全球电力需求的持续增长加剧了能源危机，其中住宅负荷占据了总电力消耗的约40%^[1]. 家庭能量管理系统(home energy management system, HEMS)作为智能电网在用户侧的延伸，能够通过优化家庭用电行为以适应电价波动，降低总体电费^[2]. 随着可再生能源并网程度的提高，光伏(photovoltaic, PV)发电技术在HEMS中的应用受到了广泛关注，但其间歇性和波动性的特点对HEMS的稳定性和经济性带来了挑战^[3]. 此外，电动汽车(electric vehicle, EV)与住宅之间通过能量交互(vehicle to home, V2H)技术将能量回馈给家庭或电网^[4]，这为家庭能量管理带来了新的机遇. 然而，EV的充电活动会加剧用电高峰，并且频繁的充放电会加速电池老化，缩短其使用寿命，从而降低家庭经济效益^[5]. 因此，亟须开发一种综合性的智能家庭能量管理策略，以协调PV发电和EV充放电，智能调度家庭各类负荷，实现家庭能源的高效管理与优化.

目前，对于家庭能量管理的研究主要集中在提高经济效益和能源利用效率^[6-11]. 王玉彬等^[7]提出基于模型预测控制的家庭能量管理策略以降低家庭用电费用，但该策略未将EV考虑在内. Ali等^[8]在考虑发电机运行成本的同时提出日前调度策略，但未关注家用不同类型电器的调度优化. Gholampour等^[9]采用分层3级分布式控制方法，整合EV以优化家庭微电网的运行，但未充分考虑不同家用电器的差异需求，这会影响用户的经济效益. Prum等^[10]在计及PV、储能以及EV的基础上，建立了分时电价环境下的家庭能量管理策略，但忽略了EV电池因频繁充放电带来的容量退化成本. Abdelaal等^[11]考虑了EV电池退化对家庭放电活动经济性的影响，但采用的日前电价机制无法动态响应电价波动. EV的引入为HEMS带来了新的不确定性因素，如充电的随机性和用户行为的不确定性，不仅增加了系统复杂性，也对其性能提出了更高要求.

为了应对电价波动、PV发电以及用户行为的不确定性，传统模型多通过预测或场景生成结合优化算法实现调度优化^[12-13]. 这些方法依赖于对电价、PV发电、电力需求等不确定性信息已知或预测假设. 但在实际中，这些系统参数受到各种因素影响呈非平稳性，导致这些信息或其先验统计知识难以精确预测或获取. 为此，研究者提出的解决方法包括深度强化学习算法^[14-15]以及Lyapunov优化算法^[16-17]. 尽管深度强化学习算法不需要系统参数的先验统计知识，但其过度依赖环境易陷入局部最优. Lyapunov优化算法则以其收敛快、稳定性强、能够灵活处理系统动态变化的优点，提供了更高效和鲁棒的HEMS优化方法. 然而，这些研究在模型构建时未考虑不同家电的实际需求和时延，无法针对性分配能量，且未计及EV放电及其电池容量退化成本，未充分探讨EV在HEMS中作为储能设备向家庭供能的潜力.

本研究针对含PV、EV以及家庭各类电器的智能家庭用户，充分利用EV的移动储能特性，协同PV出力的随机性、电价的时变性和智能电器用电的灵活性，提出智能家庭能量管理优化策略. 创新性工作如下：1）构建了含有EV、PV和家庭各类电器的智能家庭能量管理的新模型，通过智能控制EV的充放电、家用电器的运行调度，以及优化家庭与电网之间的双向电力交易，有效协同智能电网的实时电价、PV发电和用电需求的不确定性，以实现能源效用最大化. 2）针对传统Lyapunov优化框架无法解决EV电池约束的问题，提出改进的Lyapunov优化算法. 该算法通过构造一个衡量EV电池电量的变量和虚拟队列，以满足电池约束条件. 该算法复杂度低，且不依赖于PV出力、电网实时电价、EV充电需求和电器电力需求的统计分布信息，仅基于当前的环境状态就能做出最佳决策. 3）考虑了EV电池容量退化的成本，并分析不同类型家庭电器的用电需求和时延容忍度，提出针对性的能量分配策略，提高家庭能源利用率和分配效率.

所提出的家庭能量系统模型如图1所示. 该系统由HEMS、PV发电单元、家用电器、EV以及智能电表组成. 智能电表外部与智能电网连接，以获取实时电价信息，内部则连接HEMS.

HEMS作为系统的核心控制器，采集系统数据（电费、电力需求、PV发电量等），并根据优化策略做出调度决策，下发至各设备执行. 家用电器根据用电特性分为非弹性需求电器和弹性需求电器2类. 当EV在家中插上电源时，HEMS根据其充电或放电状态，将其视为负载或储能设备来参与家庭能量管理. 系统通过HEMS与智能电网之间的双向电力交易，实现在满足家庭用电需求的同时，最大化家庭用户的售电收益.

1） 非弹性需求电器. 非弹性需求电器，如吹风机、冰箱、照明设备等，在家庭用户中属于不可调节的必须用电需求，无论何时都须优先被满足，不允许任何形式延迟. 将用户在t时隙下非弹性能量需求记为$ L\left( {t} \right) $，最大能量需求记为$ {L_{\max }} $.

2） 弹性需求电器. 弹性需求电器允许需求的能量有一定的时延，例如洗碗机、洗衣机. 其可以根据电价和电力供应情况进行调整，只要在一定时间范围内能满足用户要求即可. 弹性能量需求和最大能量需求分别用${a_{n}}(t)$和$ {a_{n,\max }} $表示. 为了应对电器在延迟容忍度上的差异，引入N个实际队列，每个队列对应一个延迟时间${T_n}$，$n = 1,2, \cdots ,N$，最大时延为${T_n}_{,\max }$. 每个队列中的能量需求$a_n(t)$按照先进先出的原则进行处理，${d_n}(t)$为在t时隙时分配给电器n的能量. 电器n的能量需求队列更新公式如下：

(1)$ {Q_n}(t+1) = \max\; [{Q_n}(t) - {d_n}(t),0]+{a_n}(t). $

式中：${d_n}(t)$满足${d_n}(t) \leqslant {d_{n,\max }}$. 同时，为了保证需求队列始终稳定，假设最大弹性需求服务量满足${d_{n,\max }} \geqslant {a_{n,\max }}$.

当EV在家中连接充电装置时，HEMS首先获取EV的充电信息，可以用3元组$ (s,s',E) $来表示，其中s为充电开始时间，$s' $为预期充电结束时间，E为EV的总充电需求量. 这些请求通过通信设施发送给HEMS，为了在不超过截止时间的情况下满足这一要求，使用能量队列：

(2)$ {Q^{{\text{ev}}}}\left( {t+1} \right) = \max \left[ {{Q^{{\text{ev}}}}\left( t \right)+b\left( t \right),0} \right]+{a^{{\text{ev}}}}\left( t \right) . $

式中：$ {a^{{\text{ev}}}}\left( t \right) $为EV在时隙t的充电需求量；$ b\left( t \right) $为EV在时隙t的充/放电量，$b\left( t \right) > 0$表示EV放电，反之则表示EV充电.

考虑到EV用户的出行要求，出行期间EV不参与家庭能量管理，只考虑出行能量放电，在此期间有$b\left( t \right) = 0$. 假设$ {b_{\max }} $为EV的最大充/放电功率，由于EV的充电功率受到限制，EV在一个时隙内最多为$ {Q^{{\text{ev}}}}(t) $贡献$ {b_{\max }} $能量消耗. 因此，在任意时隙t都有

(3)$ \left| {b\left( t \right)} \right| \leqslant {b_{\max }}. $

当$ {b_{\max }} < E $时，需要多个时间段才能完成总充电需求量E，EV在时隙t的能量需求如下：

(4)$ a^{\mathrm{ev}}(t)=\left\{\begin{array}{ll}b_{\max} , & s \leqslant t \leqslant s+k ;\\E-k b_{\max} ,& t=s+k; \\0 , &\text {其他}.\end{array} \right. $

式中：$k = \left[ {E/{b_{\max }}} \right]$.

进一步假设${b_{\max }} \geqslant a_{\max }^{{\text{ev}}}$，$a_{\max }^{{\text{ev}}}$为任意时隙充电需求的最大值，为了确保$ {Q^{{\text{ev}}}}(t) $的平均长度是有限的，有以下约束条件，即

(5)$ \underset{T\to \infty }{\mathrm{lim}}\left\{\left(\mathrm{sup}\;\dfrac{1}{T}\right){\displaystyle \sum _{t=0}^{T-1}E\left[{Q}^{\text{ev}}\left(t\right)\right]}\right\}<\infty . $

式(5)保证了EV充电需求队列保持稳定，但不足以保证不超过充电完成时间，因此还须施加以下约束条件：

(6)$ T_{\max }^{{\text{ev}}} \leqslant {s'} - s - k . $

式中：$ T_{\max }^{{\text{ev}}} $表示$ {Q^{{\text{ev}}}}(t) $的最大排队延迟，$ {{s'} - s - k} $表示可容忍的EV充电服务延迟.

考虑EV电池在充/放电过程中存在能量转换损失，将EV的充/放电方程分别描述如下：

(7)$ {E^{{\text{ev}}}}{\left( t \right)^ - } = b{\left( t \right)^ - }{\eta _{{\mathrm{ch}}}} , $

(8)$ {E^{{\text{ev}}}}{\left( t \right)^+} = {{b{{\left( t \right)}^+}}}/{{{\eta _{{\mathrm{dis}}}}}} . $

式中：$ {\left( x \right)^ - }\mathop = \limits \max\; \left( { - x,0} \right) $，$ {\left( x \right)^+}\mathop = \limits \max \;\left( {x,0} \right) $；$ {E^{{\text{ev}}}}\left( t \right) < 0 $表示HEMS向EV输送充电能量，反之则表示HEMS实际接收到EV放电的能量；$\eta _{{\text{ch}}} $、$\eta _{{\text{dis}}} $分别表示EV的充电、放电效率.

用$ B\left( t \right) $表示在t时隙EV的电池电量，则EV电池的更新方程为

(9)$ B\left( {t+1} \right) = B\left( t \right) - b\left( t \right). $

为了保证EV电池电量始终在合理水平，防止因过度放电而导致电池寿命缩短，设置约束条件：

(10)$ B{\left( t \right)_{\min }} \leqslant B\left( t \right) \leqslant B{\left( t \right)_{\max }}, $

(11)$ b\left( t \right) < B\left( t \right). $

EV电池在充放电过程中，因能量转换损失和长期循环使用，容量会逐渐退化，因此须进一步考虑这些因素对于EV电池的影响. 假设在电池容量衰减到80%时进行更换，电池容量退化成本模型参考文献^[18]：

(12)$ C\left( t \right) = \frac{{{\text{CP}} \times {B_{\max }}}}{{100 - 80}}\frac{{\delta \left| {{E^{{\text{ev}}}}\left( t \right)} \right|}}{{{B_{\max }}}} . $

式中：CP为长期更换电池的成本，即在电池的整个使用寿命周期内，因电池容量衰减到一定阈值以下而需要更换时，每千瓦时电池容量所需支付的平均成本；$\delta $为电池容量退化系数.

在每个时隙t，优先使用PV发电满足家庭能量需求，并且优先满足非弹性能量需求. 当t时隙的PV发电量$ e\left( t \right) $不足以满足t时隙所有智能电器的能量需求$ d\left( t \right) $时，用户可以根据实时电价$ p\left( t \right) $选择从智能电网购电或利用EV放电来满足需求；若在满足用户需求后PV发电仍有富余，用户可以根据实时电价$ p\left( t \right) $选择将余量卖给智能电网或给EV充电. 家庭与智能电网之间的电力交易用$ g(t) $表示，$ g\left( t \right) > 0 $表示从智能电网购买电力，反之则表示向智能电网出售电力. HEMS协调这些能量的流动，以实现用户收益最大化. 根据模型，智能家庭在时隙t的实时能量平衡关系可以表示为

(13)$ L\left( t \right)+d\left( t \right) = e\left( t \right)+g\left( t \right)+{E^{{\text{ev}}}}\left( t \right). $

基于上述模型，HEMS会根据当前时隙的智能电网的电价$ p\left( t \right) $、PV发电量$ e\left( t \right) $、电器电力需求队列积压${Q_n}\left( t \right)$、EV充电需求队列积压${Q^{{\text{ev}}}}\left( t \right)$、EV电池电量$B\left( t \right)$以及EV充电时延，决策当前时隙的电器电力需求服务量$d(t)$、EV的充/放电量${E^{{\mathrm{ev}}}}\left( t \right)$以及与智能电网的电力交易量$g\left( t \right)$. 假设智能电网的电价$ p\left( t \right) $满足$ 0 \leqslant p\left( t \right) \leqslant {p_{\max }} $，$ {p_{\max }} $为任意时隙电价的最大值. 考虑到能量在传输过程中存在损失，并且供应商需要盈利以维持市场供需平衡，用户的售电价格应低于购电价格. 为此设定常数$ \beta \in \left( {0,1.0} \right) $，则外部电网的购电价为$ \beta p\left( t \right) $.

用户从智能电网购买电力花费的成本：

(14)$ p\left( t \right)g{\left( t \right)^+} = p\left( t \right){\left[ {L\left( t \right)+d\left( t \right) - e\left( t \right) - {E^{{\text{ev}}}}\left( t \right)} \right]^+} . $

用户向智能电网出售电力获得的利润：

(15)$ \beta p\left( t \right)g{\left( t \right)^ - } = \beta p\left( t \right){\left[ {L\left( t \right)+d\left( t \right) - e\left( t \right) - {E^{{\text{ev}}}}\left( t \right)} \right]^ - } . $

用户卖给智能电网能量的总收益：

(16)$ R\left( t \right) = \beta p\left( t \right)g{\left( t \right)^ - } - p\left( t \right)g{\left( t \right)^+} - C\left( t \right) . $

本研究的优化目标是在不超过用户可容忍时延的前提下，寻找最优决策变量$ \left[ {{d_n}\left( t \right),{E^{{\text{ev}}}}\left( t \right),g\left( t \right)} \right] $的时间序列，以实现用户收益最大化. 这一优化问题可以规划为问题P1，如下所示：

(17)$ \mathrm{P} 1: \quad \max _{d_n(t), E^{\mathrm{ev}}(t), g(t)}: \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T E[R(t)] . $

约束条件如下： 式(1)~(13)，

(18)$ \overline {{Q_n}} < \infty , $

(19)$ \frac{{\overline {{Q_n}\left( t \right)} }}{{\overline {{d_n}\left( t \right) - {a_n}\left( t \right)} }} \leqslant {T_n} . $

式中：$ E\left[ \cdot \right] $为数学期望，$\overline {{Q_n}} $为$Q_n $的平均值，$ \overline{Q_n} \; {\triangleq} \; \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \sup\dfrac{1}{t} \displaystyle\sum_{\tau=0}^{t-1}\; $E{Q_n (τ)}，$ \overline{Q_n(t)}$为队列的平均大小，$\overline{d_n(t)-a_n(t)} $为队列大小的平均减少率，式(18)确保所有智能电器的电力需求队列保持稳定，式(19)对平均服务延迟时间施加了限制，式(17)是家庭能源调度问题的宽松目标函数.

通过求解式(17)，只能得到一个宽泛的目标，因为它不包含对每个负载的延迟约束. 此外，在问题P1中存在3类时间耦合约束，即EV电池约束（式(10)）、智能电器用电的最大容忍时延约束（式(19)）和EV充电的最大容忍时延约束（式(6)）. 因此，直接利用传统的Lyapunov优化算法无法直接求解问题P1. 为了解决上述问题，须构建相关变量和延迟感知的虚拟队列，将问题P1中的时间耦合约束转化为虚拟队列稳定性问题，对Lyapunov优化进行改进，并利用改进的Lyapunov框架求解最优化问题.

为了确保延迟约束得到满足，引入虚拟队列$ {Z_n}\left( t \right) $和$ H\left( t \right) $分别使得式(19)和式(6)成立，智能电器延迟感知虚拟队列$ {Z_n}\left( t \right) $和EV延迟感知虚拟队列$ H\left( t \right) $的更新方程如下：

(20)$ {Z_n}\left( {t+1} \right) = \max \left\{ {{Z_n}\left( t \right) - {d_n}\left( t \right)+{\varepsilon _n}{1_{\left\{ {{Q_n}\left( t \right) > 0} \right\}}},0} \right\}, $

(21)$ H\left( {t+1} \right) = \max \left\{ {H\left( t \right)+b\left( t \right)+{\varepsilon ^{{\mathrm{ev}}}}{1_{\left\{ {{Q^{{\mathrm{ev}}}}\left( t \right) > 0} \right\}}},0} \right\}. $

式中：${1_{\left\{ {Q\left( t \right) > 0} \right\}}}$为指示变量，若$Q\left( t \right) > 0$则为1，否则为0. 队列${Q_n}(t)$和${Z_n}\left( t \right)$、${Q^{{\text{ev}}}}(t)$和$ H\left( t \right) $分别具有相同的服务过程${d_n}\left( t \right)$、$b\left( t \right)$，每当实际队列积压非空时，虚拟队列会在每个时隙添加$\varepsilon $，确保若实际队列中有长期未被服务的请求，虚拟队列会增长. 若实际队列与虚拟队列均存在有限上界，则能保证所有请求的服务时延不超过下述引理给出的最坏情况界定.

引理1　假设各队列积压均有有限的上界，即Q_n$\left( t \right) \leqslant $Q_n,max，Z_n$\left( t \right) \leqslant $Z_n,max，Q^ev$\left( t \right) \leqslant Q_{\max }^{{\text{ev}}}，$H$\left( t \right) \leqslant {H_{\max }}$，那么队列中任意时隙能量需求的服务时延最大值为

(22)$ {T_{n,\max }}\; {\triangleq }\; \frac{{{Q_{n,\max }}+{Z_{n,\max }}}}{{{\varepsilon _n}}} , $

(23)$ T_{\max }^{{\text{ev}}} \;{\triangleq } \; \frac{{Q_{\max }^{{\text{ev}}}+H_{\max }^{}}}{{{\varepsilon ^{{\text{ev}}}}}} . $

引理1的证明参考Lyapunov优化理论^[19].

为了满足上述问题规划中的约束条件（式(10)），构造衡量EV电池充/放电转换的变量$X\left( t \right)$：

(24)$ X\left( t \right) = B\left( t \right) - V{p_{\max }} - {b_{\max }}. $

式中：V为控制参数，通过合理调节V的大小来控制变量$X\left( t \right)$. 由式(9)得出$X\left( t \right)$的更新方程为

(25)$ X\left( {t+1} \right) = X\left( t \right) - b\left( t \right). $

定义矢量$ {\boldsymbol{\varTheta}} (t) \;{\triangleq } \; \left[ {{Q_n}(t),{Z_n}(t),{Q^{{\text{ev}}}}(t),H\left( t \right),X\left( t \right)} \right] $，将Lyapunov函数构造如下：

(26)$ L\left( {{\boldsymbol{\varTheta}} (t)} \right) \;{\triangleq } \; \frac{1}{2}\left[\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {Q_n^2(t) + Z_n^2(t)} \right)} + {Q^{{\text{e}}{{\text{v}}^2}}}\left( t \right) + {H^2}\left( t \right)+{X^2}(t)\right] . $

一个时隙的Lyapunov漂移函数定义为

(27)$ \Delta L\left({\boldsymbol{\varTheta }}\left(t\right)\right) \;{\triangleq } \; E\left\{L\left({\boldsymbol{\varTheta}} \left(t+1\right)\right)-L\left({\boldsymbol{\varTheta}} \left(t\right)\right)\text{|}{\boldsymbol{\varTheta}} \left(t\right)\right\} . $

Lyapunov“漂移加惩罚”表达式为

(28)$ \left\{ {\Delta L ({\boldsymbol{\varTheta}} (t)) - V \times E\left(R\left( t \right)\left| {{\boldsymbol{\varTheta}} (t)} \right.\right)} \right\} $

式中：$ \Delta L \left( {{\boldsymbol{\varTheta}} \left( t \right)} \right) $反映了队列的积压情况；剩余项表示用户的收益情况，其中V为调节参数，用于调节队列稳定性和用户收益最大化之间的平衡. 同时最小化这2项可以在用户可容忍时延内满足需求和实现用户收益最大化，如引理2所示.

引理2　令$ M\left( t \right) = \dfrac{1}{\eta }\left[ {X\left( t \right) - {Q^{{\text{ev}}}}(t) - H(t)} \right] $，则对每个时隙t，“漂移加惩罚”函数满足：

(29)$ \begin{split}& \Delta L(\boldsymbol{\varTheta}(t)) - V \times E[R(t) \mid \boldsymbol{\varTheta}(t)] \leqslant I + [M({t}) + V {p}(t)]E\big\{g(t)^+ \mid \\&\qquad \boldsymbol{\varTheta}(t)\big\} - [M({t})+V \beta {p}(t)] E\left\{g(t)^- \mid \boldsymbol{\varTheta}(t)\right\} -\\&\qquad \left[\sum_{n=1}^N\left(Q_n(t)+Z_n(t)+M({t})\right)\right] E\left\{d_n(t) \mid \boldsymbol{\varTheta}(t)\right\} -\\&\qquad M({t}) E\{L(t) \mid \boldsymbol{\varTheta}(t)\} + M({t}) E\{e(t) \mid \boldsymbol{\varTheta}(t)\} + V C(t).\\[-5pt]\end{split} $

其中，

(30)$ \begin{split}I= & \sum_{n=1}^N\bigg[Q_{n, \max } a_{n, \max }+Z_{n, \max } \varepsilon_n +\\& \frac{\left(d_{n, \max }^2+a_{n, \max }^2\right)}{2}+\frac{\max \left(\varepsilon_n^2, d_{n, \max }^2\right)}{2}\bigg]+ \\& Q_{\max }^{\mathrm{ev}} a_{\max }^{\mathrm{ev}}+H_{\max } \varepsilon^{\mathrm{ev}}+\frac{\left({b}_{\max }^2+a_{\max }^{\mathrm{ev}^2}\right)}{2} +\\& \frac{\max \left(\varepsilon^{\mathrm{ev}^2}, b_{\max }^2\right)}{2}+\frac{1}{2} {b}_{\max }.\end{split} $

引理2的证明参考Lyapunov优化理论^[19].

最小化每个时隙的“漂移加惩罚”函数等效于最小化每个时隙的不等式（式(29)）右侧. 除去与决策变量$ \left[ {{d_n}\left( t \right),{E^{{\text{ev}}}}\left( t \right),g\left( t \right)} \right] $的无关项，问题P1可以转化为问题P2.

(31)$ \begin{split}\mathrm{P} 2: \min _{d_n(t), E^{{\mathrm{ev}}}(t), g(t)} & :[M(t)+V {p}(t)] g(t)^+ -\\& [M(t)+V \beta {p}(t)] g(t)^-- \\& \sum_{n=1}^N\left[Q_n(t)+Z_n(t)+M(t)\right] d_n(t); \\\text { s.t. } & \quad \text { 式 }(3)、(6)、(12)、(13).\end{split} $

对式(31)的求解，所提算法如下.

算法1　家庭能量管理优化调度算法

1. 初始化：$\small{p_{\max }}$,$\small{b_{\max }}$,$\small {d_{n,\max }} $,$ \small{\varepsilon _n} $,$ \small{\varepsilon ^{{\text{ev}}}} $,$\small{Q_n}(1) = 0$,$\small{Z_n}(1) = 0$,$\small{Q^{{\text{ev}}}}(1) = 0$,$\small{H(1) = 0}$,$\small{B(1)}$,$\small{V}$,$\small{T}$,$\small{N}$，用户收益$\small{{\mathrm{sum}}\;R = 0}$

2. for t = 1:1:T

观测系统状态

B(t), e(t), p(t),Q_n(t), Z_n(t), a_n(t), Q^ev(t), H(t), a^ev(t)

计算$\small{X\left( t \right)}$

线性规划求解式(31)

求得$\small{t}$时隙最佳决策变量$\small{ \left[ {{d_n}\left( t \right),{E^{{\text{ev}}}}\left( t \right),g\left( t \right)} \right] }$

根据式(16)，累积用户收益$\small{{\mathrm{sum}}\;R = {\mathrm{sum}}\;R+R(t)}$

EV电池电量更新：$\small{B\left( {t+1} \right) = B\left( t \right) - b\left( t \right)}$

构造的变量更新：$\small{X\left( {t+1} \right) = X\left( t \right)+b\left( t \right)}$

根据式(2)更新EV实队列、式(21)更新EV虚拟队列：

for n = 1:1:N

根据式(1)更新电器实队列、式(20)更新电器虚拟队列

end

　end

由此可见，本研究基于Lyapunov优化理论提出的实时在线算法，只须观测系统当前状态就能做出最佳决策$ \left[ {{d_n}\left( t \right),{E^{{\text{ev}}}}\left( t \right),g\left( t \right)} \right] $，且不依赖于PV出力、电网时变电价、EV充电需求和电器电力需求的统计分布知识.

与动态规划(dynamic programming，DP)算法相比，理论上DP算法可以获得目标最优值，但其需要PV出力、电网时变电价以及电力需求等参数的先验信息. 然而，在实际中，这些系统参数受到各种因素的影响，其统计数据可能是非平稳的，有时候难以精确预测或获取这些参数的先验统计信息. 此外，当DP算法应用于高维度系统（例如具有多个队列的系统）时，会遇到维数灾难，其复杂度随着时隙个数的增加呈指数增长. 相比之下，所提算法不依赖于先验知识，仅根据系统当前状态就可以做出最优决策，更易于实现，复杂度较低.

定理1　假设在任意时隙$t \in \left\{ {0,1,2, \cdots ,T - 1} \right\}$上，存在常数$V$满足$0 \leqslant V \leqslant {V_{\max }}$，其中

(32)$ {V_{\max }} = \frac{{{B_{\max }} - 2{b_{\max }}}}{{{P_{\max }} - {P_{\min }}}} . $

式中：${P_{\min }}$为最小电价.

提出的算法具有以下性质.

性质1　在所有时隙t，队列${Q_n}\left( t \right)$,${Z_n}\left( t \right)$,${Q^{{\text{ev}}}}\left( t \right)$,$H\left( t \right)$都有上确界：

(33)$ {Q_n}\left( t \right) \leqslant V{P_{\max }}+{a_{n,\max }}, $

(34)$ {Z_n}\left( t \right) \leqslant V{P_{\max }}+{\varepsilon _n}, $

(35)$ {Q^{{\text{ev}}}}\left( t \right) \leqslant V{P_{\max }}+a_{\max }^{{\text{ev}}}, $

(36)$ H\left( t \right) \leqslant V{P_{\max }}+{\varepsilon ^{{\text{ev}}}}. $

性质2　队列中任何能量需求的最大时延为

(37)$ {T_{n,\max }} \;{\triangleq } \; \frac{{V{P_{\max }}+{a_{n,\max }}+{\varepsilon _n}}}{{{\varepsilon _n}}}, $

(38)$ T_{\max }^{{\text{ev}}} \;{\triangleq } \; \frac{{V{P_{\max }}+a_{\max }^{{\text{ev}}}+{\varepsilon ^{{\text{ev}}}}}}{{{\varepsilon ^{{\text{ev}}}}}} . $

性质3　队列$X(t)$在任意时隙t都有界，即

(39)$ - V{p_{\max }} - {b_{\max }} \leqslant X(t) \leqslant {B_{\max }} - V{p_{\max }} - {b_{\max }} . $

性质4　所提算法的时间平均预期收益在最优值$ {R^*} $的$ I/V $范围内，即

(40)$ \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 1}^T {E[} R\left( t \right)] \geqslant {R^{\text{*}}} - \frac{I}{V} . $

定理1的证明参考Lyapunov优化理论^[19].

由性质1，队列${Q_n}\left( t \right)$、${Z_n}\left( t \right)$、${Q^{{\text{ev}}}}\left( t \right)$、$H\left( t \right)$在任意时隙都有上确界，因此队列积压不会无限增大，这满足了约束（式(18)）. 性质2和性质4表明，参数$V$越大，电器电力需求和EV充电需求可容忍的最大时延都随之增大，用户收益无限趋近于最优值$ {R^*} $，因此，通过合理调节控制参数$V$的大小，可以在满足用户时延要求的同时实现用户收益的最大化. 性质3表明EV充/放电决策$b(t)$的合理性，确保EV电池电量始终满足约束（式(10)）.

为了验证所提算法的有效性，基于MATLAB平台进行仿真验证. 根据前述分析，所提算法性能不受PV发电、电力需求及电价概率分布的影响. 为了便于演示仿真结果，假设电器电力需求服从正态分布，实际应用中，该算法对其他统计分布同样适用. 根据市场调研数据，智能电网时变电价波动范围设定为0.5~2.0元. 仿真时隙间隔$ \Delta t $设置为15 min，研究时长为10 d，共960个时隙，具体参数设置见表1. PV发电数据来自Zenodo开放数据集^[20]，如图2所示.

选择Zenodo开放数据集^[20]中某位EV用户的EV参数和驾驶活动，具体数据见表2. 工作日周一到周五期间，用户早上8点出门时，EV电池电量至少为80%，晚上7点回到家；周末全天在家.

基于所提算法的家庭能量管理优化结果如图3所示. 图3(a)为周末情景，此时EV全天在家. 当PV发电量超过家庭用电时（如时隙530），算法会将余电存入EV电池，以备后续使用或在电价高峰时段出售给电网（如时隙532），从而获取收益. 当PV发电无法满足家庭用电时，EV放电以补足需求（如时隙550），若EV处于低荷电状态（如时隙552），则从电网购电，一部分供应家庭用电，另一部分存入EV电池，确保家庭能源的连续供应. 图3(b)为工作日情景，EV在白天出行. 在PV发电高峰时段（如时隙48~60），算法仅使用PV电力，减少对电网的依赖. 在PV发电不足时（如时隙38和64），算法通过优化从电网购电和家电使用，提高能效和经济效益.

如图4、5所示分别给出了不同时段EV充放电、家庭与电网之间的电力交易与电网电价之间的关系. 其中，b为充/放电能量，p为电网电价. 可以看出，HEMS主要在电价低谷时段（如时隙490和520）安排EV充电，并根据实时电价从电网购电以减少电费；在电价高峰时段（如时隙525和550），则通过EV放电支持家庭用电，避免在电价高峰时购电，并将满足需求后的余电出售给电网. 通过本研究算法，用户能够更加灵活地响应电网电价的变化，实现经济效益的最大化.

为了验证所提算法在能量分配方面的合理性，如图6所示给出了随机20个时隙（518~537）内不同电器队列积压情况与能量分配结果. 在积压量较高的时隙，如时隙520，电器3的积压量较高，须分配尽可能多的能量，而此时PV发电量不足且电价较低，HEMS从电网购电以满足用电需求. 在积压量适中的时隙，如时隙532，HEMS按照队列顺序，优先为积压量最高的电器3分配尽可能多的能量，然后将剩余的PV能量依次分配给积压量较小的电器1和电器2. 在队列积压量较小的时隙，如时隙537，HEMS在为积压量较高的电器3分配最大可能的能量后仍有剩余，此时电价较高且EV电量充足，HEMS选择将多余的电量出售给电网以实现收益，对于积压量较小的电器1和电器2，则仅分配其所需的最小能量，从而在满足家庭电力需求的同时，提高经济效益.

为了验证所提算法的经济性，如图7所示给出了5种不同算法下用户10 d累计收益的情况. 其中文献[17]提出的算法没有计及EV放电；“最后期限满足”算法是指在电器的可容忍期限内只使用PV发电来满足需求；“即时满足”算法则要求用户的能量需求立即得到满足. 由图7可知，本研究算法下用户的收益最高，并且随着时间的推移，与其他算法的收益差距逐渐拉大. 在第10 d时，本研究算法的收益比其他4种算法的收益分别高出约41.66、85.52、132.79、 167.72元. 本研究算法能够更有效地响应电价波动，实现低成本购电和高峰时段的售电，利用价格差实现收益.

为了充分验证本研究算法的普适性，引入基于实际数据的PV发电量，设置晴朗、多云、雨天3种天气条件下的PV出力均值分别为0.678、0.475、0.226 kW·h，基于4种算法的用户10 d累计收益对比如图8所示. 结果表明，本研究算法在3种情况下均实现了最高的收益值，不依赖于PV出力的概率分布，能够更好地应对PV发电的波动性.

在家庭能量管理中，PV消纳率反映了PV发电量在家庭总能耗中的占比. 如图9所示对比了使用本研究算法优化前、后的PV发电就地消纳量. 由于PV发电量超过用户需求时，HEMS会将过剩电力出售给电网，而非全部自用，因此PV发电量与就地消纳量之间存在一定的差距. 结果显示，通过本研究算法优化后，PV发电与就地消纳量之间的差距有所减少，PV就地消纳率提升至81.06%，减少了能源浪费.

为了进一步评估对用户需求等待时延的影响，将本研究算法与“最后期限满足”算法下，3种不同电器负载队列和EV充电队列的时延情况进行比较. 3种电器负载队列的最大时延分别设置为8、11、14个时隙，EV充电队列的最大时延设置为10个时隙. 2种算法下的平均时延$ \bar t_{\mathrm{d}}$如表3所示. 可以看到，与“最后期限满足”算法相比，本研究提出的算法将电器需求的平均时延减少了约60.14%，EV需求的平均时延减少了约56.316%，凸显了本研究算法在及时响应用户需求方面的高效性，有效缩短了用户的等待时间.

针对HEMS运行环境中的不确定性，本研究提出充分利用EV移动储能特性，结合PV发电随机性和智能电器用电灵活性的智能家庭能量管理优化策略，并对家庭内各类资源进行建模. 在此基础上，设计基于改进的Lyapunov优化理论的实时能量调度算法. 理论分析表明，该算法不依赖于PV发电和电力需求的统计分布，通过实时调度智能地响应电价波动和家庭能源需求变化，能在满足家庭电力和时延需求的前提下，实现用户收益最大化的目标. 仿真结果表明，所提算法在不同设置条件下均能实现较高的经济效益，能够就地最大化利用PV发电和EV储能，提高家庭用户PV消纳，与现有算法相比，有效降低电力需求的等待时延. 本研究聚焦于单用户家庭模型的构建与优化，能够为社区级用户模型的拓展奠定重要基础，未来将致力于研究社区级多用户协同的能量管理模型，以实现更广泛场景下的应用价值.