浙江大学学报(工学版)

浙江大学学报(工学版), 2026, 60(10): 2259-2277 doi: 10.3785/j.issn.1008-973X.2026.10.018

计算机技术与控制工程

多变量非线性复杂系统的模糊建模与控制综述

康庄,, 贾利民,

1. 北京交通大学 先进轨道交通自主运行全国重点实验室，北京 100044

2. 北京交通大学 交通运输学院，北京 100044

Review of fuzzy modeling and control for multivariable nonlinear complex systems

KANG Zhuang,, JIA Limin,

1. State Key Laboratory of Advanced Rail Autonomous Operation, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

2. School of Traffic and Transportation, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

通讯作者: 贾利民，男，教授. orcid.org/0000-0003-2161-4637. E-mail: lmjia@bjtu.edu.cn

收稿日期: 2025-05-22  

基金资助: 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（科技领军人才团队项目）（2022JBXT009）.

Received: 2025-05-22  

Fund supported: 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（科技领军人才团队项目）（2022JBXT009）.

作者简介 About authors

康庄（1995—），男，博士生，从事模糊控制研究.orcid.org/0000-0001-6218-3621.E-mail：21114026@bjtu.edu.cn , E-mail：21114026@bjtu.edu.cn

摘要

针对多变量非线性复杂系统建模难度高和控制效率低的问题，模糊控制提供了新的研究途径，经过多年发展，已取得大量研究成果. 本研究主要综述模糊控制理论在多变量非线性复杂系统中的研究进展. 介绍模糊理论相关知识和模糊控制器的基本组成部分；分析多变量非线性复杂系统的各类模糊模型与控制方法，包括基于语义规则的模糊控制系统、基于模型的模糊控制系统和其他模糊控制系统. 着重讨论基于模型的控制系统，包括T-S模糊模型、模糊穴-穴映射模型、模糊神经网络模型和基于过程输入输出数据变化关系的模糊模型，并从模型的结构辨识和参数辨识2方面进行总结与研究. 探讨多变量非线性复杂系统在普适性、可解释性、稳定性、应用性等方面存在的问题及未来可能的发展方向.

关键词： 多变量非线性复杂系统 ; 模糊控制 ; 模糊建模 ; 结构辨识 ; 参数辨识

Abstract

In response to the challenges of high difficulty in modeling and the low control efficiency in multivariable nonlinear complex systems, fuzzy control has been identified as a promising research approach. Significant progress has been made over the years. Advancements in fuzzy control theory for these systems have been reviewed. Firstly, relevant knowledge of fuzzy theory and the basic components of fuzzy controllers were presented. Secondly, various fuzzy models and control methods for multivariable nonlinear complex systems were discussed, including fuzzy control systems based on semantic rules, model-based fuzzy control systems, and others. Special emphasis was placed on model-based fuzzy control systems, such as the T-S fuzzy model, fuzzy cell-to-cell mapping model, fuzzy neural network model, and fuzzy models based on the variation relationship between process input and output data. Detailed summaries and analyses of both model structure identification and parameter identification were provided. Finally, challenges related to the universality, interpretability, stability, and applicability of these systems were explored, along with potential directions for future research and development.

Keywords： multivariable nonlinear complex system ; fuzzy control ; fuzzy modelling ; structure identification ; parameter identification

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康庄, 贾利民. 多变量非线性复杂系统的模糊建模与控制综述. 浙江大学学报(工学版)[J], 2026, 60(10): 2259-2277 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2026.10.018

KANG Zhuang, JIA Limin. Review of fuzzy modeling and control for multivariable nonlinear complex systems. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)[J], 2026, 60(10): 2259-2277 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2026.10.018

多输入多输出（multiple-input multiple-output, MIMO）非线性系统是一类具有非线性、多变量和强耦合等特性的复杂系统，广泛存在于各工程实践中，如机器人控制[1]、化工过程控制[2]、无人机飞行控制[3]等，然而，由于这些系统的非线性、强耦合性和时变性，各变量之间的相互作用复杂且难以精确建模，导致传统控制方法对此类系统的自适应性差、控制效率低且性能不稳定，往往无法满足系统高效和精确的控制需求，且缺乏足够的精度和鲁棒性，造成了严重的控制瓶颈.

针对上述问题，基于模糊理论的建模与控制方法提供了新的研究框架. 自从1965年，Zadeh[4]提出模糊集理论以来，相关研究迅速发展，在推理、控制、分类、决策和优化等诸多领域都取得了突破性进展[5]. 模糊逻辑能够将人类的知识、经验和思维转化为简单的模糊规则，灵活处理系统中的不确定性和非线性问题. 特别是在MIMO非线性系统的建模与控制问题中，通过将复杂的非线性映射转化为模糊规则库，能够更好地应对系统的高维度、强耦合性和外部干扰等挑战. 按照模糊规则库的特征，模糊推理系统被划分为Mamdani型和T-S型[6]. 具体来说，Mamdani型系统每条规则的输出通常是模糊集合，并通过模糊运算进行推理，而T-S型系统则使用线性或非线性函数来表示规则的输出，能够更好地处理复杂非线性系统.

本研究重点介绍模糊控制在MIMO非线性复杂系统中的研究进展，特别是针对上述工程领域中的控制瓶颈问题，阐述模糊控制如何提供有效的解决方案. 介绍模糊控制器的基本设计框架. 探讨MIMO非线性系统的模糊控制器，包括基于语义规则的模糊控制器和基于模型的模糊控制器，前者主要以Mamdani模糊控制器为代表，而基于模型的模糊控制器则涵盖T-S模型、模糊穴-穴映射模型、模糊神经网络模型和基于过程输入输出数据变化关系的模糊模型. 分别对各模型的结构辨识和参数辨识进行详细的总结与分析. 讨论MIMO非线性系统的模糊控制与其他控制方法相结合的研究，包括模糊PID控制、模糊解耦控制、模糊滑模控制、模糊神经网络控制和模糊自适应控制. 最后，对未来的研究课题和发展趋势进行展望.

1. 基本模糊控制器的设计

模糊控制器的基本组成包括输入模糊化、知识库、模糊推理和输出解模糊化4个模块[6-7]，结构设计如图1所示.

图 1

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图 1   模糊控制器基本结构图

Fig.1   Basic structure of fuzzy controller


首先介绍模糊推理算子，最常用的有T范式和S范式算子，两者实质上都是基于${\text{max}} {\text{-}} {\text{min(}} \wedge {\text{-}} \vee {\text{)}}$算子[4]的操作运算. 不过，这类算子无法体现不同模糊规则的重要度，导致推理结果不准确，因此研究更具普适性且能融合模糊规则重要度信息的模糊算子对模糊推理的准确性极为重要. 这里给出几类最具代表性的模糊算子，例如，有序加权平均算子（ordered weighted averaging, OWA）[8]对${\text{max}} {\text{-}} {\text{min(}} \wedge {\text{-}} \vee {\text{)}}$算子进行优化，使其成为OWA算子的一种特例，克服了其原有的缺点，可以根据不同的对象赋予不同权重，进而提高推理的准确性. Uninorm算子[9]通过恒等因子对T范式和S范式算子进行相互转化，将两者进行统一. 有研究者关于OWA和Uninorm算子的分配性问题做了进一步扩展与补充，且给出了详细的理论依据[10-12]. 此外模糊积分算子[13]的提出实现了连续变量的模糊计算. 柴园园[14]对各类模糊算子进行了分析与研究，提出基于各类算子的普适性推理系统.

1.1. 输入模糊化

输入模糊化是对输入进行模糊描述，例如对变量${x}$进行模糊化操作：

$A = {\mathrm{fuzzifiter}} ({x}). $

式中：fuzzifiter为模糊器，它将输入$ {{x}} $通过隶属度函数$ {{\mu}}_{{A}}{(}{{x}}{)} $转化为模糊集合$ A $. 模糊器主要有单值模糊器、高斯模糊器、三角模糊器3种，各自的隶属度函数分别如下：

$ {\mu }_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x={x}^{\text{*}}; \\ 0, & 其他. \end{array}\right. $

$ {\mu _A}\left( x \right) = {\mathrm{exp}}\; \left[- {{\left( {\dfrac{{x - {x^*}}}{a}} \right)}^2}\right]. $

$ {\mu }_{A}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left(1-\dfrac{\left|x-{x}^{*}\right|}{b}\right),& \left|x-{x}^{*}\right| \leqslant b;\\ 0, & 其他.\end{array}\right. $

式中：$ {{x}}^{{*}} $为实值点，a、b为正数.

1.2. 知识库

模糊知识库由以下语言规则构成：

$ \begin{split} {R^l}:\;&{\text{IF }}{x_1}\; {\text{is}} \;A_{\text{1}}^l \;{\text{and}}\; \cdots \;{\text{and}}\; {x_n}\; {\text{is}}\; A_n^l, \\ & {\text{THEN}}\;y\;{\text{is}}\; {B^l}. \end{split} $

式中：$ {{R}}^{{l}} $为第l条规则；$ {x=}{(}{{x}}_{{1}}{,}\;\cdots {,}\;{{x}}_{{n}}{)} $为输入变量，对应的模糊值分别为$ {{A}}_{{1}}^{{l}}{,}\;{ \cdots {,}\;{A}}_{{n}}^{{l}}；{y} $为输出变量；${B^l} $为对应的模糊值.

1.3. 逻辑规则及模糊推理

模糊推理的核心是逻辑规则，这些规则通过如式(5)所示的IF-THEN结构来描述输入与输出之间的关系. 每条规则由前提（IF）和结论部分（THEN）组成. 在模糊推理系统中，逻辑规则定义了如何从输入的模糊集合推导出输出的模糊集合. 以模糊规则式(5)为例，设输入和输出的变量论域分别为$ {U} $和$ {V} $，根据前提逻辑规则，定义$ {{A}}_{{1}}^{{l}}\times { \cdots \times {A}}_{{n}}^{{l}} $为$ {U} $上的一个模糊推理关系.

$ {\mu }_{前提}({x}_{1},\cdots ,{x}_{n})={\mu }_{{A}_{1}^{l}}({x}_{1})\star \cdots \star {\mu }_{{A}_{n}^{l}}({x}_{n}). $

式中：$ \star $表示任一T范式算子.

对于规则$ {{R}}^{{l}} $，可定义$ {{A}}_{{1}}^{{l}}{ \times }{{ \cdots }{ \times}{A}}_{{n}}^{{l}}\to {{B}}^{{l}} $为$ {U \times V} $上的一个输出模糊关系，定义如下：

$ {\mu }_{输出\text{ }}(y)={\mu }_{前提\text{ }}({x}_{1},\cdots ,{x}_{n})\star {\mu }_{{B}^{l}}(y). $

1.4. 输出清晰化

输出清晰化也称解模糊化，是指通过解模糊器将$ {V}\subset {{\bf{R}}} $上的模糊集$ {{B}}' $（模糊推理的输出）转化为清晰精确值$ {{y}}^{{*}}{{(}{y}}^{{*}}{\in}{V}{)} $的过程. 主要有以下3种解模糊器.

1）重心解模糊器：

$y^*=\int_V y \mu_{B^\prime}(y) \mathrm{d} y / \int_V \mu_{B^\prime}(y) \mathrm{d} y . $

式中：$ {\smallint _V} $为常规积分.

2）中心平均解模糊器：

$ {y^*} = \sum\limits_{l = 1}^M {{y^l}} {w_l}\bigg/\sum\limits_{l = 1}^M {{w_l}} . $

式中：M为模糊集$ {{B}}' $的模糊子集个数；$ {{y}{}}^{{l}} $为第l个模糊集合的中心，$ {{w}}_{{l}} $为其高度.

3）最大值解模糊器：

$ {\mathrm{hgt}}({B}^{\prime })=\{y\in V\mid {\mu }_{{B}^{\prime }}(y)=\underset{y\in V}{\text{sup}}\;{\mu }_{{B}^{\prime }}(y)\}. $

根据式（10）可以定义最大值解模糊器的输出$ {{y}}^{{*}} $，即$ {{\mu}}_{{{B}}'}{(}{y}{)} $达到最大值时$ {y} $的值.

综上所述，可以看出模糊控制器通常不依靠精确的数学模型，通过将人类优秀的经验转化为模糊规则，能有效克服传统控制模型的缺点，为MIMO非线性系统的控制提供新的研究方向.

2. MIMO系统的模糊建模与控制

2.1. 基于语义规则的模糊控制系统

Mamdani模糊控制系统是基于启发式规则的语义表达系统[6-7]，一般通过IF-THEN形式的规则表示：

$ \begin{split} {R^i}:\;&{\text{IF}}\;{x_1} \;{\text{is}}\; {A_{i1}} \;{\text{and}}\; \cdots\; {\text{and}}\; {x_p} \;{\text{is}} \;{A_{ip}}, \\ &{\text{THEN}}\;y\;{\text{is}} \;{B_i}\;(i = 1,\;2,\; \cdots ,\;K). \end{split} $

式中：$ {{x}}_{{1}}{,}\;{ \cdots }\;{,}{{x}}_{{p}} $为输入/前件变量；y为输出/结论变量；$ {{A}}_{{i}} $和$ {{B}}_{{i}} $分别为对应的模糊集，通常用隶属度函数表示，即$ {{\mu}}_{{{A}}_{{i}}}\left({x}\right){:}{X}{ \to } $[0, 1.0]，$ {{\mu}}_{{{B}}_{{i}}}\left({y}\right){:}{Y}{ \to } $[0, 1.0]；K为规则数.

Mamdani模型的推理是基于$ \text{max-min(}\wedge \text{-} \vee \text{)} $算子[4]实现的，主要包括以下3个步骤.

1）计算每条规则$ {{R}}^{{i}} $的前提权重$ {{\beta}}_{{i}} $：

$ {\beta _i} = {\mu _{{A_{i1}}}}({x_1}) \wedge {\mu _{{A_{i2}}}}({x_2}) \wedge \cdots \wedge {\mu _{{A_{ip}}}}({x_p}). $

2）计算每条规则$ {{R}}^{{i}} $的模糊输出$ {{B}}_{{i}}' $：

$B'_i = {\beta _i} \wedge {\mu _{{B_i}}}(y). $

3）计算模型总输出（取最大值）：

$ y' = {\max}_{i = 1,\;2,\; \cdots ,\;K}\;B'_i. $

最后，对模型输出解模糊化，得到清晰值. 该模型结构简单，被广泛应用于多个领域[15-17]，但该模型是基于语义规则的控制模型，没有精确的数学模型作为支撑，所以无法给出严谨有效的系统稳定性证明.

2.2. 基于模型的多变量模糊控制系统

模糊模型能有效克服MIMO非线性系统无法建立精确数学模型的缺点，是研究和分析MIMO非线性系统的有效手段. 模型辨识是研究模糊模型的重要内容，包括结构和参数辨识.

2.2.1. 模糊模型结构辨识

主要包括输入变量选择和模糊空间划分的各类方法.

1）输入变量选择. 如何从系统所有输入变量中选取合适的变量作为模型输入. 这是建立模糊模型首要考虑的问题，主要有以下几种方法.

（a）模糊搜索树. 模糊搜索树算法最早由Takagi等[18]提出，通过一种树状搜索算法，在循环选择中，每次将所有变量都加入到模型中进行验证，寻找最佳的输入变量. 这样虽然有效，但是算法计算速度较慢. Sugeno等[19]针对此问题进行了优化，将数据分为A和B共2组，利用RC（regularity criterion）指标作为选取输入变量标准，RC的定义为

$ {\text{RC}} = \dfrac{1}{2}{{\left[ {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{{n_A}} {{{\left( {y_i^{AB} - y_i^{AA}} \right)}^2}} /{n_A} +\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{{n_B}} {{{\left( {y_i^{BA} - y_i^{BB}} \right)}^2}} /{n_B}} \right]}}. $

式中：$ {{n}}_{{A}} $和$ {{n}}_{{B}} $分别表示2组数据的数据量，$ {{y}}_{{i}}^{{AA}} $和$ {{y}}_{{i}}^{{AB}} $分别为A和B组数据对A组数据的估计输出，$ {{y}}_{{i}}^{{BA}} $和$ {{y}}_{{i}}^{{BB}} $分别为A和B组数据对B组数据的估计输出. 取整个数据循环过程中RC最小值对应的输入变量为最优解.

（b）灰色关系法. Huang等[20]在模糊树搜索算法的基础上提出了灰色关系法，对模糊树搜索算法进行了优化，通过构造灰色关系度来确定对输出影响大的输入变量，克服了模糊树搜索算法计算速度慢的问题，灰色关系度的定义如下：

$ \gamma \left( {{y_0},{x_i}} \right) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n \gamma ({y_0}(k),{x_i}(k)). $

式中：$ {{x}}_{{i}} $和$ {{y}}_{{0}} $分别表示输入和输出序列，$ {\gamma }{(}{{y}}_{{0}}{,}{{x}}_{{i}}{)} $表示输入对输出的影响程度，$ {\gamma }{(}{{y}}_{{0}}{(}{k}{),}{{x}}_{{i}}{(}{k}{))} $为在$ {k} $点的灰色关系系数.

$ \begin{split} \gamma \left( {{y_0}(k),{x_i}(k)} \right) =& \dfrac{{{{\min }_j}{{\min }_k}\;\left| {{y_0}(k) - {x_j}(k)} \right|}}{f}+ \\&\dfrac{{\xi {{\max }_j}{{\max }_k}\;\left| {{y_0}(k) - {x_j}(k)} \right|}}{f}, \end{split} $

$ f = \left| {{y_0}(k) - {x_j}(k)} \right|+\xi {\max _j}{\max _k}\;\left| {{y_0}(k) - {x_j}(k)} \right|. $

式中：$\xi \in {(0,1.0]} $为区分系数，通常取$ \xi {=0.5} $；j=1, 2, ···, m；k=1, 2, ···, n.

（c）灵敏度分析选择法. 张阿卜[21]提出基于灵敏度分析的输入变量选择方法，考虑n个输入单个输出的系统$ {y=f}{(}{{x}}_{{1}}{,}{{x}}_{{2}}{,} \cdots {,}{{x}}_{{n}}{)} $，根据训练数据对$ \left[{{x}}_{{1}}\left({k}\right){,}{{x}}_{{2}}\left({k}\right){,} \cdots {,}{{x}}_{{n}}\left({k}\right){;}{y}\left({k}\right)\right] $，k=1, 2, ···, p，建立单级T-S模型，定义输入$ {{x}}_{{i}} $对输出$ \widehat{{y}} $的灵敏度为$ {{S}}_{{i}} $：

$ {S_i} = {D_i}/{\max _i}\;\left( {{D_i}} \right). $

$ {D_i} = \dfrac{1}{p}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^p {\left| {\dfrac{{\partial \hat y(k)}}{{{\partial {{x_i}(k)}}}}} \right|} ; \; i = 1,2, \cdots ,n. $

灵敏度越高，表明输入变量对输出影响越大，可根据灵敏度对所有输入变量进行重要性排序，根据排序结果选择输入变量.

（d）两阶段模糊曲线方法. 刘福才等[22]提出两阶段模糊曲线法（two stage fuzzy curves, TSFC），对模糊系统的所有输入变量进行筛选，根据对输出的影响度大小确定最终的输入变量，简化了MIMO非线性系统模糊建模难度，算法流程如图2所示.

图 2

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图 2   双阶段模糊曲线算法流程图

Fig.2   Two-stage fuzzy curve algorithm flowchart


TSFC算法的2阶段过程分别如下，设输入为$ {{x}}_{{i}}{(}{i}{=1,2,} \cdots {,}{M}{)} $，输出为$ {{y}}_{{k}}{(}{k}{=1,2,} \cdots {,}{N}{)} $，则第1阶段模糊曲线$ \tilde{{y}}_{{i}}{(}{{x}}_{{i}}{)} $和性能指标$ {{P}}_{\tilde {{y}}_{{i}}} $分别如下：

$ {\tilde y_i}({x_i}) = {{\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^N {({y_k} {\mu _{ki}}({x_i}))} }}\Bigg/{{\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^N {{\mu _{ki}}({x_i})} }};\;i = 1,2, \cdots ,M. $

$ {P_{{{\tilde y}_i}}} = \dfrac{1}{{N{v_y}}}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^N {{{\left( {{{\tilde y}_i}\left( {{x_{ki}}} \right) - {y_k}} \right)}^2}} . $

$ {v_y} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^N {{{\left( {{y_k} - \bar y} \right)}^2}} . $

$ {\mu _{ki}}\left( {{x_i}} \right) = \exp \left( { - {{\left( {\dfrac{{{x_{ki}} - {x_i}}}{{{b_i}}}} \right)}^2}} \right);\;k = 1,2, \cdots ,N. $

式中：$ {{v}}_{{y}} $、$ \bar{{y}} $和$ {{\mu}}_{{ki}}{(}{{x}}_{{i}}{)} $分别表示输出$ {{y}}_{{k}} $的方差、均值和输入变量$ {{x}}_{{i}} $的隶属度函数；$x_{ki} $为$x_i-y_k $空间中的1个数据点，$b_i $为高斯函数的宽度.

第2阶段模糊曲线$ \tilde {{v}}_{{i}}{(}{{x}}_{{i}}{)} $和性能指标$ {{P}}_{\tilde {{v}}_{{i}}} $表达式如下：

$ {\tilde v_i}({x_i}) = {{\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^N {{{({{\tilde y}_i}({x_i}) - {y_k})}^2}} {\mu _{ki}}({x_i})}}\Bigg/{{\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^N {{\mu _{ki}}} ({x_i})}}, $

$ {P_{{{\tilde v}_i}}} = \dfrac{1}{{Nv_y^2}}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^N {{{({{\tilde v}_{ki}}({x_{ki}}) - {v_y})}^2}} . $

式中：$ {\tilde v_{ki}}$为输出方差的局部估计值.

最后综合指标$ {{P}}_{\tilde {{y}}_{{i}}} $和$ {{P}}_{\tilde {{v}}_{{i}}} $，得到确定输入变量重要度的最终性能指标$ {{P}}_{{i}} $：

$ {P_i} = {P_{{{\tilde y}_i}}}/(1+{P_{{{\tilde v}_i}}}). $

按降序选择输入变量，$ {P}_{i} $越接近0表示重要度越高.

2）模糊空间划分.

（a）模糊网格法. Sun[23]介绍了模糊网格划分法，该方法将模糊规则视为特征空间里面的模糊超矩形，不同的矩形表征不同的模糊子空间，这种划分方式不能进行自我调整优化，同时过多的矩形划分会造成模型运算效率差，因此，Sun[23]针对模糊网格法的缺点，引入了梯度学习算法来自动调整和优化模糊空间的划分，提出自适应模糊网格划分方法. 但是，划分的准确性还是依赖大量的启发性知识，对于多变量系统而言，过多的变量会使模型复杂性呈指数增长.

（b）模糊聚类法. Ihara[24]在模糊搜索树确定好输入变量的基础上，利用模糊聚类算法（fuzzy c-means, FCM）替代传统的模糊空间划分方法，并以${S}({c}) $为评价指标[25]，以最小的${S}({c}) $对应的聚类数为最优聚类数，即要划分的模糊子空间数，有效解决了传统模糊子空间因输入变量过多而引起的模糊规则数爆炸问题.

$ S(c) = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^c {{{({\mu _{ik}})}^m}} } ({\left\| {{x_k} - {v_i}} \right\|^2} - {\left\| {{v_i} - \bar x} \right\|^2}). $

式中：n表示样本数，c表示聚类种类数，$ {{x}}_{{k}} $为第k个样本值，$ \bar x $为样本平均数，$ \| \cdot \| $为范数，$ {{\mu}}_{{ik}} $为变量$ {{x}}_{{k}} $隶属于种类i的隶属度值，m为权重系数（通常取1.5~3.0），$ {{v}}_{{i}} $为第i类的聚类中心.

FCM算法可以自动划分输入变量空间，优化模糊模型结构，是目前较成熟和使用较广泛的划分方法. 除FCM算法外，还有其他优秀的聚类算法，如减法聚类、山峰聚类和硬K均值聚类等[26]. FCM的应用虽然广泛，但是该算法对初始聚类点的依赖性太大，为了克服这个缺点，相关学者提出了减法聚类和FCM的融合算法，首先利用减法聚类获取初始值，再利用FCM进行聚类，不仅避免了局部最优，还加快了收敛速度[27-28].

（c）模糊树法. 张建刚等[29]提出基于模糊树（fuzzy-tree, FT）的系统辨识方法，该方法通过二叉树结构简化了输入空间的模糊划分过程，对复杂系统的逼近能力更强，计算量小、精度高，特别适用于高维系统. 随后，代冀阳等[30]基于遗传算法和矩阵编码方法优化了FT结构，寻找最优模糊树. 以一条规则为例对该方法进行说明：

$ {\text{IF }}{\boldsymbol{x}}{\text{ }}{\mathrm{is}}{\text{ }}{N_t}{\text{, THEN }}{\hat y_t} = {\boldsymbol{c}}_t^{\text{T}}{\boldsymbol{x}}. $

式中：${{\boldsymbol{x}}} = {[1,{x_1}, \cdots ,{x_n}]^{\text{T}}} \in {{{\bf{R}}}^{n + 1}} $为输入向量；${N_t} $为叶节点模糊集；${{{\boldsymbol{c}}}_t} = {[{c_t}(0), \cdots ,{c_t}(n)]^{\text{T}}} $为权向量；$ {t}{\in}{T} $，T为叶节点集合；$ {\widehat{{y}}}_{{t}} $为FT的输出，定义为FT的所有叶子节点加权平均，一般叶节点数越多，复杂度越高. 训练数据集为$ \big\{\left({\boldsymbol{x}}^{{i}}{,}\;{{y}}^{{i}}\right){,}\;{\boldsymbol{x}}^{{i}}{\in}{\bf{R}}^{{n+1}}{,}\; {{y}}^{{i}}{\in}{{\bf{R}}}{,}\;{i}= 1, 2,\; \cdots {,}\;{L}\big\} $，输出选择中心平均解模糊器，则可定义能量函数e和模糊树个体适应度函数$ {g}{(}{T}{)} $，表达式分别如下：

$ e = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^L {{e^i}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^L {\dfrac{1}{2}{{\left({y^i} -{\hat y}_T^{ i}\right)}^2}} , $

$ g\left(T\right)={W}_{e}\times \dfrac{1}{e}+{W}_{m}\times \dfrac{1}{m}. $

式中：$ {{W}}_{{e}} $、$ {{W}}_{{m}} $为权值；m为叶节点数；$\hat y_{T}^i $为模糊树模型的输出，即所有叶节点的输出加权平均.

（d）其他. 除上述方法外，还有其他一些优秀的方法，如王宏伟等[31]提出的基于矩阵奇异值分解（singular value decomposition, SVD）的模糊模型结构优化算法，该算法通过构造规则积累贡献率模型和对模糊关系矩阵进行奇异值分解，将重要性程度高的规则作为模型的规则库. 徐喆等[32]提出针对输入数据不足的结构辨识方法，通过加入优秀经验规则来优化模型结构. 白裔峰等[33]通过遗传算法优化子空间划分结构来提升模型精确度.

综上所述，对4种输入变量选择方法和3种模糊空间划分方法的优缺点进行对比，如表1所示.

表 1   模糊模型结构辨识各方法优缺点对比

Tab.1  Comparison of advantages and disadvantages of various methods for structural identification of fuzzy models

内容方法优点缺点
输入变量
选择		模糊搜索树有效地通过RC（规则性准则）优化输入变量选择，能减少输入输出关系的复杂性.计算量较大，尤其在处理复杂或多维数据时，需要较多的计算资源.
灰色关联法适用于处理多输入变量系统，能够评估输入变量与输出之间的关联度，直观且简单易用.对数据噪声敏感，特别是数据中存在干扰因素时，结果误差较大.
灵敏度分析法通过量化输入对系统输出的影响，能有效识别关键输入变量，适用于多变量系统.对高维度系统的计算要求高，耗时大，且忽视了变量之间的相互影响.
双阶段模糊
曲线法		对非线性系统尤其有效，能够处理不确定性较高的输入输出关系，适合MIMO系统.需要良好的数据结构，并且对初始参数选择较为敏感，系统复杂时可能需要调参.
模糊空间划分模糊网格法简单直观，适应性强，适合规则且均匀分布的输入空间划分，计算高效.划分精度有限，无法适应复杂数据；高维情况下计算量大，处理复杂数据困难.
模糊聚类法能处理复杂的非线性关系，灵活性高，鲁棒性强，对噪声数据容忍度高.计算要求高，对初始参数敏感，尤其是初始中心的选择，且容易陷入局部最优解.
模糊树法通过树形结构划分输入空间，结构灵活，适合高维数据的处理，适用于多层次复杂问题.模型复杂，容易过拟合，需要较多计算资源，训练过程较为耗时.

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2.2.2. MIMO系统模糊模型

1）T-S模糊模型. T-S模型是Takagi和Sugeno于1985年提出的[18]，并将其成功应用到了污水净化工艺的控制上，其模糊规则表达式如下：

$ \begin{split} {R^i}:&{\text{ IF }}{x_1}{\text{ is }}A_1^i{\text{ }}{\mathrm{and}}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{\mathrm{and}}{\text{ }}{x_m}{\text{ is }}A_m^i{\text{, }} \\ &{\text{THEN }}{y^i} = f\left( {{x_1}, \cdots ,{x_m}} \right){\text{,}}\;i = 1,2, \cdots , r. \end{split} $

式中：$ {{x}}_{{1}}{,} \cdots {,}\;{{x}}_{{m}} $为输入变量，$ {{y}}^{{i}} $为输出变量，$ {{A}}_{{m}}^{{i}} $为$ {{x}}_{{m}} $的第i个模糊值，$ {{\mu}}_{{{A}}_{{i}}}\left({x}\right){:}{X} \to \left[{0,1.0}\right] $为隶属度函数.

根据输出$ {{y}}^{{i}} $的具体形式可以将T-S模型分为仿射型（$ {{y}}^{{i}}{=}{{p}}_{{1}} {{x}}_{{1}}{+} \cdots {+}{{p}}_{{m}} {{x}}_{{m}}{+}{{p}}_{{0}} $）、均一型（$ {{y}}^{{i}}= {{p}}_{{1}}{{x}}_{{1}}{+} \cdots {+}{{p}}_{{m}} {{x}}_{{m}} $）和零阶型（$ {{y}}^{{i}}{=}{{p}}_{{0}} $）3类，一般情况下所说的T-S模型为仿射型，其第i条模糊规则描述如下：

$ \begin{split} {R^i}:\;&{\text{IF }}{x_1}{\text{ is }}A_{\text{1}}^i{\text{ }}{\mathrm{and}}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{\mathrm{and}}{\text{ }}{x_m}{\text{ is }}A_m^i{\text{,}} \\ &{\text{THEN }}{y^i} = {p_0}+{p_1} {x_1}+ \cdots +{p_m} {x_m}. \end{split} $

式中：$ {{p}}_{{0}}{,}\;{{p}}_{{1}}{,}\cdots {,}\;{{p}}_{{m}} $为需要辨识的后件参数. 系统输出表达式为

$ \left.\begin{gathered} y = \sum\limits_{i = 1}^r {{w^i}} {y^i}\bigg/\sum\limits_{i = 1}^r {{w^i}} , \\ {w^i} = A_1^i\left( {{x_1}} \right) \wedge A_2^i\left( {{x_2}} \right) \wedge \cdots \wedge A_m^i\left( {{x_m}} \right). \\ \end{gathered} \right\}$

系统的输出可以转换为如下公式：

$ \begin{split}y =& \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^r {{{{w^i}}}{y^i}\bigg/{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^r {{w^i}} }}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^r {{h^i}} {y^i} = \\& \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^r {{h^i}} f\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_m}} \right). \end{split} $

稳定性分析是任何类型控制系统的重要研究内容，Tanaka等[34]最早基于Lyapunov定理对T-S模型的稳定性进行了研究. 该方法要求l个模糊推理子系统的系统矩阵$ {{A}}_{{i}}{(i=1,2,} \cdots {,}{l}{)} $存在同一个正定矩阵P，且满足l个Lyapunov方程，这l个方程构成了一个超定线性方程组，一般情况下，无法求解此类方程组，因此无法有效地分析系统稳定性. Cao等[35]提出了状态空间型T-S模型，为稳定性研究提供了新思路. 吴方向等[36]进一步基于矩阵范数和矩阵分析理论给出了判定该类系统稳定的充分条件. 此外Tanaka等[37]给出了离散型和连续型状态空间型T-S模型，且结合线性矩阵不等式和分布补偿原理，分别给出了两者的李亚普洛夫稳定性原理.

T-S模型辨识是重点研究内容之一，结构辨识见2.2.1部分，参数辨识包括前件和后件参数，在文献[18]中采用FT搜索法确定前件参数，利用卡尔曼滤波算法确定后件参数. 王宏伟等[31]基于SVD方法优化递推最小二乘（recursive least squares, RLS），解决了RLS的误差积累问题. 此外，基于各类智能算法的参数辨识也是热点研究内容. 刘福才等[38]就这一部分进行了详细整理，包括基于遗传算法、粒子群和菌群优化等算法的辨识方法. 以式(33)为例，可以看出，T-S模型的前件为模糊值，但后件输出为精确值，虽为线性函数，但可以较好地逼近非线性特征. 这就是T-S模型的非线性逼近特性，能有效解决非线性模型的建模问题，已经被广泛的应用到各个领域[39-41].

值得一提的是，针对T-S模型的维数灾难问题，张平安等[42]基于GMDH[43-44]（group method of data handling）算法提出了递阶T-S模型，结构如图3所示.同时给出了具体辨识算法，结构辨识采用FCM算法，前提参数辨识采用网格划分法，结论参数辨识采用正交最小二乘法，模型如下：

图 3

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图 3   具有p个输入的递阶模糊系统结构

Fig.3   Hierarchical fuzzy system structure with p inputs


$ S_{\mathrm{h}}=\left\{S_1, S_2, \cdots, S_{p-1}\right\} . $

式中：$S_1 $、$S_2 $、$S_{p-1} $分别为第1、2、p−1个递阶子系统，p为递阶系统输入变量个数.

2）模糊穴-穴映射模型. 贾利民等[45]提出基于模糊穴-穴映射的多变量模糊系统辨识方法，简化了MIMO非线性系统的建模难度，并在煤气炉数据上进行了验证. 首先提出变量论域的模糊离散化与模糊穴概念，其次建立基于模糊穴-穴映射模型，包括FCM-Ⅰ（fuzzy cell-to-cell mapping Ⅰ, FCM-Ⅰ）和FCM-Ⅱ（fuzzy cell-to-cell mapping Ⅱ, FCM-Ⅱ），最后，提出该模型的辨识理论.

关于变量空间模糊划分、模糊穴、模糊子域特征点和模糊穴的核等概念详细见文献[45]. 设一个MIMO过程，根据是否将输出空间进行模糊划分可以建立FCM-Ⅰ和FCM-Ⅱ这2种模型. 以FCM-Ⅰ模型为例，设输入X和输出Y分别被划分为N个和M个模糊穴，即$ {{X}}^{{i}}{(}{i}{=1,2,}\cdots {,}{N}{)} $、$ {{Y}}^{{j}}{(}{j}{=1,2,}\cdots {,}{M}\text{)} $，则可建立FCM-Ⅰ模型：

$ \begin{split}{{\bf{CY}}}{(}\boldsymbol{y}{)} =& {{\bf{CX}}}{(}\boldsymbol{x}{)} \circ \boldsymbol{R} ={{\bf{CX}}}{(}\boldsymbol{x}{)} \circ \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{R}_{{11}}}}&{{{R}_{{12}}}}& \cdots &{{{R}_{{1M}}}} \\ \vdots &{}&{}&{\vdots} \\ {{{R}_{{N1}}}}&{{{R}_{{N2}}}}&\cdots &{{{R}_{{NM}}}} \end{array}} \right], \end{split} $

$ {{\bf{C Y}}}(\boldsymbol{y})= \left[{\mathrm{C Y}}_1({\boldsymbol{y}}), \cdots, \;{\mathrm{C Y}}_M({\boldsymbol{y}})\right], $

$ {{\bf{CX}}}(\boldsymbol{x})= \left[{\mathrm{C X}}_1({\boldsymbol{x}}), \cdots,\; {\mathrm{C X}}_N({\boldsymbol{x}})\right] $

式中：CY(y)和CX(x)表示输出和输入的模糊穴矢量；$ \circ $为max-min($ \vee {\text{-}} \wedge $)算子[4]；R为模糊穴映射关系矩阵，其中子关系$ {{R}}_{{ij}} $为穴$ {{X}}^{{i}} $到$ {{Y}}^{{j}} $上的映射，Rij：$ {{X}}^{{i}}{ \times }{{Y}}^{{j}} $或$ {{R}}_{{ij}}{:}\;{{X}}^{{i}}{ \times }{{Y}}^{{j}}{ \to }\left[{0,1.0}\right] $. 最终的输出经过解模糊化得到，表达式如下：

$ \begin{split} {{{y}}_k} = {{\mathrm{DF}}}({\bf{CY}}({\boldsymbol{y}})) = &{{ \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^M {{{\alpha}} _k^j} \cdot {{\mathrm{CY}}_j}({\boldsymbol{y}})}}\bigg/{{ \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^M {{\mathrm{CY}}_j}({\boldsymbol{y}})}};\\& k = 1,\cdots ,m.\end{split} $

式中：$ {\boldsymbol{\alpha }}^{{j}}{=[}{{\alpha }}_{{1}}^{{}{j}}{,}{{\alpha }}_{{2}}^{{}{j}}{,} \cdots {,}{{\alpha }}_{{m}}^{{}{j}}{]} $为输出穴$ {{Y}{}}^{{j}} $的核，DF为非模糊化算子.

FCM-Ⅰ模型结构如图4所示. 可以看出，对于MIMO非线性系统，FCM-Ⅰ模型可以将N维输入到M维输出的推理过程，用一个$ {N \times M} $的二维模糊穴映射关系矩阵R来表示，降低模型复杂度. 由式(37)可以看出，模糊穴映射关系矩阵R完全决定了FCM-Ⅰ模型的特征.

图 4

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图 4   FCM-Ⅰ系统结构

Fig.4   FCM-I system structure


根据模糊关系方程解理论[46]，以数据样本指标$ {J}({\boldsymbol{R}}) $为FCM-Ⅰ模型评价指标，辨识得到系统的最优模糊映射关系矩阵R，本质上为一个优化问题，可以通过调整阈值${ \lambda } $得到最优模糊关系矩阵$ {\boldsymbol{R}}_{\text{opt}} $，表达式分别如下：

$ J({\boldsymbol{R}}) = \dfrac{1}{K} \displaystyle\sum\limits_{K = 1}^K {({{\boldsymbol{y}}^k} - {{\hat {\boldsymbol{y}}}^k})} {({{\boldsymbol{y}}^k} - {\hat {\boldsymbol{y}}^k})^{\mathrm{T}}}, $

$ {{\boldsymbol{R}}_{{\text{opt}}}} = \{ {{\boldsymbol{R}}_{{\text{op}}t}}:J\left( {{{\boldsymbol{R}}_{{\text{opt}}}}} \right) = \min \;J({\boldsymbol{R}}) = \min \;J({\boldsymbol{R}}(\lambda ))\} . $

式中：${\boldsymbol{y}}^k $为观察样本矢量，$ {{\hat {\boldsymbol{y}}}^{k}}$为模型输出矢量，$k = 1, \cdots ,K $为样本数据对$({\boldsymbol{x}}^k,{\boldsymbol{y}}^k) $的数量.

为了解决MIMO模糊系统中的维数爆炸和计算效率低的问题，贾利民等[47]又提出基于FCM-Ⅰ的模糊多变量系统的一种快速算法. 同时，贾利民提出基于$\alpha {\text{-cut}} $滤波技术的模糊系统分解法，就FCM-Ⅰ的稳定性进行了初步研究. 秦勇等[48]在模糊穴-穴映射模型的基础上，提出基于广义模糊基函数的MIMO非线性系统通用模型，并且提出改进的自适应辨识算法.

3）神经网络模糊模型. Kosko[49]最早开始研究神经网络和模糊理论的结合，并且提出以模糊联想记忆为基础的一系列研究理论，为后续模糊神经网络（fuzzy neural network, FNN）的研究奠定了基石. 经过多年的发展，FNN已成为当前研究热点之一，FNN的分类方式多种多样，根据其输出形式将主要分为2大类，一类是基于Mamdani规则，输出结果为模糊变量，另外一类是基于T-S规则，输出结果为精确值，无须再进行清晰化. 这里侧重介绍以这2类网络为基础的FNN模型及其参数辨识方法.

Lin等[50- 51]提出基于Mamdani规则的FNN模型，称为模糊自适应学习控制网络（fuzzy learning control network, FLCON）模型，其网络结构如图5所示. FLCON共5层结构. 各层详细的模型推导见文献[50]，FLCON模型的参数辨识是基于反向传播算法完成的，但这种辨识方法速度慢且容易陷入局部最小值.

图 5

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图 5   FLCON结构图

Fig.5   FLCON structure


Jang[52]提出基于T-S的FNN模型，称为自适应神经模糊推理系统（adaptive neuro-fuzzy inference system, ANFIS），结构如图6所示，共5层结构. 第1层：输入变量模糊化，第2层：模糊规则激励度计算，第3层：归一化计算，第4层：各模糊规则的模糊输出，第5层：输出清晰化. 各层详细的模型推导见文献[52]，ANFIS将反向传播和最小二乘结合起来，有效避免了反向传播速度慢和容易陷入局部最小值的缺点.

图 6

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图 6   ANFIS网络结构

Fig.6   ANFIS system structure


针对FNN的结构和参数辨识问题，已经有较多优秀的研究成果. 如梁志珊等[53]提出将遗传算法和反向传播算法结合起来，优化FNN的网络结构和参数，尽可能找到全局最优的结果. 陶永芹等[54]针对传统辨识算法将结构和参数进行独立辨识带来计算时效差的缺点，提出动态模糊粒神经网络辨识算法，结构辨识和参数辨识同时进行，提高了辨识算法的时效性，且在电力负荷问题上验证了该方法的有效性. 针对基于数据的MIMO非线性系统辨识问题，Zhai等[55]进行相关研究，对于结构辨识，利用无监督聚类的方法来获取模糊规则，对于参数辨识，设计了模糊神经网络模型，通过学习算法获取最优的参数.

4）基于过程输入输出数据变化关系的MIMO模型. 朱文彪等[56]提出通过输入输出的数据变化关系进行非线性系统模糊建模与辨识的新方法，模型如下：

$ \begin{split} {R^l}:&{\text{ IF }}{x_1}{\text{ is }}F_1^l{\text{ }}{\mathrm{and}}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{\mathrm{and}}{\text{ }}{x_i}{\text{ is }}F_i^l, \\ &{\text{THEN }}{y_l} = {\theta _l}{\text{,}}\;l = 1,2, \cdots ,M.\end{split} $

式中：$ {{x}}_{{i}}{(}{i}{=1,2,}{ \cdots }{,}\;{n}{)} $为输入变量，$ {{y}}_{{l}}{(}{l}{=1,2,}{ \cdots }{,}\;{M}{)} $为第l条规则的输出，$ {{F}}_{{i}}^{{}{l}} $为第i个变量的隶属度函数值. 总的模糊输出为

$ y(x) = \displaystyle\sum\limits_{l = 1}^M {{{{\mu _l}(x)}}{\theta _l}}\bigg/{{ \displaystyle\sum\limits_{l = 1}^M {{\mu _l}} (x)}} . $

$ \mu_l(x)=\prod_{i=1}^n \mu_{F_i^l}\left(x_i\right);\; l=1,2, \cdots, M $

式中：$\mu_{F_i^l} $为模糊集$F_i^l $对应的隶属度函数.

此模型包括前件参数辨识和后件参数辨识2部分内容，前件参数包括隶属度函数$ {{F}}_{{i}}^{{l}} $中的参数和模糊规则数量M，后件参数是求解$ {{\theta }}_{{l}} $，辨识表达式分别如下：

$ M = ({N_1}+1)({N_2}+1) \cdots \left( {{N_i}+1} \right). $

$ {\theta _l}(k+1) = {\theta _l}(k) - a\dfrac{{\partial e}}{{\partial {\theta _l}}}(k). $

式中：$N_i $表示将输入变量$x_i $的论域均分为$N_i $段，a>0为学习率.

$ e = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^m {\dfrac{1}{2}} {({y_j} - {y_{0j}})^2}. $

式中： yj和y0j分别为y(x)和$ {\boldsymbol{y}}_{\text{0}} $的第j个分量.

上述就是整个基于过程输入输出数据变化关系的MIMO模糊模型，能够快速准确地对复杂模型建立起模糊模型进行分析. 由于后件参数的简易性，相比其他模糊模型调节的参数少，模型的鲁棒性有所增强. 但是，此模型建立的前提是根据输入输出的数据进行建模，而且获取的数据要能准确反映系统特性，这一点局限了模型的应用范围.

综上所述，4种模糊模型都能对MIMO非线性系统进行较好的建模表达，但是对高维MIMO系统，各模型的复杂度差异须进一步分析说明. 各类模糊模型的复杂度差异及优缺点的对比分析如表2所示.

表 2   各模糊模型处理高维MIMO系统的复杂度分析及优缺点对比

Tab.2  Complexity analysis of handling high-dimensional MIMO systems by various fuzzy models and comparison of advantages and disadvantages of each fuzzy model

模型处理高维MIMO系统优点缺点
模糊规则数复杂度应对策略
T-S模糊模型规则数为kn（n为输入维度，k为模糊集数）高规则数随输入维度呈指数增长. 通过引入规则约简方法（如SVD[57]）来减少冗余规则能与状态空间控制理论紧密结合，后件线性结构适合稳定性分析与控制律设计，适用于非线性系统近似建模高维系统面临维数爆炸，且须解决多Lyapunov方程组求解难题，前件/后件辨识分离导致实现复杂
模糊穴-穴映射模型规则数为pn（n为输入维度，p为模糊穴数）较高规则数随输入和模糊穴数增加而增长，计算复杂度较高. 可通过$ \alpha $-cut滤波[47]来优化规则库将MIMO模糊系统建模简化为二维映射问题，建模逻辑直观，推理效率高，规则冗余问题得到缓解辨识精度过于依赖样本质量，易陷入局部最优；稳定性分析理论尚不完善，控制系统的设计受限
神经网络模糊模型规则数较少，主要由神经网络决定较低（依赖
网络训练）		神经网络通过学习有效的规则权重和连接减少规则数量[58]，避免传统模糊系统规则爆炸问题具备自学习能力，适合未知系统建模；模型泛化强、精度高，适用数据驱动的大规模非线性复杂系统结构复杂、参数众多；模型稳定性与可解释性差，训练样本需求高，须防范过拟合与训练效率瓶颈
输入输出变化关系模型规则数依赖于系统输入和输出变化模式中等通过输入输出的变化模式生成规则，可以灵活调整规则数量并避免规则爆炸建模结构简单，参数少，适用于数据丰富、变化规律清晰的工业系统，有利于在线更新与实时控制模型构建依赖高质量数据，泛化能力受限；在强耦合、高非线性系统中表现不如其他方法稳定

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2.3. 其 他

基于语言规则的模糊控制器在MIMO非线性系统控制中面临挑战，主要是由于人类难以构建三维以上的模糊控制规则[59]. 近年来，基于模糊模型的MIMO非线性系统控制方法已成为研究的重点，并取得了一系列显著成果. 然而，由于MIMO非线性系统的高度复杂性，现有研究多集中于将模糊理论与传统控制方法相结合，从而形成具有不同特性的MIMO非线性模糊控制器. 本研究将这一研究领域总结归纳为以下5大类.

2.3.1. 模糊PID控制

PID控制器自提出以来一直被广泛使用于控制领域[60]，且已发展成熟. 然而，传统PID控制器多针对单变量系统，由于MIMO非线性系统的强耦合性和难以精确建模的问题，适用性较差. 部分研究通过改进PID控制器实现了对MIMO非线性系统的控制[61]，但增加了模型的复杂性. 为了克服这一局限性，Matia等[62]提出模糊PID控制器，通过将先验知识转化为控制规则提升控制性能. Shih等[63]通过模糊PID对直升机双旋翼MIMO系统进行控制，表现出更好的调节增益，有效解决了该系统的非线性和变量耦合问题. Rezoug等[64]以双输入双输出系统为研究对象，通过模糊逻辑自适应调整KP、KI和KD参数，有效增强了PID控制器的鲁棒性. El-khatib等[1]提出基于多自由度的模糊PID控制器，优化了对MIMO系统的控制性能，实验表明，模糊PID控制器在多输入多输出系统中表现出更优的响应和稳定性. 经过多年发展，模糊PID控制器已在MIMO非线性系统的控制上得到了大量论证与研究，并且取得了优异的成果[65-66].

2.3.2. 模糊解耦控制

MIMO非线性系统的各变量之间往往存在强耦合关系，增加了控制难度[59]. Ray等[67]首次提出将模糊控制和解耦控制结合起来，利用解耦方法把MIMO非线性系统分解为多个SISO系统控制，这为后续的模糊解耦控制器提供了研究思路. 徐承伟等[68]提出多变量非线性系统的模糊串联补偿解耦控制器，并给出其存在的充分条件. 随后，Xu等[69]又提出基于模糊关系的多变量反馈解耦控制. 接着在串联补偿解耦控制和模糊反馈控制的基础上又提出模糊系统的近似解耦[70]，降低了前两者精确解耦的实现难度. 在此基础上，蔡自兴等[71]扩展上述解耦形式，提出模糊串联补偿解耦控制器的Q-环节和T-环节，实现了模糊串联补偿解耦控制器的直接构造. 上述方法都是基于模糊控制的直接解耦方法. 另一类解耦控制属于间接解耦法，主要代表是Gupta等[72]提出的基于模糊规则划分的方法，通过一个二维的模糊关系矩阵来表示任意MIMO系统的输入输出关系，计算量大幅减少，运行速度提高，控制效果良好.

模糊解耦控制虽有效解决了多变量系统的耦合问题，但是存在模糊规则设计复杂、计算量大的缺陷，难以应用到实际工程中. 因此，更多的学者开始关注模糊解耦的自适应控制. 具有代表性的是Linkens等[73]提出的基于自学习建立多变量系统模糊规则库的方法，该方法的各模糊规则之间相互独立、解耦. 李保金等[74]提出模糊自校正解耦控制器，通过构造控制器输出C与解耦算法输出U之间的系数矩阵保证系统的完全解耦，即$ {{\boldsymbol{U}}}{=}{{\boldsymbol{k}}}{{\boldsymbol{T}}}({{\boldsymbol{kk}}}{{\boldsymbol{T}}})^{{-1}}{{\boldsymbol{C}}} $，其中k为关系矩阵，要求存在广义逆且行满秩. 李遵基等[75]针对上述模糊解耦计算量大和描述不准确的缺点，提出新的多变量模糊控制器，由2个独立的参数自整定模糊控制器、解耦补偿器及被控对象组成，并且增加了一个模糊修正解耦系数回路. 通过不断修正解耦系数，使整个系统处于最佳. 刘国荣[76]针对MIMO系统难以建立模型的问题，提出自适应模糊解耦方法，具有较好的自适应能力和抗干扰性. 经过长期发展，模糊解耦控制目前已经在多个领域得到了广泛应用，较好地解决了多变量非线性系统的解耦控制问题[77-78].

2.3.3. 模糊滑模控制

滑模控制（sliding mode control, SMC）也称变结构控制，因结构简单，对参数变化和干扰有较强的鲁棒性被广泛应用. 但SMC需要无限切换才能满足系统稳定性要求，这会造成系统的抖振问题[79]. Hwang等[80-81]首次将模糊控制和SMC结合起来，提出模糊滑模控制器（fuzzy sliding mode control, FSMC），有效解决了SMC固有的抖振问题，并分别在倒立摆和机器人控制系统上进行了验证，但是缺乏对模型稳定性和控制律的数学支撑. 张天平等[82]提出基于模糊逻辑的SMC，通过构造李亚普洛夫函数分析控制器的稳定性，且控制量可以精确地被表达. 随后，佟绍成等[83]基于模糊系统逼近特性，提出自适应模糊滑模控制器，并证明了其稳定性. 以上研究对象大多为SISO系统，但针对MIMO非线性系统的FSMC还存在很多问题. 在贾利民等[45]提出的多变量模糊穴-穴映射理论基础上，秦勇等[84]提出基于模糊穴的多变量FSMC方法，所提方法具有通用的控制率，并且通过模糊穴-穴映射提升了计算效率，为MIMO非线性系统的研究提供了新的方向，但是该方法的参数辨识以及自适应问题还须深入研究. 王声远等[85]提出针对MIMO非线性系统的自适应模糊滑模控制器，有效消除了抖振和MIMO系统因维数过高引起的模糊规则爆炸问题. 张天平等[86]研究了2类MIMO非线性系统的模糊自适应滑模控制问题. 第1类是控制增益为未知常数型，通过构造逼近误差来模拟控制误差，基于Ⅱ型模糊系统逼近特性优化模型结构，减少模糊规则，并基于李亚普洛夫函数证明了稳定性. 第2类是控制增益为下三角函数型，通过引入积分型李亚普洛夫函数来确定系统中的自适应率，使跟踪误差收敛到零. 上述文献主要是基于自适应方法提高FSMC的控制精度，缺少对控制器收敛速度的研究. 基于此，薛月菊等[87]提出基于最终吸引子的自适应模糊滑模控制器，保证系统在有限时间内收敛. 同时，还有其他一些优秀的研究，如针对输入饱和且具有扰动的MIMO系统，Zhao等[88]、Saafan等[89]分别提出自适应模糊分层滑模控制和自适应神经模糊滑模控制. 针对外部较大干扰的问题，康庄等[90]提出双层递阶指数趋近全局快速终端模糊滑模控制器，有效解决了MIMO非线性系统控制问题中由外部干扰引起的抖振问题，同时对系统的稳定性进行了严格的数学证明. 针对动态离散不确定MIMO系统，Yoshimura[91]提出基于自适应模糊滑模控制的处理方法，首先采用正定矩阵作为开关控制的未知增益，其次使用模糊推理的方法选择自适应切换因子提高模型的鲁棒性，最后采用加权卡尔曼滤波方法估计系统中的不可观测变量. 经过长期发展，FSMC在诸多邻域得到广泛应用，且取得了优秀成果，如治疗帕金森病[92]、污水废水处理[93]、无人机控制[94]、燃料电池[95]、列车控制[96-97]等.

2.3.4. 模糊神经网络控制

模糊建模较好地解决了MIMO非线性系统无法建立精确数学模型的问题，但是模糊推理系统最大的缺点是无法自我学习，而神经网络具有很好的自学习能力，因此模糊推理和神经网络的融合成为重要研究方向. 关于神经网络和模糊推理系统的特点[98]对比如表3所示. Abraham等[98]将模糊神经网络分为协同模糊神经网络、并行模糊神经网络和集成模糊神经网络3类. 其中协同模糊神经网络可以对隶属度函数和模糊规则进行自学习，如利用自组织映射提取模糊规则[99]和对模糊集参数自学习的模糊系统[100]. 并行模糊神经网络可以作为模糊模型输入数据的预处理器，主要针对一些如无法测量、缺失值和异常值等其他类型的特殊数据进行预处理. 集成模糊神经网络模型通过学习算法优化模型中的各个参数，主要有Mamdani模糊系统和T-S模糊系统，以这2类为基础的集成模糊神经网络模型还有GARIC、FALCON、ANFIS、NEFCON、NEFCLASS、NEFPROX、FUN、SONFIN、FINEST、EFuNN、dmEFuNN和EvoNF，各类网络的详细介绍参考文献[98]. 模糊神经网络发展迅速，但是在对MIMO非线性系统的研究上，依然存在很多问题，如通过优化神经网络结构来减少模糊规则，避免多变量情况下造成的模糊规则爆炸问题，还有基于神经网络优化模糊模型的前件和后件参数[101]. 在后续研究中，又出现了很多优秀方法，如刘芳等[101-102]提出模块化分层模糊神经网络和基于灰色关联分析的分层模糊神经网络，克服了MIMO系统的模糊规则爆炸问题，简化了模糊神经网络结构. 李安平等[103]通过自组织模糊神经网络对系统中的未知项进行逼近，实现了参数的在线调节. Gao等[104]针对不确定MIMO非线性系统，提出鲁棒自适应模糊神经网络控制器，通过优化神经网络结构自动生成或删减模糊规则，克服了模糊规则爆炸问题.

表 3   神经网络与模糊推理系统特点比较表

Tab.3  Comparison of characteristics between neural networks and fuzzy inference systems

神经网络模糊推理系统
难以使用先验知识可以使用先验知识
从零开始学习无法学习（语言知识）
黑匣子可解释（IF-THEN规则）
复杂的学习算法可解释性的简单算法
难以提取知识可以提取经验知识

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基于模糊神经网络对MIMO非线性系统的解耦控制也是研究热点，Jiang等[105]提出基于模糊神经网络的解耦控制方法，针对悬浮永磁同步发电机这一多变量非线性强耦合系统中的生成电压与悬浮力问题，通过构建逆系统并与原系统串联，成功将该多变量非线性系统解耦为3个线性子系统，结果表明，该方法具有良好的动态性能与稳定性. 白辰等[106]针对不确定性MIMO非线性系统，将耦合值视为系统外部干扰项的一部分，通过设计模糊神经网络观测器，提高整个控制系统的性能，消除了对系统的影响. 经过多年来的发展，模糊神经网络控制已经被广泛应用到了诸多领域，且取得了优秀成果[107-109].

2.3.5. 自适应模糊控制

模糊控制能够有效简化MIMO非线性系统的控制过程，并表现出较强的鲁棒性和稳定性. 然而，在面对不确定性和较大外部干扰时，传统模糊控制器往往难以精确调节和优化系统参数，从而影响控制性能. 因此，自适应模糊控制应运而生，并迅速发展，成为解决复杂控制问题的重要手段. Procky等[110]首次提出自适应模糊控制模型. Shao等[111-112]做了一些算法上的改进，并成功应用到实际工程中. Linkens等[113]提出处理多变量非线性系统的自适应解耦控制器，同时对系统的收敛性进行了分析. 这些研究为后续的自适应模糊发展提供了夯实的基础. 濮卫兴等[114]提出基于梯度-赫布算法的MIMO非线性系统自适应模糊控制器，改进了传统梯度算法收敛慢的缺点. 佟绍成等[115]提出基于模糊逻辑与$ {\text{H}}^{\text{}\text{∞}} $结合的多变量系统自适应控制方法，并对其稳定性进行分析. 周景振等[116]设计新型MIMO非线性系统的模糊自适应控制方法，该方法将整个系统分为前级和后级2个串联控制器，前级控制器根据输出误差得到最优控制，后级控制器以前级控制器的输出作为输入，形成了一个多变量协调控制器，其参数优化采用模糊神经网络.

后人更多的是将自适应模糊控制与上面介绍的各方法结合，实现对多变量非线性系统更强的鲁棒性与自适应控制.

1）自适应模糊PID控制. Ghavidel等[117]首先基于模糊推理优化PID控制系统的增益参数，其次利用间接自适应模糊控制调整模型误差，同时弥补由干扰和不确定项造成的影响，最后将传统PID控制与间接自适应模糊控制相结合，提出一套同步自适应模糊增益调度PID控制器，能够较好地控制具有干扰和不确定项的MIMO非线性系统. Cherrat等[118]提出MIMO非线性系统的模糊PID控制器，利用模糊系统和自适应学习算法分别调整PID控制增益和模糊系统参数，同时给出系统的稳定性分析，并且在双连杆机器人和四旋翼飞行器上进行验证，控制效果优秀.

2）自适应模糊滑模控制. Rouhani等[92]提出MIMO非线性系统的自适应模糊滑模终端控制器，收敛速度快，鲁棒性强，并成功应用在帕金森症的治疗中. Sarhaddi等[119]建立了癌性肿瘤的MIMO非线性系统，提出自适应模糊反演滑模控制，提高了模型的收敛速度和鲁棒性.

3）自适应模糊解耦控制. Sun等[120]提出带补偿项的自适应模糊解耦控制模型，解决了MIMO非线性系统的不稳定问题，并将其应用到了两自由度下肢外骨骼康复机器人系统. Liu等[121]提出MIMO系统的自适应降维模糊解耦控制器，通过设计模糊解耦扰动观测器来消除耦合子系统造成的不确定性影响，并将其应用到了天线面板的变形调整控制上. 李辉[122]通过构造自适应模糊控制器和自适应神经网络控制器的串联型两级控制器提高MIMO非线性系统的控制性能.

4）自适应模糊神经网络控制. Homaeinezhad等[123]提出将改进的自适应模糊小波神经网络与离散时间滑模控制相结合的方法，双模式方法确保了MIMO非线性系统切换控制的稳定性. He等[124]提出MIMO非线性系统的自适应模糊神经网络控制方法，FNN用于逼近含不确定和未知的动态项，且通过李亚普洛夫函数分析了系统的稳定性.

综上所述，各方法并不是相互独立的，他们之间可以相互融合，针对不同的应用对象可以根据各控制器的特点进行组合优化，得到更稳定的复合型控制器，以更好地解决MIMO非线性系统的耦合性与非线性对系统的影响. 对上述5类模糊控制器的优缺点进行对比，详细见表4.

表 4   各模糊控制器优缺点对比

Tab.4  Comparison of advantages and disadvantages of fuzzy controllers

模糊控制器优点缺点
模糊PID控制利用模糊推理优化PID参数，提升非线性复杂系统的自适应能力，结构清晰简单，易于工程实现高维MIMO系统中规则库膨胀显著，参数调试工作繁重，难以应对剧烈工况变化
模糊解耦控制能有效分解多变量系统中的耦合关系，适用于复杂MIMO系统；适配多种解耦机制模糊规则增长快，对系统结构依赖性强，实时计算代价高，工程落地难度大
模糊滑模控制结合鲁棒性控制优势，适用于不确定性与干扰显著的系统；收敛性能强，稳定性可分析控制器理论设计要求高，尤其是控制律设计复杂，须平衡收敛速度与抖振消除，计算负荷大
模糊神经
网络控制		拥有强大的自学习和非线性逼近能力，兼具自学习与可解释性，架构多样，适应性强模型训练需大量数据，且依赖高质量数据，计算资源消耗高，系统稳定性分析复杂
自适应模
糊控制		能够在线调整参数应对系统变化，鲁棒性强；可融合多种控制机制提高性能实现难度大，算法设计与稳定性分析要求高，对硬件资源有较高依赖

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2.4. 模糊控制技术的现有局限性与挑战

尽管模糊控制在许多应用中取得了成功，但在复杂的多变量非线性系统中，仍然存在一些未被充分解决的核心问题. 这些问题在上述分析的文献中未得到足够的关注，以下是目前模糊控制领域中的一些核心挑战.

1）模糊控制器设计标准化与普适性问题：模糊控制器的设计目前依赖专家经验，缺乏统一的标准方法，且在复杂的工程场景下，可能面临因经验不足而无法设计合理的控制器的问题.

2）模糊控制的实时性与计算复杂度问题：尤其在高维系统中，模糊控制常常面临因规则数过多而导致计算复杂度过高的问题，影响实时性. 尽管有优化方法，但在保证控制精度的同时，关于如何降低计算复杂度和提升实时性的研究较少.

3）模糊控制的鲁棒性问题：在面对系统不确定性和外部干扰时，模糊控制往往表现出较弱的鲁棒性，且缺乏在复杂系统中普适有效的数学理论和应用支持.

4）模糊控制器的自适应性问题：当前模糊控制器缺乏足够的自适应性，难以在系统参数或环境变化时自动调整. 虽然存在一些自适应控制方法，但收敛速度慢、响应不及时和控制精度下降等问题依然存在，限制了其自动化水平.

5）模糊控制方法与人工智能的融合应用问题：尽管模糊控制和人工智能（如深度学习）有较大融合潜力，但如何有效结合两者优点，提升控制系统的学习能力和性能，仍然存在挑战. 现有的融合方法缺乏成熟的理论支持和实践验证.

3. 未来研究课题与展望

经过多年发展，针对MIMO非线性系统模糊建模与控制的研究已经取得丰富成果，并在部分实际工程中得到了验证. 然而，该领域仍存在诸多亟待深入研究的问题，本研究主要总结了以下7个研究方向.

3.1. 普适性的模糊推理系统研究

模糊推理是构建模糊控制系统的核心组成部分，是实现模糊规则集到控制输出映射的基本机制. 事实上，任何复杂的模糊控制器，在本质上都可视为若干基本模糊推理系统的组合或扩展. 从系统结构角度来看，模糊推理模块承担着规则匹配和综合的关键任务，是影响控制器性能、泛化能力及适应性的决定性因素. 当前，在模糊推理系统的设计中，尚未形成关于核心组成要素（如隶属函数类型、操作算子、推理机制和解模糊方法）的统一理论体系与标准. 具体如下.

1）隶属函数选择方面，常见的有三角形、高斯型、贝尔形和梯形等，每种类型适用于不同的建模精度和控制需求，缺乏系统性的选择准则；

2）模糊操作算子的选取直接影响模糊规则的综合逻辑，广义代数积、最大最小和Choquet积分等算子操作方式之间的适配性有待深入分析；

3）推理类型方面，Mamdani型与T-S型推理各具优势，但在MIMO和时变非线性系统等复杂场景下的性能表现差异及适用边界尚不明确；

4）解模糊器设计也存在多种方法，如质心法、最大隶属法和面积法等，不同方法对输出精度、实时性和可实现性均存在影响.

因此，构建普适性强的模糊推理机制，是模糊控制理论发展的关键方向之一，且已有一些初步的研究成果[125-126]. 该机制应能灵活集成多种隶属函数、操作算子与推理模型，并具备良好的参数自适应能力与结构可扩展性，进一步的研究可以通过以下几个方面推进.

1）构建统一建模框架：发展基于通用算子的模糊推理结构，使不同推理类型和隶属函数能够在统一框架下协同建模；

2）数据驱动的参数优化方法：引入机器学习、进化算法和强化学习等技术，自动选择和优化模糊系统各模块参数，提升推理系统泛化能力和鲁棒性；

3）理论分析与稳定性验证：建立针对通用模糊推理系统的数学建模方法与稳定性分析框架，确保模糊控制系统在复杂工况下的稳定性；

4）MIMO非线性控制系统集成：发展面向多变量耦合系统的多通道模糊推理机制，研究其在高维非线性控制系统中的构造方法和解耦策略，为构建完整的MIMO非线性模糊控制理论体系提供理论保障与技术支撑.

3.2. 模糊系统的可解释性与透明化研究

在人工智能控制系统的研究与应用中，“黑盒”模型（如深度神经网络）因其决策过程不透明难以理解，缺乏可解释性，严重影响其在高安全性与高可靠性场景下的实际部署与工程信任度[127]. 相比之下，模糊系统以规则驱动的结构形式、语言化的推理逻辑以及可视化的系统组成，具备良好的可解释性与透明性. 然而，随着模糊控制系统规模和复杂度的提升，尤其是在高维多变量系统中，模糊规则数呈指数性增长，使得模糊系统的结构复杂化，系统的可解释性与透明化受到一定削弱[128]. 为了应对这一挑战，须采取有效的规则约简技术来控制规则数量并保持语义规则的清晰性. 如通过SVD技术对模糊规则矩阵进行降维处理，去除对系统输出影响较小的冗余规则[57]；通过构建自适应模糊神经网络，基于误差补偿算法自动创建和修剪模糊规则[58]；利用各类智能算法（如遗传算法等）对不同模糊规则下的优化目标进行计算，进而分析出较优的模糊规则组[129]. 综上所述，未来研究须从以下几个方面加强模糊系统的可解释性.

1）开发结构简洁且语义明确的模糊规则，使其在扩展复杂性时保持逻辑一致性与直观性；

2）引入推理可视化机制，将模糊系统的输入-输出映射过程可视化，增强人类理解友好性；

3）研究模糊系统行为，揭示不同规则、隶属函数及参数对输出的影响，提升系统可控性；

4）结合可解释人工智能方法，推动模糊系统与符号推理、规则学习、参数优化等机制融合，进一步提升其在关键领域中的可解释性.

3.3. 鲁棒性与稳定性理论的进一步完善

近年来，模糊控制在实际工程应用中展现出较强的容错能力与适应性，在稳定性分析方面也出现了一些突破性的方法，如基于Lyapunov和线性矩阵不等式（linear matrix inequality, LMI）推导稳定性和鲁棒控制条件，提高了模糊控制系统在稳定性分析和控制设计中的灵活性[130]；Wang等[131]研究了数据驱动的事件触发控制方法，并结合LMI与模糊控制系统，解决了受执行器饱和影响的离散时间T-S模糊系统的局部稳定性问题，提出基于数据的稳定性准则，确保未知系统矩阵的T-S模糊系统局部稳定； Cai等[132]以不连续动态系统为研究对象，基于Lyapunov函数，结合双曲正切函数和逻辑函数提出预定时间稳定性定理（preassigned-time stability，PATS），实现了不依赖于系统参数和初始状态的稳定性分析. Su等[133]通过引入广义逆矩阵，将扰动估计误差转化为与状态误差和故障误差相关的代数方程，从而在不完全采样信息的情况下有效提升模糊系统的稳定性和容错能力.

尽管如此，从理论角度看，MIMO非线性模糊控制系统的鲁棒性与稳定性研究仍存在诸多挑战[134]，尚未形成统一、完备的理论体系，缺乏系统性的数学基础. 未来的研究方向应聚焦于模糊控制系统稳定性和鲁棒性分析工具的进一步完善与发展. Lyapunov稳定性理论仍将是核心分析工具之一，但须与现代控制理论中的其他方法进行融合，例如${H_\infty }$控制理论、滑模控制及鲁棒最优控制策略等，以形成多角度、互补性的稳定性分析框架[135]. 最终建立一套涵盖建模、分析与设计的理论闭环体系，使模糊控制系统在面对外界扰动、结构变化以及建模误差时，仍能保持预期性能与系统稳定，从而为高可靠性工程系统提供坚实的理论保障.

3.4. 建立完备的MIMO非线性模糊控制理论

MIMO非线性系统广泛存在于智能机器人系统、复杂工业过程和交通控制等关键应用场景中，其系统耦合性强，动态特性复杂，传统线性控制方法难以有效应对. 因此，构建系统完备、理论严谨且具有实用价值的MIMO非线性模糊控制理论，是控制领域的重要研究方向. 当前研究主要集中在模糊系统的局部环节，如变量选择、规则生成、隶属度函数设计等，尚未形成完整的涵盖建模、分析与应用的一体化理论体系[136]. 未来应从以下几方面着手，逐步完善该领域的理论基础.

1）提出统一的非线性系统模糊建模框架：构建一套面向MIMO系统的通用模糊建模方法，能够准确描述系统的非线性动态特性及多变量间的耦合关系. 该建模方法需包括以下要素. (a)输入输出变量选择机制：须考虑变量之间的关联度和影响度，以减少冗余信息；(b)模糊规则生成机制：提出结构优化方法，以应对规则数量指数级增长问题；(c)输入输出空间自适应划分策略：通过在线学习或演化方法，使模型具备更强的环境适应性；(d)结构与参数辨识算法：融合数据驱动与模型驱动方法，提升建模精度与效率.

2）完善模糊MIMO系统的稳定性分析理论：稳定性是多变量控制系统的核心要求. 在模糊建模完成后，亟须从理论层面对系统的闭环稳定性进行深入研究. 未来的分析工具应具备如下特点，结合Lyapunov方法与非线性系统理论：发展适用于高维MIMO系统的稳定性判据；支持规则不确定性与模型扰动的鲁棒性分析：确保在复杂运行环境下系统仍能维持稳定.

3）建立MIMO模糊控制系统验证体系：为了将理论成果有效转化为工程实践，须构建系统化的应用验证平台. 具体包括以下内容. (a)典型工业案例测试：如多变量化工过程、电力系统调控和多关节机械臂控制等；(b)性能指标设计：评估控制系统的动态响应、稳态误差、抗干扰能力和计算复杂度；(c)与其他控制方法的对比分析：如PID、模型预测控制、强化控制、神经网络控制等，验证其优势与适用边界.

3.5. 模糊控制与人工智能的深度融合

随着人工智能（artificial intelligence, AI）与机器学习的发展，模糊控制系统与智能学习方法的深度融合正在推动智能控制领域的新变革，特别是在以下4个方面.

1）模糊逻辑增强学习系统：模糊逻辑与神经网络的融合提升了AI系统的解释性与适应性. 尽管相关研究已取得了显著进展，未来仍有巨大的发展潜力. 特别是在更为复杂的模糊神经网络结构应用中，如何提升其在多尺度特征处理和异构数据环境中的适应性和泛化能力将成为关键的研究课题. 随着深度学习技术的进步，模糊控制系统的自学习能力将得到进一步强化，特别是在复杂非线性系统与动态场景下的鲁棒性方面. 近年来，深度模糊网络[137]和模糊胶囊网络[138]的提出，为这一方向奠定了坚实的基础.

2）数据驱动的模糊模型生成：未来研究将在自动化生成模糊规则与隶属函数方面进一步深入，突破传统模糊系统的静态限制. 深度学习将继续发挥其在数据特征提取和推理结构生成中的优势，推动模糊系统在更加复杂和多变的环境中的应用. 例如，在自然语言处理和图像模糊识别领域，基于递归结构模糊网络（recurrent fuzzy neural network, RFNN）[139]和分层自组织模糊控制（hierarchical self-organizing fuzzy control, HSOFC）[140]的新型数据驱动方法将不断涌现，为解决现实世界中的高维复杂问题提供强有力的工具.

3）强化学习优化模糊决策系统：尽管模糊Q-learning和模糊策略梯度方法已在智能交通等多场景中取得了显著成绩[141- 142]，但随着环境的不断变化和复杂度的增加，如何进一步优化模糊控制系统在动态和不确定条件下的自适应能力，仍是未来的重要研究方向. 未来的研究将更加关注强化学习与模糊控制机制的深度融合，尤其是如何利用强化学习的长期决策能力来优化模糊控制策略. 模糊控制系统提供了强大的解释性与自适应能力，而强化学习则能够不断调整和优化控制策略，两者的有机结合将在处理高维、非线性以及不确定系统时展现出更高的效率与灵活性.

4）跨模态智能感知与模糊协同控制：随着智能感知技术的不断突破，模糊推理机制在多模态输入中得到了广泛应用[143-144]，特别是在语音、图像与传感器融合中. 未来的研究将进一步探索如何将模糊控制有效地整合到多模态输入的处理当中. 模糊控制系统将更加深入地与人工智能其他领域结合，从而提升控制精度. 跨模态智能感知与模糊协同控制的融合将成为推动智能控制系统发展的关键，特别是在语音、图像和传感器数据融合中的应用.

3.6. 模糊控制与其他先进控制方法的集成

模糊控制将继续与传统控制（如PID控制）、现代控制（如SMC、预测控制）以及新兴的量子控制和事件触发控制等方法融合[145]，形成更灵活智能的复合控制策略，主要优势如下.

1）增强系统适应性与鲁棒性：模糊控制可与SMC和${H_\infty }$控制之类具有强鲁棒性的控制方法结合，提升系统对模型不确定性、外部扰动的抗干扰能力，适用于高动态性、强非线性的工业过程.

2）提升对复杂动态环境的响应能力：当模糊控制与模型预测控制（model predictive control, MPC）、最优控制、神经网络控制等方法融合时，可基于当前状态做出更具时效性的控制决策，有效应对动态环境中的快速变化和多目标优化问题.

3）弥补单一方法的局限性：与传统PID控制和LQR（linear quadratic regulator, LQR）方法的融合，可兼顾精确建模与模糊推理之间的差异，提升整体控制性能与适用范围.

4）促进控制系统智能化演进：当模糊控制与事件触发控制、量子控制、甚至强化学习等新型控制方法结合时，系统具备更强的学习能力与自主性，为构建具有智能感知、推理与适应能力的新一代控制架构提供了理论与方法支持.

3.7. 多变量模糊控制器的开发与应用

随着嵌入式系统、边缘计算和智能传感器的发展，对模糊控制的实时性和可部署性要求不断提高. 模糊控制算法计算量小、速度快且鲁棒性强，给计算机控制带来了巨大优势，因此基于计算机的模糊控制器开发与应用值得进一步探讨与研究. 未来的研究将更加重视控制算法在硬件平台（如FPGA、DSP和ARM）上的优化与实现[146]，开发出基于单片机之类计算机平台的控制器对工业控制极为重要，以推动模糊控制在物联网、智能制造和智能交通等领域的应用.

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