近年来，无人机技术在民用领域的应用日益广泛^[1]，展现出巨大的潜力与应用前景. 三旋翼无人机作为一种特殊构型的多旋翼无人机，其执行机构由3个旋翼和1个尾部舵机构成，这种独特的执行机构耦合特性在提高无人机灵活性的同时，也使其飞行控制面临双重技术挑战. 一方面，飞行过程中尾部舵机须执行高频偏转指令，易引发机械疲劳，进而导致舵机发生故障；另一方面，舵机故障会破坏系统动态平衡，在外部扰动影响下，可能诱发飞行失稳甚至坠毁事故. 面对三旋翼无人机在执行任务时突发舵机故障的问题，设计一种能有效应对故障，确保飞行稳定的容错控制策略显得尤为重要.

现阶段，针对三旋翼无人机的控制研究已经取得了一定的成果，主要集中在2方面：一是应对未知外部扰动、建模不确定性的控制策略，二是应对执行机构故障的容错控制方法. 在三旋翼无人机外部扰动和建模不确定性方面，Gu等^[2]设计了基于数据驱动策略的无模型自适应控制器，在飞行实验平台上验证了控制器的有效性. Xie等^[3]采用Actor-Critic神经网络补偿建模不确定性，并设计基于滑模的固定时间控制器实现系统收敛. Xie等^[4]引入扰动观测器来估计外部扰动，设计非奇异终端滑模和改进滑模控制的内外环控制结构，通过实验验证了控制策略的有效性. Raza等^[5]设计了基于滑模的轨迹跟踪控制器实现系统的稳定跟踪. 王征宇等^[6]通过引入超螺旋滑模控制，解决了转动惯量未知和外部扰动的问题，并通过三旋翼无人机实验平台进行了实验验证.

针对三旋翼无人机执行机构故障，王栋等^[7]设计了基于自适应反步法与非奇异终端滑模相结合的容错控制器，以解决三旋翼无人机外部扰动与尾部舵机卡死故障的问题，通过半实物平台验证了其故障条件下的控制效果. Ma等^[8-9]针对三旋翼无人机系统，先后提出结合RBFNN-RISE的复合控制策略^[8]和基于两级卡尔曼滤波的执行器异常诊断方法^[9]，并通过数值仿真验证了所提出算法的有效性.

综上所述，针对三旋翼无人机的控制研究取得了一定进展，但同时考虑外部扰动和舵机故障的情况较为有限. 常规滑模控制虽广泛应用于无人机控制系统^[10-11]，但其高频抖振特性限制了在复杂系统中的应用. 超螺旋滑模控制因其鲁棒性、有限时间收敛和抑制系统抖振的特性^[12]，可有效抑制扰动或故障引起的系统突发性改变，受到国内外学者的广泛关注. Castillo等^[13]针对扰动和控制系数均与时间和状态相关，且控制系数存在不确定性的问题，提出广义超螺旋滑模算法. Moreno等^[14]提出多变量广义超螺旋滑模算法，以解决扰动和控制矩阵都依赖于时间和系统状态的系统控制问题. 文献[15-17]分别验证了超螺旋算法在多个应用场景中高精度和高抗扰控制的潜力.

本研究提出基于自适应增益的超螺旋滑模抗扰容错控制策略，主要创新点如下：1)针对三旋翼无人机发生舵机卡死故障时控制分配矩阵未知的问题，采用自适应算法实现控制分配矩阵在线估计；2)超螺旋滑模算法通过设计控制器增益自适应调节抑制未知外部扰动、建模不确定性和突发舵机卡死故障对系统稳定性的影响；3)通过无人机飞控半实物实验平台，将本研究方法与超螺旋算法进行对比，以验证所提控制策略的容错性能.

为了描述三旋翼无人机运动机理，基于右手定则，分别建立惯性坐标系$ \{I\} $和机体坐标系$ \{B\} $，如图1所示，其中惯性坐标系$ \{I\} $原点取地面上任意一点，机体坐标系$ \{B\} $原点为无人机质心.

根据欧拉方程^[18]，得到惯性坐标系下三旋翼无人机姿态系统模型：

(1)$ \mathbf{\dot{\boldsymbol{\omega }}}=-{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{S}\left({\boldsymbol{\omega}} \right)\boldsymbol{J}\boldsymbol{\omega }+{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{\tau }+\boldsymbol{d}(t)+\boldsymbol{D}({\boldsymbol{\eta}} ,{\boldsymbol{\omega}} ), $

(2)$ {\dot{\boldsymbol{\eta }}={\boldsymbol{\varPhi}}}\left({\boldsymbol{\eta}} \right)\boldsymbol{\omega }. $

式中：$ \boldsymbol{\omega }={[p,q,r]}^{\text{T}} $，为三旋翼无人机在机体坐标系下的角速度；$ \boldsymbol{\eta }={[\phi ,\theta ,\psi ]}^{\text{T}} $，为无人机姿态角向量；$ \boldsymbol{J}=\text{diag} \left\{\left[{J}_{{x}},{J}_{{y}},{J}_{{z}}\right]\right\} $，为转动惯量；$ \boldsymbol{\tau }={[{{\tau }_{{\phi }}},{{\tau }_{\theta }},{{\tau }_{\psi }}]}^{\text{T}} $，为控制力矩；$ \boldsymbol{d}(t)\in {\mathbf{R}}^{3\times 1} $，为外部扰动；$ \boldsymbol{D}({\boldsymbol{\eta }},{\boldsymbol{\omega}} )\in {\mathbf{R}}^{3\times 1} $，为建模不确定项；$ {\boldsymbol{\varPhi}}({\boldsymbol{\eta }}) $表示角速度转换矩阵，$ \boldsymbol{S}\left({\boldsymbol{\omega}} \right) $为反对称矩阵.

将式(1)改写成

(3)$ \mathbf{\dot{\boldsymbol{\omega }}}=-{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{S}\left({\boldsymbol{\omega}} \right)\boldsymbol{J}\boldsymbol{\omega }+{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{\tau }+\boldsymbol{\rho }(t). $

式中：$ \boldsymbol{\rho }(t)=\boldsymbol{d}(t)+\boldsymbol{D}({\boldsymbol{\eta }},{\boldsymbol{\omega}} ) $，为集总扰动.

假设1^[19] 　$ \boldsymbol{\rho }(t) $满足以下不等式：

(4)$ \left|\left|\boldsymbol{\rho }(t)\right|\right|\leqslant {a}_{0}+{a}_{1}\left\|\boldsymbol{\eta }\right\|+{a}_{2}{\left|\left|\boldsymbol{\omega }\right|\right|}^{2}=\iota . $

式中：$ {a}_{0} $、$ {a}_{1} $、$ {a}_{2} $为正常数，$ \iota $为集总扰动的上界.

三旋翼无人机力矩和力的关系可以表示为

(5)$ \boldsymbol{\tau }=\left[\begin{matrix}-{l}_{1} & {l}_{1} & 0\\-{l}_{2} & -{l}_{2} & {l}_{3}\cos\; \delta -\mu \sin\; \delta \\\mu & -\mu & {l}_{3}\sin \;\delta +\mu \cos\; \delta \end{matrix}\right]\boldsymbol{f}. $

式中：$ \boldsymbol{f}={\left[{f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\right]}^{\text{T}} $，为三旋翼无人机电机产生的升力；$ {l}_{i} $为滚转、俯仰、偏航3个通道上的力臂，$ i=1,2,3 $；$ \delta $为尾部舵机偏转角度，规定舵机顺时针旋转为正；$ \mu $为各电机的反力矩系数. $ \mu $满足：

(6)$ \tau _{i}^{*}=\mu {f}_{i};\;i=1,2,3. $

式中：$ \tau _{i}^{*} $为各电机产生的反力矩.

三旋翼无人机发生舵机卡死故障时，舵机角度未知，为了便于控制器设计，定义辅助变量$ {\lambda }_{1} $、$ {\lambda }_{2} $：

(7)$ {\lambda }_{1}={l}_{3}\cos\; \delta -\mu \sin \;\delta , $

(8)$ {\lambda }_{2}={l}_{3}\sin \;\delta +\mu \cos \;\delta . $

将式(5)、(7)与(8)代入式(3)，可得

(9)$ \mathbf{\dot{\boldsymbol{\omega }}}=-{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{S}\left({\boldsymbol{\omega }}\right)\boldsymbol{J}\boldsymbol{\omega }+{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{A}({\lambda }_{1},{\lambda }_{2})\boldsymbol{f}+\boldsymbol{\rho }(t). $

式中：$ \boldsymbol{A}({\lambda }_{1},{\lambda }_{2}) $为控制分配矩阵，表示为

(10)$ \boldsymbol{A}({\lambda }_{1},{\lambda }_{2})=\left[\begin{matrix}-{l}_{1} & {l}_{1} & 0\\-{l}_{2} & -{l}_{2} & {\lambda }_{1}\\\mu & -\mu & {\lambda }_{2}\end{matrix}\right]. $

定义姿态误差向量$ \boldsymbol{e}={[{{e}_{{\phi }}},{{e}_{\theta }},{{e}_{\psi }}]}^{\text{T}} $表达式如下：

(11)$ \boldsymbol{e}=\boldsymbol{\eta }-{\boldsymbol{\eta }}_{{\mathrm{d}}}. $

式中：$ {\boldsymbol{\eta }}_{\mathrm{d}}\in {{R}}^{3\times 1} $，为目标姿态角.

设计滑模面$ \boldsymbol{s}={[{{s}_{{\phi }}},{{s}_{\theta }},{{s}_{\psi }}]}^{\text{T}} $表达式如下：

(12)$ \boldsymbol{s}=\boldsymbol{c}\boldsymbol{e}+{\dot{\boldsymbol{e}}}. $

式中：$ \boldsymbol{c}=\text{diag}\;\left\{\left[{c}_{1},{c}_{\text{2}},{c}_{\text{3}}\right]\right\} $为正常数对角矩阵. 对式(12)求导，并代入式(2)、(9)，可得

(13)$ \begin{split} {\dot{\boldsymbol{s}}}=&\boldsymbol{c}\dot{\boldsymbol{e}}-{\mathbf{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{\text{d}}+\mathbf{\dot{{\boldsymbol{\varPhi}}}\boldsymbol{\omega }}-{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{S}\left(\boldsymbol{\omega }\right)\boldsymbol{J}\boldsymbol{\omega }+\\&{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{A}({\lambda }_{1},{\lambda }_{2})\boldsymbol{f}+{\boldsymbol{\varPhi}}\boldsymbol{\rho }(t).\end{split} $

当三旋翼无人机发生舵机卡死故障时，控制分配矩阵$ \boldsymbol{A}({\lambda }_{1},{\lambda }_{2}) $未知. 为了补偿舵机故障对姿态系统的影响，定义矩阵$ \boldsymbol{A}({\lambda }_{1},{\lambda }_{2}) $的估计值为

(14)$ \boldsymbol{A}({\hat{\lambda }}_{1},{\hat{\lambda }}_{2})=\left[\begin{matrix}-{l}_{1} & {l}_{1} & 0\\-{l}_{2} & -{l}_{2} & {\hat{\lambda }}_{1}\\\mu & -\mu & {\hat{\lambda }}_{2}\end{matrix}\right]. $

估计误差矩阵为

(15)$ \boldsymbol{A}({\tilde{\lambda }}_{1},{\tilde{\lambda }}_{2})=\boldsymbol{A}({\lambda }_{1},{\lambda }_{2})-\boldsymbol{A}({\hat{\lambda }}_{1},{\hat{\lambda }}_{2}). $

设计抗扰容错控制器$ \boldsymbol{f} $为

(16)$ \begin{split} \boldsymbol{f}=&({\boldsymbol{\varPhi}}{{\boldsymbol{J}}^{-1}}\boldsymbol{A}({{\hat{\lambda }}_{1}},{{\hat{\lambda }}_{2}}))^{-1}({\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{S}\left(\boldsymbol{\omega }\right)\boldsymbol{J}\boldsymbol{\omega }-\boldsymbol{c}\dot{\boldsymbol{e}}+{\mathbf{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{\text{d}}-\\&\mathbf{\dot{{\boldsymbol{\varPhi}}}\boldsymbol{\omega }}-{\hat{\boldsymbol{L}}}-{k}_{1}{\left|\left|\boldsymbol{s}\right|\right|}^{\tfrac{1}{2}}\text{sign}\;(\boldsymbol{s}\text{)}-{k}_{2}\int\text{sign}\;(\boldsymbol{s}\text{)d}t).\end{split} $

式中：$ {k}_{1} $、$ {k}_{2} $为控制器增益，$ {\hat{\boldsymbol{L}}}\in {\mathbf{R}}^{3\times 1} $为集总扰动的估计值.

将式(15)、(16)代入式(13)中，可得

(17)$ \begin{split} \dot{\boldsymbol{s}}= & {\boldsymbol{\varPhi}} \boldsymbol{J}^{-1} \boldsymbol{A}\left(\tilde{\lambda}_1, \tilde{\lambda}_2\right) \boldsymbol{f}+{\boldsymbol{\varPhi}} \boldsymbol{\rho}(t)-\hat{\boldsymbol{L}}- \\& k_1\|\boldsymbol{s}\|^{{1}/{2}} \operatorname{sign}\;({\boldsymbol{s}})-k_2 \int \operatorname{sign}\;({\boldsymbol{s}}) \mathrm{d} t .\end{split}$

定义$ \boldsymbol{Z}={\left[{\boldsymbol{Z}}_{1},{\boldsymbol{Z}}_{2}\right]}^{\text{T}} $，表达式如下：

(18)$ \left.\begin{array}{l}\boldsymbol{Z}_1=\|\boldsymbol{s}\|^{{1}/{2}} \operatorname{sign}\;({\boldsymbol{s}}), \\\boldsymbol{Z}_2=-k_2 \int \operatorname{sign}\;({{\boldsymbol{s}}}) \mathrm{d} t.\end{array}\right\} $

对式(18)求导，并考虑到$ \left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|={\left|\left|\boldsymbol{s}\right|\right|}^{{1}/{2}} $，可得

(19)$ \left.\begin{split} \dot{\boldsymbol{Z}}_1=&\frac{1}{2\left\|\boldsymbol{Z}_1\right\|}\left({\boldsymbol{\varPhi}} \boldsymbol{J}^{-1} \boldsymbol{A}\left(\bar{\lambda}_1, \bar{\lambda}_2\right) \boldsymbol{f}+{\boldsymbol{\varPhi}} \boldsymbol{\rho}(t)-\right. \\&\left.\hat{\boldsymbol{L}}-k_1 \boldsymbol{Z}_1+\boldsymbol{Z}_2\right), \\\dot{\boldsymbol{Z}}_2=&-\frac{k_2}{\left\|\boldsymbol{Z}_1\right\|} \boldsymbol{Z}_1 .\end{split}\right\} $

整理可得

(20)$ {\dot{\boldsymbol{Z}}}=\frac{1}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|\,}\boldsymbol{E}\boldsymbol{Z}+\frac{1}{2\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|\,}\boldsymbol{F}. $

式中：

(21)$ \boldsymbol{E}=\left[\begin{matrix}-{{k}_{1}}/{2} & {1}/{2}\\-{k}_{2} & 0\end{matrix}\right], $

(22)$ \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{A}({\tilde{\lambda }}_{1},{\tilde{\lambda }}_{2})\boldsymbol{f}+{\boldsymbol{\varPhi}}\boldsymbol{\rho }(t)-{\hat{\boldsymbol{L}}}\\{\bf{0}}\end{array}\right]. $

设计$ {\lambda }_{1} $、$ {\lambda }_{2} $估计值$ {\hat{\lambda }}_{1} $、$ {\hat{\lambda }}_{2} $自适应律为

(23)$ {\dot{\hat{\lambda } }}_{1}=\frac{{\sigma }_{1}}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}{\left[\begin{array}{ccc}0, & {f}_{3}, & 0\end{array}\right]}^{\text{T}}, $

(24)$ {\dot{\hat{\lambda } }}_{2}=\frac{{\sigma }_{2}}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}{\left[\begin{array}{ccc}0, & 0, & {f}_{3}\end{array}\right]}^{\text{T}}. $

式中：$ \boldsymbol{B}=\left[4{\xi }^{2}+1,-1\right] $，$ \boldsymbol{C}={\left[\boldsymbol{Z }_{\text{1}}^{\text{Τ}},\boldsymbol{Z }_{\text{2}}^{\text{Τ}}\right]}^{\text{T}} $，$ {\sigma }_{1} $、$ {\sigma }_{2} $、$ \xi $均为正常数.

为了保证$ {\hat{\lambda }}_{1} $、$ {\hat{\lambda }}_{2} $的有界性，参考文献[20]，引入投影算子${\dot{\hat{\lambda } }}_{1}、{\dot{\hat{\lambda } }}_{2} $：

(25)$ \begin{split} {\dot{\hat{\lambda } }}_{1}=&\text{Proj}\left\{\dfrac{{\sigma }_{1}}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{\text{1}}\right|\right|}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}{\left[\begin{array}{ccc}0 ,& {f}_{3}, & 0\end{array}\right]}^{\text{T}}\right\}=\\&\begin{cases} \dfrac{{\sigma }_{1}}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{\text{1}}\right|\right|}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}{\left[\begin{array}{lll}0 ,& {f}_{3} ,& 0\end{array}\right]}^{\text{T}}, & 条件1;\\0, & 其他.\end{cases}\end{split} $

(26)$ \begin{split} {\dot{\hat{\lambda } }}_{2}=&\text{Proj}\left\{\dfrac{{\sigma }_{2}}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{\text{1}}\right|\right|}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}{\left[\begin{array}{ccc}0, & 0 ,& {f}_{3}\end{array}\right]}^{\text{T}}\right\}=\\&\begin{cases} \dfrac{{\sigma }_{2}}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{\text{1}}\right|\right|}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}{\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}{\left[\begin{array}{lll}0, & 0, & {f}_{3}\end{array}\right]}^{\text{T}}, & 条件2;\\0, & 其他.\end{cases}\end{split} $

式中：条件1如下：1）$ {\underline{\lambda }}_{1} \lt {\hat{\lambda }}_{1} \lt {\overline{\lambda }}_{1} $；2）$ {\hat{\lambda }}_{1}={\underline{\lambda }}_{1} $且$ {\dot{\hat{\lambda } }}_{1}\geqslant 0 $；3）$ {\hat{\lambda }}_{1}={\overline{\lambda }}_{1} $且$ {\dot{\hat{\lambda } }}_{1}\leqslant 0 $. 条件2如下：1）$ {\underline{\lambda }}_{2} \lt {\hat{\lambda }}_{2} \lt {\overline{\lambda }}_{2} $；2）$ {\hat{\lambda }}_{2}={\underline{\lambda }}_{2} $且$ {\dot{\hat{\lambda } }}_{2}\geqslant 0 $；3）$ {\hat{\lambda }}_{2}={\overline{\lambda }}_{2} $且$ {\dot{\hat{\lambda } }}_{2}\leqslant 0 $. 其中，$ {\overline{\lambda }}_{1} $、$ {\overline{\lambda }}_{2} $、$ {\underline{\lambda }}_{1} $、$ {\underline{\lambda }}_{2} $分别为自适应律$ {\hat{\lambda }}_{1} $、$ {\hat{\lambda }}_{2} $的上下界.

为了确保$ \boldsymbol{A}({\hat{\lambda }}_{1},{\hat{\lambda }}_{2}) $的可逆性，$ {\hat{\lambda }}_{2} $须满足

(27)$ {\hat{\lambda }}_{2}\neq 0. $

设计扰动估计值$ {\hat{\boldsymbol{L}}} $自适应律为

(28)$ {\dot{\hat{\boldsymbol{L}} }}={{\textit{Λ}}}((4{\xi }^{2}+1){\boldsymbol{Z}}_{\text{1}}-{\boldsymbol{Z}}_{\text{2}}). $

式中：$ {{\textit{Λ}}}=\text{diag}\;\left\{\left[{\mathit{\Lambda }}_{1},{\mathit{\Lambda }}_{2},{\mathit{\Lambda }}_{3}\right]\right\} $，为正定矩阵.

设计控制器增益$k_1 $、$k_2 $自适应律为

(29)$ {\dot{k}}_{1}=\begin{cases} {\beta }_{1}\sqrt{\dfrac{{\gamma }_{1}}{2}}\text{sign}\;(\left|\left|\boldsymbol{e}\right|\right|-b), & {k}_{1}\geqslant {k}_{\text{1m}};\\a, & {k}_{1} \lt {k}_{\text{1m}}.\end{cases} $

(30)$ {\dot{k}}_{2}=\begin{cases} {\beta }_{2}\sqrt{\dfrac{{\gamma }_{2}}{2}}\text{sign}\;(\left|\left|\boldsymbol{e}\right|\right|-b), & {k}_{2}\geqslant {k}_{\text{2m}};\\a, & {k}_{2} \lt {k}_{\text{2m}}.\end{cases} $

(31)$ {k}_{1}(4{\xi }^{2}+1)-2{k}_{2}-{\left[{{k}_{2}}-\dfrac{{k}_{1}}{2}-\dfrac{1}{2}(4{{\xi }^{2}}+1)\right]}^{2} \gt 0. $

式中：$ {\beta }_{1} $、$ {\beta }_{2} $、$ {\gamma }_{1} $、$ {\gamma }_{2} $、$ a $、$ b $、$ {k}_{\text{1m}} $、$ {k}_{\text{2m}} $均为正常数.

定理1　针对三旋翼无人机姿态系统故障模型（式(2)、(9)），设计控制输入（式(16)）和自适应律（式(23)、(24)、(28)~(30)），可使姿态系统在有限时间内收敛.

证明　定义Lyapunov候选函数为

(32)$ \begin{split} {\boldsymbol{V}}=&{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{Z}+\dfrac{1}{2}{{\tilde{\boldsymbol{L}}}}^{\text{T}}{{\textit{Λ}}}^{{-1}}{\tilde{\boldsymbol{L}}}+\dfrac{1}{2}\sigma _{1}^{-1}\tilde{\lambda }_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\sigma _{2}^{-1}\tilde{\lambda }_{2}^{2}+\\&\dfrac{1}{2{\gamma }_{1}}({{k}_{1}}-{k_{1}^{*}})^{2}+\dfrac{1}{2{\gamma }_{2}}({{k}_{2}}-{k_{2}^{*}})^{2}.\end{split} $

式中：$k_{1}^{*} $、$k_{2}^{*} $为足够大的正常数，$ {\tilde{\boldsymbol{L}}} $为集总扰动估计误差，$ \boldsymbol{P} $为正定矩阵. $ \boldsymbol{P} $表示为

(33)$ \boldsymbol{P}=\left[\begin{matrix}4{\xi }^{2}+1 & -1\\-1 & 1\end{matrix}\right]. $

对式(32)求导，可得

(34)$ \begin{split} \dot{{\boldsymbol{V}}}=&-\dfrac{1}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|}{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{Z}+\dfrac{1}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|}{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}+{{\tilde{\boldsymbol{L}}}}^{\text{T}}{{{\textit{Λ}}}}^{{-1}}{\dot{\tilde{\boldsymbol{L}} }}+\sigma _{1}^{-1}{\tilde{\lambda }}_{1}{\dot{\tilde{\lambda } }}_{1}+\\&\sigma _{2}^{-1}{\tilde{\lambda }}_{2}{\dot{\tilde{\lambda } }}_{2}+\dfrac{1}{{\gamma }_{1}}({k}_{1}-k_{1}^{*}){\dot{k}}_{1}+\dfrac{1}{{\gamma }_{2}}({k}_{2}-k_{2}^{*}){\dot{k}}_{2}.\\[-5pt]\end{split} $

其中，

(35)$ \boldsymbol{Q}=\left[\begin{matrix}{k}_{1}(4{\xi }^{2}+1)-2{k}_{2} & {k}_{2}-\dfrac{{k}_{1}}{2}-\dfrac{1}{2}(4{\xi }^{2}+1)\\{k}_{2}-\dfrac{{k}_{1}}{2}-\dfrac{1}{2}(4{\xi }^{2}+1) & 1\end{matrix}\right]. $

对式(15)求导，并将式(23)、(24)、(28)代入式(34)，整理得到

(36)$ \dot{{\boldsymbol{V}}}\leqslant -\frac{1}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{1}\right|\right|}{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{Z}+\frac{1}{{\gamma }_{1}}({k}_{1}-k_{1}^{*}){\dot{k}}_{1}+\frac{1}{{\gamma }_{2}}({k}_{2}-k_{2}^{*}){\dot{k}}_{2}. $

当满足式(31)时，矩阵$ \boldsymbol{Q} $为正定矩阵，故满足

(37)$ {\lambda }_{\min }\left\{\boldsymbol{P}\right\}{\left|\left|\boldsymbol{Z}\right|\right|}^{2}\leqslant {\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{Z}\leqslant {\lambda }_{\text{max}}\left\{\boldsymbol{P}\right\}{\left|\left|\boldsymbol{Z}\right|\right|}^{2}, $

(38)$ {\lambda }_{\min }\left\{\boldsymbol{Q}\right\}{\left|\left|\boldsymbol{Z}\right|\right|}^{2}\leqslant {\boldsymbol{Z}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{Z}\leqslant {\lambda }_{\max }\left\{\boldsymbol{Q}\right\}{\left|\left|\boldsymbol{Z}\right|\right|}^{2}, $

(39)$ -\frac{1}{\left|\left|{\boldsymbol{Z}}_{\text{1}}\right|\right|}{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{Z}\leqslant -\frac{{\lambda }_{\min }\left\{\boldsymbol{Q}\right\}}{{\lambda }^{{1}/{2}}_{\max }\left\{\boldsymbol{P}\right\}}\left|\left|\boldsymbol{Z}\right|\right|=-\kappa {({{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{Z})}^{{1}/{2}}. $

式中：${\lambda }_{\min }\{\cdot \} $、${\lambda }_{\max }\{\cdot \} $为矩阵的最小特征值和最大特征值，$\kappa =\mathop{\lambda }_{\min }\left\{ {\boldsymbol{Q}} \right\}/\mathop{\lambda }_{\max }^{1/2}\left\{ {\boldsymbol{P}} \right\} $. 式(36)可以整理为

(40)$ \begin{split} &\dot{{\boldsymbol{V}}}\,\leqslant -\kappa ({{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{Z})^{{1}/{2}}-\frac{{\beta }_{1}}{\sqrt{2{\gamma }_{1}}}\left| {k}_{1}-k_{1}^{*}\right| -\frac{{\beta }_{2}}{\sqrt{2{\gamma }_{2}}}\left| {k}_{2}-k_{2}^{*}\right| -\\&\left( \frac{{\dot{k}}_{1}}{{\gamma }_{1}}-\frac{{\beta }_{1}}{\sqrt{2{\gamma }_{1}}} \right)\left| {k}_{1}-k_{1}^{*}\right| -\left( \frac{{\dot{k}}_{2}}{{\gamma }_{2}}-\frac{{\beta }_{2}}{\sqrt{2{\gamma }_{2}}} \right)\left| {k}_{2}-k_{2}^{*}\right| .\\[-3pt]\end{split}$

由不等式$ （{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}{)}^{{1}/{2}}\leqslant \left| x\right|+\left| y\right|+\left| z\right| $，式(40)可以写为

(41)$ \dot{{\boldsymbol{V}}}\leqslant -{\kappa }_{0}{V}^{{1}/{2}}+{\nu }^{*}(t). $

式中：$ {\kappa }_{0}=\min \;\left(\kappa ,{\beta }_{1},{\beta }_{2}\right) $. $ {\nu }^{*}(t) $表达式如下：

(42)$ \begin{split} {\nu }^{*}(t)=&-\left(\frac{{\dot{k}}_{1}}{{\gamma }_{1}}-\frac{{\beta }_{1}}{\sqrt{2{\gamma }_{1}}}\right)\left| {k}_{1}-k_{1}^{*}\right| -\\&\left(\frac{{\dot{k}}_{2}}{{\gamma }_{2}}-\frac{{\beta }_{2}}{\sqrt{2{\gamma }_{2}}}\right)\left| {k}_{2}-k_{2}^{*}\right| .\end{split} $

针对$ {\nu }^{*}(t) $，存在2种情况.

1)当$ \left|\left|\boldsymbol{e}\right|\right| \gt b $且$ {k}_{1}\geqslant {k}_{\text{1m}} $、$ {k}_{2}\geqslant {k}_{\text{2m}} $时，将式(29)、(30)代入式(41)，可得

(43)$ \dot{{\boldsymbol{V}}}\leqslant -{\kappa }_{0}{{\boldsymbol{V}}}^{{1}/{2}}. $

此时系统将在有限时间内收敛，收敛时间为

(44)$ t\leqslant \frac{2}{{\kappa }_{0}}{V}^{{1}/{2}}(0). $

2)当$ \left|\left|\boldsymbol{e}\right|\right| \lt b $时，将式(29)、(30)代入式(42)，整理得

(45)$ {\nu }^{*}=\begin{cases} 2\dfrac{{\beta }_{1}}{\sqrt{2{\gamma }_{1}}}\left| \Delta {k}_{1}\right|+2\dfrac{{\beta }_{2}}{\sqrt{2{\gamma }_{2}}}\left| \Delta {k}_{2}\right| , & {k}_{1}\geqslant {k}_{\text{1m}},{k}_{2}\geqslant {k}_{\text{2m}};\\2\dfrac{{\beta }_{1}}{\sqrt{2{\gamma }_{1}}}\left| \Delta {k}_{1}\right| -\Delta {\gamma }_{2}\left| \Delta k_{2}^{*}\right| , & {k}_{1}\geqslant {k}_{\text{1m}},{k}_{2} \lt {k}_{\text{2m}};\\-\Delta {\gamma }_{1}\left| \Delta k_{1}^{*}\right|+2\dfrac{{\beta }_{2}}{\sqrt{2{\gamma }_{2}}}\left| \Delta {k}_{2}\right| , & {k}_{1} \lt {k}_{\text{1m}},{k}_{2}\geqslant {k}_{\text{2m}};\\-\Delta {\gamma }_{1}\left| \Delta k_{1}^{*}\right| -\Delta {\gamma }_{2}\left| \Delta k_{2}^{*}\right| , & {k}_{1} \lt {k}_{\text{1m}},{k}_{2} \lt {k}_{\text{2m}}.\end{cases} $

式中：$ \Delta k_{i}^{*}={k}_{i\text{m}}-k_{i}^{*}+at,i=1,2; $$ \Delta {k}_{i}={k}_{i}-k_{i}^{*},i=1,2; $$ \Delta {\gamma }_{i}=\dfrac{a}{{\gamma }_{i}}-\dfrac{{\beta }_{i}}{\sqrt{2{\gamma }_{i}}},i=1,2. $

当$ {k}_{1} \lt {k}_{1\text{m}} $或$ {k}_{2} \lt {k}_{\text{2m}} $时，${k}_{1} $、${k}_{2} $增加，故式(45)中的第2、3、4式仅在有限时间内满足，最终有$ {k}_{1}\geqslant {k}_{\text{1m}}, $$ {k}_{2}\geqslant {k}_{\text{2m}}, $第1式成立，式(45)保持正定，控制效果增强. 当误差满足$ \left|\left|\boldsymbol{e}\right|\right| \gt b $时，由式(29)、(30)可得，$ {k}_{1} $、$ {k}_{2} $减小，情况1）成立，闭环系统将在有限时间内收敛.

采用如图2所示的无人机飞控半实物实验平台对所设计控制器的有效性进行验证. 平台由实时仿真机、地面站系统、三轴转台、遥控器和飞控板组成. 三旋翼无人机系统参数和控制器参数设置如下.

$ {l}_{1} $ = ${l}_{2} $ = 0.15 m，$ {l}_{3} $ = 0.20 m，$ \mu $ = 0.05，$ \boldsymbol{J}=\text{diag} [2.0\times {10}^{-3},8.3\times {10}^{-3},8.2\times {10}^{-3}]\text{kg}\cdot {\text{ m}}^{2} $，$ a $ = 0.7，$ b $ =0.04，$ {\beta }_{1} $ = 2，$ {\gamma }_{1} $ = 1，$ {\beta }_{2} $ = 3，$ {\gamma }_{2} $ = 1，$ {k}_{\text{1m}} $ = 12，$ {k}_{\text{2m}} $ = 14，$ {\sigma }_{1} $ = 0.005，$ {\sigma }_{2} $ = 0.005，$ \xi $ = 1，$ {{\textit{Λ}}}=\text{diag}\;\left\{\left[0.3,0.3,0.3\right]\right\} $，$ \boldsymbol{c}=\text{diag}\;\left\{\left[6,5,6\right]\right\} $.

初始姿态角$ {\boldsymbol{\eta }}_{\text{0}}={\left[{5.1}^{\circ },-{14.5}^{\circ },{28.8}^{\circ }\right]}^{\text{T}} $，目标轨迹$ {\boldsymbol{\eta }}_{\text{d}}={\left[0.20\sin\; (0.5t),\;-0.25\cos\; (0.5t),\;0.45\sin \;(0.4t)\right]}^{\text{T}} $，舵机的有效偏转角度为$ \left[-{20}^{\circ },{20}^{\circ }\right] $. 第14 s添加外部集总扰动，具体形式为

(46)$ \boldsymbol{\rho }(t)=3\sin\; (0.5t){\boldsymbol{I}}+0.4\boldsymbol{\eta }+0.3{\boldsymbol{\omega }}^{2}. $

式中：${\boldsymbol{I}}=[1,1,1]^{\mathrm{T}} $，$ {\boldsymbol{\omega }}^{2}={[{{p}^{2}},{{q}^{2}},{{r}^{2}}]}^{\text{T}} $. 第19 s发生舵机卡死故障，其故障值由上一时刻的舵机偏转角度决定.

采用上述设定的参数进行实验. 同时，为了更好地验证所设计控制器的控制效果，在相同条件下，根据参考文献[6]，设计基于超螺旋算法的控制器(STA)进行对比，具体形式如下：

(47)$ \begin{split} \boldsymbol{f}=&({\boldsymbol{\varPhi}}{{\boldsymbol{J}}^{-1}}\boldsymbol{A}({{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}))^{-1}({\boldsymbol{\varPhi}}{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{S}\left(\boldsymbol{\omega }\right)\boldsymbol{J}\boldsymbol{\omega }-\boldsymbol{c}\dot{\boldsymbol{e}}+\\&{\mathbf{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{\text{d}}-\mathbf{\dot{{\boldsymbol{\varPhi}}}\boldsymbol{\omega }}-{\boldsymbol{K}}_{\text{1}}{\boldsymbol{\varsigma }}_{\text{1}}-{\boldsymbol{K}}_{\text{2}}{\boldsymbol{\varsigma }}_{\text{2}}).\end{split} $

式中：${\boldsymbol{\varsigma }}_{\text{1}} $=$ {\left| \boldsymbol{s}\right| }^{\tfrac{1}{2}} $sign(s)+$\boldsymbol{\beta } $s，${\mathbf{\dot{\boldsymbol{\varsigma }}}}_{2} $=$ \dfrac{1}{2} $sign(s)+$\dfrac{3}{2}\boldsymbol{\beta }{\left| \boldsymbol{s}\right| }^{\tfrac{1}{2}}\times $$ \text{sign}\;({\boldsymbol{s}})$+${\boldsymbol{\beta }}^{2}\boldsymbol{s} $，$ {\boldsymbol{K}}_{\text{1}}$、${\boldsymbol{K}}_{\text{2}} $、$\boldsymbol{\beta } $为正常数对角矩阵.

实验结果如图3~7所示. 实时实验视频见网站：https://youtu.be/jyPw1O81o9A.

如图3、4分别表示姿态角和姿态角误差变化曲线. 可以看出，在扰动发生前，姿态角跟踪误差保持在较小的水平，在第14 s扰动发生后，误差出现变化，STSM算法能够在0.2 s内实现稳定跟踪，而STA算法需要0.3 s. 在第19 s故障发生后，滚转和偏航通道的误差出现明显变化，STSM算法能使滚转角、俯仰角和偏航角分别稳定在$ \pm {1.5}^{\circ } $, $ \pm {1.0}^{\circ } $, $ \pm {1.8}^{\circ } $以内，STA算法控制精度则分别在$ \pm {1.5}^{\circ } $, $ \pm {1.5}^{\circ } $, $ \pm {2.0}^{\circ } $以内. 上述结果证明了所设计抗扰容错控制策略的有效性，相比于STA，其具备更好的跟踪性能.

如图5所示展示了三旋翼无人机控制输入. 在发生扰动之后，控制输入$f_1 $、$f_2 $、$f_3 $出现显著变化. 舵机在发生故障前参与控制，19 s时舵机角度保持在故障前一时刻的角度不变. 如图6所示的自适应律变化曲线表明，在发生舵机故障后，自适应律$ {\hat{\lambda }}_{1} $、$ {\hat{\lambda }}_{2} $迅速稳定到某一常值；控制器增益$ {k}_{1} $、$ {k}_{2} $不断调整，维持在$ {k}_{\text{1m}} $、$ {k}_{\text{2m}} $附近. 如图7所示为扰动估计曲线，可以发现估计值在一定范围内上下波动，符合预期的理论效果.

为了定量比较STSM相比于STA的优势，分析其发生舵机卡死故障后31 s内的误差，具体结果如表1所示. 可以看到，偏航通道上两者的平均绝对误差和均方差相近，但在滚转和俯仰通道上STSM误差均值更低，且其平均绝对误差和均方差均全面优于STA的，这表示STSM的误差波动更小，鲁棒性更强，能有效抑制扰动并提升系统稳定性.

针对三旋翼无人机发生舵机卡死故障的姿态控制问题，同时考虑未知外部扰动，建立三旋翼无人机姿态系统故障模型. 为了解决舵机故障下控制分配矩阵未知的问题，并补偿外部扰动和突发故障对系统的影响，同时考虑建模不确定性，融合自适应和超螺旋滑模控制设计抗扰容错控制策略. 基于Lyapunov稳定性理论，证明了闭环系统有限时间收敛. 最后，通过无人机飞控半实物实验平台进行实验验证，并与超螺旋算法进行比较，验证了控制策略在发生外部扰动和舵机卡死故障时的鲁棒性. 目前，本研究主要关注舵机卡死故障下的三旋翼无人机姿态控制研究，尚未涉及其旋翼故障下的容错控制问题. 未来将进一步开展三旋翼无人机执行器失效下的位置与姿态容错控制问题研究.