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图 1 精英协同进化的蜉蝣算法的重力系数曲线

Fig.1 Gravity coefficient curve of elite coevolutionary mayfly algorithm

2.3. 引入莱维飞行的跳出策略

为了增加蜉蝣种群的多样性，避免算法陷入局部最优无法逃逸，引入莱维飞行策略.诸多研究者将莱维飞行策略用于群智能算法优化. 梁田等^[19]在粒子群优化算法中引入莱维飞行策略，避免算法的早熟收敛. 邓佳欣等^[20]在金鹰优化算法中引入莱维飞行策略，对金鹰的位置更新进行扰动，避免算法陷入局部最优. 欧云等^[21]将莱维飞行策略引入到灰狼优化算法，当α狼连续n代位置无更新时，利用莱维飞行策略帮助灰狼优化算法跳出局部最优. 莱维飞行的步长计算式为

(20)$ {\text{Levy}}\left( \alpha \right) = 0.05 \cdot \frac{x}{{|y{|^{1/\alpha }}}}. $

式中：$\alpha = 1.5$，$x$、$y$均服从正态分布：

(21)$ \begin{split}& x\sim \text{N}\left(0,{\sigma }_{x}\right)\text{，}y\sim \text{N}\left(0,{\sigma }_{y}\right);\\&\qquad\;\; {\sigma }_{x}=\left[\dfrac{\varGamma \left(1+\alpha \right)\mathrm{sin}\left({{\text{π}} \alpha }/{2}\right)}{\varGamma \left({(1+\alpha )}/{2}\right)\cdot \alpha \cdot {2}^{{(\alpha -1)}/{2}}}\right]^{1/\alpha}\text{，}\text{ }{\sigma }_{y}=1.\end{split} $

式中：$\varGamma $为Gamma函数. 为了提高算法的搜索效率，每只蜉蝣有1次择优选择的机会，即采用贪心算法原则，比较变异后与变异前的蜉蝣个体适应度值，选择较优的个体作为最终的更新位置. 雄性和雌性蜉蝣的位置更新分别为

(22)$ \begin{array}{l} {x}_{i}^{t}=\text{Levy}\otimes {x}_{i}^{t}，{y}_{i}^{t}=\text{Levy}\otimes {y}_{i}^{t}.\end{array} $

2.4. 基于精英协同进化的蜉蝣算法步骤

基于MA改进策略的ECMA流程图如图2所示.

图 2

图 2 精英协同进化的蜉蝣算法流程图

Fig.2 Flow chart of elite coevolutionary mayfly algorithm

2.5. 时间复杂度分析

假设种群大小为$N$，精英个体数为$K$，空间维度为$d$，最大迭代次数为$T$，参数初始化的时间为${t_1}$，分布到每一维的时间为${t_2}$，求解适应度的时间为$f\left( d \right)$，MA初始化阶段的时间复杂度为

(23)$ {T_1} = O\left( {{t_1}+N\left( {f\left( d \right)+d \cdot {t_2}} \right)} \right). $

假设雄性蜉蝣和雌性蜉蝣在每一维度上位置更新所需时间均为${t_3}$，它们交配产生子代蜉蝣所需时间为${t_4}$，该阶段时间复杂度为

(24)$ {T_2} = O\left( {N\left( {d \cdot {t_3}+f\left( d \right)+{t_4}} \right)} \right). $

子代种群变异所需的时间为${t_5}$，比较种群适应度值和择优更新时间分别为${t_6}$、${t_7}$，该阶段的时间复杂度为

(25)$ {T_3} = O\left( {N\left( {d \cdot {t_5}+f\left( d \right)+{t_6}} \right)+{t_7}} \right). $

定义iter_max为迭代次数，MA的时间复杂度为

(26)$ \begin{split} T = & {T_1}+{\mathrm{ite}}{{\mathrm{r}}_{\max }}\left( {{T_2}+{T_3}} \right) = \\& O\left( {d+f\left( d \right)+{\mathrm{ite}}{{\mathrm{r}}_{\max }}\left( {d+f\left( d \right)} \right)} \right). \end{split} $

在ECMA中，精英、普通蜉蝣协同进化的策略中增加了计算精英个体的权重时间${t_8}$，其他的策略中不含随迭代变化的变量，因此不增加算法的时间复杂度. 引入自适应重力系数策略增加了计算自适应重力系数的时间${t_9}$；引入莱维飞行的跳出策略的时间为$d \cdot {t_{10}}$，依据贪心原则择优时间为${t_{11}}$，该阶段增加的时间复杂度为

(27)$ {T_4} = O\left( {K \cdot {t_8}} \right)+O\left( {{t_9}} \right)+O\left( {N\left( {f\left( d \right)+d{t_{10}}} \right)+{t_{11}}} \right). $

ECMA的时间复杂度为

(28)$ \begin{split} T' =& {T_1}+{\mathrm{ite}}{{\mathrm{r}}_{\max }}\left( {{T_2}+{T_3}+{T_4}} \right)= \\ & O\left( {{t_1}+N\left( {f\left( d \right)+d \cdot {t_2}} \right)} \right){\text+} \\& O\left( {{\mathrm{ite}}{{\mathrm{r}}_{\max }}\left( {N\left( {\left( {{t_3}+{t_5}+{t_{10}}} \right)d+3f\left( d \right)+{t_4}+{t_6}} \right)} \right)} \right){\text+} \\& O\left( {{\text{ite}}{{\text{r}}_{\max }}\left( {K{t_8}+{t_7}+{t_9}+{t_{11}}} \right)} \right)= \\ & O\left( {d+f\left( d \right)+{\mathrm{ite}}{{\mathrm{r}}_{\max }}\left( {d+f\left( d \right)} \right)} \right){\text{ = }}T. \\[-2pt]\end{split} $

可以看出，ECMA没有增加MA的时间复杂度.

3. 实验结果与仿真实验

仿真实验在Intel(R) Core(TM) i7-8550U CPU @ 1.80 GHz 2.00 GHz，8 GB 内存配置的平台进行，使用 Windows 10 操作系统，仿真软件为Matlab R2021a. 选取20个具有不同特征的基准测试函数进行ECMA的寻优性能验证，函数分为单峰和多峰2个类型，函数的详细信息如表1所示.

表 1 基准测试函数

Tab.1 Benchmark function

类型	编号	名称	维度	取值范围	最优值
单峰函数	F1	sphere	30	[−100,100]	0
	F2	Schwefel’s problem 2.22	30	[10,10]	0
	F3	Schwefel’s problem 1.2	30	[−100,100]	0
	F4	Schwefel’s problem 2.21	30	[−100,100]	0
	F5	generalized Rosenbrock’s function	30	[−30,30]	0
	F6	Step function	30	[−100,100]	0
	F7	Quartic function	30	[−1.28,1.28]	0
多峰函数	F8	generalized Schwefel’s problem 2.26	30	[−500,500]	−418.9829d
	F9	generalized Rastrigin’s function	30	[−5.12,5.12]	0
	F10	Ackley’s function	30	[−32,32]	0
	F11	generalized Griewank function	30	[−600,600]	0
	F12	generalized penalized function	30	[−50,50]	0
	F13	generalized penalized function	30	[−50,50]	0
	F14	Shekel’s foxholes function	2	[−65,65]	1
	F15	Kowalik’s function	4	[–5,5]	0.00030
	F16	six-hump camel-back function	2	[−5,5]	−1.0316
	F17	Branin function	2	[−5,5]	0.398
	F18	Goldstein-Price function	2	[−2,2]	3
	F19	Hartman’s function	3	[1,3]	−3.86
	F20	Shekel’s family	4	[0,10]	−10.1532

3.1. 参数灵敏度分析

ECMA受$ {R_{\max }} $、$ {R_{\min }} $的影响，为此开展参数灵敏度分析. $ {R_{\max }} $、$ {R_{\min }} $分别决定迭代前期和后期的精英个体比例，为了提高算法的前期的探索能力和后期的开发能力，精英比例应该随着迭代次数的增加而不断减小. 设置$ \left[ {{R_{\min }},{R_{\max }}} \right] $的取值集合为{[0.40,0.80], [0.40,0.75], [0.40,0.70], [0.40,0.65], [0.40,0.60], [0.35,0.80], ···, [0,0.70], [0,0.65], [0,0.60]}，集合包含45组取值. 对于每组取值，计算在20个基准测试函数上最优解的平均排名和得分$ S $（$ S $=45−平均排名），设置最大迭代次数为500，种群规模为40. 如图3所示，不同组合的得分以三维直方图的形式呈现，性能越好，直方图越高. 由图可知，参数取值为[0.05, 0.60]时的直方图最高，因此取$ {R_{\max }} $=0.60、$ {R_{\min }} $=0.05.

图 3

图 3 不同参数组合的性能呈现

Fig.3 Performance presentation of different parameter combinations

3.2. 消融实验分析

设计消融实验检验3个改进策略的算法提升效果. 引入精英协同进化策略的MA记为EMA，引入新的自适应重力系数对种群个体进行调节的MA记为GMA，引入莱维飞行策略的MA记为LMA. 在20个基准测试函数上进行MA、EMA、GMA、LMA和ECMA的对比实验，所有算法的最大迭代次数均为1 000，种群规模为40（雌雄蜉蝣各20），MA的其他初始参数取值分别为$w = 0.8$，${a_1} = 1$，${a_2} = 1.5$，$\beta = 2$，$d = 5$，${f_{\text{l}}} = 1$，${d_{{\text{d}}}} = 0.8$，${f_{{\text{d}}}} = 0.99$.

5种算法在各测试函数独立运行30次的平均值排名$ {r_{{\text{avg}}}} $如图4所示. 可以看出，ECMA在15个测试函数中排名第一，说明3个改进策略结合的效果比单个策略的效果好；在函数F5、F6和F12中，LMA排名第一，说明引入莱维飞行策略能够提升MA跳出局部最优的能力. 综上所述，相较而言，单个改进策略提高算法寻优性能的效果有限，多个策略结合能够有效地提升算法的性能.

图 4

图 4 不同改进策略的蜉蝣算法在基准测试函数上的均值排名

Fig.4 Mean ranking of mayfly algorithms with different improvement in benchmark test function

3.3. 与典型的群智能算法对比

除ECMA和MA外，参与对比的群智能优化算法包括鲸鱼优化算法^[22]（WOA）、灰狼优化算法^[23]（GWO）、粒子群优化算法^[24]（PSO）和正余弦优化算法^[25]（SCA）. 其中ECMA的初始参数取值分别为$ c = 1.494\;45 $，$ {w_{\max }} = 0.8 $，$ {w_{\min }} = 0.1 $，$ {R_{\max }} = 0.6 $，$ {R_{\min }} = 0.05 $，其他参数设置与MA相同. 参与对比的算法均使用原文推荐参数进行测试.

3.3.1. 寻优精度分析

参与对比的算法在20个测试函数独立运行30次的平均值avg和标准差std如表2所示. 在参与对比的算法中，ECMA有15个测试函数的结果排名第一，有17个测试函数的结果排名前三（除F6、F13和F18外），有7个测试函数的结果最佳，平均排名为1.75，优于其他算法.

表 2 不同群智能算法在基准测试函数上的优化结果

Tab.2 Optimization results of different swarm intelligence algorithms in benchmark test functions

算法	函数	avg	std	函数	avg	std	函数	avg	std	函数	avg	std
ECMA	F1	0	0	F2	0	0	F3	0	0	F4	0	0
MA		7.02×10⁻¹⁹	2.33×10⁻¹⁸		1.24×10⁻⁹	2.41×10⁻⁹		2.49×10⁻⁶	2.56×10⁻⁶		5.21×10⁻¹	1.89×10⁻¹
WOA		8.76×10⁻¹⁴⁸	4.79×10⁻¹⁴⁷		2.97×10⁻¹⁰⁴	1.07×10⁻¹⁰³		2.27×10⁴	1.01×10⁴		3.69×10¹	2.94×10¹
GWO		1.53×10⁻⁵⁸	5.75×10⁻⁵⁸		1.32×10⁻³⁴	1.69×10⁻³⁴		2.34×10⁻¹⁴	1.13×10⁻¹³		1.29×10⁻¹⁴	1.88×10⁻¹⁴
PSO		1.18×10⁻⁸	5.87×10⁻⁸		9.27×10⁻²	1.41×10⁻¹		4.97×10¹	2.47×10²		5.92×10⁻¹	3.59×10⁻¹
SCA		1.48×10⁻²	3.46×10⁻²		1.78×10⁻⁵	3.54×10⁻⁵		3.77×10³	2.98×10³		1.91×10¹	1.19×10¹
ECMA	F5	2.70×10¹	8.15×10⁻¹	F6	2.00×10⁻¹	2.19×10⁻¹	F7	4.55×10⁻⁵	3.63×10⁻⁵	F8	−9.30×10³	5.33×10²
MA		2.92×10¹	2.15×10¹		3.26×10⁻¹⁹	8.91×10⁻¹⁹		1.26×10⁻²	4.86×10⁻³		−9.55×10³	5.45×10²
WOA		2.72×10¹	5.32×10⁻¹		8.79×10⁻²	1.08×10⁻¹		2.34×10⁻³	2.79×10⁻³		−1.15×10⁴	1.46×10³
GWO		2.70×10¹	8.14×10⁻¹		7.25×10⁻¹	4.22×10⁻¹		8.04×10⁻⁴	4.37×10⁻⁴		−5.89×10³	9.99×10²
PSO		4.55×10¹	3.99×10¹		7.95×10⁻⁷	3.62×10⁻⁶		1.86×10⁻²	8.72×10⁻³		−6.33×10³	8.90×10²
SCA		8.95×10²	1.64×10³		4.71	6.51×10⁻¹		4.75×10⁻²	6.90×10⁻²		−3.93×10³	2.86×10²
ECMA	F9	0	0	F10	8.88×10⁻¹⁶	0	F11	0	0	F12	7.58×10⁻³	6.35×10⁻³
MA		8.69	4.32		1.97	3.77×10⁻¹		1.19×10⁻²	1.06×10⁻²		4.15×10⁻²	5.84×10⁻²
WOA		0	0		3.02×10⁻¹⁵	2.40×10⁻¹⁵		1.65×10⁻³	9.03×10⁻³		8.25×10⁻³	1.16×10⁻²
GWO		5.46×10⁻¹	1.82		1.60×10⁻¹⁴	3.22×10⁻¹⁵		3.50×10⁻³	6.81×10⁻³		3.95×10⁻²	2.44×10⁻²
PSO		5.38×10¹	1.48×10¹		1.25	8.51×10⁻¹		4.37×10⁻²	3.78×10⁻²		1.56×10⁻¹	2.53×10⁻¹
SCA		1.56×10¹	2.12×10¹		1.24×10¹	9.59		2.32×10⁻¹	2.23×10⁻¹		3.55	5.65
ECMA	F13	2.15	2.80×10⁻¹	F14	9.98×10⁻¹	5.39×10⁻¹⁰	F15	3.16×10⁻⁴	3.84×10⁻⁵	F16	−1.03	6.45×10⁻¹⁶
MA		2.54×10⁻²	5.74×10⁻²		9.98×10⁻¹	4.12×10⁻¹⁷		9.76×10⁻⁴	3.66×10⁻³		−1.03	6.58×10⁻¹⁶
WOA		2.11×10⁻¹	1.64×10⁻¹		1.82	1.89		6.26×10⁻⁴	3.07×10⁻⁴		−1.03	6.29×10⁻¹¹
GWO		4.93×10⁻¹	1.77×10⁻¹		4.91	4.57		3.06×10⁻³	6.91×10⁻³		−1.03	5.61×10⁻⁹
PSO		1.22×10⁻¹	3.10×10⁻¹		4.63	3.50		1.07×10⁻³	3.66×10⁻³		−1.03	6.78×10⁻¹⁶
SCA		2.47×10³	8.76×10³		1.53	8.92×10⁻¹		9.50×10⁻⁴	3.46×10⁻⁴		−1.03	2.56×10⁻⁵
ECMA	F17	3.98×10⁻¹	0	F18	3.00	2.03×10⁻³	F19	−3.86	2.68×10⁻¹⁵	F20	−3.31	3.63×10⁻²
MA		3.98×10⁻¹	0		3.00	1.14×10⁻¹⁵		−3.86	2.71×10⁻¹⁵		−3.29	5.35×10⁻²
WOA		3.98×10⁻¹	2.20×10⁻⁶		3.00	1.97×10⁻⁵		−3.86	2.77×10⁻³		−3.24	1.18×10⁻¹
GWO		3.98×10⁻¹	9.06×10⁻⁷		3.00	1.23×10⁻⁵		−3.86	2.40×10⁻³		−3.24	9.24×10⁻²
PSO		3.98×10⁻¹	0		3.00	1.08×10⁻¹⁵		−3.86	2.71×10⁻¹⁵		−3.27	5.99×10⁻²
SCA		3.98×10⁻¹	1.31×10⁻³		3.00	2.62×10⁻⁵		−3.85	1.40×10⁻³		−3.04	1.02×10⁻¹

从基准测试函数类型上进行具体分析. 1）在单峰函数方面，ECMA在F1~F4中均收敛到最优值0，WOA在F1和F2中也有较好的寻优精度，平均寻优精度超过10⁻¹⁰⁰，其他算法的寻优精度较差. ECMA在F5和F7中的30次迭代平均值优于其他算法. ECMA在F6中的寻优效果比其他算法略差，原因是精英协同进化策略在一定程度上增加了MA的运算量，影响了算法的收敛速度. ECMA的均值和标准差与除MA以外的其他算法整体相差不大，且在部分指标中ECMA优于其他算法. 2）在多峰函数方面，ECMA在F8和F13中的寻优效果略差，原因是ECMA须进行适应度比较，增加了运算量，导致优化性能下降. ECMA在F9和F11中寻找到最优值0，WOA也在F9中寻找到最优值0，其他算法的寻优效果较差. ECMA在F10、F12、F15和F20中获得最佳性能，通过30次的迭代得到的平均值和标准差均优于其他算法. MA和PSO在F14和F18中获得最佳性能，但ECMA的平均寻优精度与这2个算法相同，只是稳定性略差. 所有算法在F16和F19中的平均寻优精度相似，但ECMA的标准差较小，这说明ECMA的鲁棒性更好；ECMA、MA和PSO在F17中的寻优效果相似.

3.3.2. 收敛曲线分析

绘制不同群智能优化算法在各测试函数中的迭代收敛曲线，部分收敛曲线图如图5所示，其中$ {f_{{\text{b}}}} $为算法迭代过程中的最优值. 可以看出，ECMA在收敛精度和速度上优于其他算法. 图5（a）~图5（d）中，ECMA以极快的速度收敛于最优值，说明所提策略极大地提高了MA的收敛精度和收敛速度. 图5（e）中，ECMA虽未取得最优值，但是与其他算法整体相差不大，且ECMA比其他算法的收敛速度快. 图5（f）和图5（h）中，ECMA的收敛精度明显比其他算法的高，并出现多处转折点，说明所提改进策略有助于MA跳出局部最优. 图5（g）和图5（i）中，GWO和WOA虽然与ECMA均在F11中收敛于最优值0，但是ECMA的收敛速度明显比这2种算法快.

图 5

图 5 不同算法在基准测试中数上的收敛效果对比图

Fig.5 Convergence comparison effect of different algorithms in benchmark test function

3.4. 求解高维函数的实验分析

改进策略在处理较为复杂的现实问题时通常会陷入“维数灾难”，为了更好测试ECMA的高维适应性，在500维和1000维上进行MA和ECMA的对比实验，参数设置同前述实验. F3在高维上运行时间过长，ECMA在F6、F8和F13中的表现比MA差或相似，此外F14~F20为低维函数，因此选择9个基准测试函数作为实验函数，MA和ECMA在实验函数上独立运行30次后的平均值和标准差如表3所示，其中NaN表示算法在此维度上无法收敛. 可以看出，ECMA在各个维度上寻优精度均优于MA. 对于除F9和F11以外的函数，ECMA在高维上的寻优效果和在低维上的基本一致，说明ECMA处理高维函数问题的性能较好；对于F9和F11，ECMA 30次寻优中的平均值和标准差均优于MA，说明所提改进策略有利于提高MA的收敛精度. 实验结果表明，ECMA的高维度问题处理适用性和寻优性能较好，可以有效处理现实生活中复杂的高维问题.

表 3 2种蜉蝣算法在高维基准测试函数上的对比结果

Tab.3 Comparison results of two mayfly algorithms in high-dimension benchmark test functions

函数	维度	avg		std
函数	维度	MA	ECMA	MA	ECMA
F1	500	2.41×10²	7.85×10⁻²⁶⁷	2.87×10¹	0
F1	1000	7.95×10³	1.20×10⁻²⁴⁸	9.83×10²	0
F2	500	9.36×10¹	1.17×10⁻¹⁷⁴	8.15	0
F2	1000	NaN	3.80×10⁻¹³⁶	NaN	2.08×10⁻¹³⁵
F4	500	2.96×10¹	1.11×10⁻¹⁴²	2.27	6.08×10⁻¹⁴²
F4	1000	3.36×10¹	5.35	1.72	1.25×10¹
F5	500	2.69×10⁴	4.98×10²	3.34×10³	3.16×10⁻¹
F5	1000	6.66×10⁵	9.98×10²	7.57×10⁴	3.08×10⁻¹
F7	500	1.25×10²	1.13×10⁻⁴	1.87×10¹	1.22×10⁻⁴
F7	1000	1.21×10²	8.66×10⁻⁵	1.30×10¹	8.15×10⁻⁵
F9	500	4.88×10²	1.65	3.32×10¹	3.05
F9	1000	2.05×10³	3.63	1.47×10²	4.66
F10	500	1.06×10¹	2.19×10⁻¹⁵	3.45×10⁻¹	1.74×10⁻¹⁵
F10	1000	1.19×10¹	3.49×10⁻¹⁵	3.23×10⁻¹	1.60×10⁻¹⁵
F11	500	2.31×10²	1.04×10⁻¹	3.88×10¹	3.23×10⁻¹
F11	1000	8.25×10²	3.93	1.48×10²	4.96
F12	500	2.73×10¹	8.25×10⁻¹	3.64	8.02×10⁻²
F12	1000	2.71×10¹	8.30×10⁻¹	4.72	7.58×10⁻²

3.5. 复杂问题处理能力验证

选取CEC2019测试函数^[26]进行ECMA复杂问题处理能力验证实验. CEC2019测试函数集包括10个单目标测试函数F21~F30，具有复杂的空间特征，函数的理论最优值均为1. 依然选取MA、WOA、GWO、PSO和SCA作为对比算法，设置最大迭代次数为500，种群规模为30，其他参数设置同前述实验，独立运行30次并记录结果如表4所示. 可以看出，ECMA在F21、F22、F27和F30中的平均值和标准差均优于其他算法，体现了ECMA的优越性；ECMA在F26和F28中的平均值优于其他算法，说明ECMA寻优性能较好；ECMA在F23中的标准差不如其他算法，但平均值与其他算法相同；ECMA在F24、F25和F29中没有取得各个指标排名的首位，原因是ECMA引入的莱维飞行策略会在帮助算法跳出局部最优的同时降低了算法的局部搜索能力，导致优化性能下降，但是与MA相比，ECMA在F24和F25中的均值和方差仍有提升.

表 4 不同群智能算法在CEC2019函数上的优化结果

Tab.4 Optimization results of different swarm intelligence algorithms in CEC2019 function

算法	函数	avg	std	函数	avg	std
ECMA	F21	5.11×10⁴	6.92×10³	F22	1.72×10¹	6.60×10^-2
MA		2.32×10¹⁰	3.95×10¹⁰		2.08×10¹	1.10×10¹
WOA		5.74×10¹⁰	4.70×10¹⁰		1.74×10¹	6.19×10⁻³
GWO		1.07×10⁸	1.51×10⁸		1.73×10¹	1.40×10⁻⁴
PSO		8.04×10¹²	8.20×10¹¹		1.23×10⁴	3.02×10³
SCA		4.61×10⁹	4.22×10⁹		1.75×10¹	4.61×10⁻²
ECMA	F23	1.27×10¹	1.22×10^-10	F24	2.33×10²	1.01×10²
MA		1.27×10¹	3.61×10^-15		3.06×10²	1.19×10²
WOA		1.27×10¹	7.43×10⁻⁷		5.89×10²	2.83×10²
GWO		1.27×10¹	1.79×10⁻⁶		5.40×10¹	2.22×10¹
PSO		1.27×10¹	0		2.33×10¹	1.04×10¹
SCA		1.27×10¹	8.14×10⁻⁵		1.98×10³	9.63×10²
ECMA	F25	1.66	4.35×10⁻¹	F26	8.06	1.56
MA		1.69	4.44×10⁻¹		8.71	2.40
WOA		1.76	2.43×10^-1		9.64	1.15
GWO		2.39	1.97×10⁻¹		1.16×10¹	2.40×10⁻¹
PSO		1.48	1.59×10⁻¹		9.98	9.32×10⁻¹
SCA		2.34	1.87×10⁻¹		1.11×10¹	7.51×10⁻¹
ECMA	F27	2.40×10²	1.10×10²	F28	4.77	6.09×10⁻¹
MA		2.63×10²	1.53×10²		4.82	8.00×10⁻¹
WOA		8.06×10²	2.53×10²		5.93	4.82×10^-1
GWO		3.53×10²	2.29×10²		6.18	4.47×10^-1
PSO		5.03×10²	3.33×10²		5.23	1.05
SCA		8.50×10²	2.24×10²		5.02	8.29×10^-1
ECMA	F29	4.04	5.49×10⁻¹	F30	1.96×10¹	2.59
MA		2.40	2.30×10⁻¹		1.98×10¹	2.62
WOA		4.83	9.21×10⁻¹		2.03×10¹	1.02×10⁻¹
GWO		1.12×10²	9.35×10¹		2.05×10¹	4.52×10⁻²
PSO		4.40	7.46×10⁻¹		2.04×10¹	2.02×10⁻¹
SCA		2.39	3.16×10⁻²		2.05×10¹	5.89×10⁻²

4. 结　语

针对蜉蝣算法收敛精度低、收敛速度慢和易陷入局部最优无法逃逸等问题，本研究提出精英协同进化的蜉蝣算法. 所提算法根据适应度将雄性蜉蝣种群分为精英种群和普通种群，针对种群设置不同的学习样本.根据婚姻市场理论设计雌性蜉蝣的速度更新方式，在保持种群的多样性的同时，保证了算法的全局搜索能力和局部开发能力. 引入新的自适应重力系数，平衡算法的探索与开发；引入莱维飞行策略，帮助种群从局部最优区域逃逸并向其他方向扩散. 为了评估所提算法的有效性，采用20个基准测试函数和CEC2019测试函数进行多个群智能优化算法的对比实验. 实验结果表明，在参与对比的算法中，所提算法的整体表现优异. 后续将以多目标复杂问题的求解为研究重心，进一步完善算法机理，例如在精英种群和普通种群的划分机制方面，通过添加其他属性来综合评估个体的当前状态，使精英个体和普通个体在搜索过程中承担更为合理的角色.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

ZERVOUDASKIS K, TSAFARAKIS S

A mayfly optimization algorithm

[J]. Computers and Industrial Engineering, 2020, 145: 106559

DOI:10.1016/j.cie.2020.106559 [本文引用: 1]

[2]

蒋宇飞, 许贤泽, 徐逢秋, 等. 多策略融合改进的自适应蜉蝣算法[EB/OL]. (2022-10-10)[2023-05-30]. https://doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2022.0492.

[3]

王义, 张达敏, 张琳娜, 等

基于黄金正弦与自适应融合的蜉蝣优化算法

[J]. 计算机应用研究, 2021, 38 (10): 3072- 3077

WANG Li, ZHANG Damin, ZHANG Linna, et al

Mayfly optimization algorithm based on gold sine and adaptive merge

[J]. Application Research of Computers, 2021, 38 (10): 3072- 3077

DOI:10.1016/j.engappai.2021.104418 [本文引用: 1]

[4]

LI L L, LOU J L, TSENG M L, et al

A hybrid dynamic economic environmental dispatch model for balancing operating costs and pollutant emissions in renewable energy: a novel improved mayfly algorithm

[J]. Expert Systems with Applications, 2022, 203: 117411

DOI:10.1016/j.eswa.2022.117411 [本文引用: 1]

[5]

GUO L, XU C, YU T, et al

An improved mayfly optimization algorithm based on median position and its application in the optimization of PID parameters of hydro-turbine governor

[J]. IEEE Access, 2022, 10: 36335- 36349

DOI:10.1109/ACCESS.2022.3160714 [本文引用: 1]

[6]

ZHAO S, WANG D

Elite-ordinary synergistic particle swarm optimization

[J]. Information Sciences, 2022, 609: 1567- 1587

DOI:10.1016/j.ins.2022.07.131 [本文引用: 2]

[7]

LIANG B, ZHAO Y, LI Y

A hybrid particle swarm optimization with crisscross learning strategy

[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2021, 105: 104418

[8]

LYNN N, SUGANTHAN P N

Heterogeneous comprehensive learning particle swarm optimization with enhanced exploration and exploitation

[J]. Swarm and Evolutionary Computation, 2015, 24: 11- 24

DOI:10.1016/j.swevo.2015.05.002 [本文引用: 1]

[9]

MENDES R, KENNEDY J, NEVES J

The fully informed particle swarm: simpler, maybe better

[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2004, 8 (3): 204- 210

DOI:10.1109/TEVC.2004.826074 [本文引用: 1]

[10]

GONG Y J, ZHANG J. Small-world particle swarm optimization with topology adaptation [C]// Proceedings of the 15th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation . [S. l.]: ACM, 2013: 25–32.

[11]

LI T, SHI J, DENG W, et al

Pyramid particle swarm optimization with novel strategies of competition and cooperation

[J]. Applied Soft Computing, 2022, 121: 108731

DOI:10.1016/j.asoc.2022.108731 [本文引用: 1]

[12]

LIN A, SUN W, YU H, et al

Global genetic learning particle swarm optimization with diversity enhancement by ring topology

[J]. Swarm and Evolutionary Computation, 2019, 44: 571- 583

DOI:10.1016/j.swevo.2018.07.002 [本文引用: 1]

[13]

BECKER G S

A theory of marriage: part I

[J]. Journal of Political Economy, 1973, 81 (4): 813- 846

DOI:10.1086/260084 [本文引用: 1]

[14]

陈博文, 邹海

总结性自适应变异的粒子群算法

[J]. 计算机工程与应用, 2022, 58 (8): 67- 75

CHEN Bowen, ZOU Hai

Self-conclusion and self-adaptive variation particle swarm optimization

[J]. Computer Engineering and Applications, 2022, 58 (8): 67- 75

[15]

SHI Y, EBERHART R. A modified particle swarm optimizer [C]// Proceedings of the IEEE International Conference on Evolutionary Computation . Anchorage: IEEE, 1998: 69-73.

[16]

季伟东, 徐浩天, 林平

自适应变异粒子群优化算法及在新冠肺炎疫情传播预测中的应用

[J]. 小型微型计算机系统, 2021, 42 (3): 472- 477

JI Weidong, XU Haotian, LIN Ping

Adaptive mutation particle swarm optimization and its application in predicting the COVID-19 epidemic transmission

[J]. Journal of Chinese Computer Systems, 2021, 42 (3): 472- 477

[17]

陈贵敏, 贾建援, 韩琪

粒子群优化算法的惯性权值递减策略研究

[J]. 西安交通大学学报, 2006, 40 (1): 53- 56

CHEN Guimin, JIA Jianyuan, HAN Qi

Study on the strategy of decreasing inertia weight in particle swarm optimization algorithm

[J]. Journal of Xi'an Jiaotong University, 2006, 40 (1): 53- 56

[18]

闫群民, 马瑞卿, 马永翔, 等

一种自适应模拟退火粒子群优化算法

[J]. 西安电子科技大学学报, 2021, 48 (4): 120- 127

YAN Qunmin, MA Ruiqing, MA Yongxiang, et al

Adaptives simulated annealing particles swarm optimization algorithm

[J]. Journal of Xidian University, 2021, 48 (4): 120- 127

[19]

梁田, 曹德欣

基于莱维飞行的改进简化粒子群算法

[J]. 计算机工程与应用, 2021, 57 (20): 188- 196

LIANG Tian, CAO Dexin

Improved and simplified particle swarm optimization algorithm based on Levy flight

[J]. Computer Engineering and Applications, 2021, 57 (20): 188- 196

[20]

邓佳欣, 张达敏, 何庆, 等

结合莱维飞行和布朗运动的金鹰算法

[J]. 系统仿真学报, 2023, 35 (6): 1290- 1307

DEN JiaXin, ZHANG Damin, HE Qing, et al

Golden eagle optimizer algorithm combining Levy flight and brownian motion

[J]. Journal of System Simulation, 2023, 35 (6): 1290- 1307

[21]

欧云, 周恺卿, 尹鹏飞, 等

双收敛因子策略下的改进灰狼优化算法

[J]. 计算机应用, 2023, 43 (9): 2679- 2685

OU Yun, ZHOU Kaiqing, YIN Pengfei, et al

Improved grey wolf optimizer algorithm based on dual convergence factor strategy

[J]. Journal of Computer Applications, 2023, 43 (9): 2679- 2685

DOI:10.1016/j.advengsoft.2016.01.008 [本文引用: 1]

[22]

MIRJALILI S, LEWIS A

The whale optimization algorithm

[J]. Advances in Engineering Software, 2016, 95: 51- 67

[23]

MIRJALILI S, MIRJALILI S M, LEWIS A

Grey wolf optimizer

[J]. Advances in Engineering Software, 2014, 69: 46- 61

DOI:10.1016/j.advengsoft.2013.12.007 [本文引用: 1]

[24]

KENNEDY J, EBERHART R. Particle swarm optimization [C]/ / Proceedings of ICNN'95-International Conference on Neural Networks . Perth: IEEE, 1995: 1942–1948.