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图 1 非支配解集的极端粒子图

Fig.1 Extreme particle in non-dominated solution set

当采用非支配排序作为质量指标时, 这些极端粒子会影响判断粒子的质量. 为了减少这些极端粒子对质量指标的影响, 启发于离群点的思想^[15], 通过计算每层中各粒子的局部离群因子Lf判断极端粒子, 计算公式为

$ {\rm{Lf}}_i^{(k)} = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{j \in Q_i^{(k)}} {{{\rho _j^{(k)}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\rho _j^{(k)}} {\rho _i^{(k)}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\rho _i^{(k)}}}} }}{k} ，$

(1)

$ \rho _i^{(k)} = \dfrac{k}{{\displaystyle\sum\limits_{j \in Q_i^{(k)}} {\max \left\{ d_i^{(k)}, d\left({x_i}, {x_j}\right)\right\} } }} . $

(2)

式中: $ \rho _i^{(k)} $为第 $ i $个粒子的局部可达密度, $d\left({x_i}, {x_j}\right)$为粒子 $ {x_i} $与粒子 $ {x_j} $的欧式距离, k为1个特定的数, $ d_i^{(k)} $为粒子 $ {x_i} $的第 $ k $个近邻距离, $ Q_i^{(k)} $为包含与第 $ i $个粒子的距离小于或等于 $ d_i^{(k)} $的所有粒子的粒子集. 对 $ {\text{L}}{{\text{f}}_i} $做相反数处理后, 如果 $ {\text{Lf}}_i^{(k)} \leqslant {\text{0}} $ , 表示粒子 $ {x_i} $与其 $ k $邻域属于同一簇; 如果 ${\text{Lf}}_i^{\;(k)}{\text{ > 0}}$, 表示粒子 $ {x_i} $偏离其 $ k $邻域. ${\text{Lf}}_i^{\;(k)}$值越大, 粒子 $ {x_i} $是极端粒子的可能性越大. 结合非支配排序结果 $ {F_i} $和局部离群因子 ${\text{Lf}}_i^{\;(k)}$值, 确定粒子 $ i $的质量指标 $ E_i^{(k)} $:

$ E_i^{(k)} = \left\{ \begin{aligned} & {F_i}, &{\text{Lf}}_i^{\;(k)} \leqslant {\text{0;}} \\ & {F_i} + 1, &{\text{Lf}}_i^{\;(k)} > {\text{0}}{\text{.}} \end{aligned} \right. $

(3)

在进化过程中, 位于目标空间中稀疏区域的粒子有利于维护种群多样性. 粒子 $ {x_i} $在种群中的密度指标 $ D_i^{(k)} $为

$ D_i^{(k)} = 1/\left( {d_i^{(k)} + 2} \right) . $

(4)

粒子的密度指标越小, 表示该粒子与其 $ k $邻域中粒子的距离越大, 分布越稀疏. 每层中的极端解通常在该层分布较稀疏, 但在种群中可能位于稀疏区域或密集区域. 只采用 $ E $指标判断粒子的优劣容易忽略这些位于种群稀疏区域的极端解的优势, 不利于维护种群多样性. 因此结合质量指标和密度指标, 提出粒子 $ i $的角色划分指标 $ {\text{R}}{{\text{I}}_i} $, 计算公式为

$ {\text{R}}{{\text{I}}_i} = E_i^{\left( \sqrt N \right)} + D_i^{\left( \sqrt N \right)} . $

(5)

式中: $ N $为种群的数量. 粒子的角色划分指标越小, 表示该粒子越贴合实际Pareto前沿且多样性较好. 相反, 角色划分指标越大, 表示粒子离实际Pareto前沿越远或多样性越差.

1.1.2. 角色划分

受文献[16]的思想启发, 将多角色策略拓展到MOPSO. 将种群中粒子的角色划分指标 $ {\text{RI}} $从小到大排序, 得到粒子 $ i $的排名 $ {\text{r}}{{\text{f}}_i} $. 则粒子 $ {x_i} $的角色 $ {R_i} $为

$ {R_i}\; = \left\{ \begin{aligned} 1, \;\;\;&{\text{r}}{{\text{f}}_i} \in \left(0, \;{\lambda _1}N\right]; \\ 2, \;\;\;&{\text{r}}{{\text{f}}_i} \in \left({\lambda _1}N, \;{\lambda _2}N\right]; \\ 3, \;\;\;&{\text{r}}{{\text{f}}_i} \in\left({\lambda _2}N, \;N\right]. \end{aligned} \right. $

(6)

式中: 类别1、2、3分别表示精英粒子、普通粒子和跟随粒子, $ {\lambda _1}、{\lambda _2} $均为特定的数. 本研究取 $ ({\lambda _1}, {\lambda _2}) $为 $ (0.2, 0.8) $. 精英粒子最贴合最优解且多样性较好; 普通粒子仅次于精英粒子, 较贴合最优解但多样性有待提升, 具有发展空间; 跟随粒子远离最优解.

在计算粒子角色划分指标时考虑个别极端粒子的影响, 因此在角色划分时将极端粒子分配成普通粒子或跟随粒子的角色, 保证精英粒子同时具备良好的收敛性和多样性的性能.

1.2. 基于多角色多策略的参数调整

对于不同角色的粒子, 如果采用单一的搜索策略, 粒子可能会无法找到更好的区域. 根据粒子的角色, 将粒子的个体认知部分的学习因子 $ {c_1} $、全局认知部分的学习因子 $ {c_2} $和惯性权重 $ w $进行相应地调整, 以调整各角色粒子的搜索或开发能力.

1)精英粒子最贴合最优解, 无论向全局最优粒子发展, 还是注重自身的飞行信息, 所产生的下一步都具有极大可能性是非支配解. 因此精英粒子的学习因子 $ {c}_{1}、{c}_{\text{2}} $应与权重 $ w $相近.

2)普通粒子较贴合最优解但多样性有待提升, 应重视向全局最优粒子的发展, 加大全局认知部分的学习因子 $ {c_2} $, 减小权重 $ w $. 因此精英粒子的学习因子与权重的关系为 $ {c}_{2} > {c}_{1} > w $.

3)跟随粒子在种群中收敛性最差. 较小的学习因子 $ {c_1} $、惯性权重 $ w $和较大的学习因子 $ {c_2} $有利于增强粒子的探索能力. 因此跟随粒子的学习因子 $ {c_2} $应更大于自身学习部分学习因子 $ {c_1} $.

根据上述讨论, 第 $ t $次迭代时粒子 $ {x_i} $的学习因子和惯性权重满足定义:

$ \left[{w_i}(t), {c_{{\text{1}}i}}(t), {c_{{\text{2}}i}}(t)\right] = \left\{ \begin{aligned} &\left[{w_{\text{m}}}, \;{c_{\text{m}}}, \;{c_{\text{m}}}\right], &{R_i} = 1 ;\\ &\left[{w_{\text{l}}}, \;{c_{\text{m}}}, \;{c_{\text{h}}}\right], &{R_i} = 2 ;\\ &\left[{w_{\text{l}}}, \;{c_{\text{l}}}, \;{c_{\text{h}}}\right], &{R_i} = 3. \end{aligned} \right. $

(7)

式中: $ {c}_{\text{h}}、{c}_{\text{m}} $、 $ {c_{\text{l}}} $分别为学习因子的最大值、中间值和最小值; $ {w}_{\text{m}}、{w}_{\text{l}} $分别为惯性权重的中间值和最小值.

1.3. 基于多角色多策略的全局最优粒子选取

在给不同角色的粒子制定搜索策略时, 除了调整粒子的学习参数外, 还应选取粒子最合适的全局最优粒子, 以增强粒子的搜索效率.将算法迭代过程分为前、后期共2个阶段, 迭代阶段 $ {\text{IT}} $为

$ {\text{IT}} = \left\{ \begin{aligned} &1, &\left(0, \alpha T\right] \hfill ;\\ &2, &\left( {\alpha T, T} \right]. \end{aligned} \right. $

(8)

式中: $ T $为总迭代次数, 类别1、2分别表示迭代前期和迭代后期, $ \alpha $=0.5.

不同角色的粒子在迭代前、后期选取的全局最优粒子如图2所示. 图中，实心、空心箭头分别表示当IT= 1、2时不同角色的粒子选取的样本. 当IT= 1时, 种群的整体收敛性较差, 种群应增强全局搜索能力. 普通粒子和跟随粒子随机选择档案中最优解作为全局最优粒子, 以提高整体的收敛性. 精英粒子选取档案中密度指标 $ D $小的最优解作为全局最优粒子, 拓展种群的多样性. 不同角色的粒子通过搜索最优解周围, 提高搜索效率. 但这也会导致若大量粒子聚集在某一位置附近, 种群将长时间停留在该位置附近搜索而陷入局部最优. 因此在迭代后期需要种群既能寻求整体收敛精度, 又能勘探整个目标空间. 当IT= 2时, 种群逐渐收敛稳定. 为了加强种群的局部搜索能力, 精英粒子选取指标小的最优解作为全局最优粒子, 以吸引精英粒子向稀疏区域搜索；普通粒子向精英粒子学习, 搜索精英粒子周围的最优解. 跟随粒子随机选取精英粒子和普通粒子作为全局最优粒子．

图 2

图 2 不同角色的粒子在迭代前、后期选取的全局最优粒子图

Fig.2 Global optimal particle graph selected by particles of different roles in before and after iteration

本研究的多策略全局最优选取方法, 可以使种群在最优解周围展开搜索的同时, 保证粒子在整个目标空间进行搜索, 提升种群的多样性和收敛性.

1.4. 基于多角色的高斯变异

为了避免种群过早收敛和陷入局部最优, 在粒子位置更新时, 利用高斯函数^[17]对部分粒子进行扰动, 以增强粒子在目标空间的搜索能力. 根据不同角色, 使粒子朝向其相应的全局最优粒子方向变异. 粒子 $ {x_i} $的高斯变异方法为

$ \begin{split} &x_i^{\left( t \right)} = x_i^{\left( t \right)} + {\text{ }}\left( {{x_{{\text{max}}}} - {x_{{\text{min}}}}} \right)\left(d\left(x_i^{\left( t \right)}, g_i^{\left( t \right)}\right)\right) \times\\ &\quad\quad\;{\text{exp}}\left( { - {{\left( {g_i^{\left( t \right)}{\text{ }} - x_i^{\left( t \right)}} \right)}^2}/{\sigma ^2}\left( t \right)} \right), \end{split} $

(9)

$ {\sigma ^2}\left( t \right){\text{ }} = {\sigma _0}^2{\text{exp}}\left( { - \left( {t/T} \right)} \right) . $

(10)

式中: $ t $为当前迭代次数, $ {x_{{\text{max}}}} $、 $ {x_{{\text{min}}}} $分别为粒子搜索空间的上界和下界, $ {\sigma _0} $为初始方差, $d\left(x_i^{\left( t \right)}, g_i^{\left( t \right)}\right)$为第 $ t $次迭代时粒子 $ x_i^{} $与其全局最优粒子的欧式距离. $ {\sigma ^2}\left( t \right) $决定粒子的变异幅度.

当粒子与其全局最优粒子的位置较远时, 粒子通过较大幅度的变异, 增强粒子的搜索能力；当粒子与其全局最优粒子的位置近时, 粒子受到较小幅度的变异, 减少对粒子搜索行为的扰动. 精英粒子的全局最优粒子是外部归档集的最优解, 精英粒子与最优解的位置较近, 获得较小的变异幅度, 以避免对精英粒子的过多干扰；普通粒子和跟随粒子均与其全局最优粒子位置较远, 得到较大的变异幅度, 以探索更多区域. 随着迭代次数的增加, 粒子群整体的变异幅度越来越小, 保证了迭代后期粒子的开发能力.

1.5. 外部归档集维护

在选取全局最优粒子时, 将整个迭代过程分成前期和后期共2个部分. 前期种群处于探索阶段, 后期种群逐渐收敛稳定. 为了避免种群在迭代后期还处于整体收敛性差的阶段, 采用档案进化混合搜索方案, 即将模拟二进制交叉和多项式变异这2个进化算子用于位置更新公式, 以充分利用档案中非劣解的有效信息, 加快种群的收敛速度.

在每次迭代中, 种群经过更新变异生成子代种群OffSpring. OffSpring与最优解集存档进行档案维护后得到档案Ar. 为了充分利用非劣解集的信息, 档案进行进化搜索产生档案子代S. 对档案Ar与档案子代S进行档案维护得到新的外部存档, 并在下一代更新时替换最优解集存档. 直到满足总迭代次数或结束条件后, 循环结束, 输出最终的外部归档集. 外部归档集的更新示意图，如图3所示. 外部归档集的规模M设置为与种群规模N一致. 档案维护规则为将候选解集中角色划分指标RI<2的解集记为最优解集H. 当最优解的个数小于M时, 将角色划分指标RI较小的M个候选解存入档案Ar; 当最优解的个数超过外部存档的规模时, 循环删去剩余最优解集中具有最大D⁽¹⁾的解, 直至满足规模要求. 档案Ar的表达式为

图 3

图 3 外部归档集更新示意图

Fig.3 External file update

$ {\text{Ar}}\;{\text{ = }}\;H \text{，} $

(11)

$ H = \left\{ \begin{aligned} & H + \mathop {\arg \min }\limits_{i \in B - H} \;{\text{R}}{{\text{I}}_i}, &|H| < M; \\ &H - \mathop {\arg \max }\limits_{i \in H} \;D_i^{(1)}, &|H| > M; \\ &H, &|H| = M. \end{aligned} \right. $

(12)

式中: |H|为集合H中最优解的个数, B为维护档案时的候选解集.

2. 算法流程

MOPSO_RS的总体框架如下.

1）初始化. 设置种群规模N、档案规模M和总迭代次数T; 初始化种群Pop; 初始化角色R; 定义个体最优位置p, 全局最优粒子g, 外部归档集Ar; 初始化权重w=0和学习因子c₁=c₂=0和当前迭代次数t=0.

2）档案更新. 根据外部归档集维护策略, 更新档案Ar, 同时得到档案子代S.

3）更新种群. 根据角色划分策略, 从 $ {\text{Pos}} = {\text{Pop}} \cup S $中角色划分得到新种群 $ {\text{Pop}} $和粒子的角色 $ R $.

4）设置参数. 根据基于多角色多策略的参数调整策略, 设置各角色粒子的权重 $ w $和学习因子 $ {c}_{1}、{c}_{2} $.

5）迭代优化.

6） $ \;t = t + 1 $.

7）更新个体最优位置 $ p $和全局最优粒子 $ g $. 采用MOPSO的个体最优位置更新方式更新 $ p $. 根据基于多角色多策略的全局最优粒子选取方法, 选择每个粒子的全局最优粒子 $ g $.

8）生成子种群. 更新种群粒子的速度和位置后, 根据高斯变异方法对粒子的位置进行变异, 得到子种群 $ {\text{OffSpring}} $.

9）档案更新. 根据外部归档集维护策略, 通过 $ {\text{Ar}} $和 $ {\text{OffSpring}} $更新和维护档案 $ {\text{Ar}} $, 同时得到档案子代 $ S $.

10）更新种群. 对 $ {\text{OS}} = {\text{OffSpring}} \cup S $角色划分得到新种群 $ {\text{Pop}} $和粒子的角色 $ R $.

11）重置参数. 根据角色 $ R $, 重置各角色粒子的权重 $ w $和学习因子 $ {c}_{1}、{c}_{2} $.

12）如果算法满足结束条件, 输出最终的外部归档集 $ {\text{Ar}} $; 否则转到步骤 6）.

在MOPSO_RS的执行过程中, 利用角色划分策略, 为不同性能的粒子赋予不同角色; 同时利用基于多角色多策略的全局最优粒子选取策略和基于多角色多策略的参数调整策略, 针对各角色选取不同的全局最优粒子, 引导粒子搜索整个目标空间, 获得处理不同复杂问题的智能.

3. 实验与结果分析

3.1. 实验设置

为了测试所提算法的性能, 对3目标的DTLZ1~DTLZ7、WFG2、WFG4、WFG9这10个基准问题^[17]进行仿真实验. 对比的多目标优化算法有: 非支配排序遗传算法^[18](NSGA-II)、协方差自适应进化策略的基于分解的多目标进化算法^[19](MOEA/D with covariance matrix adaptation evolution strategy, MOEADCMA)、基于聚类的自适应多目标进化算法^[20](clustering based adaptive multi-objective evolutionary algorithm, CAMOEA)、多搜索策略的多目标粒子群^[21] (MOPSO with multiple search strategies, MMOPSO)和基于竞争机制的多目标粒子群算法^[22] (competitive mechanism based multi-objective particle swarm optimizer, CMOPSO). 以上6种算法的种群规模均设为100.

为了进一步评估MOPSO_RS处理MOPs的性能, 将其与4种高维多目标算法在5、10、15个目标数的测试问题上进行比较. 对比的算法有: 基于参考点的非支配排序遗传算法^[23] (NSGA-III)、基于径向空间划分的进化算法^[24] (radial space division based evolutionary algorithm, RSEA)、新的多目标粒子群算法^[25] (novel MOPSO, NMPSO)和参考向量引导的进化算法^[26] (reference vector guided evolutionary algorithm, RVEA). 对应于5、10、15个目标维数^[27], 5种算法的种群规模分别设为126、230、240. 为了使算法适用于可拓展的多目标测试问题, 在此实验上将本研究的密度指标替换成基于转移的多样性估计指标^[28].

测试实验中, 根据目标维数, DTLZ1的决策变量维数设置为 $ M - 1 + 5 $; 其余测试函数的决策变量维数设置为 $ M - 1 + 10 $. 所有算法中外部归档集规模与种群规模相等, 最大迭代次数均为1 000次, 每种算法在每个测试问题上均独立运行30次. 为了公平地比较, 对比算法的其他参数设置均参照原文献. 算法的运行环境为Win10操作系统, Intel Core i7-9700K CPU, 64GB内存, Matlab 2016a. 对比算法的源代码均由PlatEMO^[29]提供.

3.2. 实验结果分析

为了定量评价多目标优化算法的性能, 采用反世代距离(inverted generational distance, $ {\text{IGD}} $)和超体积指标(hypervolume, $ {\text{HV}} $)^[27]评价算法的综合性能. 采用Wilcoxon符号秩检验方法对实验结果进行显著性分析. 将多次独立重复测试结果的平均值和标准方差作为算法评估的标准, 所有评价指标值的表示方式为“平均值(标准方差)”. 字体加粗部分表示对应行算法在对应列的测试问题上具有最好的评价指标值. “+”、“-”和“=”表示在显著水平为0.05的Wilcoxon双边检验下, MOPSO_RS所得到的指标值分别显著优于、显著劣于和近似于对应列算法. 如表1、2所示为MOPSO_RS和其他5种多目标算法分别在IGD、HV值上的比较统计结果. 如图4所示为各算法部分测试问题的帕累托前沿(Pareto front, PF)图. 图中， $ {f}_{1}、{f}_{2}、{f}_{3} $分别为测试问题中第1、2、3个目标. 如表3所示为MOPSO_RS和其他5种高维多目标算法在5、10、15个目标函数的5个测试问题上的 $ {\text{IGD}} $指标值的对比结果.

表 1 MOPSO_RS和其他5种多目标算法在不同测试问题得到的IGD结果

Tab.1 IGD results of MOPSO_RS and other five multi-objective algorithms for different test problems

测试问题	MOEADCMA	CAMOEA	NSGAII	MMOPSO	CMOPSO	MOPSO_RS
DTLZ1	2.068 6×10⁻² (1.13×10⁻⁴) −	2.136 4×10⁻² (3.22×10⁻⁴) −	2.739 6×10⁻² (1.11×10⁻³) −	1.157 7×10⁻¹ (2.41×10⁻¹) −	7.869 8×10⁻¹ (1.57×10⁺⁰) −	2.026 2×10⁻² (1.79×10⁻⁴)
DTLZ2	5.549 4×10⁻² (3.97×10⁻⁴) +	5.706 2×10⁻² (7.67×10⁻⁴) −	6.902 1×10⁻² (2.77×10⁻³) −	7.143 9×10⁻² (2.00×10⁻³) −	5.803 3×10⁻² (1.15×10⁻³) −	5.595 1×10⁻² (8.06×10⁻⁴)
DTLZ3	1.810 6×10⁺⁰ (3.39×10⁺⁰) −	5.838 6×10⁻² (3.03×10⁻³) −	6.947 4×10⁻² (2.78×10⁻³) −	2.371 7×10⁻¹ (3.61×10⁻¹) −	3.773 6×10⁺¹ (2.67×10⁺¹) −	5.471 1×10⁻² (7.28×10⁻⁴)
DTLZ4	9.455 3×10⁻² (6.45×10⁻²) −	5.734 0×10⁻² (9.37×10⁻⁴) −	9.490 2×10⁻² (1.58×10⁻¹) −	7.185 8×10⁻² (2.92×10⁻³) −	6.037 4×10⁻² (1.24×10⁻³) −	5.629 6×10⁻² (1.02×10⁻³)
DTLZ5	2.277 5×10⁻² (5.66×10⁻⁵) −	5.073 2×10⁻³ (1.53×10⁻⁴) −	5.854 1×10⁻³ (3.42×10⁻⁴) −	6.532 5×10⁻³ (9.75×10⁻⁴) −	5.909 7×10⁻³ (7.55×10⁻⁴) −	4.360 3×10⁻³ (9.46×10⁻⁵)
DTLZ6	2.288 7×10⁻² (2.19×10⁻⁵) −	4.633 2×10⁻³ (1.28×10⁻⁴) −	5.882 0×10⁻³ (3.01×10⁻⁴) −	6.889 7×10⁻³ (6.76×10⁻⁴) −	4.215 9×10⁻³ (4.69×10⁻⁵) −	4.084 1×10⁻³ (2.39×10⁻⁵)
DTLZ7	1.512 8×10⁻¹ (5.13×10⁻³) −	6.190 9×10⁻² (1.64×10⁻³) =	7.584 4×10⁻² (3.65×10⁻³) −	1.206 6×10⁻¹ (9.00×10⁻²) −	1.554 6×10⁻¹ (2.27×10⁻¹) −	6.176 5×10⁻² (1.45×10⁻³)
WFG2	2.453 4×10⁻¹ (1.67×10⁻²) −	1.827 0×10⁻¹ (7.41×10⁻³) −	2.173 0×10⁻¹ (9.22×10⁻³) −	2.324 9×10⁻¹ (1.28×10⁻²) −	1.807 3×10⁻¹ (6.13×10⁻³) −	1.735 8×10⁻¹ (4.34×10⁻³)
WFG4	3.312 3×10⁻¹ (2.11×10⁻²) −	2.329 7×10⁻¹ (3.73×10⁻³) −	2.788 7×10⁻¹ (8.35×10⁻³) −	3.113 3×10⁻¹ (8.35×10⁻³) −	2.670 6×10⁻¹ (5.75×10⁻³) −	2.275 9×10⁻¹ (3.37×10⁻³)
WFG9	3.036 8×10⁻¹ (2.52×10⁻²) −	2.314 3×10⁻¹ (4.11×10⁻³) −	2.744 4×10⁻¹ (1.20×10⁻²) −	2.877 0×10⁻¹ (2.18×10⁻²) −	2.186 2×10⁻¹ (3.26×10⁻³) =	2.172 7×10⁻¹ (3.62×10⁻³)
+/−/=	1/9/0	0/9/1	0/10/0	0/10/0	0/9/1

表 2 MOPSO_RS和其他5种多目标算法在不同测试问题得到的HV结果

Tab.2 HV results of MOPSO_RS and other five multi-objective algorithms for different test problems

测试问题	MOEADCMA	CAMOEA	NSGAII	MMOPSO	CMOPSO	MOPSO_RS
DTLZ1	8.403 8×10⁻¹ (6.88×10⁻⁴) −	8.385 4×10⁻¹ (9.40×10⁻⁴) −	8.242 1×10⁻¹ (3.70×10⁻³) −	6.980 3×10⁻¹ (2.85×10⁻¹) −	3.535 1×10⁻¹ (3.69×10⁻¹) −	8.422 1×10⁻¹ (4.05×10⁻⁴)
DTLZ2	5.564 4×10⁻¹ (4.67×10⁻⁴) +	5.504 6×10⁻¹ (2.22×10⁻³) +	5.314 8×10⁻¹ (4.80×10⁻³) −	5.302 2×10⁻¹ (4.38×10⁻³) −	5.412 1×10⁻¹ (3.11×10⁻³) −	5.487 1×10⁻¹ (2.39×10⁻³)
DTLZ3	3.407 1×10⁻¹ (2.59×10⁻¹) −	5.485 8×10⁻¹ (5.15×10⁻³) −	5.293 7×10⁻¹ (5.93×10⁻³) −	4.370 4×10⁻¹ (1.98×10⁻¹) −	0.000 0×10⁺⁰ (0.00×10⁺⁰) −	5.574 0×10⁻¹ (2.56×10⁻³)
DTLZ4	5.450 3×10⁻¹ (2.37×10⁻²) −	5.515 7×10⁻¹ (1.82×10⁻³) +	5.212 6×10⁻¹ (8.00×10⁻²) −	5.325 5×10⁻¹ (5.42×10⁻³) −	5.344 1×10⁻¹ (2.78×10⁻³) −	5.498 6×10⁻¹ (2.70×10⁻³)
DTLZ5	1.904 1×10⁻¹ (3.06×10⁻⁵) −	1.991 7×10⁻¹ (1.59×10⁻⁴) −	1.991 4×10⁻¹ (1.76×10⁻⁴) −	1.991 9×10⁻¹ (1.96×10⁻⁴) −	1.981 3×10⁻¹ (5.52×10⁻⁴) −	1.996 5×10⁻¹ (1.34×10⁻⁴)
DTLZ6	1.904 7×10⁻¹ (9.91×10⁻⁶) −	1.998 6×10⁻¹ (1.22×10⁻⁴) −	1.994 1×10⁻¹ (1.52×10⁻⁴) −	1.992 2×10⁻¹ (1.63×10⁻⁴) −	2.001 9×10⁻¹ (3.10×10⁻⁵) +	2.000 9×10⁻¹ (3.36×10⁻⁵)
DTLZ7	2.588 5×10⁻¹ (7.17×10⁻⁴) −	2.736 0×10⁻¹ (1.65×10⁻³) −	2.682 5×10⁻¹ (2.10×10⁻³) −	2.632 6×10⁻¹ (9.77×10⁻³) −	2.603 7×10⁻¹ (2.14×10⁻²) −	2.751 3×10⁻¹ (9.04×10⁻⁴)
WFG2	9.007 6×10⁻¹ (1.65×10⁻²) −	9.291 7×10⁻¹ (1.78×10⁻³) =	9.205 9×10⁻¹ (2.43×10⁻³) −	9.143 3×10⁻¹ (3.78×10⁻³) −	9.287 5×10⁻¹ (1.41×10⁻³) =	9.289 7×10⁻¹ (1.34×10⁻³)
WFG4	5.062 5×10⁻¹ (1.68×10⁻²) −	5.361 2×10⁻¹ (3.13×10⁻³) +	5.023 6×10⁻¹ (4.45×10⁻³) −	4.811 8×10⁻¹ (6.75×10⁻³) −	4.840 6×10⁻¹ (4.67×10⁻³) −	5.253 2×10⁻¹ (4.15×10⁻³)
WFG9	4.757 7×10⁻¹ (2.81×10⁻²) −	5.136 1×10⁻¹ (4.23×10⁻³) =	5.039 3×10⁻¹ (6.93×10⁻³) −	4.995 9×10⁻¹ (1.94×10⁻²) −	5.173 0×10⁻¹ (2.72×10⁻³) +	5.123 3×10⁻¹ (5.13×10⁻³)
+/−/=	1/10/0	3/5/2	0/10/0	0/10/0	2/7/1

由表1可以看出, 在10个测试问题中MOPSO_RS获得9个 IGD 最优值, 1个次优值. MOEADCMA获得1个 IGD 最优值. 在DTLZ2测试问题上, MOPSO_RS稍逊于MOEADCMA, 优于其他4种算法. 结合图4可以看出, 在DTLZ3 (多模PF)问题上, MOEADCMA、NSGA-II和MMOPSO的多样性较差, CMOPSO没有收敛到真实PF附近, CAMOEA获得的PF中出现极端点, MOPSO_RS所获得的PF分布较均匀, 保持了较好的多样性和收敛性; 在DTLZ5(多峰PF)问题上, MOEADCMA分布性较差, 其他5种算法均具有较好的收敛性和多样性, 其中MOPSO_RS算法表现出最好的综合性能; 在WFG9 (不可分解的PF)问题上, MOEADCMA、NSGA-II、CAMOEA和MMOPSO分布不均匀, 具有较差的多样性, CMOPSO的综合性能较好, MOPSO_RS得到最好的综合性能. 由此可以看出, MOPSO_RS在处理不同的复杂多目标问题时均能获得较好的综合性能. 原因是MOPSO_RS针对不同角色粒子采用不同的搜索策略, 让种群既能在最优粒子周围展开搜索, 也能搜索整个目标空间. 本研究采用的角色划分指标能够有效避免极端点对算法的影响, 保证了算法的收敛性和多样性. 因此从结果上看, MOPSO_RS能够处理不同的MOPs问题. 在9个测试问题上, MOPSO_RS表现出的IGD均值都比其他算法好, 具有较优的收敛性和分布性.

从表2可以看出, 在10个测试问题中 MOPSO_RS获得4个 $ \mathrm{HV} $最优值, 1个不差于其他算法的 $ \mathrm{HV} $值, 4个次优值. CAMOEA获得3个 $ \mathrm{HV} $最优值, CMOPSO获得2个 $ \mathrm{HV} $最优值, MOEADCMA获得1个 $ \mathrm{HV} $最优值. 在WFG2和WFG9测试问题上, MOPSO_RS的 $ \mathrm{HV} $指标值近似于CAMOEA. 在DTLZ2、DTLZ6多峰函数测试问题上, MOPSO_RS虽然不如CMOPSO表现出来的 $ \mathrm{HV} $性能好, 但均值也比较大, 优于其他4种算法. 验证了本研究提出的高斯变异方法的有效性. 普通粒子和跟随粒子通过较大幅度的变异, 增强其搜索能力; 精英粒子受到较小幅度的变异, 减少对其搜索行为的扰动, 有利于获得全局最优解. 结合图4可以看出, MOPSO_RS、CMOPSO在WFG9问题上的解集不仅具有较好的收敛性, 也在真实的Pareto面分布较均匀; 其他4种算法的分布性较差. 原因是MOPSO_RS、CMOPSO都通过删去密集程度大的粒子来维护档案. 在DTLZ3测试问题上, MOPSO_RS保持较好的多样性和收敛性, CMOPSO没有收敛到真实Pareto前沿, CAMOEA获得的解集存在极端点, 其他3种算法的多样性较差. 本研究采取的角色划分方法将极端点划分在精英粒子的范围之外, 避免了极端点对算法的影响, 同时通过对不同角色的粒子选择不同的全局最优粒子, 引导粒子向前沿方向或边缘区域探索新的解, 有效地增强粒子的寻优能力. 因此相较于其他5种算法, 本研究算法在多峰函数DTLZ5和有偏函数DTLZ4复杂测试问题上获得了最优的 $ \mathrm{HV} $值. 在其他4个测试问题上, MOPSO_RS的 $ \mathrm{HV} $均值比其他算法好, 具有较优的综合性能.

由表3可以看出, 在15个测试问题上, MOPSO_RS获得8个 $ {\text{IGD}} $最优值, 1个不差于其他算法的 $ {\text{IGD}} $值, 2个次优值. NSGA-III获得2个 $ {\text{IGD}} $最优值, RVEA获得5个 $ {\text{IGD}} $最优值. 表明所提算法处理高维多目标问题具有一定的优势. 随着目标维数的增加, 各算法获得的 $ {\text{IGD}} $值呈上升趋势, 优化难度也逐渐增大. 虽然所提算法是处理目标维数为2或3的多目标优化问题的算法, 但相较于其他高维多目标算法, MOPSO_RS却随着目标数的增加在部分问题上表现出更好的综合性能, 展示了其处理高维多目标问题的潜力. 由此可见, 针对不同性能的粒子使用不同的搜索策略有助于处理高维多目标问题.

图 4

图 4 各算法部分测试问题帕累托前沿图

Fig.4 Pareto front of some test problems of each algorithm

3.3. 角色划分指标阈值分析

MOPSO_RS根据粒子 $ i $的排名 $ {\text{r}}{{\text{f}}_i} $, 赋予粒子 $ {x_i} $角色 $ {R_i} $: 精英粒子、普通例子和跟随粒子. 参数 $ ({\lambda _1}, {\lambda _2}) $影响着3种不同角色在种群中的比例, 从而影响算法的性能. 为了消除随机化的影响, 采用随机化算法生成的种群作为初始种群进行比较. 在测试问题DTLZ7上, 当角色划分阈值 $ ({\lambda _1}, {\lambda _2}) $分别为 $ (0.1, 0.9), (0.2, 0.8), (0.3, 0.7), (0.4, 0.6) $时, 算法的IGD值变化趋势如图5所示. 可以看出, 当精英粒子的比例逐渐变大时, 算法初始的IGD下降幅度逐渐变大, 即普通粒子的比重较小时, IGD初始趋势曲线较陡峭. 在纵向虚线处, 比例为 $ (0.2, 0.8) $的算法IGD趋势线比 $ (0.3, 0.7) $划分阈值算法的IGD趋势线更加陡峭, 优先趋于稳定. 这是由于角色划分时, 位于种群的稀疏区域的粒子被赋予为精英粒子. 当精英粒子在种群中比例过大时, 用于探索稀疏区域的普通粒子和跟随粒子过少, 影响算法的收敛性和分布性, 从而降低算法的综合性能. 相较于其他比例的算法, 比例为 $ (0.2, 0.8) $的算法获得的IGD值最先趋于稳定, 表现出更优的综合性能. 因此, 将角色划分阈值设为 $ (0.2, 0.8) $.

图 5

图 5 不同的划分阈值在DTLZ7上的IGD

Fig.5 IGD of different partition threshold on DTLZ7

3.4. 策略分析

为了验证所提策略的有效性, 对比全局最优粒子选取策略和高斯变异策略, 将MOPSO_R随机选取档案的最优解作为所有粒子的全局最优粒子. MOPSO_RS-OG中粒子采用未改进的高斯变异方法向其对应全局最优粒子方向变异. MOPSO_R-G中粒子均向档案中的最优解变异.这3种算法采用的其余策略均和MOPSO_RS相同. 如表4所示为以上4种算法在3目标测试问题上独立运行30次后的 $ {\text{IGD}} $指标结果.

表 3 MOPSO_RS和其他4种高维多目标算法在5、10、15个目标的测试函数上的 $ {\text{IGD}} $指标结果

Tab.3 $ {\text{IGD}} $index results of MOPSO_RS and other four high-dimensional multi-objective algorithms on 5,10 and 15 objective test problems

测试问题	目标数目	NSGA-III	RSEA	RVEA	NMPSO	MOPSO_RS
DTLZ1	5	6.337 6×10⁻² (8.48×10⁻⁵) −	7.611 1×10⁻² (2.16×10⁻³) −	6.332 7×10⁻² (7.81×10⁻⁵) −	6.512 3×10⁻² (1.99×10⁻³) −	5.870 5×10⁻² (5.15×10⁻⁴)
	10	1.493 3×10⁻¹ (4.62×10⁻²) −	1.524 3×10⁻¹ (2.63×10⁻²) −	1.334 2×10⁻¹ (2.68×10⁻³) −	1.687 7×10⁻¹ (1.32×10⁻²) −	1.100 4×10⁻¹ (1.46×10⁻³)
	15	2.030 2×10⁻¹ (8.76×10⁻²) −	2.009 3×10⁻¹ (2.48×10⁻²) −	1.334 4×10⁻¹ (1.12×10⁻²) +	1.169 0×10⁺⁰ (3.60×10⁺⁰) −	1.351 8×10⁻¹ (3.20×10⁻³)
DTLZ2	5	1.949 0×10⁻¹ (1.61×10⁻⁵) +	2.455 6×10⁻¹ (1.99×10⁻²) −	1.948 9×10⁻¹ (8.54×10⁻⁶) +	2.162 3×10⁻¹ (2.31×10⁻³) −	2.099 2×10⁻¹ (2.06×10⁻³)
	10	4.904 3×10⁻¹ (5.93×10⁻²) −	5.338 5×10⁻¹ (3.17×10⁻²) −	4.533 6×10⁻¹ (3.46×10⁻⁴) −	4.230 0×10⁻¹ (2.20×10⁻³) −	4.198 4×10⁻¹ (2.21×10⁻³)
	15	6.904 7×10⁻¹ (8.99×10⁻²) −	6.701 9×10⁻¹ (2.53×10⁻²) −	5.269 7×10⁻¹ (6.76×10⁻⁴) +	6.565 8×10⁻¹ (7.27×10⁻²) −	5.346 1×10⁻¹ (3.80×10⁻³)
WFG2	5	4.712 8×10⁻¹ (1.79×10⁻³) +	4.958 8×10⁻¹ (1.39×10⁻²) +	4.484 9×10⁻¹ (8.61×10⁻³) +	1.094 9×10⁺⁰ (2.08×10⁻¹) −	5.393 7×10⁻¹ (2.20×10⁻²)
	10	1.447 3×10⁺⁰ (1.34×10⁻¹) −	1.099 6×10⁺⁰ (3.44×10⁻²) −	1.133 8×10⁺⁰ (3.09×10⁻²) −	1.956 8×10⁺⁰ (1.94×10⁻¹) −	1.022 4×10⁺⁰ (1.94×10⁻²)
	15	2.036 9×10⁺⁰ (1.06×10⁻¹) −	1.953 8×10⁺⁰ (2.25×10⁻¹) −	1.722 4×10⁺⁰ (1.15×10⁻¹) −	2.729 8×10⁺⁰ (2.71×10⁻¹) −	1.525 0×10⁺⁰ (3.04×10⁻²)
WFG4	5	1.176 6×10⁺⁰ (8.31×10⁻⁴) +	1.298 9×10⁺⁰ (2.67×10⁻²) =	1.177 3×10⁺⁰ (9.79×10⁻⁴) +	1.265 5×10⁺⁰ (2.30×10⁻²) +	1.292 6×10⁺⁰ (1.92×10⁻²)
	10	4.769 4×10⁺⁰ (3.99×10⁻²) −	4.877 3×10⁺⁰ (1.06×10⁻¹) −	4.633 0×10⁺⁰ (5.26×10⁻²) −	4.219 0×10⁺⁰ (2.93×10⁻²) =	4.206 1×10⁺⁰ (3.27×10⁻²)
	15	8.591 6×10⁺⁰ (5.17×10⁻¹) −	9.202 0×10⁺⁰ (2.42×10⁻¹) −	8.856 0×10⁺⁰ (1.90×10⁻¹) −	7.683 0×10⁺⁰ (5.87×10⁻²) =	7.658 9×10⁺⁰ (5.89×10⁻²)
WFG9	5	1.127 9×10⁺⁰ (6.02×10⁻³) +	1.256 2×10⁺⁰ (4.88×10⁻²) −	1.149 7×10⁺⁰ (2.73×10⁻³) +	1.192 4×10⁺⁰ (1.66×10⁻²) +	1.223 0×10⁺⁰ (2.14×10⁻²)
	10	4.521 1×10⁺⁰ (3.70×10⁻²) −	4.808 5×10⁺⁰ (1.06×10⁻¹) −	4.467 2×10⁺⁰ (7.60×10⁻²) −	4.147 5×10⁺⁰ (3.89×10⁻²) −	4.100 5×10⁺⁰ (2.84×10⁻²)
	15	8.127 9×10⁺⁰ (1.71×10⁻¹) −	9.053 4×10⁺⁰ (2.46×10⁻¹) −	7.460 2×10⁺⁰ (2.77×10⁻¹) =	7.665 7×10⁺⁰ (1.06×10⁻¹) −	7.484 3×10⁺⁰ (7.46×10⁻²)
+/−/=		4/11/0	1/13/1	6/8/1	2/11/2

表 4 不同策略对IGD的影响

Tab.4 Effect of different strategies for IGD

测试问题	MOPSO_RS-OG	MOPSO_R-G	MOPSO_R	MOPSO_RS
DTLZ3	5.437 4×10⁻²(1.86×10⁻³) +	5.471 2×10⁻² (7.02×10⁻⁴) =	5.591 8×10⁻² (2.65×10⁻³) −	5.471 1×10⁻² (7.28×10⁻⁴)
DTLZ4	5.793 9×10⁻² (1.81×10⁻³) −	5.746 1×10⁻² (1.90×10⁻³) −	5.690 1×10⁻² (1.45×10⁻³) =	5.629 6×10⁻²(1.02×10⁻³)
DTLZ5	4.454 9×10⁻³ (1.24×10⁻⁴) −	4.368 3×10⁻³ (1.23×10⁻⁴) =	4.423 6×10⁻³ (1.15×10⁻⁴) −	4.360 3×10⁻³(9.46×10⁻⁵)
DTLZ6	4.107 9×10⁻³ (2.97×10⁻⁵) −	4.120 2×10⁻³ (3.51×10⁻⁵) −	4.125 3×10⁻³ (2.76×10⁻⁵) −	4.084 1×10⁻³(2.39×10⁻⁵)
+/−/=	1/3/2	0/3/3	0/5/1

DOI:10.3724/SP.J.1001.2009.00271 [本文引用: 1]

MOPSO_RS-OG、MOPSO_RS的区别在于高斯变异的方法. 由表4可以看出, 除DTLZ3问题外, MOPSO_RS获得的 $ {\text{IGD}} $均比MOPSO_RS-OG更优. 相较于未改进的高斯变异方法, 本研究采用的高斯变异方法在DTLZ5、DTLZ6多峰函数和DTLZ4有偏函数上表现较好, 获得良好的综合性能. 说明本研究的高斯变异方法具有一定的优势. MOPSO_R-G、MOPSO_RS的区别在于是否针对粒子的角色向不同方向变异. 相较于MOPSO_R-G, MOPSO_RS在函数上表现出的IGD值较小, 提升了本研究高斯变异方法在不同函数中获得的综合性能. 这说明粒子根据其特性朝向不同的全局最优粒子变异, 有效地增强了粒子的搜索能力. 因此本研究改进的高斯变异方法将不同性能的粒子朝向不同的全局最优粒子进行变异是有效的.

MOPSO_R、MOPSO_RS的区别在于是否针对粒子的角色选取不同的全局最优粒子. 相比于MOPSO_R, MOPSO_RS大多比MOPSO_R表现出的 $ {\text{IGD}} $指标结果好, 表明针对不同角色粒子采用不同的搜索策略能够提高算法处理不同问题的综合性能.综合来看, 针对不同性能的粒子选取不同的全局最优粒子, 同时利用高斯变异将粒子向其全局最优粒子变异, 提高了粒子的搜索能力, 使所提算法获得了良好的综合性能.

4. 结　语

传统多目标粒子群的粒子都使用单一的搜索模式, 导致种群过早收敛和多样性差的同时使粒子的泛化能力差. 本研究提出多角色多策略多目标粒子群优化算法 (MOPSO_RS). 该算法采用角色划分方法赋予粒子角色, 结合各角色, 提出多策略的全局最优粒子方法和多策略的参数调整方法, 帮助种群执行各种搜索策略. 同时提出基于多角色的高斯变异, 使粒子根据其角色朝向不同的全局最优粒子变异, 增强粒子的搜索能力. MOPSO_RS在多目标、高维多目标测试问题上与其他几种改进算法的对比实验结果表明, MOPSO_RS在复杂问题上能够得到收敛性和多样性较好的Pareto解集以及其处理高维多目标问题的潜力. 策略分析实验证明了MOPSO_RS所提策略的有效性. 在多策略的全局最优粒子选取部分, 本研究简单地将整个迭代过程分成迭代前期和迭代后期共2个部分. 未来将在不降低算法性能的基础上研究如何融入检测种群迭代状态的方法. 随着目标数的上升, 个体在目标空间上往往难以互相确定支配关系. 未来也将研究处理高维多目标问题的粒子群优化算法.

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