外骨骼机器人主要用于增强使用者的运动能力或辅助运动障碍患者进行针对性的康复训练^[1]，其运动过程应尽可能地匹配人体的运动过程，其结构功能也应尽可能复现人体的变刚度柔顺特性^[2-3]。为了有效解决人机协作过程中的安全性问题，须使外骨骼机器人驱动关节具有一定的刚度和柔顺性。传统的刚性驱动器虽具有良好的位置控制能力和抗干扰能力，但缺乏缓冲和减振性能^[4]，导致其在外骨骼机器人领域中的应用受到限制。相比于传统刚性驱动器，变刚度柔性驱动器具有显著的优势，可通过存储和释放弹性元件中的势能来增加功率输出和降低能耗^[5-7]，有效地提高外骨骼机器人的柔性特性。因此，变刚度柔性驱动器的设计已成为人机交互领域的研究热点。

从机械结构上来看，现有的变刚度驱动器主要包括以下几种类型：基于杠杆机构、基于凸轮机构和基于连杆机构^[8]。Jafari^{等[9]设计的可调节刚度驱动器（actuator with adjustable stiffness, AwAS）采用调整杆件有效长度的原理，通过滚珠丝杠来移动弹簧的作用位置，以控制杠杆臂的长度，从而实现刚度调节，但该驱动器调节刚度的速度较慢。Sun等[10]利用旋转阿基米德螺旋盘来实现杠杆支点沿驱动器径向作直线运动，通过重新定位枢轴位置来进行刚度调整，但结构中的齿隙和摩擦会使驱动器的反馈控制不稳定。Wolf等[11]设计了一种外骨骼肩关节FSJ（floating spring joint，浮动式弹簧关节），通过控制一对特殊设计的凸轮机构的差动运动，改变两者之间的弹簧预紧力来调节刚度，该驱动器的结构紧凑，但其凸轮的设计较复杂。史延雷等[12]基于凸轮机构设计了变刚度柔性关节，通过调刚度电动机来调节调刚度座与凸轮组的距离，从而改变弹簧预压缩量，以达到变刚度的目的。Choi等[13]采用四连杆机构调节弹性元件作用的有效长度来控制其弹性输出力矩，从而实现机器人柔性驱动关节的刚度调节。Zhu等[1]基于四连杆机构原理提出了一种适用于下肢膝关节的可重构变刚度驱动器。}

除了利用传统机械机构调节弹性元件的方式来实现刚度调节外，随着智能材料的发展，还可以通过采用特殊的弹性元件材料来实现所需的变刚度特性，如电激活层、介电弹性体、形状记忆合金和磁流变液等。吴瑞德等^[14]利用Ti/Ni合金材料的自身柔性，在机器人受到外界冲击时自行调节其关节刚度。王文东等^[15]基于磁流变原理，通过改变磁场强度来改变磁流变液的流体状态，使其剪切屈服应力强度发生变化，从而实现柔性驱动器的刚度变化，但磁流变液的封装、控制较困难。

为了得到一种结构紧凑、质量小和刚度变化范围大的柔性驱动器，借鉴文献[16]提出的零长度机架四杆机构的变刚度原理，设计了一种具有可重构性的变刚度柔性驱动器。首先，对驱动器的机械结构进行介绍，并建立其刚度数学模型，推导刚度与偏转角度之间的理论关系式；然后，建立驱动器的ADAMS虚拟样机模型并开展静力学仿真分析，以验证理论计算与仿真分析的一致性；最后，建立驱动器的动力学模型，并根据频率特性分析驱动器系统的稳定性。

变刚度柔性驱动器的内部结构组成如图1所示。其中：输入法兰与输出轴相耦合，两者的旋转轴心在同一轴线上；输入法兰与输入法兰外壳同轴布置，通过轴套和轴承定位。输入法兰与输出轴的联动装置由滑轮组和弹性元件组成，外侧滑轮安装在输入法兰上，通过滑轮轴与输入法兰和输入法兰外壳固定，径向调节滑轮安装在输出轴上，通过径向调节滑块与径向调节外壳和输出轴固定。

如图2所示，所设计的变刚度柔性驱动器有3个柔性分支，每个分支均包含3个滑轮，由1个弹性元件连接，弹性元件缠绕在滑轮组上形成一个闭环。该驱动器具有可重构性，可通过改变柔性分支的数量来改变结构配置，从而改变刚度调节范围。

变刚度柔性驱动器具有以下优点：

1）结构简单及质量小；

2）可通过径向调节预紧力来实现静态刚度的主动调节；

3）可通过改变弹性元件的几何参数、材料、数量、预紧力和缠绕方式来实现重构；

4）刚度和输出扭矩具有可扩展性。

鉴于变刚度柔性驱动器的3个柔性分支的结构相同，选取单个分支进行变刚度原理分析。如图3所示，以输出轴轴心O为原点建立坐标系。图中：l₁为轴心O到内侧滑轮中心A的距离；l₂为内侧滑轮中心A到两外侧滑轮中心B、C连线中心的距离；l₃为轴心O到外侧滑轮中心B（C）的距离；α为外侧滑轮沿圆周方向的均布角，α=π/6；θ为内侧滑轮的偏转角度；β为内侧滑轮中心与两外侧两滑轮中心连线的夹角；连线AB与AC的长度相等。

当内侧滑轮未发生偏转（θ=0 rad）时，根据图3(a)，可得：

根据余弦定理，可得：

当θ=0 rad时，弹性元件缠绕在滑轮组上保持静止时的长度l为：

式中：r为滑轮的半径。

联立式(1)至式(4)，可得：

当内侧滑轮随输出轴逆时针偏转θ（θ≠0 rad）时，弹性元件的长度l′变为：

根据图3(b)，可得：

其中：

式中：δ为连线AA′与连线AB的夹角。

则弹性元件的伸长量∆l为：

此时，弹性元件的内部作用力F_e为：

其中：

式中：l₀为弹性元件未拉伸时的原始长度；F₀为弹性元件的预紧力；k_e为弹性元件的刚度。

根据虚功原理，具有单个柔性分支的变刚度柔性驱动器的刚度k可描述为：

其中：

式中：τ为单个柔性分支的扭矩； J_e为单个柔性分支的雅可比矩阵， J_e∈R¹（R¹为一维空间数组）。

由式(15)可以看出，整体刚度由k₁和k₂两部分组成，其中k₁表示弹性元件刚度k_e对整体刚度k的影响，k₂表示预紧力F₀对整体刚度k的影响。

对于具有N个柔性分支的变刚度柔性驱动器，其总体输出扭矩T和刚度K分别为：

基于上述变刚度原理，可知变刚度柔性驱动器的刚度由弹性元件的刚度、预紧力，柔性分支数和偏转角度共同决定。由此，可以使用不同的弹性元件数量、不同刚度的弹性元件来重新配置驱动器的结构，以获得不同的刚度。当驱动器的结构参数确定后，其刚度K仅与弹性元件的预紧力F₀和偏转角度θ存在函数关系。在实际应用中，通过径向调整l₁来调节预紧力F₀，进而实现驱动器的刚度变化。

变刚度柔性驱动器预紧力的径向调节是基于三爪卡盘的传动原理，如图4所示。径向调节锥齿轮和径向调节伞齿轮啮合，3个径向调节滑块与平面螺纹啮合。用扳手旋转锥齿轮，伞齿轮跟随转动，背部的平面螺纹带动滑块在槽上移动，安装在滑块上的滑轮跟随移动，使得弹性元件的长度改变，进而达到调节预紧力的目的。

根据图4，伞齿轮与锥齿轮的传动比u为：

式中：z₁、z₂分别为伞齿轮、锥齿轮的齿数；d₁、d₂分别为伞齿轮、锥齿轮的分度圆直径；δ1、δ2分别为伞齿轮、锥齿轮的锥度。

本文所采用的伞齿轮、锥齿轮的齿数为z₁=34,z₂=10，故其传动比u=3.4，即伞齿轮旋转1周，锥齿轮旋转3.4周。

对于单线螺纹，螺纹旋转1周，则前进1个螺距。平面螺纹的螺距P=1 mm，螺纹线数为m，导程为L，则螺纹旋转1周，滑块的径向移动距离为：

由此可知，通过旋转锥齿轮带动伞齿轮旋转1周时，3个滑块前进1个螺距，则安装在滑块上的滑轮与轴心的距离减小1 mm，使得弹性元件静止时的长度发生改变，预紧力也随之改变。

建立变刚度柔性驱动器的刚度数学模型，并通过MATLAB软件对其变刚度特性进行理论计算。根据表1所示的变刚度柔性驱动器结构参数，得出其输出扭矩T、刚度K、弹性势能E与弹性元件预紧力F₀（通过径向调整l1实现）、偏转角度θ的关系，结果分别如图5至图7所示。

由图5可知，变刚度柔性驱动器的输出扭矩与偏转角度呈正相关，且扭矩绝对值的大小随偏转角度绝对值的增大而增大，随l₁的增大而增大，即随预紧力的减小而增大。由图6可知，当偏转角度绝对值增大时，变刚度柔性驱动器的刚度非线性增大；刚度随着预紧力的减小呈现整体增大趋势，且刚度变化范围随着预紧力的减小逐渐增大。变刚度柔性驱动器输出扭矩与刚度的极小值均出现在平衡位置（θ=0 rad）处，该位置处的刚度为静态刚度。变刚度柔性驱动器的刚度可以通过调整不同的静态刚度和动态刚度获得，即同一刚度可能对应多种不同的弹性元件预紧力和偏转角度的组合。由图7可知，在变刚度柔性驱动器不发生转动时，其储存的弹性势能最小；当偏转角度增大时，驱动器储存的弹性势能也增大，且随着l₁增大（预紧力减小），驱动器储存的弹性势能亦随之减小。

在SolidWorks软件中建立变刚度柔性驱动器的三维模型并另存为Parasolid格式，而后将其导入ADAMS软件，以建立其虚拟样机模型。使用绳索命令添加滑轮和弹性元件，弹性元件起始点的选定需自行定义，本文将其设在滑轮滑槽中心处。设定各部件的材料属性以及滑轮和弹性元件的参数。定义零部件间的运动副：输入法兰和输入轴相连，与地面固定；输出法兰与输入法兰耦合，采用旋转副连接；滑轮与输入法兰采用旋转副连接。ADAMS软件中弹性元件的参数设定如表2所示。

在输入法兰和输出法兰的旋转副之间添加驱动，并编辑驱动函数、使其以一定的速度相对转动，设置仿真时间与仿真步长。通过ADAMS仿真得到不同柔性分支数和弹性元件刚度、预紧力下变刚度柔性驱动器输出扭矩随偏转角度的变化曲线，并与MATLAB计算结果进行对比，结果如图8所示。

图8(a)所示为当弹性元件刚度k_e=2.0 N/mm、预紧力F₀=7.5 N时，不同柔性分支数N下变刚度柔性驱动器输出扭矩随偏转角度的变化曲线，其仿真分析值与理论计算值的最大误差为0.243 3 Nm，两者的相对误差为7.79%。图8(b)所示为当柔性分支数N=1、预紧力F₀=7.5 N时，不同弹性元件刚度下变刚度柔性驱动器输出扭矩随偏转角度的变化曲线，其仿真分析值与理论计算值的最大误差为0.209 7 Nm，两者的相对误差为5.34%。图8(c)所示为当柔性分支数N=1、弹性元件刚度k_e=2.0 N/mm时，不同预紧力F₀ （对应的l₁=10，15，18 mm）下变刚度柔性驱动器输出扭矩随偏转角度的变化曲线，其仿真分析值与理论计算值的最大误差为0.134 0 Nm，两者的相对误差为9.81%。

通过对比发现，变刚度柔性驱动器输出扭矩的ADAMS仿真结果与MATLAB理论计算存在误差，主要原因是理论计算时未考虑摩擦问题，而仿真分析时考虑了滑轮和弹性元件之间的摩擦。但两者的误差在允许范围内，说明仿真结果与理论计算结果具有较高的一致性。

变刚度柔性驱动器动力学系统可以看作由电机输入端、可变刚度机构（variable stiffness mechanism, VSM）和负载输出端三部分组成，其中输入端电机和输出端负载通过VSM耦合连接。变刚度柔性驱动器的动力学模型如图9所示，其参数设置如表3所示。

由于库仑摩擦力的存在，整个变刚度柔性驱动器系统的动力学方程不连续。为了简化计算，忽略库仑摩擦力^[18-19]，则整个系统的动力学方程可表示为：

其中：

式中：θ_p、θ_m、θ_g分别为负载、电机、减速器的旋转角度；τf为负载的转动力矩。

输出扭矩T_p为关于θ的非线性函数，为了简化问题，对于任意θ，T_p可以线性化为：

式中：K_a为模型线性化后得到的VSM的平均刚度。

联立式(21)和式(22)可得：

则可得：

对动力学方程(24)进行Laplace变换，可得：

频率特性分析是利用开环系统函数来分析系统稳定性的主要方法，通常使用Nyquist图和Bode图对线性系统进行频率特性分析。Bode图包括对数幅频特性图和对数相频特性图，分别表示频率的幅值、相位与角频率之间的关系^[19-20]。

对变刚度柔性驱动器动力学系统进行频率特性分析，将Laplace动力学方程变换到频域，得到VSM输入和输出的传递函数：

为分析VSM平均刚度对变刚度柔性驱动器动力学系统稳定性的影响，利用MATLAB软件求得不同平均刚度（K_a=2，5，10 Nm/rad）下传递函数的极点，如表4所示。

将表3中的参数代入传递函数，计算得到变刚度柔性驱动器动力学系统的Nyquist图和Bode图，分别如图10和图11所示。

由图10和表4可知，不同平均刚度下变刚度柔性驱动器动力学系统传递函数的极点都具有负实部，且Nyquist曲线不包含(-1, j0)点，由此可知该系统是稳定的。此外，变刚度柔性驱动器的稳定性随平均刚度的增大逐渐增强。由图11可知，变刚度柔性驱动器的输出角度可以及时跟随输入端的输入角度；随着VSM平均刚度的增大，对应的带宽逐渐变宽，输出波形的高频谐波成分多，说明变刚度柔性驱动器的响应逐渐变快。此外，在对数相频特性图中，各曲线与-180°线均没有交点，进一步说明该动力学系统是稳定的。

在实际应用中，变刚度柔性驱动器用于连接动力的输入和输出。结合柔性驱动关节的应用，设计了可穿戴柔性驱动肘关节，其数字样机和物理样机如图12所示。上臂板充当机架，其主要作用是固定变刚度柔性驱动器，下臂板与驱动器的输出轴连接，电机轴输出动力经驱动器传递至下臂板。同时，在上臂板上加装壁桶，壁桶另一侧的电机盖板用于固定驱动电机模组。

可穿戴柔性驱动肘关节的最大外形尺寸为⌀96 mm×86 mm，各零部件均采用铝合金等轻量化复合材料，其整体质量为1 108 g。柔性驱动肘关节穿戴试验现场如图13所示，穿戴十分便捷。后续将搭建柔性驱动肘关节的实验样机，开展相关实验，以进一步验证理论与仿真分析的正确性。

变刚度柔性驱动器通过调节弹性元件的刚度、预紧力等来实现变刚度，可提高人机交互的安全性。现对本文工作进行总结，具体如下。

1）完成了可重构变刚度柔性驱动器的结构设计。该变刚度柔性驱动器体积小且结构紧凑，可满足外骨骼机器人驱动关节小型化、轻量化的应用需求。

2）推导了变刚度柔性驱动器的刚度数学模型，并通过MATLAB软件对其性能进行了理论分析，分别得到了驱动器扭矩、刚度、弹性势能与弹性元件预紧力、偏转角度之间的关系。

3）在ADAMS软件中建立了变刚度柔性驱动器的虚拟样机模型，通过运动仿真分析得到了柔性分支数和弹性元件刚度、预紧力对驱动器扭矩的影响，验证了理论计算与仿真分析的一致性。

4）建立了变刚度柔性驱动器的动力学模型，分析了驱动器在不同刚度下的频率特性，结果表明系统稳定性良好，为后续提高变刚度柔性驱动器的控制精度和响应速度奠定了基础。

后续将完成变刚度柔性驱动器应用于可穿戴外骨骼机器人的实验分析，以进一步验证理论与仿真分析的正确性。