低轨卫星扩频通信系统使用伪码对信号进行扩频，增大了信号带宽，提升了系统通信抗干扰的能力. 扩频信号的信噪比较低，且低轨卫星的快速运动会导致多普勒频偏高达几十kHz甚至几百kHz^[1]，因此复杂度日益增长的低轨卫星扩频通信系统需要能够同时满足大频偏捕获、高灵敏度、快速捕获等需求的扩频捕获算法^[2].

扩频信号捕获作为卫星通信系统信号同步的第一步，其性能将直接影响通信系统的性能^[3]. 传统捕获算法包括滑动相关法、匹配滤波法、并行频率捕获法、并行码相位FFT-IFFT捕获法、部分匹配滤波快速傅里叶变换PMF-FFT捕获法等，捕获灵敏度低，频偏捕获范围小，捕获时间长. 针对以上缺点，柳春^[4]提出补零增加FFT点数并对PMF-FFT的加窗函数进行改进，减少扇贝损失以增大频偏捕获范围. 韩志凤等^[5]提出使用复数型差分相关积分，提升FFT-IFFT算法对弱信号的捕获能力. 郭晓旭等^[6]通过采用特殊的同步引导序列，对多路信号分别进行下变频，缩短FFT-IFFT算法的捕获时间. 单独提升扩频捕获算法中的一项性能指标难以满足现代低轨卫星扩频通信系统中高灵敏度通信、海量通信链路快速切换的需求.

并行码相位FFT-IFFT捕获法是目前大多数高灵敏度星载接收机采用的捕获方法. 本文针对低轨卫星扩频通信系统中传统扩频捕获算法捕获速度慢、难以同时满足大频偏捕获和高灵敏度捕获需求的问题^[7]，提出改进的FFT-IFFT捕获算法. 利用扫频区间的边带信息估计捕获区间，结合数字自动增益控制AGC辅助的捕获机制，解决了传统扩频捕获算法中高灵敏度与频偏捕获范围负相关、在高灵敏度捕获时容易误捕的问题，加快了捕获速度，提升了低轨卫星扩频通信系统的可靠性. 通过理论分析与实验验证，对传统算法与改进算法的性能进行对比.

扩频捕获算法的关键是对本地信号与接收信号进行同步，只有当本地与接收信号的伪码相位同步、载波相位同步时，信号才能被正确地解扩与解调. 扩频通信系统如图1所示，发射端的伪码发生器、射频发生器分别产生伪随机序列、载波，被码元信号调制后经发射天线发射. 接收端的射频发生器产生本地载波，与接收信号的载波存在相位差$ {\theta _{\mathrm{e}}}(t) $，本地伪码发生器产生的本地伪码与接收信号的伪码存在相位差$ \gamma $，使用同步器消除相位差，对接收信号进行解扩、解调以完成捕获. 最后进行码元同步，恢复码元信号.

扩频通信系统中常用的捕获算法包括滑动相关法、匹配滤波法、并行频率捕获法、FFT-IFFT捕获法、PMF-FFT捕获法^[8]. 为了满足大频偏高灵敏度快速捕获的需求，采用FFT-IFFT捕获法. 利用频域FFT-IFFT变换与时域卷积运算等效的特性，将伪码滑动并行化，相关结果可以表示为

(1)$ \begin{split} z(\gamma ) =& \frac{1}{L}\sum\limits_{n = 0}^{L - 1} {x(n{T_{\mathrm{s}}})c((n - \gamma ){T_{\mathrm{s}}})} = \\ &{\mathrm{IFFT}}\;[{\mathrm{FFT}}\;(x(n{T_{\mathrm{s}}})) \times {\mathrm{FF}}{{\mathrm{T}}^*}(c(n{T_{\mathrm{s}}}))]. \end{split}$

式中：$ n $为离散时域采样点编号；$\gamma $为伪码相位差；${T_{\mathrm{s}}}$为采样周期；$ x(n{T_{\mathrm{s}}}) $为下变频并降采样后的接收信号；$ c((n - \gamma ){T_{\mathrm{s}}}) $为本地伪码；$L$为相干累加点数，等于FFT点数；FFT*表示对FFT结果取共轭；$ z(\gamma ) $为不同伪码相位差对应的相关结果. FFT-IFFT捕获算法的原理如图2所示.

对下变频后的接收信号与本地伪码信号分别进行FFT变换，并对本地伪码FFT结果取共轭，将两者相乘再进行IFFT变换，以获得相干累加增益. 时域下变频后的相关结果可以表示为

(2)$ {i_{\mathrm{P}}}(n{T_{\mathrm{s}}}) = aD(n{T_{\mathrm{s}}})R(\gamma )\cos\; (2{\text{π}} {f_{\mathrm{e}}}t+{\theta _{\mathrm{e}}}(t)). $

式中：${i_{\mathrm{P}}}(n{T_{\mathrm{s}}})$为离散的同相支路下变频信号；$R(\gamma )$为伪码相关值，$R(\gamma ) = c(n{T_{\mathrm{s}}})c((n - \gamma ){T_{\mathrm{s}}})$；${f_{\mathrm{e}}}$为多普勒频偏；${\theta _{\mathrm{e}}}(t)$为接收信号与本地载波的相位差.

伪码具有尖锐的自相关性，当接收信号的伪码与本地伪码对齐时，$ R(\gamma ) = 1 $；否则$ R(\gamma ) \approx 0 $. 采用FFT-IFFT捕获法，对伪码相位并行搜索. 通过比较频域内不同伪码相位差对应的相关结果，得到最大相关值，确定$ R(\gamma ) = 1 $时的本地伪码相位，利用了伪码良好的自相关性，实现了伪码相位估计与多普勒频偏估计的解耦. 同相支路的相干累加结果可以表示为

(3)$ \begin{split} {I_{\mathrm{P}}}(t) =& \frac{1}{{{T_{\mathrm{L}}}}}\int\limits_{{t_1}}^{{t_1}+{T_{\text{L}}}} {aD(t)\cos\; (2{\text{π}} {f_{\mathrm{e}}}t+{\theta _{\mathrm{e}}}(t))} =\\ & \frac{{2aD(t)}}{{{\omega _{\mathrm{e}}}{T_{\mathrm{L}}}}}\left[ {\sin \left(\frac{1}{2}{\omega _{\mathrm{e}}}{T_{\mathrm{L}}}\right)\cos \varphi } \right]. \end{split} $

式中：${T_{\mathrm{L}}}$为相干累加时长；${t_1}$为相干累加的起始时刻；$a$为信号幅度；$D(t)$为码元信号；$\varphi $为相干累加相位，$\varphi = {\omega _{\mathrm{e}}}{t_1}+0.5 {\omega _{\mathrm{e}}}{T_{\mathrm{L}}}+{\theta _{\mathrm{e}}}(t)$.

(4)$ {I_{\mathrm{P}}}(i) = aD(iL{T_{\mathrm{s}}}){\mathrm{sinc}} \left(\frac{1}{2}{\omega _{\mathrm{e}}}L{T_{\mathrm{s}}}\right)\cos\; \varphi (i). $

式中：${I_{\mathrm{P}}}(i)$为第$i$段同相支路相干累加结果，由${I_{\mathrm{P}}}(t)$离散化得到；$\varphi (i)$为离散化相干累加相位.

同理可得，${I_{\mathrm{P}}}(i)$的正交支路${Q_{\mathrm{P}}}(i)$可以表示为

(5)$ {Q_{\mathrm{P}}}(i) = aD(iL{T_{\mathrm{s}}}){\mathrm{sinc}} \left(\frac{1}{2}{\omega _{\mathrm{e}}}L{T_{\mathrm{s}}}\right)\sin \varphi (i). $

将同相支路与正交支路相干累加结果进行合并，得到相干累加结果$ {R_{\mathrm{P}}}(i) $，可以表示为

(6)$ {R_{\mathrm{P}}}(i) = aD(iL{T_{\mathrm{s}}}) {\mathrm{sinc}}\left(\frac{1}{2}{\omega _{\mathrm{e}}}L{T_{\mathrm{s}}}\right){{\mathrm{exp}}\;({{\mathrm{j}}(\varphi (i))})}. $

将多次FFT-IFFT结果进行累加，对非相干累加结果取模求平方，获得非相干累加结果，可以表示为

(7)$ {R_V} = \frac{{{a^2}}}{V}{\sum\limits_{i = 0}^{V - 1} {\left| {\frac{{\sin \left(0.5{\omega _{\mathrm{e}}}L{T_{\mathrm{s}}}\right)}}{{0.5{\omega _{\mathrm{e}}}L{T_{\mathrm{s}}}}}} \right|} ^2}. $

式中：${R_V}$为非相干累加检测峰值；$V$为非相干累加点数；${R_{V{\mathrm{MAX}}}}$为非相干累加峰值的最大值；${R_{V{\mathrm{Z}}}} = {R_V}/{R_{V{\mathrm{MAX}}}}$为归一化非相干累加峰值.

相干累加与非相干累加都可以获得信噪比增益，但前者会导致频偏捕获范围缩小，后者会带来非相干累加平方损耗^[9]. 若累加损耗过大，则将导致灵敏度下降，因此需要适当选择累加点数，以获得合适的频偏捕获范围和信噪比增益，可以表示为^[10]

(8)$ 20 {\lg } \;{\left| {{R_{\mathrm{P}}}(i)} \right|} > - 2\;{\mathrm{dB}},\;\left| {{R_{\mathrm{P}}}(i)} \right| > 0.8. $

FFT-IFFT算法通过累加信号获得信噪比增益，实现高灵敏度捕获，但相干累加点数的增多会造成多普勒扫频损耗^[11]，而非相干累加的平方损耗特性要求相干累加后的信号有较高的信噪比，且增加非相干累加点数会加长捕获时间^[12]，难以满足大频偏捕获范围的需求. 本文提出分组并行FFT-IFFT算法，该算法的结构如图3所示.

设频偏范围为DOP_R，FFT个数为FFT_NUM，则并行FFT-IFFT组应包括1个伪码FFT模块、FFT_NUM个数据FFT模块与FFT_NUM个IFFT模块，并行数控振荡器NCO组包括FFT_NUM个NCO模块，每个NCO的中心频点间隔为FFT_R. 根据式(6)、(8)可得每一个FFT-IFFT的多普勒频偏损耗因子，即随着多普勒频偏增大而衰减的峰值，可以表示为

(9)$ \delta ({f_{\mathrm{e}}}) = aD(n{T_{\mathrm{s}}}) {\mathrm{sinc}}\;({f_{\mathrm{e}}}{n_{\mathrm{F}}}/{\text{p}}{{\text{n}}_{\text{r}}}{\text{)}}. $

式中：${n_{\mathrm{F}}}$为FFT点数；${\text{p}}{{\text{n}}_{\text{r}}}$为伪码速率；$\delta ({f_{\mathrm{e}}})$为频偏损耗因子，每一个FFT-IFFT组的频偏捕获范围等于FFT_R，并行FFT-IFFT单次扫频最大捕获范围为$ \pm ({\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}})/2$.

传统分组并行FFT-IFFT扩频捕获算法的流程如下.

1) 利用FFT_NUM个并行NCO，生成频点间隔为FFT_R的本地载波乘接收信号，分别下变频，降采样.

2) 将降采样后的信号分别进行${n_{\mathrm{F}}}$点FFT变换，对本地伪码进行${n_{\mathrm{F}}}$点FFT变换并取共轭，将两者相乘，再对FFT_NUM组相乘后的信号分别进行IFFT变换.

3) 重复步骤1）、2）V次，分别对FFT_NUM组IFFT变换后的信号进行V次非相干累加，取其中的最大值. 若最大值大于捕获门限值，则捕获成功，取最大值组所对应的NCO频点作为频偏估计值，取最大值组${n_{\mathrm{F}}}$点IFFT中最大值对应的IFFT下标作为伪码相位偏移估计值. 若最大值小于捕获门限值，则逻辑控制单元将并行NCO组的中心频点移至其他区间扫频，再重复步骤1）~3）.

传统的分组并行FFT-IFFT扩频捕获算法虽然可以同时满足大范围多普勒频偏与高灵敏度捕获的需求，但存在捕获速度慢、资源消耗大的问题. 为了满足高灵敏度捕获的需求，往往设置较低的捕获门限，容易造成虚警概率升高，进而导致误捕^[13]. 传统分组并行FFT-IFFT扩频捕获算法的最大捕获时间^[14]可以表示为

(10)$ {T_{{\mathrm{ac}}}} = \frac{{(2 - {P_{{\mathrm{D}}}})(1+K{P_{{\mathrm{FA}}}})}}{{{P_{\mathrm{D}}}}} \cdot M \cdot {T_{{\mathrm{on}}}}. $

式中：${T_{{\mathrm{ac}}}}$为最大捕获时间；${P_{\mathrm{D}}}$为检测概率；${P_{{\mathrm{FA}}}}$为虚警概率；$K$为发生虚警时额外的搜索次数；${T_{{\text{on}}}}$为并行FFT-IFFT组一次扫频所需的时间，${T_{{\text{on}}}} = V {n_{\text{F}}}/{\text{p}}{{\text{n}}_{\text{r}}}$；$M$为最大扫频次数，$M = {\text{DO}}{{\text{P}}_{\text{R}}}/({\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}})$. 当${P_{{\mathrm{FA}}}} \approx 0$，$ {P_{\mathrm{D}}} \approx 1 $时，${T_{{\mathrm{ac}}}} \approx M {T_{{\mathrm{on}}}}$，且${T_{{\mathrm{ac}}}}$会随着虚警概率的增大而上升.

由式(10)可知，捕获时间由频偏捕获范围、并行FFT个数、累加时间与检测概率等变量共同决定. 边带区间为并行FFT-IFFT组的最外侧FFT-IFFT模块所对应的频偏区间，估计区间为2个边带区间之间等待捕获的频偏区间. 为了实现对最大多普勒频偏DOP_R的100%覆盖，传统算法设置边带区间1与边带区间2的间隔为0，边带区间如图4所示，但不存在估计区间，2个扫频区间分别对应并行NCO组的中心频点1与2，扫频效率较低.

利用边带区间估计法，增大了相邻并行NCO组的中心频点间隔，减少了串行扫频次数，缩短了捕获时间，在相同的频偏捕获范围内减少了FFT使用个数，且在一定范围内，最大多普勒频偏越大，优化效果越好. 设扫频区间间隔为GAP= n_B·FFT_R，其中${n_{\mathrm{B}}}$为区间间隔倍数，是大于零的整数. 若上一次中心频点1扫频未捕获，则记录边带区间1与边带区间2的非相干累加峰值. 将二者作差，以判断多普勒频偏在估计区间1、2、3 中的位置. 选择其中一个区间，将NCO中心频点偏移至估计区间，再进行一次FFT-IFFT捕获. 虽然增大区间间隔会增大漏捕概率，但边带区间估计法通过增加边带区间作差与估计区间判断机制，漏捕概率较传统算法低，如图4所示. 传统算法的漏捕概率${P_{{\mathrm{FAN}}}}$可以表示为

(11)$ {P_{{\mathrm{FAN}}}} = \frac{{{\rm{GAP - FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}}}}{{{\text{2}} {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}}{\rm{+GAP - FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}}}}. $

式中：GAP为最大多普勒频偏范围.

改进算法根据作差结果将估计区间划分为3个子区间，选择1个子区间再进行一次捕获，降低了漏捕概率. ${P_{{\mathrm{FAP}}}}$可以表示为

(12)$ {P_{{\mathrm{FAP}}}} = \frac{{{\rm{(GAP - FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}})/3}}{{{\text{2}} {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}}{\rm{+GAP - FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}}}}. $

从式(6)可知，相关结果可以简化为$\sin x/x$的形式，其一阶导数可以表示为

(13)$ (\sin x/x)' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}}. $

式中：当$ 0 \leqslant x \leqslant 1.43{\text{π}} $时，$ x\cos x - \sin x \leqslant 0 $，且有零点$ x = 1.43{\text{π}} $，$ \sin x/x $单调递减，$ x = 0.5{\omega _{\mathrm{e}}}L{T_{\mathrm{s}}} $.

$\sin x/x$的二阶导数可以表示为

(14)$ (\sin x/x)'' = \frac{{ - {x^2}\sin x - 2x\cos x+2\sin x}}{{{x^3}}}. $

式中：当$ 0 \leqslant x \leqslant 0.669{\text{π}} $时，$ (\sin x/x)'' \leqslant 0 $,$ \sin x/x $为凸函数；当$ 0.669{\text{π}} < x \leqslant 1.43{\text{π}} $时，$ (\sin x/x)'' > 0 $，$ \sin x/x $为凹函数.

$\sin x/x$具有偶对称的性质，边带区间作差利用对称凹凸性，将凹函数与凸函数部分作差抵消，使作差结果呈近似线性关系，如图5所示. 抵消效果将随着$\sin x/x$偏离区间$ 0 \leqslant x \leqslant 1.43{\text{π}} $而下降，因此边带区间的间隔倍数${n_{\mathrm{B}}}$不宜过大.

边带区间1与边带区间2的作差结果如图5所示. 结果表明，当${n_{\mathrm{B}}} \leqslant 2$时，边带区间作差结果有良好的近似线性关系，可以根据作差结果的正负值判断多普勒频偏. 当${n_{\mathrm{B}}} > 2$时，作差结果呈非线性关系，将导致估计区间难以划分.

边带区间估计法的常规串行扫频流程与传统捕获算法相同. 若常规串行扫频未捕获，则进行一次额外的估计区间捕获，算法流程如下.

1) 进行并行FFT-IFFT变换与非相干累加. 若累加结果大于捕获门限值，则判断捕获；若小于捕获门限值，则逻辑控制单元将图3中并行NCO组的中心频点1移至中心频点2，记录边带区间1的捕获峰值.

2) 对中心频点2的并行FFT-IFFT组重复步骤1），记录边带区间2的捕获峰值.

3) 重复步骤1）、2），若常规扫频未捕获，在下一次常规扫频时，对边带区间1的捕获峰值与边带区间2的捕获峰值作差. 若差值大于归一化区间门限${T_{{\mathrm{hz}}}}$，则将NCO中心频点偏移至区间1，对区间1再进行一次FFT-IFFT捕获. 若差值小于归一化区间门限$ - {T_{{\mathrm{hz}}}}$，则将NCO中心频点偏移至区间3，对区间3进行一次FFT-IFFT捕获. 否则将NCO中心频点偏移至区间2，对区间2进行一次FFT-IFFT捕获，取所有区间检测值最大值组的区间作为多普勒频偏估计值.

误捕现象的本质是捕获算法为满足较低的漏警概率设置较低捕获门限值，造成虚警概率增高^[15]. 当峰值靠近捕获门限值时，逻辑控制单元判断锁定，但信噪比不足以支持锁相环进行跟踪. 若逻辑控制单元没有判断误捕的机制，系统将进入死循环.

当有用信号不存在时，使用瑞利概率密度函数描述捕获概率. 当有用信号存在时，使用莱斯概率密度函数，而分布函数曲线与信噪比有关. 莱斯概率密度函数${f_{\mathrm{s}}}(r)$与瑞利概率密度函数${f_{\mathrm{n}}}(r)$可以分别表示为^[16]

(15)$ {f_{\mathrm{s}}}(r) = \frac{r}{{\sigma _{\mathrm{n}}^2}}{\exp\left({ - \frac{{{r^2}+{a^2}}}{{2\sigma _{\mathrm{n}}^2}}}\right)}{I_0}\left( {\frac{{ra}}{{\sigma _{\mathrm{n}}^2}}} \right), $

(16)$ {f_{\mathrm{n}}}(r) = \frac{r}{{\sigma _{\mathrm{n}}^2}}{\exp\left({ - \frac{{{r^2}}}{{2\sigma _{\mathrm{n}}^2}}}\right)}. $

式中：$r$为非相干累加值，$\sigma _{\mathrm{n}}^2$为高斯白噪声平均功率，$a$为信号幅值，$ {I_0}( \cdot ) $为第一类零阶修正贝塞尔函数.

对式(15)、(16)分别积分，可得

(17)$ {P_{{\mathrm{FD}}}} = \int_{ - \infty }^{{T_{\mathrm{h}}}} {\frac{r}{{\sigma _{\mathrm{n}}^2}}{\exp\left({ - \frac{{{r^2}+{a^2}}}{{2\sigma _n^2}}}\right)}{I_0}\left( {\frac{{ra}}{{\sigma _{\mathrm{n}}^2}}} \right)} {\mathrm{d}}r, $

(18)$ {P_{{\mathrm{FA}}}} = \int_{{T_{\mathrm{h}}}}^\infty {\frac{r}{{\sigma _{\mathrm{n}}^2}}{\exp \left({ - \frac{{{r^2}}}{{2\sigma _{\mathrm{n}}^2}}}\right)}} {\mathrm{d}}r. $

式中：${T_{\mathrm{h}}}$为捕获门限值；${P_{{\mathrm{FD}}}} = 1 - {P_{\mathrm{D}}}$为漏警概率，由莱斯概率密度函数从${T_{\mathrm{h}}}$向负坐标方向积分得到；${P_{{\mathrm{FA}}}}$为虚警概率，由瑞利概率密度函数从${T_{\mathrm{h}}}$向正坐标方向积分得到. 扩频捕获算法的捕获概率如图6所示.

弱信号的莱斯概率密度函数与瑞利概率密度函数在区间1重合，且${P_{{\mathrm{FA}}}}$与${P_{{\mathrm{FD}}}}$的积分方向相反，导致在低信噪比条件下误捕概率上升，本文提出数字AGC辅助的可靠捕获机制. 根据数字AGC增益因子判断当前信噪比变化情况，以动态地选择捕获门限，有效降低虚警概率，设计防误捕逻辑控制单元以防止死循环.

数字AGC通过反馈型环路实现，主要目的是使接收信号在一定带宽范围内维持功率不变，能够减少噪声干扰，提高信号的信噪比. 数字AGC增益因子能够反映信噪比的变化趋势^[17]，可以表示为

(19)$ \beta = {{\left( {1+\dfrac{{{N_0}{B_{{\mathrm{AGC}}}}}}{C}}\right)^{-\frac{1}{2}} }}. $

式中：${N_0}$为噪声功率谱密度，${B_{{\mathrm{AGC}}}}$为环路带宽，${N_0}{B_{{\mathrm{AGC}}}}/C$为环路信噪比的倒数. 当信噪比$C/{N_0}$很大时，$\beta \approx 1$，$\beta $与环路信噪比的关系如图7所示.

数字AGC辅助的可靠捕获机制流程如下.

1) 若$\beta > {\beta _{\mathrm{T}}}$（其中${\beta _{\mathrm{T}}}$为增益因子门限），取高捕获门限；若$\beta \leqslant {\beta _{\mathrm{T}}}$，取低捕获门限.

2) 判断峰值是否大于步骤1）中选择的捕获门限值. 若大于捕获门限值，则捕获成功，开启锁相环进行跟踪；若小于捕获门限值，则重捕.

3) 首次开启跟踪环路后，判断跟踪环路是否连续锁定多次. 若连续锁定多次，则判断锁定成功，否则重捕.

边带区间估计法在相同的频偏捕获范围内，利用相邻扫频区间的边带信息，减少了FFT-IFFT组的计算次数，缩短了捕获时间，降低了算法复杂度. 算法如图8所示.

最大扫频次数是影响捕获时间与FFT-IFFT计算次数的重要因素. 改进算法与传统算法的最大扫频次数及其最大多普勒频偏的关系可以表示如下.

(20)$ {\text{DO}}{{\text{P}}_{\mathrm{R}}} = {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}} \cdot {M_{{\mathrm{OPL}}}}+ {n_{\mathrm{B}}}({M_{{\mathrm{OPL}}}} - 1) \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}}, $

(21)$ {\text{DO}}{{\text{P}}_{\text{R}}} = {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}} \cdot M, $

(22)$ {M_{{\mathrm{OPM}}}} = \frac{{{\text{DO}}{{\text{P}}_{\text{R}}}+{n_{\mathrm{B}}}{\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}}}}{{({\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}}+{n_{\mathrm{B}}}) {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}}}}+1, $

(23)$ M = \frac{{{\text{DO}}{{\text{P}}_{\text{R}}}}}{{{\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}}}}. $

式中：${M_{{\mathrm{OPM}}}}$为改进算法的最大扫频次数；$M$为传统算法的最大扫频次数，若串行扫频失败，则改进算法的最大扫频次数与最小扫频次数${M_{{\mathrm{OPL}}}}$的关系为${M_{{\mathrm{OPM}}}} = {M_{{\mathrm{OPL}}}}+1$. 常用的FFT点数为2的幂次，为了同时满足大多普勒频偏与高灵敏度捕获的需求，取FFT点数${n_{\mathrm{F}}} = 1\;024$，${\text{DO}}{{\text{P}}_{\text{R}}} = 2 \times 70\;{\mathrm{kHz}}$. 根据式(8)、(9)，可得${\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{R}}} = 1\;360\;{\mathrm{Hz}}$.

根据式(22)、(23)可得传统算法的FFT计算次数${\text{FF}}{{\text{T}}_{\mathrm{N}}}$、改进算法FFT计算次数${\text{FF}}{{\text{T}}_{\mathrm{P}}}$、FFT-IFFT组的计算次数${\text{FF}}{{\text{T}}_{{\mathrm{NP}}}}$如下.

(24)$ {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{N}}} = {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}} \cdot M. $

(25)$ {\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{P}}} = {M_{{\mathrm{OPM}}}} \cdot {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}}+({M_{{\mathrm{OPM}}}} - 1). $

(26)$ {\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NP}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{N}}}},&{{n_{\mathrm{B}}} \leqslant 1} ;\\ {{\text{FF}}{{\text{T}}_{\text{P}}}},&{{n_{\mathrm{B}}} > 1} .\end{array}} \right. $

在不同的最大频偏范围下，FFT-IFFT组的计算次数与区间间隔倍数${n_{\mathrm{B}}}$的关系如图9所示. 随着${n_{\mathrm{B}}}$的增大，计算次数逐渐递减，且频偏捕获范围越大，递减速度越快，结果表明，改进算法的计算次数比传统算法少. 当${n_{\mathrm{B}}} > 2$时，边带区间作差结果与多普勒频偏呈非线性关系，因此取${n_{\mathrm{B}}} = 2$，${\text{FF}}{{\text{T}}_{{\text{NUM}}}} = 11$，则${M_{{\mathrm{OPM}}}} = 9.07$，${M_{{\mathrm{OPL}}}} = 8.07$，$M = 9.36$. 分别代入式(10)，可得传统算法的捕获时间${T_{{\mathrm{ac}}}} = 0.799\;3\;{\mathrm{s}}$，改进算法的最长捕获时间${T_{{\mathrm{OPM}}}} = 0.774\;6\;{\mathrm{s}}$，最短捕获时间${T_{{\mathrm{OPL}}}} = 0.689\;2\;{\mathrm{s}}$.

最大扫频次数与总频偏捕获范围的关系如图10所示. 结果表明，改进算法的捕获时间比传统算法短，且优化效果随最大频偏范围的增大而上升.

为了计算理论极限灵敏度，需要结合最低捕获信噪比、累加增益、捕获概率等相关变量得到最低载噪比. 根据载噪比与捕获灵敏度的关系，推得极限灵敏度.

虚警概率与漏警概率过高会使非相干累加的平方损耗上升，导致捕获灵敏度下降. 本文使用数字AGC辅助的可靠捕获机制，为捕获算法选择合适的捕获门限值. 从式(2)可知，FFT-IFFT捕获算法的相干累加相关结果可以表示为

(27)$ \begin{split} {I_{\mathrm{P}}}(i) =& aD(iL{T_{\mathrm{s}}})c(n{T_{\mathrm{s}}})c((n - \gamma ){T_{\mathrm{s}}}) \times \\& {\mathrm{sinc}}\left(\frac{1}{2}{\omega _{\mathrm{e}}}L{T_{\mathrm{s}}}\right)\cos \;\varphi + {n_{\mathrm{I}}}(n{T_{\mathrm{s}}})c((n - \gamma ){T_{\mathrm{s}}}). \end{split} $

式中：${n_{\mathrm{I}}}(n{T_{\mathrm{s}}})$为高斯白噪声，当伪码相位偏移$\gamma = 0$时，有用信号存在，非相干累加结果$r$满足莱斯分布；当$\gamma \ne 0$时，只存在噪声项，满足瑞利分布^[18]，如图11所示. 其中，${T_{\mathrm{h}}}/(2\sigma _{\mathrm{n}}^2)$为捕获信噪比门限.

对式(17)、(18)进行变量替换，$y = r/(2\sigma _n^2)$，可得

(28)$ {P_{{\mathrm{FD}}}} = \int_{ - \infty }^{{{{T_{\mathrm{h}}}}}/({{2\sigma _{\mathrm{n}}^2}})} {\frac{r}{{\sigma _{\mathrm{n}}^2}}{\exp \;({ - (y+{\mathrm{SNR}})})}{I_0}\left( {\sqrt {4y{\mathrm{SNR}}} } \right)} {\mathrm{d}}y, $

(29)$ {P_{{\mathrm{FA}}}} = \int_{{{{T_{\mathrm{h}}}}}/({{2\sigma _{\mathrm{n}}^2}})}^\infty {{\exp\;({ - y})}} {\mathrm{d}}y. $

式中：${\text{SNR}}$为信噪比. 捕获概率分布函数与信噪比门限的关系如图12所示. 根据式(12)与表1可得$ {P_{{\mathrm{FAN}}}} \approx 4.35{\text{%}} $, $ {P_{{\mathrm{FAP}}}} \approx 1.4{\text{%}} $, 取$ {P_{{\mathrm{FA}}}} \leqslant {10^{ - 4}} $，${P_{{\mathrm{FD}}}} \leqslant {10^{ - 2}}$，取图12中的信噪比门限2为14.4 dB，则最低捕获信噪比${\text{SN}}{{\text{R}}_{{\text{MIN}}}}$为17 dB. 结合数字AGC选取动态门限后，可以缩小捕获信噪比门限，如图12中的信噪比门限1为13.9 dB，则最低捕获信噪比降至16 dB.

为了满足低轨卫星扩频通信系统的捕获需求，系统通信速率${f_{\mathrm{D}}}$为$1.0\sim 2.0\; {\mathrm{kbit/s}}$，通信频段${f_{\mathrm{B}}}$为S波段，轨道高度$H$约为490 km. 相关参数与系统的相关指标如表1所示.

相干累加与非相干累加增益可以分别表示为

(30)$ {G_{\mathrm{C}}} = 10 \lg \;{n_{\mathrm{F}}}, $

(31)$ {G_{{\mathrm{UC}}}} = 10 \lg \;V. $

非相干累加平方损耗可以表示为^[19]

(32)$ {D_{\mathrm{C}}} = {[{\mathrm{er}}{{\mathrm{f}}^{ - 1}}(1 - 2{P_{{\mathrm{FA}}}}) - {\mathrm{er}}{{\mathrm{f}}^{ - 1}}(1 - 2{P_{\mathrm{D}}})]^2}, $

(33)$ {L_{{\mathrm{UC}}}} = 10{\lg }\left[ {\frac{{1+\sqrt {1+9.2 K/{D_{\mathrm{C}}}} }}{{1+\sqrt {1+9.2/{D_{\mathrm{C}}}} }}} \right]. $

式中：${D_{\mathrm{C}}}$为平方损耗衰减因子，erf为误差函数.

捕获信号的${\text{SNR}}$、极限灵敏度${P_{\min }}$^[20]可以分别表示为

(34)$ {\text{SNR}} = {\text{CNR}} - {G_{\mathrm{C}}} - {G_{{\mathrm{UC}}}}+\delta ({f_{{\mathrm{e}},{{\mathrm{max}}}}} ) - {L_{{\mathrm{UC}}}} - {L_{\mathrm{C}}} - {G_{{\mathrm{PN}}}}, $

(35)$ {P_{\min }} = - 174+N+{\text{CN}}{{\text{R}}_{{\text{MIN}}}}. $

式中：${G_{{\mathrm{PN}}}}$为扩频码增益因子，${G_{{\mathrm{PN}}}} = 10 \lg\; {\mathrm{p}}{{\mathrm{n}}_{\mathrm{r}}}$；N为噪声系数. ${\text{SN}}{{\text{R}}_{{\text{MIN}}}} = 16\;{\mathrm{dB}}$，$N \approx 3\;{\mathrm{dB}}$，根据式(9)、（34）、（35）可知，${\text{p}}{{\text{n}}_{\text{r}}} = 6.138\;{\mathrm{MHz}}$，${\text{CN}}{{\text{R}}_{{\text{MIN}}}} = 34.66 {\mathrm{dB}}$，${P_{\min }} = - 136.34\;{\mathrm{dBm}}$.

在MATLAB软件中进行仿真，设置捕获门限为350. 当码片偏移量为150~1 000时，捕获情况如图13 (a)所示. 随着码片偏移量的增大，非相干累加值逐渐下降，但非相干累加峰值清晰可见，且大于捕获门限值，表明伪码捕获性能可靠.

利用边带区间FFT-IFFT算法对伪码相位进行并行搜索，设置码片偏移量为150，边带区间捕获仿真如图13 (b)所示. 在其他码片区间内均未出现相关峰值，当码片偏移量小于150时出现明显的边带区间相关峰值，区分度明显，边带区间界限分明，且相干累加损耗小于2 dB，满足捕获信噪比最低的要求.

设置载噪比为34~40 dB，开展捕获实验. 当载噪比为40 dB时，在不同的多普勒频偏下进行捕获仿真，得到边带区间1与边带区间2. 结果如图14所示，多普勒频偏损耗满足$\delta ({f_{\mathrm{e}}}) < 2\;{\mathrm{dB}}$的指标. 当载噪比为34 ~38 dB时，捕获结果如图15所示. 当捕获门限为350时，相关峰值明显且均大于捕获门限，最小载噪比为34 dB，满足式(34)中的最低捕获信噪比16 dB.

当${n_{\mathrm{B}}} \leqslant 2$时，作差结果满足近似线性关系，可以用于选择估计区间；当${n_{\mathrm{B}}} > 2$时，作差结果为非线性关系，实验结果与理论分析相符. 为了进一步验证作差结果的近似线性关系，分别在载噪比为38~34 dB时进行实验，捕获结果与作差结果如图16所示. 取作差结果的正、负峰值得到标准直线，将其与作差结果相减得到线性误差，线性误差与横坐标重合. 结果表明，在不同的噪声强度下，边带区间作差结果满足近似线性关系.

取作差结果的正、负峰值得到标准直线，将其与作差结果相减，得到线性误差，如图17所示，线性误差与横坐标重合. 结果表明，在不同的噪声强度下，边带区间作差结果满足近似线性关系.

在FPGA硬件仿真平台上验证边带区间FFT-IFFT捕获算法，捕获流程如图18所示. 算法通过FPGA软件代码实现数字AGC辅助的可靠捕获机制，在信号被捕获并解调解扩后，码元信号被完整恢复. 结果表明，捕获时间低至0.8 s.

低轨卫星扩频通信系统包括射频前端硬件电路与数字信号处理模块两大部分. 前端接收部分包括接收天线、低噪声放大器LNA、混频器IFA等器件. 接收天线接收射频信号后，射频信号通过频段选择滤波器滤除带外镜像干扰，通过LNA放大，经IFA下变频至中频信号，通过滤波器与放大器处理后送入ADC模数转换芯片，FPGA用于实现扩频捕获算法. 前端发射部分除信道选择滤波器外，其他组成部分与接收部分相同，结构如图19所示.

实际的硬件测试平台结构如图20、21所示. 发射端发送突发数据包，接收端通过可调衰减器控制射频前端电路入口功率，使用ISE软件的Chipscope在线逻辑分析仪观察信号捕获情况. 在数据处理板上将串行数据流组帧，分析丢包率与误码率.

在实际的硬件平台中，利用传统及改进捕获算法的测试情况如图22所示. 设置捕获门限为$1\;600 \times {10^4}$，当出现虚警误捕时峰值约为$1\;700 \times {10^4}$，传统算法虽然伪码锁定，但载波锁定不连续，无法跳出误捕死循环. 改进捕获算法虽然出现误捕，但一段时间后跳出误捕死循环，且峰值高达$6\;000 \times {10^4}$，表明数字AGC辅助的可靠捕获机制防止了误捕的情况，有效降低了捕获算法的虚警概率与漏警概率，提升了系统的稳定性.

如图23所示为接收机入口功率为−120~−130 dBm情况下的解调波形对比. 可知，利用改进算法，在实测功率为−130 dBm的情况下，能够正常捕获并恢复码元信号.

表2、3给出传统算法与改进算法在硬件平台中实测的性能指标对比. 其中，P为接收功率，e为误码率. 当${n_{\mathrm{B}}} < 2$时，在相同的频偏捕获范围内，改进算法通过增加边带区间作差与估计区间判断机制，缩短了捕获时间，低至0.8 s. 误码率与丢包率均为${10^{ - 6}}$量级，且改进算法更优，表明利用数字AGC辅助的可靠捕获机制降低了误捕率，进而降低了丢包率和误码率，通过动态捕获门限值机制可以取得更低的捕获门限，提升了灵敏度，实测灵敏度为−130 dBm.

为了解决传统扩频捕获算法复杂度高、捕获速度慢且难以同时高动态高灵敏度捕获的问题，本文提出满足低轨卫星扩频通信系统实际应用需求的改进FFT-IFFT快捕算法. 结果表明，改进的FFT-IFFT快捕算法使用边带区间估计法，结合数字AGC辅助捕获机制，使星载接收机能够快速捕获扩频信号，有效解决了接收机在高动态低信噪比条件下容易误捕的问题，降低了误码率与丢包率，提升了通信系统的可靠性. 在卫星互联网飞速发展的时代，高性能的扩频捕获算法将使低轨卫星扩频通信系统的性能得到进一步的提升，这对安全稳定地开展航天任务具有重大意义.