随着柔性输电技术的发展，模块化多电平换流器(modular multilevel converter, MMC)在中长距离交-直-交柔性高压输电领域得到了广泛应用. MMC拓扑结构与传统电压源型换流器(voltage source converter, VSC)相似，但其上下桥臂采用级联子模块代替单个开关管，实现了多电平电压输出，使交流侧输出电压近似于标准正弦波，谐波含量极低^[1]. 然而实际运行中，由于MMC内部结构或控制器与外部系统的相互作用，MMC并网系统中时常发生次同步振荡(sub-synchronous oscillation, SSO)问题，对电力系统的安全稳定运行产生影响^[2-4]. Lyu等^[2]指出若控制参数设计不当，在次同步振荡频段下，MMC-HVDC可能呈现负阻尼特性，与串联补偿线路相互作用时可能引发SSO. 孙雅旻等^[3]通过阻抗相量法分析双馈风机与直驱风机的频域阻抗，表明当双馈、直驱风机混合并联接入MMC-HVDC时，互联系统在次同步频带存在振荡风险. Sun等^[4]研究MMC-HVDC与毗邻汽轮发电机的次同步扭振互作用(sub-synchronous torsion interaction, SSTI)，指出受系统强弱、负载等级、控制策略与控制参数等因素影响，MMC-HVDC可能导致发电机轴系发生次同步扭振，这一特点与传统LCC-HVDC系统的相似.

分析MMC的SSO特性的方法主要有3种：时域分析法、特征值分析法与频域分析法. 时域法优点在于能够获取系统各变量的时域响应曲线，结果精确度高，但时域法计算量庞大，需要较长的处理时间，且难以获取系统稳定程度的定量信息以及SSO产生机理^[5]. 特征值法普适性强，且能提供完整的MMC小扰动特性，包括系统模式阻尼、谐振频率、稳定裕度等^[6]. 然而特征值法须获知MMC互联系统的全部参数，MMC互联系统状态空间通常阶数较高，会导致“维数灾”问题，限制了特征值法在MMC次同步振荡研究中的应用^[7]. 频域法包括阻抗分析法、复转矩分析法，实际应用中多采用阻抗分析法. 阻抗分析法将MMC、电网、风机等视为相互独立的子系统，分别建立各子系统的频域阻抗模型，再利用广义Nyquist判据判定互联系统的稳定性^[8-9]. 阻抗分析法物理意义明确，且通过系统分块降阶规避了“维数灾”问题，其缺点在于须研究多输入多输出(multiple-in multiple-out, MIMO)系统稳定性，分析难度较高，且MIMO导致稳定性判据保守性大.

近年来，关于暂态能量函数(transient energy function, TEF)法在新能源电网中应用的研究逐渐增多. TEF法通过构造系统能量函数，并依据能量函数计算故障后系统暂态能量和临界能量，基于暂态能量与临界能量的比较来判断系统稳定性^[10]. TEF法计算迅速，判稳条件简洁，并能够通过暂态能量水平反映系统稳定程度，具有实时分析电力系统稳定性的潜力. 然而，新能源电网具有电力电子设备渗透率高、交直流混合互联的特征，其详细模型的动态特性十分复杂，在能量函数构造方面存在瓶颈^[11]. 因此，TEF法一度局限于传统同步发电机网络，直至Moon等^[12-14]提出基于能量守恒定律的能量函数构建方法，该方法无需具体的系统元件模型，只须通过广域测量系统(wide area measurement system, WAMS)数据即可构造系统能量函数. 此方法大大降低了能量函数的构建门槛.

基于Moon的理念与端口Hamilton理论，李颖等^[15-16]提出端口能量的概念，将系统整体的能量函数分解为系统中各端口流出及支路上流动的暂态能流. 陈磊等^[17]对端口能量进行改进，去除端口能量的振荡分量而保留端口能量中反映能量变化趋势的部分，并将这部分定义为耗散能流(dissipating energy flow, DEF). DEF保留TEF的内核，刻画了端口元件对系统暂态能量水平变化的贡献，相比于TEF更为简明直观. 现已有研究运用DEF来分析含电力电子换流器或其他电力电子器件系统的暂态特性：Chatterjee等^[18]针对2种电力电子器件（TCSC与STATCOM）开展研究，获取了低频振荡故障下2种器件的DEF表达式，并用其判别2种器件在低频振荡下的振荡源\汇特性. Ma等^[19]研究了双馈风机（doubly-fed induction generator, DFIG）输出端DEF方程，分析机侧、网侧换流器控制与锁相环（phase-locked loop, PLL）对机端DEF的影响，并基于DEF的梯度构建耗散能量密度谱，以此评估DFIG并网系统的次同步振荡稳定性. 宋宇博^[20]建立了直驱风机的输出端DEF函数，并研究了直驱风电场中多台风机间DEF的传播与交互作用及其对次同步振荡的影响. 然而，针对含MMC系统的DEF特性的研究尚为空白.

针对上述研究的特点及不足，从系统耗散能流的角度出发，提出新的次同步振荡分析理论. 通过 MMC 控制器建模及次同步振荡下MMC端口动态特性分析建立MMC交流侧端口DEF模型，分析MMC次同步振荡机理，并结合算例仿真结果研究各参数对DEF及MMC振荡源/汇特性的影响，从暂态能量角度展现MMC对系统整体稳定性的改变.

MMC拓扑结构如图1所示. 图中，${V_{{\text{dc}}}}$为MMC直流侧电压；$ {v}_{\text{u, }j}、{i}_{\text{u, }j} $为MMC上半桥臂电压、电流；$ {v}_{\text{l, }j}、{i}_{\text{l, }j} $为MMC下半桥臂电压、电流；$ {v}_{{\mathrm{s}},j}、{i}_{{\mathrm{s}},j} $为MMC交流侧电压、电流；$ {L}_{\text{arm}}、{L}_{\text{s}} $为MMC桥臂电感与交流网侧单相电感；${v_{{\text{p, }}j}}$为MMC与大电网公共耦合点(point of common couple, PCC)处的电压. 不特别指明的地方，下标j表示abc三相. 根据基尔霍夫电流、电压定律给出MMC三相回路状态方程：

(1)$ \left.\begin{array}{l}v_{\mathrm{p}, j}=\dfrac{V_{\mathrm{dc}}}{2}-v_{\mathrm{u}, j}-L_{\mathrm{arm}} \dfrac{\mathrm{d} i_{{\mathrm{u}}, j}}{\mathrm{d} t}-L_{\mathrm{s}} \dfrac{\mathrm{d} i_{{\mathrm{s}}, j}}{\mathrm{d} t}, \\v_{\mathrm{p} j}=-\dfrac{V_{\mathrm{dc}}}{2}+v_{1, j}+L_{\mathrm{arm}} \dfrac{\mathrm{d} i_{1, j}}{\mathrm{d} t}-L_{\mathrm{s}} \dfrac{\mathrm{d} i_{{\mathrm{s}}, j}}{\mathrm{d} t}, \\i_{{\mathrm{s}}, j}=i_{\mathrm{u}, j}-i_{1, j} .\end{array} \right\} $

整理可得变流器方程：

(2)$ {v_{{\text{p, }}j}} = \frac{{{v_{{\text{l, }}j}} - {v_{{\text{u, }}j}}}}{2} - \left( {{L_{\text{s}}}+\frac{{{L_{{\text{arm}}}}}}{2}} \right)\frac{{{\text{d}}{i_{{\mathrm{s}},j}}}}{{{\text{d}}t}}. $

令${v_{{\text{diff}}}} = \left( {{v_{{\text{l, }}j}} - {v_{{\text{u, }}j}}} \right)/2$，${L_{{\text{eq}}}} = {L_{\text{s}}}+{L_{{\text{arm}}}}/2$，则对式(2)两侧作Park变换，可以得到

(3)$ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{{\text{diff,}}d}} = {v_d}+{L_{{\text{eq}}}}\left( {\dfrac{{{\text{d}}{i_d}}}{{{\text{d}}t}} - \omega {i_q}} \right)} ,\\ {{v_{{\text{diff,}}q}} = {v_q}+{L_{{\text{eq}}}}\left( {\dfrac{{{\text{d}}{i_q}}}{{{\text{d}}t}}+\omega {i_d}} \right)} .\end{array}} \right\} $

式中：$ {v}_{\text{diff, }d}、 {v}_{\text{diff,}q}、 {v}_{d}、 {v}_{q}、 {i}_{d}、 {i}_{q} $分别为$ {v}_{\text{diff}}、{v}_{\text{p, }j}、 {i}_{j} $的d、q轴分量，$\omega $为电网角频率. 根据式(3)可构建MMC电流内环控制器，如图2所示. 其中，$v_{{\mathrm{g}},j} $为电网电压，L_g为网侧线路电感，参考电流$ {i}_{d\text{ref}}、 {i}_{q\text{ref}} $ 由MMC外环控制给出，MMC外环控制结构由MMC运行模式（AC侧构网、DC侧构网、AC&DC双侧跟网）决定. 根据工作场景需求，MMC可在外层控制对象中分别选取一个有功量和一个无功量进行控制，其中有功量包含交流侧有功功率${P_{{\text{ac}}}}$、直流侧电压${V_{{\text{dc}}}}$、交流频率$f$，无功量包含交流侧无功功率${Q_{{\text{ac}}}}$、交流电压幅值${V_j}$^[21].

陈乾等^[16]提出端口能量的构造方法，可通过以下积分得到挂载在端口节点i上的设备向网络中注入的暂态能量${W_i}$：

(4)$ W_i=\int {{\rm{I}}{\mathrm{m}}}\left(\boldsymbol{I}_i^*{ \mathrm{d}} \boldsymbol{V}_i\right). $

式中：${{\boldsymbol{V}}_i} $为节点电压相量，${{\boldsymbol{V}}_i} = {v_x}+{\mathrm{j}}{v_y}$；${{\boldsymbol{I}}_i} $为该设备向网络中注入的电流相量，${{\boldsymbol{I}}_i} = {i_x}+{\mathrm{j}}{i_y}$；$ \text{Im}(\cdot) $表示取虚部；$ {(\cdot)}^{*} $表示取共轭复数. 基于式(4)，Chatterjee等^[18]提出耗散能流的概念，即从暂态能量函数中削除振荡分量，保留暂态能量消耗/产生分量. 耗散能流的具体计算方法如下.

xy参考系与dq参考系坐标具有以下转换关系：

(5)$ \left.\begin{array}{l}i_x+\mathrm{j} i_y=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta_{\text {pll }}}\left(i_d+\mathrm{j} i_q\right), \\v_x+\mathrm{j} v_y=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta_{\text {pll }}}\left(v_d+\mathrm{j} v_q\right).\end{array}\right\}$

将式(5)代入式(4)并展开可得

(6)$ \begin{split} {W_i} = &\int {{\text{Im}}\left[ {{{\left( {{i_x}+{\mathrm{j}}{i_y}} \right)}^*}{\text{d}}\left( {{v_x}+{\mathrm{j}}{v_y}} \right)} \right]} =\\ &\int {\left( {{i_d}{\text{d}}{v_q} - {i_q}{\text{d}}{v_d}} \right)} +\int {{P_{\text{e}}}{\text{d}}{\theta _{{\text{pll}}}}} . \end{split} $

式中：${\theta _{{\text{pll}}}}$为锁相环输出的锁相角，${P_{\text{e}}} = {v_d}{i_d}+{v_q}{i_q}$为设备端口的有功功率. 将变量$ {v}_{dq}、{i}_{dq}、{P}_{\text{e}}、{\theta }_{\text{pll}} $写成如下形式：

(7)$ \left. \begin{gathered} {v_{dq}} = {v_{dq,0}}+\Delta {v_{dq}}, \\ {i_{dq}} = {i_{dq,0}}+\Delta {i_{dq}}, \\ {P_{\text{e}}} = {P_{{\text{e,}}0}}+\Delta {P_{\text{e}}}, \\ {\theta _{{\text{pll}}}} = {\theta _{{\text{pll, 0}}}}+\Delta {\theta _{{\text{pll}}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：下标“0”表示系统稳态运行时各变量的稳态值，“$\Delta $”表示暂态过程中各变量的扰动分量. 将式(7)代入式(6)并展开，得到

(8)$ \begin{split} {W_i} =& \int {\left( {{i_{d,0}}{\text{d}}\Delta {v_q} - {i_{q,0}}{\text{d}}\Delta {v_d}+{P_{{\text{e,}}0}}{\text{d}}\Delta {\theta _{{\text{pll}}}}} \right)}+ \\ &\int {\left( {\Delta {i_d}{\text{d}}\Delta {v_q} - \Delta {i_q}{\text{d}}\Delta {v_d}+\Delta {P_{\text{e}}}{\text{d}}\Delta {\theta _{{\text{pll}}}}} \right)} =\\ & {W_{i,0}}+{W_{i,{\text{D}}}}. \end{split} $

${W_i}$中的振荡分量主要集中在${W_{i,0}}$中，而变化趋势分量集中在${W_{i,{\text{D}}}}$中，${W_{i,{\text{D}}}}$即为端口耗散能流.

根据电力系统能量函数理论，须关注暂态过程下${W_{i,{\text{D}}}}$的变化趋势，即${W_{i,{\text{D}}}}$的平均变化率${\overline {\dot W} _{i,{\text{D}}}}$，其表达式如下：

(9)$ \begin{split} {\overline {\dot W} _{i,{\text{D}}}} =& \dfrac{1}{{{T_{\mathrm{s}}}}} \int_t^{t+{T_{\mathrm{s}}}} \dfrac{{{\text{d}}{W_{i,{\text{D}}}}}}{{{\text{d}}t}}{\text{d}}t = \frac{1}{{{T_{\mathrm{s}}}}}\times\\ &\int_t^{t+{T_{\mathrm{s}}}}\left( {\Delta {i_d}{\text{d}}\Delta {v_q} - \Delta {i_q}{\text{d}}\Delta {v_d}+\Delta {P_{\text{e}}}{\text{d}}\Delta {\theta _{{\text{pll}}}}} \right). \end{split} $

${\overline {\dot W} _{i,{\text{D}}}}$为${W_{i,{\text{D}}}}$在一个扰动周期${T_{\mathrm{s}}}$(${T_{\mathrm{s}}} = 2{\text{π}} /{\omega _{\mathrm{s}}}$)内的导数的积分平均值，它直观反映了该设备在振荡下的源汇特性. ${\overline {\dot W} _{i,{\text{D}}}} > 0$即耗散能流从设备内部流向外界，代表设备向外发出振荡能量，为振荡能量源；反之即耗散能流从外界流入设备，表示设备吸收振荡能量，为振荡能量汇. 根据文献[22]、[23]，亦可将${\overline {\dot W} _{i,{\text{D}}}}$视为该设备向系统提供的附加阻尼. ${\overline {\dot W} _{i,{\text{D}}}} > 0$表示附加阻尼为负，此时其绝对值$\left| {{{\overline {\dot W} }_{i,{\text{D}}}}} \right|$越大则负阻尼程度越大；${\overline {\dot W} _{i,{\text{D}}}} < 0$ 表示附加阻尼为正，此时$\left| {{{\overline {\dot W} }_{i,{\text{D}}}}} \right|$越大则正阻尼程度越大.

假设系统发生次同步振荡，在MMC并网公共耦合点PCC处电压${v_{\text{p}}}$将出现三相对称次同步正弦扰动分量，即

(10)$ {v_{\text{p}}} = {v_0}+{v_{\mathrm{r}}} = V\sin \left( {\omega t+\varphi } \right)+\varepsilon V\sin \left( {{\omega _{\mathrm{r}}}t+{\varphi _{\mathrm{r}}}} \right). $

式中：$\omega $为系统额定角频率；${\omega _{\mathrm{r}}}$为SSO角频率；$ \varphi $和$\varphi_{\mathrm{r}} $分别表示额定电压的相角和次同步电压分量的相角；$V$为系统额定电压幅值（标幺值）；$\varepsilon $表示扰动程度，通常$\varepsilon $较小，数量级约为10⁻²~10⁻¹. 则有

(11)$ \begin{split}{v}_{\text{p}}= &V\left[\text{sin}\;\left(\omega t+\varphi \right)+\varepsilon \text{sin}\;\left(\omega t+\varphi -{\omega }_{{\mathrm{s}}}t-{\varphi }_{{\mathrm{s}}}\right)\right]=\\&\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}} \mathrm{sin}\;\left(\omega t+\phi \right).\end{split}$

(12)$\left. \begin{split}&{\omega _{\mathrm{s}}} = \omega - {\omega _{\mathrm{r}}}, \\& X = V\left[ {1+\varepsilon \cos\; \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right)} \right], \\& Y = \varepsilon V\sin\; \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right) .\end{split} \right\} $

(13)$ \phi = \varphi - {\text{ta}}{{\text{n}}^{ - 1}}\left[ {\frac{{\varepsilon \sin \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right)}}{{1+\varepsilon \cos \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right)}}} \right]. $

对于含扰动分量的PCC电压${v_{\text{p}}}$，由于$\varepsilon $较小，对于${v_{\text{p}}}$的相位${\theta _{\text{p}}}$有

(14)$ {\theta _{\text{p}}} \approx \omega t+\varphi - \varepsilon \sin \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right). $

可见${\theta _{\text{p}}}$中包含正弦扰动分量$ - \varepsilon \sin \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right)$.

MMC通过PLL跟踪${v_{\text{p}}}$的相位，以PLL的输出${\theta _{{\text{pll}}}}$作为Park变换的输入角度，即

(15)$ \begin{split} &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_d}} \\ {{v_q}} \\ {{v_0}} \end{array}} \right] =\\&\dfrac{2}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{sin}} \; {\theta _{{\text{pll}}}}}&{\sin \left( {{\theta _{{\text{pll}}}} - \dfrac{{2{\text{π}} }}{3}} \right)}&{\sin \left( {{\theta _{{\text{pll}}}}+\dfrac{{2{\text{π}} }}{3}} \right)} \\ {{\text{cos}} \; {\theta _{{\text{pll}}}}}&{\cos \left( {{\theta _{{\text{pll}}}} - \dfrac{{2{\text{π}} }}{3}} \right)}&{\cos \left( {{\theta _{{\text{pll}}}}+\dfrac{{2{\text{π}} }}{3}} \right)} \\ {\dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}} \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{{\text{p}},a}}} \\ {{v_{{\text{p}},b}}} \\ {{v_{{\text{p}},c}}} \end{array}} \right]. \end{split}$

在理想PLL（无缝锁相）条件下，有${\theta _{{\text{pll}}}} = {\theta _{\text{p}}}$，但事实上锁相环无法实现对外部相位正弦扰动的无缝跟踪，因此须考虑次同步扰动下锁相环的内部动态特性. 本研究采用经典的三相同步锁相环(synchronous reference frame phase-locked loop, SRF-PLL)，其结构如图3所示.

在小信号扰动下，SRF-PLL的小信号等效模型如图4所示^[24].

由图4可得SRF-PLL的闭环传递函数为

(16)$ {H_{{\text{pll}}}}(s) = \frac{{{K_{{\text{pll,p}}}}s+{K_{{\text{pll,i}}}}}}{{{s^2}+{K_{{\text{pll,p}}}}s+{K_{{\text{pll,i}}}}}}. $

式中：$K_{{\text{pll,p}}}$和$K_{{\text{pll,i}}} $分别表示锁相环所用的比例反馈增益和积分反馈增益.

由式(14)可知PCC处电压的相位${\theta _{\text{p}}}$包含正弦扰动分量$\Delta {\theta _{\text{p}}} = - \varepsilon \sin \left( {\Delta \omega t+\Delta \varphi } \right)$，此扰动分量经过PLL时会产生相应的幅值增益与相位偏移，最后输出为锁相角的扰动分量$\Delta {\theta _{{\text{pll}}}}$，则锁相环输出可表示为

(17)$ \begin{split} {\theta _{{\text{pll}}}} =& {\theta _{{\text{pll0}}}}+\Delta {\theta _{{\text{pll}}}} = \omega t+\varphi - {K_{{\text{pll}}}}\varepsilon \sin\; [{\omega _{\mathrm{s}}}( t -{t_{{\text{var}}}} )+\\ &{\varphi _{\mathrm{s}}}] = \omega t+\varphi - \varepsilon '\sin \;\left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}} - {\theta _{{\text{var}}}}} \right). \end{split} $

式中：$\theta_{{\mathrm{p}}110} $为额定量. 结合 SRF-PLL闭环传递函数，$\Delta {\theta _{\text{p}}}$经过PLL的相移${\theta _{{\text{var}}}}$与增益${K_{{\text{pll}}}}$满足以下关系式：

(18)$ \left. \begin{split}& {\theta _{{\text{var}}}} = {\text{arg}}\left[ {K_{{\text{pll}},{\text{i}}}^2+(K_{{\text{pll}},{\text{p}}}^2 - {K_{{\text{pll,i}}}})\omega _{\mathrm{s}}^2+{\mathrm{j}}K_{{\text{pll}},{\text{p}}}^2\omega _{\mathrm{s}}^3} \right], \\ &{K_{{\text{pll}}}} = \sqrt {\frac{{K_{{\text{pll}},{\text{p}}}^2\omega _{\mathrm{s}}^2+K_{{\text{pll}},{\text{i}}}^2}}{{K_{{\text{pll}},{\text{p}}}^2\omega _{\mathrm{s}}^2+{{({K_{{\text{pll,i}}}} - \omega _{\mathrm{s}}^2)}^2}}}} \;.\\ \end{split} \right\}$

将${\theta _{{\text{pll}}}}$表达式代入式(15)，可得

(19)$ \left. \begin{split} &{v_d} = V\left[ {1+\varepsilon \cos \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right)} \right], \\& {v_q} = \varepsilon 'V\sin \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}} - {\theta _{{\text{var}}}}} \right) - \varepsilon V\sin \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right) . \\ \end{split} \right\} $

当考虑PLL响应时，d、q轴电压均包含频率为$ \Delta \omega $的正弦扰动分量，记为$ \Delta {v_d} $和$ \Delta {v_q} $，其表达式为

(20)$ \left. \begin{split} &\Delta {v_d} = V\varepsilon \cos \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\varphi _{\mathrm{s}}}} \right) ,\\ &\Delta {v_q} = \varepsilon V\left[{1+K_{{\text{pll}}}^2 - 2{K_{{\text{pll}}}}{\text{cos}}\;{\theta _{{\text{var}}}}}\right]^{1/2} \sin\; \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+\delta } \right) .\\ \end{split} \right\} $

其中，

$ \delta = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{ta}}{{\text{n}}^{ - 1}} \; \dfrac{{{K_{{\text{pll}}}}\sin\; {\theta _{{\text{var}}}}}}{{1 - {K_{{\text{pll}}}}\cos\; {\theta _{{\text{var}}}}}}+{\varphi _{\mathrm{s}}} ,& {{K_{{\text{pll}}}}\cos\; {\theta _{{\text{var}}}} > 1} ;\\ {\text{ta}}{{\text{n}}^{ - 1}} \; \dfrac{{{K_{{\text{pll}}}}\sin\; {\theta _{{\text{var}}}}}}{{1 - {K_{{\text{pll}}}}\cos\; {\theta _{{\text{var}}}}}}+{\varphi _{\mathrm{s}}} - {\text{π}}, & {{K_{{\text{pll}}}}\cos\; {\theta _{{\text{var}}}} < 1} .\end{array}} \right. $

考虑MMC平均值模型且假定MMC桥臂能量均衡控制器工作良好，则定功率控制模式下MMC具有以下特性.

1） MMC 交流侧、直流侧均为跟网运行（交流侧通过PLL跟踪PCC电压，直流侧跟随HVDC母线电压）；

2） MMC 交流侧有功功率${P_{{\text{ac}}}}$、无功功率${Q_{{\text{ac}}}}$受功率外环控制，如图5所示. 图中，$ {P}_{\text{ref}}、{Q}_{\text{ref}} $为有功/无功功率参考值，$ {K}_{\text{p}}、{K}_{\text{i}} $为功率外环PI系数.

基于MMC的定功率控制模式对其端口耗散能流$ W_{\mathrm{D}} $及其平均变化率$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$进行分析. 由图5可得

(21)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{i_{d{\text{ref}}}} = ({P_{{\text{ref}}}} - {P_{{\text{ac}}}})\left( {{K_{\text{p}}}+\dfrac{{{K_{\text{i}}}}}{s}} \right)}, \\ {{i_{q{\text{ref}}}} = ({Q_{{\text{ac}}}} - {Q_{{\text{ref}}}})\left( {{K_{\text{p}}}+\dfrac{{{K_{\text{i}}}}}{s}} \right)}. \end{array}} \right\} $

交流侧功率$ {P}_{\text{ac}}、{Q}_{\text{ac}} $可以由dq轴电压、电流表示

(22)$ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_{{\text{ac}}}} = {v_d}{i_d}+{v_q}{i_q}}, \\ {{Q_{{\text{ac}}}} = {v_q}{i_d} - {v_d}{i_q}}. \end{array}} \right\} $

由于电流内环的响应速度要远快于功率外环，可认为$ {i_{dq}}(i_d、i_q) $对$ {i_{dq{\text{ref}}}}\;(i_{d{\mathrm{ref}}}、i_{q{\mathrm{ref}}})$的跟踪是即时的，有

(23)$ {i_{dq}} \approx {i_{dq{\text{ref}}}}. $

将式(22) 、(23)代入式(21)可得

(24)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{i_{d{\text{ref}}}} = ({P_{{\text{ref}}}} - {v_d}{i_d} - {v_q}{i_q})\left( {{K_{\text{p}}}+\dfrac{{{K_{\text{i}}}}}{s}} \right)}, \\ {{i_{q{\text{ref}}}} = ({v_q}{i_d} - {v_d}{i_q} - {Q_{{\text{ref}}}})\left( {{K_{\text{p}}}+\dfrac{{{K_{\text{i}}}}}{s}} \right)}. \end{array}} \right\} $

对式(24)进行小信号线性化处理. 忽略PLL的稳态跟踪误差，有${v_{q,0}} = 0$，则$ i_{dq}$的扰动分量如下：

(25)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta {i_d} = - (\Delta {v_d}{i_{d,0}}+{v_{d,0}}\Delta {i_d}+{v_{q,0}}\Delta {i_q})\left( {{K_{\text{p}}}+\dfrac{{{K_{\text{i}}}}}{s}} \right)}, \\ {\Delta {i_q} = (\Delta {v_q}{i_{d,0}} - {v_{d,0}}\Delta {i_q} - \Delta {v_d}{i_{q,0}})\left( {{K_{\text{p}}}+\dfrac{{{K_{\text{i}}}}}{s}} \right)}. \end{array}} \right\} $

整理得到

(26)$ \begin{split} &\left( {1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}} \right)\frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {i_d}} \\ {\Delta {i_q}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {K_{\text{i}}}{v_{d,0}}}&0 \\ 0&{ - {K_{\text{i}}}{v_{d,0}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {i_d}} \\ {\Delta {i_q}} \end{array}} \right] + \\& \qquad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {i_{d,0}}}&{ - {i_{q,0}}} \\ { - {i_{q,0}}}&{{i_{d,0}}} \end{array}} \right] \left( {{K_{\text{i}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {v_d}} \\ {\Delta {v_q}} \end{array}} \right]+{K_{\text{p}}}\frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {v_d}} \\ {\Delta {v_q}} \end{array}} \right]} \right). \\[-4pt]\end{split} $

由式(20)可知$ \Delta {v}_{d}、\Delta {v}_{q} $的表达式，其中$ {v_{d,0}} $、$ {i_{d,0}} $与$ {i_{q,0}} $由系统稳态工作点所得. 注意到1) ${v_{q,0}} = 0$，故$V = \sqrt {v_{d,0}^2+v_{q,0}^2} = {v_{d,0}}$；2) 在系统稳态时，$ \Delta i_d, \Delta i_q= 0$，故初始状态$ \Delta i_d(0)=0, \Delta i_q(0)=0$. 代入式(24)求解微分方程组，可得$ \Delta {i}_{d}、 \Delta {i}_{q} $的表达式. 对于$ \Delta {i}_{d}、 \Delta {i}_{q} $表达式中的暂态响应项（$ {\mathrm{e}}^{-K_1 t / K_6}$），由于$ K_1 / K_6 > 0 $恒成立且$ K_{\mathrm{i}}$通常数十倍于$ K_{\mathrm{p}}$，在若干振荡周期（SSO场景下约数百毫秒）后这些项将衰减至非常小，对$ W_{\mathrm{D}}$的变化贡献甚微. 故为方便起见，在计算$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$时略去这些项. 则由式(9)可以求得$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$的表达式. 由于${v_{q,0}} = 0$，有$ {P_{{\text{ac,}}0}} = {P_{{\text{ref}}}} = {v_{d,0}}{i_{d,0}} $及 $ {Q_{{\text{ac,}}0}} = {Q_{{\text{ref}}}} = - {v_{d,0}}{i_{q,0}} $. $ \Delta i_d、\Delta i_q $、$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$表达式分别如下：

(27)$ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {i_d}} \\ {\Delta {i_q}} \end{array}} \right] = \dfrac{{\varepsilon {v_{d,0}}}}{{{{\left( {{K_6}{\omega _{\mathrm{s}}}} \right)}^2} + K_1^2}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} - {\omega _{\mathrm{s}}}{K_2} & C{\omega _{\mathrm{s}}}{K_4} & - \left( {{K_1}{K_2} + \omega _{\mathrm{s}}^2{K_3}{K_6}} \right) & - C\left( {{K_1}{K_4}+\omega _{\mathrm{s}}^2{K_5}{K_6}} \right) \\ - {\omega _{\mathrm{s}}}{K_4} & - C{\omega _{\mathrm{s}}}{K_2} & - \left( {{K_1}{K_4}+\omega _{\mathrm{s}}^2{K_5}{K_6}} \right) & C\left( {{K_1}{K_2}+\omega _{\mathrm{s}}^2{K_3}{K_6}} \right) \\ \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin\; \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\omega _{\mathrm{s}}}} \right) - {{\mathrm{e}}^{ - \tfrac{{{K_1}}}{{{K_6}}}t}}\sin\; {\omega _{\mathrm{s}}}} \\ {\cos\; \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+\delta } \right) - {{\mathrm{e}}^{ - \tfrac{{{K_1}}}{{{K_6}}}t}}\cos \;\delta } \\ {\cos\; \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+{\omega _{\mathrm{s}}}} \right) - {{\mathrm{e}}^{ - \tfrac{{{K_1}}}{{{K_6}}}t}}\cos\; {\omega _{\mathrm{s}}}} \\ {\sin\; \left( {{\omega _{\mathrm{s}}}t+\delta } \right) - {{\mathrm e}^{ - \tfrac{{{K_1}}}{{{K_6}}}t}}\sin\; \delta } \end{array}} \right],} $

(28)$ \begin{split} {\overline {\dot W} _{\text{D}}} =& \frac{{{{\left( {\varepsilon {v_{d,0}}{\omega _{\mathrm{s}}}} \right)}^2}}}{{2\left[ {{{\left( {1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}} \right)}^2}{\omega _{\mathrm{s}}}^2+{{\left( {{K_{\text{i}}}{v_{d,0}}} \right)}^2}} \right]}}\left\{ {{i_{d,0}}\left[ {{K_{{\text{pll}}}}\left( {\frac{{1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}}}{{{v_{d,0}}}}{\omega _{\mathrm{s}}}{\text{cos}}{\theta _{{\text{var}}}} - {K_{\text{i}}}{\text{sin}}\;{\theta _{{\text{var}}}}} \right) - 2C{K_i}\sin \;\left( {\delta - {\varphi _{\mathrm{s}}}} \right)} \right]} \right. +\\ & {\left. {{i_{q,0}}\left[ {C{K_{{\text{pll}}}}\left( {{K_{\text{i}}}\cos \left( {{\varphi _{\mathrm{s}}} - \delta - {\theta _{{\text{var}}}}} \right) - \frac{{1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}}}{{{v_{d,0}}}}{\omega _{\mathrm{s}}}\sin \left( {{\varphi _{\mathrm{s}}} - \delta - {\theta _{{\text{var}}}}} \right)} \right) - {K_i}\left( {{C^2} - 1} \right)} \right]} \right\}} ,\end{split} $

(29)$ \begin{split} {\overline {\dot W} _D} = &\frac{{{{\left( {\varepsilon {\omega _{\mathrm{s}}}} \right)}^2}{v_{d,0}}}}{{2\left[ {{{\left( {1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}} \right)}^2}{\omega _{\mathrm{s}}}^2+{{\left( {{K_{\text{i}}}{v_{d,0}}} \right)}^2}} \right]}}\left\{ {{P_{{\text{ref}}}}\left[ {{K_{{\text{pll}}}}\left( {\frac{{1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}}}{{{v_{d,0}}}}{\omega _{\mathrm{s}}}{\text{cos}} \; {\theta _{{\text{var}}}} - {K_{\text{i}}}{\text{sin}} \; {\theta _{{\text{var}}}}} \right) - 2C{K_i}\sin\; \left( {\delta - {\varphi _{\mathrm{s}}}} \right)} \right]} \right. +\\ & {\left. {{Q_{{\text{ref}}}}\left[ {C{K_{{\text{pll}}}}\left( {{K_{\text{i}}}\cos \left( {{\varphi _{\mathrm{s}}} - \delta - {\theta _{{\text{var}}}}} \right) - \dfrac{{1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}}}{{{v_{d,0}}}}{\omega _{\mathrm{s}}}\sin \left( {{\varphi _{\mathrm{s}}} - \delta - {\theta _{{\text{var}}}}} \right)} \right) - {K_i}\left( {{C^2} - 1} \right)} \right]} \right\}} .\end{split} $

式中：${K_1} = {K_{\mathrm{i}}}{v_{d,0}}$ , ${K_2} = {K_{\mathrm{i}}}{i_{d,0}}$,${K_3} = {K_{\text{p}}}{i_{d,0}}$, ${K_4} = {K_{\mathrm{i}}}{i_{q,0}}$,${K_5} = {K_{\text{p}}}{i_{q,0}}$,${K_6} = 1+{K_{\text{p}}}{v_{d,0}}$,$ C = \sqrt{1+K_{\mathrm{pll}}^2-2 K_{\mathrm{pll}} \cos\; \theta_{\mathrm{var}}}$. 代入式(28)后$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$可改写为如式(29)所示的形式. 式(29)表明，在定功率控制模式下，次同步振荡时MMC端口耗散能流的平均变化率$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$受到MMC有功、无功功率的参考值$P_{\text {ref }}、Q_{\text {ref }} $，SSO下的PLL动态特性$ {K}_{\text{pll}}、{\theta }_{\text{var}} $，以及MMC功率外环PI参数$ {K}_{\text{p}}、{K}_{\text{i}} $的协同影响. 又由于$ {Q_{{\text{ref}}}} $通常设置为0，故$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}} $一般由式(29)中包含$ {P_{{\text{ref}}}} $的部分决定. 可见$ {P_{{\text{ref}}}} $是$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$的因数之一，因此$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$的正负号（即MMC的源汇特性）和幅值大小（即MMC向系统提供的附加阻尼的大小）将直接受$ {P_{{\text{ref}}}} $影响. 另外，由式(18)易知$ 0 < {\theta _{{\text{var}}}} < {\text{π}} $，从而有$ \sin\; {\theta _{{\text{var}}}} > 0{,} \sin \;(\delta - {\varphi _{\mathrm{s}}}) < 0 $. 因此当锁相环增益$ {K_{{\text{pll}}}} $较小时减小$ {K_{\text{i}}} $有助于令$ {\overline {\dot W} _{\text{D}}} < 0 $，使MMC呈能量汇特性，有利于SSO的抑制及整体系统的稳定.

根据式(29)，可通过振荡模态、系统稳态工作点与系统控制参数计算MMC端口DEF的平均变化率$ \overline{\dot{W}}_{\mathrm{D}}$，进而确定MMC在SSO过程中呈现的源/汇特性，由此作为系统稳定性分析与MMC控制参数设计的依据.

MMC端口耗散能流反映了MMC向系统注入或从系统吸收的暂态能量，因此可用于判断MMC源/汇特性，评定MMC对系统稳定性的影响. 以下是当系统中发生SSO时，实时计算MMC端口耗散能流平均变化率并据此评估MMC源/汇特性的具体步骤.

1） MMC端口变量数据采集. 在采样周期${T_{{\text{samp}}}}$下，通过WAMS中的相量测量单元(phasor measurement unit, PMU)，读取MMC并网点（即PCC）处的电压${v_{dq}}(k)$、电流${i_{dq}}(k)$、相角$\theta (k)$与功率$P(k)$.

2） 采样数据预处理. 利用二阶带通滤波器，提取MMC端口变量中的次同步扰动分量$\Delta {v_{dq}}(k)$、$\Delta {i_{dq}}(k)$、$\Delta \theta (k)$与$\Delta P(k)$. 滤波器传递函数如下：

(30)$ {H_{{\text{fil2}}}}\left( s \right) = \frac{{\left({\omega _0}/Q\right) s}}{{{s^2}+\left({\omega _0}/Q\right) s+\omega _0^2}}. $

式中：Q为品质因数，$ {\omega _0} $为中心频率.

3） 耗散能流平均变化率计算. 根据式(9)的离散化形式，计算MMC端口耗散能流的平均变化率：

(31)$ \begin{split} {\overline {\dot W} _{\text{D}}}\left( k \right) = &\frac{1}{N}\sum\limits_{n = k}^{k+N} {\left( \Delta {i_d}{\text{(}}n{\text{)}} \left[ {\Delta {v_q}(n+1) - \Delta {v_q}(n)} \right] -\right.} \\ &\Delta {i_q}{\text{(}}n{\text{)}} \left[ {\Delta {v_d}(n+1) - \Delta {v_d}(n)} \right]+\Delta {P_{\text{e}}}{\text{(}}n{\text{)}}\times \\ &{\left. \left[ {\Delta \theta (n+1) - \Delta \theta (n)} \right] \right)} .\end{split} $

4） MMC源/汇特性评定. 根据步骤3）求得的$ {\overline {\dot W} _{\text{D}}}(k) $判定k时刻MMC的源/汇特性. 若$ {\overline {\dot W} _{\text{D}}}(k) > 0 $，则说明MMC向外部系统注入暂态能量，为振荡能量源，对系统SSO起促进作用；若$ {\overline {\dot W} _{\text{D}}}(k) < 0 $，则说明MMC从外部系统吸收暂态能量，为振荡能量汇，对系统SSO起抑制作用.

在MATLAB/Simulink平台搭建如图6所示的MMC-DFIG-无穷大节点互联系统，其中DFIG采用66×1.5 MW风机级联风电场聚合模型，MMC采用平均值模型，并运行在定功率控制模式下. MMC直流侧为HVDC等效模型， HVDC直流电压由送端整流MMC控制，考虑到送端电网通常较强且定直流电压控制与定功率控制相互解耦，因此，本模型中MMC直流侧可近似等效为恒定直流电压源. 考虑HVDC侧直流电压紧密控制的情况，将MMC直流侧等效为理想直流源. 无穷大节点通过一条串联补偿传输线与公共耦合点相连. 系统各参数值如表1所示.

在t=2 s前，系统稳定运行，传输线上未实施串联补偿（串联补偿电容${C_{\text{L}}}$被旁路）；在t=2 s时，解除${C_{\text{L}}}$的旁路，将其投入至传输线路中，线路串联补偿度为43%，此时系统发生次同步振荡. 在各元件参数及控制参数均为预设值（见表1）时，测量并分析PCC处三相电压，结果如图7所示. 可见PCC处电压包含频率为17.5 Hz的次同步扰动分量，幅度约为基频分量的4%. MMC端口dq轴电压$ {v}_{d}、{v}_{q} $、电流$ {i}_{d}、{i}_{q} $以及PLL频率输出${f_{{\text{pll}}}}$的波形及频谱如图8所示. 可见$ {v}_{dq}、{i}_{dq} $及${f_{{\text{pll}}}}$均以频率${f_{\mathrm{s}}} = 32.5\;{\text{Hz}}$振荡. ${f_{\mathrm{s}}}$与SSO频率${f_{\mathrm{r}}}$关于基频互补，即${f_{\mathrm{s}}} = 50 - {f_{\mathrm{r}}}$.

1） SSO收敛场景.

当串联补偿度设置为40%时，在t=2 s时投入串补电容${C_{\text{L}}}$，系统产生SSO并逐渐衰减，DFIG风场输出有功功率曲线如图9所示. 通过WAMS可获取SSO过程中MMC端口电压、电流以及锁相角信息，对这些信息进行带通滤波处理，提取其中的次同步扰动分量，再代入到式(9)中可求得${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$的测量值（以下仍记为${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$）；在PLL参数、MMC控制参数以及SSO模态已知的前提下，由式(29)可直接求取${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$的计算值（以下记为${\overline {\dot W} _{{\text{D}} - {\text{calc}}}}$）. 考虑到式(29)中忽略了${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$中的暂态分量，故选取t=3 s（此时暂态过程基本结束）作为${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$测量与计算的起始点.

$ {\overline{\dot{W}}}_{\text{D}}、{\overline{\dot{W}}}_{\text{D}-\text{calc}} $的曲线如图10所示. 可见$ {\overline{\dot{W}}}_{\text{D}}、 {\overline{\dot{W}}}_{\text{D}-\text{calc}} $均小于0，说明DEF从外部流入MMC；随着振荡收敛，两者逐渐趋近于0，反映了系统暂态能量逐渐清除殆尽，系统趋于稳定. 另外，可见${\overline {\dot W} _{\text{D}}}、 {\overline {\dot W} _{{\text{D}} - {\text{calc}}}}$的数值存在些许偏差，该偏差源于理论分析部分对高次谐波及MMC子模块电容电压脉动的忽略，以及实际测量DEF时，对WAMS数据进行带通滤波提取次同步扰动分量造成的次同步扰动分量失真. 通过计算得到SSO收敛场景下${\overline {\dot W} _{{\text{D}} - {\text{calc}}}}$与${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$的相对均方根偏差rRMSE=0.12%，说明${\overline {\dot W} _{{\text{D}} - {\text{calc}}}}$的曲线与${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$基本吻合，由此验证了式(29)的正确性.

2） SSO发散场景.

当串联补偿度设置为45%时，在t=2 s时投入串补电容${C_{\text{L}}}$，系统产生SSO并逐渐发散，DFIG风电场输出有功功率曲线如图11所示. 仍选择t=3 s作为${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$测量与计算的起始点，则SSO发散时的$ {\overline{\dot{W}}}_{\text{D}}、{\overline{\dot{W}}}_{\text{D}-\text{calc}} $曲线如图12所示. 可见$ {\overline{\dot{W}}}_{\text{D}}、{\overline{\dot{W}}}_{\text{D}-\text{calc}} $均大于0，即MMC端口向外部系统发出DEF；随着振荡发散两者逐渐增大，反映了系统暂态能量加速累积，系统失稳. 在SSO发散场景下，$ {\overline{\dot{W}}}_{\text{D}}、 {\overline{\dot{W}}}_{\text{D}-\text{calc}} $的数值同样存在少许偏差. 计算得到SSO发散场景下${\overline {\dot W} _{{\text{D}} - {\text{calc}}}}$与${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$的rRMSE=0.016%，即${\overline {\dot W} _{{\text{D}} - {\text{calc}}}}$的曲线与${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$基本吻合，由此验证了式(29)的正确性.

1） MMC功率外环控制参数的影响.

在不改变其他预设参数的前提下，调节MMC功率外环控制参数$ {K}_{\text{p}}、{K}_{\text{i}} $，研究其对端口耗散能流的影响. 功率外环控制参数配置设置为以下3组：(i) ${K_{\text{p}}} = 0.1，{K_{\text{i}}} = 250$；(ii) ${K_{\text{p}}} = 0.1，{K_{\text{i}}} = 20$；(iii) ${K_{\text{p}}} = 0.7，{K_{\text{i}}} = 250$.

如图13所示为控制外环配置(i)、(ii)、(iii)下仿真结果的对照. 配置(ii)相比于配置(i)，积分系数${K_{\text{i}}}$减少，造成MMC端口耗散能流${W_{\text{D}}}$方向发生改变（由发出耗散能流变为吸收耗散能流），MMC由能量源转变为能量汇，导致系统稳定性提高，DFIG输出功率${P_{{\text{DFIG}}}}$的振荡情况由近似等幅振荡转为收敛. 配置(iii)相比于配置(i)，比例系数${K_{\text{p}}}$增加，虽然未造成${W_{\text{D}}}$方向改变，即没有改变MMC端口的能量源特性，但配置(iii)下$\left| {{{\overline {\dot W} }_{\text{D}}}} \right|$的大小要小于配置(i)的，因此配置(iii)对系统稳定性的削弱不如配置(i)的显著. DFIG输出功率振荡减弱，由近似等幅振荡转为缓慢收敛.

2） PLL参数的影响.

在不改变其他预设参数的前提下，研究锁相环参数$ {K}_{\text{pll},\text{p}}、{K}_{\text{pll},\text{i}} $对MMC端口DEF的影响. PLL参数配置设置为以下3组：(i) ${K_{{\text{pll}},{\text{p}}}} = 25，{K_{{\text{pll}},{\text{i}}}} = 2\;200$；(ii) ${K_{{\text{pll}},{\text{p}}}} = 100，{K_{{\text{pll}},{\text{i}}}} = 2\;200$；(iii) ${K_{{\text{pll}},{\text{p}}}} = 25，{K_{{\text{pll}}, {\text{i}}}} = 18\;000$.

如图14所示为PLL配置(i)、(ii)、(iii)下仿真结果的对照. 配置(ii)相比于配置(i)，PLL比例系数${K_{{\text{pll}},{\text{p}}}}$增大. 可见2种配置下MMC端口DEF方向一致，均为从MMC端口流向外部系统，即MMC均呈现能量源特性. 然而相比于配置(i)，配置(ii)下$\left| {{{\overline {\dot W} }_{\text{D}}}} \right|$更大，代表MMC在单位时间内发出更多暂态能量，故配置(ii)下系统稳定性要劣于配置(i)的， DFIG输出功率${P_{{\text{DFIG}}}}$由近似等幅振荡转变为发散. 配置(iii)相比于配置(i)，PLL积分系数${K_{{\text{pll}},{\text{i}}}}$增大，此时MMC端口DEF方向改变，MMC由能量源转变为能量汇，系统稳定性增强，${P_{{\text{DFIG}}}}$由近似等幅振荡转变为收敛振荡.

3） MMC有功功率参考值的影响.

其他预设参数不变，依次设置MMC交流侧有功功率参考值${P_{{\text{ref}}}}$如下：(i) 0.7 pu, (ii) 0.5 pu, (iii) 0.3 pu和(iv) −0.3 pu，并始终设置无功功率参考值${Q_{{\text{ref}}}} = 0$，4种情况下对应的MMC端口耗散能流${W_{\text{D}}}$、耗散能流平均变化率${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$以及DFIG输出有功功率${P_{{\text{DFIG}}}}$如图15所示. 可以看出，随着${P_{{\text{ref}}}}$的降低，DEF曲线${W_{\text{D}}}$斜率逐渐下降，${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$由正值转变为负值，说明MMC端口特性逐渐由能量源转变为能量汇. 由${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$的大小可推断系统稳定性(i)<(ii)<(iii)<(iv)，此推断能通过DFIG输出有功功率${P_{{\text{DFIG}}}}$仿真波形得到印证： (i) ${P_{{\text{DFIG}}}}$等幅振荡；(ii) ${P_{{\text{DFIG}}}}$振荡缓慢收敛；(iii) ${P_{{\text{DFIG}}}}$振荡收敛，收敛速度快于(ii)；(iv) ${P_{{\text{DFIG}}}}$振荡显著收敛，收敛速度最快. 以上结果说明MMC出力大小对系统稳定性有直接影响. 增加MMC出力会导致系统稳定性降低，使SSO加剧. 反之，削减MMC出力能够提高系统稳定性，有助于抑制SSO.

控制带宽是控制器设计中的重要参数. 在定功率控制MMC中，定功率控制环/锁相环的带宽可由相应控制参数计算得到. 为了探究MMC功率环、锁相环带宽与MMC耗散能流的关系，在不同带宽下进行仿真实验并记录MMC端口耗散能流平均变化率，结果如下（须注意，以下结果与结论均是在MMC向外部输出功率，即${P_{{\text{ref}}}} > 0$的前提下得出的）.

1） 功率环带宽.

MMC定功率控制框图如图5所示. 对电流内环进行整定（即K_p2/K_i2=L_eq/R_eq）后，电流环可等效为一阶环节，即

(32)$ {i_{dq}} = \frac{1}{{\tau s+1}}{i_{dq{\text{ref}}}} .$

式中：$\tau $为时间常数.

由此可得简化后的MMC定功率控制回路，如图16所示.

定功率控制闭环传递函数为

(33)$ {H_{{\text{PQ}}}}(s) = \dfrac{{{{{v_{d,0}}({K_{\text{p}}}s+{K_{\text{i}}})}}/{\tau }}}{{{s^2}+({{{v_{d,0}}{K_{\text{p}}}+1}})s/{\tau }+{{{v_{d,0}}{K_{\text{i}}}}}/{\tau }}}\; .$

可见定功率控制传递函数实为二阶环节，且有

$ \begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle{{\omega _n} = \sqrt {\frac{{{{v_{d,0}}{K_{\text{i}}}}}}{\tau}} ,\; \xi } \end{array} = ({v_{d,0}}{K_{\text{p}}}+1) ({{{4{v_{d,0}}{K_{\text{i}}}\tau }}})^{ - 1/2}\ . $

其带宽可以近似计算，表达式如下：

(34)$ {\omega _{{\text{BW}}}} = {\omega _n}\Bigg[ {(1 - 2{\xi ^2})+\left( {2 - 4{\xi ^2}+4{\xi ^4}}\right)^{1/2} }\Bigg]^{1/2}. $

如图17所示为功率环带宽为44.8、25.6、3.0 Hz下MMC耗散能流平均变化率(${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$)曲线. 可见随着功率环带宽降低，${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$曲线逐渐下降，说明降低功率环带宽导致MMC端口特性向振荡能量汇转变，有助于提高系统稳定性. 但较低的功率外环带宽会影响MMC功率跟踪能力，故设计功率外环参数时应综合考虑稳定性与控制器性能.

2） 锁相环带宽.

依据如图4所示的PLL框图，可得其闭环传递函数为

(35)$ {H_{{\text{pll}}}}(s) = \frac{{{K_{{\text{pll,p}}}}s+{K_{{\text{pll,i}}}}}}{{{s^2}+{K_{{\text{pll,p}}}}s+{K_{{\text{pll,i}}}}}} $

可见PLL传递函数同样为二阶环节，且有

$ {\omega _n} = \sqrt {{K_{{\text{pll,i}}}}} ,\quad \xi = {K_{{\text{pll,p}}}} [{{{4{K_{{\text{pll,i}}}}}}}]_{}^{-1/2} .$

其带宽亦可以通过式(32)近似计算.

如图18所示SRF-PLL带宽f_pll,BW为8.1、11.4、33.0 Hz下MMC耗散能流平均变化率曲线. 可见随着锁相环带宽增加，${\overline {\dot W} _{\text{D}}}$曲线逐渐下降，说明增加锁相环带宽会导致MMC端口特性向振荡能量汇转变，有利于系统稳定.

基于耗散能流理论，对次同步振荡下定功率控制MMC端口源汇特性进行研究，得出以下结论：

（1） 得出了MMC输出端DEF平均斜率的解析表达式，并验证了其正确性. DEF平均斜率与MMC恒功率控制器参数、PLL参数和MMC输出功率参考值相关.

（2） 作为MMC源/汇特性的指标，MMC端口DEF的平均斜率可评估MMC对系统稳定性的影响. 正斜率DEF代表MMC 是振荡能量源，会降低系统稳定性；负斜率DEF代表MMC 是振荡能量汇，可提高系统稳定性. 此外，DEF 平均斜率的大小反映了MMC 对系统稳定性的影响程度.

（3） 在SSO期间，MMC既可能表现为能量源也可能表现为能量汇. 利用DEF平均斜率的表达式，可以快速确定MMC的能量源/能量汇特性. 这将有助于MMC控制参数设计和SSO抑制.

未来工作将着力于探求更全面、详细的MMC端口耗散能流模型，计及MMC其他控制模式以及MMC内部环流的影响，并基于此设计抑制MMC中SSO的控制器.