目前，关于机构寿命的研究主要聚焦在机构无法完成特定动作的问题上. 究其原因，主要是机构在长期运行过程中，零部件持续摩擦产生磨损，最终导致机构无法正常执行相应动作. 因此，大量研究通过计算机构运动部件的磨损来预测其使用寿命^[1-2]. 对于高精尖装备，要求其执行机构具有高精度，在该类机构设计时，没有考虑长期工作磨损对精度的影响，所以在机构的使用寿命内，机构已由于精度不足而提前失效. 因此，该类机构服役期考量的应是精度寿命，而目前关于机构精度寿命的相关研究尚不多，展开深入系统的研究具有重要的理论价值和工程实际应用价值.

球铰作为精密机构中的关键基础零部件，其磨损直接影响机构的运动精度及可靠性^[3-5]. 通过分析球铰许用磨损量与机构运动精度的定量关系，预测球铰的磨损寿命，进而保障机构服役期间的精度要求. 由于球铰间隙变化与机构的终端运动精度存在映射关系，大多数研究工作是建立考虑间隙影响的动力学模型^[6-8]. Flores等^[9]以空间四连杆机构为对象，构建间隙球铰的数学模型并研究间隙对机构动力学响应的影响. 王庚祥等^[10]提出具有非线性刚度系数的接触力模型，分析单个球铰间隙对4-SPS/CU并联机构动态性能的影响. 李研彪等^[11]以5-PSS/UPU并联机构为例，考虑所有球铰间隙的作用，探讨其动力学特性受球铰间隙深度变化的影响. 精度失效是一个连续渐进过程，具有模糊性和随机性的双重不确定性. 近些年来，针对模糊随机可靠性的研究已取得一定进展^[12-13]. 国志刚等^[14]以Archard 模型为基础，建立单个铰链与多个铰链的磨损可靠性模型，并以曲柄滑块机构为例进行验证. Yun等^[15]为了有效计算模糊失效概率，提出新的阶跃AK-MCS方法. 陈紫起等^[16]将模糊理论与T-S故障树相结合，对柴油机缸套异常磨损进行可靠性分析. 黄晓宇等^[17-18]研究模糊理论结合其他方法的综合应用问题.

通过量化机构精度特性进行逆向设计，基于精度要求确定球铰最大允许磨损间隙. 再根据模糊可靠性理论，考虑固体润滑（MoS₂）工况下球铰的磨损率特性，构建MoS₂润滑球铰的磨损模糊可靠性模型. 以3-RPS并联机构为例，计及系统中所有球铰的影响，采用基于精度要求的球铰磨损寿命评估方法，对球铰的工作寿命进行评估.

新方法首先采用最大误差影响指标和均方根误差影响指标，及其无量纲精度指标定量地评价机构精度特性. 其次构建间隙球铰模型，并将间隙球铰模型嵌入理想多体系统动力学模型，采用回归分析方法确定磨损间隙尺寸和机构精度指标间的函数关系. 根据机构运动精度阈值确定球铰的最大允许磨损间隙，从而得到最大允许磨损量. 最后采用模糊可靠性理论，并考虑固体润滑工况，建立球铰的磨损模糊可靠性模型，预测基于精度要求的固体润滑球铰的磨损寿命.

通过精度指标进行定量分析，较全面地表征机构的精度特性，为建立磨损量与机构精度之间的映射关系提供条件.

1）无量纲最大误差影响指标.

最大误差影响指标${E_{{\text{MAX}}}}{\text{(}}x{\text{)}} = {x_{{\text{s}}i}} - {x_{0i}}$，其中，${x_{{\text{s}}i}}$为t时刻考虑间隙机构输出端的位置信息参量，$ x_{0{i}} $为t时刻理想机构输出端的位置信息参量，$ E_{\mathrm{MAX}}(x) $能够直观反映机构实际运动轨迹与理想轨迹之间的偏差. 对$ E_{\mathrm{MAX}}(x) $进行无量纲化，将其转化为不受量纲影响的评估指标，便于构建机构精度与磨损间隙之间的映射关系，即

(1)$ \mathrm{DE}_{\mathrm{MAX}}(x)=\frac{x_{\mathrm{si}}-x_{0 i}}{x_{0 i}} \times 100 {\text{%}} . $

2）无量纲均方根误差影响指标.

均方根误差影响指标${\text{RMS}}(x) = \left[ {\dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{({x_{{\text{s}}i}} - {x_{0i}})}^2}} } \right]^{1/2} $，其中，N为取样的数量. RMS(x)对特大或特小误差较敏感，可用其分析机构精度误差的离散程度. 对RMS(x)进行无量纲化，将其转化为不受量纲影响的评估指标，即

(2)$ {\text{DRMS}}(x) = \frac{{{\text{RMS}}({x_{{\text{s}}i}} - {x_{0i}})}}{{{\text{RMS}}({x_{0i}})}} \times 100{\text{%}} . $

式中：RMS(x_0i)为理想机构输出端位置信息的均方根，${\text{RMS}}({x_{0i}}) = \left[ {\dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{x_{0i}}^2} }\right]^{1/2} $.

采用数学建模方式，通过构建考虑间隙影响的动力学模型^[6-7]，分析球铰磨损间隙尺寸对机构输出精度的影响规律. 间隙球铰模型如图1所示. 图中，η表示球窝连接刚体，ξ表示球体连接刚体，局部坐标系o_η-x_ηy_ηz_η和o_ξ-x_ξy_ξz_ξ分别与刚体η、ξ的质心固连；U_oη和U_oξ分别表示局部坐标系o_η-x_ηy_ηz_η和o_ξ-x_ξy_ξz_ξ的坐标原点在全局坐标系中的位置向量；点P_η和P_ξ分别为球窝和球体的中心，点Q_η和Q_ξ分别为球窝和球体的碰撞接触点；S_Pη表示点P_η在局部坐标系o_η-x_ηy_ηz_η中的位置向量，S_Pξ表示点P_ξ在局部坐标系o_ξ-x_ξy_ξz_ξ中的位置向量；U_Pη和U_Pξ分别表示点P_η和P_ξ在全局坐标系下的位置向量；U_Qη和U_Qξ分别表示点Q_η和Q_ξ在全局坐标系下的位置向量. 球体与球窝的偏心向量e可以表示为$ {{\boldsymbol{e}}} = {{{\boldsymbol{U}}}_{P\eta }} - {{{\boldsymbol{U}}}_{P\xi }} $.

偏心量的大小可以表示为

(3)$ |\boldsymbol{e}|=\sqrt{\boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}}. $

U_Pi可以表示为

(4)$ {{{\boldsymbol{U}}}_{Pi}} = {{{\boldsymbol{U}}}_{oi}}+{{\boldsymbol{T}}_i}{{{\boldsymbol{S}}}_{Pi}};\;{i = \eta ,\xi } . $

式中：T_i表示局部坐标系o_i-x_iy_iz_i相对定坐标系的转换矩阵. 间隙球铰中球体和球窝接触点的法向单位向量n可以表示为

(5)$ \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e} /|\boldsymbol{e}|. $

球窝和球体发生碰撞时的穿透深度δ（即接触变形量）可以表示为

(6)$ \delta=|\boldsymbol{e}|-c . $

式中：c表示球窝和球体的间隙，$ \begin{gathered} c=R_\eta-R_{\xi}\end{gathered} $，R_η、R_ξ分别表示球窝与球体的半径.

式(6)可以用来判断间隙球铰中球体和球窝的接触情况，当$ \delta < 0 $，即偏心量|e|小于间隙值c时，球体在球窝内自由运动，不发生接触；当$ \delta = 0 $，球体和球窝开始接触或开始分离；当$ \delta > 0 $，球体和球窝发生接触并且产生变形.

当球铰的球窝和球体发生碰撞时，其接触点在固定坐标系下的位置矢量U_Qi可以表示为

(7)$ \boldsymbol{U}_{Q i}=\boldsymbol{U}_{o i}+\boldsymbol{T}_i \boldsymbol{S}_{P i}+R_i \boldsymbol{n} . $

式（7）两边分别对时间求导，可得接触点在固定坐标系下的速度：

(8)$ \dot{\boldsymbol{U}}_{Q i}=\dot{\boldsymbol{U}}_{o i}+\dot{\boldsymbol{T}}_i \boldsymbol{S}_{P i}+R_i \dot{\boldsymbol{n}} . $

接触点相对速度的法向和切向碰撞速度分别为

(9)$ \boldsymbol{v}_{\mathrm{n}}=\left[\left(\dot{\boldsymbol{U}}_{Q \xi}-\dot{\boldsymbol{U}}_{Q \eta}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{n}\right] \boldsymbol{n} , $

(10)$ \boldsymbol{v}_{\mathrm{t}}=\left(\dot{\boldsymbol{U}}_{Q \xi}-\dot{\boldsymbol{U}}_{Q \eta}\right)-\boldsymbol{v}_{\mathrm{n}}=\left|\boldsymbol{v}_{\mathrm{t}}\right| \boldsymbol{\tau} . $

式中：τ表示接触面的切向单位向量，$ {{\boldsymbol{\tau}} } = {{{\boldsymbol{v}}}_{\text{t}}}/\left| {{{{\boldsymbol{v}}}_{\text{t}}}} \right| $.

根据文献[9]，采用改进的Flores接触力模型来表示球体对球窝的法向接触力F_n，表达式如下：

(11)$ F_{\mathrm{n}}=K_{\mathrm{g}} \delta^{n_{\mathrm{f}}}\left[1+\frac{8\left(1-c_{\mathrm{e}}\right)}{5 c_{\mathrm{e}}} \frac{\dot{\delta}}{\dot{\delta}^{(-)}}\right]. $

式中：n_f为设定指数，取1.5；c_e为恢复系数；$\dot \delta $为相对碰撞速度； ${\dot \delta ^{( - )}}$为初始碰撞速度；K_g表示非线性刚度系数. K_g表达式如下：

(12)$ K_{\mathrm{g}}=\frac{\sqrt{2}}{5} {\text{π}} R_\eta E^* \delta \frac{2 \delta^2+7 \Delta R \delta+8 \Delta R^2}{(\Delta R+\delta)^{{5}/{2}}(2 \Delta R+\delta)^{{1}/{2}}} . $

式中：E^*为球铰副的综合弹性模量；$\Delta R $为球铰间隙值，$ \begin{gathered} \Delta R=c=R_\eta-R_{\xi}\end{gathered} $.

基于Ambrósio所提出的修正的Coulomb力法则求解切向接触力，则球体对球窝的切向接触力表达式为

(13)$ {F_{\text{t}}} = - \mu {c_{\mathrm{d}}}{F_{\text{n}}}. $

式中：μ为摩擦因数，c_d为动态修正系数.

球体对球窝的碰撞力可以表示为

(14)$ \boldsymbol{F}_\eta=\left[F_{x \eta},\quad F_{y \eta} ,\quad F_{z \eta}\right]^{\mathrm{T}}=F_{\mathrm{n}} \boldsymbol{n}+F_{\mathrm{t}} \boldsymbol{\tau} . $

式中：F_xη、F_yη、F_zη分别为球体对球窝的碰撞力在固定坐标系下X、Y、Z方向上的分量.

根据作用力和反作用原理，可知球窝对球体的碰撞力为

(15)$ \boldsymbol{F}_{\xi}=-\boldsymbol{F}_\eta . $

将上述间隙球铰模型嵌入理想多体系统动力学模型中，建立磨损间隙尺寸和机构精度指标之间的函数关系.

由最大允许磨损间隙，可得到最大允许磨损量，进而计算其磨损寿命. 考虑球铰初始配合间隙、磨损率和最大允许磨损量均具有随机特性，建立球铰磨损概率可靠性模型. 摩擦副的实际磨损量和耐磨寿命均可被视为正态分布^[19]，则磨损深度w的概率密度函数为

(16)$ f(w)=\frac{1}{\sigma_w \sqrt{2 {\text{π}}}} \exp \left[-\frac{(w-\bar{w})^2}{2 \sigma_w^2}\right] . $

式中：$ \bar w $为磨损深度的均值，$ \sigma _w^{} $为磨损深度的标准差. 球铰的磨损概率可靠度为

(17)$ \begin{split} R(t)=&P\left(w \leqslant w_{\max }\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_0^{w_{\max }} f(w) {\mathrm{d}} w\right] \times \\&f\left(w_{\max }\right) {\mathrm{d}} w_{\max } .\end{split} $

式中：w_max为最大允许磨损量，其不仅具有随机性，还具有模糊性. 采用模糊可靠性理论，得到球铰的磨损模糊可靠度：

(18)$ R=P(\tilde{A})=\int_{-\infty}^{+\infty} \mu_{\tilde{A}}(w) f(w) {\mathrm{d}} w . $

式中：$P(\tilde A)$为模糊事件的概率，${\mu _{\tilde A}}(w)$为隶属函数.

基于精度要求的球铰磨损寿命评估体系建立方法如图2所示.

以3-RPS并联机构为例（其模型如图3所示），采用新的球铰磨损寿命评估方法，基于机构精度对固体润滑球铰不同可靠度下的磨损寿命进行预测.

通过间隙动力学方程，可得到不同间隙尺寸下，机构输出端的位移，从而建立间隙尺寸与机构精度之间的函数关系.

如图3所示，A₁、A₂、A₃连线构成的三角形与B₁、B₂、B₃连线构成的三角形为大小相等的等边三角形. 在定平台上建立定坐标系O_B-X_BY_BZ_B，在动平台上建立动坐标系o₇-x₇y₇z₇，分别在3条支链的移动副缸体与活塞的质心处建立随体坐标系o_j-x_jy_jz_j（j=1,2,···,6）. 动坐标系o₇-x₇y₇z₇和随体坐标系o_j-x_jy_jz_j在定坐标系下的位姿可以采用ZYX欧拉角来表达，转换矩阵为

(19)$ \boldsymbol{T}_j=\boldsymbol{T}_j\left(\alpha_j, \beta_j, \gamma_j\right)=T_Z\left(\alpha_j\right) T_Y\left(\beta_j\right) T_X\left(\gamma_j\right). $

3-RPS空间并联机构共有7个活动构件，各个活动构件由其质心坐标[x_i, y_i, z_i]^T和欧拉角[α_i, β_i, γ_i]^T来定义，进而得到整个机构的广义坐标：

(20)$ \boldsymbol{q}=\left[\boldsymbol{q}_1^{\mathrm{T}},\; \boldsymbol{q}_2^{\mathrm{T}},\;\ldots,\; \boldsymbol{q}_7^{\mathrm{T}}\right]^{\mathrm{T}} . $

式中：$ \boldsymbol{q}_i=\left[x_i ,\; y_i ,\; z_i,\; \alpha_i ,\; \beta_i ,\; \gamma_i\right]^{\mathrm{T}},\;i=1,\;2, \;\cdots ,\;7 $.

选取系统构件的位置及姿态角，建立系统的运动学约束方程：

(21)$ \begin{split} \boldsymbol{\varPhi}_k(\boldsymbol{q}, t)=&\big[\boldsymbol{\varPhi}_1^{\mathrm{r}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_2^{\mathrm{r}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_3^{\mathrm{r}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_1^{\mathrm{p}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_2^{\mathrm{p}}(\boldsymbol{q}, t),\\& \boldsymbol{\varPhi}_3^{\mathrm{p}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_1^{\mathrm{s}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_2^{\mathrm{s}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_3^{\mathrm{s}}(\boldsymbol{q}, t)\big]^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}_{39 \times 1} .\end{split} $

式中：$ {\boldsymbol\varPhi }_j^{\mathrm{r}}\left( {\boldsymbol{q},t} \right) $为各支链上转动副的约束方程，$ {\boldsymbol\varPhi }_j^{\mathrm{p}}\left( {\boldsymbol{q},t} \right) $为移动副的约束方程，$ {\boldsymbol\varPhi }_j^{\mathrm{s}}\left( {\boldsymbol{q},t} \right) $为球铰的约束方程，j=1, 2, 3.

3-RPS并联机构中转动副的约束方程为

(22)$ \boldsymbol{\varPhi}_j^{\mathrm{r}}\left( {\boldsymbol{q},t} \right)=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{o}_j+\boldsymbol{T}_j{ }^j \boldsymbol{B}_j-{ }^0 \boldsymbol{B}_j \\\alpha_j-\alpha_{j 0} \\\beta_j\end{array}\right]=\boldsymbol{0}_{5 \times 1};\;j=1,2,3 . $

式中：o_j为局部坐标系o_j-x_jy_jz_j原点在固定坐标系下的位置向量；^jB_j为点B_j在局部坐标系o_j-x_jy_jz_j下的位置向量；⁰B_j为点B_j在定坐标系下的位置向量；α_j0为局部坐标系o_j-x_jy_jz_j相对于定系Z轴的初始欧拉角，$ {\alpha _{j0}} = {\text{π}} /2+2\left( {j - 1} \right){\text{π}} /3 $.

采用移动副作为驱动，因此在已知驱动函数时，将移动副约束与驱动约束合并后，活塞杆相对于缸体为全约束. 约束方程可以表示为

(23)$ \boldsymbol{\varPhi}_j^{\rm{p}}(\boldsymbol{q}, t)=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{o}_k-\boldsymbol{o}_j-\boldsymbol{T}_j{ }^j \boldsymbol{o}_k \\\alpha_k-\alpha_j \\\beta_k-\beta_j \\\gamma_k-\gamma_j\end{array}\right]=\boldsymbol{0}_{6 \times 1};\;j=1,2,3,\; k=j+3 . $

式中：^jo_k为点$ {{o}}_k $在局部坐标系o_j-x_jy_jz_j下的位置向量.

球铰的约束方程可以表示为

(24)$ \begin{split} \boldsymbol{\varPhi}_j^{\rm{s}}(\boldsymbol{q}, t)=\boldsymbol{o}_7 & +\boldsymbol{T}_7{ }^7 \boldsymbol{A}_j-\boldsymbol{o}_k-\boldsymbol{T}_k{ }^k \boldsymbol{A}_j=\boldsymbol{0}_{3 \times 1}; \\& j=1,2,3 ,\; k=j+3.\end{split} $

式中：⁷A_j为点A_j在动坐标系o₇-x₇y₇z₇下的位置向量，^kA_j为点A_j在局部坐标系o_k-x_ky_kz_k下的位置向量.

对于含间隙运动副的多体系统，须用力约束来替换间隙运动副中的几何约束. 将与动平台相连的3个球铰均考虑为间隙运动副，建立3-RPS机构的运动学约束方程：

(25)$\begin{split} \boldsymbol{\varPhi}_{\mathrm{mc}}(\boldsymbol{q}, t)=&\big[\boldsymbol{\varPhi}_1^{\mathrm{r}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_2^{\mathrm{r}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_3^{\mathrm{r}}(\boldsymbol{q}, t),\\&\boldsymbol{\varPhi}_1^{\mathrm{p}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_2^{\mathrm{p}}(\boldsymbol{q}, t), \boldsymbol{\varPhi}_3^{\mathrm{p}}(\boldsymbol{q}, t)\big]^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}_{30 \times 1} .\end{split} $

式(25)对时间求一、二阶导数可以得到速度、加速度约束方程：

(26)$ \boldsymbol{\varPhi}_{{\mathrm{m c}} q} \dot{\boldsymbol{q}}=-\boldsymbol{\varPhi}_{{\mathrm{m c}} t}, $

(27)$ \boldsymbol{\varPhi}_{{\mathrm{m c }}q} \ddot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{\gamma}_{{\mathrm{m c}}}. $

式中：$\boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} q} $为约束方程的Jacobian矩阵，$ {{\boldsymbol\varPhi }_{{\mathrm{mc}}t}} $为约束方程对时间的一阶偏导数.

对于含有3个间隙球铰的3-RPS机构，3根驱动杆与动平台所受接触力和接触力矩共同构成接触力矩阵F_mc，并与广义外力矩阵Q相加，得到3-RPS机构所受的广义力矩阵Q_mc.

由Lagrange乘子法得到含有3个间隙球铰的3-RPS机构动力学方程：

(28)$ \left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{M} & \boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} q}{ }^{\mathrm{T}} \\\boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} q} & {\bf{0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\ddot{\boldsymbol{q}} \\{\boldsymbol{\lambda}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{Q}_{{\rm{m c}}} \\\boldsymbol{\gamma}_{{\rm{m c}}}\end{array}\right] . $

式中：M为3-RPS并联机构的广义质量矩阵；$ \ddot{\boldsymbol{q}} $为广义加速度向量；$ \boldsymbol{\gamma}_{{\rm{m c}}}=-\left(\boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} q} \dot{\boldsymbol{q}}\right)_q \dot{\boldsymbol{q}}+2 \boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} q t} \dot{\boldsymbol{q}}+ \boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} t t} $，$ \dot{\boldsymbol{q}} $为广义速度向量，$\boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} q t} $为Jacobian矩阵对时间的一阶偏导数；$ \boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} t t}=\partial \boldsymbol{\varPhi}_{{\rm{m c}} t} / \partial t $；λ为拉格朗日乘子列阵.

3-RPS并联机构动力学方程采用MATLAB进行求解，过程如下：1）定义初始条件，$ t = 0 $时刻构件质心的位置和速度，即$ {{{\boldsymbol{q}}}_{(t = 0)}} $和$ {{\dot {\boldsymbol{q}}}_{(t = 0)}} $；2）预测节点广义坐标，基于广义-α方法的相关计算准则预测系统在下一时刻t_n+1对应的广义坐标阵$ \boldsymbol{q}_{n+1}^{(0)} $，广义速度阵$ \dot{\boldsymbol{q}}_{n+1}^{(0)} $和加速度阵$ \ddot{\boldsymbol{q}}_{n+1}^{(0)} $；3）计算接触变形量δ，根据式(6)判断是否发生接触；4）计算质量矩阵M、Jacobian矩阵Φ_mcq、广义外力向量Q与接触力向量F_mc；5）计算3-RPS机构间隙动力学方程，得到动平台质心的位移$ {\boldsymbol{q}}_{n+1} $、速度$ \dot{\boldsymbol{q}}_{n+1} $以及加速度$ \ddot{\boldsymbol{q}}_{n+1} $；6）判断仿真时间是否到达终止时间. 若到达终止时间，则运算结束；若没有达到终止时间，则返回步骤2）继续进行运算.

假设动平台质心运动轨迹如下：

(29)$ \beta_7=15 \sin\; (4 {\text{π}} t), \;\gamma_7=15 \sin \;(4 {\text{π}} t) ,\;z_7=0. $

3-RPS机构动平台的运动学输出具有耦合特性，通过机构约束方程可以求得其他3个运动学参数. 3-RPS并联机构的结构参数和动力学参数如表1所示.

针对含多间隙球铰3-RPS机构，通过求解间隙动力学方程(式(28))，定量分析不同间隙尺寸对机构运动精度指标的影响规律. E_MAX(x)和E_MAX(y)分别为机构绕X轴和Y轴方向角位移最大误差影响指标，RMS(x)和RMS(y)分别为机构绕X轴和Y轴方向角位移均方根误差影响指标，如图4、5所示，随着间隙c的增加，绝对值精度指标E_MAX和RMS均增加，且E_MAX和RMS与间隙尺寸之间呈线性关系. 在相同间隙下，E_MAX大于RMS.

目前，高精密机构位姿的调整精度须达到微米级和角秒级^[20-21]. 针对高精密指向领域的精度寿命问题，选取0.05°作为机构的精度失效阈值. 考虑3个球铰间隙的综合影响，当间隙尺寸为0.07 mm时，机构绕X轴方向角位移E_MAX(x)为0.059 3°，已经超过了精度失效阈值0.05°.

通过无量纲精度指标分析间隙尺寸与运动精度的定量关系，如图6、7所示. DE_MAX和DRMS均随无量纲间隙尺寸$ {c}/{{{R_\xi }}} $的增加而增加，且无量纲精度指标与无量纲间隙之间呈正比关系.

通过最小二乘法拟合，可以得到无量纲间隙与机构DRMS(x)的关系式为

(30)$ {\text{DRMS}}(x) = 0.561{c}/{{{R_\xi }}}+0.027 . $

无量纲间隙与机构DRMS(y)的关系式为

(31)$ {\text{DRMS}}(y) = 0.319{c}/{{{R_\xi }}}+0.037 . $

无量纲间隙与机构DE_MAX(x)的关系式为

(32)$ {\text{D}}{{\text{E}}_{{\text{MAX}}}}(x) = 1.169{c}/{{{R_\xi }}}+0.207 . $

无量纲间隙与机构DE_MAX(y)的关系式为

(33)$ {\text{D}}{{\text{E}}_{{\text{MAX}}}}(y) = 0.726{c}/{{{R_\xi }}}+0.219. $

文献[22]通过研究含多个转动副间隙3-PRR并联机构的运动动态特性，认为可以将间隙大小作为指标直接衡量动平台位移误差最大值. 本研究发现在3-RPS并联机构中，球铰间隙大小与动平台的运动精度之间存在正比例关系，可根据精度指标要求确定最大允许间隙.

由于球铰的间隙和磨损均具有随机性，磨损失效是一个渐进过程，因此，基于模糊可靠性理论，由球铰的最大允许间隙得到最大允许磨损量，对固体润滑球铰的磨损寿命进行评估.

将机构的精度失效阈值定为0.05°，根据2.1 节中磨损间隙与机构精度指标的函数关系，球铰的最大允许磨损间隙为0.047 mm，最大允许磨损量w_max为0.037 mm. 采用传统最大允许磨损量的确定方法，选取其中的下限值，得到w_max为0.150 mm（本研究中球铰直径为25 mm）. 传统经验方法确定的w_max显著大于新方法确定的值，且随着机构精度要求越高，两者的差别越大.

作为模糊量的最大允许磨损量，其模糊集$ \tilde{A} $由隶属函数${\mu _{\tilde A}}(w)$唯一确定. 机械系统中常采用偏小型半梯形分布和偏小型半正态分布作为磨损量的隶属函数^[23-24]. 在固体润滑球铰磨损中，偏小型半梯形隶属函数和偏小型半正态分布隶属函数分布曲线如图8所示. 可以看出，2种隶属函数确定的过渡带宽度差别不大，模糊安全域较近似. 将其代入球铰的磨损模糊可靠度计算(式(18))，可进行磨损寿命计算.

1）采用偏小型半梯形隶属函数.

将偏小型半梯形隶属函数及磨损量的概率密度函数的表达(式(16))代入式(18)，整理得到球铰磨损模糊可靠度：

(34)$ \begin{split} {R_{\text{T}}} =& \varPhi ({\beta _{\text{1}}},{\beta _2}) = \frac{1}{{{\beta _{\text{2}}} - {\beta _{\text{1}}}}}\Bigg\{ {\left[ {{\beta _{\text{2}}}\varPhi ({\beta _{\text{1}}}) - {\beta _{\text{1}}}\varPhi ({\beta _{\text{2}}})} \right]} + \\& { \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π}} } }}\bigg[ {\exp \Big( { - \frac{{\beta _1^2}}{2}} \Big) - \exp \Big( { - \frac{{\beta _2^2}}{2}} \Big)} \bigg]} \Bigg\} . \end{split} $

式中：$ {\beta }_{1}=\dfrac{{w}_{\mathrm{max}}-{\delta }_{{\mathrm{T}}}-\overline{\dot{\omega }}t}{{\sigma }_{w}t}，{\beta }_{\text{2}}=\dfrac{{w}_{\mathrm{max}}+{\delta }_{{\mathrm{T}}}-\overline{\dot{\omega }}t}{{\sigma }_{w}t} $；δ_T为模糊集$ \tilde A $中磨损深度的变化量，采用扩增因数法确定δ_T = 0.1w_max；$\overline{\dot{\omega}} $为磨损率的平均值；t为时间.

2）采用偏小型正态分布隶属函数.

将偏小型正态分布隶属函数及磨损量的概率密度函数的式(16)代入式(18)进行推导. 将式(18)分2段积分，并利用超越函数的积分公式，得到球铰磨损模糊可靠度：

(35)$ \begin{split} {R_{\text{N}}} =& \int_0^a {\frac{1}{{{\sigma _{{\delta _{\rm{T}}}}}\sqrt {2{\text{π}} } }}} \exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{{\delta _{\rm{T}}}-{{\bar \delta }_{\rm{T}}}}}{{{\sigma _{{\delta _{\rm{T}}}}}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\rm{d}}{\delta _{\rm{T}}}+ \\&\int_a^\infty {\frac{1}{{{\sigma _{{\delta _{\rm{T}}}}}\sqrt {2{\text{π}} } }}} \exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{{\delta _{\rm{T}}}-{{\bar \delta }_{\rm{T}}}}}{{{\sigma _{{\delta _{\rm{T}}}}}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\rm{d}}{\delta _{\rm{T}}}. \end{split} $

式中：${\sigma _{{\delta _{\text{T}}}}}$为δ_T的标准差， ${\bar \delta _{\text{T}}}$为δ_T的平均值.

采用MoS₂润滑的球铰可有效提高其服役寿命，而MoS₂润滑膜的磨损是球铰最主要的失效形式. 根据所建立的球铰磨损模糊可靠性模型，基于笔者建立的MoS₂润滑膜磨损模型^[25]，对MoS₂润滑球铰磨损寿命进行预测. 球铰初始装配间隙均值为0.010 mm，标准差为0.003 mm. 球铰初始配合间隙和磨损率标准差根据变差系数法求出^[26]. 根据球铰的磨损概率可靠性（式17）和磨损模糊可靠性寿命模型（式18），得到MoS₂润滑球铰的可靠度随时间演化曲线如图9所示.可以看出，在MoS₂润滑球铰实际磨损量未到达临界失效状态前，磨损概率可靠性模型和磨损模糊可靠性模型的可靠度曲线完全吻合. 当实际磨损量接近临界失效状态时，采用半正态隶属函数的模糊可靠度$P_{\text{N}}^{\text{f}}$明显低于概率可靠度$P_{}^{\text{r}}$及采用半梯形隶属函数的模糊可靠度$P_{\text{T}}^{\text{f}}$，其预测的寿命过于保守. 根据2.1节的研究可知，随着球铰间隙的增加，机构精度指标线性减小，因此，可以将磨损渐进失效过程采用线性隶属函数（半梯形）表示. 由图9可见，当时间t=600~750 h时，半梯形隶属函数的可靠度较概率可靠度小；当时间>750 h时，半梯形隶属函数的可靠度较概率可靠度大. $P_{\text{T}}^{\text{f}}$曲线相对$P_{}^{\text{r}}$曲线平缓，在对高可靠度机构进行寿命评估时，磨损模糊可靠性寿命略小于磨损概率可靠性寿命，采用$P_{\text{T}}^{\text{f}}$可以最大程度地保证机构的安全运行，且更加符合真实的磨损状态.

设机构系统中n个球铰各自的可靠度为R_i (i = 1，2，···，n)，则系统磨损可靠度的表达式为

(36)$ R = 1 - (1 - {R_1}) \times (1 - {R_2}) \times \cdots \times (1 - {R_n}). $

在实际情况中，并联机构中各个球铰的磨损情况非常复杂且难以预测，因此，假设各个球铰寿命分布相同.

根据构建的基于精度要求的球铰磨损寿命评估方法，采用偏小型半梯形隶属函数，预测在大气环境中MoS₂润滑球铰的磨损寿命. 当系统可靠度R(t) = 0.90时，每个球铰各自的可靠度为R₁ = R₂ = R₃ = 0.536，则3-RPS并联系统的模糊可靠性寿命T_f = 232 h. 并联机构中各个球铰之间存在复杂的耦合作用，各个球铰的失效模式之间存在一定的相关性，因此，计算的机构系统可靠度为上限，但同样具有一定的参考价值^[14].

MoS₂薄膜在真空环境中拥有更加优异的摩擦磨损性能，因此，当R(t) = 0.90时，航天机构中MoS₂润滑球铰模糊可靠性寿命T_f = 42 408 h，按一年365天计算，服役年限约为4.8 a. 在相同可靠度下，真空环境中MoS₂润滑球铰的寿命比在大气环境中的寿命高约2个数量级.

（1）提出基于精度要求的球铰磨损寿命评估方法，通过机构精度失效阈值判定球铰磨损失效寿命，结果更加准确. 该方法同样适用于向心关节轴承和转动副，具有可推广性和普适性.

（2）以3-RPS并联机构为研究对象，发现球铰磨损间隙与精度指标之间呈线性关系，可通过球铰间隙衡量机构精度.

（3）采用偏小型半梯形隶属函数可以较准确地预测固体润滑球铰磨损的安全状态和失效状态.

（4）当R(t) = 0.90时，轻载工况下3-RPS并联机构中，MoS₂润滑球铰在大气和真空环境下的磨损模糊可靠性寿命分别为232 、42 408 h.

（5）考虑多个球铰间隙的影响，各间隙之间存在复杂的耦合关系，多间隙的耦合作用有待进一步定量研究.