滚珠丝杠被广泛应用于自动化设备、数控机床和机械加工等领域的机械传动装置^[1-3]. 滚珠丝杠的加工精度要求高，切削时间长且加工难度较大^[4]. 旋风铣削正逐渐成为滚珠丝杠加工的主流方式^[5]. 干式切削会产生较大的切削力和振动，影响加工的稳定性^[6]. 为了减小对加工稳定性的影响，一种可行的方法是研究加工稳定性和加工质量与加工参数之间的关系，建立精确的预测模型.

在建模过程中，针对不同的应用条件，陆续发展了解析法^[7-8]、数值方法^[9-10]以及实验方法^[11]. 虽然上述模型在工业应用中得到了广泛应用，但它们存在一些缺点，如复杂的建模过程、对实验数据的依赖性及不同条件下预测能力的差异性. 在机械加工领域中，人工智能算法与传统的预测模型相比表现出更准确的预测能力^[12-14]. 结合预测模型和多目标算法，可以找到最优的决策解决方案，从而提高加工质量及加工效率^[15-16]. 以回归模型为目标函数，采用多元回归分析与遗传算法相结合的方法进行多目标优化^[17-19].

常见的优化策略是利用多元回归模型拟合目标函数，再应用优化算法进行求解. 回归模型通常是在静态数据上训练的，参数和结构保持不变. 这种静态特性会导致动态数据中模型参数和结构的调整无效，影响模型的整体性能和稳定性. 本研究提出改进的麻雀搜索算法优化BP模型（ISSA-BP），作为多目标优化的适应度预测函数. ISSA-BP能够在动态环境中实时处理数据，通过不断更新模型来适应新的数据模式，可以为建立更准确、更稳定的预测模型提供有效的途径，从而更好地解决自适应动态优化问题.

实验在数控旋风铣削加工中心（型号“HJ092X80”，汉江机床有限公司）中进行. 螺纹干式旋铣通过安装在刀盘上的多个刀具对螺纹工件进行渐进和间歇切削. 螺纹工件的间歇切削涉及4个运动过程：刀具轴向进给运动、刀具径向平移运动、刀盘旋转运动和工件旋转运动. 丝杠旋铣加工的示意图如图1所示.

将切削速度V_t、最大切削深度M_a、刀具个数N作为丝杠加工质量的主要影响因素. 切削力（切向F_t、径向F_r、轴向F_a）由压电传感器Kistler 9602A测量，经NI cDAQ-9189采集箱与NI-9239采集卡采集，切削力合力的最大值为优化目标，计算如下：

(1)$ {F_{\max }} = \max {\sqrt {F_{\mathrm{t}}^2+F_{\mathrm{r}}^2+F_{\mathrm{a}}^2} }. $

式中：$ {F_{\max }} $为最大合力. 振动信号通过cDAQ-9189采集箱和NI-9234采集卡收集，以均方根(RMS)为评估标准，计算如下：

(2)$ {a_{\mathrm{v}}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\nolimits_{i = 1}^n {X_i^2} } . $

式中：a_v为振动信号，$ {X_i} $为采样点对应的振动信号值，$ n $为样本数. 振动和切削力信号的收集过程如图2所示.

使用如图3(a)所示的Rtec MFT-5000多功能摩擦仪测量丝杠的表面粗糙度，测量工件圆周周围的3个等距位置， 3次测量结果的平均值作为最终结果. 采用如图3 (b)所示的μ-X360s残余应力σ_r分析仪，观察滚珠丝杠的残余应力. 本次实验所测得的残余应力均为压应力，表面压应力可以抑制裂纹的萌生，因此在本文中作为优化目标. 沿滚珠丝杠滚道底部以相同距离取3个点，将三点测量结果的平均值作为最终残余应力的测量结果.

具体的实验方案与结果如表1所示.其中，R_a为粗糙度.

表2中的数据是在设计的单因素实验基础上进行样条插值得到的. 与其他插值方法相比，样条插值方法在精确逼近原始数据方面表现出色. 本文在相邻2个原始数据点之间选择插值点. 表2中的实验结果用于构建数据集，以便进行后续的训练.

麻雀搜索算法是Xue等^[20]提出的新兴种群优化算法. 该算法通过不断调整搜索者、追随者和警戒者的位置，寻找目标函数的最优解. 在基准函数测试中，与人工蜂群算法、飞蛾扑火算法、灰狼优化算法相比，麻雀搜索算法(SSA)具有更好的动态数据优化能力^[21]. 搜索者在每次迭代中的位置更新公式为

(3)$ {x}_{i,j}^{t+1}=\left\{\begin{array}{l}{x}_{i,j}^{t}\cdot {\mathrm{exp}}\left(-\dfrac{i}{a {g}_{\mathrm{max}}}\right),\;R< {\mathrm{ST}};\\ {x}_{i,j}^{t}+Q ,\text{ }R\geqslant {\mathrm{ST}}.\end{array}\right. $

式中：$ t $为当前迭代；$ j $为解的维数；$ g_{\max } $为最大迭代次数；$ x_{i, j} $为第i只麻雀在第j维中的位置；$ a $为随机数，a∈（0，1.0]；$ Q $为服从于正态分布的随机数；R为预警值，R∈ [0,1.0]；ST为安全值，ST∈[0.5, 1.0]. $ R＜{\mathrm{ST}} $表示麻雀群周边环境安全，$ R \geqslant {\mathrm{ST}} $表示麻雀要转移到安全的位置.

追随者的位置更新由下式给出：

(4)$ {x}_{i,j}^{t+1}=\left\{\begin{array}{l}Q\cdot {\mathrm{exp}}\left(-\dfrac{{x}_{{\mathrm{worst}}}^t-{x}_{i,j}^{t}}{{i}^{2}}\right){, }\;i＞n/2;\\ {x}_{p}^{t+1}+{\mathrm{rand}}(1, -1)\left|{x}_{i,j}^{t}-{x}_{p}^{t+1}\right| ,\text{ }其他.\end{array}\right. $

式中：$ x_{{\mathrm{worst}}}^t $为当前麻雀种群中的最差位置，$ {x_p} $为目前搜索者所在的位置，${\mathrm{rand}}(1, -1)为1或-1 $的随机数. 当$ i＞n/2 $时，第i个追随者需要去其他地方继续寻食；当$ i \leqslant n/2 $时，追随者将向搜索者的方向觅食.

警戒者的位置更新表达如下：

(5)$ {x}_{i,j}^{t+1}=\left\{\begin{array}{l}{{{x}}}_{{\mathrm{best}}}^{{{t}}}+\eta \left|{x}_{i,j}^{t}-{x}_{{\mathrm{best}}}^t\right|,\text{ }{f}_{i}＞{f}_{{\mathrm{g}}};\\ {x}_{i,j}^{t}+K \left(\dfrac{{x}_{i,j}^{t}-{x}_{{\mathrm{worst}}}^t}{{f}_{i}-{f}_{{\mathrm{w}}}+\varepsilon }\right),\text{ }{f}_{i}={f}_{{\mathrm{g}}}.\end{array}\right. $

式中：$ {f_i}、{f_{\mathrm{g}}}、{f_{\mathrm{w}}} $分别为麻雀i当前的适应度、全局最优适应度、全局最差适应度；$ x_{ {{\mathrm{best}} }}^t $为当前麻雀种群中的最优位置；$ \eta $ 为步长控制参数，是服从方差为1、均值为0的符合正态分布的随机数；$ K $为 (0, 1.0)的随机数；$ \varepsilon $为极小的固定常数，是为了避免分母为0的情况产生. $ {f}_{i}> {f}_{{\mathrm{g}}} $表示麻雀会向麻雀群的中心移动，以规避风险；$ {f_i} = {f_{\mathrm{g}}} $表示麻雀会向麻雀群的边缘移动，以规避危险.

SSA和其他优化算法存在初始种群分布不均匀的缺点^[22]. 为了进一步增强种群的分布，使用混沌映射的办法代替麻雀搜索算法中的随机搜索策略来初始化麻雀的种群. 映射的基本思路为通过映射关系在[0,1.0]内产生混沌序列，随后将这个混沌序列转化到麻雀个体上. 不同形式的混沌映射各有特点，通过比较表3中的Logistic、Circle、Sine、Singer、Cubic这5种混沌映射方法，比较收敛速度与收敛精度，确定最佳的改进策略.

对比5种混沌映射改进麻雀搜索算法在切削力、振动、粗糙度及残余应力模型中的收敛速度和精度，如图4所示. 其中，N_i为迭代次数. 从图4可以看出，Cubic混沌映射改进麻雀搜索算法在切削力和残余应力模型中有着较快的收敛速度及收敛精度，虽然Cubic混沌映射改进的麻雀搜索算法在振动和粗糙度模型中收敛精度不是最高，但是收敛速度较快. Cubic混沌映射被作为麻雀搜索算法的改进策略.

SSA对BP神经网络的权值和阈值进行优化，优化后的神经网络模型具有更好的预测性能. 通过Cubic混沌映射改进的SSA具有更好的全局搜索能力和稳定性，因此利用建立的ISSA-BP，可以更好地提高模型的预测精度.

由于样本中每个维度的数据存在显著差异，必须对原始数据进行归一化，以减轻维度变化的影响. 归一化公式为

(6)$ x_i^\prime = \frac{{{x_i} - {x_{\min }}}}{{{x_{\max }} - {x_{\min }}}} . $

式中：$ x_{i}^{\prime} $为各个变化的归一化数据，$ x_{\tilde{i}} $为原始数据，$ x_{\text {max }} $、$ x_{\text {min }} $分别为数据中的最大值及最小值.

在所需样本较少的情况下，采用单隐藏层的BP神经网络对各个响应进行预测. 采用试凑法，利用下式确定隐藏层神经元数的范围：

(7)$ l = \sqrt {m+n} +a . $

式中：$ l $为隐藏层的节点数；$ m $为输入层的节点数；$ n $为输出层的节点数；$ a $为整数，a∈[1，10]. 利用同一训练样本对网络进行训练，确定网络误差最小时对应的隐藏层神经元数.

以切削速度、最大切削深度、刀具个数为输入，切削力、振动、粗糙度及残余压应力为输出，构建BP网络. 输入层节点数m为3，单个输出的输出层节点数n为1，所以隐藏层节点数为3~12. 遍历节点数，选择归一化训练数据的最小均方误差对应值作为最佳节点数，得到各模型的隐含层节点数为9、8、4、6. 设训练目标误差为0.000 1，学习效率为0.01，训练次数为1 000，隐含层用tansig函数，输出层用purelin函数，通过trainlm函数训练.

在模型评估时，使用平均绝对误差(MAE)、均方误差(MSE)、均方根误差（RMSE）、平均绝对百分比误差(MAPE)和R²作为所建立的ISSA-BP的评价指标，判断所建立预测模型的预测精度. 各个公式表示如下：

(8)$ {\mathrm{MAE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i} - {{\hat y}_i}} \right|} , $

(9)$ {\mathrm{MSE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({y_i} - {{\hat y}_i})}^2}} , $

(10)$ {\mathrm{RMSE}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({{\hat y}_i} - {y_i})}^2}} } , $

(11)$ {\mathrm{MAPE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\frac{{{y_i} - {{\hat y}_i}}}{{{y_i}}}} \right|} \times 100\text{%} , $

(12)$ {R^2} = 1 - \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{({y_i} - {{\hat y}_i})}^2}}}{{y_i^2}}} . $

在麻雀搜索算法的参数设置中，种群数量对算法的影响较大. 若种群较小，则会导致收敛过快，从而产生局部最优的结果；若种群过大，则收敛较慢，导致迭代次数增加，从而增大了计算的复杂度. 针对不同的种群数量进行试验，观察每次试验中算法预测性能指标的变化，通过对比分析来确定最适合的种群数量. 种群对麻雀搜索算法的影响结果如图5所示. 将RMSE与R²作为ISSA-BP预测精度的评价指标，为了追求较低的RMSE及较高的R²，获得更好的预测精度，所建立的4个ISSA-BP模型的麻雀种群数分别为40、50、60、30.

目前，没有通用的方法来确定搜索者和警戒者之间的比例. 为了找到最优比例，搜索者和警戒者在一定范围内进行调整和搜索.

如图6所示，在建立的切削力模型中，当搜索者设置的比例P_s为0.30~0.40，警戒者比例P_sco为0.35~0.40时，建立的模型预测性能更好. 在建立的振动预测模型中，搜索者的最优比例为0.30~0.35，警戒者的最优比例为0.20~0.25. 在粗糙度预测模型中，当搜索者比例为0.50~0.55，警戒者比例为0.25~0.30时，该模型显示出更好的性能. 在残余压应力预测模型中，当搜索者比例为0.40~0.45，警戒者比例为0.25~0.30时表现出更好的预测性能. 将混沌映射添加到已建立的模型中，完成最终的模型.

为了验证所提ISSA-BP模型的预测有效性，开展对比检验. 如图7所示为以小提琴图可视化BP、PSO-BP、GWO-BP、MFO-BP、ISSA-BP各算法的RMSE结果. 各算法均选择误差最小的隐藏层节点数为最佳，将训练目标的最小误差设为0.000 1，学习效率为0.01，训练次数为1000. 如图7所示，与其他4种算法相比，所开发的4种ISSA-BP模型的预测效果更优且更稳定.

从图8可以看出，在建立的预测模型中，ISSA-BP模型在MAE、MSE、RMSE、MAPE方面表现出优异的预测性能.

R²是评估模型性能的指标，取值为 [0,1.0]. 如图9 所示为利用5种算法建立的4个模型 R²的比较. 可以看出，建立的ISSA-BP模型在切削力、振动、粗糙度和残余压应力方面都具有较大的R²，分别为0.991、0.999、0.997和0.980. 每个模型的性能评估结果如表4所示.

当优化目标的数量超过3个时，NSGA-II可能缺乏足够的能力来解决多目标问题，且容易陷入局部最优解中^[23-24]. 为了克服这些限制，Deb等^[25]改进了NSGA-II，并命名为NSGA-III. NSGA-III特别适用于处理三维或更高维的多目标优化问题. 多目标优化问题可以具体描述如下.

(13)$ \min \left[f_{1}({\boldsymbol{x}}), f_{2}({\boldsymbol{x}}), \cdots, f_{n}({\boldsymbol{x}})\right] ; $

(14)$ \text { s.t.: }-{\bf{l b}} \leqslant {\boldsymbol{x}} \leqslant {\bf{u b}} , $

(15)$ {\boldsymbol{A}} _{\mathrm{e q}} {\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{b}} _{\mathrm{eq}} , $

(16)$ {\boldsymbol{A}}^{*} {\boldsymbol{x}} \leqslant {\boldsymbol{b}} . $

式中：$ f({\boldsymbol{x}}) $为待优化的目标函数，$ {\boldsymbol{x}} $为待优化的变量，$ {\bf{lb}} $与$ {\bf{ub}} $分别为待优化变量的下限约束和上限约束，式 (15)为变量可解${\boldsymbol{ x}} $的线性等式约束，式(16)为变量$ {\boldsymbol{x}} $的线性不等式约束.

设定的优化目标如下：最小化切削力、振动和粗糙度，最大化残余压应力. 每个决策变量都在下限和上限内，因此对切削速度、最大切削深度和刀具数量的约束范围如下：60 m/min ≤ x(1)≤ 140 m/min，0.04 mm ≤ x(2) ≤ 0.10 mm，2 ≤ x(3) ≤ 6.

利用改进麻雀搜索算法优化 BP，建立加工参数与切削力、振动、粗糙度、残余压应力的非线性映射，得到高精度预测模型. 采用统一目标法和多目标进化算法优化，将统一评价函数作为适应度函数，引入 NSGA-III，对丝杠旋铣指标进行多目标优化，优化过程如图10所示.

使用MATLAB 2020b，求解丝杠旋铣的多目标优化问题. 图11中，残余压应力用方块的大小表示. 可以看出，粗糙度及残余压应力之间存在权衡取舍. 当切削力增大时，工件的粗糙度呈下降趋势，这说明切削力和粗糙度是相互依存和相互关联的因素.

如表5所示为帕累托最优解集. 在丝杠加工中，每个性能指标本质上都是相互冲突的，而在帕累托最优解集中，没有一种解优于其他解，因此任何解都是可接受的解. 工艺规划人员可以根据要求在最优的解决方案集中做出合理的决策.

本研究采用改进的麻雀搜索算法与 NSGA-III 相结合的方法，开展多目标优化研究. 通过对比Logistic、Circle、Sine、Singer和Cubic 5种混沌映射改进策略，确定Cubic混沌映射为最优方案. 探究种群规模及搜索者与警戒者比例对ISSA-BP模型预测性能的影响. 结果表明，针对切削力、振动、粗糙度及残余压应力模型，最优的种群规模分别为40、50、60和30，确定各模型对应的最优的搜索者与警戒者比例. 性能对比分析显示，ISSA-BP模型在关键评价指标上均显著优于BP、PSO-BP、GWO-BP和MFO-BP 4种对比算法. 结合该模型与NSGA-III，得到Pareto解集，揭示了加工性能指标间的内在联系，如粗糙度和残余压应力近似成反比，切削力与粗糙度相互依存.

后续研究将从以下方面展开，采用正交实验设计，增加实验组数与参数的组合范围，考察各参数间的交互作用对预测模型的影响. 对现有的优化算法进行改进，提升预测精度和多目标优化的效率. 此外，引入其他多种加工场景的案例研究，得到更具普适性与实用性的优化方案，完成对最优解的有效验证.