工业机器人可以帮助人们快速、准确地完成装配任务，并提升装配质量. 在大尺寸、大质量的精密装配领域，如果不实施相应的柔顺控制，机器人与环境交互时会对机器人末端产生较大冲击；如果不控制好机器人的装配接触力和配合精度，装配任务会失败. 因此，机器人能否完成该领域的装配作业与机器人末端的柔顺性控制密切相关^[1-4].

柔顺性控制的主要方法为阻抗控制. 1985年， Hogan^[5]提出将机器人与环境的力看作整体，根据二者的动态关系，通过改变反馈的位置误差、速度误差或刚度完成力控制任务. 阻抗控制通过设置参考位置来间接实现力控制，控制精度依赖于对接触环境模型的认知程度. 为了实现机器人对目标力的有效控制，张光辉等^[6]采用末端六维力传感器将末端力的控制转换到机器人关节空间，以基于位置控制的阻抗策略方式实现重力环境下的柔顺控制，使机械臂的大范围柔顺控制具有适应性. Duan等^[7]针对机器人末端力控制跟踪问题，提出自适应变阻抗的控制策略. 该策略根据接触力变换自适应调整阻抗参数，实时补偿动态环境未知性，力跟踪控制效果较好. Izadbakhsh等^[8]利用具有未知系数的线性微分方程设计通用逼近器，并提出计算量更小，更适用于机械臂的鲁棒阻抗控制方法. Li等^[9]针对串联弹性执行器驱动的机器人设计的迭代学习阻抗控制器，将控制目标指定为所需的阻抗模型，期望的阻抗模型以迭代的方式实现. 这样既保证了机器人的重复性，又保证了瞬态性能. Abu-dakka等^[10]提出集成力感测和可变阻抗的控制方法. 该方法从示教中估计完整的刚度矩阵，再结合感知力拟合概率模型，使机器人能够对新的任务条件做出调整. Zhao等^[11]提出的模型加速强化学习方法，利用最大熵强化学习框架学习装配策略，利用阻抗控制器执行装配策略. 该方法的装配技能学习能力强，适于实际装配环境. Ye等^[12]针对导纳控制，将重力摩擦力关节弹性纳入机器人的动力学模型，使该模型比传统模型更具有现实意义. 董悫等^[13]针对微重力环境下机器人装配任务，提出适应于多销孔对接阶段的弹簧虚拟项阻抗控制，解决了姿态误差调节错误的问题. 潘立等^[14]针对六自由度装配机器人提出的动态柔顺控制方法，实现了在未接触时滑膜控制和接触时阻抗控制的切换，使装配过程具有高速、高精的跟踪能力和良好的柔顺性能.

上述控制策略的性能对接触环境模型认知程度的依赖性大. 在实际装配任务中，由于精确的接触环境参数获取困难，会导致控制策略产生较大的接触力误差^[15]，当装配精度要求较高时，阻抗控制难以适用. 本研究1）将自抗扰控制（active disturbance rejection control，ADRC）应用于阻抗控制，通过扰动观测器观测环境信息并补偿，提高控制系统对环境参数的适应性. 2）提出改进型自抗扰阻抗控制策略，引入阻抗模型，增大扰动观测器的响应速度，提高力跟踪效果的精度. 3）基于六自由度装配平台进行轴孔装配实验，对比阻抗控制、自抗扰阻抗控制和改进型自抗扰控制的效果，验证自抗扰阻抗控制方法的有效性.

机器人在执行柔顺装配任务时，会根据不共线轴孔的接触关系将接触状态分为接近、一点接触、两点接触3个阶段，且各接触状态下的接触力与轴孔相对位姿有关.

两点接触是轴孔装配的关键阶段. 如图1所示，当轴孔处于两点接触阶段时，轴会在内壁两点作用力的合力下产生较大的Z方向上的接触力F_Z、接触力矩M，阻止轴入孔的运动. 调整轴的位姿，可以减小X方向上的接触力F_X、M，直到M、F_X=0，F_Z趋于设定值，此时轴与孔的轴线平行，轴完全入孔. 柔顺控制算法根据传感器测得的力/力矩信息得到轴各方向的位姿调整量，使得F_X、F_Z和M达到设定值.

轴孔接触时，采用具有质量−弹簧−阻尼系统的二阶线性微分方程来表述期望的阻抗关系. 合理设置阻抗参数矩阵，使轴孔在各个方向解耦，以机器人操作空间某一维阻抗关系为例，关系表达式为

(1) $ {m_{\text{d}}}(\ddot q - {\ddot q_{\text{r}}})+{b_{\text{d}}}(\dot q - {\dot q_{\text{r}}})+{k_{\text{d}}}(q - {q_{\text{r}}}) = {f_{\text{r}}} - f . $

式中： $ {f_{\text{r}}} $为期望力， $ f $为由传感器测得的实际接触力， $ q $为机器人末端实际位置， $ {q_{\text{r}}} $为期望位置， $ {m}_{\text{d}}、{b}_{\text{d}}、{k}_{\text{d}} $分别为目标惯性、阻尼和刚度. 将环境模型简化为线性弹簧系统，表达式为

(2) $ q = f/{k_{\text{e}}}+{q_{\text{e}}} . $

式中： ${q_{\text{e}}}$为轴孔接触面位置， ${k_{\text{e}}}$为工件刚度. 系统稳态时，满足 $ {\ddot f_{\text{r}}} = {\dot f_{\text{r}}} = 0 $、 $ {\ddot q_{\text{e}}} = {\dot q_{\text{e}}} = 0 $，将式(2)代入式(1)，得到接触力的微分方程为

(3) $ {m_{\text{d}}}\ddot f+{b_{\text{d}}}\dot f+\left( {{k_{\text{d}}}+{k_{\text{e}}}} \right)f = {k_{\text{e}}}{f_{\text{r}}}+{k_{\text{d}}}{k_{\text{e}}}{q_{\text{r}}} - {k_{\text{d}}}{k_{\text{e}}}{q_{\text{e}}} . $

式（3）表明，稳态力误差与接触面位置和工件刚度均有关. 在实际轴孔装配过程中，接触面位置和工件刚度无法精确获得，系统的稳态力误差始终存在. 对于精密轴孔装配作业，过大的装配力误差会使轴孔调整不到位，导致装配任务失败.

阻抗控制存在稳态力误差，ADRC能够实现不依赖系统模型的无静差控制^[16-17]，因此在阻抗控制的基础上设计自抗扰控制来消除力误差. 如图2所示，在原期望力的基础上，通过自抗扰控制器算出新期望力；再根据式（1）的阻抗关系决定末端位置值，发送给位置执行器. 图中，z_1、z_2、z₃均为状态观测量， $ {f_{{\text{r0}}}} $为原期望力， $ {q_{\text{d}}} $为期望位置， $ {q_{\text{c}}} $为指令位置， $ {b_{\text{0}}} $为输入增益的估计值. 如图3所示为引入阻抗模型的改进型自抗扰控制策略. 图中， $ {a_1} $_、$ {a_2} $均为系统输入增益.

令 $ {x_1} = f $、 $ {x_2} = \dot f $、 $ {x_3} = \omega $，将式（3）改写成已知部分模型信息的状态方程：

(4) $ \left.\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1}={x}_{2}\text{，}\\ {\dot{x}}_{2}={x}_{3}-{a}_{1}{x}_{1}-{a}_{2}{x}_{2}+bu\text{，}\\ {x}_{3}\text{= }\omega \text{，}\\ y={x}_{1}.\end{array}\right\} $

式中： $ {a_1}$、 ${a_2} $、 ${a_3} $均为系统输入增益， ${a_1} = {k_{\rm{d}}}/{m_{\rm{d}}}$、 ${a_2} = {b_{\rm{d}}}/{m_{\rm{d}}}$、 $b = {k_{\rm{e}}}/{m_{\rm{d}}}$； $ {x_1} $、 $ {x_2} $、 $ {x_3} $均为系统的状态变量； $ \omega $为未知扰动， $\omega = \left( {{k_{\rm{d}}}{k_{\rm{e}}}{q_{\rm{r}}} - {k_{\rm{d}}}{k_{\rm{e}}}{q_{\rm{e}}} - {k_{\rm{e}}}f} \right)/{m_{\rm{d}}}$；u为系统输入；y为系统输出.

改进型的ADRC引入已知模型 $ {a_1}{x_1} $、 $ {a_2}{x_2} $，将包含环境位置与环境刚度的未知扰动 $ \omega $视为扩张的状态变量，使状态观测器的负担减轻，状态观测器的响应速度增加，整个控制系统的性能提高. 按改进后线性自抗扰控制的方法设计相应的状态观测器：

(5) $ \left.\begin{array}{l}e={z}_{1}-y\text{，} \\ {\dot{z}}_{1}={z}_{2}-{\beta }_{01}e\text{，} \\ {\dot{z}}_{2}={z}_{3}-{a}_{1}{z}_{1}-{a}_{2}{z}_{2}-{\beta }_{02}e+bu\text{，} \\ {\dot{z}}_{3}=-{\beta }_{03}e\text{，} \end{array}\right\} $

式中：e为输出误差， $ {\;\beta _{01}} $、 $ {\;\beta _{02}} $、 $ {\;\beta _{03}} $均为观测器误差反馈增益. 相应的状态空间的形式为

(6) $ \left. {\begin{split} &\widehat{y}={\boldsymbol{Cz}}\text{，} \dot{{\boldsymbol{z}}}={\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{z}}+{\boldsymbol{B}}u+{\boldsymbol{L}}(y-\widehat{y})\text{；} \\ &{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 0 \\ { - {a_1}} & { - {a_2}} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}} \right] ,\\ & {\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0, \;\;\; b, \;\;\; 0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}, {\boldsymbol{C}} = \left[ \begin{array}{*{20}{l}} 1, \; 0, \; 0 \end{array} \right],\\ &{\boldsymbol{z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{z_1}}, \;\;\; {{z_2}}, \;\;\; {{z_3}} \end{array}} \right]^{\rm{T}} ,{\mkern 1mu} {\boldsymbol{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _{01}}}, \;\;\; {{\beta _{02}}}, \;\;\; {{\beta _{03}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}. \end{split}} \right\} $

式中：A、B、C均为状态观测器的增益矩阵，Z为状态变量观测值矩阵，L为观测器误差反馈增益矩阵， $ \hat y $为输出的观测值. 重写状态观测器方程：

(7) $ \begin{array}{l}\widehat{y}{\boldsymbol{=Cz}}\text{，} \dot{{\boldsymbol{z}}}=({\boldsymbol{A}}-{\boldsymbol{LC}}){\boldsymbol{z}}+{\boldsymbol{B}{u}}+{\boldsymbol{L}{y}}\text{.}\end{array} $

按带宽参数化的方法整定，把观测器特征方程的全部极点放置在 $ - {\omega _0}$处，使得状态矩阵 ${\boldsymbol{A - LC}}$的特征多项式为

(8) $ {\lambda _{(s)}} = |s{\boldsymbol{I}} - ({\boldsymbol{A - LC}})| = {\left( {s+{\omega _0}} \right)^3}. $

得到

(9) $ {s^3}+\left( {{\beta _{01}}+{a_2}} \right){s^2}+\left( {{\beta _{01}}{a_2}+{a_1}+{\beta _2}} \right)s+ {\beta _{03}} = {\left( {s+{\omega _0}} \right)^3}$

按带宽法求观测器增益为

(10) $\left. \begin{array}{l}{\beta }_{01}=3{\omega }_{0}-{a}_{2}\text{，}\\ {\beta }_{02}=3{\omega }_{0}^{2}-{a}_{1}-3{\omega }_{0}{a}_{2}+{a}_{2}^{2}\text{，}\\ {\beta }_{03}={\omega }_{0}{}^{3}\text{.}\end{array}\right\} $

状态反馈控制器的形式为

(11) $ \left.\begin{array}{l}{u}_{0}={k}_{1}{v}_{0}-{k}_{1}{z}_{1}-{k}_{2}{z}_{2}{，}\\ {{u}} = \left( {{u_0} - {z_3} + {a_1}{z_1} + {a_2}{z_2}} \right)/b{.}\end{array}\right\} $

式中： ${v_0}$为期望值，按带宽法选取控制器增益为 $ {k_1} = \omega _{\text{c}}^2 $、 $ {k_2} = 2\omega _{\text{c}}^{} $.

为了验证上述改进型扩张状态观测器的有效性，对观测器的扰动跟踪能力进行仿真分析.

基于式（5），消去 $ e、{z}_{2}、{z}_{3} $，得到

(12) $ {z_1} = \dfrac{{\left( {3{\omega _0} - {a_2}} \right){s^2}+\left( {3\omega _0^2 - {a_1}} \right)s+{\omega _0}^3}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}y+ \dfrac{s}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}bu . $

消去 $ e、{z}_{1}、{z}_{3} $，得到

(13) $ \begin{split} {z_2} =& \dfrac{{\left( {3\omega _0^2 - 3{a_2}{\omega _0}+a_2^2 - {a_1}} \right){s^2}+\left( {\omega _0^3 - 3{a_1}{\omega _0}+{a_1}{a_2}} \right)s}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}y+ \\ & \dfrac{{{s^2}+\left( {3{\omega _0} - {a_2}} \right)s}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}bu .\\[-11pt] \end{split} $

再消去 $ e、{z}_{1}、{z}_{2} $，得到

(14) $ {z_3} = \dfrac{{\omega _0^3{s^2}+{a_2}\omega _0^3s+{a_1}\omega _0^3}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}y - \dfrac{{\omega _0^3}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}bu. $

令观测误差 ${e_1} = {z_1} - {x_1}$， ${e_2} = {z_2} - {x_2}$， ${e_3} = {z_3} - {x_3}$，总扰动误差 $ {e_{{\text{all}}}} = {e_3} - {a_2}{e_2} - {a_1}{e_1} $，得到

(15) $ {e_1} = \dfrac{{ - {s^3} - {a_2}{s^2} - {a_1}s}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}y+\dfrac{s}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}bu, $

(16) $ \begin{split} {e_2} =& \dfrac{{ - {s^4} - 3{\omega _0}{s^3} - \left( {{a_1}+3{a_2}{\omega _0} - a_2^2} \right){s^2} - {a_1}\left( {3{\omega _0} - {a_2}} \right)s}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}y+ \\ & \dfrac{{{s^2}+\left( {3{\omega _0} - {a_2}} \right)s}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}bu ,\\[-11pt] \end{split} $

(17) $ \begin{split} {e_3} =& \dfrac{{ - {s^5} - {\lambda _4}{s^4} - {\lambda _3}{s^3} - {\lambda _2}{s^2} - {\lambda _1}s}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}y+ \\ & \dfrac{{{s^3}+3{\omega _0}{s^2}+3{\omega _0}^2s}}{{{{\left( {s+{\omega _0}} \right)}^3}}}bu . \end{split} $

式中： ${\lambda }_{1}\text{=}3{a}_{1}{\omega }_{0}{}^{2} $、 ${\lambda }_{2}\text{=}3{a}_{1}{\omega }_{0}+3{a}_{2}{\omega }_{0}{}^{2}$、 ${\lambda }_{3}\text{=}3{\omega }_{0}{}^{2}+{a}_{1} + 3{a}_{2}{\omega }_{0}$、 $ {\lambda }_{4}\text{=}3{\omega }_{0}+{a}_{2} $， $ u $、 $ y $均取单位阶跃信号. 与传统的自抗扰控制类似， ${e_1}$、 ${e_2}$、 ${e_3}$的稳态误差均趋于0，且越大，收敛速度越快，观测器跟踪能力越强. 如图4所示为2种观测器在 ${\omega _{\text{o}}}{\text{ = }}20$时， ${e_1}$、 ${e_2}$、 ${e_{{\text{all}}}}$的动态响应曲线对比. 可以看出，引入对象模型的改进型自抗扰控制比传统自抗扰控制的响应速度更快、超调量更小. 原因是扩张状态变量 ${x_3}$代表的扰动更小，对系统的负担更小， ${z_3}$追踪 ${x_3}$的速度更快.

如图5所示，六轴工业机器人KR300 R2700在短距离（不超过1 m）重复定位中，重复精度为±0.05 mm. 如图6所示，装配对象为一对配合间隙为0.04 mm的高精度轴孔，轴孔直径为206 mm，配合长度为23 mm，主动件孔质量为25.5 kg，被动件轴倒圆角为4 mm. 六维力传感器选用ATI omega160，精度指标为量程范围的0.2%. X、Y、Z方向力量程为1 000 N，绕X、Y、Z轴的旋转轴的力矩量程均为380 N·m.

在此平台上分别采用阻抗控制、自抗扰阻抗控制与改进型自抗扰阻抗控制进行实验. 装配性能的优良程度由装配过程力与力矩误差衡量，选取合理的数据以求取装配接触力控制的平均误差，末端接触力和力矩的平均误差定义为

(18) $ {e_{\rm{AEF}}} = \dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {{f_{{\text{r0}}}} - {f_i}} \right|} . $

式中：Ｎ为数据采样点的个数， $ {f_i} $为实际末端接触力/力矩分量的第i个采样值.

实验时，给工件轴与工件孔设置初始位姿偏差，对X、Y、Z、A（绕X轴的旋转轴）、B（绕Y轴的旋转轴）5个方向上分别进行接触力的控制，阻抗控制、自抗扰阻抗控制和改进型自抗扰控制算法各个轴的 $ {m_{\text{d}}} $、 $ {b_{\text{d}}} $、 $ {k_{\text{d}}} $参数如表1所示. Z方向上设置原期望接触力为30 N，X、Y方向上原期望接触力为0 N，A、B方向上接触力矩为0 N·m. 机器人末端工具坐标系的接触力误差如图7所示，e_X、e_Y、e_Z、e_A、e_B分别为X、Y、Z、A、B轴上的力或力矩误差. 可以看出，在试件轴逐渐深入试件孔的过程中，环境参数发生变化，阻抗控制的接触力误差越来越大，26.3 s时，由于接触力误差过大，装配任务失败. 自抗扰阻抗控制和改进型自抗扰均在较小的接触力误差完成装配任务，耗时分别为52.9、50.5 s. 在自抗扰阻抗控制下，Z轴力误差峰值由6.5 N降低到4 N，在改进型自抗扰阻抗控制作用下，Z轴力误差峰值降到2 N.

装配过程接触力和力矩的平均误差如表2所示，e_AEF,X、e_AEF,Y、e_AEF,Z、e_AEF,A、e_AEF,B分别为X、Y、Z、A、B轴上的力或力矩平均误差. 相较于自抗扰阻抗控制，施加改进型自抗扰使X轴力误差降低12.6%， Y轴力误差降低26.9%，A轴力矩降低28.2%，B轴力矩降低12.0%. 可见，装配过程中的力波动幅度明显减小，力跟踪精度有较大提升. 证明与自抗扰阻抗控制相比，改进型自抗扰阻抗控制的环境适应性更好，力跟踪效果更优.

针对工业六自由度机器人的轴孔装配任务，提出改进型自抗扰阻抗控制策略. 该策略以基于位置型阻抗控制方法设计自抗扰控制算法，实现机器人的装配过程控制. 设计改进型扩张状态观测器，使整个控制系统的性能提高. 针对小间隙轴孔装配任务设计轴孔装配实验，实验结果表明：自抗扰阻抗控制能够实现间隙为0.04 mm 轴孔的自动化装配，并在整个装配过程中保持较高的力跟踪精度，弥补阻抗控制的不足；改进型自抗扰阻抗控制能进一步提高力跟踪精度. 实验结果证明，所提控制策略的可行性和高效性. 在后续的研究中，将考虑不同尺寸轴孔的装配任务要求，制定合理的装配策略，优化阻抗参数和自抗扰参数，实现不同轴孔的柔顺装配.