四旋翼飞行器凭借其高机动性、多功能性和灵活性等优势，已在电力巡检、农林监测和三维测绘等重复性任务场景中得到广泛应用^[1-3]. 高精度姿态控制是保证稳定与安全飞行的关键，也是性能评估的关键指标. 利用现有的控制方法，如反步控制^[4]、滑模控制^[5]和自适应控制^[6]等，能够有效地控制姿态. 若分离出不确定性扰动并针对性地补偿^[7]，则可以提高四旋翼飞行器的鲁棒性.

常用的扰动估计器主要包括扰动观测器^[8]、未知输入观测器^[9]、未知系统动态估计器^[10]、扩张状态观测器^[11]（extended state observer, ESO）等. 其中， ESO因为可以同时估计系统状态和扰动，且对模型依赖程度低，得到广泛应用^[12]. 普通ESO具有渐近收敛的特性，在应对突发扰动时，难以保证飞行器快速恢复稳定. 为了提升ESO估计速度，Liu等^[13]设计有限时间ESO，但收敛时间上界受观测器初值的影响. Wang等^[14]设计固定时间ESO，收敛时间上界不依赖观测器的初值，仅由观测器的参数决定. Li等^[15]提出预定义时间ESO，使收敛时间由设计者直接设定，但无法获得准确的收敛时间. Wang等^[16]构造指定时间ESO，允许任意指定收敛时间，但须切换观测器增益，进而引起估计值抖振. Bai等^[17]设计自适应指定时间ESO，通过障碍函数约束误差，以避免切换机制，但计算复杂.

四旋翼飞行器在执行航空拍摄、应急救援及农林监测等任务时，常须完成特定的周期性姿态跟踪任务^[18]. 现阶段的非线性控制技术尚未充分利用任务周期性特征，制约了控制精度的提升. 迭代学习控制适用于执行重复任务的控制系统^[19-22]. 通过迭代更新控制输入，可以提高姿态跟踪精度. 王术波等^[23]设计迭代学习自抗扰控制器，通过迭代调整ESO观测带宽，提升对地面效应和风扰的抑制能力，但未充分考虑四旋翼姿态动力学的强非线性特点. Liang等^[24]设计滑模迭代学习控制器，处理四旋翼飞行器参数和非参数的不确定性，但该控制器对扰动施加的Lipschitz假设在实际应用中难以满足，缺少实验验证. Qian等^[25]提出级联比例迭代学习滑模控制方法，改进姿态角跟踪精度，但收敛界受Lipschitz假设的限制，且界函数难以获取.

本文针对执行重复任务的四旋翼飞行器姿态系统，设计指定时间姿态抗扰学习控制方法.

（1）设计指定时间扩张状态观测器，通过设计时变尺度函数确保观测器增益有限，并将指定时间范围映射到无限时间范围. 与基于切换的指定时间扩张状态观测器^[16]方法不同，该观测器避免了切换引起的估计值抖振问题，且在整个时间区间内无须切换.

（2）与半限幅迭代学习^[21]相比，本文设计的全限幅滑模迭代学习可以将限幅作用同步扩展至当前迭代，在提升姿态跟踪精度的同时，提高系统的鲁棒性，且无需Lipschitz条件. 通过实验验证所提方法的有效性与可行性.

四旋翼飞行器通常是由结构对称的刚性机架和位于机架端点的4个独立电机组成，依靠4个独立电机产生控制输入，从而实现滚转、俯仰和偏航运动. 机体坐标系和地面坐标系之间的欧拉角描述了四旋翼飞行器的姿态，基于牛顿-欧拉定律，四旋翼飞行器的姿态动力学模型^[8]可以描述为

(1)$ \left.\begin{array}{l}\ddot{\phi }=\dfrac{{I}_{y}-{I}_{z}}{{I}_{x}}\dot{\theta }\dot{\psi }-\dfrac{{k}_{x}}{{I}_{x}}\dot{\phi }+\dfrac{1}{{I}_{x}}{u}_{\phi }+{d}_{\phi },\\\ddot{\theta }=\dfrac{{I}_{z}-{I}_{x}}{{I}_{y}}\dot{\phi }\dot{\psi }-\dfrac{{k}_{y}}{{I}_{y}}\dot{\theta }+\dfrac{1}{{I}_{y}}{u}_{\theta }+{d}_{\theta },\\\ddot{\psi }=\dfrac{{I}_{x}-{I}_{y}}{{I}_{z}}\dot{\phi }\dot{\theta }-\dfrac{{k}_{z}}{{I}_{z}}\dot{\psi }+\dfrac{1}{{I}_{z}}{u}_{\psi }+{d}_{\psi }.\end{array}\right\} $

式中：$ \phi 、\theta 、\psi $分别为四旋翼飞行器的滚转角、俯仰角和偏航角，$ {I}_{x}、{I}_{y}、{I}_{z} $分别为在机体坐标系下绕$ x、y、z $轴的转动惯量，$ {k}_{x}、{k}_{y}、{k}_{z} $分别为3个姿态角对应的空气阻力系数，$ {u}_{\phi }、{u}_{\theta }、{u}_{\psi } $分别为机体坐标系下作用在四旋翼飞行器姿态角的控制输入，$ {d}_{\phi }、{d}_{\theta }、{d}_{\psi } $为外部扰动.

通过定义$ {\boldsymbol{x}}_{1,k}(t)={[\phi ,\theta ,\psi ]}^{\text{T}} $，$ {\boldsymbol{x}}_{2,k}(t)= $ $ {[\dot{\phi },\dot{\theta },\dot{\psi }]}^{\text{T}} $，式(1)可以改写为如下标量形式：

(2)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{x}}_{1,k,i}={x}_{2,k,i},\\{\dot{x}}_{2,k,i}={b}_{i}{u}_{k,i}+{f}_{k,i}+{d}_{k,i}.\end{array}\right\} $

式中：$ k $为迭代次数；$ i=\phi ,\theta ,\psi $；$ {x}_{1,k,i} $、$ {x}_{2,k,i} $分别为四旋翼飞行器的姿态角和姿态角角速度；$ {u}_{k,i} $为姿态控制输入；$ {b}_{i}=1/{I}_{i} $为姿态控制输入的增益系数，是未知参数；$[{f}_{k,\phi },{f}_{k,\theta },{f}_{k,\psi }] $为系统耦合扰动，$ [{f}_{k,\phi },{f}_{k,\theta },{f}_{k,\psi }]= \left[\dfrac{{I}_{y}-{I}_{z}}{{I}_{x}}\dot{\theta }\dot{\psi }-\right.\dfrac{{k}_{x}}{{I}_{x}}\dot{\phi },\dfrac{{I}_{z}-{I}_{x}}{{I}_{y}}\dot{\phi }\dot{\psi }- \dfrac{{k}_{y}}{{I}_{y}}\dot{\theta }, $$ \left.\dfrac{{I}_{x}-{I}_{y}}{{I}_{z}}\dot{\phi }\dot{\theta }-\dfrac{{k}_{z}}{{I}_{z}}\dot{\psi }\right] $；$ {d}_{k,i} $为传感器噪声.

本文主要讨论四旋翼飞行器在有限时间$ \left[0,T\right] $上执行重复任务时系统输出的跟踪控制，确定标称系统控制输入$ {u}_{{\mathrm{d}},i} $，使原系统输出沿着迭代轴跟踪给定的参考轨迹，即

(3)$ {\ddot{x}}_{{\mathrm{d}},i}={b}_{0,i}{u}_{{\mathrm{d}},i}+{f}_{{\mathrm{d}},i}. $

式中：$ {b}_{0,i}\neq 0 $.

利用加性输出分解方法，定义如下标称线性时不变主系统：

(4)$ {\ddot{x}}_{\text{p},k,i}={b}_{0,i}{u}_{k,i}+{f}_{{\mathrm{d}},i}. $

该系统具有和参考轨迹一样的信号$ {f}_{{\mathrm{d}},i} $，式(2)减去式(4)，可得

(5)$ \begin{split} & {\ddot{x}}_{\text{s},k,i}={b}_{i}{u}_{k,i}+{f}_{k,i}+{d}_{k,i}-{b}_{0,i}{u}_{k,i}-{f}_{{\mathrm{d}},i}=\\& \qquad ({b}_{i}-{b}_{0,i}){u}_{k,i}+{f}_{k,i}-{f}_{{\mathrm{d}},i}+{d}_{k,i}.\end{split} $

式中：$ {x}_{\text{s},k,i}={x}_{1,k,i}-{x}_{\text{p},k,i} $表示不确定辅系统，通过加性输出分解可以分离不确定性扰动，令$ {g}_{k,i}= ({b}_{i}- {b}_{0,i}){u}_{k,i}+ $$ {f}_{k,i}-{f}_{{\mathrm{d}},i}+{d}_{k,i} $，其中$ {b}_{0,i} $为已知标量. 迭代学习控制可以利用任务重复性估计期望控制输入$ {x}_{{\mathrm{d}},i} $并提高控制精度，采用指定时间扩张状态观测器估计补偿不确定性$ {g}_{k,i} $.

本文的控制目标如下：针对式(1)，设计增益连续的指定时间扩张状态观测器(9)，估计并补偿不确定性扰动；设计滑模迭代学习控制器$ {u}_{k,i} $,提高系统输出对参考轨迹$ {x}_{d,i} $的跟踪精度. 本文的控制策略结构如图1所示.

为了抑制不确定性对四旋翼飞行器的影响，设计指定时间扩张状态观测器，确保观测器能在指定时间处对不确定性进行快速估计，抑制不确定性对四旋翼飞行器的影响，避免使用扰动具有平滑性的Lipschitz假设条件.

假设1^[4]　不确定性$ {g}_{k,i} $及其导数有界，即$ |{g}_{k,i}|\leqslant {g}_{1} $，$ |{\dot{g}}_{k,i}|\leqslant {g}_{2} $，其中$ {g}_{1}、{g}_{2} \gt 0 $.

定义系统输出误差$ {e}_{1,k,i}={x}_{1,k,i}-{x}_{{\mathrm{d}},i} $，式(2)减去式(3)可得系统误差方程，并将式(5)代入可得

(6)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{e}}_{1,k,i}={e}_{2,k,i},\\{\dot{e}}_{2,k,i}={b}_{0,i}({u}_{k,i}-{u}_{{\mathrm{d}},i})+{g}_{k,i}.\end{array}\right\} $

因此可得

(7)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{x}}_{1,k,i}={x}_{2,k,i},\\{\dot{x}}_{2,k,i}={b}_{0,i}({u}_{k,i}-{u}_{{\mathrm{d}},i})+{g}_{k,i}+{\ddot{x}}_{{\mathrm{d}},i}.\end{array}\right\} $

令$ {x}_{3,k,i}={g}_{k,i} $，并记$ {\dot{x}}_{3,k,i}={\dot{g}}_{k,i} $，则式(7)改写为

(8)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{x}}_{1,k,i}={x}_{2,k,i},\\{\dot{x}}_{2,k,i}={b}_{0,i}({u}_{k,i}-{u}_{{\mathrm{d}},i})+{x}_{3,k,i}+{\ddot{x}}_{{\mathrm{d}},i},\\{\dot{x}}_{3,k,i}={\dot{g}}_{k,i}.\end{array}\right\} $

为了避免观测器增益不连续导致估计值抖振，设计单调递增且连续有界的指定时间扩张状态观测器增益，提出如下形式的指定时间扩张状态观测器：

(9)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{\hat{x}}}_{1,k,i}={\hat{x}}_{2,k,i}+3\omega {a}_{i}(t){\tilde{x}}_{1,i},\\{\dot{\hat{x}}}_{2,k,i}={b}_{0,i}({u}_{k,i}-{u}_{{\mathrm{d}},i})+{\hat{x}}_{3,k,i}+3{\omega }^{2}a_{i}^{2}(t){\tilde{x}}_{1,i}+{\ddot{x}}_{{\mathrm{d}},i},\\{\dot{\hat{x}}}_{3,k,i}={\omega }^{3}a_{i}^{3}(t){\tilde{x}}_{1,i}.\end{array}\right\} $

式中：$ {\hat{x}}_{j,k,i} $为状态$ {x}_{j,k,i} $的估计值；$ {\tilde{x}}_{j,i}= $$ {x}_{j,k,i}-{\hat{x}}_{j,k,i} $，$ j=1,2,3 $为系统状态估计误差；$ \omega \gt 0 $；$ {a}_{i}\left(t\right) $为观测器增益，定义为

(10)$ {a}_{i}\left(t\right)=\begin{cases} \dfrac{{\text{π}} }{2{T}_{{\rm{p1}},i}}{\sec }^{2}\left(\dfrac{{\text{π}} t}{2{T}_{{{\rm{p1}},i}}}\right),\;\; t\in \left[0,{T}_{{{\rm{p0}},i}}\right);\\\dfrac{{\text{π}} }{2{T}_{{{\rm{p1}},i}}}{\sec }^{2}\left(\dfrac{{\text{π}} {T}_{{{\rm{p0}},i}}}{2{T}_{{{\rm{p1}},i}}}\right),\;\; t\in \left[{T}_{{{\rm{p0}},i}},\mathrm{\infty }\right).\end{cases} $

式中：$ 0 \lt {T}_{{{\rm{p0}}}} \lt T $，其中$ T $为系统实际运行时间，$ {T}_{{{\rm{p1}}}}={T}_{{{\rm{p0}}}}+\varDelta $为用户自行设定的收敛时间常数，可任意指定，其中$ \varDelta \gt 0 $为待定参数. 将式(8)减去式(9)，得到误差状态方程：

(11)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{\tilde{x}}}_{1,k,i}={\tilde{x}}_{2,k,i}-3\omega {a}_{i}(t){\tilde{x}}_{1,i},\\{\dot{\tilde{x}}}_{2,k,i}={\tilde{x}}_{3,k,i}-3{\omega }^{2}a_{i}^{2}(t){\tilde{x}}_{1,i},\\{\dot{\tilde{x}}}_{3,k,i}={\dot{g}}_{k,i}-{\omega }^{3}a_{i}^{3}(t){\tilde{x}}_{1,i}.\end{array}\right\} $

定理1　针对四旋翼飞行器（见式(1)），设计指定时间扩张状态观测器（见式(9)），则估计误差$ {\tilde{x}}_{1,k,i} $在指定时间$ {T}_{{{\mathrm{p}}_1}} $内收敛至误差带$ {\varOmega }_{i} $内，并且在$ \left[{T}_{{{\rm{p1}}}},\mathrm{\infty }\right) $上始终保持在误差带$ {\varOmega }_{i} $内，其中$ {\varOmega }_{i}= $ $ \left\{\underset{t\rightarrow {T}_{{{\mathrm{p}}_1}}}{\lim }\begin{array}{ccc}|{\tilde{x}}_{1,k,i}| & \bigg| & |{\tilde{x}}_{1,k,i}|\end{array}\leqslant \dfrac{2{g}_{2}||\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}|{|}_{2}{\lambda }_{\text{max}}(\boldsymbol{P})}{{\omega }^{3}{a}_{{i}}(0){\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{P}){\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{Q})} \right\} $.

证明：当$ t\in \left[0,{T}_{{{\rm{p0}}}}\right) $时，为了实现在指定时间快速估计系统状态，设计如下的时间尺度函数：

(12)$ t=\nu (\tau )=2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}\arctan \;\tau /{\text{π}} ;\;\; \tau \in \left[0,{\tau }_{1}\right). $

式中：$ {\tau }_{1}=\tan \left({\text{π}} {T}_{{{{\mathrm{p}}0}}}/\left(2{T}_{{{{\mathrm{p}}}_{1}}}\right)\right) $. 反解上述时间尺度函数，可得

(13)$ \tau =\tan \left({\text{π}} t/\left(2{T}_{{{{\mathrm{p}}}_{1}}}\right)\right);\;t\in \left[0,{T}_{{{{\mathrm{p}}0}}}\right). $

显然，$ \nu (\tau ) $满足以下性质: 1) $ \nu (\tau ) $对于$ \tau $是严格递增且连续可微的；2)将关于自变量$ t $的区间$ t\in [0,{T}_{{{{\mathrm{p}}0}}}) $映射到新自变量$ \tau $的区间$ \tau \in \left[0,{\tau }_{1}\right) $.

式(12)建立了自变量$ t $与新自变量$ \tau $的对应关系，关于自变量$ t $的观测器估计误差$ \tilde{x}(t) $与关于自变量$ \tau $的$ \overset{\smile }{x}(\tau ) $描述的是同一物理信号在不同自变量下的取值，即$ \overset{\smile }{x}(\tau )=\tilde{x}(t) $，并有

(14)$ \dot{\overset{\smile }{x} }(\tau )=\text{d}\overset{\smile }{x}(\tau )/\text{d}\tau =(\text{d}t/\text{d}\tau )(\text{d}\overset{\smile }{x}(\tau )/\text{d}t). $

令$ a(\tau )=\text{d}\tau /\text{d}t $，可以得出

(15)$ a(\tau )=\left({\text{π}} /\left(2{T}_{{{{\mathrm{p}}}_{1}}}\right)\right){\sec }^{2}(\arctan \; \tau );\;\; \tau \in \left[0,{\tau }_{1}\right). $

因此$ \dot{\tilde{x}}(t)=a(\tau )\dot{\overset{\smile }{x} }(\tau ) $, 式(11)在$ \tau $域下写为

(16)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{\overset{\smile }{x} }}_{1,k,i}={\overset{\smile }{x}}_{2,k,i}/{a}_{i}(\tau )-3\omega {\overset{\smile }{x}}_{1,k,i},\\{\dot{\overset{\smile }{x} }}_{2,k,i}={\overset{\smile }{x}}_{3,k,i}/{a}_{i}(\tau )-3{\omega }^{2}{a}_{i}(\tau ){\overset{\smile }{x}}_{1,k,i},\\{\dot{\overset{\smile }{x} }}_{3,k,i}={\dot{g}}_{k,i}/{a}_{i}(\tau )-{\omega }^{3}a_{i}^{2}(\tau ){\overset{\smile }{x}}_{1,k,i}.\end{array}\right\} $

从式(10)、(15)可知，$ a\left(\tau \right) $与$ a\left(t\right) $在$ \left[0,{T}_{{{{\mathrm{p}}0}}}\right) $上的值是一一对应的. 令$ {E}_{j,k,i}={\overset{\smile }{x}}_{j,k,i}/{\omega }^{j-1}(j=1,2,3) $，则式（16）变为

(17)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{E}}_{1,k,i}=\omega {E}_{2,k,i}/{a}_{i}(\tau )-3\omega {E}_{1,k,i},\\{\dot{E}}_{2,k,i}=\omega {E}_{3,k,i}/{a}_{i}(\tau )-3\omega {a}_{i}(\tau ){E}_{1,k,i},\\{\dot{E}}_{3,k,i}={\dot{g}}_{k,i}/({\omega }^{2}{a}_{i}(\tau ))-\omega a_{i}^{2}(\tau ){E}_{1,k,i}.\end{array}\right\} $

定义$ {\boldsymbol{E}}_{k,i}={[{{E}_{1,k,i}},{{E}_{2,k,i}},{{E}_{3,k,i}}]}^{\text{T}} $，则有

(18)$ {\dot{\boldsymbol{E}}}_{k,i}=\omega \boldsymbol{A}{\boldsymbol{E}}_{k,i}+\boldsymbol{B}{\dot{g}}_{k,i}/\left({\omega }^{2}{a}_{i}(\tau )\right). $

式中：A为赫尔维兹矩阵，

$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}-3 & 1/{a}_{i}(\tau ) & 0\\-3{a}_{i}(\tau ) & 0 & 1/{a}_{i}(\tau )\\-a_{i}^{2}(\tau ) & 0 & 0\end{matrix}\right] , $

A的特征值为$ -1 \lt 0 $；$ \boldsymbol{B}={[0,0,1]}^{\text{T}} $. 存在对称正定矩阵$ {\boldsymbol{Q}} $，使得$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{P}+{\boldsymbol{P}}^{\text{T}}\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{Q} $存在唯一的对称正定解$ \boldsymbol{P} $.

定义Lyapunov函数$ {V}_{E,k,i}=\boldsymbol{E}_{k,i}^{\text{T}}\boldsymbol{P}{\boldsymbol{E}}_{k,i} $，将该函数对$ \tau $求导，可得

(19)$ \begin{split} & \dfrac{\text{d}{V}_{E,k,i}}{\text{d}\tau }=(\dot{\boldsymbol{E}}_{k,\mathrm{i}}^{\text{T}}\boldsymbol{P}{\boldsymbol{E}}_{k,i}+\boldsymbol{E}_{k,i}^{\text{T}}\boldsymbol{P}{\dot{\boldsymbol{E}}}_{k,i})=\\& \qquad -\omega \boldsymbol{E}_{k,i}^{\text{T}}\boldsymbol{Q}{\boldsymbol{E}}_{k,i}+2\boldsymbol{E}_{k,i}^{\text{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}{\dot{g}}_{k,i}/\left({\omega }^{2}{a}_{i}(\tau )\right)\leqslant \\& \qquad -\omega {\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{Q})||{\boldsymbol{E}}_{k,i}||_{2}^{2}+\\& \qquad 2{g}_{2}||\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}|{|}_{2}||{\boldsymbol{E}}_{k,i}|{|}_{2}/\left({\omega }^{2}{a}_{i}(\tau )\right).\end{split}$

由式(15)可知，$ 1/{a}_{i}(\tau ) $是单调递减的，所以$ 1/{a}_{i}(\tau )\leqslant 1/{a}_{i}(0) $，则有

(20)$ \dfrac{\text{d}{V}_{E,k,i}}{\text{d}\tau }\leqslant -\omega {\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{Q})||{\boldsymbol{E}}_{k,i}||_{2}^{2}+\dfrac{2{g}_{2}||\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}|{|}_{2}||{\boldsymbol{E}}_{k,i}|{|}_{2}}{{\omega }^{2}{a}_{i}(0)}. $

根据文献[13]可知，存在有限时间$ {\tau }_{2} $，使得对于所有$ \tau \geqslant {\tau }_{2} $，$ {\boldsymbol{E}}_{k,i} $收敛到误差带$ {\varOmega }_{i} $内，即

(21)$ ||{\boldsymbol{E}}_{k,i}|{|}_{2}\leqslant {\varOmega }_{i}=\dfrac{2{g}_{2}||\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}|{|}_{2}{\lambda }_{\text{max}}(\boldsymbol{P})}{{\omega }^{3}{a}_{i}(0){\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{P}){\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{Q})}. $

式中：$ {\lambda }_{\text{max}}(\boldsymbol{P})、{\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{P}) $分别为矩阵$ {\boldsymbol{P}} $的最大和最小特征值，$ {\lambda }_{\text{min}}(\boldsymbol{Q}) $为矩阵$ \boldsymbol{Q} $的最小特征值. 因为$ {E}_{1,k,i}= {\overset{\smile }{x}}_{1,k,i} $，$ \left| {\tilde{x}}_{1,k,i}\right| =\left| {\overset{\smile }{x}}_{1,k,i}\right| =\left| {E}_{1,k,i}\right| \leqslant {\left\|{\boldsymbol{E}}_{k,i}\right\|}_{2}\leqslant $ $ {\varOmega }_{i} $，即观测器估计误差将会收敛到误差带$ {\varOmega }_{i} $内.

根据式(12)可知，当$ \tau \rightarrow {\tau }_{1} $时，$ t\rightarrow 2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}} \times \arctan \;{\tau }_{1}/{\text{π}} $，估计误差收敛到误差带$ {\varOmega }_{i} $.在自变量$ t $中，有

(22)$ t\rightarrow 2{T}_{{{\mathrm{p}}1}}\arctan \; {\tau }_{1}/{\text{π}} ={T}_{{{{\mathrm{p}}}_{0}}}\leqslant {T}_{{{{\mathrm{p}}}_{1}}}. $

观测器能够在指定时间$ {T}_{{{{\mathrm{p}}1}}} $内实现对系统输出和不确定性的快速估计，即当$ t\rightarrow {T}_{{{{\mathrm{p}}1}}} $时，$ |{\tilde{x}}_{j}(t)|\leqslant {\varOmega }_{i} $.

在区间$ \left[{T}_{{{{\mathrm{p}}0}}},T\right] $上，

$a(t)=\dfrac{{\text{π}} }{2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}}{\sec }^{2}\left(\dfrac{{\text{π}} {T}_{{{{\mathrm{p}}0}}}}{2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}}\right).$

由于当$ t\rightarrow {T}_{{{{\mathrm{p}}0}}} $时，估计误差$ {\tilde{x}}_{j} $收敛到误差带$ {\varOmega }_{i} $内，且$ a\left(t\right) $的上界为$ \left[{{\text{π}} }/\left({2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}}\right)\right]{\sec }^{2}\left[{{\text{π}} {T}_{{{{\mathrm{p}}0}}}}/\left({2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}}\right)\right] $，因此观测器增益$ a\left(t\right) $在$ {T}_{{{{\mathrm{p}}0}}} $处连续，且$ a\left(t\right) $在$ \left[{T}_{{{{\mathrm{p}}0}}},T\right] $保持不变，因此估计误差$ |{\tilde{x}}_{j}|\leqslant {\varOmega }_{i} $.

证毕.

注1　根据式(10)可知，观测器的收敛时间为$ {T}_{{{{\mathrm{p}}0}}} $，当$ \varDelta =0 $时，系统的收敛时间将接近用户自定的指定时间，但此情况会导致观测器增益无限大的问题. 通过设计适当控制参数使观测器的收敛时间略小于指定时间，以降低估计精度为代价，确保观测增益有界，因此$ \varDelta $的设计需要在瞬态估计精度和高增益之间进行权衡.

注2　从式(15)可以看出，$ a(0)={\text{π}} /\left(2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}\right) $，

$a({T}_{{{{\mathrm{p}}0}}})= \dfrac{{\text{π}} }{2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}}{\sec }^{2}\left(\dfrac{{\text{π}} {T}_{{{{\mathrm{p}}0}}}}{2{T}_{{{{\mathrm{p}}1}}}}\right),$

因此$ a\left(\tau \right) $在整个时间区间上连续且有界. 相较于文献[16]、[17]，本文设计的指定时间扩张状态观测器可以避免具有无限增益指定时间扩张状态观测器在$T_{{\mathrm{p}}0} $处切换观测器所造成的估计值抖振问题，可以任意指定收敛时间并简化参数设计，在工程上具有实际意义.

注3　相比于仅能确定收敛时间上界的固定时间扩张状态观测器^[14]和预定义时间扩张状态观测器^[15] 相比，本文提出的观测器仅须通过调整参数$ {T}_{{{{\mathrm{p}}}_{1}}} $，就能获得观测误差的实际收敛时间.

针对执行重复任务的四旋翼飞行器系统，设计全限幅迭代学习控制器，以保证系统可以高精度跟踪给定的参考轨迹.

在设计控制器前，提供如下的必要假设和引理.

假设2^[22]　参考轨迹$ {x}_{{\mathrm{d}},i}\left(t\right) $是光滑且有界的，在有限时间$ \left[0,T\right] $上是闭合的，即$ {x}_{{\mathrm{d}},i}\left(0\right)={x}_{{\mathrm{d}},i}\left(T\right) $.

假设3^[25]　本次迭代运行的系统初值由上一次迭代运行的终值给定，即$ {x}_{k,i}(0)={x}_{k-1,i}(T) $.

引理1^[26]　给定标量$ m,n $，假设$ \underline{n}\leqslant m\leqslant \overline{n} $（$ \overline{n} $、$ \underline{n} $分别为标量$ m $的上、下界），则有

(23)$ (m-\text{sat}\;(n))(n-\text{sat}\;(n))\leqslant 0 $

成立. 式中：$ \text{sat}\;(n) $为饱和函数，

$ \text{sat}\;(n)=\begin{cases} \overline{n},\;\overline{n} \lt n;\\n,\;\underline{n}\leqslant n\leqslant \overline{n};\\\underline{n},\;n< \underline{n}.\end{cases} $

引理2^[27]　对于任意$ \xi \gt 0 $，$ \eta \in \bf{R} $，有下列不等式成立：

(24)$ 0\leqslant \left| \eta \right| -\eta \text{tanh}\left(\dfrac{\eta }{\xi }\right)\leqslant \delta \xi . $

式中：$ \delta =0.278\;5 $.

引理3^[28]　对于给定的级数收敛序列$ m/{k}^{n} $，其中$ k=1,2,3,\cdots $，$ m\geqslant 0 $为常数，则有以下不等式成立：

(25)$ \underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }\displaystyle\sum \nolimits_{i=1}^{k}m/{k}^{n}\leqslant 2m. $

由式(6)可知，系统跟踪误差可以改写为

(26)$ \left.\begin{array}{l}{\dot{e}}_{1,k,i}={e}_{2,k,i},\\{\dot{e}}_{2,k,i}={b}_{0,i}({u}_{k,i}-{u}_{{\mathrm{d}},i})+{x}_{3,k,i}.\end{array}\right\} $

设计滑模变量：

(27)$ {s}_{k,i}(t)={c}_{1,i}{e}_{1,k,i}+{e}_{2,k,i}. $

式中：$ {c}_{1,i} $为正常数. 对滑模变量求导，可得

(28)$ \begin{split} & {\dot{s}}_{k,i}={c}_{1,i}{e}_{2,k,i}+{\dot{e}}_{2,k,i}=\\& \qquad {c}_{1,i}{e}_{2,k,i}+{x}_{3,k,i}+{b}_{0,i}({u}_{k,i}-{u}_{{\mathrm{d}},i}).\end{split} $

定义Lyapunov函数为

(29)$ {V}_{k,i}(t)=\dfrac{1}{2}s_{k,i}^{2}. $

针对执行重复任务的四旋翼飞行器系统，根据假设2可知，期望输入$ {x}_{{\mathrm{d}},i}\left(t\right) $在有限区间$ \left[0,T\right] $内是首尾相接的. 由假设3可知，本次迭代运行的系统初值由上一次迭代运行的终值给定，因此有$ {e}_{j,k,i}\left(0\right)= {e}_{j,k-1,i}\left(T\right),j=1,2 $. 根据式(27)可得$ {s}_{k,i}\left(0\right)={s}_{k-1,i}\left(T\right) $，进而得到$ {V}_{k,i}\left(0\right)={V}_{k-1,i}\left(T\right) $. 对式(29)进行求导，可以得到

(30)$ {\dot{V}}_{k,i}={s}_{k,i}[{c}_{1,i}{e}_{2,k,i}+{b}_{0,i}({u}_{k,i}-{u}_{{\mathrm{d}},i})+{x}_{3,k,i}]. $

根据式(30)，设计如下形式的迭代学习控制器和全限幅迭代学习律.

(31)$ \begin{split} & {u}_{k,i}=u_{k,i}^{{\mathrm{l}}}-b_{0,i}^{-1}[{c}_{1,i}{e}_{2,k,i}+{\hat{x}}_{3,k,i}+{h}_{i}{s}_{k,i}+\\& \qquad {g}_{3}\tanh \;({s}_{k,i}/{\varpi }_{k,i})].\end{split} $

(32)$ \left.\begin{array}{l}u_{k,i}^{{\mathrm{l}}}=\text{sat}\;(u_{{\mathrm{l}}k,i}^{{\mathrm{l}}}),\\u_{{\mathrm{l}}k,i}^{{\mathrm{l}}}=\text{sat}\;(u_{{\mathrm{l}}k-1,i}^{{\mathrm{l}}})-{\rho }_{i}{b}_{0,i}{s}_{k,i}.\end{array}\right\} $

式中：$ u_{k,i}^{{\mathrm{l}}} $为$ {u}_{{\mathrm{d}},i} $的估计值，$ {\tilde{u}}_{k,i}={u}_{{\mathrm{d}},i}-u_{k,i}^{{\mathrm{l}}} $，$ u_{{\mathrm{l}}0,i}^{{\mathrm{l}}}=0 $； $ {g}_{3} \gt {g}_{1} $；$ {\varpi }_{k,i}=m/k_{i}^{2} $为级数收敛序列；$ {h}_{i} $为反馈增益常数；$ {\rho }_{i} $为学习控制增益常数. 从理论上分析可知，$ {h}_{i} $越大，系统的收敛速度越快，$ {\rho }_{i} $越大，每次迭代中跟踪误差绝对值的最大值的衰减速率越快，但参数的取值不应超过控制器允许的范围限制.

注4　在本控制器中，采用双曲正切函数替代符号函数，旨在提升系统跟踪信号的平滑性.

注5　相较于文献[21]中的半限幅迭代学习控制方法，该方法仅对历史迭代的控制输入进行限幅，而本文提出的全限幅滑模迭代学习控制方法能够将限幅作用同步扩展至当前迭代，从而实现对控制输入的全面约束.

定理2　针对满足假设1~3的式(1)，设计指定时间扩张状态观测器（见式(9)），式(31)、(32)将保证迭代次数$ k\rightarrow \mathrm{\infty } $时，滑模变量$ {s}_{k} $、系统跟踪误差$ {e}_{1,k} $和$ {e}_{2,k} $在$ \left[0,T\right] $时间内收敛到0.

证明：将式(31)代入式(30)，根据引理2可得

(33)$ {\dot{V}}_{k,i}(t)\leqslant -{s}_{k,i}{b}_{0,i}{\tilde{u}}_{k,i}-{h}_{1}s_{k,i}^{2}+{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}. $

定义正定类Lyapunov函数：

(34)$ {L}_{k}(t)={V}_{k,i}(t)+\dfrac{1}{2{\rho }_{i}}\int \nolimits_{0}^{t}\tilde{u}_{k,i}^{2}(\mu )\text{d}\mu . $

1）证明$ {L}_{1}\left(t\right) $的有界性. 对$ {L}_{k}\left(t\right) $求导，可得

(35)$ {\dot{L}}_{k,i}(t)\leqslant {\dot{V}}_{k,i}(t)+\dfrac{1}{2{\rho }_{i}}\tilde{u}_{k,i}^{2}. $

当$ k=1 $时，式（35））可以改写为

(36)$ \begin{aligned} {\dot{L}}_{1}(t) \leqslant {\dot{V}}_{1,i}(t)+\dfrac{1}{2{\rho }_{i}}\tilde{u}_{1,i}^{2}\end{aligned}. $

将式(33)代入式（36），可得

(37)$ {\dot{L}}_{1}(t)\leqslant -{s}_{1,i}{b}_{0,i}{\tilde{u}}_{1,i}-{h}_{i}s_{1,i}^{2}+\dfrac{1}{2{\rho }_{i}}{({{u}_{{\mathrm{d}},i}}-{u_{1,i}^{{\mathrm{l}}}})}^{2}+{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}. $

利用代数公式$ {(a-b)}^{2}=2(a-b)(c-b)- $ $ 2(a-b)c+ {a}^{2}-{b}^{2} $，可得

(38)$\begin{split} & ({{u}_{{\mathrm{d}},i}}-{u_{1,i}^{{\mathrm{l}}}})^{2}\leqslant 2({u}_{{\mathrm{d}},i}-u_{1,i}^{{\mathrm{l}}})(u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}-u_{1,i}^{{\mathrm{l}}})-\\& \qquad 2({u}_{{\mathrm{d}},i}-u_{1,i}^{{\mathrm{l}}})u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}+u_{{\mathrm{d}},i}^{2}.\end{split} $

根据式(32)，并结合$ u_{0,i}^{{\mathrm{l}}}=0 $的条件和引理1，式(38)可以改写为

(39)$ \begin{split} & ({{u}_{{\mathrm{d}},i}}-{u_{1,i}^{{\mathrm{l}}}})^{2}\leqslant 2({u}_{{\mathrm{d}},i}-\text{sat}\;(u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}))(u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}-\text{sat}\;(u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}))-\\&\qquad 2({u}_{{\mathrm{d}},i}-\text{sat}\;(u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}))u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}+u_{{\mathrm{d}},i}^{2}\leqslant\\&\qquad -2{\tilde{u}}_{1,i}u_{{\mathrm{l}}1,i}^{{\mathrm{l}}}+u_{{\mathrm{d}},i}^{2}\leqslant 2{\rho }_{i}{\tilde{u}}_{1,i}{b}_{0,i}{s}_{1,i}+u_{{\mathrm{d}},i}^{2}.\end{split}$

将式(39)代入式(37)，可得

(40)$ \begin{aligned} {\dot{L}}_{1} \leqslant \dfrac{1}{2{\rho }_{i}}u_{{\mathrm{d}},i}^{2}\end{aligned}+{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}. $

对式(40)两侧同时积分，可以得到

(41)$ {L}_{1}(t)\leqslant {L}_{1}(0)+\int \nolimits_{0}^{t}\left(\dfrac{1}{2{\rho }_{i}}u_{d,i}^{2}+{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}\right)\text{d}\mu . $

因为$ {g}_{3}\delta {\varpi }_{k} $和期望控制输入$ {u}_{{\mathrm{d}},i} $有界，根据$ {L}_{k}\left(t\right) $的定义可知，$ {L}_{1}\left(0\right) $有界，可以得到$ {L}_{1}\left(t\right) $有界.

2）证明系统的所有信号有界. 对第$ k $次迭代的类Lyapunov函数（见式(34)）差分，有

(42)$ \begin{split} & \Delta {L}_{k}(t)={L}_{k}(t)-{L}_{k-1}(t)=\\& \qquad \dfrac{1}{2{\rho }_{i}}\int \nolimits_{0}^{t}(\tilde{u}_{k,i}^{2}-\tilde{u}_{k-1,i}^{2})\text{d}\mu +{V}_{k,i}(t)-{V}_{k-1,i}(t)\leqslant \\& \qquad \int \nolimits_{0}^{t}{\dot{V}}_{k,i}(\mu )\text{d}\mu +{V}_{k,i}(0)-{V}_{k-1,i}(t)+\\&\qquad \dfrac{1}{2{\rho }_{i}}\int \nolimits_{0}^{t}(\tilde{u}_{k,i}^{2}-\tilde{u}_{k-1,i}^{2})\text{d}\mu .\end{split} $

利用代数公式$ {(a-b)}^{2}-{(a-c)}^{2}=2(a-b) $$ (c-b)- {(b-c)}^{2} $，根据式(32)和引理1可得

(43)$ \begin{split} & \tilde{u}_{k,i}^{2}-\tilde{u}_{k-1,i}^{2}\leqslant 2({u}_{{\mathrm{d}},i}-u_{k,i}^{{\mathrm{l}}})(u_{k-1,i}^{{\mathrm{l}}}-u_{k,i}^{{\mathrm{l}}})\leqslant\\&\qquad 2({u}_{{\mathrm{d}},i}-\text{sat}\;(u_{{\mathrm{l}}k,i}^{{\mathrm{l}}}))(u_{{\mathrm{l}}k,i}^{{\mathrm{l}}}+{\rho }_{i}{b}_{0,i}{s}_{k,i} -\text{sat}\;(u_{{\mathrm{l}}k,i}^{{\mathrm{l}}}))\leqslant\\&\qquad 2{\rho }_{i}{\tilde{u}}_{k,i}{b}_{0,i}{s}_{k,i}.\end{split} $

将式(33)、(43)代入式(42)，可得

(44)$ \Delta {L}_{k}(t)\leqslant \int \nolimits_{0}^{t}({g}_{3}\delta {\varpi }_{k}-{h}_{i}s_{k,i}^{2}\text{)d}\mu +{V}_{k,i}(0)-{V}_{k-1,i}(t). $

根据$ {V}_{k}\left(0\right)={V}_{k-1}\left(T\right) $，当$ t=T $时，式(44)改写为

(45)$ \Delta {L}_{k}(T)\leqslant \int \nolimits_{0}^{T}{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}(t)\text{d}\mu +{V}_{k,i}(0)-{V}_{k-1,i}(T)\leqslant T{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}. $

根据引理3可知，当$ k\rightarrow \mathrm{\infty } $时，$ T {g}_{3}\delta {\varpi }_{k}\rightarrow 2T {g}_{3}m $，因此$ 2T {g}_{3}m $是有界的正常数. 从式(41)可知，$ {L}_{1}\left(T\right) $有界，因此$ {L}_{k}\left(T\right) $有界，即

(46)$ {L}_{k}(T)={L}_{1}(T)+\displaystyle\sum \nolimits_{i=1}^{k}\Delta {L}_{i}(T)\leqslant \mathrm{\infty }. $

根据式(34)、(41)~(44)，可知

(47)$ \begin{split} & {L}_{k}(t)\leqslant \int \nolimits_{0}^{t}{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}\text{d}\mu +{L}_{k-1}(t)-{V}_{k-1,i}(t)+{V}_{k,i}(0)=\\&\qquad \int \nolimits_{0}^{t}{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}\text{d}\mu +{V}_{k-1,i}(T)+\dfrac{1}{2{\rho }_{i}}\int \nolimits_{0}^{t}\tilde{u}_{k-1}^{2}\text{d}\mu \leqslant\\&\qquad \dfrac{1}{2{\rho }_{i}}\int \nolimits_{0}^{T}\tilde{u}_{k-1,i}^{2}\text{d}\mu +{V}_{k-1}(T)+T{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}=\\&\qquad {L}_{k-1}(T)+T{g}_{3}\delta {\varpi }_{k}.\end{split} $

从式(47)可知，$ {L}_{k-1}\left(T\right) $和$ T{g}_{3}\delta {\varpi }_{k} $是有界的，因此$ {L}_{k}\left(t\right) $在$ \left[0,T\right] $上是一致有界的. 根据式(34)可知，$ {s}_{k,i} $、$ {\tilde{u}}_{k,i} $是有界的. 由式(9)得到$ {\hat{x}}_{3,k,i} $的一致有界性，由式(32)得到$ u_{k,i}^{l} $的一致有界性，因此$ {\dot{s}}_{k,i} $是一致有界的.

3）证明跟踪误差的收敛性. 根据式(47)和引理3可以得到

(48)$ \begin{split} & \underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }{L}_{k}(T)={L}_{1}(T)+\underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }\displaystyle\sum \nolimits_{i=1}^{k}\Delta {L}_{i}(T) \leqslant\\&\qquad {L}_{1}(T)-\underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }\displaystyle\sum \nolimits_{i=1}^{k}\int \nolimits_{0}^{T}{h}_{i}s_{k,i}^{2}\text{d}\mu +2T{g}_{3}\delta m \leqslant\\&\qquad -\underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }\displaystyle\sum \nolimits_{{i}=1}^{k}\int \nolimits_{0}^{T}{h}_{i}s_{k,i}^{2}\text{d}\mu +{L}_{1}(T)+2T{g}_{3}\delta m.\end{split} $

由于$ {L}_{k}\left(T\right) $、$ {L}_{1}\left(T\right) $有界，$ 2T{g}_{3}\delta m $为常数，可得

(49)$ \underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }\displaystyle\sum \nolimits_{i=1}^{k}\int \nolimits_{0}^{T}{h}_{i}s_{k,i}^{2}\text{d}\mu =0. $

根据式(49)可知，$ {s}_{k,i}\left(t\right) $在$ \left[0,T\right] $上一致收敛，即

(50)$ \forall t\in \left[0,T\right],\underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{k,i}=0. $

当$ k\rightarrow +\mathrm{\infty } $时，$ {e}_{1,k,i}\left(t\right) $、$ {e}_{2,k,i}\left(t\right) $只有零解，即

(51)$ \forall t\in \left[0,T\right],\;\underset{k\rightarrow \mathrm{\infty }}{\lim }{e}_{j,k,i}=0,\;j=1,2. $

证毕.

为了验证设计的指定时间扩张状态观测器和迭代学习控制的有效性，将提出的基于指定时间扩张状态观测器的迭代学习控制方法M1与基于固定时间ESO的滑模迭代学习控制方法M2^[14]、滑模迭代学习控制方法M3^[22]2种方法进行对比. 以滚转角为例，给定四旋翼飞行器的期望初始姿态为$ {0}^{{^{\circ}}} $，期望跟踪轨迹为$ {\phi }_{{\mathrm{d}}}=3\sin \;(0.8{\text{π}} t) $，指定时间$ {T}_{{{{\mathrm{p}}}_{1}},\phi }=1.5\;\text{s} $，仿真时间$ T=10 \;\text{s} $. 鉴于系统性能在15次迭代后跟踪精度改善有限，设定迭代次数$ k=15 $，$ {b}_{0,\phi }=18.12 $，其中${b}_{0,\phi } $为名义控制增益，其取值由四旋翼姿态动力学模型中的标称转动惯量确定，外部扰动$ {x}_{3,\phi }=\cos \;(\sin \;t)+0.2\;\text{rand} $.数值仿真是在相对理想的条件下进行的，各参数无须设置过大，其中$ {g}_{3} $的取值可以依据观测器的初值和扰动初值来定，因此参数设置为$ {c}_{1,\phi }=1 $，$ {h}_{1,\phi }=0.5 $，$ {\rho }_{\phi }= 0.05 $，$ {g}_{3}=3 $，$ \varDelta =0.05 $. 经过试凑发现，当$ \varDelta $< 0.01时会出现观测器增益无界的情况，当$ \varDelta $> 0.5时会导致扰动估计误差较大，考虑到$ \varDelta $取较小的值对观测器收敛时间的影响不大，在数值仿真中取$ \varDelta =0.05 $，在本实验中取$ \varDelta =0.1 $.

M2控制器设计为

(52)$ \begin{split} & {u}_{k,\phi }(t)=u_{k,\phi }^{{\mathrm{l}}}(t)-b_{0,\phi }^{-1}[{c}_{1,\phi }{e}_{2,k,\phi }(t)+{\hat{x}}_{3,k,\phi }(t)+\\& \qquad {h}_{\phi }{s}_{k,\phi }(\mathrm{t})+{g}_{3}\tanh \;({s}_{k,i}/{\varpi }_{k,i})].\end{split} $

其中，固定时间ESO设计为

(53)$ \left.\begin{array}{l} {\dot{\hat{x}}}_{1,k,\phi }={\hat{x}}_{2,k,\phi }+3{\omega }_{\phi }{w}_{1},\\{\dot{\hat{x}}}_{2,k,\phi }={b}_{\phi }{u}_{k,\phi }+{\hat{x}}_{3,k,\phi }+3\omega _{\phi }^{2}{w}_{2},\\{\dot{\hat{x}}}_{3,k,\phi }=\omega _{\phi }^{3}{w}_{3}.\end{array}\right\} $

式中：$ {w}_{j}=(|{\tilde{x}}_{1,k,\phi }{|}^{{{p}_{j}}}+|{\tilde{x}}_{1,k,\phi }{|}^{{{q}_{j}}}) \;(j=1,2,3)$， $ {p}_{1}=(2- $$ {q}_{3})/ (2{q}_{3}-1) $，$ {p}_{2}=(2-{q}_{3})/{q}_{3} $，$ {p}_{3}=2-{q}_{3}$，$ {q}_{1}={q}_{3}/ (3- 2{q}_{3}) $，$ {q}_{2}={q}_{3}/(2-{q}_{3}) $，$ {q}_{3}=0.8 $，$ {\hat{x}}_{3,k,\phi } $为固定时间ESO扰动估计值，$ {\omega }_{\phi }=15 $，M2中$ {c}_{1,\phi } $、$ {h}_{\phi } $、$ {g}_{3} $的取值均与M1控制参数一致.

M3控制器设计为

(54)$ \begin{split} & {u}_{k,\phi }(t)=u_{k,\phi }^{{\mathrm{l}}}(t)-b_{0,\phi }^{-1}({c}_{1,\phi }{e}_{2,k,\phi }(t)+{h}_{i}{s}_{k,\phi }(t)+\\& \qquad {\hat{x}}_{3,k,i}+{\mathrm{g}}_{3}{s}_{k,i}\text{sgn}\;({s}_{k,i})).\end{split}$

式中：M3中$ {c}_{1,\phi } $、$ {h}_{\phi } $、$ {g}_{3} $的取值均与M1控制参数一致.

如图2所示为3种控制方法的姿态角对期望轨迹的跟踪情况. 可以看出，采用3种方法，均能够有效跟踪给定的期望信号，M3相较于M1和M2有明显滞后，M1动态性能更好. 如图3所示为系统控制输入的对比结果. 可以看出，3种方法的控制输入大致相同. 如图4所示为每次迭代误差绝对值的最大值${J}_{k,\phi } $. 可以看出，随着迭代次数的增加，3种方法的性能指标逐渐减小，鉴于系统性能在15次迭代后跟踪精度改善有限，选取迭代次数为15次. 经过15次迭代后，3种方法的滚转角跟踪误差绝对值的最大值可以分别收敛到$ {0.005}^{{^{\circ}}}、{0.01}^{{^{\circ}}}、{0.015}^{{^{\circ}}} $. 如图5所示为固定时间扩张状态观测器和指定时间扩张状态观测器对不确定性扰动的估计. 由于仅有M1和M2这2种方法引入了观测器，能够实现对扰动的估计，进一步对比2种观测器对扰动的实际跟踪效果. M1观测器的估计值可以在指定时间($ {T}_{{{{\mathrm{p}}1}},\phi }=1.5\;\text{s} $)内快速估计扰动，M2观测器的估计精度略低于M1.

为了验证算法的优越性，在三自由度悬停平台上开展实验，平台如图6所示. 该平台由Quanser VoltPAQ-X4功放电源、光电编码器、QPID-USB采集卡、计算机和带有三自由度旋转关节的螺旋桨圆盘组成. 计算机通过MATLAB设计控制器，利用分辨率为8 192 counts/rev的光电编码器，将simulink文件转化成代码并写入系统中控制电机产生正电压，使4个螺旋桨圆盘绕3个轴转动. QPID-USB采集卡将采集到的姿态信号输送到计算机，实现实时控制，整个系统的采样时间设定为2 ms. 针对执行重复任务的四旋翼飞行器姿态系统，利用任务的重复性，结合假设2、假设3，将相邻迭代轨迹首尾相接.

对比方法M1、M2、M3的控制参数均与数值仿真验证中的参数设置保持一致. 设置期望姿态角为$ {\phi }_{{\mathrm{d}}}=10\sin \;(0.2{\text{π}} t) $，姿态角初始值均设为$ {0}^{{^{\circ}}} $，指定时间$ {T}_{{{{\mathrm{p}}1}},\phi }=2.5\;\text{s} $，

仿真时间为$ T=10\;\text{s} $，$ {b}_{0,\phi }=18.12 $，鉴于系统性能在6次迭代后收敛，且进一步改善有限，迭代次数设定为$ k=6 $. 真实的实验环境受到多种不确定性因素的影响，在实验阶段可以适度增大控制器参数的取值，但需要保证参数的取值在设备控制输入的容许范围内，因此本文控制器的参数设置为$ {c}_{1,\phi }=6 $，$ {h}_{1,\phi }=20 $，$ {\rho }_{\phi }=15 $. M2控制器的参数为$ {\omega }_{\phi }=9 $，M3控制器参数$ {c}_{1,\phi } $、$ {h}_{\phi } $、$ {g}_{3} $的取值均与本文一致.

实验结果如图7~10所示. 如图7所示为期望信号$ {\phi }_{{\mathrm{d}}} $与3种控制方法的实际输出跟踪曲线对比.可以看出，利用引入观测器的迭代学习方法，显著提升了跟踪精度. 如图8所示为3种控制方法的姿态角控制输入对比结果. 可以看出，M2和M3在迭代的前几秒抖振较M1大，且M1控制输入的幅值相较于M2和M3较小. 如图9所示为每次迭代误差绝对值的最大值对比. 可以看出，3种方法的姿态跟踪误差随迭代次数增加而逐步收敛，且M1收敛最快. 经过6次迭代后，3种算法最后一次迭代跟踪误差绝对值的最大值可以收敛到$ {0.06}^{{^{\circ}}} $、$ {0.075}^{{^{\circ}}} $、$ {0.16}^{{^{\circ}}} $. 结合图7、9可以看出，M1的跟踪误差略小于M2，相比于未使用观测器的方法M3，使用观测器方法的跟踪误差显著降低. 如图10所示为观测器对不确定性的估计. 综上所述，利用本文方法，可以快速估计不确定性并将其补偿到控制器中，从而提高系统的跟踪精度.

针对具有重复姿态轨迹的四旋翼飞行器姿态系统，提出指定时间扩张状态观测器的抗扰学习控制方法. 设计时间尺度函数，构造观测器增益连续有界的指定时间扩张状态观测器，估计不确定性. 设计全限幅迭代律，确保控制输入的有界性. 利用对准条件设计滑模迭代学习控制器，避免迭代学习中出现的初值问题，实现对扰动的精准补偿并提高系统输出对期望轨迹的跟踪精度.在3 DOF hover quanser平台上进行实验，验证所提算法的有效性. 未来的研究将围绕四旋翼位置控制问题进行探讨.