境中采用Simscape结合机器人系统工具箱（Robotic system Toolbox）搭建机械臂及其控制器的仿真模型，如图4所示。

表1 机械臂的D-H参数

Table 1 D-H parameters of manipulator

关节

θ_{i} / r a d

α_{i - 1} /

rad

d_{i}

a_{i - 1}

θ₁

θ₂

θ₃

θ₄

θ₅

θ₆

π/2

0.275 5

-0.009 8

-0.311 0

-0.263 8

0.410 0

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图4

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图4 机械臂系统仿真模型

Fig.4 Simulation model of manipulator system

在关节空间中规划期望关节角度，取初始关节角度 $q_{1} = [0 π π 0 π 0] r a d$ ，关节角度对应的齐次变换矩阵 T 为：

T = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0.3 \\ 0 & 0 & - 1 & - 0.65 \\ 0 & 1 & 0 & 0.435 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

根据齐次变换矩阵 T，分别在机器人工具箱和机器人系统工具箱中求得最终的关节角度 $q_{2} = [0.890 4 2.535 6 4.713 6 2.184 9 2.263 1 - 2.405 8]$ $r a d$ ，验证了仿真模型的正确性。在关节空间中采用三次多项式插值法进行轨迹规划，在MATLAB软件中求解每个采样时刻对应的关节角度、关节角速度和关节角加速度；取仿真时间T=5 s，采样间隔 $Δ$ T=0.05 s。将规划轨迹作为期望轨迹，并将数据存储在MATLAB软件中的工作区，待Simulink调用。笛卡尔空间中机械臂末端的期望轨迹如图5所示。

图5

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图5 机械臂末端期望轨迹

Fig.5 Expected trajectory of the end of manipulator

为了验证所设计控制系统对机械臂建模误差和不确定性扰动的有效性，取关节摩擦力矩为库伦摩擦力矩与黏滞摩擦力矩之和，则 $M_{0} (q) = 0.82 M (q)$ ， $C_{0} (q, \dot{q}) = 0.82 C (q, \dot{q})$ ， $G_{0} (q) = 0.82 G (q)$ ， $F (\dot{q}) = 1.5 s i g n (\dot{q}) + 0.3 \dot{q}$ 。扰动值取幅值较小的正弦信号，即 $τ_{d} = [0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1] s i n (t)$ ，控制律为式(17)。鉴于输入机械臂各关节的控制量相互独立，并不存在耦合关系，故式(8)中的参数k、ε取对应的正定对角矩阵，各参数取值如下： $k = d i a g (10, 9, 9, 10, 9, 9)$ ， $ε = d i a g (1.2, 1.5, 1.2, 1.5, 1.2, 1.5)$ ， $Λ = d i a g (10, 12, 12,$ $10, 12, 12)$ ， $ε_{N} = d i a g (0.3, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3)$ 。RBF神经网络的参数设置为：输入层数为5，隐含层数为7，输出层数为1；高斯基函数的宽度 $b_{j} = 2$ ，初始权值矩阵 $W_{0} 为 1 \times 63$ 阶矩阵，其各元素均取0.4，中心点向量 $c = (\begin{array}{l} - 1.5 & - 1 & - 0.5 & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 \\ - 1.5 & - 1 & - 0.5 & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 \\ - 1.5 & - 1 & - 0.5 & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 \\ - 1.5 & - 1 & - 0.5 & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 \\ - 1.5 & - 1 & - 0.5 & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 \end{array})$ ；自适应律的对角矩阵 $Γ = d i a g (5, 5, 5, 5, 5, 5)$ 。

为了验证本文所提出控制算法的优越性，设置2个对比实验，对基于传统PD控制算法、文献[24]中的双曲正切滑模控制算法和本文自适应神经网络滑模控制算法的机械臂末端轨迹进行对比。

传统PD控制算法的控制律的表达式为：

τ_{1} = M (q) ({\ddot{q}}_{d} + k_{d} \dot{e} + k_{p} e) + C (q, \dot{q}) \dot{q} + G (q)

式中： k_p、 k_d为PD控制中的比例、微分系数矩阵。

文献[24]中双曲正切滑模控制算法的控制律的表达式为：

τ_{2} = M (q) ({\ddot{q}}_{d} + Λ \dot{e} + η s) + C (q, \dot{q}) \dot{q} + G (q) + k t a n h (\frac{k M^{- 1} (q) s}{σ})

式中：σ、η为常数，σ>0，η>0。

对基于不同控制算法的机械臂实际末端位置与期望末端位置进行对比，结果如图6所示。从图中可以看出，3种控制算法均可实现在一定的误差范围内跟踪特定的期望轨迹。但是，相较于传统的PD控制算法和双曲正切滑模控制算法，本文的自适应神经网络滑模控制算法在轨迹跟踪精度上有很大的提高。从局部放大图看，采用PD控制算法时，机械臂末端轨迹有较小的抖振；双曲正切滑模控制算法在仿真前半段的跟踪精度较低，后半段的精度有所提升；而本文控制算法除了在1.0—1.5 s内对Y向位置的跟踪有微小的抖动之外，在3个方向上的跟踪精度更高。综上所述，相较于本文的控制算法，其余2种控制算法的跟踪精度较低，验证了本文控制算法在轨迹跟踪上的优越性。

图6

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图6 基于不同控制算法的机械臂末端位置跟踪结果

Fig 6 End position tracking results of manipulator based on different control algorithms

图7所示为基于不同控制算法的机械臂关节角度跟踪曲线对比。从图中可以看出，基于本文控制算法的机械臂各关节的角度跟踪曲线光滑无突变，曲线整体变化平滑且角度变化较小。从局部放大图可以看出，与传统PD控制算法和双曲正切滑模控制算法相比，本文控制算法在关节角度跟踪精度上，同样有较大的改善与提高。

图7

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图7 基于不同控制算法的机械臂各关节角度跟踪结果

Fig.7 Angle tracking results of each joint of manipulator based on different control algorithms

基于3种控制算法的机械臂各关节角度的跟踪误差如表2所示。从表中可以看出，以关节1，2，3为例，采用PD控制算法时，最大稳态误差分别为 0.043 2，0.029 4，0.076 4 rad，平均稳态误差为 -0.021 0，0.014 4，-0.037 2 rad；采用双曲正切滑模控制算法时，最大稳态误差分别为0.044 9，0.029 8，0.070 1 rad，平均稳态误差为-0.023 1，0.014 7，-0.037 2 rad；采用本文控制算法时，最大稳态误差分别为0.027 3，0.019 8，0.050 3 rad，平均稳态误差为-0.015 4，0.011 2，-0.028 3 rad。通过分析比较可得，与双曲正切滑模控制算法相比，本文控制算法的关节角度跟踪的最大稳态误差分别减小了50.3%，33.6%，28.2%；平均稳态误差分别减小了33.3%，23.8%，23.9%。与PD控制算法相比，本文控制算法的关节角度跟踪的最大稳态误差分别减小了36.8%，32.7%，34.16%；平均稳态误差分别减小了28.0%，22.2%，23.9%。结果表明，本文控制算法在轨迹跟踪精度上较传统的PD控制算法和双曲正切滑模控制算法有明显的优越性。

表2 基于不同控制算法的机械臂各关节角度跟踪误差对比 (rad)

Table 2 Comparison of angle tracking error for each joint of manipulator based on different control algorithms

关节	最大稳态误差			平均稳态误差
关节	PD控制	双曲正切滑模控制	自适应神经网络滑模控制	PD控制	双曲正切滑模控制	自适应神经网络滑模控制
关节1	0.043 2	0.044 9	0.027 3	-0.021 0	-0.023 1	-0.015 4
关节2	0.029 4	0.029 8	0.019 8	0.014 4	0.014 7	0.011 2
关节3	0.076 4	0.070 1	0.050 3	-0.037 2	-0.037 2	-0.028 3
关节4	0.106 8	0.112 8	0.081 3	-0.057 5	-0.058 7	-0.043 9
关节5	0.043 1	0.040 7	0.030 0	0.021 0	0.020 8	0.017 0
关节6	0.117 5	0.121 2	0.080 4	0.057 5	0.062 2	0.045 1

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操作过程中机械臂各关节的力矩变化曲线如图8所示。从总体上看，各关节的力矩变化平缓，没有较大的突变；从局部看，关节2的力矩抖振幅度约为0.06 N·m，关节5，6的力矩抖振幅度小于0.01 N·m，说明关节的抖振较小，实际电机完全可以满足对机械臂力矩的输入。图8结果进一步说明了本文控制算法在实际应用中的可行性。

图8

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图8 操作过程中机械臂各关节的力矩变化曲线

Fig.8 Torque variation curve of each joint of manipulator during operation

5 结论

本文在国内外机械臂轨迹跟踪控制策略研究的基础上，针对六自由度机械臂提出了一种自适应神经网络滑模控制算法，主要工作如下：

1）采用RBF神经网络对机械臂动力学模型的不确定项进行逼近，通过对自适应神经网络权值进行实时调整，实现了对控制律的实时补偿。

2）在MATLAB/Simulink环境中搭建了六自由度机械臂轨迹跟踪控制的仿真模型，并将模型进行拆解，使得仿真结果更加接近真实工作环境。

3）与已有的PD控制算法和双曲正切滑模控制算法进行对比可知，自适应神经网络滑模控制算法可提高机械臂轨迹跟踪精度，为多自由度机械臂的轨迹跟踪控制提供了一种解决方案。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

PIZARRO-LERMA

A O

， GARCIA-HERNANDEZ

， SANTIBANEZ

， et al.

Experimental evaluation of a sectorial fuzzy controller plus adaptive neural network compensation applied to a 2-DOF robot manipulator

［J］. IFAC-Papers OnLine， 2019， 52（29）： 233-238.