浙江大学学报(工学版)

浙江大学学报(工学版), 2024, 58(6): 1107-1120 doi: 10.3785/j.issn.1008-973X.2024.06.002

计算机技术

多目标粒子群优化算法及其应用研究综述

叶倩琳,, 王万良,, 王铮

1. 浙江工业大学 计算机科学与技术学院，浙江 杭州 310023

2. 浙大城市学院 计算机与计算科学学院，浙江 杭州 310015

Survey of multi-objective particle swarm optimization algorithms and their applications

YE Qianlin,, WANG Wanliang,, WANG Zheng

1. College of Computer Science and Technology, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China

2. School of Computer and Computational Sciences, Hangzhou City University, Hangzhou 310015, China

通讯作者: 王万良，男，教授. orcid.org/0000-0002-1552-5075. E-mail: zjutwwl@zjut.edu.cn

收稿日期: 2023-08-8  

基金资助: 国家自然科学基金资助项目(61873240，51875524)；浙江省重点研发计划资助项目(领雁计划)(2023C01168)；数字化制造装备与技术国家重点实验室基金资助项目(2023C01168）.

Received: 2023-08-8  

Fund supported: 国家自然科学基金资助项目(61873240，51875524)；浙江省重点研发计划资助项目(领雁计划)(2023C01168)；数字化制造装备与技术国家重点实验室基金资助项目(2023C01168）.

作者简介 About authors

叶倩琳（1999—），女，博士生，从事多目标优化算法研究.orcid.org/0009-0008-4651-5006.E-mail：yql@zjut.edu.cn , E-mail：yql@zjut.edu.cn

摘要

现有研究较少涵盖最先进的多目标粒子群优化（MOPSO）算法. 本研究介绍了多目标优化问题（MOPs）的研究背景，阐述了MOPSO的基本理论. 根据特征将其分为基于Pareto支配、基于分解和基于指标的3类MOPSO算法，介绍了现有的经典算法. 介绍相关评价指标，并选取7个有代表性的算法进行性能分析. 实验结果展示了传统MOPSO和3类改进的MOPSO算法各自的优势与不足，其中，基于指标的MOPSO在收敛性和多样性方面表现较优. 对MOPSO算法在生产调度、图像处理和电力系统等领域的应用进行简要介绍. 并探讨了MOPSO算法用于求解复杂优化问题的局限性及未来的研究方向.

关键词： 粒子群优化 ; 多目标优化 ; Pareto解集 ; 收敛性 ; 多样性

Abstract

Few existing studies cover the state-of-the-art multi-objective particle swarm optimization (MOPSO) algorithms. To fill the gap in this area, the research background of multi-objective optimization problems (MOPs) was introduced, and the fundamental theories of MOPSO were described. The MOPSO algorithms were divided into three categories according to their features: Pareto-dominated-based MOPSO, decomposition-based MOPSO, and indicator-based MOPSO, and a detailed description of their existing classical algorithms was also developed. Next, relevant evaluation indicators were described, and seven representative algorithms were selected for performance analysis. The experimental results demonstrated the strengths and weaknesses of each of the traditional MOPSO and three categories of improved MOPSO algorithms. Among them, the indicator-based MOPSO performed better in terms of convergence and diversity. Then, the applications of MOPSO algorithms in production scheduling, image processing, and power systems were briefly introduced. Finally, the limitations and future research directions of the MOPSO algorithm for solving complex optimization problems were discussed.

Keywords： particle swarm optimization ; multi-objective optimization ; Pareto solution set ; convergence ; diversity

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本文引用格式

叶倩琳, 王万良, 王铮. 多目标粒子群优化算法及其应用研究综述. 浙江大学学报(工学版)[J], 2024, 58(6): 1107-1120 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2024.06.002

YE Qianlin, WANG Wanliang, WANG Zheng. Survey of multi-objective particle swarm optimization algorithms and their applications. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)[J], 2024, 58(6): 1107-1120 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2024.06.002

在生产调度、智能控制和路径规划等多个领域，须同时对多个目标进行优化[1-3]，且目标之间不能同时达到最优状态，这类问题统称为多目标优化问题[4]（multi-objective optimization problems, MOPs）. 不同于以往的单目标问题，MOPs无法用线性方法求解，且不具备唯一解，这对MOPs的求解带来了极大挑战，因此，求解MOPs的研究存在一定的实际价值.

求解MOPs的基本思想是通过优化过程尽可能找到一组解集，使得多个目标在给定约束范围内尽可能达到最佳，这组折中解集称为Pareto解集[5]. 最初，传统的求解方法[6]是将复杂MOPs分解为单目标问题求解，主要包括目标规划法、加权求和法和距离函数法等. 传统的优化方法依赖于先验知识，须运行多次才能逼近Pareto最优解集（Pareto optimal set, PS），不能求得较为理想的折中解集. 此外，当问题复杂化、高维化、动态化、多模态化或遇到带有约束的复杂多目标问题时，很难得到一组理想解，因此，探索新途径新方法来求解高维[7]、复杂的MOPs意义重大.

针对MOPs的特点，且考虑到实际生活中的MOPs存在高维、不可导、动态[8]、多模态[9]、带约束[10]等复杂情况，研究者们受生物进化选择和适者生存的启发，将进化思想与元启发算法相结合[11]，提出模拟染色体交叉变异的多目标进化算法[12-13]（multi-objective evolutionary algorithms, MOEAs）来求解MOPs，如基于生物进化选择的遗传算法[14]（genetic algorithm, GA）和差分进化算法[15]（differential evolution, DE）. 不同于传统方法，MOEAs求解MOPs不需要先验知识，只须运行一次就能够得到整个Pareto前沿（Pareto front, PF）的逼近.

群体智能（swarm intelligence, SI）也被提出用于优化问题的求解，SI是由多个个体组成的群体所产生的智慧集合. 受蚂蚁觅食行为启发提出的蚁群算法[16-17]（ant colony optimization, ACO）是SI的首个成功案例. 随后，由鸟类捕食演化而来的粒子群算法[18]（particle swarm optimization, PSO）也被研究者们提出. PSO作为当下最流行的SI优化算法之一，通过个体间的信息交流，能够在复杂空间中快速收敛. 紧接着，Coello等[19]将PSO应用于MOPs的求解，提出了多目标粒子群优化算法（multi-objective particle swarm optimization, MOPSO）.

MOEAs和SI都属于优化算法，致力于搜索目标空间中的最优解集，但2类算法存在各自的优势与不足，以经典GA和MOPSO算法为例：1）GA通过选择、交叉和变异的基本遗传操作进行优化，而MOPSO不需要进行交叉变异，算法简单易复现. 2）GA须对染色体进行编码实现信息共享. MOPSO则通过当前最优解共享信息，因此，粒子的收敛速度更快，能够快速找到全局最优解，但存在陷入局部最优的风险.

本研究以MOPSO的相关理论为基础，根据其特征划分为3类，分别梳理各个类别中最新的相关算法，罗列MOPSO在部分领域的应用案例，并对未来的发展方向进行总结和展望.

1. 多目标优化问题概述

不同于单目标优化问题只须比较单个值的大小，MOPs须在多个相互矛盾的优化目标之间取得平衡，获得尽可能逼近PF并分布均匀的解. 为了方便理解，定义MOPs的相关概念如下.

定义1　多目标优化问题. 为了方便MOPs的求解，对其进行数学建模，假设一个MOP由$ n $个决策变量、$ m $个目标函数以及多个约束条件构成. 最小化MOP具体可用如下数学表达式定义[1]：

$ \left.\begin{array}{cl}\min\; f(\boldsymbol{X})=\min\;\left[f_1(x), f_2(x), \cdots, f_m(x)\right], & x \in \varOmega; \\g_i(\boldsymbol{X}) \leqslant 0, & 1 \leqslant i \leqslant p; \\h_j(\boldsymbol{X})=0, & 1 \leqslant j \leqslant q.\end{array} \right\} $

式中：$ f({\boldsymbol{X}}) $为由$ m $个目标函数组成的函数向量，$ {\boldsymbol{X}} = [{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_d}] $为$ d $维决策向量；$ \varOmega $为决策空间，$ {{\bf{R}}^m} $为$ m $维目标空间，存在映射$ \varOmega \to {{\bf{R}}^m} $；$ {g_i}({\boldsymbol{X}}) $和$ {h_j}({\boldsymbol{X}}) $分别为p个不等式和q个等式约束条件. MOP示意图如图1所示.

图 1

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图 1   多目标优化问题示意图

Fig.1   Illustration of multi-objective optimization problems


值得注意的是，当$ m > 3 $时，MOPs扩展为高维多目标优化问题[20]（many-objective optimization problems, MaOPs）. 当$ d \geqslant 100 $时，MOPs被定义为大规模MOPs[21].

定义2　Pareto支配. 对于任意决策变量$ x,y $，其对应的目标函数分别为$ f(x)和f(y) $，当任意$ i \in \left\{ {1,2, \cdots ,m} \right\}， $都满足不等式$ \;{f_i}(x) \leqslant {\mathrm{slant}}\; {f_i}(y)， $且存在$ j \in \left\{ {1,2, \cdots ,m} \right\} $，满足$ {f_i}(x) < {f_i}(y) $时，个体$ x $支配个体$ y $，记为$ x \prec y $.

定义3　非支配解/ Pareto最优解. 对于一个个体$ x \in \varOmega $，在决策空间的任意范围内不存在个体$ y $使得$ y \prec x $，则称$ x $为Pareto最优解.

定义4　可行解. 满足约束条件的个体$ x \in \varOmega $，称为可行解.

定义5　Pareto最优解集. 当所有解在收敛性和多样性之间达到平衡状态，也就是说所有解在无限接近最优条件的同时，也较好地维持了较为均匀的分布，则所有Pareto解的集合记为PS.

定义6　Pareto前沿. PF为Pareto最优解集在目标空间的映射向量集合.

定义7　Pareto近似最优解集. 通过某种演化算法求得的解集称为Pareto近似最优解集.

2. 多目标粒子群优化算法研究进展

Kennedy等[18]于1995年提出PSO优化算法，并从理论角度证明了其稳定性和收敛性. 作为群体智能演化算法，PSO模拟自然界中鸟类的觅食行为，将食物的位置类比为优化问题的最优解集，将鸟类的飞行方向与位置类比为粒子的速度和位置. 根据全局最优（gBest）和个体历史最优（pBest）的信息交互，不断更新粒子的位置和速度，提高搜索效率、有效引导种群往PF方向收敛，但这也导致其可能陷入局部最优，其具体更新过程可以表示如下：

$ \begin{split} \boldsymbol{V}_i(t+1)= & \omega \boldsymbol{V}_i(t)+c_1 \gamma_1\left({\bf{pBest}}_i(t)-{{\boldsymbol{X}}}_i(t)\right)+ \\& c_2 \gamma_2\left({\bf{gBest}}_i(t)-{{\boldsymbol{X}}}_i(t)\right) ,\end{split} $

$ \boldsymbol{X}_i(t+1)=\boldsymbol{X}_i(t)+\boldsymbol{V}_i(t+1) . $

式中：Xi(t)为位置向量，$ {{\boldsymbol{X}}_i}(t) = \left[{x_{i1}}(t),{x_{i2}}(t), \cdots ,{x_{id}}(t)\right] $，Vi(t)为速度向量，$ {{\boldsymbol{V}}_i}(t) = \left[{v_{i1}}(t),{v_{i2}}(t), \cdots ,{v_{id}}(t)\right], $Xi(t)和Vi(t)分别表示粒子$ i $第$ t $时刻的位置和速度，$ {{\boldsymbol{X}}_i}(t+1) $和$ {{\boldsymbol{V}}_i}(t+1) $分别为更新后的位置和速度；$ {\bf{pBes}}{{\text{t}}_i}(t)$和$ {\bf{gBes}}{{\text{t}}_i}(t)$分别表示粒子$ i $在$ t $时刻的历史最优位置和全局最优位置；$ \omega $为惯性权重因子；$ {c_1} $和$ {c_2} $为大于零的加速因子；$ {\gamma _1},{\gamma _2} \in \left[ {0,1.0} \right] $.

相比于PSO算法，MOPSO在粒子速度更新时加入了越界处理和一个收缩因子，此外，还引入了对外部存档的构造和维护，根据支配关系存放每轮的非劣解，淘汰劣解. 为了直观展示，两者的流程图如图2所示. 现有的MOPSO算法在处理实际复杂MOPs时，选择压力的减小会误导gBest和pBest的选择，从而降低算法可行性. 因此，如何平衡非支配解的收敛性和多样性是MOPSO算法亟须解决的关键. 研究者们从收敛性的提高、多样性的保持、gBest和pBest的选择、搜索策略多样化、拓扑结构等多方面综合考虑，在提供更完整信息的基础上尽可能地接近PF.

图 2

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图 2   粒子群和多目标粒子群优化流程图

Fig.2   Flowcharts of particle swarm optimization and multi-objective particle swarm optimization


Xu等[22]通过定义收敛性指标，从理论角度对MOPSO的收敛性进行了分析和证明. 此外，Houssein等[23]对粒子的稳定性、漫游行为以及运动模式等多个特性进行了讨论分析. 根据其特征，MOPSO可以分为3大类：基于Pareto支配的MOPSO、基于分解的MOPSO和基于指标的MOPSO，如图3所示.

图 3

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图 3   多目标粒子群优化分类示意图

Fig.3   Illustration of multi-objective particle swarm optimization classification


2.1. 基于Pareto支配的MOPSO

与MOEAs类似，大多数MOPSO算法都采用基于Pareto支配的思想，通过Pareto支配关系选择领导粒子. 基于Pareto支配的方法通常作为一种基础策略，将其与其他策略相结合可以应用于各类优化问题的求解，包括高维问题和多模态问题.

2.1.1. 基于Pareto支配的传统问题求解

De Carvalho等[24]将多目标控制技术CDAS与PSO相结合，所提出的MOPSO-CDAS优化了非支配档案的更新，有助于解集收敛性和多样性的提高. Zapotecas等[25]将Pareto支配和分解方法集成在求解机制中，提出新的集成PSO算法. 为了进一步提高收敛速度，随后Al Moubayed等[26]又提出新的领导粒子选择和外部存档维护机制，所提出的D2MOPSO算法引入了目标空间和解空间的拥挤距离概念，且不需要遗传算子即可快速收敛.

MOPSO很大程度上依赖于优秀粒子的存储. 通常情况下，外部存档的更新都是在一个固定大小的范围内新增或剔除粒子. 纪昌明等[27]推翻了链表式存档的概念，引入了以树形结构为基础的无界存档机制，并将Pareto支配原则作为粒子能否进入外部存档的衡量标准. 将该机制与PSO结合得到MOPSO/TUA算法，使得存档的更新更加高效. Zhang等[28]提出的基于竞争机制的CMOPSO算法不需要任何额外的存储机制，该算法通过支配关系选出精英粒子，再通过精英粒子间的角度竞争确定获胜粒子，以此更新粒子的速度和位置.

2.1.2. 基于Pareto支配的高维问题求解

传统的优化算法由于受到了维数诅咒，在高维问题上表现不佳. 这是由于随着目标空间维度的增加，Pareto支配的优势大大减弱，优化效果不显著. 为了克服这一难题，一方面，Lin等[29]为了增强粒子的选择压力，提出结合粒子收敛性和多样性信息的NMPSO算法，该算法引入平衡适应度估计方法作为多样性保持机制，并利用新的速度更新方程和模拟二进制交叉（simulated binary crossover, SBX）显著提升算法性能. 另一方面，根据维度变化，自适应调整支配条件有助于缓和MOPSO过早收敛的不足，于伟伟等[30]基于自适应模糊支配，改进了原有的MOPSO，用于求解复杂的MaOPs. 同样基于模糊支配的原则，谭阳等[31]从PF的超平面结构考虑，提出了超球形支配域的概念，使得所提出的HFPSO算法在高维空间获得的PS仍保持相对均匀的分布.

2.1.3. 基于Pareto支配的多模态问题求解

当决策空间内存在多个等效的Pareto解集的子集或多个等效的PS和局部PS对应于目标空间中相同的PF，这类复杂问题定义为多模态多目标优化问题[32]（multimodal multi-objective optimization problems, MMOPs）. 研究者们将基于Pareto支配的方法和其他方法相结合，用于MMOPs的求解. Qu等[33]将非支配排序和拥挤距离相结合以保持决策空间和目标空间解集的多样性，提出了基于自组织形态的MOPSO优化算法SS-MOPSO，该算法利用自组织和物种形成策略在快速生成多个小生境[34-35]的同时避免子种群间的交叉，并采用并行方式搜索PS，有效解决MMOPs，生成均匀分布的非支配解.

综上所述，基于Pareto支配的MOPSO在大部分情况下能够在保证种群多样性的前提下维持收敛性，但基于Pareto支配的原则使得MOPSO在遇到更为复杂的MOPs时，仍面临选择压力小之类的诸多挑战，有待进一步研究.

2.2. 基于分解的MOPSO

受MOEA/D启发，基于分解的方法将MOPs分解为多个子问题，并分别用优化算法求解. Zapotecas Martinez等[36]将分解思想融合入MOPSO，所提出的dMOPSO通过重新初始化策略保持种群的多样性，但由于其缺乏存档机制，无法解决复杂的MOPs. 为了维护外部存档从而提高种群多样性，Zhan等[37]引入协同进化技术并提出新的多目标多种群CMPSO，该算法采用精英学习策略用来更新外部存档以提高多样性，避免陷入局部最优，为了提高收敛速度，CMPSO利用共享存档中的精英信息更新粒子速度. 基于分解的思想根据作用对象的不同，可以分为对目标空间的分解、对种群的分解、对问题的分解和网格分解.

2.2.1. 分解目标空间

基于分解的思想可以将目标空间分解为若干子区域求解以保持解的多样性. Dai等[38]提出的MPSO/D算法采用拥挤距离计算适应度以提高收敛性. 为了更好地向具有不同形状的PF收敛，黄佩秋等[39]提出基于分区的分解策略求得均匀分布的解集. 韩红桂等[40]通过自适应分解方法，并对粒子的飞行参数进行调整，在保证多样性的前提下提高了粒子的收敛能力.

2.2.2. 分解种群

基于分解的方法同样可应用于种群的分解，将种群划分为多个子群. Chen等[41]提出基于M2M分解框架的MOPSO优化算法MOPSO-M2M，该算法通过被分解的子种群同时搜索相应的子区域，快速逼近整个PF，此外，MOPSO-M2M采用切比雪夫方法确定pBest，不需要额外的聚类和小生境技术. 当问题复杂化时，Luo等[42]通过建立和更新子种群的概率模型提高算法性能. Yao等[43]提出协同进化多群多目标优化算法ECMSMOO，每个子种群对单个目标进行优化，并引入内分泌激励机制，保证粒子在目标空间的均匀分布. 此外，Yang等[44]提出具有非支配相对拥挤距离的MOPSO优化算法MOPSO-NRCD，将种群动态划分为主群和多个子种群，并通过非支配关系比较和拥挤距离归一化选择最优解. 针对MaOPs，张庆科等[45]以问题维度为划分依据，随机对种群进行维度划分进行降维，子种群之间相互学习，该RVPLO算法在求解单峰、多峰函数时的优势显著. 类似地，聚类策略同样可应用于子种群的分解，Zhang等[46]采用基于决策空间欧氏距离进行种群划分的聚类策略来提高算法性能. 分解方法在重视多样性的同时也要致力于收敛性的维护，刘彬等[47]在分解得到的4个子种群之间实现了速度信息共享，在提高粒子全局搜索能力的同时尽可能向PF收敛.

2.2.3. 分解问题

在处理复杂PSO问题时，为了降低问题的复杂度，分解方法还可以将要求解的MOPs分解为多个子问题. 自适应的分解方法在MOEAAWA[48]中被提出，动态调整每个子问题的权值，在节省计算最优子问题时间的同时保证粒子的多样性. Lin等[49]提出的MMOPSO算法为每个分解得到的聚合问题分配相应的粒子，并引入多样化的搜索策略对粒子的速度进行更新. Zhu等[50]提出新颖的外部存档引导的AgMOPSO算法，对每个分解得到的子问题分配相应的粒子进行优化，其领导者都是从外部存档中选择的. 杨景明等[51]通过分解MOPs保证多样性，结合非支配排序增强收敛性，引入动态变异机制避免局部最优，从而得到与真实PF尽量吻合的最终种群.

2.2.4. 网格分解

基于网格的分解方法本质上也属于对目标空间的分解，但考虑到网格机制的广泛应用，将其作为单独的部分进行介绍.

Knowles等[52]首先将网格机制引入多目标优化中，从而确保外部存档中非劣解的多样性. 对网格坐标的映射能够将粒子的多样性可视化，以图4(a)为例，尝试在不同网格中选择粒子，可以观察到$ {p_2} $和$ {p_3} $不能被同时选择. 网格机制还可以通过网格的支配性来衡量粒子的收敛能力，基于这些优点，许多基于网格分解的MOPSO算法应运而生. 李笠等[53]引入网格距离的概念，兼顾了粒子的收敛性和多样性从而实现粒子间的网格排序，在增强粒子选择压力的同时提高了排序效率. 该团队还在网格的基础上提出融合粒子密度信息的全新的MOPSO/GMR算法[54-55]，该方法不仅考虑了种群的多样性，还通过粒子的位置信息来协助pBest和gBest的选择. 为了避免局部最优，提高算法的鲁棒性，Leng等[56]提出基于网格距离的GDMOPSO算法. 这些算法只在低维MOPs上表现良好，对高维空间上的优化问题帮助不大.

图 4

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图 4   基于增强网格机制的映射示意图

Fig.4   Illustration of mapping based on enhanced grid mechanism


面对复杂MOPs，Zou等[57]结合网格机制和多策略机制并提出GTMSMOPSO算法，该算法同时采用基于收敛性和多样性的评价策略，用来维护外部存档，选择高质量的解. 为了使得粒子初始化时具备良好的分布，吴耀威等[58]提出基于网格密度的GDHMOPSO算法，同时通过选择每个网格中的最优粒子来避免算法陷入局部最优. Ye等[59]改进了传统的网格机制，引入分层聚类思想并通过增强的网格排名对粒子的收敛性和多样性进行更全面的评价，提出全新的EGCCMOPSO算法. 如图4(b)所示，GDR和GD的比值以及EGD决定了粒子$ {p_1}、 {p_4} 、{p_6} $和$ {p_7} $能够在均匀分布的前提下更快地收敛到PF. 在EGCCMOPSO中，网格数量随种群规模和维度动态变化. 种群规模越大，网格规模越小，种群多样性越显著.

基于网格分解的方法同样适用于MMOPs的求解，Li等[60]采用网格搜索决策空间中的高质量解，提出的GSMPSO-MM算法中的网格机制对维持决策空间中PS的多样性和目标空间中PS的收敛性意义重大.

网格机制的引入通过将每个粒子划分到不同的网格内，再从每个网格内选取最优粒子，便于多样性的维护. 如何动态划分网格，并在保证粒子均匀分布的前提下快速收敛是亟待改进的内容.

综上所述，基于分解的MOPSO侧重于维持种群的多样性而欠缺对种群收敛性的引导. 因此，如何将分解思想与其他技术相融合得到一组折中解，这对MOPs的求解至关重要.

2.3. 基于指标的MOPSO

除了基于Pareto支配和基于分解的方法，研究者们还通过评价指标的引入增加选择压力，常见的评价指标有超体积指标[61]（hypervolume, HV）和R2指标[62]等.

2.3.1. HV指标

在HV中，只需要一个参考点来评估收敛性和分布性的质量. 值得注意的是，HV评估的准确性依赖于参考点的选择，选择不同的参考点将会导致不同的HV和HV贡献值. HV是一个综合指标，其计算公式如下：

$ {\text{HV}}(P',z) ={\mathrm{ vol}}\;\left({\bigcup}_{i = 1}^{\left| {P'} \right|} \;{{h_i}} \right). $

式中：$P'$和$z$分别表示优化后获得的真实解集和一组参考点，${h_i}$为由若干非支配解和$z$对角形成的超立方体，HV计算的时间复杂度为$O({\left| {P'} \right|^{m - 1}})$.

采用HV指标求解MOPs的瓶颈在于难以衡量不同解的HV贡献，如图5所示为HV指标的定义以及HV贡献的示意图. 其中，集合$\left\{ {{p_1},{p_2},{p_3}} \right\}$的HV指标为ABCDIEGF所围成的阴影部分面积，粒子${p_2}$的HV贡献为GHIE所围成矩形的面积. García等[63]为MOPSO开发了基于HV指标的领导粒子选择策略，其中使用了基于存档粒子的HV贡献来指导领导粒子的选择. Liang等[64]构建了结合分解思想和HV的优化算法MPSO/DN，在每个分解得到的子区域中依次选择HV贡献最大的解.

图 5

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图 5   HV指标和HV贡献示意图

Fig.5   Illustration of HV indicator and HV contribution


2.3.2. R2指标

这是新的质量评价指标. 假设一个标准的加权切比雪夫函数有一个特定的参考点$ {{\boldsymbol{z}}^*} $，R2指标可用于评估单个集合$ {{A}} $相对于$ {{\boldsymbol{z}}^*} $的质量：

$ \mathrm{R} 2\left({A}, \boldsymbol{W}, z^*\right) = \frac{1}{|\boldsymbol{W}|} \sum_{w_i \in \boldsymbol{W}} \min \left\{{\mathop {\max }\limits_{i = 1,2, \cdots ,m} } \left\{w_i\left( \underset{x \in {A}}{f_i(x)-z^*} \right)\right\} \right\}. $

式中：$ {\boldsymbol{W}} $为一组权重向量，在$m$目标空间中均匀分布，$ \dfrac{1}{{\left| {\boldsymbol{W}} \right|}} $为分布在$ {\boldsymbol{W}} $上的概率,wi为W中的元素.

R2指标贡献是HV贡献近似方法，用于评估$ {{A}} $中某个解的质量，定义如下：

$ C_{\mathrm{R} 2}\left(\boldsymbol{X}, {A}, \boldsymbol{W}, z^*\right)=\mathrm{R} 2\left({A}, \boldsymbol{W}, z^*\right)- \mathrm{R} 2\left({A} \backslash\{\boldsymbol{X}\}, \boldsymbol{W}, z^*\right) . $

基于R2指标，Li等[65]提出选择最优粒子的R2-MOPSO算法. 考虑到MOPSO算法在处理复杂的MOPs时容易陷入局部最优，导致分布不均匀，为此，文献[66]中提出的R2HMOPSO混合优化算法通过利用Sigmoid函数映射方法调整惯性权值和学习因子，还设计了SBX算子对粒子进行重新初始化.

基于R2指标的MOPSO在求解简单MOPs时具有较好的收敛性和多样性，但在高维目标空间内仍有一定缺陷. 当目标函数的数目大于3时，为了提高开发能力，Li等[67]设计了基于增强选择的MOPSO优化算法ESMOPSO，采用目标函数加权自适应更新全局最优粒子，并将R2指标引入到成果分级函数中，对归档中的粒子进行分层，促进了归档的更新. 针对MaOPs的挑战，Liu等[68]将R2指标和基于分解的归档剪枝策略融入PSO优化算法中，同时，在新提出的算法R2-MaPSO中嵌入了精英学习策略和智能高斯学习策略，采用了新的速度更新方法. 李飞等[69]也提出基于R2指标和目标空间分解的R2-MOPSO-II优化算法，设计了双层存档机制，并采用了新的向导选择策略来连接目标空间和决策变量空间. Gu等[70]在R2基础上融入自适应策略，在收敛性和多样性之间达到了平衡.

2.3.3. 其他指标

基于指标的求解方法同样适用于MaOPs. Sun等[71]提出基于质量指标的改进S-MOPSO算法，根据参考点动态决定gBest和pBest，通过解分层技术更新粒子，有效求解MaOPs. S-MOPSO的成功主要归因于将MaOPs转换为2个或3个基于指标的目标，从而增加了粒子的选择压力. Wu等[72]根据构建的虚拟Pareto前沿（virtual Pareto front, vPF）提出MaOPSO/vPF算法，采用新的指标来评价外部档案中解的综合质量，提高近似PF的收敛性和多样性. Luo等[73]提出基于单目标指标和方向向量的IDMOPSO优化算法，基于epsilon指标和Pareto支配选择pBest，以增强局部探索能力，有助于MaOPs的求解.

相比于基于Pareto支配的方法，基于指标的方法能够有效增强粒子的选择压力，选择高质量的后代，但涉及到的公式较复杂，相关权重的自适应能力有待进一步增强.

3. 评价指标与性能分析

3.1. 评价指标

为了对MOPSO的算法性能进行定量评估，研究者们通常采用逆世代距离（inverted generational distance, IGD）[74]和HV这2个常用的性能指标.

参考测试函数的约束Pareto前沿(constrained Pareto front, CPF)，根据每个解到CPF上距离最近点的平均欧氏距离计算得到IGD，表达式如下：

$ \operatorname{IGD}\left({P}, {P}^{\prime}\right)=\frac{1}{{\left| P \right|}}{\sqrt{\displaystyle{\sum}_{i=1}^{|{P}|} d_i}}. $

式中：$ {{P}} $为均匀分布在PF上的理想解集，${{{d}}_i}$为${{{P}}_i}$与其最近的${{{P}}_i}'$之间的欧氏距离. IGD能够同时评估算法的收敛性和多样性，且PF上的采样点越多，分布越均匀，结果越准确可靠.

实际情况下，大多数PF是不可知的，因此，HV指标被广泛用于针对此类CMOPs的评估. HV的计算参考式(4)，其不需要CPF进行辅助，只需要一个参考点，从收敛性和分布性的角度来评价解集的质量.

由此可见，IGD和HV都是综合性的评价指标. IGD越小，HV越大，粒子的多样性和收敛性越好.

3.2. MOPSO性能分析

为了综合评估MOPSO求解MOPs的优越性，从基于Pareto支配、基于分解和基于指标的MOPSO中各选取2个最具代表性的算法和传统MOPSO进行比较，共7个算法，它们分别为MOPSO、NMPSO、CMOPSO、dMOPSO、EGCCMOPSO、ESMOPSO和R2HMOPSO. 本研究选择3类被广泛应用的基准问题验证MOPSO的通用性，包括：ZDT1~4、ZDT6、DTLZ1、DTLZ2、DTLZ4、DTLZ6、UF2~5和UF8~10共16个测试问题，这些测试问题如表1所示. 这些测试问题具备多种形状的PF，有助于测试MOPSO在不同复杂环境下的性能.

表 1   ZDT、DTLZ和UF测试问题的特征

Tab.1  Characteristics of ZDT, DTLZ and UF test problems

问题mnkPF形状
ZDT1230—convex
ZDT2230—concave
ZDT3230—disconnected
ZDT4210—convex
ZDT6210—concave
DTLZ13m−1+k5linear
DTLZ23m−1+k10concave
DTLZ43m−1+k10concave
DTLZ63m−1+k10concave
UF2230—convex
UF3230—convex
UF4230—concave
UF5230—disconnected
UF8330—concave
UF9330—linear
UF10330—concave

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为了保证实验的公平性，这3类基准问题的参数设置都采用了默认值，其中DTLZ基准问题的决策变量维度（n）随着目标数目（m）和位置参数（k）的改变而动态变化. 同时，为了保证运行环境的一致性，所有比较算法在Intel酷睿i9-10900 K、CPU 3.70 GHz、RAM 64.00 GB的PC机上运行，实验平台为MATLAB R2021a. 一系列的对比实验在PlatEMO4.1上进行.

如表2所示为7个MOPSO在ZDT、DTLZ和UF基准上独立运行30次的IGD结果. 表中，括号中数据为标准差，算法之间的显著性差异通过0.05水平下的Wilcoxon检验实现，粗体表示在某个测试问题上表示最优的算法IGD. 可以看出，首先，3种基于MOPSO的改进算法在各个测试问题上的表现都优于传统MOPSO. 其中，基于指标的ESMOPSO在12个测试问题上表现最优，分别为ZDT1、ZDT2、ZDT4、DTLZ1、DTLZ2、UF2~4、UF5和UF8~10. 这是由于ESMOPSO引入了R2指标来增加选择压力，并设计了高斯变异从而避免粒子陷入局部最优. 而基于Pareto支配的NMPSO和CMOPSO算法在7个算法中表现最差，特别是在DTLZ1问题上的IGD表现不尽人意，这可能是支配关系主导的粒子选择压力较小引起的. 其次，基于分解的dMOPSO和EGCCMOPSO分别在ZDT6、ZDT3和DTLZ6上获得了最佳IGD，但dMOPSO在DTLZ1上的表现较差，这可能是由于其每隔一段时间就重新初始化粒子，从而导致一些最优解的丢失. 嵌入网格策略的EGCCMOPSO算法在具有不连续PF的ZDT3和凹PF的DTLZ6上表现最佳，由此可见网格机制在具有不同PF的测试问题上的通用性和有效性，但其侧重于多样性的维持，导致其略差于基于指标的算法.

表 2   7个MOPSO算法在3类基准问题上的IGD

Tab.2  IGD of seven MOPSO algorithms on three benchmark problems

问题传统基于Pareto支配基于分解基于指标
MOPSONMPSOCMOPSOdMOPSOEGCCMOPSOESMOPSOR2HMOPSO
ZDT11.64×100
(9.58×10−2)		3.16×10−2
(9.92×10−3)		4.11×10−3
(7.60×10−5)		3.90×10−3
(3.84×10−5)		3.91×10−3
(4.89×10−5)		3.86×10−3
(6.05×10−7)		3.90×10−3
(6.21×10−5)
ZDT23.15×100
(1.57×10−1)		6.25×10−2
(1.32×10−1)		4.08×10−3
(7.02×10−5)		6.44×10−2
(1.85×10−1)		3.88×10−3
(3.86×10−5)		3.80×10−3
(9.45×10−7)		3.83×10−3
(4.20×10−5)
ZDT31.19×100
(8.60×10−2)		9.79×10−2
(7.02×10−3)		4.66×10−3
(6.74×10−5)		1.06×10−2
(7.10×10−4)		4.57×10−3
(4.83×10−5)		9.99×10−3
(3.59×10−4)		6.12×10−2
(1.58×10−1)
ZDT41.02×101
(4.52×100)		1.37×10−2
(2.71×10−1)		3.84×10−3
(2.96×10−5)		5.97×100
(4.48×100)		3.87×10−3
(3.87×10−5)		3.77×10−3
(6.15×10−6)		4.52×10−3
(3.73×10−3)
ZDT65.38×100
(5.10×10−1)		2.21×10−3
(1.60×10−4)		3.74×10−3
(1.39×10−4)		1.88×10−3
(8.55×10−6)		3.07×10−3
(1.75×10−5)		1.90×10−3
(7.21×10−7)		1.89×10−3
(4.33×10−5)
DTLZ11.55×100
(1.02×100)		4.25×101
(6.56×100)		3.25×100
(4.50×100)		1.53×101
(1.18×101)		2.47×100
(3.46×100)		1.28×10−2
(7.85×10−6)		1.99×10−2
(2.08×10−3)
DTLZ21.57×10−1
(3.83×10−2)		7.68×10−2
(2.69×10−3)		6.71×10−2
(1.94×10−3)		4.72×10−2
(1.49×10−3)		5.48×10−2
(5.68×10−4)		3.56×10−2
(1.67×10−4)		4.37×10−2
(1.20×10−3)
DTLZ43.61×10−1
(2.70×10−1)		1.07×10−1
(1.18×10−1)		1.29×10−1
(2.22×10−1)		1.18×10−1
(7.63×10−2)		5.63×10−2
(8.29×10−4)		4.68×10−2
(9.35×10−4)		5.20×10−2
(2.01×10−3)
DTLZ69.21×100
(6.60×10−2)		7.57×10−2
(3.11×10−3)		5.31×10−1
(2.52×10−4)		1.27×10−1
(6.73×10−3)		4.18×10−3
(4.54×10−5)		7.85×10−2
(3.16×10−3)		7.04×10−2
(8.44×10−3)
UF21.26×10−1
(1.41×10−2)		8.19×10−2
(7.06×10−3)		6.38×10−2
(4.76×10−3)		4.73×10−2
(8.12×10−3)		5.83×10−2
(7.68×10−3)		1.54×10−2
(2.55×10−3)		1.84×10−2
(7.15×10−3)
UF34.89×10−1
(2.35×10−2)		3.64×10−1
(5.59×10−2)		3.97×10−1
(2.56×10−2)		5.01×10−1
(2.56×10−1)		3.45×10−1
(7.31×10−2)		2.59×10−1
(7.62×10−2)		6.20×10−1
(1.77×10−1)
UF41.73×10−1
(6.65×10−3)		6.39×10−2
(8.78×10−3)		1.09×10−1
(1.12×10−2)		9.21×10−2
(4.96×10−3)		7.97×10−2
(5.31×10−3)		3.28×10−2
(2.90×10−3)		3.76×10−2
(2.64×10−3)
UF52.43×100
(3.40×10−1)		1.69×100
(4.19×10−1)		8.45×10−1
(1.75×10−1)		7.01×10−1
(1.73×10−1)		8.27×10−1
(3.27×10−1)		1.62×10−1
(7.93×10−3)		1.75×10−1
(2.73×10−2)
UF84.65×10−1
(3.84×10−2)		4.48×10−1
(1.18×10−1)		5.54×10−1
(1.05×10−1)		1.97×10−1
(3.14×10−2)		2.68×10−1
(3.84×10−3)		1.81×10−1
(6.89×10−2)		4.14×10−1
(5.22×10−2)
UF96.12×10−1
(4.81×10−2)		4.70×10−1
(6.12×10−2)		8.45×10−1
(1.14×10−1)		1.14×10−1
(2.88×10−2)		4.52×10−1
(2.49×10−2)		6.29×10−2
(5.04×10−3)		2.36×10−1
(5.91×10−2)
UF101.32×100
(1.94×10−1)		1.50×100
(3.41×100)		4.51×100
(4.79×10−1)		1.01×100
(1.74×10−1)		3.30×10−1
(2.03×10−2)		2.26×10−1
(1.06×10−1)		2.38×10−1
(5.69×10−2)

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为了衡量传统MOPSO和3种改进的MOPSO算法的运行速度，如图6所示，绘制了表2中所有算法在选取的8个测试问题上迭代1000次，且单独运行30次的平均运行时间t. 图中，算法1~7分别表示MOPSO、NMPSO、 CMOPSO、dMOPSO、 EGCCMOPSO、ESMOPSO、 R2HMOPSO. 可以看出，原始MOPSO和基于Pareto支配的CMOPSO的算法复杂度相对较低. 基于Pareto支配的NMPSO和基于分解的dMOPSO在ZDT1、ZDT2、DTLZ1和DTLZ2上的运行时间最久，其中NMPSO的表现最差，这可能是其采用的平衡适应度评估方法复杂性较高导致的. 定义目标数目和种群数目为M和N，基于分解的EGCCMOPSO计算网格排序的时间为O(MN 2)，还用到了环境选择的截断操作，其计算时间为O(N 3)，EGCCMOPSO的计算复杂度在两者间取最大值. 因此，EGCCMOPSO在UF2~5上的运行时间略大于同样基于分解的dMOPSO. ESMOPSO采用的R2指标排序的复杂度为O(N 2×lg N). 在分解策略和重新初始化策略的基础上，R2HMOPSO还增加了支配排序和R2贡献值计算，取最大的计算复杂度为O(N 2).

图 6

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图 6   多目标粒子群优化算法的平均运行时间

Fig.6   Average runtimes of multi-objective particle swarm optimization algorithms


4. 应用与展望

MOPSO可以用于解决一些NP问题. 近年来，MOPSO算法已广泛应用于各大领域，常见的应用领域如图7所示. 由此可见，许多实际工程性问题都属于MOPs，MOPSO凭借其收敛速度快、通用性强的优势来解决现实生活中的复杂MOPs难题已成为一大时代热点.

图 7

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图 7   多目标粒子群优化的应用领域展示图

Fig.7   Illustration of application domain of multi-objective particle swarm optimization


4.1. 生产调度

生产调度是以生产计划为依据，将生产计划变成最终产品所做的一系列工作. 在生产过程中容易发生一些突发事故，如：设备突发性故障、在制品返修和网络波动导致测试产品功能时间大量延长. 为了解决这些问题，MOPSO被成功引入，可以根据现场的实际情况进行实时调度，确保快速恢复生产，不耽误生产进度. 通过改进邻域调度生成方法，Kawaguchi等[75]提出了并行反应混合PSO优化算法IPRHPSO，可以在同时考虑最小化生产时间的基础上，最小化工厂二次能源成本.

置换流水车间调度问题（permutation flow shop scheduling problem, PFSP）是当今热门的生产调度问题之一. PFSP的本质是调度一组机器采用相同的顺序处理多个作业的生产计划. 随着作业数量和机器数量的增加，找到调度问题的最优解决方案的难度也在增加. 针对此类NP问题，研究者们提出了多种基于MOPSO的求解方法. 基于原始的ATPPSO和蜂窝PSO算法的邻域概念，Seck-Tuoh-Mora等[76]提出自适应局部搜索策略CAPSO-SALS，通过每个解的邻域增强本地搜索能力. Kaya等[77]将混沌混合萤火虫算法和MOPSO相结合，改进了局部搜索策略，以最大化完工时间最小化作为目标函数用于流水车间环境下的调度问题求解. 此外，改进的混合粒子群算法SHPSO[78]同样可以用于求解PFSP，其通过实施粒子停滞判断方法避免陷入局部最优，并将Q学习融入参数自适应更新策略中，有效提升求解质量.

4.2. 电力调度

国家电力系统同样可以从多目标优化中受益，降低运营成本，提高服务可靠性. Long等[79]通过对量子PSO的改进，使其在保证计算速度的前提下，能够较好地完成电网规划任务.

除了电网规划外，电力线路巡检、电力消耗预测和配电网络优化等同样可视为MOPs. 改进的粒子群优化组合算法IPSO[80]采用多元线性回归法、BP神经网络法和灰色系统理论法得到的检测结果进行优化组合，有效提高电力线路巡检的精度，提高输电线路的安全性，减少了故障的发生. 在季节性指数平滑模型的基础上，Deng等[81]通过PSO找到一组近乎最优的平滑参数，这对电力消耗预测意义重大. 此外，针对配电系统中的网络重构问题，Kahouli等[82]采用MOPSO来优化配电网拓扑结构，结果表明MOPSO的引入能够有效提高可靠性，降低功率损耗和计算时间.

4.3. 图像处理

边缘检测作为一项基本的图像分析任务，存在边缘断开、无法检测分支边缘的特殊情况. 针对这些复杂的边缘检测任务，Dumitru等[83]将迁移学习和MOPSO结合用于边缘检测. 批量优化可以有效提高边缘检测质量，可广泛应用于医学图像处理中的结构识别.

图像处理中的轮廓分割易受背景复杂程度、图像轮廓和初始位置等的影响. 最新的粒子群轮廓搜索算法PSCS[84]可以有效解决这一难题，首先在图像上应用平滑滤镜以消除高强度噪声，其次通过该算法找到物体边界周围的主导点，采用其生成的点计算物体的中心位置和半径，初始化轮廓. MOPSO的引入使得PSCS的初始化更加快速，在复杂背景的环境下，可以成功分割图像中的期望对象.

4.4. 水资源优化调度

在水环境研究中主要以水质和运行费用为调度目标，在应急调度研究中，主要以水动力指标为评估闸坝调度效果的主要优化目标. 井向阳等[85]以闸坝系统的供水保证率最大和下泄水量最少为优化目标，构建岷江中游梯级闸坝联合调度2目标优化模型，并使用MOPSO算法求解，其结果同样显示了智能优化算法良好的收敛稳定性. 但是目前调度优化研究还存在诸多局限性.

1）目前研究仍然难以在调度过程中实现多个目标同时优化.

2）对于复杂的具有不同路线和不同数量的闸坝，快速实现应急调度目标存在一定难度，因此，如何在选择最优方案的同时提高方案鲁棒性仍需进一步研究.

3）目前调度方案并非理论上的最优解，因为目前实际使用的调度方案主要面向固定场景，而随水位变化动态调整闸坝调度方案的研究仍然较少.

4.5. 当前局限性及未来发展方向

综上所述，虽然现有的MOPSO可以有效解决现实生活中需要保证多个目标相对最优的优化问题，但对复杂实际问题的研究分析较少，对其进行求解仍然存在一定挑战.

1）实际问题通常具有较多约束条件，且各约束条件之间相互关联，约束景观较复杂，如复杂的分布式车间调度问题. 因此，将MOPSO应用于求解具有复杂约束条件的MOPs是今后的一大重点研究方向.

2）随着目标数目急剧增加，粒子的选择压力也急剧下降. 为了有效解决高维的或大规模的任务分配问题，MOPSO对MaOPs的求解有待加强.

3）在复杂的生产调度过程中，由于新任务的不断加入，当前调度也会随之动态变化，这类MOPs的实际PF是不断变化的. 这种情况下，须更新现有的MOPSO以持续跟踪动态变化的最优解.

5. 结　论

综合近几年多目标算法的国内外发展近况，诸多新颖的MOPSO被提出. 本研究主要从基于Pareto支配、基于分解、基于指标的3类MOPSO为出发点，展开介绍了各类算法，并设计了一系列实验比较分析了7个有代表性的MOPSO算法性能. 由实验结果可见各类算法在不同程度上平衡了粒子的收敛性和多样性，并在诸多领域上得以应用. 但当实际问题复杂化，现有的算法就会出现选择压力过小、外部存档维护困难和算法性能较低等问题. 为了解决这些难题，研究者们未来的工作方向可以概括为以下4个方面：

（1）MOPSO的理论研究. 目前，MOPSO的数学理论研究还不够完善，对粒子收敛性、多样性、参数的选择与优化、算法复杂性的研究将为进一步发展提供理论保障.

（2）MOPSO的自适应. 一方面，不同搜索策略在不同优化过程中的表现不同，因此，针对不同环境为算法设计多样化的应对策略尤为重要，可以通过多模式机制提高算法的自适应性；另一方面，当环境复杂化，即涉及到高维目标优化、约束条件、动态多目标等环境，须提高算法自适应能力以面对复杂环境.

（3）MOPSO与其他算法的融合. MOPSO作为元启发式算法，可以与代理模型、神经网络和强化学习等先进算法相结合，提高算法的自适应性和扩展性.

（4）MOPSO的应用扩展. MOPSO可以应用于生活中涉及到多个目标同时进行优化的任何领域，如数据挖掘、生产调度和车辆紧急调度等，这对实际工程实践意义重大. 但实际问题通常是高维的、离散的，因此，为了更好地适应实际环境，算法仍须进一步改进.

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