列车自动驾驶系统(automatic train operation, ATO)通过对列车牵引和制动进行自动控制，有效地提升列车运行效率^[1-3]. ATO控制列车运行的整个阶段，包括加速、巡航和制动等环节^[4]. 自动列车可以根据调度计划，实时调节列车速度，保持精准的安全距离^[5]. 研究该问题，对自动驾驶列车的精准及安全运行具有重要的理论意义和实用价值.

近年来，节能约束^[6]、间距约束^[7]、执行器约束^[8]和通信约束^[9]等ATO约束控制问题受到广泛的关注. Xiao等^[10]提出考虑列车速度约束和控制力限制的多相能量最优控制方法. Zhang等^[11]提出列车的状态故障渐近观测器和容错控制器. Yu等^[12]提出用于切换拓扑下多辆列车的无模型自适应控制方法. 在上述约束控制器中，速度约束及安全距离约束是ATO系统最基本的要求.

为了满足安全操作的需要，Luo等^[13]采用非线性反步控制技术，设计高速列车的自动制动和牵引控制律，实现了列车速度和位置的自动跟踪. Xun等^[14]采用模型预测控制技术，设计超速保护机制. Su等^[15]提出避撞控制律，确保虚拟耦合列车的安全. Yuan等^[16]设计基于最小方差自校正调节器的列车自适应速度控制器. 上述方法均基于精确的列车动力学模型.

列车是典型的非线性环节，具有未知和不确定的行驶阻力，其模型难以准确建立. 在实际应用中，对控制器的要求如下：列车模型的参数无须精确知道，尽可能只须测量速度和距离信息，即控制算法是无模型的. Gao等^[17]设计基于残差非线性近似的模糊自适应控制方法，将位置误差和速度跟踪误差限制在规定的范围内.

本研究的目的是设计能够满足速度约束和安全距离约束的控制算法，主要贡献如下. 1）与基于模型的方法^[18]或具有参数自适应律的无模型方法^[19]相比，设计的算法仅使用列车速度和距离信息. 2）与采用李雅普诺夫理论进行凸解空间稳定性分析^[20]相比，提出基于Carathéodory函数的具有非凸解空间的ATO控制系统稳定性证明方法.

列车动力学模型^[21]为

(1)$ T = M\ddot p(t)+{f_{\text{d}}}\left( {\dot p(t),t} \right)+Mg\sin \left( {\theta \left( {p(t)} \right)} \right)+\delta (t) . $

式中：$ {f_{\text{d}}}(\dot p(t),t) $表示由Davis方程描述的空气和滚动阻力，$ {f_{\text{d}}}(\dot p(t),t) = A(t)+B(t)\dot p(t)+C(t)\dot p(t)_{}^2 $；$ T $为所施加的扭矩；$ Mg\sin \left( {\theta \left( {p(t)} \right)} \right) $为重力阻力；$ M $为列车的质量；$ p \in \bf{R} $，$ \dot p = v \in \bf{R} $，$ \ddot p = a \in \bf{R} $分别为列车位置、速度和加速度，$ {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}}: = [0,\infty ) $；$ A(t) $、$ B(t) $、$ C(t) $为受天气、轨道和其他因素影响的未知时变有界系数；$ g = 9.8\;{\mathrm{\;{\rm{m/s}}\;}}_{}^2 $为重力加速度；$ \theta (p(t)) \in \left[ { - {\text{π} \mathord{\left/ {\vphantom {\text{π} 2}} \right. } 2},{\text{π} \mathord{\left/ {\vphantom {\text{π} 2}} \right. } 2}} \right] $为列车倾斜角；$ \delta (t) $为有界扰动，用来描述模型误差和噪声. 对于控制器设计，模型（1）重新表示为

(2)$ \left.\begin{aligned} & \dot p(t) = v(t) , \\ &\dot v(t) = \frac{{T - {f_{\text{d}}}\left( {\dot p(t),t} \right) - Mg\sin \left( {\theta \left( {p(t)} \right)} \right) - \delta (t)}}{M}.\end{aligned}\right\}$

式（2）满足$ p(0) = p_{}^0 \in \bf{R} $和$ v(0) = v_{}^0 \in \bf{R} $. 选择$ u = M_{}^{ - 1}T $作为控制输入.

在传统ATO的基础上，添加了安全间距主动控制环节. 所设计的控制框架包含速度跟踪控制和安全距离主动控制，速度跟踪控制对ATP所规划的具有允许速度约束的速度曲线进行跟踪控制，安全距离主动控制确保在特殊情况下（信号故障、ATP误差增大）保证与前方列车的安全距离. 所考虑的列车运行示意图如图1所示.

若列车距离前方列车较远，控制器只须保证列车以期望的速度$ v_{\text{r}}^{}(t){\text{ }} $运行，且速度误差$ e_{\text{v}}^{}(t) = v(t) - v_{\text{r}}^{}(t) $被限制在规定的性能范围内：

$ {R_{{\phi _{\text{v}}}}} = \left\{ {(t,{e_{\text{v}}}(t)) \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times {\bf{R}}|{\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right| < 1} \right\} . $

式中：$ {{\varPhi }_{\text{v}}} = \left\{ {{\phi _{\text{v}}} \in W_{}^{1,\infty }\left( {{{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \to {\bf{R}}} \right)|{\phi _{\text{v}}}(s) > 0} \right\} $，$ s > 0 $，$ \varepsilon > 0:{{\phi }_{\text{v}}}^{-1}{|}_{[\varepsilon ,\infty )}\in {W}_{}^{1,\infty }\left([\varepsilon ,\infty )\to \bf{R}\right) $，其中$W^{1,\infty } $表示函数1次弱可微且微分有界.

若列车靠近前方列车或目标点，且列车间距进入ATP所设定的安全距离裕量，则距离跟踪误差$ {e_{\text{d}}}(t) = p(t) - p_{\text{L}}^{}(t)+{p_{{\text{safe}}}}+{\phi _{\text{d}}^{ - 1}}(t)_{} $须被限制在规定的性能范围内：

$ {R_{{\phi _{\text{d}}}}} = \left\{ {\left( {t,{e_{\text{d}}}(t)} \right) \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times {\bf{R}}\left| {{\phi _{\text{d}}}(t)\left| {{e_{\text{d}}}(t)} \right| < 1} \right.} \right\} . $

式中：$ {\varPhi _{\text{d}}}: = \left\{ {{\phi _{\text{d}}} \in W_{}^{^{1,\infty }}({{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \to {\bf{R}})|{\phi _{\text{d}}}(s) > 0} \right\} $，$ s > 0 $，$ \varepsilon > 0: {{\phi }_{\text{d}}}^{-1} {|}_{[\varepsilon ,\infty ) }\in {W}_{}^{{}^{1,\infty }} \left([\varepsilon ,\infty ) \to {\bf{R}}\right) $. 安全距离 $ {p_{{\text{safe}}}} = \bar D\left( {v(t)} \right) + {D_2} $包含列车制动距离$ \bar D\left( {v(t)} \right) = {D_1}v(t) $和最小安全距离$ {D_2} $两部分，其中$ {D_1} $和$ {D_2} $为常数.

注1　 速度误差$ {e_{\text{v}}}(t) = v(t) - {v_{\text{r}}}(t) $和距离跟踪误差$ {e_{\text{d}}}(t) = p(t) - p_{\text{L}}^{}(t)+p_{{\text{safe}}}^{}+{\phi _{\text{d}}}^{ - 1}(t)_{} $定义的不同在于：$ {e_{\text{v}}}(t) $可以为负值，$ p(t) - p_{\text{L}}^{}(t)+p_{{\text{safe}}}^{} $不能为负值. 在$ {e_{\text{d}}}(t) $的定义中引入预设性能函数$ {\phi _{\text{d}}}^{ - 1} (t)$，严格保证车辆的安全距离.

注2　 由于$ {e_{\text{v}}}(t) $和$ {e_{\text{d}}}(t) $分别受到$ {R_{{\phi _{\text{v}}}}} $和$ {R_{{\phi _{\text{d}}}}} $的约束，导致列车模型（2）的解$ (p(t),v(t)) $图为非凸形式.

列车控制器设计重要的挑战是设计只依赖于距离$ p(t) - p_{\text{L}}^{}(t) $和速度信息$ v(t) $，使得控制输入$ u(t) $对模型误差和扰动具有鲁棒性. 本文的控制目标是设计连续、有界的控制律

(3)$ u(t) = F\left( {t,v(t),p(t) - {p_{\text{L}}}(t)} \right) \text{，} $

使得对于闭环系统，（O1）在速度控制阶段，$ {e_{\text{v}}}(t) \leqslant {\phi _{\text{v}}}^{ - 1}(t)_{} - \xi $；（O2）在距离控制阶段：$ {e_{\text{d}}}(t) \leqslant {\phi _{\text{d}}}^{ - 1}(t)_{} - \xi $；（O3）在2个阶段的切换时同时满足$ {e_{\text{v}}}(t) \leqslant {\phi _{\text{v}}}^{ - 1}(t)_{} - \xi $和$ {e_{\text{d}}}(t) \leqslant {\phi _{\text{d}}}^{ - 1}(t)_{} - \xi $，其中$ \xi $为正常数.

定义1（Carathéodory函数）^[22]　若$ {\boldsymbol{F}}:[ - h,\infty ) \times {\bf{R}}_{}^N \to {\bf{R}}_{}^M $满足以下条件，则称其为Carathéodory函数.

1） $ {\boldsymbol{F}}(t, \cdot ) $对所有$ t \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} $都是连续的.

2） $ {\boldsymbol{F}}( \cdot ,\omega ) $对于每个固定的$ \omega \in {\bf{R}}_{}^N $是可测量的.

3） 对于每个紧致集$ C \subset {\bf{R}}_{}^N $，存在$ \kappa \in L_{{\text{loc}}}^{\text{1}}( [ - h,\infty ) \to {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}}) $，使得对于所有的$ t \in [ - h,\infty ) $和$ \omega \in C $，$ \left\| {{\boldsymbol{F}}(t,\omega )} \right\| \leqslant \kappa (t) $. $ L_{{\text{loc}}}^\infty \left( {{\bf{Z}} \to {\bf{R}}_{}^N} \right) $描述的是可测、局部本质上有界函数$ {\bf{Z}} \to {\bf{R}}_{}^N $的集合.

引理1（Carathéodory函数解的存在性）^[23]　定义$ S \subset {\bf{R}}_{}^N $为非空开集，$ {\boldsymbol{T}}:C\left( {[ - h,\infty ) \to {\bf{R}}_{}^M} \right) \to L_{{\text{loc}}}^\infty \left( {{{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \to {\bf{R}}_{}^Q} \right) $为算子，$ {\boldsymbol{F}}:[ - h,\omega ) \times S \times {\bf{R}}_{}^K \to {\bf{R}}_{}^N $为Carathéodory函数. 初值问题

$ \begin{gathered} {\boldsymbol{\dot x}}(t) = {\boldsymbol{F}}\left( {t,{\boldsymbol{x}}(t),\left( {{\boldsymbol{Tx}}} \right)(t)} \right), \\ {\boldsymbol{x}}{|_{[ - h,0]}} = {\boldsymbol{x}}_{}^0 \in C\left( {[ - h,0] \to {\bf{R}}_{}^N} \right), \\ \omega \in (0,\infty ],{\boldsymbol{x}}{|_{[0,\omega )}} \subset S \\ \end{gathered} $

存在解，且每个解可以扩展为最大解. 若$ {\boldsymbol{F}} $局部本质有界，且$ {\boldsymbol{x}}:[ - h,\omega ) \to {\bf{R}}_{}^N,{\boldsymbol{x}}[0,\omega ) \subset \boldsymbol{S} $在$ \omega < \infty $情况下是最大解，则对于每个紧集$ {C} \subset {S} $，存在$ t' \in [0,\omega ) $，使得$ {\boldsymbol{x}}(t') \notin {C} $.

定义2（C解）^[22] 若$ {\boldsymbol{x}}{|_{[ - h,0)}} = {\boldsymbol{x}}_{}^0,{\boldsymbol{x}}\left| {_{[0,\omega )}} \right. \in {\text{A}}{{\text{C}}_{{\text{loc}}}} ([0,\omega ) \to {\bf{R}}_{}^N )$，且其在$ [0,\omega ) $上处处满足

$ \begin{gathered} {\boldsymbol{\dot x}}(t) = {\boldsymbol{F}}\left( {t,{\boldsymbol{x}}(t),\left( {{\boldsymbol{Tx}}} \right)(t)} \right), {\boldsymbol{x}}{|_{[ - h,0]}} = {\boldsymbol{x}}_{}^0 \in C\left( {[ - h,0] \to {\bf{R}}_{}^N} \right), \\ \end{gathered} $

则$ ({\boldsymbol{x}},I) $是引理1中$ I = [ - h,\omega ) $区间上的初值问题$ {\boldsymbol{\dot x}} $的解（称为C解），其中$ \omega \in (0,\infty ] $.

定义3（最大解）^[22]设$ ({\boldsymbol{x}},I) $表示$ {\boldsymbol{x}}{|_{[ - h,0)}} = {\boldsymbol{x}}_{}^0, {\boldsymbol{x}}\left| {_{[0,\omega )}} \right. \in {\text{A}}{{\text{C}}_{{\text{loc}}}}([0,\omega ) \to {\bf{R}}_{}^N )$在区间$ I $上的解$ {\boldsymbol{x}} $. $ ({\boldsymbol{x}}_{}^{\text{e}},I_{}^{\text{e}}) $被称为$ ({\boldsymbol{x}},I) $的扩展，如果它是一个解，$ I \subseteq I_{}^{\text{e}} $且$ {\boldsymbol{x}}{|_I} = {\boldsymbol{x}} $. 进而，$ ({\boldsymbol{x}},I) $被称为最大解，当且仅当对于任何扩展$ ({\boldsymbol{x}}_{}^{\text{e}},I_{}^{\text{e}}) $，有$ I_{}^{\text{e}} \subseteq I $. $ {\mathrm{AC}}_{{\text{loc}}}^{}\left( {I \to {\bf{R}}_{}^N} \right) $表示从区间$ I $到$ {\bf{R}}_{}^N $的局部绝对连续函数集合.

1）允许速度约束控制模块. 在速度跟踪阶段，可以忽略式（2）的第1个方程，因为它不影响输入输出行为. 此时的控制目标是跟踪预定的速度$ {v_{\text{r}}} \in W_{}^{^{1,\infty }}({{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \to {\bf{R}}) $，并使速度误差约束在期望的范围内（来自于ATP），这意味着速度误差$ {e_{\text{v}}}(t) $须在$ {R_{{\phi _{\text{v}}}}} $内演变. 允许速度约束控制器设计为

(4)$ {u_{\text{v}}}(t) = - {k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}\left( {{\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right|} \right){e_{\text{v}}}(t) . $

式中：$ {\phi _{\text{v}}}(t) \in {\varPhi _{\text{v}}} $，$ {\alpha _{\text{v}}}(s) =({{1 - s_{}^2}})^{-1} $，且初始条件满足$ {\phi _{\text{v}}}(0)\left| {v_{}^0 - {v_{\text{r}}}(0)} \right| < 1 $.

2）安全距离约束自主控制模块. 在距离控制阶段，目标是保证列车与目标点之间的距离不得超过安全距离，并使距离误差$ {e_{\text{d}}}(t) $在$ {R_{{\phi _{\text{d}}}}} $内演变. 安全距离约束控制器设计为

(5)$ {u_{\text{d}}}(t) = - {k_{\text{d}}}(t){\alpha _{\text{d}}}\left( {{\phi _{\text{d}}}(t)\left| {{e_{\text{d}}}(t)} \right|} \right){e_{\text{d}}}(t) . $

式中：$ {\phi _{\text{d}}}(t) \in {\varPhi _{\text{d}}} $，$ {\alpha _{\text{d}}}(s) = ({{1 - s_{}^2}})^{-1} $，且初始条件满足$ {\phi _{\text{d}}}(0)\left| {{e_{\text{d}}}(0)} \right| < 1 $.

3）控制模块综合. 式（4）、（5）分别设计了允许速度约束控制器和安全距离约束控制器，但当$ {e_{\text{v}}}(t) \in {R_{{\phi _{\text{v}}}}}(t) $和$ {e_{\text{d}}}(t) \in {R_{{\phi _{\text{d}}}}}(t) $同时满足时，尚不清楚应该选择哪个控制器. 通过$ (t,{\text{ }}p(t),{\text{ }}v(t)) $表示在时间$ t \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} $时的列车位置和速度轨迹，并在$ {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times {\bf{R}}_{}^2 $上定义相对开集$ S $表示$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) $的演化集合. 根据控制目标，$ S $定义为

(6)$ S: = {S_{\text{v}}} \cup {S_{\text{d}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} . $

式中：

(7)$ {S_{\text{v}}}: = \left\{ {(t,p,v) \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times {\bf{R}}_{}^2|\left( {t,{e_{\text{v}}}} \right) \in {R_{{\phi _{\text{v}}}}} \wedge {e_{\text{d}}} \leqslant - {\phi _{\text{d}}}^{ - 1}(t)_{}} \right\}, $

(8)$ {S_{\text{d}}}: = \left\{ {(t,p,v) \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times {\bf{R}}_{}^2|{e_{\text{v}}} \leqslant - {\phi _{\text{v}}^{ - 1}}(t)_{} \wedge \left( {t,{e_{\text{d}}}} \right) \in {R_{{\phi _{\text{d}}}}}} \right\} ,$

(9)$ S_{\text{v}}^{\text{d}}: = \left\{ {(t,p,v) \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times {\bf{R}}_{}^2|\left( {t,{e_{\text{v}}}} \right) \in {R_{{\phi _{\text{v}}}}} \wedge \left( {t,{e_{\text{d}}}} \right) \in {R_{{\phi _{\text{d}}}}}} \right\} .$

若列车远离前方列车，即$ {e_{\text{d}}}(t) \leqslant - {\phi _{\text{d}}^{ - 1}}(t)_{} $，则列车应以允许速度约束控制为目标，即$ (t,{e_{\text{v}}}(t)) \in {R_{{\phi _{\text{v}}}}}(t) $，最终控制器为

$ u(t) = u_{\text{v}}^{}(t),\;\left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{v}}} . $

若列车在安全距离约束控制阶段，但不在允许的速度范围内（信号故障导致的ATP信息错误），即$ (t,{e_{\text{d}}}(t)) \in {R_{{\phi _{\text{d}}}}}(t) $且$ {e_{\text{v}}}(t) \leqslant - {\phi _{\text{v}}^{ - 1}}(t)_{} $，最终控制器为

$ u(t) = u_{\text{d}}^{}(t),\;\left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{d}}} . $

若列车位于上述2个模块的交叉阶段，则应同时满足允许速度约束控制和安全距离约束控制，即$ \left( {t,{e_{\text{v}}}(t)} \right) \in {R_{{\phi _{\text{v}}}}}(t) \wedge \left( {t,{e_{\text{d}}}(t)} \right) \in {R_{{\phi _{\text{d}}}}}(t) $，列车位置和速度轨迹满足$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}} $. 在这种情况下，当领航列车加速时，跟随列车可以从$ {S_{\text{d}}} $转移到$ S_{\text{v}}^{\text{d}} $，或从$ S_{\text{v}}^{\text{d}} $转移到$ {S_{\text{v}}} $. 当领航列车减速时，跟随列车可以从$ {S_{\text{v}}} $转移到$ S_{\text{v}}^{\text{d}} $，或从$ S_{\text{v}}^{\text{d}} $转移到$ {S_{\text{d}}} $. 为了避免领航列车速度增加，而实际距离位于安全距离约束函数范围内$ \left( {t,{e_{\text{d}}}(t)} \right) \in {R_{{\phi _{\text{d}}}}}(t) $，或者列车在已经达到期望的速度时，列车的速度仍然增加，在列车位置和速度轨迹处于$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}} $时，选取$ u_{\text{v}}^{}(t) $和$ u_{\text{d}}^{}(t) $的最小值作为控制输入. 控制结构如图2所示.

最终的控制器被设计为

(10)$ u(t) = \left\{ \begin{gathered} {u_{\text{v}}}(t),\left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{v}}} ; \\ {u_{\text{d}}}(t),\left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{d}}} ; \\ \min \left\{ {{u_{\text{v}}}(t),{u_{\text{d}}}(t)} \right\},\left( {t,p(t),v(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}}. \\ \end{gathered} \right. $

设计具有允许速度约束及安全间距约束的列车无模型控制算法，以实现控制目标O1、O2和O3. 以下定理证明了所提控制算法的稳定性.

定理1　 考虑式（2）所描述的列车动力学系统跟随领航列车运行，领航列车位置由$ {p_{\text{L}}}(t) \in W_{}^{^{1,\infty }}\left( {{{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \to {\bf{R}}} \right) $来确定，且$ {\dot p_{\text{L}}} $有界. 选择预定的运行速度$ {v_{\text{r}}}(t) \in W_{}^{^{1,\infty }}\left( {{{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \to {\bf{R}}} \right) $（来源于ATP）、安全距离$ p_{{\text{safe}}}^{} $，函数$ {k_{\text{v}}}(t)、{\varphi _{\text{v}}}(t) \in {\varPhi _{\text{v}}} $，$ {k_{\text{d}}}(t)、{\phi _{\text{d}}}(t) \in {\varPhi _{\text{d}}} $，$ {\phi _{\text{d}}}(0) \ne 0 $，$ \left( {0,p_{}^0,v_{}^0} \right) \in S $. 由式（10）、（2）构成的闭环系统存在解$ (p,v):{{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \to {\bf{R}}_{}^2 $，闭环系统可控，所有的变量$ p、v、u $连续有界，能够实现控制目标O1、O2和O3.

证明：　

步骤1：最大解的存在性证明.

定义

(11)$ \begin{gathered} {\boldsymbol{F}}: = {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times {\bf{R}}_{}^2 \to {\bf{R}}_{}^2, \\ (t,p,v) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}{l}} v \\ {u(t) - \dfrac{{{f_{\text{d}}}\left( {\dot p(t),t} \right)+Mg\sin \left( {\theta \left( {p(t)} \right)} \right)+\delta (t)}}{M}} \end{array}} \right) . \\ \end{gathered} $

尽管$ {\boldsymbol{F}} $在$ {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} \times \bf{R}_{}^2 $中被定义，但是只考虑$ S $空间. 将列车无模型控制（式（10））应用于系统（2）的闭环初值问题等价于

(12)$\left.\begin{aligned} &\left( {t,p(t),v(t)} \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot p(t)} \\ {\dot v(t)} \end{array}} \right) ,\\&\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {p(0)} \\ {v(0)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {p_{}^0} \\ {v_{}^0} \end{array}} \right) .\end{aligned}\right\} $

由于列车阻力$ {f_{\text{d}}}\left( {\dot p(t),t} \right) $和重力$ Mg\sin \left( {\theta \left( {p(t)} \right)} \right) $是连续的，且$ p、v、\theta $可测（满足定义1中的条件1和2），同时存在

$ \begin{gathered} \left| {M_{}^{ - 1}\left( {{f_{\text{d}}}\left( {\dot p(t),t} \right)+Mg\sin \left( {\theta \left( {p(t)} \right)} \right)+\delta (t)} \right)} \right| \leqslant \\ \qquad {\sigma _1}(t) \in L_{{\text{loc}}}^1\left( {[0,\infty ) \to {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}}} \right) . \\ \end{gathered} $

式中：$ {\sigma _1}(t) = \overline A (t)+\overline B (t)\dot p(t)+\overline C (t)\dot p(t)_{}^2+Mg+{\left\| \delta \right\|_\infty } $（满足定义1中的条件3）. 可知，$ f_{\text{d}}^{}\left( {\dot p(t),t} \right)+Mg\times \sin \left( {\theta \left( {p(t)} \right)} \right)+\delta (t) $为Carathéodory函数.

由于$ {\phi _{\text{v}}}、{\phi _{\text{d}}}、{v_{\text{r}}} $和$ p_{\text{L}}^{} $是连续的，当$ (t,p(t),v(t)) \in {S_{\text{v}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} $时，$ u(t) = u_{\text{v}}^{}(t) $是连续可测的；当$ (t,p(t),v(t)) \in {S_{\text{d}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} $时，$ u(t) = u_{\text{d}}^{}(t) $是连续可测的（满足定义1中的条件1和2）. 根据$ (t,p(t),v(t)) \in {S_{\text{v}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} $和$ (t,p(t),v(t)) \in {S_{\text{d}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} $的定义，对于$ (t,p(t),v(t)) \in {S_{\mathrm{d}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} $，存在$ \bar v \in {\bf{R}_{ \geqslant 0}} $，使得$ \left| {v(t) - {v_{\text{r}}}(t)} \right| \leqslant \bar v - {v_{\text{r}}}(t) \leqslant {\phi _{\text{v}}^{ - 1}}(t)_{} - c,\;c > 0 $.

$ \begin{gathered} |{k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}({\phi _{\text{v}}}(t)|{e_{\text{v}}}(t)|){e_{\text{v}}}(t)| < \\ \qquad {k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}(1 - {\phi _{\text{v}}}(t)c)(1 - {\phi _{\text{v}}}(t)c) = {\sigma _2}(t) \in L_{{\text{loc}}}^{\text{1}} . \\ \end{gathered} $

相似地，可以推导出

$ \begin{gathered} |{k_{\text{d}}}(t){\alpha _{\text{v}}}({\phi _{\text{d}}}(t)|{e_{\text{d}}}(t)|)({e_{\text{d}}}(t))| < \\ \qquad {k_{\text{d}}}(t){\alpha _{\text{v}}}(1 - {\phi _{\text{d}}}(t)c)(1 - {\phi _{\text{d}}}(t)c) = {\sigma _3}(t) \in L_{{\text{loc}}}^1 . \\ \end{gathered} $

（满足定义1中的条件3）. 可以得出，$ u_{\text{v}}^{}(t) $和$ u_{\text{d}}^{}(t) $为Carathéodory函数.

综上，式（11）中的$ {\boldsymbol{F}} $是Carathéodory函数. 根据引理1，存在一个C解（定义2），可以扩展到最大解$ (t,p(t),v(t)){|_{[0,\omega )}} \subset S,\omega \in (0,\infty ] $（定义3）.

步骤2：目标O1、O2和O3的证明.

证明过程分为5种情况，通过反证法证明$ \xi $的存在，从而保证目标O1、O2和O3，如图3所示.

设$ \tau \in (0,\omega ] $是任意且固定的，定义$ \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}} $和$ \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}} $的边界. 由于$ {\phi _{\text{v}}}(t),{\phi _{\text{d}}}(t) \in \Phi $，存在$ \phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}: = \mathop {\inf }\limits_{t \in [\tau ,\omega )} \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) > 0 $，$ \phi _{{\text{d*}}}^{{{ - 1}}}: = \mathop {\inf }\limits_{t \in [\tau ,\omega )} \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) > 0 $，$ \phi _{\text{*}}^{{{ - 1}}}: = \min \left\{ {\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}},\phi _{{\text{d*}}}^{{{ - 1}}}} \right\} $，这意味着$ \mathop {\sup }\limits_{t \in [\tau ,\omega )} {\phi _{\text{v}}}(t) = {1}/{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}} $，$ \mathop {\sup }\limits_{t \in [\tau ,\omega )} {\phi _{\text{d}}}(t) = {1}/{{\phi _{{\text{d*}}}^{{{ - 1}}}}} $是有界的. 在$ [\tau ,\omega ) $上存在$ \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}} $和$ \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}} $的Lipschitz常数，如$ {L_{\text{v}}}: = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {{t_0} \ne {t_1}}\limits^{t_0^{},t_1^{} \in [\tau ,\infty )} } \dfrac{{\left| {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})} \right|}}{{|{t_1} - {t_0}|}} $，$ {L_{\text{d}}}: = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {{t_0} \ne {t_1}}\limits^{t_0,t_1^{} \in [\tau ,\infty )} } \dfrac{{\left| {\phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}({t_0})} \right|}}{{|{t_1} - {t_0}|}} $，$ L = \max\; \{ {L_{\text{v}}},{L_{\text{d}}}\} $. 另外，由于$ {k_{\text{v}}}(t)、{k_{\text{d}}}(t) \in \varPhi $，存在$ {k_{{\text{v*}}}}: = \mathop {\inf }\limits_{t \in [\tau ,\omega )} {k_{\text{v}}}(t) > 0 $，$ {k_{{\text{d*}}}}: = \mathop {\inf }\limits_{t \in [\tau ,\omega )} {k_{\text{d}}}(t) > 0 $，$ k_*^{}: = \min \left\{ {{k_{{\text{v*}}}},{k_{{\text{d*}}}}} \right\} $. 借助于以上有界性分析，可以得出，存在常数$ U_{\text{v}}^{}、 {\text{ }}U_{\text{d}}^{}{\text{ }} > 0 $，使得$ \left| {\dfrac{{{f_{\text{d}}}\left( {\dot p(t),t} \right)+Mg\sin \left( {\theta (p(t))} \right)+\delta (t)}}{M}+{{\dot v}_{\text{r}}}(t)} \right|{\text{ }} \leqslant {U_{\text{v}}} $，$ \left| {v - {v_{\text{L}}} - {D_1}\dfrac{{{f_{\text{d}}}\left( {\dot p,t} \right)+Mg\sin \left( {\theta (p)} \right)+\delta }}{M}+\dot \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}} \right| \leqslant {U_{\text{d}}} $，$ \max \{ {U_{\text{d}}},{U_{\text{v}}}\} : = U $.

假设对于$ \xi \in (0,\phi _{\text{*}}^{{{ - 1}}}] $，存在

$ {u_\xi }: = k_*^{}\alpha _*^{}\left(1 - \frac{\xi }{{\phi _*^{ - 1}}}\right)\frac{{\phi _*^{ - 1}}}{2} . $

式中：$ \alpha _*^{}(s): = \min \left\{ {{\alpha _{\text{v}}}(s),{\alpha _{\text{d}}}(s)} \right\} $. 该假设使得$ {u_\xi } \leqslant {k_{{\text{v}}}}\times {\alpha _{{\text{v}}}}\left(1 - {\xi }/{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}\right){{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}/{2} $和$ {u_\xi } \leqslant {k_{{\text{d}}}}{\alpha _{{\text{d}}}}\left(1 - {\xi }/{{\phi _{{\text{d*}}}^{{{ - 1}}}}}\right){{\phi _{{\text{d*}}}^{{{ - 1}}}}}/{2} $同时满足. 证明的思路是选出$ \xi > 0 $，使得

$ \begin{split} &\xi \leqslant \min \left\{ \frac{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}{2},\frac{{\phi _{{\text{d*}}}^{{{ - 1}}}}}{2},\mathop {\inf }\limits_{t \in (0,\tau ]} [\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}} - {e_{\text{v}}}(t)], \right. \\&\left. \mathop {\inf }\limits_{t \in (0,\tau ]} [\phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}} - {e_{\text{d}}}(t)],\mathop {\inf }\limits_{t \in (0,\tau ]} \chi (t) \right\} L \leqslant \min\; \{ 1,D_1^{}\} {u_\xi } - U.\end{split} $

式中：

$ \chi = \max\; \{ 0,{\phi _{\text{v}}^{ - 1}}(t)+{e_{\text{v}}}(t)\} +\max \left\{ {0,{\phi _{\text{d}}^{ - 1}}(t)+{e_{\text{d}}}(t)} \right\} .$

当$ s \to 1_{}^{ - 1} $时，$ \alpha _*^{}(s) \to \infty $，这意味着当$ \xi \to 0 $时，$ {u_\xi } \to \infty $. 因此，必要的$ \xi > 0 $是存在的.

为了证明目标O1、O2和O3，需要寻找矛盾. 假设存在$ t_1^{} \in (\tau ,\omega ) $，使得至少有一个目标在$ t = t_1^{} $时不成立.

情况1：假设$ {e_{\text{v}}}({t_1}) > \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - \xi $.

定义$ {t_0} = \max \left\{ {t \in [\tau ,{t_1})|{e_{\text{v}}}(t) = \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi } \right\} $，那么，对于$ t \in [{t_0},{t_1}] $，有$ u(t) \leqslant - {u_\xi } $. 为了证明该结论，假设对于$ t \in [{t_0},{t_1}] $，存在

(13)$ {e_{\text{v}}}(t) \geqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi . $

由于$ \phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}} \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) $，$ \xi \leqslant {{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}/{2} $，可以推导出

(14)$ {e_{\text{v}}}(t) \geqslant {{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}/{2} . $

这意味着$ {e_{\text{v}}}(t) $是正的，可以推导出

(15)$ \begin{split} & {\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right| = {\phi _{\text{v}}}(t){e_{\text{v}}}(t) \geqslant {\phi _{\text{v}}}(t)\left( {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi } \right)= \\ & \qquad 1 - {\phi _{\text{v}}}(t)\xi \geqslant 1 - {\xi }/{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}} .\end{split} $

由于$ {\alpha _{\text{v}}}(s) $严格递增，且$ u(t) \leqslant {u_{\text{v}}}(t),t \in \left[ {{t_0},{t_1}} \right] $，可以推导得到

(16)$\begin{split} & u(t) \leqslant - {k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}({\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right|){e_{\text{v}}}(t) \leqslant \\ & \qquad - {k_{{\text{v*}}}}{\alpha _{\text{v}}}\left( {1 - \frac{\xi }{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}} \right)\frac{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}{2} \leqslant - {u_\xi } .\end{split} $

对$ {e_{\text{v}}}(t) $进行微分，得到

(17)$\begin{split} {{\dot e}_{\text{v}}}(t) = &\dot v(t) - {{\dot v}_{\text{r}}}(t) =\\& u(t) - \frac{{{f_{\text{d}}}(\dot p,t)+Mg\sin \;(\theta (p))+\delta }}{M} - {{\dot v}_{\text{r}}}(t) =\\ & u(t)+{U_v} \leqslant - {u_\xi }+{U_{\text{v}}} \leqslant - L \leqslant - {L_{\text{v}}} .\end{split}$

对式（17）积分，可得

(18)$ \begin{split} {e_{\text{v}}}({t_1}) - {e_{\text{v}}}({t_0}) = &\int_{{t_0}}^{{t_1}} {{{\dot e}_{\text{v}}}} (t){\text{d}}t \leqslant - \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{L_{\text{v}}}} {\text{d}}t =\\ & - {L_{\text{v}}}({t_1} - {t_0}) \leqslant - \left| {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})} \right|\leqslant \\ & \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0}) .\\[-1pt]\end{split} $

根据$ \xi = \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0}) - {e_{\text{v}}}({t_0}) $和$ {e_{\text{v}}}({t_1}) > \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - \xi $，可知$ \xi = \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0}) - {e_{\text{v}}}({t_0}) \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - {e_{\text{v}}}({t_1}) < \xi $，与假设矛盾，因此情况1的假设不存在，目标1得证.

情况2：假设$ {e_{\text{d}}}({t_1}) > \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}({t_1}) - \xi $.

采用与情况1相似的方法，可以推导得到情况2的假设不存在，目标2得证.

情况3：假设$ \xi > \chi ({t_1}) $.

定义$ {t_0}: = \max \left\{ {t \in [\tau ,{t_1})|\xi = \chi (t)} \right\} $，那么必然出现以下情况之一，如图3所示.

1) $ 0 < \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{v}}}({t_0}) = \xi $，$ \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{d}}}({t_0}) \leqslant 0 $.

2) $ \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{v}}}({t_0}) \leqslant 0 $，$ 0 < \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{d}}}({t_0}) = \xi $.

3) $ 0 < \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{v}}}({t_0}) < \xi $，$ 0 < \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{d}}}({t_0}) < \xi $.

在该情况下，对于$ \left[ {{t_0},{t_1}} \right] $，控制误差存在从1）到3）再到2）的可能性，因此不能直接指出$ 0 < \phi_{\text{v}}^{{{ - 1}}} (t) +{e_{\text{v}}}(t) \leqslant \xi $或$ 0 < \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t)+{d_{\text{v}}}(t) \leqslant \xi $.

情况3（a）：限制时间间隔，以便只考虑情况1）所示的区域. 假设存在$ {t_2} \in ({t_0},{t_1}) $，对于所有的$ t \in ({t_0},{t_2}] $，存在

(19)$ {e_{\text{v}}}(t) < - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t)+\xi . $

上述假设（19）意味着应进一步限制时间间隔，以确保$ u(t){\text{ }} = {\text{ }}u_{\text{v}}^{}(t) $. 假设存在$ {t_3} \in ({t_2},{t_1}] $，对于所有的$ t \in ({t_0},{t_3}] $，存在$ {e_{\text{d}}}(t) \leqslant - \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) $. 进而，

(20)$ {e_{\text{v}}}(t) < - \phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}+\frac{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}{2} = - \frac{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}{2} . $

这意味着$ e_{\text{v}}^{}(t) $是负数，可以推导出

(21)$ \begin{split} {\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right| =& - {\phi _{\text{v}}}(t){e_{\text{v}}}(t) \geqslant {\phi _{\text{v}}}(t)\left( {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi } \right) =\\ & 1 - {\phi _{\text{v}}}(t)\xi \geqslant 1 - {\xi }/{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}} .\end{split}$

进而，

(22)$ \begin{split} u(t) =& - {k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}\left( {{\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right|} \right){e_{\text{v}}}(t) \geqslant\\ & {k_{{\text{v*}}}}{\alpha _{\text{v}}}\left( {1 - \frac{\xi }{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}} \right)\frac{{\phi _{{\text{v*}}}^{{{ - 1}}}}}{2} \geqslant {u_\xi }.\end{split} $

对$ e_{\text{v}}^{}(t) $进行微分，存在

(23)$ {\dot e_{\text{v}}}(t){\text{ = }}\dot v(t) - {\dot v_{\text{r}}}(t) \geqslant u(t) - {U_{\text{v}}} \geqslant {u_\xi } - {U_{\text{v}}} \geqslant L \geqslant {L_{\text{v}}}. $

对式（23）积分，可得

(24)$\begin{split} {e_{\text{v}}}({t_3}) - {e_{\text{v}}}({t_0}) =& \int_{{t_0}}^{{t_3}} {{{\dot e}_{\text{v}}}} (t){\text{d}}t \geqslant \int_{{t_0}}^{{t_3}} {{L_{\text{v}}}} {\text{d}}t =\\ & {L_{\text{v}}}({t_3} - {t_0}) \geqslant - \left| {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_3}) - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})} \right| \geqslant\\ & \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0}) - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_3}).\end{split} $

根据$ \xi = \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0}) - {e_{\text{v}}}({t_0}) $和$ {e_{\text{v}}}({t_3})+\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_3}) < \xi $，可知$ \xi = \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{v}}}({t_0}) \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_3})+{e_{\text{v}}}({t_3}) < \xi $，与假设矛盾. 不存在$ {t_2} \in ({t_0},{t_1}) $，使得$ {e_{\text{v}}}(t) < - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t)+\xi $，情况3（a）得证.

情况3（b）：与情况3（a）相似，情况3（b）可证.

情况3（c）：假设存在$ {t_2} \in ({t_0},{t_1}) $，对于所有的$ t \in ({t_0},{t_2}] $，存在

(25)$ \left. \begin{aligned} & 0 < \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t)+{e_{\text{v}}}(t) < \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{v}}}({t_0}) < \xi , \\ &0 < \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t)+{e_{\text{d}}}(t) < \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{d}}}({t_0}) < \xi .\end{aligned}\right\}$

根据情况3（a）和情况3（b）可知，式（20）对于所有的$ t \in ({t_0},{t_2}] $均成立，与式（25）的成立与否无关，因此，式（22）在$ t \in ({t_0},{t_2}] $时均成立. 与情况3（a）相似，对于所有的$ t \in ({t_0},{t_2}] $，$ {\dot e_{\text{v}}}(t) \geqslant {L_{\text{v}}} $，可以推导得到$ \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_0})+{e_{\text{v}}}({t_0}) \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}({t_2})+{e_{\text{v}}}({t_2}) $，与式（25）的第1个公式矛盾. 与情况3（b）相似，可以推导得到式（25）的第2个公式是矛盾的. 情况3（c）的假设不成立，情况3（c）得证.

对于$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{v}}} $和$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{d}}} $，分别推导得到$ \left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right| \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi $和$ \left| {{e_{\text{d}}}(t)} \right| \leqslant \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi $，目标O1、O2、O3得证.

步骤3：全局解的存在性证明.

在步骤1中，证明了最大解$ \left(t,p(t),v(t)\right){|}_{[0,\omega )}\subset S， \omega \in (0,\infty ] $的存在性. 必须至少满足以下情况之一.

情况1：$ \omega = \infty $，即对于所有的$ t \in {{\bf{R}}_{ \geqslant 0}} $，解均存在.

情况2：$ \omega < \infty $，且随着$ t \to {\omega ^ - } $，解的极限无穷大.

情况3：$ \omega < \infty $，且随着$ t \to {\omega ^ - } $，解任意接近$ S $的边界.

由于对于所有的$ t \in [0,\omega ) $，$ v(t) $和$ p_{\text{L}}^{}(t) - p(t) $都有界，情况2不可能为真. 在步骤2中，解均匀地远离集合$ S $的边界，情况3不可能为真. 第1种情况必须为真，$ \omega = \infty $.

步骤4：$ u(t) $的有界性证明.

定义

(26)$\begin{split} {U_j} =& \max \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{t \in [\tau ,\infty )} \left[ {{k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}\left( {1 - {\phi _{\text{v}}}(t)\dfrac{\xi }{j}} \right)\left( {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \dfrac{\xi }{j}} \right)} \right]},\right. \\ &\left. {\mathop {\sup }\limits_{t \in [\tau ,\infty )} \left[ {{k_{\text{d}}}(t){\alpha _{\text{d}}}\left( {1 - {\phi _{\text{d}}}(t)\dfrac{\xi }{j}} \right)\left( {\phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) - \dfrac{\xi }{j}} \right)} \right]} \right\} ; \\& j = 1,2 .\\[-1pt]\end{split} $

在3种情况下考虑$ u(t) $的有界性，即闭环系统的解$ (t,{\text{ }}p(t),{\text{ }}v(t)) $分别位于$ {S_{\text{v}}} $、$ {S_{\text{d}}} $和$ S_{\text{v}}^{\text{d}} $.

情况1：$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{v}}} $，在该种情况下，$ u(t) = u_{\text{v}}^{}(t) $，存在$ \xi > 0 $，使得对于所有的$ t \in \left[ {0,\infty } \right) $，存在$ \left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right| \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi $. 可以推导得到$ {\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right| \leqslant {\phi _{\text{v}}}(t) \times \left( {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi } \right) = 1 - {\phi _{\text{v}}}(t),\;\xi \in \left( {0,1.0} \right) $，进而可知

(27)$ \begin{split} \left| {{u_{\text{v}}}(t)} \right| =\;& {k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}\left( {{\phi _{\text{v}}}(t)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right|} \right)\left| {{e_{\text{v}}}(t)} \right| \leqslant\\ & {k_{\text{v}}}(t){\alpha _{\text{v}}}\left( {1 - {\phi _{\text{v}}}(t)\xi } \right)\left| {{\phi _{\text{v}}}(t) - \xi } \right| \leqslant {U_1} .\end{split} $

情况2：$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{d}}} $，在该种情况下，$ u(t) = u_{\text{d}}^{}(t) $，存在$ \xi > 0 $，使得对于所有的$ t \in \left[ {0,\infty } \right) $，存在$ \left| {{e_{\text{d}}}(t)} \right| \leqslant \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi $. 可以推导得到$ {\phi _{\text{d}}}(t)\left| {{e_{\text{d}}}(t)} \right| \leqslant {\phi _{\text{d}}}(t) \left( {\phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi } \right) = 1 - {\phi _{\text{d}}}(t),\; \xi \in \left( {0,1.0} \right) $，进而可知

(28)$\begin{split} \left| {{u_{\text{d}}}(t)} \right| =& {k_{\text{d}}}(t){\alpha _{\text{d}}}\left( {{\phi _{\text{d}}}(t)\left| {{e_{\text{d}}}(t)} \right|} \right)\left| {{e_{\text{d}}}(t)} \right| \leqslant \\& {k_{\text{d}}}(t){\alpha _{\text{d}}}\left( {1 - {\phi _{\text{d}}}(t)\xi } \right)\left| {{\phi _{\text{d}}}(t) - \xi } \right| \leqslant {U_1}.\end{split} $

情况3：$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}} $，在该种情况下，$ u(t) = \min \left\{ {{u_{\text{v}}}(t),{u_{\text{d}}}(t)} \right\} $，这意味着若速度误差与间距误差中至少有一个是非负的，则$ u(t) \leqslant 0 $. 由步骤2可知，无论如何，存在$ {e_{\text{v}}}(t) \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi $和$ {e_{\text{d}}}(t) \leqslant \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) - \xi $，可证$ - {U_1} \leqslant u(t) $. 如果$ e_{\text{v}}^{}(t){\text{ }} < 0 $和$ e_{\text{d}}^{}(t){\text{ }} < 0 $同时出现，根据$ \xi \leqslant \chi (t) = \max \left\{ {0,\;{\phi _{\text{v}}^{ - 1}}{{(t)}}+{e_{\text{v}}}(t)} \right\}+\max \left\{ {0,\;{\phi _{\text{d}}^{ - 1}}{{(t)}}+ {e_{\text{d}}}(t)} \right\} $ 可知，$ {\xi }/{2} \leqslant \max \left\{ {\phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t)+{e_{\text{v}}}(t),\;\phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t)+{e_{\text{d}}}(t)} \right\} $. 进而，可以推导得到$ - {e_{\text{v}}}(t) \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - {\xi }/{2} $或者$ - {e_{\text{d}}}(t) \leqslant \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}} (t) - {\xi }/{2} $. 与情况1和2相似，当$ - {e_{\text{v}}}(t) \leqslant \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) - {\xi }/{2} $时，可以得到$ {u_{\text{v}}}(t) \leqslant {U_2} $. 当$ - {e_{\text{d}}}(t) \leqslant \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) - {\xi }/{2} $时，可以得到$ {u_{\text{d}}}(t) \leqslant {U_2} $. 因此，$ 0 \leqslant u(t) = \min \left\{ {{u_{\text{v}}}(t),{u_{\text{d}}}(t)} \right\} \leqslant {U_2} $. $ u(t) $的有界性得证.

步骤5：$ u(t) $的连续性证明.

$ v、v_{\text{r}}^{}、{\alpha _{\text{v}}}\left( {{\phi _{\text{v}}}(t)|{e_{\text{v}}}(t)|} \right) $、$ {\alpha _{\text{d}}}({\phi _{\text{d}}}(t)|{e_{\text{d}}}(t)|) $、$ k_{\text{v}}^{} $、$ k_{\text{d}}^{} $是连续的，因此对于$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{v}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} $和$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{d}}} \cup S_{\text{v}}^{\text{d}} $，$ {u_{\text{v}}}(t) $和$ {u_{\text{d}}}(t) $分别是连续的. 对于$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}} $，$ u(t) = \min \;\{ {u_{\text{d}}}(t),{u_{\text{v}}}(t)\} $是连续的. 当$ {e_{\text{v}}}(t) = - \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(t) $或$ {e_{\text{d}}}(t) = - \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(t) $时，$ u(t) $在$ u_{\text{d}}^{}(t) $和$ u_{\text{v}}^{}(t) $之间存在交叉边界. 有必要证明$ u(t) $在跨越这些边界时仍然是连续的.

定义$ \tau \in (0,\omega ) $，证明$ u(t) $不仅在边界处是连续的，而且在边界周围也是连续的，即

(29)$\left. \begin{aligned} {e_{\text{d}}}(\tau ) =& - \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(\tau ) \to \exists \iota > 0\forall t \in {B_\iota }(\tau ):u(t) = {u_{\text{v}}}(t) . \\ {e_{\text{v}}}(\tau ) = &- \phi _{\text{v}}^{{{ - 1}}}(\tau ) \to \exists \iota > 0\forall t \in {B_\iota }(\tau ):u(t) = {u_{\text{d}}}(t) .\end{aligned}\right\} $

如果$ {e_{\text{d}}}(\tau ) = - \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(\tau ) $，且$ \exists \iota > 0 $，那么对于任何$ \iota > 0 $足够小的情况，有以下2种可能性：1）$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{v}}} $；2）$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}} $.

由$ u(t) $的定义可知，当$ \left( {t,p(t),v(t)} \right) \in {S_{\text{v}}} $时，$ u(t) = u_{\text{v}}^{}(t) $，这包括$ t = \tau $的边界. 只强调第2种情况. 由于$ u_{\text{v}}^{}(t) $在$ \tau $处是连续的，对于每一个$ \zeta > 0 $，都存在$ {\iota _1} > 0 $，使得$ t \in {B_{{\iota _1}}}(\tau ) \to \left| {{u_{\text{v}}}(t) - {u_{\text{v}}}(\tau )} \right| < \zeta $. 可知，$ {u_{\text{v}}}(t) \leqslant \left| {{u_{\text{v}}}(t)} \right| \leqslant \left| {{u_{\text{v}}}(\tau )} \right|+\left| {{u_{\text{v}}}(t) - {u_{\text{v}}}(\tau )} \right| \leqslant \left| {{u_{\text{v}}}(\tau )} \right|+\zeta $.

当$ {\phi _d}(\tau )\left| {{e_{\text{d}}}(\tau )} \right| = 1 $，$ \mathop {\lim }\limits_{s \to {1^ - }} {\alpha _{\text{d}}}(s) = \infty $时，对于任意的$ M > 0 $，存在$ {\iota _2} > 0 $，使得对于所有的$ t \in {B_{{\iota _2}}}(\tau ) $，存在$ {\alpha _{\text{d}}}({\phi _{\text{d}}}(t)|{e_{\text{d}}}(t)|) > M $. 若$ {\iota _2} $足够小，则$ e_{\text{d}}^{}(t) < 0 $. 可知，对于每个$ M > 0 $，存在$ {\iota _2} > 0 $，使得$[ \left( {t,v(t),p(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}} \wedge {B_{{\iota _2}}}(\tau ) \Rightarrow M < {u_{\text{d}}}(t) ] $.

选择$ M = \left| {{u_{\text{v}}}(\tau )} \right|+\zeta $，并设$ \iota = \min \left\{ {{\iota _1},{\iota _2}} \right\} $，推导出存在$ \iota > 0 $，使得

$ \left[ {\left( {t,v(t),p(t)} \right) \in S_{\text{v}}^{\text{d}} \wedge {B_\iota }(\tau ) \Rightarrow {u_{\text{v}}}(t) < {u_{\text{d}}}(t)} \right] . $

$ u(t) = u_{\text{v}}^{}(t) $，$ u(t) $在$ {e_{\text{d}}}(\tau ) = - \phi _{\text{d}}^{{{ - 1}}}(\tau ) $周围是连续的. 式（29）的第2个公式可以类似证明.

文献[24]的CRH2-A列车模型被用来验证所提出的控制算法. CRH2-A的参数设置如下. $M = 345\;{\text{t}} $，$A(t) = 275\sin \;(2\text{π} t/1\;700)+2\;977 $，$ B(t) = 2.5 \times \sin \;(2\text{π} t/1\;700)+25.17， $ $C(t) = 0.04\sin \;(2\text{π} t/1\;700)+ 0.386\;4 $. 初始条件如下：$ v(0) = 0\;{\rm{m/s}}\;,p(0) = 0\;{\mathrm{m}}, u(0) = 0\;{\mathrm{N}}. $ $ {D_1} = 20\;{\mathrm{s}},{D_2} = 100\;{\mathrm{m}}， $ $ {\phi _{\mathrm{v}}}(t) = [36\exp \;( - 0.02t)+ 1]^{ - 1} $， $ {\phi _{\text{d}}}(t) = 0.01 $， $ {v_{\text{r}}}{\text{ = 36 \;{\rm{m/s}}\;}} $.

在该情况下，假设自动列车远离前方列车，$ {v_{\text{L}}}{\text{ = 30 \;{\rm{m/s}}\;}} $，$ v(0) = 0\;{\rm{m/s}}\; $，$ {v_{\text{r}}}{\text{ = 36 \;{\rm{m/s}}\;}} $.

从图4、5可知，在0~100 s阶段，速度控制器在允许速度范围内自动调整列车速度. 在该阶段，自动列车的速度低于前方列车，两列车的距离继续增加. 在100~559.79 s，自动列车的速度保持在允许的速度约束范围内，但超过了前方列车的速度，两列车之间的距离逐渐减小. 在559.79 s后，自动列车赶上领航列车，距离控制器开始工作，并将距离保持在安全距离约束范围内，且速度与前方列车趋于一致. 从图6可知，所设计的算法可在非凸解图中实现两目标之间的平滑切换.

在这种情况下，假设前方列车急刹车，在实验1的基础上，假设1 000 s时列车以$ a_{\text{L}}^{} = 0.5\;{\rm{m/s}}\;_{}^2 $的减速度减速至$ 20\;{\rm{m/s}}\; $，随后匀速运行，在第1 400 s时，列车以$ a_{\text{L}}^{} = 1.5\;{\rm{m/s}}\;_{}^2 $的减速度减速至$ 5\;{\rm{m/s}}\; $，随后匀速运行，在第1 800 s时，列车以$ a_{\text{L}}^{} = 1\;{\rm{m/s}}\;_{}^2 $的减速度减速至$ 0\;{\rm{m/s}}\; $. 其他条件及参数与实验1相同，以验证所设计算法是否能够使自动列车在不同限值下实现制动措施，保证列车的安全距离. 从图7、8可知，第1 000 s开始，前方列车紧急制动，被控车辆能够跟随前车制动，并逐渐减速至$ 20\;{\rm{m/s}}\; $. 在该过程中，被控列车与前方列车的距离被限定在安全距离范围内，列车与前方列车的安全间距没有超出安全距离. 第1 400 s开始，即使车辆的减速度达到$ a_{\text{L}}^{} = 1.5\;{\rm{m/s}}\;_{}^2 $，被控车辆依然能够跟随前车制动，与前方列车的距离被限定在安全距离范围之内.

本文提出具有允许速度约束及安全距离约束的非线性列车无模型控制方法，无需列车模型的非线性项. 构建基于Carathéodory函数的闭环系统，解析了闭环系统解的存在性、控制目标的可实现性以及控制输入的有界性和连续性，实现了控制系统的稳定性证明. 仿真结果表明，当距离前方列车较远时，所设计的算法能够实现列车在允许速度约束范围内运行. 当接近前方列车或目标点，且列车间距进入预设的安全距离裕量时，利用所设计的算法，能够保证受控列车与前方列车的安全间距. 当前方列车紧急制动时，能够保证列车的安全距离.