随着科学技术的快速发展，人们对轻型、小型电力设备的便携性提出了更高的要求. 因此，如何降低成本、减小设备体积和提高供电电源功率密度等已成为人们关注的重点^[1-3]. 单电感双输出(single inductor double output，SIDO) Buck-Boost变换器仅使用一个电感就可以将1路输入电压转换为2路输出电压，减小了设备体积，且具有功率密度高、无电磁干扰的优点，在便携式设备中具有广泛的应用前景^[4-7]. 不过，该变换器是强非线性、时变的耦合系统，存在严重的交叉影响，且先导通支路的输出-控制的暂态模型中存在右半平面零点，使得该变换器具有非最小相位特性^[8]. 交叉影响以及非最小相位特性导致SIDO Buck-Boost变换器的控制变得更加困难.

为了抑制SIDO DC-DC变换器的交叉影响，国内外学者对SIDO Buck变换器进行了深入研究，提出了许多控制策略，如：电压纹波控制^[9]、峰值电流控制^[10]、滑模自抗扰控制^[11]等. 以上控制策略对于改善SIDO Buck变换器的交叉影响有较好的效果，但SIDO Buck变换器是最小相位系统，这些控制策略直接应用到非最小相位SIDO Buck-Boost变换器上对交叉影响的抑制效果有限. 对于SIDO Buck-Boost变换器的控制策略研究的相关文献较少，已有文献主要针对的是非最小相位Boost变换器. 吴忠等^[12]利用电流模式控制解决了Boost变换器的非最小相位特性问题. 舒萤^[13]将储能函数引入到控制量中，解决Boost变换器的非最小相位特性. 但由于Boost变换器是单输入单输出的系统，而SIDO Buck-Boost是单输入双输出的强耦合系统，因此以上控制策略对抑制非最小相位SIDO Buck-Boost的交叉影响而言效果有限，仅具有借鉴意义.

滑模控制(sliding mode control，SMC)是非线性控制，具有快速响应的特性和精确的跟踪效果，已有较多文献将滑模控制应用到开关变换器中^[14-16]. 在实际应用中，SIDO Buck-Boost不可避免地存在不确定干扰，这些干扰是由于参数不确定、系统耦合和复杂多变的环境引起的. 不确定的干扰严重影响了变换器性能的稳定性. 针对以上问题，利用扩张状态观测器(extended state observer，ESO)对其进行补偿可以有效地提高系统的控制精度. 因此，选择将滑模控制和ESO相结合来提高系统性能并达到解耦的效果^[17].

自抗扰控制(active disturbance rejection control, ADRC)具有天然的解耦性，并且无需系统的精确模型就能获得优良的控制效果^[18]. 自抗扰控制对于非最小相位系统同样有良好的控制效果^[19]，近年来得到了广泛的应用^[20].

受上述文献启发，针对电感电流连续导电模式(continuous conduction mode, CCM)的SIDO Buck-Boost变换器的交叉影响及非最小相位特性，提出基于ESO的改进非奇异快速终端滑模和ADRC相结合的控制策略. 在主路控制中使用ADRC进行解耦. 为了解决先导通支路中的非最小相位特性，在支路中选取系统的储能函数对非奇异快速终端滑模控制（nonsingular fast terminal sliding mode control，NFTSMC）中的状态量进行控制，并结合改进型扩张状态观测器. 利用Lyapunov理论对主路ADRC、支路滑模控制和支路观测器进行稳定性分析. 基于硬件在环(hardware-in-the-loop，HIL)系统搭建实验平台，进行实验验证.

CCM SIDO Buck-Boost变换器的电路拓扑和工作时序如图1所示. 图中，V_i为输入电压，S_o和S_i为主功率开关管，S_a和S_b为支路功率开关管，L为储能电感，i_L为电感电流，VD为功率二极管，R_a、C_a和R_b、C_b分别为支路a和支路b的负载等效电阻、输出电容，d_i、d_a和d_b分别为功率开关管S_i（S_o）、S_a和S_b的导通占空比. 选择支路a为先导通支路，变换器的工作时序如图1(b)所示.

由图1可推导出SIDO Buck-Boost变换器的状态空间平均模型：

(1)$ \left. \begin{gathered} \frac{{{\text{d}}{i_{\mathrm{L}}}}}{{{\text{dt}}}} = - \frac{{{d_{\text{a}}} - {d_{\text{i}}}}}{L}{v_{\text{a}}} - \frac{{1 - {d_{\text{a}}}}}{L}{v_{\text{b}}}+\frac{{{d_{\text{i}}}}}{L}{V_{\text{i}}}, \\ \frac{{{\text{d}}{v_{\text{a}}}}}{{{\text{dt}}}} = \frac{{{d_{\text{a}}} - {d_{\text{i}}}}}{{{C_{\text{a}}}}}{i_{\text{L}}} - \frac{1}{{{R_{\text{a}}}{C_{\text{a}}}}}{v_{\text{a}}}, \\ \frac{{{\text{d}}{v_{\text{b}}}}}{{{\text{dt}}}} = \frac{{1 - {d_{\text{a}}}}}{{{C_{\text{b}}}}}{i_{\text{L}}} - \frac{1}{{{R_{\text{b}}}{C_{\text{b}}}}}{v_{\text{b}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：v_a、v_b为两支路输出电压瞬时值；两支路占空比互补，即满足d_a+d_b=1.0.

由式(1)可以推导出两支路的增益表达式如下：

(2)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{M_{\text{a}}} = \dfrac{{{V_{\text{a}}}}}{{{V_{\text{i}}}}} = \dfrac{{{d_{\text{i}}}\left( {{d_{\text{i}}} - {d_{\text{a}}}} \right){R_{\text{a}}}}}{{{R_{\text{a}}}(d_{\text{i}}^2 - d_{\text{a}}^2)+{R_{\text{b}}}(d_{\text{a}}^2 - 2{d_{\text{a}}})+{R_{\text{b}}}}},} \\ {{M_{\text{b}}} = \dfrac{{{V_{\text{b}}}}}{{{V_{\text{i}}}}} = \dfrac{{{d_{\text{i}}}\left( {{d_{\text{a}}} - 1} \right){R_{\text{b}}}}}{{{R_{\text{a}}}(d_{\text{i}}^2 - d_{\text{a}}^2)+{R_{\text{b}}}(d_{\text{a}}^2 - 2{d_{\text{a}}})+{R_{\text{b}}}}}. } \end{array}} \right\} $

式中：V_a和V_b为v_a和v_b的稳态值.

分析式(1)可知，支路a的电压增益中存在支路b的信息，支路b同理，因此两支路存在交叉影响.

根据式(1)可得SIDO Buck-Boost变换器在CCM工作时支路a、b控制/输出的传递函数G₁(s)、G₂(s)分别为

(3)$ \left. \begin{gathered} {G_1}(s) = {v_{\text{a}}}(s)/{d_{\text{i}}}(s) = \\ \frac{{{R_{{\text{eqa}}}}(s)\left[ { - {{\left( {1 - {D_{\text{a}}}} \right)}^2}{I_{\text{L}}}{R_{{\text{eqb}}}}(s) - {I_{\mathrm{L}}}Ls + \left( {{D_{\text{a}}} - {D_{\text{i}}}} \right)\left( {{V_{\text{a}}} + {V_{\text{i}}}} \right)} \right]}}{{{{\left( {1 - {D_{\text{a}}}} \right)}^2}{R_{{\text{eqb}}}}(s) + {{\left( {{D_{\text{a}}} - {D_{\text{i}}}} \right)}^2}{R_{{\text{eqa}}}}(s) + sL}}, \\ {G_{\text{2}}}(s) = {v_{\text{b}}}(s)/{d_{\text{i}}}(s) = \\ \frac{{{R_{{\text{eqb}}}}(s)\left( {1 - {D_{\text{a}}}} \right)\left[ {{I_{\text{L}}}{R_{{\text{eqa}}}}(s)\left( {{D_{\text{a}}} - {D_{\text{i}}}} \right) + \left( {{V_{\text{a}}} + {V_{\text{i}}}} \right)} \right]}}{{{{\left( {1 - {D_{\text{a}}}} \right)}^2}{R_{{\text{eqb}}}}(s) + {{\left( {{D_{\text{a}}} - {D_{\text{i}}}} \right)}^2}{R_{{\text{eqa}}}}(s) + sL}}. \\\end{gathered} \right\} $

式中：$ {R_{{\text{eqa}}}}(s) = {{{R_{\text{a}}}}}/\left({{s{R_{\text{a}}}{C_{\text{a}}}+1}}\right), $$ {R_{{\text{eqb}}}}(s) = {{{R_{\text{b}}}}}/ \left({{s{R_{\text{b}}}{C_{\text{b}}}}}+ \right. $1)，v_i为V_i>的瞬时值，I_L、D_i和D_a分别为i_L、d_i和d_a的稳态值.

分析式(3)可知，先导通的a支路传递函数G₁(s)中含有一个右半平面零点，该支路具有非最小相位特性. 非最小相位特性导致SIDO Buck-Boost变换器暂态性能变差，控制器设计变得更加困难.

所提系统控制策略结构如图2所示. 主路为自抗扰控制，支路为基于改进扩张状态观测器的非奇异快速终端滑模控制.

主路开关管S_i和S_o共用一个控制信号. 如图3所示为主路ADRC控制结构框图.

式(3)中的G₂(s)可以拟合为

(4)$ {G_2}(s) = \frac{{{c_3}{s^2}+{c_2}s+{c_1}}}{{{a_4}{s^3}+{a_{\text{3}}}{s^2}+{a_{\text{2}}}s+{a_{\text{1}}}}}. $

式中：$ {a_1} = {({D_{\text{a}}} - 1)^2}{R_{\text{b}}}+{({D_{\text{a}}} - {D_{\text{i}}})^2}{R_{\text{a}}} $，

$ {a_{\text{2}}} = {C_{\text{b}}}{C_{\text{b}}}{({D_{\text{a}}} - {D_{\text{i}}})^2}{R_{\text{a}}}+{C_{\text{a}}}{C_{\text{a}}}{({D_{\text{a}}} - 1)^2}{R_{\text{b}}} $，

$ {a_3} = {C_{\text{b}}}{R_{\text{b}}}L+{C_{\text{a}}}{R_{\text{a}}}L $，$ {a_{\text{4}}} = {C_{\text{a}}}{R_{\text{a}}}{C_{\text{b}}}{R_{\text{b}}}L $，

$ {c_{\text{1}}} = {C_{\text{a}}}{C_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}{R_{\text{b}}}+({V_{\text{a}}}+{V_{\text{i}}}) $，$ {c_{\text{2}}} = {C_{\text{a}}}{R_{\text{a}}}({V_{\text{a}}}+{V_{\text{i}}}) $，

$ {c_{\text{3}}} = {C_{\text{a}}}{C_{\text{b}}}{I_{\text{L}}}L{R_{\text{a}}}{R_{\text{b}}} $.

根据文献[21]可知，二阶自抗扰范式为

(5)$ {\ddot y_1} = g({y_{\text{1}}},{\dot y_{\text{1}}},\omega ,t)+{b_0}u. $

式中：y₁=v_b，u=d_i，ω为内部扰动项，g为支路间耦合产生的扰动和外部扰动的总和，b₀为控制量增益.

联立式(4)、(5)可得该变换器主路自抗扰范式为

(6)$ {\ddot y_1} = \frac{{{c_{\text{3}}}}}{{{a_{\text{4}}}}}u+\frac{1}{{{a_{\text{4}}}}}\left[ {{c_{\text{3}}}\dot u+{c_{\text{1}}}\int u - \left( {{a_{\text{3}}}{{\dot y}_{\text{1}}}+{a_{\text{2}}}{y_{\text{1}}}+{a_{\text{1}}}\int {{y_{\text{1}}}} } \right)} \right]. $

定义系统状态变量为

(7)$ {\boldsymbol{n}} = {[{n_1},{n_2},{n_3}]^{\text{T}}} = {[{y_1},{\dot y_{\text{1}}},g]^{\text{T}}}. $

式中：$ {n_1} = {y_1} $，$ {n_2} = {\dot y_{\text{1}}} $，$ {n_3} = g $.

根据式(7)设计主路ESO为

(8)$ \left. \begin{array}{l}\dot{\hat{\boldsymbol{n}}}=\boldsymbol{A} \hat{\boldsymbol{n}}+\boldsymbol{B} u+\boldsymbol{L}\left(n_1-\hat{n}_1\right), \\\hat{{y}}_1=\left[1 ,\; 0 ,\; 0\right] \hat{\boldsymbol{n}} . \end{array}\right\} $

式中：$ {{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{array}} \right] $，${{\boldsymbol{B}}} = \left[ \begin{gathered} 0 \\ {b_0} \\ 0 \\ \end{gathered} \right]$，${{\boldsymbol{L}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_1}},\;{{l_2}},\;{{l_3}} \end{array}} \right]^{\text{T}}}$，${\hat {\boldsymbol{n}}}$为${{\boldsymbol{n}}}$的观测值.

联立式(5)、(8)可得系统状态反馈控制律：

(9)$ u = {\left({{u_0} - {{\hat n}_3}}\right)}/{{{b_0}}}. $

若ESO观测精度足够高，则可忽略观测误差，即$g \approx {\hat n_3}$，因此，式(5)可化简为

(10)$ {\ddot y_1} = g - {\hat n_3}+{u_0} \approx {u_0}. $

设计ADRC中的PD控制律为

(11)$ {u_0} = {k_{\text{p}}}({v_{{\text{bref}}}} - {\hat n_1}) - {k_{\text{d}}}{\hat n_2}. $

式中：v_bref为b支路输出电压参考值，k_p和k_d为控制器增益.

根据带宽法^[21]将ESO所有的极点和反馈控制律中的所有极点分别都配置到ω_c和ω_o处，可得ADRC中的k_p、k_d和观测器增益l₁、l₂和l₃分别为

(12)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{k_{\text{p}}} = \omega _{\text{c}}^2,} & {{k_{\text{d}}} = 2{\omega _{\text{c}}},} & {{l_1} = 3{\omega _{\text{o}}},} \\ {{l_2} = 3\omega _{\text{o}}^2,} & {{l_3} = \omega _{\text{o}}^3. } \end{array}} \right\} $

支路开关管S_a和S_b互补导通. 在支路控制中，为了抑制两支路间的交叉影响，须设计ESO对能量函数和所控支路的扰动项进行观测，并结合改进趋近律的非奇异快速终端滑模进行控制，提高系统的暂态和稳态性能. 如图4所示为支路控制结构框图.

SIDO Buck-Boost变换器先导通支路具有非最小相位特性，根据文献[16]可知，将变换器中储能元件的能量当作状态量并结合ESO进行控制，可以解决系统的非最小相位问题和强耦合问题，减少传统双环控制中的参数选取，提高系统性能. 因此，构造系统的能量函数为

(13)$ {y_{\text{2}}} = \frac{1}{2}Li_{\text{L}}^{\text{2}}+\frac{1}{2}{C_{\text{a}}}v_{\text{a}}^{\text{2}}+\frac{1}{2}{C_{\text{b}}}v_{\text{b}}^{\text{2}}. $

定义能量的误差为e₀，误差的一阶导数为e₁，表达式分别为

(14)$ {{e_{\text{0}}} = {y_{\text{2}}} - {y_{{\text{2ref}}}},} \quad {{e_{\text{1}}} = {{\dot e}_{\text{0}}}. } $

式中：y_2ref为总能量参考值.

对式(14)进行求导可得

(15)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{e_1} = {V_{\text{i}}}{i_{\text{L}}} - \dfrac{{{V_{\text{a}}}}}{{{R_{\text{a}}}}}\left( {{v_{\text{a}}}+{V_{\text{i}}}} \right)+{f_1},} \\ {{{\dot e}_1} = {V_{\text{i}}}\dfrac{{\left( {1 - {d_{\text{a}}}} \right){i_{\text{L}}} - {d_{\text{a}}}{v_{\text{a}}}}}{L} - \dfrac{{\left( {2{v_{\text{a}}}+{V_{\text{i}}}} \right){d_{\text{a}}}{i_{\text{L}}} - {v_{\text{a}}}}}{{{R_{\text{a}}}{C_{\text{a}}}}}+{f_2}. } \end{array} } \right\} $

式中：

$ {f_2} = {V_{\text{i}}}\left( {\frac{{{d_{\text{i}}}}}{L}{v_{\text{a}}} - \frac{{{d_{\text{i}}}}}{L}{V_{\text{i}}}} \right)+\frac{{2{v_{\text{a}}}+{V_{\text{i}}}}}{{{R_{\text{a}}}}}\left( {\frac{{{d_{\text{i}}}}}{{{C_{\text{a}}}}}{i_{\text{L}}}} \right) - $

$ \frac{{2{v_{\text{b}}}+{V_{\text{i}}}}}{{{R_{\text{b}}}}}\left( {\frac{1}{{{C_{\text{b}}}}}{i_{\text{L}}} - \frac{{{d_{\text{a}}}}}{{{C_{\text{a}}}}}{i_{\text{L}}} - \frac{{{v_{\text{b}}}}}{{{R_{\text{b}}}{C_{\text{b}}}}}} \right) \text{，} {f_1} = - \frac{{{v_{\text{b}}}}}{{{R_{\text{b}}}}}\left( {{v_{\text{b}}}+{V_{\text{i}}}} \right) . $

构建非奇异快速终端滑模面表达式为

(16)$ s = a{e_0}+c{e_1}+{\beta _5}e_{_1}^{{{p/q}}}. $

式中：a、c和β₅为系数，均大于0；p大于q，且p和q为正奇数.

对式(16)求导可得

(17)$ \dot s = a{e_1}+c{\dot e_1}+{\beta _5}\frac{p}{q}{e_1}^{{{p/q - 1}}}{\dot e_1}. $

将式(15)代入式(17)可得

(18)$ \begin{split} \dot{s} =& a\left[V_{\mathrm{i}} i_{\mathrm{L}}-\frac{v_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}}}\left(v_{\mathrm{a}}+V_{\mathrm{i}}\right)+f_1\right]+ \\& c\left[V_{\mathrm{i}}\left(\frac{1 - d_{\mathrm{a}}}{L} i_{\mathrm{L}} - \frac{d_{\mathrm{a}}}{L} v_{\mathrm{a}}\right) - \frac{\left(2 v_{\mathrm{a}} + V_{\mathrm{i}}\right) d_{\mathrm{a}} i_{\mathrm{L}} - v_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}} C_{\mathrm{a}}} + f_2\right] + \\& {\left[V_{\mathrm{i}}\left(\frac{1 - d_{\mathrm{a}}}{L} i_{\mathrm{L}} - \frac{d_{\mathrm{a}}}{L} v_{\mathrm{a}}\right) - \frac{\left(2 v_{\mathrm{a}} + V_{\mathrm{i}}\right) d_{\mathrm{a}} i_{\mathrm{L}} - v_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}} C_{\mathrm{a}}} + f_2\right] \times } \\& \beta_5 \frac{p}{q}\left[V_{\mathrm{i}} i_{\mathrm{L}}-\frac{v_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}}}\left(v_{\mathrm{a}}+V_{\mathrm{i}}\right)+f_1\right]^{p / q-1} .\\[-3pt]\end{split} $

由于指数滑模趋近律的开关切换项存在抖振，可对指数滑模趋近律进行改进来消除抖振，改进后的新型滑模趋近律为

(19)$ \dot s = - {k_1}{\left( {\left| x \right|\left| s \right|} \right)^{{\alpha }}}{{\mathrm{sgn}}} \;\left( s \right) - {k_{\text{2}}}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}s. $

改进后的新型趋近律包含2部分，第1部分是含有状态变量(x=e₀)和滑模面幂次项的变速趋近律$ - {k_1}{\left( {\left| x \right|\left| s \right|} \right)^{{\alpha }}}{{\mathrm{sgn}}}\; \left( s \right)$；第2部分是含有状态变量幂次项的变指数趋近律$ - {k_2}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}s $. 当距离滑模面较远时，变指数趋近律$ - {k_2}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}s $起主导作用，当距离滑模面较近时，变速趋近律$ - {k_1}{\left( {\left| x \right|\left| s \right|} \right)^{{\alpha }}}{\rm{sgn}}\; \left( s \right)$起主导作用，在此过程中$ - {k_1}{\left( {\left| x \right|\left| s \right|} \right)^{{\alpha }}}{\rm{sgn}}\; \left( s \right)$项不断减小到0，有效抑制了系统抖振，使滑模面更快速地趋于零.

联立式(18)、(19)可得控制律：

(20)$ \begin{split} d_{\mathrm{a}} = &\left[\left(c + \beta \frac{p}{q} e_1^{p / q-1}\right)\left(-V_{\mathrm{i}} \frac{v_{\mathrm{a}} + i_{\mathrm{L}}}{L} - \frac{i_{\mathrm{L}}\left(2 v_{\mathrm{a}} + V_{\mathrm{i}}\right) - v_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}} C_{\mathrm{a}}}\right)\right]^{-1} \times \\& {\left[a e_1+c\left(V_{\mathrm{i}} \frac{i_{\mathrm{L}}}{L}+f_2\right)-\beta_5 \frac{p}{q} e_1^{p / q-1}\left(V_{\mathrm{i}} \frac{i_{\mathrm{L}}}{L}+f_2\right)-\right.} \\& \left.-k_1(|x||s|)^\alpha \operatorname{sgn}\;(s)-k_2|x|^{\beta_6} s\right] .\\[-3pt]\end{split} $

传统ESO由于精度不够高，导致扩张项不能完全追踪误差，根据文献[22]可对传统ESO进行改进，从而提高观测精度. 具体改进扩张状态观测器设计如下.

定义x₁、x₂、x₃和x₄为

(21)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {x_{\text{1}}} = {e_0},\quad {x_{\text{2}}} = {V_{\text{i}}}{i_{\text{L}}} - \dfrac{{{v_{\text{a}}}}}{{{R_{\text{a}}}}}\left( {{v_{\text{a}}}+{V_{\text{i}}}} \right), \quad {x_{\text{3}}} = {e_1}, \\ {x_{\text{4}}} = {V_{\text{i}}}\dfrac{{\left( {1 - {d_{\text{a}}}} \right){i_{\text{L}}} - {d_{\text{a}}}{v_{\text{a}}}}}{L} - \dfrac{{\left( {2{v_{\text{a}}}+{V_{\text{i}}}} \right){d_{\text{a}}}{i_{\text{L}}} - {v_{\text{a}}}}}{{{R_{\text{a}}}{C_{\text{a}}}}}. \end{array} } \right\} $

联立式(15)、(21)可得

(22)$ {{{\dot x}_{\text{1}}} = {x_{\text{2}}}+{f_1},} \quad {{{\dot x}_{\text{3}}} = {x_{\text{4}}}+{f_2}. } $

根据式(22)构建改进型ESO为

(23)$ \left. \begin{gathered} {{\dot z}_1} = {z_2}+{x_2} - {\beta _1}\left( {{z_1} - {x_1}} \right), \quad {{\dot z}_2} = - {\beta _2}\left( {{{\dot h}_1} + {\beta _1}{h_1}} \right), \\ {{\dot z}_3} = {z_4}+{x_4} - {\beta _3}\left( {{z_3} - {x_{\text{3}}}} \right), \quad {{\dot z}_4} = - {\beta _4}\left( {{{\dot h}_2} + {\beta _3}{h_2}} \right). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：z₁、z₂分别为x₁和扰动f₁的观测值；z₃、z₄分别为x₃和扰动f₂的观测值；${h_1} = {z_1} - {x_1}$；${h_{\text{2}}} = {z_{\text{3}}} - {x_{\text{3}}}$；$ {{\boldsymbol{\beta}} } = {\left[ {{\beta _{\text{1}}}},\;{{\beta _{\text{2}}}},\;{{\beta _{\text{3}}}},\;{{\beta _{\text{4}}}} \right]^{\text{T}}} $为观测器的增益值，β中元素均大于0.

将式(23)代入式(20)可得系统的控制律：

(24)$ {\begin{split} d_{\mathrm{a}} = & {\left[\left(c + \beta \frac{p}{q}\left(x_2 + z_2\right)^{p / q-1}\right)\left(-V_{\mathrm{i}} \frac{V_{\mathrm{a}} + i_{\mathrm{L}}}{L} - \frac{i_{\mathrm{L}}\left(2 v_{\mathrm{a}} + V_{\mathrm{i}}\right) - v_{\mathrm{a}}}{R_{\mathrm{a}} C_{\mathrm{a}}}\right)\right]^{-1} \times } \\& {\left[\beta_5 \frac{p}{q}\left(x_2+z_2\right)^{p / q-1}\left(V_{\mathrm{i}} \frac{i_{\mathrm{L}}}{L}+z_4\right)-a\left(x_2+z_2\right)+\right.} \\& \left.c\left(V_{\mathrm{i}} \frac{i_{\mathrm{L}}}{L}+z_4\right)-k_1(|x||s|)^\alpha \operatorname{sgn}\;(s)-k_1|x|^{\beta_6} s\right].\\[-10pt]\end{split}} $

考虑系统受到不确定扰动后的$ {\dot e_{\text{1}}} $表达式为

(25)$ {\dot e_{\text{1}}} = f(x)+r(x){d_{\text{a}}}+h. $

式中：f(x)和r(x)为已知量，h为扰动.

将式(25)代入式(16)中，并求导数可得

(26)$ \begin{split} \dot s =& a{e_1}+c{{\dot e}_1}+{\beta _5}\frac{p}{q}e_{_1}^{{{p/q} - 1}}{{\dot e}_1}=\\ & a{e_1}+\left( {ce+{\beta _5}\frac{p}{q}e_{_1}^{{{p/q} - 1}}} \right)\left( {f(x)+r(x){d_{\text{a}}}+h} \right)=\\ & a{e_1}+D\left( {f(x)+r(x){d_{\text{a}}}+h} \right). \end{split} $

假设r(x)为非奇异函数，集总扰动h未知且有界，即|h|≤M，M为常数. 可得系统的等效控制律d_a表达式为

(27)$ {d_{\text{a}}} = {\left[ {Dg(x)} \right]^{ - 1}}\left[ { - \alpha {e_1} - Df(x)+{u_{\text{n}}}} \right]. $

式中：$ {u_{\text{n}}} = - {k_1}{\left( {\left| x \right|\left| s \right|} \right)^{{\alpha }}}{\rm{sgn}}\; \left( s \right) - {k_{\text{2}}}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}s $.

将式(27)代入式(26)可得

(28)$ \dot s = - {k_1}{\left( {\left| x \right|\left| s \right|} \right)^{{\alpha }}}{\rm{sgn}}\; \left( s \right) - {k_{\text{2}}}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}s+h. $

引理1^[23]　　$ x\in D\subset {{\bf{R}}},\;\dot{x}=f(x),\; f:{{\bf{R}}}\to {{\bf{R}}} $，在开放邻域D内是连续函数. 假设存在函数V：D→R且满足以下条件：

1) V大于0；

2) V的导数小于0.

3) 存在实数m>0、n>0和一邻域N$ \subset $D使得$ V{{+m}}{\dot V^{{n}}} \geqslant 0 $.

则函数$ \dot x = f(x) $在平衡零点有限时间收敛^[23].

定理1　　式(28)中s在有限时间收敛如下区域：

(29)$ \left| s \right| \leqslant {\text{min}}\;\left\{ {\frac{M}{{{k_2}{{\left| x \right|}^{{\beta _6}}}}},{{\left( {\frac{M}{{{k_{\text{1}}}{{\left| x \right|}^\alpha }}}} \right)}^{{{\text{1}}}/{\alpha }}}} \right\}. $

证明　　设计Lyapunov函数为

(30)$ V = {s^2}/2. $

对式(30)求导数可得

(31)$ \begin{split} \dot V =& s\dot s = - {k_1}{\left| x \right|^{{\alpha }}}{\left| s \right|^{{\text{1}}+{{\alpha }}}} - {k_{\text{2}}}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}{s^2}+ds \leqslant \\ &- {k_1}{\left| x \right|^{{\alpha }}}{\left| s \right|^{{\text{1}}+{{\alpha }}}} - {k_{\text{2}}}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}{\left| s \right|^2}+M\left| s \right|. \end{split} $

式(31)展开为

(32)$ \begin{split} \dot V \leqslant & - ({k_1}{\left| x \right|^{{\alpha }}}{\left| s \right|^{{\alpha }}} - M)\left| s \right| - {k_2}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}{\left| s \right|^2}\leqslant \\ & - ({k_{\text{2}}}{\left| x \right|^{{\beta _6}}}\left| s \right| - M)\left| s \right| - {k_1}{\left| x \right|^{{\alpha }}}\left| s \right|. \end{split} $

由引理1可知$ \dot V $为负定，因此根据式(32)可得

(33)$ \left| s \right| \geqslant {\left( {\frac{M}{{{k_{\text{1}}}{{\left| x \right|}^\alpha }}}} \right)^{{{\text{1}}}/{\alpha }}}. $

联立式(30)、(33)可得

(34)$ V \geqslant \frac{1}{2}{\left( {\frac{M}{{{k_{\text{1}}}{{\left| x \right|}^\alpha }}}} \right)^{{2}/{\alpha }}}. $

由式(31)可知

(35)$ \dot V \leqslant - {k_2}{\left| s \right|^2} \leqslant - {k_2}\left( {2 V} \right). $

因此，由引理可知，s关于平衡点有限时间收敛，收敛区域为

(36)$ \left| s \right| \leqslant \frac{M}{{{k_2}{{\left| x \right|}^{{\beta _6}}}}}. $

同理，由式(33)、(36)可得出滑模面s的收敛域. 综上所述，当存在扰动时，所提趋近律会在有限时间内收敛到如下区域：

(37)$ \left| s \right| \leqslant {\text{min}}\;\left\{ {\frac{M}{{{k_2}{{\left| x \right|}^{{\beta _6}}}}},{{\left( {\frac{M}{{{k_{\text{1}}}{{\left| x \right|}^\alpha }}}} \right)}^{{{\text{1}}}/{\alpha }}}} \right\}. $

定理1得证.

因文中两路观测器一样，为了节约篇幅，仅证明一路观测器的稳定性.

定义误差h₁和h₂为

(38)$ {h_1} = {z_1} - {x_1}, \quad {h_2} = {z_2} - {f_1}. $

令$ {H_1} = {h_1} = {z_1} - {x_1},\; {\dot H_1} = {H_2} $，根据式(38)可得误差方程为

(39)$ {{\dot H}_1} = {H_2}, \quad {{\dot H}_2} = - {\beta _1}{\beta _2}{H_1} - \left( {{\beta _1}+{\beta _2}} \right){H_2} - {f_1}. $

构造$ W = - {\beta _1}{\beta _2}\left( {{\beta _1}+{\beta _2}} \right)H_1^2 $，根据文献[24]，得到

(40)$ {V_1} = - \frac{1}{{{\varDelta}} }\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{H_1^2}&{2{H_1}{H_2}}&{H_2^2} \\ 0&0&{{\beta _1}{\beta _2}}&0 \\ 0&1&{ - {\beta _1} - {\beta _1}}&{{\beta _1}{\beta _2}} \\ \delta &0&1&{ - {\beta _1} - {\beta _2}} \end{array}} \right|. $

式中：$ \delta = - {\beta _1}{\beta _2}\left( {{\beta _1}+{\beta _2}} \right) $，

$ {{\varDelta}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\beta _1}{\beta _2}}&0 \\ 1&{ - {\beta _1} - {\beta _2}}&{{\beta _1}{\beta _2}} \\ 0&1&{ - {\beta _1} - {\beta _2}} \end{array}} \right| $.

根据式(40)可得系统Lyapunov函数V₁为

(41)$ {V_1} = {\beta _1}{\beta _2}\left( {{\beta _1}{\beta _2}H_1^2+H_2^2} \right). $

对式(41)求导可得

(42)$ \frac{{{\text{d}}{V_{\text{1}}}}}{{{\text{d}}t}} = - {\beta _1}{\beta _2}\left( {{\beta _1}+{\beta _2}} \right)H_2^2 - 2{\beta _1}{\beta _2}{f_1}. $

分析式(41)可知，$ {\beta _1},{\beta _2} > 0 $，因此，V₁正定，且具有无穷大性质.

分析式(42)，当$ {f_1} = 0 $时，此时$ {\dot V_{\text{1}}} $负定，又因为V₁正定，可得ESO的观测误差趋于0，因此，ESO是大范围渐近稳定的.

当$ {f_1} \ne 0 $时，观测值存在误差. 规定$ \left| {{f_1}} \right| \leqslant F $，F为常数. 当系统到达稳态时，可以得到

(43)$ {{\dot H}_1} = {H_2} = 0, \quad {{\dot H}_2} = 0. $

分析式(42)、(43)可得稳态误差为

(44)$ \left| {{h_1}} \right| \leqslant {F \mathord{\left/ {\vphantom {F {{\beta _1}{\beta _2},}}} \right. } {\left({\beta _1}{\beta _2}\right),}} \quad \left| {{h_2}} \right| \leqslant {F \mathord{\left/ {\vphantom {F {{\beta _2}}}} \right. } {{\beta _2}}}. $

定义主路的跟踪误差如下：

(45)$ {e_{{\text{v1}}}} = {v_{{\text{bref}}}} - {y_1}, \quad {e_{{\text{v2}}}} = {{\dot e}_{{\text{v1}}}}. $

定义扩张状态观测器的观测误差分别如下：

(46)$ {e_{{\text{o1}}}} = {n_1} - {{\hat n}_1}, \quad {e_{{\text{o2}}}} = {n_2} - {{\hat n}_2}, \quad {e_{{\text{o3}}}} = {n_3} - {{\hat n}_3}. $

将式(7)、(8)、(45)代入式(46)，化简可得

(47)$ {{\dot e}_{{\text{v1}}}} = - {{\dot y}_1}, \quad {{\dot e}_{{\text{v2}}}} = - {k_{\text{p}}}({e_{{\text{v1}}}}+{e_{{\text{o1}}}}) - {k_{{\text{d2}}}}({e_{{\text{v2}}}}+{e_{{\text{o2}}}}) - {e_{{\text{o3}}}}. $

联立式(8)、(47)，可得

(48)$ \begin{split}\dot u =& [ - {k_{\text{p}}}{k_{\text{d}}}{e_{{\text{v1}}}}+({k_{\text{p}}} - k_{\text{d}}^2){e_{{\text{v2}}}} - ({k_{\text{p}}}{k_{\text{d}}}+{k_{\text{p}}}{l_1} +\\ &{k_{\text{d}}}{l_2}+{l_3}){e_{{\text{o1}}}}+({k_{\text{p}}} - k_{\text{d}}^2){e_{{\text{o2}}}}]/{b_0}. \end{split} $

选取e=[e_v1, e_v2, e_o1, e_o2, e_o3]^T为新的状态变量，若不考虑外部扰动和模型的不准确性，联立式(47)、(48)可得

(49)$ {\dot {\boldsymbol{e}}} = {{{\boldsymbol{A}}}_{\text{e}}}{{\boldsymbol{e}}}+{{{\boldsymbol{B}}}_{\text{e}}}{\dot \omega _1}. $

式中：

$ {{\boldsymbol{A}}}_{{\mathrm{e}}}=\left[\begin{array}{lllll}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -{k}_{\text{p}} & -{k}_{\text{d}} & -{k}_{\text{p}} & -{k}_{\text{d}} & -1 \\ 0 & 0 & -{l}_{1} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -{l}_{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]，{\boldsymbol{B}}_{\text{e}}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]. $

由式(48)、(49)可得系统的特征多项式为

(50)$ \begin{split} \left| {s{\boldsymbol{I}} - {{\boldsymbol{A}}_{\text{e}}}} \right| =& ({s^2}+{k_{\text{d}}}s+{k_{\text{p}}})({s^3}+{l_1}{s^2}+{l_2}s+{l_3})= \\ &{(s+{\omega _{{\text{c1}}}})^2}{(s+{\omega _{{\text{o1}}}})^3}. \end{split} $

分析式(50)可知该特征方程的特征根都位于s平面的左半平面，因此该系统是大范围渐近稳定的，当$ t \to \infty $时，系统稳定.

为了验证控制算法的有效性及优越性，基于HIL搭建了SIDO Buck-Boost变换器实验平台，该实验平台由MT6020实时仿真器、DSP控制器以及上位机构成，并将本研究所提控制策略与PI、滑模+ESO控制进行实验对比. 实验电路参数为V_i=20 V，R_a=25 Ω，R_b=15 Ω，v_a=25 V，v_b=15 V，f_s=20 kHz，L=80 μH，C_a=C_b=260 μF；控制器参数为ω_o=2.1×10³，ω_c=1.5×10³，β₁=5.5×10³，β₂=8.5×10³，β₃=5.0×10³，β₄=6.5×10³，β₅=7.2×10³，β₆=2.2×10²，k₁=5.0×10²，k₂=1.1×10³，a=7.1×10²，c=1.0×10³，b₀=6.5×10⁷.

为了方便对比不同控制策略下负载扰动时支路间的交叉影响情况，实验分别进行了支路a的负载扰动和支路b的负载扰动. 支路a的负载扰动实验结果如图5所示，支路b的负载扰动实验结果如图6所示.

图5中支路a的一种扰动条件为负载突然加重，即i_a由1 A突增到2 A. 分析图5可知，在PI控制策略下，负载扰动导致支路a的电压跌落为1.9 V，过渡过程时间为7 ms；交叉影响导致支路b的电压超调为1.1 V，过渡过程时间为7 ms. 在滑模+ESO控制策略下，负载扰动导致支路a的电压跌落为1.1 V，过渡过程时间为6 ms；交叉影响导致支路b的电压超调量较小，且过渡过程时间也较短. 在本研究所提控制策略下，负载扰动导致支路a本身的电压跌落和过渡时间都较小，且交叉影响导致支路b的电压超调和过渡时间也较小.

图5中支路a的另一种扰动条件为负载突然减轻，即i_a由2 A突减到1 A. 分析图5可知，在PI控制策略下，负载扰动导致支路a的电压上升为2.0 V，过渡过程时间为9 ms；交叉影响导致支路b的电压超调为1.7 V，过渡过程时间为9 ms. 在滑模+ESO控制策略下，负载扰动导致支路a的电压上升为1.3 V，过渡过程时间为7 ms；交叉影响导致支路b的电压超调量较小，且过渡过程时间较短. 在本研究所提控制策略下，负载扰动导致支路a本身的电压上升和过渡时间都较小，且交叉影响导致支路b的电压超调和过渡时间也较小.

图中支路b的一种扰动条件为负载突然加重，即i_b由1 A突增到2 A. 分析图6可知，在PI控制策略下，负载扰动导致支路b的电压跌落为1.9 V，过渡过程时间为7 ms；交叉影响导致支路a的电压超调为1.9 V，过渡过程时间为7 ms. 在滑模+ESO控制策略下，负载扰动导致支路b的电压跌落为0.9 V，过渡过程时间为6 ms；交叉影响导致支路a的电压超调量较小，且过渡过程时间较短. 在本研究所提控制策略下，负载扰动导致支路b本身的电压跌落和过渡时间都较小，且交叉影响导致支路a的电压超调和过渡时间较小.

图6中支路b的另一种扰动条件为负载突然减轻，即i_b由2 A突减到1 A. 分析图6可知，在PI控制策略下，负载扰动导致支路b的电压上升为2.0 V，过渡过程时间为7 ms；交叉影响导致支路a的电压超调为1.2 V，过渡过程时间为7 ms. 在滑模+ESO控制策略下，负载扰动导致支路b的电压上升为1.0 V，过渡过程时间为6 ms；交叉影响导致支路a的电压超调量较小，且过渡过程时间也较短. 在本研究所提控制策略下，负载扰动导致支路b本身的电压上升和过渡时间较小，且交叉影响导致支路a的电压超调和过渡时间较小.

由上述分析可知，在发生负载扰动时，本研究所提控制策略相较于其他2种控制策略具有更优的暂态特性，且较好地抑制了系统的交叉影响.

不同控制策略下系统抗输入电压扰动的实验结果如图7所示. 图中，其中一种扰动条件为输入电压突然升高，即V_i由20 V突增到30 V. 在PI控制策略下，输入电压扰动导致支路a的电压超调为2.1 V，过渡过程时间为9 ms；支路b的电压超调为1.9 V，过渡过程时间为7 ms. 在滑模+ESO控制策略下，输入电压扰动对支路a电压和支路b电压造成的波动相较于PI控制较小，并且过渡过程时间较短. 在本研究控制策略下，支路a和支路b的电压的超调和过渡过程时间都极小.

另一种扰动条件为输入电压突降，即V_i由30 V突降到20 V. 在PI控制策略下，输入电压扰动导致支路a的电压跌落为1.9 V，过渡过程时间为8 ms；支路b的电压跌落为1.5 V，过渡过程时间为10 ms. 在滑模+ESO控制下，输入电压扰动对支路a电压和支路b电压造成的波动相较于PI控制较小，并且过渡过程时间较短. 在本研究控制策略下，支路a和支路b的电压的超调和过渡过程时间都极小.

由上述分析可知，在输入电压突变时，本研究所提控制策略相较于其他2种控制策略在抑制交叉影响和暂态恢复过渡过程方面都具有良好的性能.

综上实验结果可知，所提控制策略在抑制负载扰动和输入电压扰动方面较传统控制具有更加优越的性能，同时也验证了理论分析的正确性.

提出基于ESO的改进非奇异快速终端滑模和ADRC复合策略，通过与PI控制以及滑模+ESO进行控制效果对比，可以得出如下结论：

(1) 主路中采用ADRC能较好地进行输出端两支路的解耦效应；支路中利用改进ESO进行解耦，选择改进趋近律的非奇异快速终端滑模能较好地提高系统的暂态性能.

(2) 所提控制策略在系统受到负载和输入电压扰动时，相较于其他2种控制策略，具有暂态响应速度快、超调量小以及抑制交叉影响良好的优点.

(3) 所提控制策略能较好地解决非最小相位SIDO Buck-Boost变换器的交叉影响严重以及暂态性能较差的问题，且具有较好的工程应用价值.

(4) 本研究主要基于电感电流连续模式，未考虑该变换器工作在电感电流断续模式的情况，后续将继续深入研究该变换器在电感电流断续模式下工作的非线性控制策略.