表贴式永磁同步电机（surface mounted permanent magnet synchronous machine，SPMSM）功率因数高、效率高、体积小、质量轻，其矢量控制因性能高且稳定而逐渐成为工业标准^[1-3]. 在工业环境中，永磁同步电机驱动系统的连续运作十分重要，任何故障都会造成巨大损失.

电机驱动系统的故障主要有机械故障、电气故障和传感器故障，现有文献多关注逆变器中功率半导体和电机定子绕组的故障，且故障诊断多是基于电流的测量进行^[4-6]. 目前在电机的矢量控制系统中，需要将定子电流信号反馈到控制器中，因此电流传感器故障会造成工作状态的误诊断，严重影响电机驱动系统的性能. 为降低电流传感器故障对驱动系统的影响，越来越多的研究工作围绕着如何使驱动系统的电流传感器具有容错能力展开并取得了一定成果.

提高系统容错能力的前提是实现准确的故障诊断. 故障诊断方法分为基于模型的方法和基于信号的方法^[7]. 基于模型的方法需要通过物理原理或系统辨识技术获取实际系统的模型，再进行故障诊断. Lee等^[8-9]基于系统的模型，将电机的测量电流与观测器电流比较，以判断电流传感器是否故障. 其中，Lee等^[8]针对感应电机直接转矩系统采用自适应增益调度观测器产生冗余，以实现故障诊断；Yu等^[9]基于3个自适应全阶观测器进行故障诊断，然而此方法只适用于单个电流传感器故障. Huang等^[10]则构造了滑模观测器，实现了永磁同步电机(permanent magnet synchronous machine，PMSM)驱动系统中电流传感器的故障诊断. 基于模型的方法比较依赖于模型的精确性，且计算较为复杂. 基于信号的方法提取包含在测量信号中的故障信息，通过与正常系统特征的对比及对现有症状的分析作出故障判断. Berriri等^[11]通过分析现场可编程门阵列中电流矢量的位置误差进行故障判断，然而该方法仅适用于电流滞环控制. Wu等^[12]通过提取PMSM驱动系统中的电流和位置信息，设计了电流跟踪算法以进行合理的电流幅值估计，实现了单相或两相电流传感器的故障诊断，然而三相均故障时的情况并未讨论. Khil等^[13-14]对电机驱动系统的相电流进行平均归一化处理，实现了电流传感器的故障诊断，并取得了良好成效.

电流传感器的容错控制主要从两方面进行. 一是采用冗余方式安装多个备选的传感器，当故障发生时，迅速从故障传感器切换到备选传感器. 如Meinguet等^[15]通过在PMSM驱动系统的逆变器中安装额外的电流传感器以实现故障发生时的硬件冗余. 二是设计合适的观测器，在故障发生时，使用观测器替代故障的电流传感器工作，因而，观测器的可靠性及准确性成为关键. Najafabadi等^[16]提出了一种带有转子电阻估计的自适应电流观测器以实现对电流传感器的容错控制，但此方法对随机的系统噪声不具有鲁棒性. Beng等^[17]采用卡尔曼滤波器方法对电流和位置传感器故障进行容错，并通过龙伯格观测器来重构故障相电流.

一些工业驱动系统中采用两相电流传感器取代三相传感器，有效削减成本. 然而在如电力牵引、变速风力发电等对安全性和可维护性要求高的场合，与可靠性相比，电流传感器的成本基本可以忽略，因而需要在每一相安装一个电流传感器. 近年，Chakraborty等^[18]针对感应电机控制系统中的电流传感器故障，提出了一种新颖的矢量旋转的概念，通过 $\alpha \beta $坐标系的旋转构造不同轴定向的坐标变换以实现故障诊断及容错，避免了采用复杂算法进行故障诊断时带来的运算负担. 该方法针对带有两相电流传感器的电机驱动系统中电流传感器的故障进行了诊断及容错，然而，两相电流传感器均故障时，其将由d、q轴指令电流经坐标变换得到的 $\alpha \text{、} \beta $轴电流替代测量电流作为反馈，从而使反馈电流恒等于指令电流，而矢量控制系统中反馈电流需要与指令电流进行比较，这样会造成反馈值与指令值误差一直为0，从而导致系统不能正常运行.

为此，本文对基于矢量旋转的容故障诊断及错控制方案进行改进，将其应用到带有三相电流传感器的SPMSM驱动系统中，同时采用自适应反推观测器进行电流估计以避免上述问题的产生. 主要思路如下：基于3个不同轴定向的 $\alpha \beta $参考坐标系，将由d、q轴电流指令值经坐标变换得到的 $\alpha\text{、} \beta $轴指令电流与由电流传感器测量得到的 $\alpha\text{、} \beta $轴电流比较，对3个电流传感器进行故障诊断；在故障发生时，以自适应反推观测器得到的估计电流取代相应的测量电流进行反馈，最后给出仿真和实验分析，证明提出的容错策略具有较高的可行性.

假设SPMSM三相绕组对称，将电流传感器安装在 $a$、 $b$、 $c$三相上. 当三相定子电流坐标变换为α、β轴电流时，按不同坐标轴定向建立坐标系得到的α、β轴电流是互不关联的.

1）按定子 $a$相定向，定义为坐标系Ⅰ.

当定子 $a$相轴线与 $\alpha $轴重合时，如图1所示，此时的Clark和Park逆变换公式如下：

(1) $\left[ \begin{array}{c} i_\alpha ^{\rm I}\\ i_\beta ^{\rm I} \end{array} \right] = \frac{2}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{3}/{2}}&0\\ {{{\sqrt 3 }}/{2}}&{\sqrt 3 } \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{c} {i_a}\\ {i_b} \end{array} \right],$

(2) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {i_\alpha ^{*{\rm I}}}\\ {i_\beta ^{*{\rm I}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {i_d^*}\\ {i_q^*} \end{array}} \right].$

式中： $\theta $为同步旋转坐标系下 $d$轴与 $a$轴的夹角； ${i_a}$、 ${i_b}$为电流传感器测得的 $a$、 $b$相电流； $i_d^*$、 $i_q^*$为d、q轴电流的指令值； $i_\alpha ^{\rm I}$、 $i_\beta ^{\rm I}$为坐标系I中 $\alpha \text{、} \beta $轴电流测量值； $i_\alpha ^{* {\rm I}}$、 $i_\beta ^{* {\rm I}}$为 $\alpha\text{、} \beta $轴电流指令值.

从式（1）可以发现， $\alpha $轴电流仅与 $a$相电流有关，而 $\beta $轴电流与 $a$、 $b$两相电流均有关，当 $a$相传感器发生故障时， $\alpha $与 $\beta $轴电流均异常；当 $b$相传感器发生故障时， $\alpha $轴电流正常， $\beta $轴电流异常；当 $c$相传感器发生故障时， $\alpha $、 $\beta $轴电流均正常. 据此，通过将 $i_\alpha ^{\rm I}$与 $i_\alpha ^{* {\rm I}}$比较就可判断 $i_\alpha ^{\rm I}$是否异常，从而准确判断出 $a$相电流传感器是否发生故障.

2）按定子 $b$相定向，定义为坐标系Ⅱ.

将 $\alpha \beta $坐标系在原有基础上逆时针旋转120°，即定子的 $b$相轴线与 $\alpha $轴重合，如图2所示，此时坐标变换公式如下：

(3) $\left[ \begin{array}{l} i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}\\ i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}} \end{array} \right] = \frac{2}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{3}/{2}}&0\\ {{{\sqrt 3 }}/{2}}&{\sqrt 3 } \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {i_b}\\ {i_c} \end{array} \right],$

(4) $\left[ \begin{array}{l} i_\alpha ^{*{\rm I}{\rm I}}\\ i_\beta ^{*{\rm I}{\rm I}} \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin \;({{30}^ \circ } - \theta )}&{{\rm{cos}}\;({{30}^ \circ } - \theta )}\\ { - \cos\; ({{30}^ \circ } - \theta )}&{ - \sin\; ({{30}^ \circ } - \theta )} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} i_d^*\\ i_q^* \end{array} \right].$

式中： ${i_c}$为电流传感器测得的 $c$相电流； $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}$为坐标系II上 $\alpha\text{、} \beta $轴电流测量值； $i_\alpha ^{* {\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{* {\rm I}{\rm I}}$为电流指令值.

从式（3）可以发现， $\alpha $轴电流仅与 $b$相电流有关，而 $\beta $轴电流与 $b$、 $c$两相电流均有关，因而，此坐标系下 $\alpha $轴电流出现异常时， $b$相传感器必然发生了故障. 因此，通过将 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$与 $i_\alpha ^{* {\rm I}{\rm I}}$比较就可判断 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$是否异常，从而准确判断出 $b$相电流传感器是否故障.

3）按定子 $c$相定向，定义为坐标系Ⅲ.

将 $\alpha \beta $坐标系继续逆时针旋转120°，即定子的 $c$相轴线与 $\alpha $轴重合，如图3所示，此时坐标变换公式如下：

(5) $\left[ \begin{array}{l} i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}\\ i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}} \end{array} \right] = \frac{2}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{3}/{2}}\\ {\sqrt 3 }&{{{\sqrt 3 }}/{2}} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {i_a}\\ {i_c} \end{array} \right],$

(6) $\left[ \begin{array}{l} i_\alpha ^{*{\rm I}{\rm I}{\rm I}}\\ i_\beta ^{*{\rm I}{\rm I}{\rm I}} \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin\; ({{30}^ \circ } + \theta )}&{ - {\rm{cos}}\;({{30}^ \circ } + \theta )}\\ {\cos\; ({{30}^ \circ } + \theta )}&{ - \sin\; ({{30}^ \circ } + \theta )} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} i_d^*\\ i_q^* \end{array} \right].$

式中： $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$为坐标系Ⅲ上 $\alpha \text{、} \beta $轴电流测量值； $i_\alpha ^{* {\rm I}{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{* {\rm I}{\rm I}{\rm I}}$为电流指令值.

从式（5）可以发现， $\alpha $轴电流仅与 $c$相电流有关，而 $\beta $轴电流与 $a$、 $c$两相电流均有关，因而，此坐标系下 $\alpha $轴电流出现异常时， $c$相传感器必然发生了故障. 因此，通过将 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$与 $i_\alpha ^{* {\rm I}{\rm I}{\rm I}}$比较就可判断 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$是否异常，从而准确判断出 $c$相电流传感器是否故障.

由以上分析可知，当只有一相电流传感器发生故障时，只要从上述3个坐标系中选取1个恰当的坐标系就能够避免故障的影响；当两相故障时， $i_\alpha ^{\rm I}$、 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$和 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$有且仅有一项未受到影响，只需选择恰当的坐标系，就能够得到正确的 $\alpha $轴电流.

在 $dq$旋转坐标系下SPMSM的定子电压方程为

(7) $\left. \begin{array}{l} \dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{i_d} = \dfrac{1}{L}({u_d} - {R_{\rm{s}}}{i_d} + {\omega _{\rm{r}}}L{i_q}), \\ \dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{i_q} = \dfrac{1}{L}\left[ {{u_q} - {R_{\rm{s}}}{i_q} - {\omega _{\rm{r}}}(L{i_d} + {\psi _{\rm{f}}})} \right]. \end{array} \right\}$

式中： ${i_d}$、 ${i_q}$、 ${u_d}$、 ${u_q}$分别为 $d\text{、}q$轴定子电流和电流； ${R_{\rm{s}}}$、 $L$为定子电阻和定子电感； ${\psi _{\rm{f}}}$为永磁体磁链； ${\omega _{\rm{r}}}$为电角速度.

电磁转矩方程和机械运动方程分别为

(8) ${T_{\rm{e}}} = \frac{3}{2}p{\psi _{\rm{f}}}{i_q},$

(9) $\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{\omega _{\rm{m}}} = \frac{1}{J}({T_{\rm{e}}} - {T_{\rm{l}}} - {T_{\rm{f}}} - {B_{\rm{m}}}{\omega _{\rm{m}}}).$

式中： ${T_{\rm{e}}}$为电磁转矩， ${T_{\rm{l}}}$为负载转矩， ${T_{\rm{f}}}$为摩擦转矩， $p$为极对数， $J$为转动惯量， ${\omega _{\rm{m}}}$为电机的机械角速度， ${B_{\rm{m}}}$为阻尼系数.

自适应反推控制是将系统分解成若干子系统再转化成误差形式，通过构造恰当的Lyapunov函数以确保系统稳定. 基于此原理设计的自适应反推观测器^[19-20]，将电机转速和 $d\text{、}q$轴电压作为输入量，通过使转速估计偏差收敛于0，估计 $d\text{、}q$ 轴电流.

由式（8）和（9）可得转速估计方程为

(10) $\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{{\mathop \omega \limits^ \wedge} _{\rm{r}}} = \frac{p}{J}\left(\frac{{3p{\psi _{\rm{f}}}}}{2}{{\mathop i\limits^ \wedge} _q} - \frac{1}{p}{B_{\rm{m}}}{{\mathop \omega \limits^ \wedge} _{\rm{r}}} - {T_{\rm{l}}}\right).$

式中： $\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^ \wedge $、 $\mathop {{i_d}}\limits^ \wedge $、 $\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge $为速度及 $d\text{、}q$轴定子电流估计值.

由式（7）构造 $d\text{、}q$轴定子电流估计方程为

(11) $\left. \begin{array}{l} \dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\mathop {{i_d}}\limits^ \wedge = \dfrac{1}{L}\left( {u_d^{} - \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^ \wedge + \mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^ \wedge L\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge } \right), \\ \dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge = \dfrac{1}{L}\left( {u_q^{} - \mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^ \wedge - \mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^ \wedge (L\mathop {{i_d}}\limits^ \wedge + {\psi _{\rm{f}}})} \right). \end{array} \right\}$

式中： ${{\mathop R\limits^ \wedge} _{\rm{s}}}$为定子电阻估计值.

将式（10）和（9）及式（11）和（7）分别作差，可得转速估计和电流估计误差方程为

(12) $\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim = \frac{p}{J}\left(\frac{{3p{\psi _{\rm{f}}}}}{2}\mathop {{i_q}}\limits^\sim - \frac{1}{p}{B_{\rm{m}}}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim \right),\qquad\qquad\;\;\;\;\;$

(13) $\left. \begin{array}{l} \dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\mathop {{i_d}}\limits^\sim = \dfrac{1}{L}\left( - \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^\sim - \mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^ \wedge \mathop {{i_d}}\limits^\sim + \mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^ \wedge L\mathop {{i_q}}\limits^\sim + L\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim \mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \right), \\ \dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\mathop {{i_q}}\limits^\sim = \dfrac{1}{L}\left( - \mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^\sim - \mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^ \wedge \mathop {{i_q}}\limits^\sim - {\omega _{\rm{r}}}L\mathop {{i_d}}\limits^\sim - {\psi _{\rm{f}}}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim -\right. \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left.L\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \right). \end{array} \right\}$

式中： $\mathop {{i_d}}\limits^\sim $、 $\mathop {{i_q}}\limits^\sim $、 $\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim $、 $\mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^\sim $分别为 $d\text{、}q$轴定子电流、转速、电阻的实际值与估计值误差.

为使式（12）和（13）收敛，构造Lyapunov函数：

(14) ${v_1} = \frac{1}{{2{p^2}}}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}^2}\limits^\sim ,\qquad\qquad\quad\qquad$

(15) ${v_2} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{{{p^2}}}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}^2}\limits^\sim + \mathop {{i_d}^2}\limits^\sim + \mathop {{i_q}^2}\limits^\sim + \frac{{\mathop {R_{\rm{s}}^2}\limits^\sim }}{b}\right].$

式中： $b$为正值系数.

对式（14）和（15）求导，并分别代入式（12）和式（13）可得

(16) $ \mathop {{v_1}}\limits^ \cdot = \mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim \frac{1}{{{p^2}J}}\left(\frac{{3{p^2}{\psi _{\rm{f}}}}}{2}\mathop {{i_q}}\limits^\sim - {B_{\rm{m}}}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim \right),\qquad\qquad\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; $

(17) $ \!\begin{array}{l} \mathop {{v_2}}\limits^ \cdot = - {a_1}\dfrac{1}{p}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}^2}\limits^\sim - \dfrac{{R_{\rm{s}}^2}}{L}\left(\mathop {{i_d}^2}\limits^\sim + \mathop {{i_q}^2}\limits^\sim \right) + \mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^\sim \left(\dfrac{1}{b}p\mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^\sim -\right. \\ \;\;\;\;\;\;\;\left.\dfrac{1}{L}\mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{i_d}}\limits^\sim - \dfrac{1}{L}\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \mathop {{i_q}}\limits^\sim \right) + \mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim \left(\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \mathop {{i_q}}\limits^\sim - \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{i_d}}\limits^\sim - \dfrac{{{\psi _{\rm{f}}}}}{L}\mathop {{i_q}}\limits^\sim \right). \\ \end{array} $

根据Lyapunov稳定性理论，当满足 $\mathop {{v_1}}\limits^ \cdot < 0$、 $\mathop {{v_2}}\limits^ \cdot < 0$时，转速估计和电流估计误差可收敛，则

(18) $ - {a_1}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim = \frac{1}{{{p^2}J}}\left(\frac{{3{p^2}{\psi _{\rm{f}}}}}{2}\mathop {{i_q}}\limits^\sim - {B_{\rm{m}}}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim \right),$

(19) $\frac{1}{b}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^\sim = \frac{1}{L}\left(\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \mathop {{i_q}}\limits^\sim + \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{i_d}}\limits^\sim \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$

(20) $\!\!{p^2}\left(\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \mathop {{i_d}}\limits^\sim - \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{i_q}}\limits^\sim - \frac{{{\psi _{\rm{f}}}}}{L}\mathop {{i_q}}\limits^\sim \right) = - {a_2}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim .$

式中： ${a_1}$、 ${a_2}$为正值常数.

由式（18）~（20）可得转速估计和电流估计误差能收敛的条件为

(21) $\mathop {{i_q}}\limits^\sim = \frac{{2J}}{{3{p^2}{\psi _{\rm{f}}}}}\left( - {a_1} + \frac{{{B_{\rm{m}}}}}{J}\right)\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$

(22) $\mathop {{i_d}}\limits^\sim = \frac{1}{{\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge }}\mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{i_q}}\limits^\sim + \frac{{{\psi _{\rm{f}}}}}{{L\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge }}\mathop {{i_q}}\limits^\sim - \frac{1}{{{p^2}\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge }}{a_2}\mathop {{\omega _{\rm{r}}}}\limits^\sim ,$

(23) $\mathop {{R_{\rm{s}}}}\limits^ \wedge = \frac{b}{L}\int {\left(\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \mathop {{i_q}}\limits^\sim + \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \mathop {{i_d}}\limits^\sim \right)} {\rm{d}}t.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\quad$

式中： $\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge = 0$是奇点，估计时用一个很小的正常数来代替.

自适应反推观测器的结构框图如图4所示. 对 $\mathop {{i_d}}\limits^ \wedge $、 $\mathop {{i_q}}\limits^ \wedge $在前述3个坐标系下分别进行坐标变换，得到 $\alpha \text{、} \beta $轴电流估计值.

1)在坐标系Ⅰ下，

(24) $\left[ \begin{array}{c} \mathop {i_\alpha ^{\rm I}}\limits^ \wedge \\ \mathop {i_\beta ^{\rm I}}\limits^ \wedge \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \cos \theta \;\;\;\; - \sin\theta \\ \sin \theta \;\;\;\;\;\;\cos\theta \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \\ \mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \\ \end{array} \right].$

2)在坐标系Ⅱ下，

(25) $\left[ \begin{array}{c} \mathop {i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge \\ \mathop {i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} - \sin \;({30^ \circ } - \theta )\;\;\;\;\;{\rm{cos}}\;({30^ \circ } - \theta ) \\ - \cos \;({30^ \circ } - \theta )\;\;\;\; - \sin \;({30^ \circ } - \theta ) \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \\ \mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \\ \end{array} \right].$

3)在坐标系Ⅲ下，

(26) $\left[ \begin{array}{c} \mathop {i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge \\ \mathop {i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} - \sin\;({30^ \circ } + \theta )\;\;\;\; - {\rm{cos}}\;({30^ \circ } + \theta ) \\ \cos \;({30^ \circ } + \theta )\;\;\;\;\;\; - \sin \;({30^ \circ } + \theta ) \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \mathop {{i_d}}\limits^ \wedge \\ \mathop {{i_q}}\limits^ \wedge \\ \end{array} \right].$

令

$ {\delta _1} = i_\alpha ^{\rm I} - i_\alpha ^{* {\rm I}},\;{\delta _2} = i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}} - i_\alpha ^{* {\rm I}{\rm I}},\;{\delta _3} = i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}} - i_\alpha ^{* {\rm I}{\rm I}{\rm I}}. $

进行如下判断：

判断1：若 $\left| {{\delta _1}} \right| > {\varepsilon _1}$，则 $i_\alpha ^{\rm I}$异常， $a$相电流传感器发生故障；反之，若 $\left| {{\delta _1}} \right| < {\varepsilon _1}$，则 $i_\alpha ^{\rm I}$正常， $a$相电流传感器正常.

判断2：若 $\left| {{\delta _2}} \right| > {\varepsilon _2}$，则 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$异常， $b$相电流传感器发生故障；反之，若 $\left| {{\delta _2}} \right| < {\varepsilon _2}$，则 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$正常， $b$相电流传感器正常.

判断3：若 $\left| {{\delta _3}} \right| > {\varepsilon _3}$，则 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$异常， $c$相电流传感器发生故障；反之，若 $\left| {{\delta _3}} \right| < {\varepsilon _3}$，则 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$正常， $c$相电流传感器正常.

式中： ${\varepsilon _1}$、 ${\varepsilon _2}$及 ${\varepsilon _3}$为安全阈值，其设定如下.

1)当电流传感器正常时，

(27) $\left| {{i_\alpha } - i_\alpha ^*} \right| = \left| {\left( {{i_d} - i_d^*} \right)\cos \theta - \left( {{i_q} - i_q^*} \right)\sin \theta } \right| \approx 0.$

式中： ${i_\alpha }$、 $i_\alpha ^*$为 $\alpha $轴电流测量值和指令值； ${i_d}$、 ${i_q}$、 $i_d^*$、 $i_q^*$为 $dq$轴电流测量值和指令值.

2)当电流传感器故障时，

(28) $\left| {{i_\alpha } - i_\alpha ^*} \right| = \left| {i_\alpha ^*} \right| = \left| {i_d^*\cos \theta - i_q^*\sin \theta } \right| = \left| {i_q^*\sin \theta } \right|.$

上述 ${\varepsilon _1}$、 ${\varepsilon _2}$及 ${\varepsilon _3}$的设定需考虑转速及负载突变等误差因素造成的影响，其值不宜过小，需留下足够的裕度，保证转速及负载突变不会造成误诊断；其值亦不宜过大，以提升故障诊断的速度和精度.

综合考虑各种可能造成的误差因素后，选取安全阈值约为0.13 $ i_q^*$. 当未发生故障时， $\left| {{i_\alpha } - i_\alpha ^*} \right| \approx 0 < $ $0.13 i_q^* $，当发生故障时， $\left| {{i_\alpha } - i_\alpha ^*} \right| = \left| {i_q^*\sin \theta } \right|$，其幅值超过 $0.13 i_q^*$. 多次试验验证结果表明，设定该值能够在转速及负载突变时不发生误诊断，故障发生时快速检测出故障，具有较好效果.

定子电流传感器故障诊断图如图5所示. 将图5中的3个电流差值送入滞环比较器，滞环环宽设为 ${\varepsilon _1}$、 ${\varepsilon _2}$、 ${\varepsilon _3}$，输出为0或1，分别代表电流传感器正常或异常，并分别赋值给变量 $x$、 $y$、 $z$，以表明逻辑判断的执行方向.

当单相或两相电流传感器故障时，通过 $x$、 $y$、 $z$值的不同状态构造逻辑判断方案，以选取恰当的 $\alpha \text{、} \beta $轴电流. $\alpha $轴电流逻辑判断图如图6所示.

单相或两相电流传感器故障时，由于 $i_\alpha ^{\rm I}$、 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$分别仅与 $a$、 $b$、 $c$相关，因而只需选取合适的坐标系即可重构 $\alpha $轴电流. 图6中， $x$、 $y$、 $z$的值为0或1，值为0时，表明电流传感器正常；值为1时，表明电流传感器故障，将其分别送入 ${\rm{switch}}$开关中，根据x、y、z的值进行逻辑判断.

首先对 $a$相进行判断：1）当 $x = 0$时， $a$相传感器正常，然后判断 $b$相：当 $y = 0$时， $b$相传感器正常，选取 $i_\alpha ^{\rm I}$为 $\alpha $轴电流；当 $y = 1$时， $b$相传感器故障，对 $c$相进行判断， $z = 0$或1分别选取 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$或 $i_\alpha ^{\rm I}$为 $\alpha $轴电流. 2）当 $x = 1$时， $a$相传感器故障，然后判断 $b$相：当 $y = 0$时， $b$相传感器正常，选取 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$；当 $y = 1$时， $b$相传感器故障，对 $c$相进行判断， $z = 0$或1分别选取 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$或 $i_\alpha ^{\rm I}$为 $\alpha $轴电流.

$\beta $轴电流逻辑判断图如图7所示. $i_\beta ^{\rm I}$、 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$均与两相电流相关，当单相电流传感器故障时，选取恰当的坐标系即可；当两相故障时，则需通过电流估计模块以实现 $\beta $轴电流的重构. 其逻辑判断过程与前述 $\alpha $轴电流的判断相似，仅需在两相故障时，选取自适应反推观测器获得的 $\mathop {i_\beta ^{\rm I}}\limits^ \wedge $、 $\mathop {i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge $、 $\mathop {i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge $作为 $\beta $轴电流即可.

电角度逻辑判断图如图8所示. 其逻辑判断过程与前述 $\alpha $轴电流的判断相似，在坐标系Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ下，定子电流分量由αβ坐标系向dq坐标系变换时选取的电角度分别为θ、θ−120°、θ+120°.

令 $h = x + y + z$，通过其值判断故障传感器数量， $h = 0$，则无故障； $h = 1$，则一相发生故障； $h = 2$，则两相发生故障； $h = 3$，则三相电流传感器均故障. 通过图9对故障相数进行判断，并对 $d\text{、}q$轴电流进行选择，两相以下发生故障时， ${i_{d1}}$和 ${i_{q1}}$被反馈；三相均故障时，则由 $\alpha\text{、} \beta $轴电流估计值 $\mathop {i_\alpha ^{\rm I}}\limits^ \wedge $、 $\mathop {i_\beta ^{\rm I}}\limits^ \wedge $经坐标变换得到的 ${i_{d2}}$和 ${i_{q2}}$作为 $d\text{、}q$轴电流反馈. 容错系统的逻辑判断表如表1所示.

为了验证前述容错控制算法的可行性，在Matlab/Simulink平台上进行仿真. 容错控制系统的总体框图如图10所示. 仿真参数与实验电机参数如表2所示.

系统空载启动，在0.2 s时加入5 ${\rm{N}} \cdot {\rm{m}}$的负载. 在0.4 s时， $a$相电流传感器发生故障；在0.6 s时， $b$相电流传感器发生故障；在0.8 s时， $c$相电流传感器发生故障，仿真结果如图11所示. 其中，图11（a）~（b）为3个坐标系下 $\alpha $轴电流的测量值与估计值. 图11（c）~（e）为3个坐标系下 $\beta $轴电流实际值和估计值的对比. 图11（f）为电流传感器工作状态图. 图11（g）~（i）分别为容错控制下的 $d\text{、}q$轴电流、电磁转矩和转速设置为500 r/min时的转速波形图.

由图11表明，在0.4 s时， $a$相电流传感器发生故障，此时 $i_\alpha ^{\rm I}$变为0， $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}$正常， $i_\beta ^{\rm I}$和 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$异常，因而， $x = 1$， $y = z = 0$，系统判断出 $a$相发生故障，选取 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}$作为反馈电流；在0.6 s时， $b$相电流传感器发生故障，此时 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{\rm I}$变为0， $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$正常， $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}$异常，因而 $x = y = 1$， $z = 0$，系统判断出 $a\text{、}b$两相发生故障，选取 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$、 $\mathop {i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge $作为反馈电流. 由于估计值 $\mathop {i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge $与 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$并非完全一致，存在一定误差，因而将没有误差的测量值 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$和存在一定误差 $\mathop {i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}}\limits^ \wedge $结合进行坐标变换得到的 $d\text{、}q$轴电流存在一定的误差和波动；在0.8 s时， $c$相电流传感器发生故障，此时3个坐标系下的 $\alpha\text{、} \beta $轴电流均为0，因而 $x = y = z = 1$，系统判断出三相均故障，选取 $\mathop {i_\alpha ^{\rm I}}\limits^ \wedge $、 $\mathop {i_\beta ^{\rm I}}\limits^ \wedge $作为反馈电流，此时 $\alpha\text{、} \beta $相电流均为估计值，两者虽均存在一定误差，但通过变换得到的 $d\text{、}q$轴电流是稳定的.

为了进一步验证理论分析的正确性和电流重构策略的合理性，构建以dSPACE1007为核心的实验平台. 为测试电机的带载能力，将2台永磁同步电机组成对拖装置，并用2台伺服驱动器分别控制. 图12为基于dSPACE1007的表贴式永磁同步电机实验平台.

给定电机空载起动转速为500 r/min，4 s后加入5 ${\rm{N}} \cdot {\rm{m}}$的负载转矩，8 s时使 $a$相电流传感器处于故障状态，12 s时使 $b$相电流传感器处于故障状态，16 s时使 $c$相电流传感器处于故障状态. 图13为三相电流传感器故障实验结果. 图中，图13（a）~（c）为坐标系Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ下 $\alpha \text{、} \beta $轴电流测量值和估计值的状态. 在8 s时， $a$相电流传感器发生故障，图13（a）上图中 $i_\alpha ^{\rm I}$变为0， $i_\beta ^{\rm I}$异常；在12 s时， $b$相电流传感器发生故障，图13（a）下图、图13（b）上图及图13（c）上图中 $i_\beta ^{\rm I}$、 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}}$变为0， $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$异常；在16 s时， $c$相电流传感器发生故障，图13（b）下图及图13（c）下图中 $i_\beta ^{{\rm I}{\rm I}}$、 $i_\alpha ^{{\rm I}{\rm I}{\rm I}}$变为0. 图13（d）为电流传感器工作状态图，8s、12s、16s时，a、b、c相分别故障，此时，x、y、z的值依次置1准确判断出了各相电流传感器的故障. 图13（e）、（f）为该容错策略下 $d\text{、}q$轴反馈电流及转速响应，当故障发生时，该策略能够实现 $d\text{、}q$轴电流的正确反馈，且电机保持稳定运行.

综上，实验结果和仿真结果均验证了所提出的故障诊断及容错控制策略的有效性，在三相电流传感器故障时快速而准确地检测出故障相，并依据所提容错控制策略，稳定地重构电流，使系统安全地运行.

本文针对永磁同步电机矢量控制系统，提出了电流传感器故障时的容错控制方案. 基于3个不同轴定向坐标系得到了 $\alpha \text{、} \beta $轴电流的测量值、指令值以及由自适应反推观测器得到的估计值，将给定值与实际测量值进行比较来判断电流传感器是否发生故障. 在单相故障时，选取合适的坐标系重构系统；在两相以上故障时，通过逻辑判断，选取恰当的电流值完成闭环. 仿真和实验验证结果表明，该容错方案能够准确检测出故障相，并切换到正确的电流以完成闭环控制. 该电流重构策略使故障诊断及其容错控制更加高效稳定，也提高了电机驱动系统的整体安全系数. 通过应用上述容错策略能够保证工业现场的安全性和稳定性，避免因电流传感器的故障而造成损失.