在自动驾驶、增强现实以及虚拟现实等物联网应用飞速发展的当下，海量数据源源不断地涌现，这给网络流量和计算资源带来前所未有的巨大挑战^[1]. 用户设备（user equipment, UE）的能源和计算资源有限，这将严重影响用户的体验^[2]. 鉴于UE计算能力有限，将应用程序卸载到附近拥有更多计算资源的设备上进行处理，正逐渐成为趋势. 移动边缘计算（mobile edge computing, MEC）在网络边缘靠近UE的地方提供计算和通信等资源，被认为是确保应用获得高质量服务的有效方法^[3-4]. 由于边缘节点的计算能力仍是有限的，如何制定高效合理的卸载策略在MEC系统中起着至关重要的作用. 联盟形成博弈作为能够体现UE自主性和合作性的方法，使UE可以根据自身利益和联盟的整体效益高效地解决这一问题^[5-7]. Zhao等^[5]利用联盟形成博弈方法，解决无线区块链网络中计算资源分配问题，提高了系统总效用. Pham等^[6]为了有效降低系统总计算开销，采用联盟形成博弈方法，研究多载波非正交多址接入使能的MEC系统中的计算卸载问题. 在以往的研究中，联盟形成博弈的算法容易陷入局部最优解，需要进一步改进.

传统的MEC系统容易受到自然灾害的影响，导致地面基站被破坏，进而引发通信中断^[8]. 幸运的是，具有灵活部署等特性的无人机（unmanned aerial vehicle, UAV）作为可配备计算资源的空中移动基站，为这一挑战提供了解决方案^[9-10]. 在UAV辅助MEC系统中，如何在有限数量的UAV下，利用连续凸近似（successive convex approximation，SCA）技术制定有效的部署方案，正逐渐成为众多学者关注的焦点^[11-13]. Zeng等^[11]研究在缓存增强的多UAV网络中，通过SCA方法解决UAV高度优化问题，有效降低了视频访问延迟. Bayessa等^[12]针对UAV辅助的集成感知与通信网络，利用SCA方法解决UAV的三维部署问题，实现通信和感知性能的优化. 尽管在上述研究中均运用SCA方法来求解无UAV部署的近似最优解，这些研究均未对模型中是否存在最优解这一关键问题进行充分的证明.

斯塔克尔伯格博弈作为极具潜力的分布式技术，也常被用于UAV辅助MEC的双层框架优化问题中^[14-16]. Wang等^[14]设计多轮迭代博弈算法，通过斯塔克尔伯格博弈模型优化UAV-MEC服务器与移动用户之间的计算资源定价和卸载策略. Lin等^[15]采用多领导者多跟随者斯塔克尔伯格博弈模型，联合优化计算资源定价、卸载链路选择及任务划分比例，并设计分层分布式迭代算法以实现斯塔克尔伯格平衡（stackelberg equilibrium, SE）. 目前对分布式框架的算法研究还很有限，在UAV辅助MEC系统中应用斯塔克尔伯格博弈仍需进一步研究. 针对上述问题，本研究为双层多UAV辅助MEC系统提出联合优化UAV部署和UE卸载策略方案，旨在降低UE的总计算成本. 为了解决UAV部署和UE卸载策略之间复杂的相互依存关系，该问题被重新表述为多领导者、多追随者的斯塔克尔伯格博弈，UAV作为领导者，UE作为追随者. 针对追随者层子博弈，将其建模为1个改进的联盟形成博弈最小化UE的计算成本；针对领导者层子博弈，通过严格势博弈证明其纳什均衡（Nash equilibrium, NE）的存在性，通过SCA技术逐渐逼近NE，实现UAV吞吐量最大化. 设计基于斯塔克尔伯格的二层迭代（Stackelberg-based two-layer iterative, SBTLI）算法来解决上述问题.

如图1所示，考虑二层的UAV辅助MEC系统，其中地面基站因自然灾害受损而造成通信中断，配备MEC服务器的UAV为该地区的UE提供服务. 系统由${N_{\mathrm{U}}}$个UE和${M_{\mathrm{U}}}$个UAV组成，UAV 和UE的集合分别用$M = \{ 1, \cdots ,m, \cdots ,{M_{\mathrm{U}}}\} $和$N = \{ 1, \cdots , n, \cdots ,{N_{\mathrm{U}}}\} $表示. 每个UAV和UE都配备1根天线用于信号发射和接收. 为了避免分布式信息交换引发的高信令开销，采用集中式的软件定义网络（software-defined networking, SDN）控制机制. 每个UE仅须将其本地信道状态信息（channel state information, CSI）上报至所连接的UAV，各UAV的SDN控制器再通过控制信道进行交互并汇聚生成区域全局CSI，由UAV广播给区域内的UE. 该机制既降低了信令复杂度，又保证系统在大规模UE场景下仍能高效获取全局CSI.

假设UE$n$有1个不可分割^[17]的计算任务数据集${L_n} = \{ {D_n},{C_n}\} $，${D_n}$为任务大小，${C_n}$为处理每个比特所需的 CPU 周期. 每个UE的任务只能卸载到1个UAV上，每个UAV能同时服务多个UE^[18]. 由于计算结果通常比原始任务数据量小得多^[19]，忽略下载UAV任务执行结果的相关延迟和能耗. UE$n$具有本地计算能力$f_n^{{\text{loc}}}$，可执行本地计算. 相比之下，UAV$m$中的MEC服务器拥有更高的计算能力${F_m}$，使其能够为多个UE提供并行任务卸载服务. 假设所有UAV悬停在固定高度$H$，UE的高度为0，UE$n$和UAV$m$的水平坐标分别用${{\boldsymbol{s}}_n} = \{ {x_n},{y_n}\} $和${{\boldsymbol{q}}_m} = \{ {X_m},{Y_m}\} $表示. 在灾后场景中，由于环境限制，UE 被认为是不可移动的，忽略UE在覆盖区域内的移动性.

由于UE与UAV之间的地对空（ground-to-air, G2A）无线信道主要由直射（line-of-sight, LoS）和非直射（non-line-of-sight, NLoS）成分组成，采用广泛使用的概率LoS模型来表征G2A通信链路的大尺度路径损耗^[20]. UE$n$与UAV$m$之间建立LoS链路的概率可近似为

(1)$ P_{m,n}^{{\text{LoS}}} = \frac{1}{{1+a\exp \left( { - b({\theta _{m,n}} - a)} \right)}}. $

式中：$a$和$b$为环境常数. ${\theta _{m,n}}$为UE$n$与UAV$m$之间的仰角.

(2)$ {\theta _{m,n}} = \frac{{180}}{{\text{π}} }\arctan { }\left( {\frac{H}{{\left\| {{{\boldsymbol{q}}_m} - {{\boldsymbol{s}}_n}} \right\|}}} \right). $

NLoS信道概率$P_{m,n}^{{\text{NLoS}}} = 1 - P_{m,n}^{{\text{LoS}}}$. 从UE$n$到UAV$m$的信道功率增益为

(3)$\begin{split} & h_{m,n}=\frac{g_0(P_{m,n}^{\text{LoS}}+\mu P_{m,n}^{\text{NLoS}})}{d_{m,n}^{\alpha}},\\& d_{m,n}=\sqrt{ \left\| \boldsymbol{q}_m-\boldsymbol{s}_n \right\| ^2+H^2}.\end{split} $

式中：$\mu $为NLoS衰减效应；${g_0}$为单位距离下的信道增益；$\alpha $为路径损耗指数，取$\alpha = 2$；$ {d_{m,n}} $为UE$n$与UAV$m$的欧氏距离.

假设不同UAV的通信频段通过正交频分多址技术实现，UAV之间的跨层干扰被忽略. 每个UAV被分配1个固定大小$B$的正交子信道，1个UAV所服务的UEs须共享该信道. 尽管在实际工程中存在跨层干扰、恶意干扰等安全威胁，但同频共信道干扰通常是影响UE上传速率和计算性能的主导干扰源，因此主要关注于同频干扰. $G = \{ {G_0}, \cdots ,{G_m}, \cdots , {G_{{M_{\mathrm{U}}}}}\} $表示UE的组集，${G_0}$包含进行本地计算的UE，${G_m}$为卸载到UAV$m$的UE. ${a_n} \in \{ 0\} \cup M$为UE$n$的卸载指示变量. 当${a_n} = 0$时，UE$n$执行本地计算；否则，任务被卸载给UAV${a_n}$（即${a_n} = m$），UE$n$传输速率为

(4)$ {R_{m,n}} = B{\log _2}\left( \begin{aligned} {1+\frac{{{P_{m,n}}{h_{m,n}}}}{{{\displaystyle\sum _{u \in {G_m}\backslash \{ n\} }}{P_{m,u}}{h_{m,u}}+{N_0}}}}\end{aligned} \right). $

式中：${P_{m,n}}$为UE的发射功率，${N_0}$为环境背景噪声.

当UE$n$选择本地计算时，任务执行时延$T_n^{{\text{loc}}}$和计算能耗$E_n^{{\text{loc}}}$分别为

(5)$ T_n^{{\text{loc}}} = \frac{{{D_n}{C_n}}}{{f_n^{{\text{loc}}}}}, $

(6)$ E_n^{{\text{loc}}} = \kappa {\left( {f_n^{{\text{loc}}}} \right)^2}{D_n}{C_n}. $

式中：$\kappa $为设备芯片的有效开关电容常数^[21].

当UE$n$将任务卸载到UAV$m $时，任务执行时延包括数据传输时间$T_{m,n}^{{\text{up}}}$和计算时间$T_{m,n}^{\text{e}}$：

(7)$ T_{m,n}^{{\text{up}}} = \frac{{{D_n}}}{{{R_{m,n}}}}, $

(8)$ T_{m,n}^{\text{e}} = \frac{{{D_n}{C_n}}}{{f_{m,n}^{\text{e}}}}. $

式中：$f_{m,n}^{\text{e}}$为UAV$m$分配给UE$n$的计算频率.

假设UAV在任务执行过程中具备充足电量^[22]，这一条件可通过系留线缆供电等外部补能方式实现，忽略UAV的能耗. UEn向UAVm卸载任务所产生的传输能耗为

(9)$ E_{m,n}^{{\text{off}}} = {P_{m,n}}T_{m,n}^{{\text{up}}}. $

由于UE的异质性，它们对延迟和能耗的敏感度各不相同. UE$n$的计算成本函数${u_n}$为

(10)$ {u_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\beta _n}T_n^{{\text{loc}}}+(1 - {\beta _n})E_n^{{\text{loc}}} , &{\text{if }}{a_n} = 0; \\ {\beta _n}(T_{m,n}^{{\text{up}}}+T_{m,n}^{\text{e}})+(1 - {\beta _n})E_{m,n}^{{\text{off}}},& {\text{if }}{a_n} = m. \end{array}} \right. $

式中：${\beta _n}$为UE$n$的时延敏感度权重系数，其值越高，UE$n$的任务对时延越敏感，对能耗的容忍度则越高，反之亦然.

研究灾后多UAV辅助MEC 应急服务系统，旨在通过联合优化UE卸载和UAV部署策略，使所有UE的延迟和能耗加权和最小化. 基于上述系统模型，优化问题为

(11)$ \left.\begin{aligned}\underset{Q,A}{\mathrm{min}}\;\;&{\displaystyle \sum _{n\in N}{u}_{n}}.\\\text{s}\text{.t.}\;&{ {\mathrm{C1}}: }{a}_{n}\in \left\{0\right\}\cup M,\quad \forall n\in N;\\ \quad &{ {\mathrm{C2}}: }{R}_{m,n}\geqslant {R}_{\text{th}},\quad \forall m\in M, \;\forall n\in {G}_{m};\\ \quad &{ {\mathrm{C3}}: }\Vert {{\boldsymbol{q}}}_{m} - {{\boldsymbol{q}}}_{{m}^{\prime }}\Vert \geqslant {D}_{\mathrm{min}},\;\;\; \forall m,{m}^{\prime } \in M,\;m \ne {m}^{\prime };\\ \quad &{ {\mathrm{C4}}: }\Vert {{\boldsymbol{q}}}_{m}-{{\boldsymbol{s}}}_{n}\Vert \leqslant {D}_{\mathrm{max}},\quad \forall m\in M,\;\forall n\in {G}_{m};\\\quad &{ {\mathrm{C5}}: }{X}_{\mathrm{min}}\leqslant {X}_{m}\leqslant {X}_{\mathrm{max}},\quad \forall m\in M;\\\quad &{ {\mathrm{C6}}: }{Y}_{\mathrm{min}}\leqslant {Y}_{m}\leqslant {Y}_{\mathrm{max}},\quad \forall m\in M.\end{aligned} \right\} $

式中：$Q$为UAV位置部署集合，$ A $为UE卸载策略集合. 约束C1限制UE$n$卸载策略指标的取值范围，约束C2保证从UE$n$到UAV$m$的数据传输速率不小于阈值${R_{{\text{th}}}}$，约束C3保证无人机之间的距离大于其安全距离${D_{\min }}$，约束C4确保UAV服务的UE位于其覆盖半径${D_{{\text{max}}}}$内，约束C5和C6对UAV的水平位置施加限制.

上述联合优化UAV部署和 UE 卸载策略的问题是混合整数非线性问题，难以得出最优解. 博弈论是研究UAV部署和 UE 卸载策略问题的有效分析工具^[22-23]. 通过使用博弈论，终端可以减少大量信息交换的需要. 分布式操作的计算复杂度低，无需强大的中央处理器来管理集中式调度. 将上述UAV的部署和 UE 的卸载策略联合优化问题构建为多领导者、多追随者的斯塔克尔伯格博弈模型来高效解决这一问题，UAV作为领导者，UE作为追随者. 新提出的斯塔克尔伯格博弈模型定义为：$ \{ N,M,A,Q,u_n^{{\text{lower}}},u_m^{{\text{upper}}}\} $. $N$为UE的集合，$M$为UAV的集合，$A$为卸载策略的集合，$Q$为UAV部署策略的集合，$u_n^{{\text{lower}}}$和$u_m^{{\text{upper}}}$分别为UE$n$和UAV$m$的效用函数.

固定的UAV部署策略$Q$，UE做出相应的任务卸载决策. 考虑到系统运行在SDN架构下，UE可以获得完整的全局CSI，避免信息的不对称，确保UE之间的公平性. 由于UE向同一UAV卸载任务时会产生同信道干扰，每个UE策略的改变可能会影响同组内和其他组内UE的计算成本. UE$n$的目标函数可以用局部利他博弈的形式来表示：

(12)$ \left. \begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{{a_n}} \;u_n^{{\text{lower}}} = \sum\limits_{g \in {G_m}} {{u_g}} +\sum\limits_{l \in {N_n}} {{u_l}} , \\ {\text{ s}}{\text{.t}}{\text{.}}\quad {\text{C1}},{\text{C2}},{\text{C4}}{\text{.}} \\ \end{gathered} \right\} $

式中：${G_m}$为与UE$n$卸载到同一UAV$m$的UE集合，${u_g}$为UE$g$的计算成本函数，${N_n}$为UE$n$的邻居UE集合，${u_l}$为UE$l$的计算成本函数. 邻居UE定义如图2所示，UE1位于UAV1和UAV2的覆盖半径内. 当UE1卸载到UAV1时，UAV2覆盖的其他 UE（即UE2 和UE3）被视为UE1的邻居UE.

优化UE的卸载策略，既要考虑每个 UE 所属的组成员，又要考虑其邻居UE，这是巨大的挑战. 受文献[7]启发，将UE的卸载策略问题表述为联盟形成博弈，并设计改进的联盟形成算法来解决该问题. 传统的联盟形成算法通过切换操作来修改联盟结构. 这种单向联盟形成策略往往会导致收敛到局部最优. 即使在收敛后，存在不同联盟的UEs通过交换位置，从而进一步提高联盟的整体效用的情况. 在UE联盟形成过程中引入双向交换操作，通过引入新的UE修改联盟结构的机制，达到更优的NE. 为了便于理解，介绍传统联盟形成博弈中UE卸载策略（即联盟结构）的定义.

定义1　追随者层的联盟形成博弈被定义为三元组$ \{ N,G,\varGamma \} $.

1）$N$表示UE的集合，作为博弈中的参与者；

2）联盟集$G$表示将UEs分成${M_{\mathrm{U}}}+1$个联盟. 对于任意$m \ne m'$，${G_m} \cap {G_{m'}} = \varnothing $，所有联盟的并集为$N$，即$\displaystyle\bigcup\nolimits_{m = 0}^{{M_{\mathrm{U}}}} {{G_m}} = N$；

3）$\varGamma ({G_m}) = - \displaystyle\sum\nolimits_{n \in {G_m}} {{u_n}} $ 表示联盟$ {G_m} $中UEs的总效用.

为了使总效用最大化，必须定义比较联盟的偏好顺序，并使参与者能够根据自己的偏好决定是否改变联盟. 基于功利关系，引入偏好的概念.

定义2 （偏好顺序）　对于任何可以修改其联盟策略的UE$n$，偏好顺序${ \succ _n}$被定义为UE$n$可以组成的所有联盟集合上的完备的、自反的和传递的二元关系.

合作规则用于定义偏好顺序的操作. 对于2个联盟${G_m}$和${G_{m'}}$, 其中 $m \ne m'$和$n \in {G_{m'}}$. ${G_m}{ \succ _n}{G_{m'}}$表示UE$n$偏好于加入联盟${G_m}$而不是联盟${G_{m'}}$：

(13)$ {G_m}{ \succ _n}{G_{m'}} \Leftrightarrow \varGamma ({G_m} \cup \{ n\} )+\varGamma ({G_{m'}}\backslash \{ n\} ) \gt \varGamma ({G_m})+\varGamma ({G_{m'}}). $

基于对偏好顺序定义，引入切换操作的定义.

定义3 （切换操作）　给定参与者集合$N$的联盟分区$G$，如果UE$n$执行从联盟${G_{m'}}$到${G_m}$的切换操作，当前分区$G$将更新为新分区$G'$，定义为 $G' = G\backslash \{ {G_m},{G_{m'}}\} \cup \{ {G_m} \cup \{ n\} ,{G_{m'}}\;\backslash \{ n\} \} $.

当UE从1个UAV单向切换到另1个已经被足够多UE占用的UAV时，仅仅依靠切换操作可能会给该联盟带来巨大负担. 在这种情况下，允许2个UAV中的UE交换联盟位置可能会进一步提高联盟的整体效用. 上述发现促使引入新的交换操作，这种操作在以往的研究中一直被忽视^[5-6]. 虽然文献[7]引入交换操作，但是它在执行交换操作时已经固定联盟规模，没有在每个联盟选择过程中同时考虑这2种操作. 将交换操作下的偏好表达式及其定义介绍如下.

根据定义2中的偏好定义，对于2个联盟${G_m}$和${G_{m'}}$，$m \ne m'$，且$n \in {G_{m'}}$, $\exists {\text{ }}n' \in {G_m}$，${G_m}{ \succ _n}{G_{m'}}$也可以表示为

(14)$ \begin{split}& {G_m}{ \succ _n}{G_{m'}} \Leftrightarrow \varGamma ({G_m}\backslash \{ n'\} \cup \{ n\} )+ \\& \qquad \varGamma ({G_{m'}}\backslash \{ n\} \cup \{ n'\} ) \gt \varGamma ({G_m})+\varGamma ({G_{m'}}). \end{split} $

定义4 （交换操作）　给定参与者集合$N$的联盟分区$G$，如果UE$n \in {G_{m'}}$和$\exists\; n' \in {G_m}$ 通过交换操作交换联盟位置，当前分区$G$被修改为新分区$ G' = G\backslash \{ {G_m},{G_{m'}}\} \cup \{ {G_m}\backslash \{ n'\} \cup \{ n\} ,{G_{m'}}\backslash \{ n'\} \cup \{ n'\} \} $.

由于在联盟形成博弈中引入交换操作，UE在每次改变联盟结构时可能会有多种可行策略. 为了保持算法的低复杂度，采用贪婪的方法来选择使2个联盟的总效用最大化的策略，最终得到更好的NE. 详细算法见算法1.

算法1　改进的联盟形成算法

1. 输入 UAV的初始位置$Q$和UE的卸载策略$ A $

2. 输出 UE最优卸载策略${A^*}$

3. {Repeat

4. {For $n \in N$

5.初始化候选策略集合$ I = \varnothing $，UE$n$当前所属联盟为${G_{m'}}$，并随机选择1个有机会加入的另1个联盟${G_m}$

6. {If ${G_m}{ \succ _n}{G_{m'}}$，并且满足式(13)

7. 将UE$n$直接加入联盟${G_m}$策略添加到集合$ I $

8. }//End if

9. {For $n' \in {G_m}$

10. {If ${G_m}{ \succ _n}{G_{m'}}$，并且满足式(14)

11. 将UE$n$和$n'$交换联盟位置的策略添加到集合$ I $

12. }//End if

13. }//End for

14. {If $ I \ne \varnothing $

15. UE$n$从集合$ I $中选择最优解，并更新策略集合$ A $

16. }//End if

17. }//End for

18. }//Until 达到算法最大迭代次数

19. A^* = A

在固定UE卸载策略的情况下，优化每个UAV的位置只会影响其所服务UE的传输速率，进而影响其所服务UE的计算成本. UAV$m$的效用函数为

(15)$ \left. \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{{{\boldsymbol{q}}_m}} \;u_m^{{\text{upper}}} = \sum\limits_{n \in {G_m}} {{R_{m,n}}} , \\ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. C2,C3,C4,C5,C6}}. \\ \end{gathered} \right\} $

为了证明在领导者层子博弈中存在NE，引入精确势博弈（exact potential game, EPG）的定义^[23].

定义5 　如果存在势函数$\phi $，且满足以下条件，那么领导者层子博弈就是EPG：

(16)$ \phi ({{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) - \phi ({\bar {\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) = u_m^{{\text{upper}}}({{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) - u_m^{{\text{upper}}}({\bar {\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}). $

对于EPG，UAV$m$的策略会从${{\boldsymbol{q}}_m}$变为${\bar {\boldsymbol{q}}_m}$，而势函数的变化总是与效用函数一致.

定理1 　领导层子博弈是至少有1个NE的EPG.

证明：根据定义5，将势函数表述为

(17)$ \phi ({{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) = \sum\limits_{m \in M} {u_m^{{\text{upper}}}} ({{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}). $

假设UAV$m$的部署策略从${{\boldsymbol{q}}_m}$变为${\bar {\boldsymbol{q}}_m}$，势函数的相应变化为

(18)$ \begin{split}& \phi ({{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) - \phi ({{\bar {\boldsymbol{q}}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) = \\& \qquad \sum\limits_{m \in M} {u_m^{{\text{upper}}}} ({{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) - \sum\limits_{m \in M} {u_m^{{\text{upper}}}} ({{\bar {\boldsymbol{q}}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) = \\& \qquad u_m^{{\text{upper}}}({{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}}) - u_m^{{\text{upper}}}({{\bar {\boldsymbol{q}}}_m},{{\boldsymbol{q}}_{ - m}})+ \\& \qquad \sum\limits_{s \in M/\{ m\} } {\left( {u_s^{{\text{upper}}}({{\boldsymbol{q}}_s},{{\boldsymbol{q}}_{ - s}}) - u_s^{{\text{upper}}}({{\bar {\boldsymbol{q}}}_s},{{\boldsymbol{q}}_{ - s}})} \right)} . \end{split} $

由于UE的卸载策略保持固定，改变UAV$m$的部署只会影响其所服务的UE的传输速率，从而可以得出以下等式：

(19)$ \sum\limits_{s \in M/\{ m\} } {\left( {u_s^{{\text{upper}}}({{\boldsymbol{q}}_s},{{\boldsymbol{q}}_{ - s}}) - u_s^{{\text{upper}}}({{\bar {\boldsymbol{q}}}_s},{{\boldsymbol{q}}_{ - s}})} \right)} = 0. $

根据EPG的定义，领导者层子博弈是至少有1个NE的EPG.

基于上述证明，提出低复杂度算法，以实现该子博弈中的近似值. 由于目标函数、约束C2和C3都是非凸的，不能使用传统凸优化方法求解UAV的最优部署策略. SCA方法通过将非凸问题分解为凸子问题来逼近全局最优，这种技术在非凸优化中尤为有效. 采用SCA方法迭代逼近UAV部署策略的最优解. 将该问题近似为一系列凸子问题的推导过程如下.

由于${R_{m,n}}$是非凸的，导致目标函数和约束条件C2的非凸性，先对其进行相应的变换. 在不失一般性的前提下，假设UAV在足够高的空中悬停，使得非视距链路的概率可忽略不计. 假定视距链路在信道增益中占据主导地位. 将${R_{m,n}}$重新表述为

(20)$ \begin{split} {R_{m,n}} =& B{\log _2}\left( {\sum\limits_{u \in {G_m}} {{P_{m,u}}} {g_0}d_{m,u}^{ - 2}+{N_0}} \right) - \\& B{\log _2}\left( {\sum\limits_{u \in {G_m}\backslash \{ n\} } {{P_{m,u}}} {g_0}d_{m,u}^{ - 2}+{N_0}} \right). \end{split} $

引入辅助变量$\chi _{m,n}^{{\text{lower}}}$和$\chi _{m,n}^{{\text{upper}}}$分别作为$d_{m,n}^{ - 2}$的下限和上限：

(21)$ \chi _{m,n}^{{\text{lower}}} \leqslant d_{m,n}^{ - 2} \leqslant \chi _{m,n}^{{\text{upper}}},　 \forall m \in M,\;\forall n \in {G_m}. $

${R_{m,n}}$满足以下不等式：

(22)$ \begin{split} {R_{m,n}} \geqslant & B{\log _2}\left( {\sum\limits_{u \in {G_m}} {{P_{m,u}}} {g_0}\chi _{m,u}^{{\text{lower}}}+{N_0}} \right) - \\& B{\log _2}\left( {\sum\limits_{u \in {G_m}\backslash \{ n\} } {{P_{m,u}}} {g_0}\chi _{m,u}^{{\text{upper}}}+{N_0}} \right). \end{split} $

由于上述不等式的右侧是关于$ {{\boldsymbol{\chi}} _m} = \{ \chi _{m,n}^{{\text{lower}}}, \chi _{m,n}^{{\text{upper}}}\} $的非凸函数，对式(22)中的减项进行一阶泰勒展开，得出${R_{m,n}}$的下界：

(23)$ \begin{split} {R_{m,n}} \geqslant & {{\tilde R}_{m,n}} = B{\log _2}\left( {\sum\limits_{u \in {G_m}} {{P_{m,u}}} {g_0}\chi _{m,u}^{{\text{lower}}}+{N_0}} \right) - \\& B{\log _2}\left( {\sum\limits_{u \in {G_m}\backslash \{ n\} } {{P_{m,u}}} {g_0}\chi _{m,u}^{{\text{upper}}}(k)+{N_0}} \right) - \\& \frac{{\displaystyle\sum\limits_{u \in {G_m}\backslash \{ n\} } {{P_{m,u}}} {g_0}\left( {\chi _{m,u}^{{\text{upper}}} - \chi _{m,u}^{{\text{upper}}}(k)} \right)}}{{\ln 2\left( {\displaystyle\sum\limits_{u \in {G_m}\backslash \{ n\} } {{P_{m,u}}} {g_0}\chi _{m,u}^{{\text{upper}}}(k)+{N_0}} \right)}}. \end{split} $

式中：$\chi _{m,n}^{{\text{upper}}}(k)$表示$\chi _{m,n}^{{\text{upper}}}$在迭代次数$k$时的值. 约束C2被重新表述为凸约束条件：

(24)$ {\tilde R_{m,n}} \geqslant {R_{{\text{th}}}}. $

辅助变量的引入会带来新的非凸约束：

(25)$ {\left\| {{{\boldsymbol{q}}_m} - {{\boldsymbol{s}}_n}} \right\|^2}+{H^2} \leqslant \frac{1}{{\chi _{m,n}^{{\text{lower}}}}}, $

(26)$ {\left\| {{{\boldsymbol{q}}_m} - {{\boldsymbol{s}}_n}} \right\|^2}+{H^2} \geqslant \frac{1}{{\chi _{m,n}^{{\text{upper}}}}}. $

通过一阶泰勒展开，约束条件(25)和(26)被重新表述为凸约束条件：

(27)$ \frac{1}{{\chi }_{m,n}^{\text{lower}}(k)} - \frac{({\chi }_{m,n}^{\text{lower}} - {\chi }_{m,n}^{\text{lower}}(k))}{{({\chi }_{m,n}^{\text{lower}}(k))}^{2}}\geqslant \Vert {{\boldsymbol{q}}}_{m}-{{\boldsymbol{s}}}_{n}{\Vert }^{2}+{H}^{2}, $

(28)$ \Vert {{\boldsymbol{q}}}_{m}(k)-{{\boldsymbol{s}}}_{n}{\Vert }^{2}+{H}^{2}+2{({{\boldsymbol{q}}}_{m}(k)-{{\boldsymbol{s}}}_{n})}^{{\mathrm{T}}}({{\boldsymbol{q}}}_{m}-{{\boldsymbol{q}}}_{m}(k))\geqslant \frac{1}{{\chi }_{m,n}^{\text{upper}}}. $

式中：$\chi _{m,n}^{{\text{lower}}}(k)$和${{\boldsymbol{q}}_m}(k)$分别为$\chi _{m,n}^{{\text{lower}}}$和${{\boldsymbol{q}}_m}$在迭代次数为$k$时的值.

通过相同的方法，约束C3可以替换为

(29)$ - {\left\| {{{\boldsymbol{q}}_m}(k) - {{\boldsymbol{q}}_{m'}}} \right\|^2}+2{({{\boldsymbol{q}}_m}(k) - {{\boldsymbol{q}}_{m'}})^{\mathrm{T}}}({{\boldsymbol{q}}_m} - {{\boldsymbol{q}}_{m'}}) \geqslant {D_{{\text{min}}}}. $

将优化变量集定义为 ${{\boldsymbol{\varPsi }}_m} = \{ {{\boldsymbol{q}}_m},{{\boldsymbol{\chi}} _m}\} $，迭代次数为$k$时重构问题(15)的凸近似值为

(30)$ \left. \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{{{\boldsymbol{\varPsi}} _m}}\;\; u_m^{{\text{uppe}}r} = \sum\limits_{n \in {G_m}} {{{\tilde R}_{m,n}}} , \\ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{.}}\quad {\text{C4}},{\text{C}}5,{\text{C}}6,(24),(27),(28),(29). \\ \end{gathered} \right\} $

这是凸子问题，可以使用CVX求解器求解. 提出基于递减步长的内凸近似（inner convex approximation, NOVA）算法，以迭代方式求解由此产生的一系列凸子问题. 具体步骤详见算法2.

算法2 　基于迭代步长的NOVA算法

1. 输入 UAV的初始位置$Q$、UE的卸载策略$ A $和阈值$\xi $

2. 输出 UAV最优部署策略${Q^*}$

3. 初始化初始解${{\boldsymbol{\varPsi}} _m}(0)$, 初始步长$\varepsilon (0) = 1$，迭代次数$k = 0$, 步长缩减因子$\omega = 0.5$.

4. {Repeat

5. {For $m \in M$

6. 使用CVX求解问题(30)，得到解$ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{\varPsi}} } _m}({{\boldsymbol{\varPsi}} _m}(k)) $.

7. }//End for

8. 更新${\boldsymbol{\varPsi}} (k+1) = {\boldsymbol{\varPsi}} (k)+\varepsilon (k)(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{\varPsi}} } ({\boldsymbol{\varPsi}} (k)) - {\boldsymbol{\varPsi}} (k))$

9. 更新$ \varepsilon (k+1) = \varepsilon (k)(1 - \omega \varepsilon (k)) $

10. 更新$k = k+1$

11. }//Until $ \| {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{\varPsi}} } ({\boldsymbol{\varPsi}} (k)) - {\boldsymbol{\varPsi}} (k)} \| \leqslant \xi $

12. $ {Q^*} = Q $

当领导层子博弈和追随者层子博弈都达到NE时，任何参与方都不能通过单方面调整策略来提高系统效用，此时认为斯塔克尔伯格博弈达到SE. SE的定义如下所示.

定义6 　令${A^*}$和${Q^*}$分别表示UE的最优卸载策略集和UAV的最优部署策略集. 那么，$\{ {A^*},{Q^*}\} $是SE，当且仅当

(31)$ \left. \begin{gathered} u_n^{{\text{lower}}}\left( {a_n^*,a_{ - n}^*,{Q^*}} \right) \leqslant u_n^{{\text{lower}}}\left( {{a_n},a_{ - n}^*,{Q^*}} \right), \\ u_m^{{\text{upper}}}\left( {{A^*},{\boldsymbol{q}}_m^*,{\boldsymbol{q}}_{ - m}^*} \right) \geqslant u_m^{{\text{upper}}}\left( {{A^*},{{\boldsymbol{q}}_m},{\boldsymbol{q}}_{ - m}^*} \right). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：$a_n^*$和$a_{ - n}^*$分别为UE$n$和其他UEs的最优卸载策略，${\boldsymbol{q}}_m^*$和${\boldsymbol{q}}_{ - m}^*$分别为UAV$m$和其他UAVs的最优部署策略.

受逆向归纳法的启发^[22-23]，由于已经证明领导者层子博弈是至少有1个NE的EPG，再证明追随者层子博弈中存在NE就可以证明SE的存在性.

定理2 　无论初始联盟分区如何，提出的联盟形成博弈都能达到稳定的最终NE联盟分区${G_{{\text{final}}}}$.

证明：由于模型中的UE和UAV数量都是有限的，且每个UE可选择本地计算或计算卸载到1个UAV上，UE能形成的联盟数量以及联盟分区的状态空间也是有限的. 每次博弈中UE自主地选择切换操作或者交换操作来改变联盟分区结构，提升系统联盟总效用，联盟总效用是单调递增的. 又由于每次切换操作或交换操作都会产生新的联盟分区且联盟分区状态空间有限，联盟博弈经过有限次的博弈必然收敛至最终的NE分区${G_{{\text{final}}}}$.

定理3 　在所提的UE卸载和UAV位置部署策略的斯塔克尔伯格博弈中，至少存在1个SE.

证明：当UAV的部署策略固定时，追随层子博弈被表述为联盟形成博弈. 正如定理2所证明的，在追随层子博弈中存在NE. 相似地，根据定理1的证明，当 UE 的卸载策略固定不变时，领导层子博弈被证明是EPG，至少存在1个NE. 随着迭代次数的增加，$u_n^{{\text{lower}}}$是非增函数且$u_m^{{\text{upper}}}$是非减函数，并且2个效用函数都是有界的. 经过有限次迭代后，存在最优卸载策略${A^*}$以及最优部署策略${Q^*}$满足式(31). 根据定义6，$\{ {A^*},{Q^*}\} $是所提出的斯塔克尔伯格博弈中的1个SE.

在新提出的模型中，UE卸载策略优化以UE总成本的下降为准则，UAV部署策略的更新以吞吐量上升为准则. 随着UAV的吞吐量的增加，UE的传输时延和能耗都减少，即降低了UE总计算成本，2个优化目标是一致的. 考虑到工程应用中系统资源的有限性以及算法迭代更新的单调性，整体优化过程必然在有限步内收敛到稳定解. 所提算法在迭代初期具有很大的迭代步长，不同初始策略对收敛速度的影响较小，即所提算法鲁棒性良好.

通过提出算法1和算法2交替迭代形成SBTLI算法实现UE卸载策略和UAV部署策略的联合优化. 给出SBTLI算法的收敛性和复杂度分析.

算法3 　SBTLI算法

1. 输入 UAV随机部署策略$Q$、UE全部本地计算策略A

2. 输出 UAV最优部署策略${Q^*}$和UE最优卸载策略A^*

3. {Repeat

4. 通过算法1更新UE卸载策略$A$

5. 通过算法2更新UAV部署策略$Q$

6. }//Until 达到算法最大迭代次数

7. ${A^*} = A,{Q^*} = Q$

在算法1中，UE和联盟的数量都是有限的，每个UE都有1组有限的策略选择. UE只有在能增加其当前联盟和新加入联盟的总效用时，才会更新其策略. 随着迭代的进行，UE的总体计算成本会单调地降低，并最终收敛到追随者层子博弈中的NE解. 对于算法 2，如果选择步长$\varepsilon (k)$，使得$\varepsilon (k)\; \in (0,1.0]$并且$\sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\varepsilon (k) = +\infty } $，那么序列${\boldsymbol{\varPsi}} (k)$是有界的^[24]，并且至少有1个稳定的NE. 基于递减步长的NOVA算法确保收敛性.

基于上述分析，算法3保证在有限次迭代后收敛，表明所提出的算法实现SE.

为了验证所提出的SBTLI算法的可行性和效率，进行如下的复杂度分析. 将算法1和算法3的最大迭代次数分别记为${K_1}$和${K_2}$. 在算法1中，每个UE在每次迭代中最多可尝试改变策略${N_{\mathrm{U}}}$次，计算复杂度为$O({K_1}N_{\mathrm{U}}^2)$. 算法2中连续凸近似子问题使用CVX求解器进行求解，且每次迭代的子问题最多包含$2({M_{\mathrm{U}}}+{N_{\mathrm{U}}})$个变量，每次迭代内点法对应的计算复杂度为$O(8{({M_{\mathrm{U}}}+{N_{\mathrm{U}}})^3})$，算法2的总迭代次数通常与$\log \ (1/\xi )$成正比，其中$\xi $是算法收敛阈值，算法2相应的算法复杂度为$O(8({M_{\mathrm{U}}}+ {N_{\mathrm{U}}})^3\log \;(1/\xi ))$. 算法3是算法1和算法2的交替迭代算法，所提SBTLI算法复杂度为$O({K_2}({K_1}N_{\mathrm{U}}^2 + 8{({M_{\mathrm{U}}}+{N_{\mathrm{U}}})^3}\log \ (1/\xi )))$.

追随者层联盟博弈存在多个NE，算法1能收敛至某1个NE点. 为了评估NE的性能，引入无政府状态代价（price of anarchy, PoA）. PoA用于衡量博弈行为的NE解相较于全局最优解的劣化程度. 在联盟博弈中，联盟分区改变会降低所有UE的总计算成本，可用其来评判追随者层NE解的优劣.

(32)$ {\text{PoA = }}{{\displaystyle\sum\limits_{n \in N} {{u_n}({A^{{\text{NE}}}})} }}\Bigg /{{\displaystyle\sum\limits_{n \in N} {{u_n}({A^{{\text{opt}}}})} }}. $

式中：${A^{{\text{NE}}}}$和${A^{{\text{opt}}}}$分别为追随者层UE卸载策略在联盟博弈的NE解和全局最优解，由于在任意NE解下UE的总计算成本不低于全局最优解，得到$ {\text{PoA}} \geqslant {\text{1}} $.

由于UE进行计算卸载的计算成本不高于其本地计算策略，当算法1的NE解中UE$ n $卸载选择的指示变量$ a_n^{{\text{NE}}} = m $时，其计算成本满足

(33)$ {\beta _n}(T_{m,n}^{{\text{up}}}+T_{m,n}^{\text{e}})+(1 - {\beta _n})E_{m,n}^{{\text{off}}} \leqslant {\beta _n}T_n^{{\text{loc}}}+(1 - {\beta _n})E_n^{{\text{loc}}}. $

当UE充分占用每个UAV进行计算卸载，且计算成本等于本地计算成本时，可得到联盟博弈最坏NE解的UE总计算成本上界：

(34)$\begin{gathered}\sum\limits_{n\in N}^{ }u_n(A^{\text{NE}})\;= \sum\limits_{n\in N,a_n^{\text{NE}}=m}^{ } \left[ \beta_n(T_{m,n}^{\text{up}}+T_{m,n}^{\text{e}})+(1-\beta_n)E_{m,n}^{\text{off}}\right]+ \\ \sum\limits_{n\in N,a_n^{\text{NE}}=0}^{ } \left[\beta_nT_n^{\text{loc}}+(1-\beta_n)E_n^{\text{loc}}\right] \leqslant \sum\limits_{n\in N}^{ } \left[\beta_nT_n^{\text{loc}}+(1-\beta_n)E_n^{\text{loc}}\right]. \\ \end{gathered} $

相反，在理想的情况下，每个UE传输过程没有其他UE的干扰，且UAV的计算资源只为该UE进行计算服务. 对于全局最优解中UE$ n $卸载选择的指示变量$ a_n^{{\text{opt}}} = m $时，计算成本满足

(35)$ \begin{split}& \dfrac{{{\beta _n}{D_n}+(1 - {\beta _n}){D_n}{P_{m,n}}}}{{B{{\log }_2}\left( {1+\dfrac{{{P_{m,n}}{h_{m,n}}}}{{\displaystyle\sum\nolimits_{u \in {G_m}\backslash \{ n\} } {{P_{m,u}}{h_{m,u}}+{N_0}} }}} \right)}}+\frac{{{\beta _n}{D_n}{C_n}}}{{f_{m,n}^{\mathrm{e}}}} \geqslant \\& \qquad \dfrac{{{\beta _n}{D_n}+(1 - {\beta _n}){D_n}{P_{m,n}}}}{{B{{\log }_2}\left( {1+\dfrac{{{P_{m,n}}{h_{m,n}}}}{{{N_0}}}} \right)}}+\dfrac{{{\beta _n}{D_n}{C_n}}}{{{F_m}}} = U_{m,n}^{\min }. \end{split} $

式中：$ U_{m,n}^{\min } $表示UE$ n $将任务载到UAV$ m $时计算成本的下界. 可以得到追随者层最优解的UE总计算成本下界：

(36)$ \begin{split} & \sum\limits_{n \in N} {{u_n}({A^{{\text{opt}}}})} =\sum\limits_{n \in N,a_n^{{\text{opt}}} = m} \left[{{\beta _n}(T_{m,n}^{{\text{up}}}+T_{m,n}^{\text{e}})+(1 - {\beta _n})E_{m,n}^{{\text{off}}}}\right]+ \\& \quad \sum\limits_{n \in N,a_n^{{\text{opt}}} = 0} \left[{{\beta _n}T_n^{{\text{loc}}}+(1 - {\beta _n})E_n^{{\text{loc}}}}\right] \geqslant \sum\limits_{n \in N,a_n^{{\text{opt}}} = m} {U_{m,n}^{\min }} + \\& \quad \sum\limits_{n \in N,a_n^{{\text{opt}}} = 0} \left[{{\beta _n}T_n^{{\text{loc}}}+(1 - {\beta _n})E_n^{{\text{loc}}}} \right].\\[-1pt]\end{split} $

结合式(34)和(36)得到追随者层联盟博弈PoA的上界：

(37)$ {\text{PoA}} \leqslant \frac{{\displaystyle\sum\limits_{n \in N} {{\beta _n}T_n^{{\text{loc}}}+(1 - {\beta _n})E_n^{{\text{loc}}}} }}{{\displaystyle\sum\limits_{n \in N,a_n^{{\text{opt}}} = m} {U_{m,n}^{\min }} +\displaystyle\sum\limits_{n \in N,a_n^{{\text{opt}}} = 0} {{\beta _n}T_n^{{\text{loc}}}+(1 - {\beta _n})E_n^{{\text{loc}}}} }}. $

该上界表明，尽管联盟博弈可能存在多个NE，其性能差异是有限的. 算法1中引入的交换机制能有效防止收敛至性能较差的NE.

通过模拟实验评估SBTLI算法的收敛行为和性能. 考虑1个1 km×1 km的正方形区域，其中5个UAV为30个均匀分布的UE提供MEC服务. 将任务大小进行建模时采用泊松分布：UE$n$任务由若干固定大小的数据块组成，数据块数量服从泊松分布${V_n}\sim{\text{Possion}}\;(\lambda )$，任务大小$ D_n=V_n\mathit{\Delta} $，$\mathit{\Delta} $表示任务数据块大小. UE$n$的时延敏感权重系数${\beta _n}$在区间[0,1.0]内均匀分布. 除非另有说明，其他模拟参数如表1所示. 为了减小随机性的影响，在每个实验中算法运行50次，取其结果的平均值并用于性能评估. 模拟实验均在MATLAB 2018b工具中实现.

为了验证SBTLI算法的有效性和寻优能力，设计如下基线算法与SBTLI算法进行性能比较.

1）Switch算法^[6]：与SBTLI算法不同的是，在优化UE卸载策略的联盟形成算法中，仅使用切换操作.

2）Sortswap算法^[7]：与前面算法不同的是，本算法中联盟形成算法的执行分成2个阶段：第1阶段采用基于UE和UAV的欧式距离的偏好列表设计的匹配算法进行卸载匹配，获得UE卸载策略的1个次优解；第2阶段使用仅考虑交换操作的联盟形成算法对UE的卸载策略进行进一步优化.

3）DQN算法：使用深度Q网络算法联合优化UAV位置部署和UE的卸载策略. 将水平区域均匀量化为100×100个点，作为优化UAV水平位置部署的离散动作空间.

4）Fix-DS算法：固定UAV部署策略，仅通过算法1优化卸载策略.

5）Fix-OS算法：固定UE卸载策略，仅通过算法2优化UAV的部署策略.

图3 展示了算法1的收敛性，联盟1~5分别为 UE 卸载到 UAV 1~5所形成的联盟，联盟6 则对应于进行本地计算的 UE 所形成的联盟. 图3中算法1在迭代次数$K$=14后每个联盟的UE总计算成本${U_{\mathrm{c}}}$收敛到1个稳定值，这表明所提出的方案能快速达到追随者层子博弈的NE点.

图4展示了SBTLI、Switch和Sortswap这3种算法的收敛曲线. 3种算法的UE总计算成本$U$均随迭代次数$K$快速下降，并在有限步内收敛. 可以看出，SBTLI性能最优，Sortswap次之，Switch最差. 这是因为Switch算法的联盟博弈仅依赖单向切换，易陷入局部最优；Sortswap算法采用寻优能力更强的双向交换，但固定的联盟规模限制资源利用率. 相比之下，SBTLI结合切换与交换机制，更高效地找到最优解. SBTLI算法约5次迭代收敛，每次迭代等价于算法1和算法2的1轮更新，其交替优化机制不仅加速了目标函数下降，而且间接验证了算法2的收敛性.

图5展示了UE的总计算成本的$U$随UE数量$ N\mathrm{_U} $的变化. 随着UE数量的增加，总计算成本逐渐上升，任务总量的增加使得有限的计算和通信资源更加受限. 与Switch算法相比，Sortswap算法性能较差，随着UE数量的增加优于Switch算法，Sortswap算法中使用UE匹配UAV后固定每个联盟的成员规模. 当UE数量较少时，有限的联盟成员会导致 Sortswap算法中系统资源利用不足. 相反，当UE数量较多时，Switch算法中UE卸载策略更容易陷于局部最优解.

图6展示了UAV数量$ M_{\mathrm{U}} $变化对UE总计算成本$ U $的影响. 随着UAV数量的增加，UE的总计算成本会降低，并呈现稳定趋势. UAV数量的增加会增加总计算资源，UE的特征保持不变会导致资源过剩. 当UAV数量较少时，Sortswap算法性能优于Switch算法，此时每个UAV服务的UE数量较多，Sortswap的双向交换策略能高效利用资源. 但随着UAV数量增加，Switch算法逐渐获得更优的解，该算法的切换操作允许灵活地改变每个联盟的规模. 所提算法结合切换与交换机制，在任何UAV数下都具有最好的性能.

图7描述了UE的总计算成本$U$与平均任务规模$\bar D$之间的关系. 随着平均任务规模的增加，总成本几乎呈线性增长. 无论任务是在本地执行还是卸载，计算成本都与任务规模成正比. 比较Fix-DS算法和SBTLI算法的结果表明，随着平均任务规模的增加，UAV部署优化的重要性增加，UAV部署对UE上传延迟和能耗的影响越来越大.

图8展示了UE的总计算成本$U$随着平均任务密度大小$\bar C$的变化. 随着平均任务密度的增加，总计算成本随之上升，并且上升速度逐渐趋于稳定. 当任务密度较低时，Switch算法的性能优于Sortswap，随着任务密度的增加，后者最终超过前者. 在低密度时，更多的UE选择在本地执行任务；在高密度时，将任务卸载到UAV上可以提高有限计算资源的利用率.

从图5~8的结果可以看出，SBTLI算法在不同系统规模和任务负载下均优于各类基线算法，充分凸显优化UE卸载与UAV部署策略的关键作用以及所提方法的有效性和鲁棒性. 相比之下，DQN算法的性能略低于SBTLI，主要原因在于其只能处理离散动作空间，连续 UAV 部署被离散化为候选点后引入量化误差. Fix-DS在固定 UAV 部署的前提下充分优化卸载策略，整体优于 Sortswap和Switch算法，而Fix-OS算法性能最差，向同一UAV卸载的UE存在共信道干扰，削弱UAV位置部署对UE计算总成本的影响. Sortswap算法由于其联盟博弈的2阶段机制的限制，其双向的联盟交换操作在相同的联盟条件下寻优能力优于Switch算法的单向切换操作，在不同的参数条件下Sortswap和Switch算法性能比较出现差异. SBTLI在UE时延与能耗的综合优化上表现最为优越，验证了新提出方法的有效性与优势.

图9和10分别展示了UAV平均计算频率$\bar F$和每个UAV通信带宽$B$对系统性能的影响. 从图9可以看出，随着UAV平均计算资源$\bar F$的增加，UE的总计算成本$U$降低，UE卸载数量$W$增加，且2条曲线有逐渐趋于稳定的趋势. UAV计算资源的增加降低了UE的卸载执行时延，更多UE愿意参与卸载任务，但是随着参与卸载任务的UE数量增加，每个UAV的平均信道质量会随之下降，UE的上传时延增加.

图10表现出类似的趋势，这是因为信道带宽$B$的增加，降低了UE的上传延迟和能耗，从而降低了UE总计算成本$U$，增加了UE卸载数量$W$，但系统计算资源的负担会增加，而且随着卸载数量的增加，信道质量也会下降，2条曲线逐渐趋于稳定. 值得注意的是，在趋于稳定的范围中，图10比图9表现出更低的UE总计算成本和更高的卸载数量，带宽增加可以直接缓解通信数据传输限制并改善联盟结构，而算力提升受限于通信条件和均分机制，难以显著改善整体性能. 由图9和10可知，合理分配 UAV 计算资源和信道资源对于优化系统性能至关重要.

图11展示了UE偏好对系统性能的影响. UE总计算成本$U$与卸载数量$W$均随UE平均时延敏感系数$\bar \beta $的增大而上升，但UE卸载数量增速会逐渐变缓. 这是由于计算资源有限，时延敏感系数高的UE为降低时延倾向于选择任务卸载，导致UAV侧资源竞争加剧，UAV处理延迟增加造成UE的总计算成本增加. 当UE平均时延敏感系数达到一定阈值后，UAV侧资源趋于饱和，UE继续卸载的边际收益下降，使得同等UE平均时延敏感系数增量下UE卸载数量的增长速度放缓.

研究联合优化UAV部署和UE卸载策略，以最小化UE的计算延迟和能源损耗加权和问题模型. 该问题被表述为多领导者、多追随者的斯塔克尔伯格博弈，UAV作为领导者，UE 作为追随者. 追随者层子博弈被构建为联盟形成博弈，而领导者层子博弈被证明是EPG. 通过逆向归纳分析法确定SE的存在性. 还设计改进的联盟形成算法来优化UE的卸载策略，并引入基于递减步长的NOVA算法来解决UAV的部署问题. 这2种算法交替优化，最终收敛到1个SE. 仿真结果表明，与基线方法相比，所提出的算法明显降低了总计算成本. 这些研究结果凸显所提出的博弈论方法在分析和解决UAV辅助MEC系统策略问题方面的有效性. 在未来的工作中，将聚焦于以下2个重要的改进方向：1）构建更符合实际工程需求的干扰模型，以提升系统的可靠性；2）探究引入UAV能耗约束对系统整体性能的影响，以增强方案的实用性.