行星探测表明太阳系大量小天体表面覆盖有深厚风化层，并分布有许多大小不等的类半椭球形撞击坑. 除地质效应因素外，撞击坑主要成因为斜撞击. 天体表面通过各种撞击事件不断进化，除单一大规模撞击事件外，还存在较小规模撞击事件，例如天体表面自发喷射物质后又重新低速回落斜撞击天体表面^[1-2]. 探究这种小规模撞击坑的形成能够详细地揭示天体表面的演变过程，也利于了解天体表面形成二次撞击的可能性^[3]. 探测器着陆以及执行小天体表面撞击试验均会形成撞击坑，量化低速斜撞击成坑规律，对揭示小天体表面演变机理，开展天体探测具有重要意义.

撞击坑成坑规律研究最初主要集中在高速撞击领域，其成坑过程及机理涉及材料的热力学相变与破碎^[4]，由于数值模拟十分困难，研究以试验居多. Schmidt^[5]基于爆炸与高速撞击在成坑过程中的相似性，将爆炸成坑规律与结论推广应用至高速撞击成坑，提出撞击成坑相似理论. Holsapple等^[6-8]在常重力和超重力(500g)条件下开展球体高速（2 km/s）撞击干砂靶成坑试验，验证了撞击成坑相似理论在高速撞击情况下的适用性. 之后，不少学者开展低速（10⁰~10² m/s）撞击验证试验. Yamamoto等^[9]对不同撞击速度(11~329 m/s)下球体撞击玻璃珠成坑瞬时过程及成坑尺寸进行试验研究，验证了低速撞击条件下Schmidt等^[8]提出的相似律的适用性.Tsujido等^[10]研究了撞击速度约为200 m/s的弹体密度对成坑尺寸的影响. De Vet等^[11]进行速度为0.6~4.4 m/s的撞击试验，验证了成坑尺寸的撞击能量依赖性. Takizawa等^[12]在砂土斜坡上进行速度为1~97 m/s撞击试验，提出综合考虑靶体倾角与撞击角度的相似律关系，并验证了该相似关系的适用性.

关于球体低速斜撞击水平颗粒材料成坑效应的研究较少，对成坑效应的分析多集中在成坑深度和成坑直径，对成坑体积和撞击角度的分析相对匮乏. 本研究通过系统开展不同撞击角度下球体低速斜撞击干砂靶成坑试验，进一步修正低速斜撞击水平靶体条件下考虑撞击角度的成坑相似律，探讨该相似律的适用性及其在天文学上的应用.

为了研究低速斜撞击条件下的成坑机理及规律，设计利用重力的球体发射装置，系统开展不同角度条件下球体撞击干砂靶成坑试验，并利用手持式三维激光扫描仪定量测量坑型几何参数.

如图1所示为可控制撞击角度的试验装置. 试验装置由发射系统、砂靶系统和测量系统组成，各装置材料的具体规格参数如表1所示. 发射系统由球体、PVC管、涤纶纤维、固定支架组成. PVC管固定于固定支架上，固定支架可自由调节以控制撞击角度，涤纶纤维置于PVC管内部，在PVC管底部0~3 cm范围进行特征标记. 控制PVC管位于砂靶中心上方约1 cm，通过高速相机后续观测可知，PVC管对成坑过程中砂土溅射物分布几乎无影响. 砂靶由长方体开口容器、福建标准砂组成，撞击点控制在容器中间区域，容器尺寸大于球体直径的5倍，以忽略在撞击过程中容器壁对试验结果的影响^[14]. 测量系统由角度仪、手持式三维激光扫描仪、高速相机组成，角度仪控制PVC管固定角度，手持式三维激光扫描仪测量坑型几何参数，高速相机记录撞击过程及速度，撞击速度过程记录如图2所示. 时刻${t_0}$，球体中心距PVC管口3 cm；时刻${t_1}$，球体中心到达PVC管口底部；时刻${t_2}$，球体底部与砂靶平面接触. 计算球体速度时，通过高速相机观测可知，球体几乎无转动. 近似认为在时间段${t_0}\sim {t_1}$，球体做匀加速直线运动；在时间段${t_1}\sim {t_2}$，球体做自由落体运动.

每次试验开始前，取39.07 kg砂土置于容器内，轻轻振动容器并将砂靶表面整平，控制砂土密实度为0.73. 随后利用角度仪调整PVC管至控制角度并固定于固定支架上，将涤纶纤维穿入管内，将球体沿通孔方向穿入涤纶纤维，限制球体沿速度方向的角速度，并从PVC管顶部释放，撞击砂靶成坑，全过程由高速相机记录. 试验结束后，使用手持式三维激光扫描仪扫描，得到坑型三维点云模型. 如表2所示为设计试验工况，共开展127组试验，获得有效试验数据107组. 表中，$\varphi $为撞击角度，L为PVC管长度，n为试验组数.

如图3所示为不同撞击角$\varphi $撞击水平砂靶表面侧视图像，其中，时间位于图左侧，以撞击时刻${t_2}$=0 ms，20 mm为图代表的真实尺寸. 在撞击速度基本相同条件下，随着$\varphi $的减小，撞击溅射物与水平面的夹角逐渐减小，分布于撞击速度${v_{\mathrm{i}}}$水平面投影方向的溅射物占比逐渐增大. 如图4所示为上述撞击形成的坑型颜色深度图，虚线代表坑型与水平砂靶表面的截面图，在${v_{\mathrm{i}}}$基本相同的情况下，随着$\varphi $的减小，沿速度投影方向开坑直径增加，成坑形状扁率增加. 如图5所示为$\varphi = {45^ \circ }$，${v_{\mathrm{i}}} = 3.85{\text{ m/s}}$条件下的等高线图，图中数值表示高度(初始水平面为0，竖直向上为正). 坑内坡度较陡，成坑形状近似为蛋形，溅射物分布近似为弯月形. 如图6所示，为了定量分析成坑形状，定义成坑参数如下. 图6（a）中，虚线代表原始地表水平面$(z = 0)$，坑长${D_{{\text{c}}x}}$、坑宽${D_{{\text{c}}y}}$分别代表成坑长轴、短轴；图6（b）中，坑深${H_{\text{c}}}$为最大坑深$\Delta {{{z}}_{\max }}$，坑体积${V_{\text{c}}}$为原始地表水平面下方空腔体积. 定义O-XYZ坐标系，点O为最大坑深处在砂靶平面上的投影点，XOY平面为砂靶平面，X轴正向为撞击速度在XOY平面上的投影方向，Z轴正向指向最大坑深.

如图7所示为垂直撞击下不同撞击速度的坑型截面图. 坑长、坑深随着撞击速度的增加而增加，坑型左右几乎对称，坡度几乎相等. 当撞击速度${v_{\mathrm{i}}} = $3.22 m/s时，坑深最低处略微突起，靶体材料的不均匀性可能是产生这种现象的主要原因.

如图8所示为不同$ \varphi $下，坑型参数随$ v_{{\mathrm{i}}} $的变化曲线. 随着$ v_{{\mathrm{i}}} $的增加，$ D_{\mathrm{c}x} $、$ D_{\mathrm{c}y}$、$ H_{\mathrm{c}}$、$ V_{\mathrm{c}} $总体均呈增加趋势，当${v_{\mathrm{i}}} \leqslant 3{\text{ m/s}}$或${v_{\mathrm{i}}} \geqslant 5{\text{ }}{\mathrm{m/s}}$时，增加较缓；当$ {v_{\mathrm{i}}} \in(3,5) {\text{ }}{\mathrm{m/s}}$时，增加较为迅速，且此趋势随着撞击角度$\varphi $的增加变缓，在垂直撞击时这种增加趋势最小.

如图9所示为不同$\varphi $下的XOZ平面的成坑剖面图. 在${v_{\mathrm{i}}}$基本相同情况下(${v_{\mathrm{i}}}$=3.84 m/s)，随着$\varphi $的减小，YOZ平面两侧不对称性增强，撞击坑沿速度投影正向被略微拉长，沿速度投影反向几乎不变，深度方向略微减小；沿速度投影正向隆起较大，且隆起最高点随$\varphi $的减小向远离坑中心方向移动，沿速度投影反向隆起均较小且几乎不随$\varphi $变化. 在$\varphi = {75^ \circ }$时，沿速度投影正向隆起高度出现最大值. 如图10所示为不同$ \varphi $下的YOZ平面成坑剖面图. XOZ平面两侧几乎对称，在$ v_{{\mathrm{i}}} $基本相同情况下(${v_{\mathrm{i}}}$=3.84 m/s)，随着$ \varphi $的减小，$ H_{{\mathrm{c}}} $也随之减小. 在$ \varphi=60^{\circ} $时出现坡度最小.

如图11所示为不同${v_{\mathrm{i}}}$下，坑型参数随$\varphi $的变化曲线. 在相同的${v_{\mathrm{i}}}$下，随着$\varphi $的增加，${D_{{\text{c}}x}}$、${V_{\text{c}}}$呈现出递减趋势；${D_{{\text{c}}y}}$先略微增加后减小，$\varphi \approx {55^ \circ }$附近出现最大值；${H_{\text{c}}}$先减小后略微增加，$\varphi \approx {75^ \circ }$附近出现最小值.

基于上述试验结果，将低速斜撞击成坑过程分为接触压缩、开坑及调整3个阶段. 如图12所示，虚线代表小球运动轨迹，深色球形代表小球所处位置. 土体表面产生隆起部分用区域1表示，溅射物回落到表面产生的堆积部分用区域2部分表示，成坑过程中产生的溅射物部分用区域3表示. 在接触压缩阶段，随着球体侵彻砂坑，只存在部分因球体侵彻产生的土体挤压隆起，此时并未产生溅射物；在开坑阶段，球体完全没入砂靶中，撞击动能在冲击过程中转换为砂靶颗粒的动能，产生溅射物，土体表面出现更大隆起；在调整阶段，冲击作用结束，此时砂坑开始卸载，土体表面略微回弹，溅射物回落到表面产生堆积，最终成坑形状由崩塌的坑壁及溅射物回落共同构成.

为了描述低速斜撞击条件下成坑过程中颗粒流场的运动特性，采用Maxwell^[15]提出的半经验Z模型. 如图13所示，假设在撞击发生后，靶体材料内瞬时形成一簇以撞击点为中心的流线，且处于不同流线上的材料颗粒相互不存在干扰，溅射颗粒速度与撞击点距离呈反比. 在正撞击时，颗粒流场中心发生竖向位移，颗粒流场以撞击点为中心表现出较好的各向同性，最终产生的溅射颗粒以撞击点为圆心均匀分布，坑型截面为圆形. 在斜撞击时，颗粒流场中心发生沿撞击速度投影方向的位移，最终产生的溅射颗粒在速度投影方向上呈弯月形分布，在速度投影反向上溅射颗粒较少，坑型截面近似为蛋形截面. 值得注意的是，Z模型假定靶体材料的溅射角与其初始位置无关，这与试验过程中高速相机的实际观测到的现象存在些许差异. 但基于最终坑型的观测结果，Z模型能够在一定程度上说明低速正撞击及斜撞击条件下成坑过程中颗粒流场的运动特性.

为了解撞击角度$\varphi $对成坑形状的影响，分析研究成坑形状的长宽比${\lambda _1} = {D_{{\text{c}x}}}/{D_{{\text{c}y}}}$、深宽比${\lambda _2} = {H_{\text{c}}}/{D_{{\text{c}y}}}$与$\varphi $的关系，当撞击动能变化相对较小时，假设这种关系与撞击尺度无关，即撞击坑的形态与能量$E$无关^[16]，$ {\lambda }_{1}、{\lambda }_{2} $仅取决于$\varphi $. 如图14所示为${\lambda _1}$、${\lambda _2}$随$\varphi $的变化曲线. 其中，${\lambda _1}$、${\lambda _2}$为试验数据均值，上下误差代表试验数据极值. 当${45^ \circ } \leqslant \varphi < {60^ \circ }$时，随着$\varphi $的增加，$ {\lambda }_{1}、{\lambda }_{2} $迅速降低；当${60^ \circ } \leqslant \varphi \leqslant {90^ \circ }$时，${\lambda _1}$趋于稳定，${\lambda _2}$略微增加，这一趋势与已有研究在定性上一致^[17-18].

分析撞击动能与成坑参数的关系，为了解成坑过程及机理，受初始试验条件控制，近似认为弹丸角度为0，因此弹丸撞击动能为

(1)$ E = \frac{1}{2}m{v_{\mathrm{i}}}^2. $

如图15所示为在不同$\varphi $下${D_{{\text{c}x}}}$、${V_{\text{c}}}$与$E$的关系，基于最小二乘法对指数函数$X = a{E^k}$($ X={D}_{\text{c}x}、 {V}_{\text{c}} $)进行拟合，其中虚线代表拟合曲线，文中拟合方法均与此相同，$k$为E的幂指数，数值如表3所示. 已有研究提供了在垂直撞击条件下的成坑直径与$E$的关系，Walsh等^[19]进行的钢球自由落体正撞击小玻璃珠试验得到$k$≈0.25；Nefzaoui等^[20]进行的水滴自由落体撞击小玻璃珠试验得到$k$≈0.18，与本研究的试验结果基本一致.${V_{\text{c}}}$与$E$的$k$≈0.48， Takizawa等^[12]进行的塑料弹丸撞击砂土斜坡试验得到${D_{{\mathrm{c}}x}}$与$E$的$k$≈0.19，${V_{\mathrm{c}}}$与$E$的$k$≈0.54. 由此可见，成坑尺寸随撞击能量的增加而增加.

为了进一步了解成坑过程以及考虑将试验室结果应用于天文学上的可能性，基于$\Pi $定理进行分析，假定不考虑靶内物质冲击变质、熔化和气化等一系列的化学反应变化，仅在纯力学情况下，成坑体积可以通过以下2个无量纲参数得到^[7]：

(2)$ {\pi _{\mathrm{V}}} = \frac{{{\rho _{\text{t}}}{V_{\text{c}}}}}{{{m_{\text{i}}}}} \text{，} $

(3)$ {\pi _2} = \frac{{g{D_{\text{i}}}}}{{{v_{\text{i}}}^2}} . $

式中：$\;{\rho _{\text{t}}}$为砂靶表面密度. 在本试验中，砂靶的有效强度可以忽略不计，由重力作用主导成坑过程. 当$\varphi = {90^ \circ }$时，${\pi _2}$、${\pi _{\mathrm{V}}}$的对应关系可以很好地运用到不同尺度的撞击过程中^[8]. 由图16(a)可知，${\pi _2}$与${\pi _{\mathrm{V}}}$之间存在明显的负相关关系，但这种负相关关系的离散性较大，而且撞击角度在无量纲参数中不被考虑. 为了得到统一相似律关系，考虑对无量纲数进行修正， Takizawa等^[12]与Chapman等^[21]分别考虑了撞击动量与能量的水平分量对成坑的贡献，提出如下修正：

(4)$ {\pi _2}^\prime = \frac{{g{D_{\mathrm{i}}}}}{{{v_{\mathrm{i}}}^2\sin \varphi }} \text{，} $

(5)$ {\pi _2}^{\prime \prime } = \frac{{g{D_{\mathrm{i}}}}}{{{{\left( {{v_{\mathrm{i}}}\sin \varphi } \right)}^2}}} . $

图16(b）、(c)分别为${\pi _2}^\prime $、${\pi _2}^{\prime \prime }$与${\pi _{\mathrm{V}}}$的关系，但这2种关系仍具有较大的离散性，这可能是由于Takizawa等^[12]主要侧重于考虑斜坡角度的影响. 考虑到撞击角度主要影响成坑形状，本研究对${\pi _{\mathrm{V}}}$提出如下修正：

(6)$ {\pi _{\mathrm{V}}}^\prime = \frac{{{\rho _{\mathrm{t}}}{V_{\mathrm{c}}}}}{{{m_{\mathrm{i}}}}}{\sin ^a}\varphi . $

式中：${\sin ^a}\varphi $为斜撞击导致成坑形状发生改变的系数，通过拟合确定$a$=1.47. 图16（d）为${\pi _2}$、${\pi _{\mathrm{V}}}^\prime $的关系，这种关系的离散性有较好的收敛. 拟合得到如下关系：

(7)$ {\pi _{\mathrm{V}}}^\prime = 0.04{\pi _2}^{ - 0.59} \text{，} $

(8)$ \frac{{{\rho _{\mathrm{t}}}{V_{\mathrm{c}}}}}{{{m_{\mathrm{i}}}}}{\sin ^{1.47}}\varphi = 0.04{\left[ {\frac{{g{D_{\mathrm{i}}}}}{{{v_{\mathrm{i}}}^2}}} \right]^{ - 0.59}} . $

在早期相似律的研究中，部分学者使用动量描述弹丸的撞击，部分学者采用动能描述弹丸撞击，所获得的相似律形式不一致. 为了获得形式统一的相似律形式，Housen等^[22]引入耦合参数，实现对动量与能量的综合考量. 定义耦合参数

(9)$ {C_{\mathrm{i}}} = {D_{\mathrm{i}}}{v_{\mathrm{i}}}^\mu {\rho _{\mathrm{i}}}^\upsilon . $

式中：$ \mu $、$ \upsilon $为特征指数；对于本试验中的球形弹丸，$ \upsilon = 1/3 $；一般来说，$ 1/3 \leqslant \mu \leqslant 2/3 $.$ {C_{\mathrm{i}}} $的物理意义由指数$ \mu $确定. 当$ \mu = 1/3 $时，$ {C_{\mathrm{i}}} $代表冲击动量；当$ \mu = 2/3 $时，$ {C_{\mathrm{i}}} $代表冲击动能. $ \mu $与$ {\pi _2} $的幂指数相关，具体为$ 0.59 = 3\mu /\left( {2+\mu } \right) $. 得到$ \mu = 0.49 $. 一般来说，$\mu $取决于靶材料孔隙率和内摩擦的自身特性^[23-24]. 干砂靶和无孔砂靶的$\mu $分别为0.41和0.55^[17]. 当$\mu = 0.49$时，表明低速斜撞击成坑过程中动量和能量共同影响耗散冲击过程.

式（9）形式与高速撞击($ {v_{\mathrm{i}}} $的数量级为10³ m/s)、中低速撞击($ {v_{\mathrm{i}}}$的数量级为10¹ m/s)干砂靶得到的相似关系类似. 如图17所示为在不同试验条件下的试验数据与式(8)的关系，本研究给出的相似律关系与以往试验数据吻合较好，因此有理由认为考虑撞击角度的修正相似律在不同撞击速度下适用，尤其是水平面上的斜撞击过程.

基于上述分析，可以通过水平靶体表面撞击坑的探测数据估计撞击发生的初始条件，如弹体直径、撞击角度、撞击速度等. 例如，在执行天体探测任务时，测量水平表面上发现的撞击坑相关尺寸，获得参量如坑长、坑体积，撞击角度与长宽比、深宽比之间的关系，估算得到撞击角度；基于遥感数据以及对靶体材料的分析，估算得到天体表面重力水平以及靶体密度，此时剩下撞击体质量、撞击体直径以及撞击速度3个未知参量. 假定撞击体为球体，且撞击体密度与天体表面颗粒相同，基于Takizawa等^[12]的成坑宽度计算方法和式（8）的修正相似关系，计算获得弹体质量、弹体直径以及撞击速度. 撞击引起的地震动会导致撞击坑变形，从而影响撞击坑形状^[18]，本研究修正的相似律关系仅适用于刚形成的撞击坑. 此外，角度对纵横比、深宽比的影响很可能取决于撞击坑的规模^[25].

为了了解撞击坑的形成过程及规律，本研究针对水平砂靶表面进行球体低速斜撞击试验，得到如下结论. 1）基于$\varphi $= 45°~90°、v_i=2.2~5.3 m/s下球体撞击水平颗粒表面成坑试验，将撞击成坑分为接触压缩、开坑以及调整3个阶段，分析低速斜撞击成坑过程及机理. 结果表明，成坑尺寸随撞击速度增加而增加；${D_{{\text{c}x}}}$、${V_{\text{c}}}$随撞击角度的增加而增加，${D_{{\text{c}y}}}$随撞击角度的增加先减小再增加，在$\varphi = {55^ \circ }$附近取得极大值，${H_{\text{c}}}$随撞击角度的增加先增加后减小，在$\varphi \approx {75^ \circ }$附近取得极小值. 2）基于$\Pi $定理，进一步修正低速斜撞击水平靶体条件下考虑撞击角度的成坑相似律，该相似律关系与前人试验数据吻合较好，基本适用于水平靶体上的斜撞击成坑过程. 分析表明，低速斜撞击成坑过程中动量和能量共同影响耗散冲击过程. 本研究仅使用1种弹靶材料进行球体斜撞击试验，获得的相似律普适性存在一定的限制，后续将开展不同弹靶材料的斜撞击试验以完善相似理论.