近年来稀土资源短缺且价格昂贵，同步磁阻电机（synchronous reluctance motor, SynRM）因无需永磁体、结构简单、成本较低等优点受到广泛关注，被应用于电动汽车、太阳能水泵系统中^[1-2]. 相较感应电机，SynRM装配简单，转子损耗低. 相较永磁同步电机，SynRM不会发生高温退磁^[3-4]. SynRM存在低输出转矩、高转矩脉动的缺点，这些问题阻碍了SynRM的应用^[5].

SynRM转子结构影响磁阻的变化，对转矩性能有重要影响^[6]. 因磁障数量、形状和尺寸的多样性，SynRM具有多种转子结构. 刘成成等^[7]利用分段线性插值方法确定SynRM转子磁障边界，使磁障形状具有任意性. 刘荣哲等^[8]提出星形转子结构，通过增大转子磁障张角改变气隙磁密分布，提升SynRM转矩性能. Korman等^[9]使用由一组控制点的位置定义的样条曲线来形成转子磁障，通过增加优化参数维度获得更好的SynRM转矩性能.

SynRM转子结构的优化参数可以利用优化方法确定. Babetto等^[10]采用差分算法对转子磁障径向肋宽进行优化，以提升SynRM转矩性能. Moghaddam等^[11]采用响应面法与有限元相结合的方法，对SynRM的定转子进行优化设计，利用中心复合设计得到更精确的二次响应模型，以提升电机转矩、效率. Mirazimi等^[12]通过保形映射计算转子磁障等效磁阻，采用等效磁路法建立磁路模型，以优化电机性能. 与有限元法相比，等效磁路法可以减少计算时间，但须利用有限元分析进行结果验证. 本文使用多目标蛇算法（multi-objective snake algorithm, MOSO）与有限元分析结合的方法，对SynRM转子结构进行优化设计，以提升电机转矩性能.

为了进一步降低转矩脉动，非对称设计、平滑技术被引入到SynRM结构设计中. 刘成成等^[13]对磁障张角及磁障宽度进行非对称设计，结果表明，采用非对称设计的转子对抑制电机转矩脉动具有良好的效果. Okamoto等^[14]采用移动渐近线方法，对转子磁障形状进行平滑处理，改善了电机转矩性能，但其形状的复杂性增加了电机制造工艺的难度.

本文提出贝塞尔（Bezier）形转子结构，通过曲线拟合形成转子磁障形状. 为了降低转矩脉动，将非对称设计应用于SynRM转子结构设计中，引入磁障偏斜参数，使同一极下磁障关于$q$轴不对称. 结果分析表明，非对称Bezier形转子结构较圆弧形、双曲线形转子结构更有利于提升SynRM转矩性能.

提出的Bezier形转子结构如图1所示. 利用经过磁障顶点和2个磁障末端点的等价二次Bezier曲线，确定磁障形状. 拟合点位置的改变影响转子磁障张角、磁障厚度与磁障偏移量，使磁障形状具有任意性.

改变相关结构参数，Bezier形转子可以形成类圆弧形和类双曲线形转子结构. 以圆弧形、双曲线形转子结构作为对比对象，如图2所示，验证Bezier形转子结构的优越性.

二次Bezier曲线利用起始点、终止点和控制点之间形成的两点线性插值，确定曲线形状. 该曲线经过起始点、终止点，通过调整控制点位置改变曲线形状. 二次Bezier曲线的形成原理如图3所示. 曲线${P_{\text{C}}}(x)$的推导可以表示如下.

(1)$ \left. \begin{gathered} {P_{\text{A}}} = (1 - x){P_1}+x{P_{\text{C}}} ， \\ {P_{\text{B}}} = (1 - x){P_{\text{C}}}+x{P_2} ， \\ {P_{\text{t}}} = (1 - x){P_{\text{A}}}+x{P_{\text{B}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

(2)$ {P_{\text{C}}}(x) = {(1 - x)^2}{P_{\text{1}}}+2x(1 - x){P_{\text{C}}}+{x^2}{P_{\text{2}}}. $

式中：$x$为[0,1.0]的位置参数，${P_1}$为曲线起始点，${P_{\text{C}}}$为曲线控制点，${P_2}$为曲线终止点，${P_{\text{A}}}$和${P_{\text{B}}}$分别为在${P_1}{P_{\text{C}}}$和${P_{\text{C}}}{P_2}$上运动的点. 由${P_1}$、${P_{\text{C}}}$和${P_2}$ 3点确定曲线${P_{\text{C}}}(x)$路径. ${P_{\text{t}}}$为曲线${P_{\text{C}}}(x)$上的运动点，${P_{\text{t}}}$的运动轨迹受${P_1}$、${P_{\text{C}}}$和${P_2}$的约束.

Bezier形转子结构采用的等价二次Bezier曲线是利用2条起始点相同的二次Bezier曲线确定，如图4所示. 曲线${P_{\text{t}}}(x)$的形成原理与图3中曲线${P_{\text{C}}}(x)$一致. ${P_{\text{t}}}(x)$的表达式如下：

(3)$ {P_{\text{t}}}(x) = {(1 - x)^2}{P_{\text{1}}}+2x(1 - x){P_{\text{t}}}+{x^2}{P_{\text{2}}}. $

定义${P_{\text{C}}}$位于$\angle {P_1}{P_{\text{t}}}{P_2}$的角平分线${P_{\text{C}}}{P_3}$上，则${P_{\text{t}}}(x)$和${P_{\text{C}}}(x)$曲线在${P_{\text{C}}}{P_3}$上对应点的位置参数$x$相等，且${P_{\text{C}}}$和${P_{\text{t}}}$二者的位置具有线性关系.

角平分线${P_{\text{C}}}{P_3}$可由下式表示：

(4)$ {P_{\text{C}}}{P_{\text{3}}}(r) = {P_{\text{t}}}+r\left[ {\frac{{{P_{\text{1}}} - {P_{\text{t}}}}}{{\left| {{P_{\text{1}}} - {P_{\text{t}}}} \right|}}+\frac{{{P_{\text{2}}} - {P_{\text{t}}}}}{{\left| {{P_{\text{2}}} - {P_{\text{t}}}} \right|}}} \right]. $

式中：$r$为角平分线${P_{\text{C}}}{P_3}$上点对应的距离参数.

以${P_{\text{t}}}$为坐标原点，联立式(3)、(4)可得

(5)$ {(1 - x)^2}{P_{\text{1}}}+{x^2}{P_{\text{2}}} = \frac{r}{{\left| {{P_{\text{1}}}} \right|}}{P_{\text{1}}}+\frac{r}{{\left| {{P_{\text{2}}}} \right|}}{P_{\text{2}}}. $

(6)$ {(1 - x)^2} = \frac{r}{{\left| {{P_{\text{1}}}} \right|}}. $

(7)$ {x^2} = \frac{r}{{\left| {{P_{\text{2}}}} \right|}}. $

联立式(6)、(7)可得

(8)$ x = \frac{{\sqrt {{{\left| {{P_{\text{1}}}} \right|}}/{{\left| {{P_{\text{2}}}} \right|}}} }}{{\sqrt {{{\left| {{P_{\text{1}}}} \right|}}/{{\left| {{P_{\text{2}}}} \right|}}} +1}}. $

在推得角平分线${P_{\text{C}}}{P_3}$上点对应的位置参数$x$后，代入式(2)，使${P_{\text{C}}}(x)$曲线过点${P_{\text{t}}}$，可以推得点${P_{\text{C}}}$对应的关系式：

(9)$ {P_{\text{C}}} = {P_{\text{t}}} - \frac{1}{2}\sqrt {\left| {{P_{\text{1}}} - {P_{\text{t}}}} \right|\left| {{P_{\text{2}}} - {P_{\text{t}}}} \right|} \left[ {\frac{{{P_{\text{1}}} - {P_{\text{t}}}}}{{\left| {{P_{\text{1}}} - {P_{\text{t}}}} \right|}}+\frac{{{P_{\text{2}}} - {P_{\text{t}}}}}{{\left| {{P_{\text{2}}} - {P_{\text{t}}}} \right|}}} \right]. $

由此，形成等价二次Bezier曲线${P_{\text{C}}}(x)$，对应SynRM转子磁障边界. 其中，${P_1}$和${P_2}$分别为磁障始、末端点，${P_{\text{t}}}$为磁障顶点. 当上述3点位置变化时，等价二次Bezier曲线的形状改变对应Bezier形转子结构的磁障张角、磁障厚度、磁障偏移量改变.

根据表1的电机主要参数，建立模型. 为了确定转子磁障层数，分别选取3、4、5层磁障的转子结构建立模型. 图5中，$T$为输出转矩. 从图5可知，转子磁障层数为5的Bezier形转子结构的SynRM具有更好的转矩性能. 以5层Bezier形转子结构为研究对象，对该结构进行优化设计.

以提升电机输出转矩、降低转矩脉动为优化目标，对磁障厚度、磁障张角和磁障偏移量进行优化. 其中，磁障厚度直接影响$d$、$q$轴电感，对电机转矩性能的提升有重要影响^[15]. 磁障张角影响磁力线分布，对转矩谐波的抑制、转矩脉动的降低有重要作用^[16]. 磁障偏移量的引入有利于降低转矩脉动^[17-18].

非对称Bezier形转子结构的优化参数如图6所示. 图中，${\alpha _{{\mathrm{l}}i1}}$、${\alpha _{{\mathrm{l}}i2}}$、${\alpha _{{\mathrm{r}}i1}}$、${\alpha _{{\mathrm{r}}i2}}$分别为转子第$i$层磁障始、末端点对应的角度参数，${r_{i1}}$、${r_{i2}}$为转子第$i$层磁障顶点与原点$O$的距离，${\beta _{i1}}$、${\beta _{i2}}$为转子第$i$层磁障顶点对应的角度参数，${h_i}$为第$i$层磁障厚度. 其中，${\alpha _{{\mathrm{l}}i1}} = {\alpha _{{\mathrm{r}}i1}}$，${\alpha _{{\mathrm{l}}i2}} = {\alpha _{{\mathrm{r}}i2}}$，${\beta _{{{i}}1}} = {\beta _{{{i}}2}}$.

在电机优化设计的过程中，优化参数过多会严重降低计算效率，使寻找最优解变得困难^[19]. 为了获得转子各优化参数的取值，解决高维参数优化中计算量较大的问题，结合灵敏度分析对电机进行多目标优化. 对比分析优化后非对称Bezier形转子结构的SynRM与圆弧形、双曲线形转子结构的SynRM的输出转矩性能. 优化流程如图7所示.

使用改进拉丁超立方采样生成实验设计点，通过斯皮尔曼秩法分析优化参数与优化目标之间的相关性. 基于方差分析的斯皮尔曼秩法的灵敏度分析模型可以表示为

(10)$ S(Z) = \frac{{\sum\limits_{i=1}^n {(({Z_i} - \bar Z)({Y_i} - \bar Y))} }}{{\sqrt {{{\sum\limits_{i=1}^n {({Z_i} - \bar Z)^2} }}} \sqrt {{{\sum\limits_{i=1}^n {({Y_i} - \bar Y)^2} }}} }}. $

式中：$Z$和$Y$分别为优化参数和目标的秩值，$\bar Z$和$\bar Y$分别为优化参数和目标的平均秩值，$S(Z)$为参数灵敏度. 为了筛选显著参数，综合考虑平均转矩和转矩性能，设定目标权重各为0.5，计算综合灵敏度.

图8给出5层磁障的Bezier形转子结构优化参数的灵敏度${S_{\text{C}}}$分析结果. 根据结果，选定综合灵敏度超过10.0%的优化参数${r_{21}}$、${r_{31}}$、$ {r_{41}} $、${r_{12}}$、${r_{22}}$、${r_{32}}$、${\alpha _{{\mathrm{l}}11}}$、${\alpha _{{\mathrm{l}}21}}$、${\alpha _{{\mathrm{l}}31}}$、$ {\alpha _{{\mathrm{l}}12}} $、$ {\alpha _{{\mathrm{l}}22}} $、${\beta _{21}}$为显著参数. 以提升平均转矩、降低转矩脉动为目标，根据有限元分析结果确定非显著参数取值，使用MOSO算法对10个显著参数进行优化.

蛇算法（snake optimizer, SO）是由Hashim等^[20]提出的新颖的元启发式优化算法. 该算法模拟蛇因食物、温度变化产生的觅食、战斗、繁殖等行为进行数学建模，是简单、高效的优化算法. 使用结合精英选择和轮盘赌法多目标优化策略的MOSO算法，对非对称Bezier形转子结构进行优化设计，优化目标及约束如下所示.

(11)$ \left. \begin{gathered} \begin{array}{ll}{\text{max}}\;{T_{{\text{avg}}}}{\text{,}} \;{\text{min}}\;{T_{\text{r}}}; \end{array} \\ {\text{s}}.{\text{t}}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \left. \begin{gathered} {r_{21}} \in \left[ {52,55} \right],{r_{31}} \in \left[ {65,68} \right],{r_{41}} \in \left[ {72,75} \right], \\ {r_{12}} \in \left[ {42,45} \right],{r_{22}} \in \left[ {58,61} \right],{r_{32}} \in \left[ {68,71} \right], \\ {\alpha _{{\mathrm{l}}11}} \in \left[ {87,88} \right],{\alpha _{{\mathrm{l}}21}} \in \left[ {79,80} \right],{\alpha _{{\mathrm{l}}31}} \in \left[ {70.5,71.5} \right], \\ {\alpha _{{\mathrm{l}}12}} \in \left[ {84,85} \right],{\alpha _{{\mathrm{l}}22}} \in \left[ {76,77} \right],\;{\beta _{21}} \in \left[ {43,47} \right], \\ {r_{11}}+\sum\limits_{i = 2}^5 {\left( {{r_{i1}} - {r_{(i - 1)2}}} \right)+\sum\limits_{i = 1}^5 {{h_i} \leqslant {{{D_2}}}/{2} - \delta .} } \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：${T_{{\text{avg}}}}$为输出转矩平均值，${T_{\text{r}}}$为转矩脉动.

精英选择策略与轮盘赌法的作用机理如图9所示. 其中，精英选择策略将第$t$代与$t+1$代的电机进行非支配排序与拥挤距离计算，对2N个电机进行排序，保留前N个电机参与迭代. 该策略避免了迭代过程中最优解的丢失，加快了算法寻优过程. 轮盘赌法使帕累托（Pareto）前沿解集中的第$i$个电机被选中的概率${P_i}$与适应度${f_i}$成正比. 利用轮盘赌法更新最佳电机参数，增强了算法的全局寻优能力.

结合优化策略的MOSO算法的流程如图10所示. 为了验证MOSO算法用于优化非对称Bezier形转子结构的有效性，取多种算法的优化结果进行对比. 从图11可知，采用MOSO算法优化非对称Bezier形转子结构，形成Pareto前沿A、Pareto前沿B、Pareto前沿C.

相对多目标粒子群算法（multi-objective particle swarm optimization, MOPSO）、非支配遗传算法（non-dominated sorting genetic algorithm, NSGA-II）的优化结果，MOSO算法具有更优的Pareto前沿. 综合考虑电机平均转矩与转矩脉动，选取Pareto前沿B拐角处点P电机为目标电机. 与初始电机转子结构相比，目标电机转子结构的磁障厚度变小，磁障张角变大，磁障顶点发生明显的偏移.

在额定电流下，对优化后的非对称Bezier形转子结构与圆弧形、双曲线形转子结构的电机性能进行对比. 图12中，$H$为谐波次数. 可知，非对称Bezier形转子结构更有利于降低电机转矩脉动. 其中，造成电机转矩脉动的第18、24次谐波明显降低.

表2中，L_d、L_q分别为d、q轴电感，$\xi$为凸极比. 可知，在额定电流的情况下，非对称Bezier形转子结构的电机平均转矩高于圆弧形转子结构，且与双曲线形转子结构的电机基本相同. 非对称Bezier形转子结构的电机转矩脉动最低，仅为5.06%，相对圆弧形与双曲线形转子结构的电机分别降低8.53%、15.49%. 优化目标中的平均转矩与电感差成正比，仅考虑转矩的提升会带来凸极比的损失.

如图13所示为不同电流下3种转子结构的电机电感及凸极比. 可知，非对称Bezier形转子结构的电机电感差在整体上优于圆弧形、双曲线形转子结构. 由于仅考虑电感差的提高，导致非对称Bezier形转子结构的电机凸极比上升较慢且整体降低.

如图14所示为不同电流下3种转子结构的电机转矩性能. 可知，不同电流下非对称Bezier形转子结构的电机转矩脉动小于10%，较圆弧形、双曲线形明显降低.

如图15所示为不同电流下3种转子结构的电机功率因数${P_{\text{F}}}$. 可知，SynRM功率因数随电流先增大后减小. 由于SynRM功率因数与凸极比成正比，Bezier形转子结构的电机相对圆弧形与双曲线形转子结构的SynRM功率因数偏小.

如图16所示为不同电流角$\theta $下3种转子结构的电机转矩性能. 可知，在45°~70°的电流角下，Bezier形转子结构的SynRM转矩脉动小于10%，相较圆弧形、双曲线形转子结构的SynRM有不同程度的降低，转矩较圆弧形转子结构的SynRM明显增大.

综合电机输出转矩与转矩脉动性能考虑，非对称Bezier形转子较圆弧形、双曲线形转子结构有明显优势. 对于优化后的非对称Bezier形转子结构，须验证运行时的最大应力及机械强度是否符合要求.

在保持转子匀速，忽略温升及电磁力影响的假设下，对优化后的非对称Bezier形转子结构进行应力分析. 图17~19中，$\sigma $为应力，$\varepsilon $为应变. 可知，优化后的非对称Bezier形转子结构最大应力为23.63 MPa，相对圆弧形与双曲线形转子结构的最大应力30.67、23.90 MPa有所降低，且小于所用硅钢片材料的许用压力340 MPa. 非对称Bezier形转子结构的最大应变为7.70×10⁻³ mm，圆弧形转子结构与双曲线形转子结构的最大应变为7.78×10⁻³、6.47×10⁻³ mm，与电机气隙(0.5 mm)相比可以忽略不计.

为了进一步验证Bezier形转子结构的SynRM转矩性能，制造样机并搭建实验平台进行测试，如图20所示. 实验平台主要由主电路和控制电路2部分组成.

如图21、表3所示为样机在不同电流下的实测输出转矩与仿真输出转矩的结果对比. 结果表明，在2 ~12 A的不同电流下，Bezier形转子结构的SynRM实测转矩与仿真转矩的结果基本吻合，验证了设计结果的可行性.

（1）额定电流下，非对称Bezier形转子结构的电机高次转矩谐波含量低，较圆弧形、双曲线形转子结构的电机转矩脉动小. 在不同的电流及电流角下，综合考虑电机主要性能指标输出转矩和转矩脉动，非对称Bezier形转子结构较圆弧形、双曲线形转子结构有明显优势.

（2）非对称Bezier形转子结构的最大应力较圆弧形、双曲线形转子结构有所降低，且小于所用硅钢片材料的许用压力；最大应变与电机气隙长度相比可以忽略不计.

（3）通过样机实验，验证了非对称Bezier形转子结构优化设计方案的可行性，为SynRM及铁氧体辅助式SynRM的设计提供了新的选择，具有工程实用价值.