零件表面轮廓并非绝对光滑平面，而是由众多微凸体组成的粗糙表面，零部件的装配本质上是众多微凸体接触载荷和变形不断传递和累积的过程，因此，微凸体接触力学行为会直接影响粗糙表面的宏观接触特性（如刚度、热阻、阻尼等）^[1-3].

根据材料力学特点，众多学者将微凸体接触变形过程划分为3个阶段：纯弹性、弹塑性和全塑性，其中微凸体的弹塑性变形机理尤为复杂. 早在20世纪初，Abbott等^[4]就建立了大变形下微凸体塑性接触模型（简称AF模型）. 随后，Greenwood等^[5]首次将Hertz点接触通过高度分布函数扩展到整个粗糙表面接触，提出了开创性的GW模型. 由于Hertz点接触和AF模型分别仅适用于外载荷极小和极大场合，Chang等^[6]基于塑性变形时体积守恒建立了伪弹塑性接触模型（简称CEB模型），但是其预测的平均接触压力存在跳跃式突变. 由于弹塑性变形阶段微凸体中塑性流的出现和弹性变形的截止具有瞬态性，该变形区间中的接触行为极其复杂，如何准确表述该区间中的变形机制一直是研究的热点问题之一.

本文根据微接触模型的函数形式将其分为两大类：插值多项式类模型^[4-11]和幂指函数类模型^[12-14].

1）插值多项式类模型. Zhao等^[7]采用三次样板函数将弹塑性区间内的接触面积表示为变形量的四次插值多项式，同时基于Francis^[15]的研究工作将该区间内的平均接触压力表示为变形量的对数多项式，提出了弹塑性接触模型（简称ZMC模型）. 赵永武等^[8]认为ZMC模型中对数关系描述的平均接触压力在接触变形临界点处不光滑，并采用该模型中提出的样板函数描述了弹塑性变形区间内的平均接触压力（简称Zhao模型）. Brake^[9]采用Hermit插值多项式表示弹塑性变形时的接触面积和平均接触压力（简称Brake模型）. 徐超等^[10]针对Zhao模型和Brake模型预测的平均接触压力的非单调性变化，采用椭圆曲线方程描述了弹塑性变形区间内的平均接触压力（简称Xu模型）. 李玲等^[11]采用以接触变形量为自变量的多项式描述弹塑性变形区间内的接触面积（简称Li模型），但该模型过于复杂. 由于采用的插值方法不同，采用插值多项式构建微接触模型时存在不唯一性，ZMC模型、Xu模型和Li模型都能连续且光滑地描述弹塑性变形阶段内的接触状态.

2）幂指函数类模型. Kogut等^[12]采用有限元分析方法研究了弹塑性球体和刚性平面间的无摩擦接触变形，将弹塑性变形阶段分成2个区间（弹塑性区间Ⅰ和弹塑性区间Ⅱ），并通过曲线拟合有限元结果将弹塑性变形区间内接触特征表示为关于无量纲变形量的幂指函数（简称KE模型）. Lin等^[13]认为KE模型在弹塑性接触区间的起始点处预测接触面积和接触压力时存在不连续性，并采用材料屈服强度对平均接触压力进行归一化，建立了关于无量纲接触变形的幂指表达式（简称Lin模型）. 王东等^[14]采用幂指函数描述了弹塑性阶段内的无量纲接触面积和接触载荷与无量纲接触变形间的关系（简称Wang模型）. 然而，KE模型、Lin模型和Wang模型都尚未研究微凸体接触刚度与接触变形间的关系，且仅适用于描述泊松比 $\upsilon = 0.3$的塑性材料的接触行为，没有考虑泊松比对接触特性的影响.

本文针对插值多项式类和幂指函数类微接触模型存在的不足，利用量纲归一化优点，采用幂指函数建立考虑材料属性的弹塑性微接触解析模型，并且考虑材料泊松比对最大接触压力因子的影响，可连续性且光滑性地描述 $0.2 \leqslant \upsilon \leqslant 0.5$ 的金属材料的微接触特性. 为了验证模型的连续性、光滑性和单调性，将本模型和经典的KE模型和Lin模型进行对比，并分析最大接触压力因子对接触载荷和接触刚度的影响.

单个微凸体与刚性光滑平面的接触如图1所示. 其中，R为微凸体顶部的等效半径， $\delta $ 为法向外载荷F₀下微凸体的变形量， $d$ 为微凸体平均高度平面与光滑平面间的距离， $z$ 为微凸体高度. 随着外载荷由0逐渐增大，图1中的微凸体经历了纯弹性、弹塑性和全塑性接触变形，分别用下标e、ep、p表示这3种变形阶段.

当外载荷极小时，微凸体仅发生纯弹性接触变形，其微接触特性（接触面积A、平均接触压力p、接触载荷F和接触刚度K）可以用Hertz接触理论求解，表示为

(1) $\left. \begin{array}{l} {A_{\rm{e}}} = {\text{π}}R\delta ,\\ {p_{\rm{e}}} = {{4E{{\left( {{\delta / R}} \right)}^{{1 / 2}}}} / {\left( {3{{\text{π}}}} \right)}} = {k_{\rm{v}}}H{\left( {{\delta / {{\delta _{{\rm{ec}}}}}}} \right)^{{1 / 2}}},\\ {F_{\rm{e}}} = {{4E{R^{{1 / 2}}}{\delta ^{{3 / 2}}}} / 3} = {k_{\rm{v}}}H{\text{π}}R\delta _{{\rm{ec}}}^{^{ - {1 / 2}}}{\delta ^{{3 / 2}}},\\ {K_{\rm{e}}} = 2E{R^{{1 / 2}}}{\delta ^{{1 / 2}}} = 1.5{k_{\rm{v}}}H{\text{π}}R{\left( {{\delta / {{\delta _{{\rm{ec}}}}}}} \right)^{{1 / 2}}}. \end{array} \right\}$

式中：E为两接触材料的等效弹性模量； ${k_{\rm{v}}}$为平均接触压力因子，且有 ${k_{\rm{v}}} = {{2{K_{\rm{v}}}} / 3}$； ${K_v}$为最大接触压力因子；H为较软材料硬度； ${\delta _{{\rm{ec}}}}$为屈服临界点^[6]，

(2) ${\delta _{{\rm{ec}}}} = {\left( {{{{\text{π}}{K_{\rm{v}}}H} / {(2E)}}} \right)^2}R.$

将式（2）代入式（1），得到屈服临界点处的接触特性：

(3) $\left. \begin{array}{l} {A_{{\rm{ec}}}} = {\text{π}}R{\delta _{{\rm{ec}}}},\;{p_{{\rm{ec}}}} = {k_{\rm{v}}}H,\\ {F_{{\rm{ec}}}} = {k_{\rm{v}}}H{\text{π}}R{\delta _{{\rm{ec}}}},\;{K_{{\mathop{\rm ec}\nolimits} }} = 1.5{k_v}H{\rm{\pi }}R. \end{array} \right\}$

当外载荷足够大时，微凸体与刚性光滑平面间发生完全塑性变形接触，其接触特性可采用全塑性接触理论^[4]（简称AF模型）求解：

(4) $\left. \begin{array}{l} {A_{\rm{p}}} = 2{\text{π}}R\delta ,\;{p_{\rm{p}}} = H,\\ {F_{\rm{p}}} = 2{\text{π}}RH\delta ,\;{K_{\rm{p}}} = 2{\rm{\pi }}RH. \end{array} \right\}$

由于不同量纲单位会使评价指标不同，量纲归一化使不同模型数据间具有可比性，利用屈服临界点处的接触特性（式（3）），对纯弹性变形阶段的接触特性进行归一化处理，可得

(5) $\left. \begin{array}{l} A_{\rm{e}}^* = {{{A_{\rm{e}}}} / {{A_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^*},}}\\ p_{\rm{e}}^* = {{{p_{\rm{e}}}} / {{p_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^*}^{{1 / 2}},}}\\ F_{\rm{e}}^* = {{{F_{\rm{e}}}} / {{F_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^{*{3 / 2}}},}}\\ K_{\rm{e}}^* = {{{K_{\rm{e}}}} / {{K_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^{*{1 / 2}}}}}. \end{array} \right\}$

式中： ${\delta ^*} = {\delta / {{\delta _{{\rm{ec}}}}}}$ 为无量纲接触变形. 对全塑性变形阶段的接触特性也进行归一化处理，可得

(6) $\left. \begin{array}{l} A_{\rm{p}}^* = {{{A_{\rm{p}}}} / {{A_{{\rm{ec}}}} = 2{\delta ^*},}}\\ p_{\rm{p}}^* = {{{p_{\rm{p}}}} / {{p_{{\rm{ec}}}} = {1 / {{k_{\rm{v}}},}}}}\\ F_{\rm{p}}^* = {{{F_{\rm{p}}}} / {{F_{{\rm{ec}}}} = {{2{\delta ^*}} / {{k_{\rm{v}}},}}}}\\ K_{\rm{p}}^* = {{{K_{\rm{p}}}} / {{K_{{\rm{ec}}}} = {4 / {\left( {3{k_{\mathop{\rm v}\nolimits} }} \right)}}}}. \end{array} \right\}$

由式（5）和（6）可以看出，纯弹性和全塑性变形区间内微凸体的无量纲接触特性和无量纲接触变形间存在幂指关系.

为使所建立的弹塑性微接触模型更加符合实际情况，利用量纲归一化的优点，采用幂指形式的函数描述弹塑性区间内量纲归一化的微接触特性（简称本文模型），微凸体的接触面积、平均接触压力、接触载荷和接触刚度分别表示为

(7) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{{\rm{ep}}}^* = {{{A_{{\rm{ep}}}}} / {{A_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^*}^a,}}}\\ {p_{{\rm{ep}}}^* = {{{p_{{\rm{ep}}}}} / {{p_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^*}^b}},}\\ {F_{{\rm{ep}}}^* = {{{F_{{\rm{ep}}}}} / {{F_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^*}^c,}}}\\ {K_{{\rm{ep}}}^* = {{{K_{{\rm{ep}}}}} / {{K_{{\rm{ec}}}} = {\delta ^*}^d}}}. \end{array}} \right\}$

由连续介质力学理论^[16]可知，量纲归一化后微凸体接触特性在整个变形阶段仍然是连续、光滑和单调的. 因此，微凸体在无量纲屈服临界点 ${\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*$处和无量纲全塑性临界点 ${\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*$ 处的接触面积、平均接触压力、接触载荷和接触刚度应分别满足以下边界条件.

1）接触面积：

(8) $\left. \begin{array}{l} A_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = A_{\rm{e}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = 1,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ A_{{\rm{ep}}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = A_{\rm{e}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = 1,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ A_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = A_{\rm{p}}^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = {{2{\delta _{{\rm{pc}}}}} / {{\delta _{{\rm{ec}}}},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*;}}\\ A_{{\rm{ep}}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = A_{\rm{p}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = 2,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*. \end{array} \right\}$

2）平均接触压力：

(9) $\left. \begin{array}{l} p_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = p_{\rm{e}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = 1,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ p{_{{\rm{ep}}}^{*'}}\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = p_{\rm{e}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = {1 / 2},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ p_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = p_{\rm{p}}^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = {1 / {{k_{\rm{v}}}}},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*;\\ p_{{\rm{ep}}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = p_{\rm{p}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = 0,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*. \end{array} \right\}$

3）接触载荷：

(10) $\left. \begin{array}{l} F_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = F_{\rm{e}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = 1,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ F{_{{\rm{ep}}}^{*'}}\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = F_{\rm{e}}^{*'}\left( {\delta _{{\mathop{\rm ec}\nolimits} }^*} \right) = 1.5{\delta ^*}^{0.5},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ F_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = F_{\mathop{\rm p}\nolimits} ^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = {{2{\delta _{{\rm{pc}}}}} / {\left( {{k_{\rm{v}}}{\delta _{{\rm{ec}}}}} \right)}},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*;\\ F_{{\rm{ep}}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = F_{\rm{p}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = {2 / {{k_{\rm{v}}}}},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*. \end{array} \right\}$

4）接触刚度：

(11) $\left. \begin{array}{l} K_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = K_{\rm{e}}^*\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = 1,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ K{_{{\rm{ep}}}^{*'}}\left( {\delta _{{\rm{ec}}}^*} \right) = K_{\rm{e}}^{*'}\left( {\delta _{ec}^*} \right) = 0.5{\delta ^*}^{ - 0.5},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{ec}}}^*;\\ K_{{\rm{ep}}}^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = K_{\rm{p}}^*\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = {4 / {\left( {3{k_{\rm{v}}}} \right)}},\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*;\\ K_{{\rm{ep}}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = K_{\rm{p}}^{*'}\left( {\delta _{{\rm{pc}}}^*} \right) = 0,\;{\delta ^*} = \delta _{{\rm{pc}}}^*. \end{array} \right\}$

依据边界条件式（8）~（11），可得式（7）中的参数：

(12) $\left. \begin{array}{l} a = 1 + {{\ln 2} / {\ln \left( {{{{\delta _{{\rm{pc}}}}} / {{\delta _{{\rm{ec}}}}}}} \right)}},\\ b = {{\ln \left( {{1 / {{k_{\rm{v}}}}}} \right)} / {\ln \left( {{{{\delta _{{\rm{pc}}}}} / {{\delta _{{\rm{ec}}}}}}} \right)}},\\ c = 1 + {{\ln \left( {{2 / {{k_{\rm{v}}}}}} \right)} / {\ln \left( {{{{\delta _{{\rm{pc}}}}} / {{\delta _{{\rm{ec}}}}}}} \right),}}\\ d = {{\ln \left( {{4 / {\left( {3{k_{\rm{v}}}} \right)}}} \right)} / {\ln \left( {{{{\delta _{{\rm{pc}}}}} / {{\delta _{{\rm{ec}}}}}}} \right)}}. \end{array} \right\}$

式（12）采用KE模型中的全塑性临界点 ${\delta _{\rm pc}} = $ $ 110{\delta _{\rm ec}}$，平均接触压力因子 ${k_{\rm{v}}} = {{2{K_{\rm{v}}}} / 3}$ 的取值和材料泊松比相关.

如表1所示，国内外学者采用不同形式的插值多项式对弹塑性区间内的接触面积和平均接触压力进行拟合，两者乘积为接触载荷^[7-11].

ZMC模型和Zhao模型都采用了式（13）中的3次样板函数，本文仅枚举2次~6次的整数次样板函数：

(13) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2x,\\ - 2{x^3} + 3{x^2},\\ - 3{x^4} + 4{x^3},\\ - 4{x^5} + 5{x^4},\\ - 5{x^6} + 6{x^5}. \end{array} \right.$

根据连续和光滑性将 $f(x)$ 的定义域 $x \in [0,1]$ 映射到 $\delta \in [{\delta _{{\rm{ec}}}},{\delta _{{\rm{pc}}}}]$ 上，则有 ${{x = (\delta - {\delta _{{\rm{ec}}}})} / {({\delta _{{\rm{pc}}}} - {\delta _{{\rm{ec}}}})}}$. 本文以接触面积为例分析样板函数的不唯一性，接触面积表示为

(14) ${A_{{\rm{ep}}}} = {A_{\rm{e}}}(\delta ) + [{A_{\rm{p}}}(\delta ) - {A_{\rm{e}}}(\delta )]f(\delta ).$

其中， ${\delta _{{\rm{ec}}}} \leqslant \delta \leqslant {\delta _{{\rm{pc}}}}$.

根据式（13）和（14），将基于不同样板函数得到的接触面积表示在图2中. 可以看出，所有在曲线临界点 $({\delta _{{\rm{ec}}}},{\rm{\pi }}R{\delta _{{\rm{ec}}}})$ 和 $({\delta _{{\rm{pc}}}},{\rm{\pi }}R{\delta _{{\rm{pc}}}})$ 处都同时满足连续性和光滑性，但随着样板函数最高次数的增加，临界点处有很明显的震荡，出现了Runge现象，接触面积也存在很大差异，说明ZMC模型中的样板函数存在不唯一性.

如图3所示，表1中5个模型预测的接触特性曲线在临界点处都满足连续性和光滑性. 较高次插值多项式的出现，使图3（a）中Zhao模型和Brake模型预测的平均接触压力出现了不符合物理规律的非单调性变化，使得图3（b）中Zhao模型和Brake模型预测的接触载荷也出现了先增后减的趋势. 比较发现，ZMC模型、Xu模型和Li模型预测的载荷曲线都满足连续、光滑和单调，但是由于插值方法的不同，插值多项式类模型存在不唯一性.

国内外学者尝试采用幂指函数来描述微凸体在弹塑性变形阶段内接触特征与接触变形量之间的关系^[12-14]，如表2所示（σ为材料的屈服应力），但是这些模型中的系数和指数存在差异，全塑性临界点也不同.

仅以平均接触压力为例，说明幂指函数类模型的不连续性. 如图4所示，同时将CEB模型和本文模型的预测值绘制于图中，并分别将GW模型和PW模型预测的接触压力用点划线在 $\delta /{\delta _{{\rm{ec}}}} \in [1,120]$内延伸. 由图4中局部放大图（a）和图（b）可得，KE模型和Lin模型在临界点处都出现了不同程度的跳跃，原因在于有限元的近似数值解累计并传递给了拟合经验公式. 同时，KE模型、Lin模型和Wang模型仅考虑了 $\upsilon = 0.3$ 的塑性材料，且取 ${K_{\rm{v}}} = 0.6$，不随 $\upsilon $ 的变化而变化，这一点也影响了预测曲线的连续性. 表2中Lin模型和Wang模型中全塑性临界点存在微小差异，使其预测的接触特性曲线也出现了差异，如图4所示. 本文模型采用KE模型中的全塑性临界点，同时考虑 $\upsilon $ 的影响，避免了KE模型中预测曲线的类似跳跃问题.

由于不同金属材料的泊松比 $\upsilon $ 略有差异，微凸体的接触特性不同，尤其在临界点处存在不连续性. Brizmer等^[17]研究了材料属性对接触屈服临界点的影响，认为接触压力随最大接触压力因子 ${K_{\rm{v}}}$ 的变化而变化. 在接触建模过程中经常取 ${K_{\rm{v}}}{ { = }}0.6$，此外CEB模型^[6]和Lin模型^[13]也分别给出了最大接触压力因子的计算方法：

(15) $\left. \begin{array}{l} {K_{\rm{v}}}^{{\rm{CEB}}} = 0.454 + 0.4\upsilon ,\\ {K_{\rm{v}}}^{{\rm{Lin}}} = 0.464\;5 + 0.314\;1\upsilon + 0.194\;3{\upsilon ^2}. \end{array} \right\}$

大多数金属材料的泊松比 $0.2 \leqslant \upsilon \leqslant 0.5$，该范围内的 $\upsilon $ 对 ${K_{\rm{v}}}$ 的影响如图5所示，当 $\upsilon $ 取极值时，3种模型的 ${K_{\rm{v}}}(\upsilon )$ 之间的差值达到了最大， $\upsilon = 0.3$时差值最小. 根据式（15）可以求得 $\upsilon = 0.3$ 时 ${K_{\rm{v}}}$ 分别为0.574和0.576 2. 因此，取对 ${K_{\rm{v}}}$ 影响最小的 $\upsilon $ 作进一步研究，即详细讨论 ${K_{\rm{v}}}(0.3)$分别取0.5762、0.574和0.6时对微凸体接触特性的影响做，如图6和7所示.

由式（12）得到，面积幂指函数的指数确定和 ${K_{\rm{v}}}$ 无关. 因此，微凸体的接触面积不受 ${K_{\rm{v}}}$ 取值的影响，和 $\upsilon $ 无关；平均接触压力、接触载荷和接触刚度受 ${K_{\rm v}}$ 取值的影响，和 $\upsilon $ 相关. 如图6和7所示为不同 ${K_{\rm{v}}}$ 取值对接触载荷和接触刚度的影响.

图6中KE模型、Lin模型和本文模型预测的 $F/({\text{π}}R\delta H)$ 都会随 ${K_{\rm{v}}}$ 取值的变化而变化. 当 $\delta /{\delta _{{\rm{ec}}}} = $ $ \delta _{{\rm{pc1}}}^{*\rm KE} = 6$且 ${K_{\rm{v}}} = 0.574 \; 0$时，KE模型在弹塑性区间Ⅰ的截止点处预测的 ${F_{{\rm{ep}}}}/({\text{π}}R\delta H) = 0.844\;1$，然而在弹塑性区间Ⅱ的起始点处预测的 ${F_{{\rm{ep}}}}/({\text{π}}R\delta H) = $ $ 0.863\;9$，使得其接触载荷曲线在该点处出现了不连续；当 ${K_{\rm{v}}} = 0.600\;0$，KE模型在相应点处预测的 ${F_{{\rm{ep}}}}/$ $ ({\rm{\pi }}R\delta H)$ 分别为0.882 3和0.903 0， ${K_{\rm{v}}}$ 取值的增大使得KE模型在弹塑性区间Ⅰ和Ⅱ分界点处的跳变增大. 在全塑性变形临界点处，即 $\delta _{{\rm{pc2}}}^{*\rm KE} = $ $\delta /{\delta _{{\rm{ec}}}} = 110$，且 ${K_{\rm{v}}}$ 分别取0.574 0、0.576 2和0.600 0时，KE模型预测的 ${F_{{\rm{ep}}}}/({\rm{\pi }}R\delta H)$ 分别为1.844 3、1.851 3和1.927 9，而全塑性变形时PW模型在该点处预测的 ${F_{\rm{p}}}/$ $({\text{π}}R\delta H) = 2 $且恒定不变. 由此可见， ${K_{\rm{v}}}$ 取值的增大使得KE模型预测的载荷曲线在全塑性临界点处跳变量减小. 同样地，当 $\delta /{\delta _{{\rm{ec}}}} =\delta _{{\rm{pc}}}^{*\rm Lin} = $ 76.8，且 ${K_v}$ 分别取0.574 0、0.576 2和0.600 0时，Lin模型预测的 ${F_{{\rm{ep}}}}/({\text{π}}R\delta H)$ 分别为1.991 8、1.999 6和2.086 0，而PW模型在该点处预测的 ${F_{\rm{p}}}/({\text{π}}R\delta H) = 2$. 因此，Lin模型在该点处出现了跳变，跳变量的大小同样受 ${K_{\rm{v}}}$ 取值大小的影响，且成正比关系. 结合表2，进一步可得Lin模型仅考虑了 $\upsilon = 0.3$ 时的 ${K_{\rm{v}}}$. 本文模型预测的接触载荷曲线在整个变形阶段连续且光滑，且 $F/({\text{π}}R\delta H)$ 和 ${K_{\rm{v}}}$ 成正比.

由图7可得， ${K_{\rm{v}}}$ 取值的变化会影响KE模型、Lin模型和本文模型预测的 $K/({\text{π}}RH)$，同时影响前2个模型预测曲线跳变量的大小. 当 $\delta /{\delta _{{\rm{ec}}}} = $ $ \delta _{{{\rm{pc}}}1}^{*\rm KE}=$6，且 ${K_{\rm{v}}}{ { = }}0.574 \;0$时，KE模型在弹塑性区间Ⅰ的截止点处预测的 ${K_{{\rm{ep}}}}/({\text{π}}RH) = 1.202\;8$，在弹塑性区间Ⅱ的起始点处预测的 ${K_{{\rm{ep}}}}{ {/}}({\text{π}}RH) = 1.091\;1$；当 $\delta /{\delta _{{\rm{ec}}}} =$ $ \delta _{{\rm{pc1KE}}}^* = 110 $ 时，且 ${K_{\rm{v}}}$ 分别取0.574 0、0.576 2和0.600 0时，KE模型在该点处预测的 ${K_{{\rm{ep}}}}/({\rm{\pi }}RH)$ 分别为2.329 4、2.338 2和2.434 9，然而PW模型在该点处预测的 ${K_{\rm{p}}}/({\text{π}}RH) = {\rm{2}}$；以上使得KE模型预测的接触刚度曲线在弹塑性变形区间Ⅰ和Ⅱ的分界点处和全塑性变形临界点处均出现了不连续，尤其在全塑性变形临界点处出现了较大的跳变，而且该跳变量的大小和 ${K_{\rm{v}}}$ 成正比关系. 同样地，当 $\delta /{\delta _{{\rm{ec}}}} = \delta _{{\rm{pc}}}^{ {*\rm Lin}} = $76.8且 ${K_{\rm{v}}}$ 分别取0.574 0 、0.576 2和0.600 0时，Lin模型预测的 ${K_{{\rm{ep}}}}/({\text{π}}RH) = $2.748 9分别为2.748 9、2.759 4和2.873 4，然而PW模型在该点处预测的 ${K_{\rm{p}}}/({\text{π}}RH) =$ $ {\rm{2}} $，使得Lin模型预测的接触刚度曲线在该点处出现了严重跳变，跳变量的大小和 ${K_{\rm{v}}}$ 成正比关系. 本文模型预测的微凸体接触刚度在弹塑性变形区间的起止点处不存在跳变，整个变形阶段曲线连续且光滑，且 $K/({\text{π}}RH)$ 和 ${K_{\rm{v}}}$ 成正比.

（1）KE模型、Lin模型和Wang模型仅考虑了特定泊松比 $\upsilon = 0.3$ 时的最大接触压力因子 ${K_{\rm{v}}}$ 取值，模型参数不能随 $\upsilon $ 的变化而变化，使得KE模型和Lin模型在屈服临界点处或全塑性临界点处存在不连续性.

（2）较经典的KE模型和Lin模型，本模型的优势如下：考虑了材料泊松比的影响，可用于描述 $0.2 \leqslant \upsilon \leqslant 0.5$ 范围内金属材料的微接触行为；能够连续、光滑且单调地描述接触面积、平均接触压力、接触载荷和接触刚度随变形量的变化.

（3）微凸体接触面积不受最大接触压力因子 ${K_{\rm{v}}}$ 取值的影响，因此微凸体接触面积与材料泊松比无关；微凸体平均接触压力、接触载荷和接触刚度随最大接触压力因子 ${K_{\rm{v}}}$ 取值的变化而变化，且成正比关系.